MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ยืดตัว

หดตัวไมยืด/หด

MM

6.4 Flexural Formulaเมื่อคานมีพฤติกรรม linear elastic ภายใตแรงกระทําแลว การกระจายของ strain และ stress บนหนาตัดคานจะมีลักษณะดังแสดง

MyI

σ = −

I = moment of inertia ของหนาตัด

M = โมเมนตดัดบนหนาตัด

y = ระยะจาก neutral axis ถึงจุดที่ตองการหา stress

กดอดั

maxmax

M cI

σ =

หดตัว

ยืดตัว

กดอัด

ดึง strain หาไดโดยใช Hooke’s law, σ = Eε

ประเภทของปญหา1. Analysis: ใหขนาดหนาตัดหา σ หรือ M

maxmax

M cI

σ =

2. Design: หาขนาดหนาตัด เมือ่กําหนด σallow มาให

ตัวอยางที่ 6-9จงหาคาหนวยแรงดึงและหนวยแรงกดอดัสูงสุดที่เกดิขึ้นในคานเหล็กหาคา bending moment สูงสุด

max 3.375 kN-mM = −

ซึ่งเกิดขึ้นที่หนาตัดที่จดุรองรับ B

3.375 kN 10.125 kN

โดยมีการดดัดังนี้ยืดตัว

หดตัว

ไมยืด/หด MM

หาคุณสมบัตขิองหนาตัด1

i i

i

y Ac

A= ∑∑

16(276)12 2(40)80(12)

276(12) 2(80)12c +=

+

2 1 80 18.48 61.52 mmc h c= − = − =

3 21 (276)12 276(12)(18.48 6)12

I ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

2( )I I ad= +∑

1 1 2 2

1 2

22

y A y AA A+

=+

18.48 mm=

3 212 (12)80 80(12)(40 18.48)12⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4 6 42.469(10 ) mm 2.469(10 ) mI −= =

หาคาหนวยแรงดดัmax

maxM cI

σ =

3

max 63.375(10 )(0.01848)( )

2.469(10 )tσ −=

3

max 63.375(10 )(0.06152)( )

2.469(10 )cσ −= −

max 250 MPayσ σ< =

วัสดุมีพฤติกรรมในชวง linear elastic ภายใตการกระทําของน้ําหนักบรรทกุ

25.3 MPa=

84.2 MPa= −

18.48 mm

61.52 mm

แกน neutral axis25.3 MPa

84.2 MPa

การกระจายของหนวยแรงดัดบนหนาตัดของคานไมที่ม ีMmax

6.5 Unsymmetrical Bendingในการดัดแบบไมสมมาตร สมการ flexural formula จะใชได เมื่อ moment กระทําตามแกน principal axes ของหนาตัดคานเทานั้น

Moment Applied Along Principal Axismoment กระทําตามแกน principal axes ใชสมการ flexural formula ไดโดยตรง

Moment Arbitrary Applied: moment กระทําตามแกนใดๆในกรณีนี้ ตองทําการแตกโมเมนตใหอยูในแนวแกน principal axes จากนั้น ใช principle of superposition และ flexural formula

yz

z y

M zM yI I

σ = − +

Comp. เมื่อ y เปน +

Tens เมื่อ z เปน +

Orientation of the Neutral Axisบนแกน neutral axis คา σ = 0 ดังนั้น

( )( )

y z

z y

M Iyz M I=

sinyM M θ=coszM M θ=

tanz

y

Iyz I

θ=

tan yz

α =เนื่องจาก

tan tanz

y

II

α θ=

0 yz

z y

M zM yI I

= − +

เมื่อ α คือมุมที่แกน neutral axis กระทํากบัแกน +z และ θ คือมุมที่โมเมนตกระทํากับแกน +z

Example

องคประกอบของโมเมนตในแกนหลัก

moment of inertia ของหนาตัด

จงหาหนวยแรงตั้งฉากที่เกดิขึ้นที่หัวมุมของหนาตัด และจงหาทิศทางของแกน neutral axis

หนวยแรงดัดบนหนาตัด

9.60 kN-m

7.20 kN-m

แนวของแกน neutral axis

Exampleจงหาหนวยแรงตั้งฉากที่เกดิขึ้นที่หัวมุมของหนาตัดเมื่อ b = 0.4 m และ h = 0.8 m

Example

องคประกอบของโมเมนตในแกนหลัก

จงหาหนวยแรงตั้งฉากสูงสุดที่เกดิขึ้นบนหนาตัด และจงหาทิศทางของแกน neutral axis

หาตําแหนงแกนสะเทินของหนาตัด

0.05 m

0.115 m

= 0.089 m

หา moment of inertia ของหนาตัด

= 0.0890 m0.089-0.050 m

0.115-0.089 m

จากรูป tensile stress สูงสุดจะเกดิขึ้นที่จดุ B และ compressive stress สูงสุดจะเกิดขึน้ที่จุด C

แนวของแกน neutral axis ตัวอยางที่ 6-114 m, 1 kN/m, F.S. 2.0, 10 MPaultL w σ= = = =

จงหาคาสูงสุดของแรง P ที่คานไมสามารถรับได

x

y

z

P

y

z 0.20 m

0.10 m

กาํหนดให

2 21000(4) 2000 N-m8 8zwLM = = =

N-m4yPLM P= − = −

x

y

z

P

x

z

y

x

z

y

1. หา moment สูงสุดที่เกดิขึ้นในคานในแตละกรณีตอไปนี้ moment สูงสุดเกดิขึ้นที่จุดใดของคาน???

โดยใช principle of superposition

10 5 MPaF.S. 2ult

allowσσ = = =

yz

z y

M zM yI I

σ = − +

36 40.2(0.1) 16.67(10 ) m

12yI−= =

36 40.1(0.2) 66.67(10 ) m

12zI−= =

66 6

2000(0.1) ( )(0.050) 5(10 )66.67(10 ) 16.67(10 )

P− −

−− + = −

0.667 kNP =

5 MPaa allowσ σ= = −

a b

c d

z

y

0.20 m

0.10 m

0.667 kN

1.0 kN/m

4 m2 m

6.6 คานคอมโพสิท (Composite Beams)เปนรูปแบบการกอสรางเพื่อเสริมกําลัง (strengthening) ใหกบัคานหรือเพื่อซอมแซม (repairing) คาน

ในการใช flexural formula กบั composite beam วัสดุตางๆ ทีใ่ชทําคานจะตองถูกเปลี่ยนใหเปนวัสดุชนิดเดยีวกัน (homogeneous material) โดยใชวิธีแปลงหนาตัด (transformed section method) และตองมีพฤติกรรมอยูในชวง linear elastic ภายใตแรงกระทํา

1h

2h

CFRPt

sd

b

CFRPb

h

เมื่อทําการ transform จากวัสดุ 1 (แกรง: เหล็ก) เปนวัสดุ 2 (ออน: ไม) แลว สวนบนของคานจะตองกวางขึ้น n เทาโดยที่load ที่วัสดหุมายเลข 1 รองรับ,

1 ( ) dF dA E dzdyσ ε= =

load ที่วัสด ุ1 ที่ถูกเปลีย่นเปนวัสดุ 2 รองรับ,2( ) dF dA E n dzdyσ ε′ ′ ′= =

เนื่องจาก dF = dF' ดังนั้น

จากไปเปน

12

1 >=EEn

10GPa 20GPa 200

==n

หลังจากทีท่ราบการหนวยแรง σ´บนหนาตัดของคานที่ถูกแปลง (บน) แลว คาหนวยแรงดังกลาวจะตองถูกคูณดวย transformation factor (เพิม่ขึ้น n เทา) เพื่อแปลงกลับไปเปนคาหนวยแรง σ บนหนาตัดกอนถูกแปลง

dF dA dAσ σ ′ ′= =

dzdy n dzdyσ σ ′=

nσ σ ′=

nσ σ ′=

สรุป: เมื่อ transform จากวัสดุแกรง: เหล็ก เปนวัสดุออน: ไม แลว วัสดุแกรงจะตองถูกทาํใหกวางขึ้น n เทา

หนวยแรงในวัสดุแกรงจะตองถูกแปลงจากวัสดุออนโดยเพิ่มขึ้น n เทาnbb =2

ในทางตรงกันขาม เมื่อ transform จากวัสด ุ2 (ออน: ไม) เปนวัสดุ 1 (แกรง: เหล็ก) แลว สวนลางของคานจะตองกวางลดลง n' เทา โดยที่

2 1/ 1n E E′ = <

nσ σ′ ′=

และหนวยแรงในวัสดุออนจะตองถูกแปลงจากวัสดุแกรงใหลดลง n´ เทาbnb ′=1

Example

ทาํการ transform ไมไปเปนเหล็ก

คานคอมโพสิทสรางดวยไมและเสริมดวยแผนเหล็กทีท่องคาน จงหาหนวยแรงตั้งฉากที่เกดิขึ้นที่จุด B และ C เมื่อ Ew = 12 GPa และ Est = 200 GPa

หาตําแหนงแกนสะเทินของหนาตัด

0.02/2 m0.15/2+0.02 m

หา moment of inertia ของหนาตัด

0.03638 m0.095 m

0.095-0.03638 m

หนวยแรงดัดบนหนาตัด: ที่จดุ B' และจุด C

ที่จดุ B'

ที่จดุ C

0.03638 m

หนวยแรงดัดบนหนาตัดไม: ที่จดุ B

หนวยแรงดัดที่จดุที่เหลก็สัมผัสกบัไม12 3.50 MPa 0.210 MPa20

σ = =

แกน neutral axis

1.71 MPa

7.78 MPa3.50 MPa0.21 MPa

การกระจายของหนวยแรงดัดบนหนาตัดของคานไมเนื่องจาก M

ตัวอยางที่ 6-12Timber beam: 0.10 m, 0.20 m, 10 MPa, 10 GPault wb d Eσ= = = =

Steel plate: 0.100 m,

5 mm, 250 MPa,

200 GPa

pl

pl y

st

btE

σ

=

= =

=

จงหาแรง P สูงสุดทีค่านไม และ คานไมเสริมแผนเหล็กสามารถรับไดและ % ที่เพิ่มขึ้นของแรง P หลังจากที่คานไมถูกเสริมดวยแผนเหล็ก

กาํหนดให

10( ) 5 MPaF.S. 2.0ult

w allowσσ = = =

250( ) 125 MPaF.S. 2.0

yst allow

σσ = = =

หนวยแรงทีย่อมให

เขียน shear diagram และ moment diagram

maxM P=

จาก bending moment diagram

3

12bdI =

max( )w allow IM

cσ

=

max 3.333 kNP =

y 0.20 m

0.10 m

z

6 466.67(10 ) m−=30.10(0.20)

12=

3,333 N-m=6 65(10 )66.67(10 )(0.2 / 2)

−

=

หาแรง P สงูสุดทีค่านไม สามารถรับไดเมื่อคานไมไมมีการเสริมแผนเหล็กmax

maxM cI

σ =

3.333 kN 3.333 kN

แกน neutral axis

5.0 MPa

5.0 MPa

การกระจายของหนวยแรงดัดบนหนาตัดของคานไมที่ม ีMmax

หาแรง P สงูสุดทีค่านไมถูกเสริมแผนเหล็กสามารถรับได

200 2010

st

w

EnE

= = =

y 0.20 m

0.10 m

z 0.10 m

0.20 m

2.0 m

CNeutral axis

0.005 m

m 0.2)10.0(20, === nbb dtransformest

0.10 m

0.20 m

2.0 m

Cyy0.105-Neutral axis

0.005 m

(c)

0.1(0.2)(0.1 0.005) 0.005(2)(0.005/ 2) 0.0708 m0.1(0.2) 0.005(2)

y + += =

+

หาระยะของแกน neutral axis

1 1 2 2

1 2

y A y AyA A+

=+

1 0.1 0.005 my = +

2 0.005/ 2 my =

y1

0.10 m

0.20 m

2.0 m

Cyy0.105-Neutral axis

0.005 m

(c)

หาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน neutral axis

0.0708 m=

322(0.005) 2(0.005)(0.0708 0.0025)

12⎡ ⎤

+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4136.73(10 ) m−=

320.1(0.2) 0.1(0.2)(0.105 0.0708)

12NAI⎡ ⎤

= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

ทําการตรวจสอบดวูา ไมหรือเหล็กจะเกิดการวบิัติกอนกัน?1. สมมุติใหไมเกดิการวิบัตกิอนเหล็ก

(0.1 0.0342)( )w allowM

Iσ +

=

( )0.1342w allow IM σ

=

0.10 m

0.20 m

2.0 m

C0.105-0.0708 = 0.0342 mNeutral axis

0.005 m0.0708 m

5.09 kN-m=6 65(10 )136.73(10 )

0.1342

−

=

maxmax

M cI

σ =

2. สมมุติใหเหล็กเกดิการวิบัติกอนไม(0.0708)( )st allow

MnI

σ =

( )(0.0708)st allow IM

nσ

=

ดังนั้น ไมเกดิการวิบัติกอนเหล็กและ

max max 5.09 kNP M= =

0.10 m

0.20 m

2.0 m

CNeutral axis

0.005 m0.0708 m

12.07 kN-m=6 6125(10 )136.73(10 )

20(0.0708)

−

=

maxmax

M cI

σ =

คาหนวยแรงสูงสุดที่เกดิขึ้นบนแผนเหล็กเมื่อคานไมเกดิการวิบัติ

0.10 m

0.20 m

2.0 m

C0.105-0.0708 = 0.0342 mNeutral axis

0.005 m0.0708 m

ไมวิบัติที่ σ = 5.0 MPa

คาหนวยแรงสูงสุดที่เกดิขึ้นบนทองคานเมื่อคานไมเกดิการวิบัติ

IM )0708.0(

=σ)10(73.136)0708.0(5090

6−= MPa 636.2=

σσ nst = Yσ<== MPa 72.52)636.2(20

แกน neutral axis

5.0 MPa

??.? MPa??.? MPa52.7 MPa

การกระจายของหนวยแรงดัดบนหนาตัดของคานไมเสริมแผนเหล็กที่ม ีMmax % ที่เพิม่ขึน้ของแรง P หลังจากทีค่านไมถูกเสริมดวยแผนเหล็ก5.09 3.333(100) 52.7 %

3.333−

=

3.333 kN 3.333 kN

5.09 kN 5.09 kN

End of Chapter 6