mechanics of materials - chaosuan.me.engr.tu.ac.th · mechanics of materials...

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

1

2

เป้าหมาย

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ศึกษาความสัมพันธระหวางความเคนและความเครียดในการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบอิลาสติก

• ศึกษาปญหาในกรณีโครงสรางรับแรงในแนวแกน โครงสรางรับแรงบิด โครงสรางรับโมเมนตดัด และโครงสรางรับภาระผสม

• วิเคราะหหาตำแหนง ขนาด และทิศทางของ ความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

• วิเคราะหความเสียหายแบบการครากและการแตกหัก

• ศึกษาการวัดความเคนและความเครียด

3

เอกสารประกอบ


• ชาวสวน กาญจโนมัย, กลศาสตรของแข็ง 2, มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร, 2548

• J.M. Gere and S.P. Timoshenko, Mechanics of Materials, Chapman & Hall, London, 1994.

• F.P. Beer and E.R. Johnston, JR., Mechanics of Materials, McGraw-Hill, UK, 1992.

• R.C. Hibbeler, Mechanics of Materials, Maxwell Macmillan International Publishing Co., 1994

4

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

1 นิยามและหลักการเบื้องตนของความเคนและความเครียด 1 - 14

2 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 1 15 - 28

3 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 2 29 - 48

4 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด 1 49 - 78



7 สอบกลางภาค

แผนการบรรยาย


5

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14



11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

49 - 78

12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

49 - 78

13 ทฤษฎีความเสียหายเบื้องตน 49 - 78

14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78

15 สอบปลายภาค


6

เขาเรียน 10 คะแนน

การบาน 15 คะแนน

สอบกลางภาค 35 คะแนน

สอบปลายภาค 40 คะแนน

รวม 100 คะแนน


การวัดผล

7

นิยามและหลักการเบื้องตนของความเคนและความเครียด


• ความเคนตั้งฉาก (normal stress)

• ความเครียดตั้งฉาก (normal strain)

• แผนภูมิความเคน-ความเครียด (stress-strain diagrams)

• อัตราสวนปวซอง (Poisson’s ratio)

• ความเคนเฉือนและความเครียดเฉือน (shear stress and shear strain)

• แรงและความเคนที่ยอมใหเกิดขึ้นในโครงสราง (allowable stresses and

allowable loads)

8


หัวขอบรรยาย

9

1.1 ความเค้นตั้งฉาก (normal stress)


• โครงสรางมีลักษณะตรง

• มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar)

10


• สมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตำแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic)

• มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใดๆ เกิดขึ้น

• มีแรงกระทำผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสราง

11


• ความเข็มขนของแรง (P) ที่ตั้งฉากบนพื้นที่หนาตัด m-n เปนความเคนตั้งฉาก (normal stress, σ) ดังความสัมพันธตอไปน้ี

• σ จะมีการกระจายแบบสม่ำเสมอ (uniform) ก็ตอเมื่อพิจารณาพื้นที่หนาตัด m-n ที่มีระยะ d จากตำแหนงที่แรง P มากระทำ

12


• ในกรณีที่ตองการคำนวณ σ บนจุด Q ใด ๆ ที่อยูบนพื้นที่หนาตัด m-n หรือ σQ

• โดย ΔA คือพื้นที่เล็กๆ รอบจุด Q และ σ คือความเคนตั้งฉากที่เกิดจากแรง P

• ถาแรง P ทำใหเกิดการหดตัวของโครงสราง (compression), σ มีเครื่องหมายลบ (-)

• ถาแรง P ทำใหเกิดการยึดตัวของโครงสราง (tension) จะใชเครื่องหมายบวก (+)

• ความเคนตั้งฉากนี้มีหนวยเปนนิวตันตอตารางเมตร (N/m2) หรือพาสคาล (Pa)

σQ

13


ตัวอยางที่ 1.1 จงแสดงวาแรง P ที่ทำใหเกิดความเคน (σ) ที่กระจายตัวอยางสม่ำเสมอในคานที่มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) จะตองกระทำที่จุดจุดศูนยกลางมวลของพื้นที่หนาตัด

• ถาแรง P ทำใหเกิดความเคนที่กระจายตัวอยางสมํ่าเสมอบนพื้นที่หนาตัดของคานแลว โมเมนต (moment หรือ M) จากแรง P จะตองเทากับโมเมนตจากความเคน (σ)

14


• พิจารณาโมเมนตจากแรง P โดยในกรณีความเคน (σ) กระจายตัวอยางสม่ำเสมอ (P =σA) ดังนั้น

และ

และ A

15


• พิจารณาโมเมนตจากความเคน (σ) ของพื้นที่ยอย (dA)

และ B

16


• ถาแรง P ทำใหเกิดความเคนที่กระจายตัวอยางสมํ่าเสมอบนพื้นที่หนาตัดของคานแลว โมเมนต (moment หรือ M) จากแรง P จะตองเทากับโมเมนตจากความเคน (σ) ดังนั้น สมการ A = สมการ B

โมเมนตรอบแกน yโมเมนตรอบแกน x

17


• โดยพบวา xp และ yp คือ จุดจุดศูนยกลางมวลของพื้นที่หนาตัด







allowable loads)

18



19

1.2 ความเครียดตั้งฉาก (normal strain)


• ความเคน (σ) ในโครงสรางทำใหเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาด (deformation หรือ ) อาจเปนบวก (ยึดตัว) หรือลบ (หดตัว) ไดตามลักษณะของความเคนที่กระทำ

20


• ความเครียดตั้งฉาก (normal strain หรือ ) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงขนาดตอความยาวหนึ่งหนวย (elongation per unit length)

• ความเครียดแรงดึง (tensile strain) จะเกิดเมื่อวัตถุยึดตัว และความเครียดแรงอัด (compressive strain) เกิดเมื่อวัตถุเกิดการหดตัว

• ความเครียดตั้งฉากเปนปริมาณที่ไมมีหนวย (dimensionless)

21


• ในกรณีที่ตองการคำนวณความเครียด (Q) ของสวนเล็กๆ ที่จุด Q

• โดย Δx คือความยาวของสวนเล็กๆ ที่จุด Q

Q







allowable loads)

22



23

1.3 แผนภูมิความเค้น-ความเครียด (stress-strain diagrams)


• ความสัมพันธระหวางความเคน () กับความเครียด () ของวัสดุตางๆ ไดจากการทดสอบการดึง (tension test) หรือการทดสอบการอัด (compression test)

• มีความเครียด () เปนแกนนอนและความเคน () เปนแกนตั้ง

24


• สวนแรกของแผนภูมิความเคนกับความเครียดแสดงความสัมพันธแบบอิลาสติกเชิงเสน (linear-elastic behavior) ตามกฎของฮุก (Hooke’s law)

• โดย E คือ โมดูลัสของยังส (Young’s modulus) หรือโมดูลัสของอิลาสติกซิตี (modulus of elasticity)

25


• เมื่อความเคนสูงกวาความเคนคราก (yield stress หรือ Y ) วัสดุจะเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบถาวร หรือ การเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติก (plastic deformation) หรือ การคราก (yielding)

• การเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติกจะเพิ่มสูงขึ้นตามความเคน โดยเมื่อถึงความเคนดึงสูงสุด (ultimate tensile stress หรือ u) พื้นที่รับแรงจะลดขนาดลง (neckling) สงผลใหภาระที่ใชในการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติกลดลง และความเคนที่คำนวณจากพื้นที่รับแรงเริ่มตนลดลงไปดวย

26


• ความเคนที่เกิดการแยกออกจากกัน (breaking stress หรือ b)

• ความเครียดที่ทำใหเกิดการแยกออกจากกัน (fracture strain หรือ f ) หรือความเหนียว (ductility หรือ D) คำนวณไดจากรอยละของการเปลี่ยนแปลงขนาดในแนวแรง หรืออาจคำนวณไดจากรอยละของการเปลี่ยนแปลงขนาดของพื้นที่รับแรง

27


• วัสดุที่แสดงพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติกอยางชัดเจน

กอนเกิดการแยกออกจากกัน เรียกวา วัสดุเหนียว (ductile material) เชน

เหล็กกลาคารบอนต่ำ ทองแดง โพลิเมอร

28


• วัสดุที่ไมแสดงพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติกอยางชัดเจน

กอนเกิดการแยกออกจากกัน เรียกวา วัสดุเปราะ (brittle material) เชน

เหล็กกลาคารบอนสูง เซรามิก

29


C. Kanchanomai and W. Limtrakarn. Effect of residual stress on fatigue failure of carbonitrided low-carbon steel. Journal of Materials Engineering and Performance, 17(6):879–887, 2008.

• วัสดุเหนียวสามารถเปลี่ยนใหเปน

วัสดุเปราะไดดวยวิธีการทางเคมี

ทางกล และความรอน เชน

พฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงขนาด

ของเหล็กกลาคารบอนต่ำกอน

กระบวนการชุบแข็งแบบคารโบไน-

ตรายดิ่งและหลังกระบวนการชุบแข็ง

แบบคารโบไนตรายดิ่ง







allowable loads)

30



31


1.4 อัตราส่วนปัวซอง (Poisson’s ratio)

• โครงสรางที่เปลี่ยนแปลงขนาด เกิดความเครียดในแนวแรง (axial strain) ถาโครงสรางยืดตัวออก พื้นที่หนาตัด (cross-section area) ของโครงสรางจะลดลง เรียกการเปลี่ยนแปลงนี้วา ความเครียดในแนวขวาง (lateral strain) ซึ่งมีทิศทางตั้งฉากกับแรงที่มากระทำ

• อัตราสวนระหวางความเครียดในแนวขวาง (lateral strain) และความเครียดใน

แนวแรง (axial strain) คือ อัตราสวนปวซอง (Poisson’s ratio, )

32


• ผลกระทบปวซอง (Poisson’s effect) สงผลใหเกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตร (volume change)

• กำหนดให Vo คือปริมาตรเริ่มตน (original volume) และ Vf คือ ปริมาตรสุดทาย (final volume)

33


34


~0 ~0 ~0

35


• อัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรตอปริมาตรหนึ่งหนวย (unit volume change) หรือ dilatation (e) สามารถคำนวณไดโดย

36


ตัวอยางที่ 1.2 โครงสรางมีลักษณะตรง มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีพื้นที่หนาตัดเปนวงกลมมี เสนผาศูนยกลาง 30 มม. ยาว 3 เมตร ยังโมดูลัส 70 GPa อัตราสวนปวซอง 1/3 ถูกดึงดวยแรง 85 kN จงหา δ, Δd, และ ΔV

37


ความเคนตั้งฉาก: ความเครียดตั้งฉาก:

38


ความเครียดในแนวขวาง:

39


การเปลี่ยนแปลงขนาด: การเปลี่ยนแปลงขนาดเสนผาศูนยกลาง:

40


การเปลี่ยนแปลงปริมาตร :







allowable loads)

41



42


1.5 ความเค้นเฉือนและความเครียดเฉือน (shear stress and shear strain)

• อัตราสวนระหวางความเขมขนของแรงเฉือนที่เกิดบนรอยตัด m-n ตอพื้นที่

หนาตัด m-n คือ คาเฉลี่ยของความเคนเฉือน (average shearing stress, )

43


• ทิศทางของความเคนเฉือนสามารถแสดงไดดวย ชิ้นสวนความเคน (stress element) แบบ 3 มิติ

• ความเคนเฉือนของหนาตรงขามของลูกบาศกมีขนาดเทากันแตมีทิศทางตรงขามกัน

• ความเคนเฉือนของหนาที่ตั้งฉากกันของลูกบาศกจะมีขนาดเทากัน โดยมีทิศทางพุงเขาหากันหรือพุงออกจากกัน

44


• ความเคนเฉือนเปนบวกถูกนิยามจาก ความเคนเฉือนที่อยูบนหนาบวก (positive face) และมีทิศทางไปในทิศบวก (positive direction) หรือ ความเคนเฉือนที่อยูบนหนาลบ (negative face) และมีทิศทางไปในทิศลบ (negative direction)

• ความเคนเฉือนเปนลบถูกนิยามจาก ความเคนเฉือนที่อยูบนหนาบวก (positive face) แตมีทิศทางไปในทิศลบ (negative direction) หรือ ความเคนเฉือนที่อยูบนหนาลบ (negative face) แตมีทิศทางไปในทิศบวก (positive direction)

ความเคนเฉือนเปนบวก

45


• ความเคนเฉือนทำใหโครงสรางเปลี่ยนแปลงรูปราง (distortion) หรือเกิดความเครียดเฉือน (shear strain หรือ ) โดยไมเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาด หรือ ความเคนเฉือนไมทำใหเกิดผลกระทบปวซอง (Poisson’s effect)

• ความเครียดเฉือนเปนบวกเมื่อมุมระหวางหนาบวก (positive face) หรือมุมระหวางหนาลบ (negative face) ลดลง และ ความเครียดเฉือนเปนลบเกิดเมื่อมุมระหวางหนาบวก (positive face) หรือมุมระหวางหนาลบ (negative face) เพิ่มขึ้น

ความเครียดเฉือนเปนบวก

46


• ความสัมพันธระหวางความเคนเฉือนและความเครียดเฉือน หรือกฎของฮุกสำหรับการเฉือน (Hooke’s law in shear) แสดงโดย:

• โดย G คือ โมดูลัสของอิลาสติกซิตีสำหรับการเฉือน (shear modulus of elasticity) หรือโมดูลัสของความแข็งแกรง (modulus of rigidity) ซึ่งความสัมพันธระหวาง โมดูลัสของอิลาสติกซิตีสำหรับการเฉือนและโมดูลัสของอิลาสติกซิตี แสดงโดย:







allowable loads)

47



48


1.6 แรงและความเค้นที่ยอมให้เกิดขึ้นในโครงสร้าง (allowable stresses and allowable loads)

• ความเคนที่ยอมใหเกิดขึ้นในโครงสราง (allowable strength, all) ต่ำกวาความแข็งแรงของวัสดุ (actual strength, y) เสมอ

• อัตราสวนระหวางความแข็งแรงของวัสดุ (actual strength, y) ตอความเคนที่ยอมใหเกิดขึ้นในโครงสราง (allowable strength, all) คือ ปจจัยความปลอดภัย (factor of safety, n)

49


• วัสดุที่แสดงพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติกอยางชัดเจน

กอนเกิดการแยกออกจากกัน เรียกวา วัสดุเหนียว (ductile material)

50


• วัสดุที่ไมแสดงพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบพลาสติกอยางชัดเจน

กอนเกิดการแยกออกจากกัน เรียกวา วัสดุเปราะ (brittle material)

51


การดามกระดูกที่แตกหักดวย LCP และ แตกหักของ LCP ของผูปวยชายอายุ 47 ป ภายหลังการผาตัด 6 เดือน

C. Kanchanomai, P. Muanjan, and V. Phiphobmongkol, “Stiffness and endurance of a locking compression plate fixed on fractured femur”, Journal of Applied Biomechanics, Volume 26, Issue 1, 2010, Pages 10-16.

52


รอยราวจากการลาบนเหล็กดามกระดูก

C. Kanchanomai, V. Phiphobmongkol, and P. Muanjan. Fatigue failure of an orthopedic implant - A locking compression plate. Engineering Failure Analysis, 15(5):521–530, 2008.

53


พื้นผิวแตกหักของเหล็กดามกระดูก

C. Kanchanomai, V. Phiphobmongkol, and P. Muanjan. Fatigue failure of an orthopedic implant - A locking compression plate. Engineering Failure Analysis, 15(5):521–530, 2008.

54


การลาที่เกิดขึ้นกับลอรถยนต

P.R. Raju et al. Evaluation of fatigue life of aluminum alloy wheels under radial loads. Engineering Failure Analysis, 14:791–800, 2007.

55


การลาที่เกิดขึ้นกับกระบอกสูบของเครื่องยนต

F.S. Silva. Fatigue on engine pistons – A compendium of case studies. Engineering Failure Analysis, 13:480–492, 2006.







allowable loads)

56


สรุปการบรรยาย

1) จงคำนวณความเคนอัดที่เกิดในกานสูบเสนผาศูนยกลาง 5 มม เมื่อมีแรง

P ขนาด 36 นิวตันมากระทำที่แปนเบรค โดยแรงนี้มีทิศทางขนานกับกานสูบ

57


การบาน 1

2) ทอทรงกระบอกยาว 0.5 ม มีรัศมีภายในและภายนอกเปน 25 มม และ

30 มม ตามลำดับ ถูกกระทำดวยแรงอัด P จงคำนวณ (a) ความยาวของ

ทอที่ลดลง เมื่อเกจวัดความเครียด (strain gage) ที่ติดไวดังรูป อานคาได

= 900x10-6 และ (b) แรง P ที่กระทำ ถาความเคนของทอเปน 60 MPa

58


7) ทอเหล็กยาว 2 เมตร มีเสนผาศูนยกลาง

ภายนอก 110 มม. และหนา 8 มม. รับแรงอัด

ตามแนวแกน 160 นิวตัน ถา E = 200 GPa

และ ν = 0.3 จงหา (a) ระยะที่หดสั้นลงของทอ

(b) ขนาดที่เพิ่มขึ้นของเสนผาศูนยกลาง

ภายนอก และ (c) ขนาดที่เพิ่มขึ้นของความหนา

59


8) จงสรางสมการการเพิ่มขึ้นปริมาตร (ΔV) ของคานยาว L หนัก W ซึ่งถูก

แขวนลงในแนวดิ่ง กำหนดใหการเปลี่ยนแปลงปริมาตรของลูกบาศกหนึ่ง

หนวย,

60


การบาน 2

9) รอยตอซึ่งประกอบดวยแผนยางหนา 10 มม. วางเชื่อมกับแผนเหล็กดังรูป

ถายางมี G = 800 kPa จงหา (a) ความเคนเฉือนเฉลี่ยในแผนยางเนื่องจาก

แรง P = 15 kN และ (b) ระยะยืดในแนวระดับเนื่องจากแรง P

61


10) ถาเพลา (shaft) มีเสนผาศูนยกลาง d

และสลัก (key) มีพื้นที่หนาตัด bxb และยาว

c โดยกำหนดใหครึ่งหนึ่งของสลัก (b/2) ยึด

อยูในเพลา จงหาความเคนเฉือนเฉลี่ยที่เกิด

ในสลักเมื่อมีแรง P มากระทำดังรูป กำหนด

ใหแรงดันระหวางเพลาและกานหมุน

(lever) มีการกระจายอยางสม่ำเสมอ

62


จบการบรรยาย

63


mechanics of materials - chaosuan.me.engr.tu.ac.th · mechanics of materials...

Documents