1

Megint a vitorlázásról

Egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: Hajózás ellenszélben – már volt szó vitor -

lázásról, egy népszerű ~ tudományos ismeretterjesztő könyv egyik feladata ürügyén.

Igaz, hogy az egyik szerző a fizikai Nobel - díjas L. D. Landau, de – vagy éppen ezért is –

csak egy erősen leegyszerűsített fizikai modellt választottak. Ennek ellenére az eredmény

– a szögfelező helyzetű vitorla - beállítás szél elleni hajózásnál – viszonylag jól egyezik a

gyakorlati tapasztalatokkal. Azóta kicsit jobban szétnéztünk a számunkra elérhető szak -

irodalomban; ennek néhány eredményéről lesz most szó.

Az egyik, számunkra érdekes munka e témában az interneten talált [ 1 ] könyvrészlet.

Ezt is fizikusok írták, szintén ismeretterjesztő jelleggel – gyaníthatóan középiskolai fizi -

katanárok számára – , kicsit mélyebben belemenve a részletekbe. Igaz, mintha sajtóhiba is

lenne benne.

Találkoztunk a [ 2 ] kétrészes dolgozattal is, melyben az [ 1 ] - ben olvashatókat kicsit

jobban szemléltetve és részletezve fejtik ki.

A témát [ 1 ] és [ 2 ] alapján dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra – forrása: [ 2 ]

2

Itt a hajó és a vitorla – idealizált – felülnézeti képét szemlélhetjük.

A hajó v sebességgel halad a vízhez képest, hossztengelye irányában.

A függőleges tengely körül elforgatható vitorla a haladás egyeneséhez képest β szöggel

lett beállítva.

A szél a vitorlát a hajó hossztengelyéhez képest α, a vitorla normálisához képest i szög

alatt fújja, a hajóhoz viszonyított c sebességgel.

A hajóhoz viszonyított szélsebességet az 1. ábra bal felső sarkában megrajzolt sebességi

háromszög magyarázza; itt:

~ v a hajó sebességének vektora;

~ vsz a szél sebességének vektora, a víz felszínéhez képest;

~ c: a szélnek a hajóhoz viszonyított sebessége.

A köztük fennálló összefüggés az ábráról leolvashatóan:

𝐯𝐬𝐳 = 𝐜 + 𝐯 → 𝐜 = 𝐯𝐬𝐳 − 𝐯 . ( 1 )

A továbbiakban c - t adottnak vesszük.

Célunk a hajót előre hajtó F1 erő F1 nagyságának közelítő meghatározása.

Ehhez először a vitorla „síkjára” merőleges F erő F nagyságát kell meghatározni, majd

ebből az 1. ábra alapján:

𝐹1 = 𝐹 ∙ sin𝛽 . ( 2 )

Az F erőnagyságot azzal a feltevéssel becsülhetjük meg, hogy a síknak vett vitorlát meg –

fújó szél – mint légtömeg – beesési és visszaverődési sebességének c nagysága és a vitorla

normálisával bezárt i szöge változatlan – 2. ábra.

2. ábra

Ennek bal oldali részén ábrázoltuk a vitorlába csapódó légtömeg sebességváltozását.

Ennek vektoros kifejezése:

∆𝐜 = 𝐜∗ − 𝐜 ; ( 3 )

3

ennek nagysága az ábra szerint:

∆𝑐 = 2 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 . ( 4 )

Az impulzusváltozás nagysága:

∆𝑝 = 𝑚 ∙ ∆𝑐 ; ( 5 )

most ( 4 ) és ( 5 ) - tel:

∆𝑝 = 2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 . ( 6 )

A vitorla által az m légtömegre kifejtett erő nagyságának átlagos értéke:

𝐹𝑣 =∆𝑝

𝑡 . ( 7 )

Majd ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

𝐹𝑣 =2∙𝑚∙𝑐∙cos 𝑖

𝑡 . ( 8 )

A légtömeg ugyanilyen nagyságú, csak ellenkező nyílértelmű erővel hat a vitorlára, tehát:

𝐹 = 𝐹𝑣 ; ( 9 )

ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

𝐹 = 2 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙𝑚

𝑡 . ( 10 )

A t idő alatt a vitorlának ütköző, majd arról visszapattanó levegő tömege – a 2. ábra jobb

oldali részére is figyelve – :

𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 = 𝜌 ∙ ℎ ∙ 𝐴 ; ( 11 )

ámde:

ℎ = 𝑐 ∙ 𝑡 ∙ cos 𝑖 , ( 12 )

így a t idő alatt a vitorlának ütköző légtömeg ( 11 ) és ( 12 ) szerint:

𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝑡 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝐴 . ( 13 )

Most ( 13 ) - ból: 𝑚

𝑡= 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝐴 ; ( 14 )

majd ( 10 ) és ( 14 ) - gyel:

𝐹 = 2 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝐴 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ cos2 𝑖 , tehát:

4

𝐹 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ cos2 𝑖 . ( 15 )

Most az ( 1 ) ábráról:

𝑖 = 90° + 𝛽 − 𝛼 = 90° − 𝛼 − 𝛽 ; ( 16 )

ekkor ( 16 ) - tal:

cos 𝑖 = cos 90° − 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 − 𝛽 → cos2 𝑖 = sin2 𝛼 − 𝛽 , ( 17 )

ezért ( 15 ) és ( 17 ) - tel:

𝐹 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 . ( 18 )

Végül ( 2 ) és ( 18 ) - cal:

𝐹1 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 . ( 19 )

Ez eltér az előző dolgozatbeli

𝑆 𝛽 = 𝑅 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ sin𝛽 ( * )

alakú képlettől, ha az R = konst. feltevéssel élünk.

Nem feledkezünk meg az 1. ábrabeli,

𝐹2 = 𝐹 ∙ cos𝛽 ( 20 )

nagyságú erőkomponensről sem; ez a hajó hosszirányához és a v sebességhez képest

oldalra / jobbra igyekszik eltolni a hajótestet, a víz ellenállását legyőzve, illetve azzal

egyensúlyban maradva.

Most [ 1 ] és [ 2 ] - re is figyelve megvizsgáljuk a ( 19 ) képletet.

Ebből kiolvasható, hogy az

𝐹1 = 𝑘 ∙ sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 , 𝑘 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 > 0 ( 21 )

függvény lényegében α - tól és β - tól függ. Nézzük meg, hogy milyen összefüggésben

állnak ezek a változók, amikor az F1 erőnagyság maximális lesz! Másképpen mondva:

adott α szélirány esetén mekkora β szögre állítsuk a vitorla síkját a hajó hossztengelyéhez

képest, hogy a hajtóerő nagysága a lehető legnagyobb legyen?

Ehhez F1 szélsőértékét keressük. Ennek szükséges feltétele:

5

𝑑𝐹1

𝑑𝛽= 0. ( 22 )

Elvégezve a kijelölt differenciálást: 𝑑𝐹1

𝑑𝛽= 𝑘 ∙ cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 + sin𝛽 ∙2 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 ∙ −1 =

= 𝑘 ∙ cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 , tehát: 𝑑𝐹1

𝑑𝛽= 𝑘 ∙ cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 ; ( 23 )

majd ( 21 / 2 ), ( 22 ) és ( 23 ) - mal:

cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 = 0 ,

sin 𝛼 − 𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 = 0 ; ( 24 )

sin 𝛼 − 𝛽 ≠ 0 általában, így ( 25 / 1 )

( 24 ) és ( 25 / 1 ) - gyel:

sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 = 0 ; ( 25 / 2 )

cos 𝛼 − 𝛽 ≠ 0 általában, így ( 25 / 3 )

( 25 / 2 ) és ( 25 / 3 ) - mal:

tg 𝛼 − 𝛽 = 2 ∙ tg𝛽 ; ( 26 )

egy trigonometriai azonossággal ( 26 ) - ból: tg 𝛼−tg 𝛽

1+tg 𝛼∙tg 𝛽= 2 ∙ tg𝛽 → tg𝛼 − tg𝛽 = 2 ∙ tg𝛽 + 2 ∙ tg𝛼 ∙ tg2 𝛽 ,

2 ∙ tg𝛼 ∙ tg2 𝛽 + 3 ∙ tg𝛽 − tg𝛼 = 0 ; ( 27 )

a ( 27 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva:

tg𝛽𝑜𝑝𝑡 1,2 =−3± 9−4∙2∙tg 𝛼∙ − tg 𝛼

2∙2 ∙tg 𝛼=

−3± 9+8∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼 , tehát:

tg𝛽𝑜𝑝𝑡 1 =−3+ 9+8∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼 → 𝛽𝑜𝑝𝑡 1 = arctg

−3+ 9+8∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼 , ( 28 / 1 )

tg𝛽𝑜𝑝𝑡 2 =−3− 9+8∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼 → 𝛽𝑜𝑝𝑡 2 = arctg

−3− 9+8∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼 . ( 28 / 2 )

A ( 28 ) függvényeket a 3. ábrán mutatjuk meg. Itt feltüntettük a β = α / 2 és a β = α / 3

egyeneseket is. Látjuk, hogy βopt = α / 2 csak α = 0º és α = 180º - nál teljesül pontosan.

Továbbá az is látszik, hogy viszonylag kisebb α értékekre: βopt ≈ α / 3.

6

3. ábra

Eszerint a modell szerint más kép rajzolódik ki, mint az előző dolgozatbeliben.

Ugyanis itt a széllel szembeni (α ≈ 0º ) hajózáshoz kedvező a β ≈ α / 3 vitorla - beállítás,

ellentétben a korábbiakban számított β = α / 2 beállítással.

Megjegyzések:

M1. Nézzük meg, hogyan viselkedik a ( 28 / 1 ) képlet kis α értékek esetében!

tg𝛽𝑜𝑝𝑡 1 =−3+ 9+8∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼=

−3+ 9∙ 1+8

9∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼=

−3+3∙ 1+8

9∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼≈

−3+3∙ 1+4

9∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼=

=−3+3+

4

3∙tg 2 𝛼

4 ∙tg 𝛼=

1

3∙ tg𝛼 , vagyis:

tg𝛽𝑜𝑝𝑡 ≈1

3∙ tg𝛼 → 𝛽𝑜𝑝𝑡 ≈

1

3∙ 𝛼 , ( 29 )

ha α „viszonylag kicsiny”. Minthogy az

1 + 𝑥 1/2 ≈ 1 +𝑥

2 ( 30 )

közelítő képlet előbbi alkalmazásánál

7

𝑥 =8

9∙ tg2 𝛼 > 0 , ( 31 )

így [ 3 ] szerint a ( 30 ) közelítés hibahatára 1,0 %, ha

0 < 𝑥 =8

9∙ tg2 𝛼 < 0,328 , ( 32 / 1 )

innen:

tg2 𝛼 < 0,328 ∙9

8= 0,369 → tg𝛼 < 0,369 = 0,6074 → 𝛼 < arctg 0,6074 = 31,27°,

tehát ha:

0° < 𝛼 < 31° . ( 32 / 2 )

Ez jól látszik a 3. ábrán is: α ≈ 30º - nál a pontos és a közelítő függvény görbéi szinte

teljesen egybeesnek, pedig ez már nem is olyan kicsiny szög.

Ennyit a „viszonylag kicsiny” - hez.

M2. Eddig a vitorláshajót hajtó szélerő számításának két modelljével ismerkedtünk meg:

itt, valamint az előző dolgozatban. Már ebből is sejthető, hogy ez még nem a vége.

Sok más, egyre bonyolultabb modell képzelhető el, és ezek bizonyára léteznek is. Ennek

több jelét is láttuk a szakirodalom nézegetése során. Ezek közül az egyik figyelemre méltó

„felkiáltás” az volt, amikor egy szakértő azt mondta, hogy meglepte őt a vitorlás szakiro -

dalomban forgalomban lévő hibás modellek megléte.

Egy másik jelét a sokféleségnek a [ 4 ] munkában találtuk. Itt egyáltalán nem foglalkoznak

a fenti – tolóhatáson alapuló – számítási modellel, hanem azt mondják, hogy a vitorláshajó

működése a Kutta ~ Zsukovszkij effektuson alapul. Eszerint egy henger körüli egyenletes

áramlás és cirkuláció együttes hatására fellép egy a hengerre ható olyan nyomóerő, mely

merőleges a henger körüli egyenletes áramlás irányára – 4. ábra.

4. ábra – forrása: [ 4 ]

A fellépő „nyomóerő” hosszirányú vetülete mozgatja a hajót.

8

M3. Természetesen eljön az idő, amikor majd „rendesen” tanítják a vitorláshajó működé -

sét, nem csak fizikusoknak. Gyanítjuk, hogy mostanság már készülnek ezek a tankönyvek;

meglehet, némelyikkel már találkoztunk is.

M4. A 3. ábrán a kék színű görbeszakasz a ( 28 / 1 ), a piros pedig a ( 28 / 2 ) függvénynek

felel meg.

M5. Az

𝐹1 = 𝑘 ∙ sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 , 𝑘 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 > 0 ( 21 )

képletre nézve mondhatjuk, hogy ha azt akarjuk, hogy a hajó előre haladjon, akkor kell,

hogy az

𝐹1 > 0 ( 21 / 1 )

feltétel teljesüljön. Ehhez kell, hogy a

sin𝛽 > 0 → 0 < 𝛽 < 180° , sin2 𝛼 − 𝛽 > 0 → 𝛽 ≠ 𝛼 . ( 21 / 2 )

feltételek is teljesüljenek. Továbbá a 3. ábra szerinti optimális működés esetén:

𝛽 ≤𝛼

2 , ( 21 / 3 )

így ( 21 / 2 ) és ( 21 / 3 ) szerint oda jutunk, hogy

0 < 𝛽 ≤ 90° , ( 21 / 4 )

mivel az α szögtartományra vehető, hogy

0 ≤ 𝛼 ≤ 180°. ( 21 / 5 )

M6. Most megrajzoljuk a ( 21 ) szerinti

𝑓 𝛽;𝛼 =𝐹1

𝑘= sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 ( 21 / 6 )

függvényt az 𝛼 = 0°; 45°; 90°; 135°; 180° értékekre – 5. ábra.

Látjuk, hogy az első és az utolsó grafikon egybeesik.

Érdemes összehasonlítani a 3. és az 5. ábra szerinti eredményeket.

A 6. ábrán az előbb felsorolt szélirányokat mutatják, a vitorlák ( célszerű ) helyzetével

együtt. Az α ≈ 0º esetet már korábban megbeszéltük.

9

5. ábra

6. ábra – forrása: [ 2 ]

10

M7. Az [ 1 ] műben megemlítik, hogy a modell - mérések eredményei jó egyezésben áll -

nak a számításokkal. Feltéve, hogy a szél nem túlságosan erősen, állandó irányból válto -

zatlan sebességgel fúj. Ekkor ugyanis nem kell a vitorla körüli áramlási viszonyokkal fog -

lakozni – olvashatjuk ugyanott.

[ 1 ] - ben azt is szóba hozzák, hogy a hajón érzékelhető relatív szelet az árbocmerevítő

köteleken elhelyezett ún. széljelző fonalak jelzik. A vitorlák beállításánál ezek iránya a

mérvadó.

[ 1 ] - ből származik az alábbi érdekes gondolat is.

„A nagy tengeri vitorlásversenyek ma már nem csak a résztvevő sportolók versenyei, ha -

nem legalább annyira a háttérben maradó fizikusok, matematikusok, fejlesztőmérnökök

vetélkedői is.”

Ez a jelenség megfigyelhető a Formula 1 - ben is, ahol az egyik „sztártervező” hobbija

– teljesen véletlenül – a hajótervezés. Így megy ez.

M8. Érdemes lehet átnézni az [ 5 ] anyagot is. ( Ebben nincsenek képletek. Jó az nekik? )

Innen vettük a 7. ábrát, ahol az oldairányú csúszást szemléltetik. Ezt a ( 20 ) szerinti

7. ábra – forrása: [ 5 ]

oldalirányú erő okozza. Emiatt a hajó nem pontosan a kormányzott irányban halad.

M9. Megemlítjük még a [ 6 ] munkát is, ahol két vitorláshajós feladatot is találtunk,

megoldva. Az egyik a vitorla működésével foglakozik, végül a szögfelezős szabályhoz jut.

A másik a sebesség számításával foglalkozik.

M10. Akármilyen is a teljesítőképessége az egyszerűsített vitorlás - modelleknek, örülünk,

hogy vannak. Úgy is mondhatjuk, hogy megvan az a viszonyítási alap, amihez képest lehet

még fejlődni: mind a fizikai - matematikai elmélet, mind annak tanítása, illetve közkézre

adása tekintetében. Mint kiderült, nem valami jó az ellátottságunk, e témában sem. Persze,

van a külföldi szakirodalom, stb. Nekünk az a célszerű, ha magyarul és érthetően magya -

rázzák el a nem igazán könnyű elméleteket és azok alkalmazásait.

11

Források:

[ 1 ] – https://arago.elte.hu/sites/default/files/Mindennapok-fizikaja-07.pdf

[ 2 ] –

http://epa.niif.hu/00200/00220/00141/pdf/EPA00220_firka_2016-2017_03_001-006.pdf

http://epa.oszk.hu/00200/00220/00142/pdf/EPA00220_firka_2016-2017_04_001-006.pdf

[ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.

[ 4 ] – Gombás Pál ~ Kisdi Dávid: Bevezetés az elméleti fizikába, 1. kötet

Akadémiai Kiadó, Budapest, 1971.

[ 5 ] – https://docplayer.hu/11368129-Tartalomjegyzek-a-vitorlazas-elmelete-40.html

[ 6 ] – Holics László: Versenyfeladatok

A fizika OKTV feladatai és megoldásai, 1961 - 1995.

Typotex, Budapest, 1995.

Összeállította: Galgóczi Gyula

ny. mérnöktanár

Sződliget, 2019. 12. 04.