metodi di ricostruzione in fisica subnucleare

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Metodi di Metodi di Ricostruzione in Ricostruzione in

fisica Subnuclearefisica SubnucleareCorso di Metodologie Informatiche PerCorso di Metodologie Informatiche Per

la Fisica Nucleare e Subnuclearela Fisica Nucleare e Subnucleare

A.A. 2009/2010A.A. 2009/2010

II Lezione, 9/11/09II Lezione, 9/11/09

S.ArcelliS.Arcelli

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Sommario della scorsa Sommario della scorsa lezionelezione

Concetti introduttivi:Concetti introduttivi:

• Cosa si intende in generale per ricostruzioneCosa si intende in generale per ricostruzione

• Ricostruzione di tracce cariche: track finding Ricostruzione di tracce cariche: track finding e fittinge fitting

• Come si qualifica una procedura di Come si qualifica una procedura di ricostruzione: ricostruzione:

(efficienza, frazione di fakes, qualità della (efficienza, frazione di fakes, qualità della stima dei parametri...)stima dei parametri...)

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In questa lezione:In questa lezione:

• Metodi di riconoscimento di traccia:Metodi di riconoscimento di traccia:

• Metodi Globali → Template Matching, Metodi Globali → Template Matching, MST, MST, Fuzzy Radon & Hough Transform, Fuzzy Radon & Hough Transform, Neural NetworksNeural Networks

• Metodi Locali: il track followingMetodi Locali: il track following

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Fuzzy Radon TransformFuzzy Radon Transform

)( pD

P

p dp)p(D)x()x(

Basato sul fatto che la densità Basato sul fatto che la densità ρρ(x)(x) della della popolazione nel Pattern Space può essere popolazione nel Pattern Space può essere espressa come il seguente integrale:espressa come il seguente integrale:

Densità di popolazione nel Feature Space,(delta- functions in corrispondenza dei parametri p della traccia)

)x(p

Funzione di “risposta” nel Pattern Space (x) per una traccia descritta da un set p di parametri (equazioni del moto + risoluzione)

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)tan,x(:)tan,x(D

0

0

retta) una di (equazione:)z,x()tan,x( 0

)tan,( 0 xD

Ovvero:Ovvero:

0

),( zx

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Il metodo consiste nel calcolare la Il metodo consiste nel calcolare la trasformazione inversa, che fornisce la densità trasformazione inversa, che fornisce la densità di popolazione nello spazio delle Feature, in di popolazione nello spazio delle Feature, in base alla densità osservata nel pattern base alla densità osservata nel pattern space e al modello di traccia+ evenuali effetti space e al modello di traccia+ evenuali effetti di risoluzione, che fissano di risoluzione, che fissano


ρ(x)

X

p dx)x()x()p(D~

)x(p

= Fuzzy Radon Transform

Ci si aspetta che i candidati di traccia generino nello spazio delle Feature dei massimi locali nella trasformata.

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dkxy ii

Esempio: una traccia in un semplice sistema di tracking con 10 layer equidistanti, in assenza di campo magnetico:

x

y

y0

La generica retta che passa dal punto misurato (xi,yi) è scrivibile come:

Questa è una retta nello spazio dei parametri (k,d)=(tan,y0), le Feature che descrivono le possibili tracce nel rivelatore, con:

i

ixy Ordinata all’origine

Coefficiente angolare

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e)risoluzion di effetti (yxtany :)y,x( 0p

Ogni punto misurato dà origine ad una retta nello spazio delle Features. Se i punti misurati appartengono ad una stessa traccia (sono collineari), le corrispondenti rette nello spazio (k,d) si incontreranno in un punto. Si ha un massimo nella Fuzzy Radon Transform:

)tan,y(D~

0

esempio di una traccia dritta (B=0):

y0

tan

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Fuzzy Radon TransformFuzzy Radon TransformTre tracce dritte (B=0) nel sistema di tracking:

Massimi ancora ben distinguibili, ma sviluppo di massimi locali... occorre rifinire il criterio di selezione dei picchi.

tany0

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Fuzzy RadonTransform-Fuzzy RadonTransform-(parametrizzazione (parametrizzazione

alternativa)alternativa)

sinycosxr

Parametrizzazione alternativa dell’equazione della retta, per evitare valori divergenti per angoli prossimi a 90°:

• r=distanza minima tra origine e retta=angolo polare del vettore origine-punto di minima distanza

x

y

r

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Fuzzy Radon TransformFuzzy Radon TransformApplicazioni anche a situazioni più complesse: due tracce molto vicine, in rivelatore a geometria cilindrica e campo magnetico assiale (piccola differenza in impulso, stesso punto di produzione)

Tracce ancora facilmente distinguibili nello spazio (,), se l’effetto di risoluzione è adeguatamente descritto (qui legato alla curvatura della traccia, angolo azimutale di produzione, angolo polare della traccia, =risoluzione rivelatore)

J. Blom et al, “A fuzzy Radon Transform for track Recognition”, Proc. CHEP 94, San Francisco)

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Hough TransformHough Transform Caso “semplificato” della Fuzzy Radon Transform in cui non si tiene conto esplicitamente degli effetti di risoluzione. Molto più popolare...Utilizzato per la prima volta in esperimenti in Camere a Bolle (Hough, 1959).

La ricerca di massimi nella distribuzione trasformata nel Feature space si fa analizzando istogrammi (dati binnati). Ogni punto misurato incrementa una serie di celle nell’istogramma sullo spazio dei parametri (la scelta del binning e del “range” dell’istogramma deve essere fatta secondo criteri appropriati...).

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Hough Transform-Hough Transform-EsempioEsempio

2222 yx

y'y,

yx

x'x

Tracce cariche in un sistema di tracciamento Tracce cariche in un sistema di tracciamento nella proiezione nella proiezione trasversa xy, campo magnetico uniforme lungo z trasversa xy, campo magnetico uniforme lungo z (traiettorie=archi di circonferenza passanti per (traiettorie=archi di circonferenza passanti per l’origine, l’origine, tracce primarietracce primarie ) ) Applicando la trasformazione:

E tenendo presente che le tracce sono archi di circonferenza:

2c

2c

2 )yy()xx(R

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Hough Transform-Hough Transform-spazio trasformatospazio trasformato

P1

y1

y21

'xyx

'y

c

cc

c

Si ottengono delle rette:

N.B. quanto minore è l’impulso,tanto meno le tracce trasformate puntano verso la nuova origine

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En

trie

s Larghezza dei picchi dipende dalla risoluzione e dall’impulso

Tracce di basso momento più difficilmente individuabili

Analisi della distribuzione in angolo nello Analisi della distribuzione in angolo nello spazio trasformato spazio trasformato (1-D Hough Transform)(1-D Hough Transform)

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)sin(R2r

Equazioni parametriche dei punti misurati (x,y)(r,):

Archi di cerchio descritti in termini dei parametri(1/R,):

1/R

Istogramma 2D:

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Hough TransformHough Transform In questo modo (versione “2-D”), si riesce a recuperare la In questo modo (versione “2-D”), si riesce a recuperare la

sensibilità a tracce di basso momento, utilizzando anche sensibilità a tracce di basso momento, utilizzando anche l’informazione del “parametro d’ impatto” nelle l’informazione del “parametro d’ impatto” nelle coordinate trasformate coordinate trasformate

Stima dell’impulso della traccia, che, ad esempio, mi dà Stima dell’impulso della traccia, che, ad esempio, mi dà l’informazione se nell’evento sono state prodotte tracce di l’informazione se nell’evento sono state prodotte tracce di alta energia (algoritmi di High Level Trigger). alta energia (algoritmi di High Level Trigger).

E’ spesso usato per avere un metodo di track finding veloce, efficace nel discriminare sul fondo e non troppo sensibile ad inefficienze, ma con richieste di precisione non stringenti sulla stima dei parametri di traccia. Utilizzato in HLT (as es. ALICE), come seed finder per procedure di tracking locale (OPERA, HERA-B,...) .

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Hough TransformHough Transform Se la ricognizione di traccia deve essere in 3D nel Se la ricognizione di traccia deve essere in 3D nel

pattern space (xyz), perchè la granularità del pattern space (xyz), perchè la granularità del rivelatore non è sufficiente per la separazione in una rivelatore non è sufficiente per la separazione in una proiezione 2D, si puo’ segmentare la ricerca in proiezione 2D, si puo’ segmentare la ricerca in intervalli dell’altra proiezione (ad es, ricerca in xy in intervalli dell’altra proiezione (ad es, ricerca in xy in diversi intervalli dell’ angolo polare lungo z)diversi intervalli dell’ angolo polare lungo z)

Possibile l’analisi anche con più parametri, ma la Possibile l’analisi anche con più parametri, ma la individuazione dei massimi diventa sempre più individuazione dei massimi diventa sempre più complessa. Di solito ci si limita a 2-D nel Feature complessa. Di solito ci si limita a 2-D nel Feature SpaceSpace

Tempo di elaborazione: dipende dal numero di misure, Tempo di elaborazione: dipende dal numero di misure, dalla dimensionalità del feature space, dal binningdalla dimensionalità del feature space, dal binning

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Neural Networks Neural Networks Techniques:Techniques:

NN: modellizzazione matematica ispirata alle NN: modellizzazione matematica ispirata alle connessioni e allaconnessioni e alla

funzionalità dei neuroni in sistemi biologici. Concetti funzionalità dei neuroni in sistemi biologici. Concetti di base:di base:

I nodi, I nodi, artificial neuronsartificial neurons Le connessioni,Le connessioni, relazioni tra in nodi relazioni tra in nodi Funzione di trasferimentoFunzione di trasferimento, che in base all’input che arriva su , che in base all’input che arriva su

un nodo da tutti gli altri nodi, ne determina l’output un nodo da tutti gli altri nodi, ne determina l’output (elaborazione pesata dell’input+meccanismo di thresholding)(elaborazione pesata dell’input+meccanismo di thresholding)

Applicando un processo di apprendimento su campioni Applicando un processo di apprendimento su campioni di di

riferimento per il training della rete, si determinano i riferimento per il training della rete, si determinano i pesipesi

massimizzando una funzione che caratterizza la qualità massimizzando una funzione che caratterizza la qualità decisionale del meccanismodecisionale del meccanismo

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Neural Networks Neural Networks TechniquesTechniques

Hopfield Network:Hopfield Network: Topologia “fully coupled”, interazioni Topologia “fully coupled”, interazioni simmetrichesimmetriche

Lo stato S del neurone è di due tipi: se il Lo stato S del neurone è di due tipi: se il neurone è attivato, Sneurone è attivato, Sii=1, altrimenti S=1, altrimenti Sii=0. =0.

Funzione di trasferimento:Funzione di trasferimento:

““Energy Function”:Energy Function”:

)sSw(S jjiji

ij

jiij SSw21

E

js= Fattore di sogliaijw= Pesi

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Neural Networks Neural Networks Techniques:Techniques:

Denby-Peterson ModelDenby-Peterson ModelL’idea è di associare un neurone SL’idea è di associare un neurone Sij ij ad ogni ad ogni

possibile possibile connessione tra due hit connessione tra due hit ii e e j j nel rivelatore nel rivelatore

(segmenti di traccia):(segmenti di traccia):

Se il neurone è attivato, SSe il neurone è attivato, Sijij=1, altrimenti S=1, altrimenti Sijij=0. =0. Se SSe Sijij=1, implica che i due hit facciano parte =1, implica che i due hit facciano parte della stessa traccia.della stessa traccia.

Si deve poi definire una interazione fra neuroni, Si deve poi definire una interazione fra neuroni, V, per cui nello stato finale l’energia totale del V, per cui nello stato finale l’energia totale del sistema è minima (solo neuroni che condividono sistema è minima (solo neuroni che condividono un hit possono interagire).un hit possono interagire).V>0 V>0 V<0

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Potenziale di interazione:Potenziale di interazione:

Energy function:Energy function:

update dello stato finchè non si trova un update dello stato finchè non si trova un minimo assoluto minimo assoluto

(diversi algoritmi per la minimizzazione). (diversi algoritmi per la minimizzazione).

Denby-Peterson ModelDenby-Peterson Model

jlij

ijlijlklijijljk dd

cosw ,SSwV

2ij

ikkjij

jlilij

ijklijijljk )NS(

21

)SSSS(21

SSw21

E

djl

dij

ijl j

l

i

C.Peterson, “Track Finding with Neural Networks”, NIM A 279 (1989) 537,)

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Denby-Peterson ModelDenby-Peterson Model

Per costruzione Per costruzione dipende molto poco dadipende molto poco da un definito modello un definito modello di traccia, e trova efficientemente sia tracce dritte che di traccia, e trova efficientemente sia tracce dritte che debolmente curve, che “sparpagliate”. Piuttosto robusta debolmente curve, che “sparpagliate”. Piuttosto robusta rispetto a noise e inefficienze.rispetto a noise e inefficienze.

E’ piuttosto pesante dal punto di vista computazionale, E’ piuttosto pesante dal punto di vista computazionale, tipicamente il tempo di elaborazione va come Ntipicamente il tempo di elaborazione va come N33. Ha scarsa . Ha scarsa efficienza nel separare tracce vicine.efficienza nel separare tracce vicine.

Funziona bene in condizioni di Funziona bene in condizioni di bassa densità di tracciabassa densità di traccia. Ad . Ad esempio, utilizzato per il tracking nella TPC esempio, utilizzato per il tracking nella TPC dell’esperimento ALEPH (al LEP in collisioni edell’esperimento ALEPH (al LEP in collisioni e++ e e--). Ci sono ). Ci sono estensioni (modifica della energy function) che funzionano estensioni (modifica della energy function) che funzionano ragionevolmente anche ad alta densità di traccia (HERA-b) ragionevolmente anche ad alta densità di traccia (HERA-b)

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Metodi di Track Finding Metodi di Track Finding LocaliLocaliI candidati di traccia sono selezionati I candidati di traccia sono selezionati individualmenteindividualmente uno uno

dopodopol’altro (potenziale bias, ma una buona procedura è l’altro (potenziale bias, ma una buona procedura è

indipendenteindipendentedall’ordine in cui vengono elaborati i candidati di dall’ordine in cui vengono elaborati i candidati di

traccia...):traccia...):

Si inizia sulla base di un numero limitato di punti Si inizia sulla base di un numero limitato di punti misurati (misurati (track seedstrack seeds) opportunamente scelti. Si ) opportunamente scelti. Si procede nella ricerca di altri hits da associare al procede nella ricerca di altri hits da associare al candidato di traccia estrapolando (o interpolando), sulla candidato di traccia estrapolando (o interpolando), sulla base di un modello di traccia più o meno rifinito.base di un modello di traccia più o meno rifinito.

Alcuni esempi:Alcuni esempi:

Track FollowingTrack Following Track RoadTrack Road Kalman Filter (metodo di Track Finding/Fitting Kalman Filter (metodo di Track Finding/Fitting

simultaneosimultaneo!)!)

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Track FollowingTrack Following

Metodo di tipo “percettivo”, ottimale in Metodo di tipo “percettivo”, ottimale in condizioni di “prossimità e continuità” dei segnali condizioni di “prossimità e continuità” dei segnali delle tracce nel delle tracce nel

sistema di tracking sistema di tracking

Forte ridondanza nelle misure (condizione di base nel design degli apparati moderni, caratterizzati da granularità e precisioni elevate).

Se ben impostato, più efficiente in termini di velocità dei metodi globali (“localizzazione” della ricerca)

Il track following è ora uno dei metodi di Il track following è ora uno dei metodi di ricognizione di traccia più diffusi ricognizione di traccia più diffusi (essenzialmente nel contesto del Kalman Filter). (essenzialmente nel contesto del Kalman Filter).

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Track FollowingTrack Following

Un metodo di Un metodo di generazione dei seedgenerazione dei seed di traccia, ovvero di traccia, ovvero candidati rudimentali, creati in base a un set limitato candidati rudimentali, creati in base a un set limitato di punti misurati, da cui iniziare il processo di track di punti misurati, da cui iniziare il processo di track findingfinding

Una Una descrizione parametricadescrizione parametrica della traiettoriadella traiettoria che che permetta di estrapolare il candidato traccia da un permetta di estrapolare il candidato traccia da un layer di misura all’altro durante il track followinglayer di misura all’altro durante il track following

Un Un criterio qualitativocriterio qualitativo, secondo cui distinguere , secondo cui distinguere candidaticandidati

di tracce buone da falsi candidati di traccia, ed di tracce buone da falsi candidati di traccia, ed eventualmente interrompere l’elaborazione del eventualmente interrompere l’elaborazione del candidatocandidato

Ingredienti principali:Ingredienti principali:

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Track Following-Generazione Track Following-Generazione dei Seeddei Seed

Devono fornire una prima stima (locale) dei Devono fornire una prima stima (locale) dei parametri (direzione, curvatura) del parametri (direzione, curvatura) del candidato di traccia, non troppo lontana dai candidato di traccia, non troppo lontana dai parametri finaliparametri finali

Deve essere efficiente (se non trovo Deve essere efficiente (se non trovo l’iniziatore posso perdere la traccia); occorre l’iniziatore posso perdere la traccia); occorre tenere un certo livello di ridondanza tenere un certo livello di ridondanza ( considerare la possibilità di hit mancanti, ( considerare la possibilità di hit mancanti, track faults track faults ) )

Non deve essere troppo complessa (deve Non deve essere troppo complessa (deve essere ragionevolmente veloce). essere ragionevolmente veloce).

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Track Following-Generazione Track Following-Generazione dei Seeddei Seed

Seeding in layer viciniSeeding in layer vicini

Seeding in layer distantiSeeding in layer distanti

Diverse filosofie nella costruzione dei seed, che dipendono significativamente dalle condizioni sperimentali (struttura del rivelatore e sue caratteristiche, occupancy, ..). Si cerca di partireda condizioni favorevoli, in regioni “pulite” del rivelatore.

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Track FollowingTrack FollowingSeeding in layer viciniSeeding in layer vicini

•In generale, sui layer più esterni del sistema di tracking, dove la densità di tracce è minore

• Non sempre vero! Dipende da come è fatto il sistema di tracking. Ad esempio, in CMS il seeding usa layer interni (Pixel, precisione O(10μm), alta granularità, occupancy ~10-4) •Rispetto al caso seguente, il braccio di leva nel determinare la direzione è minore, ma ho meno “combinatorio”.

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Track FollowingTrack FollowingSeeding in layer distantiSeeding in layer distanti

•Miglior “braccio di leva”, ma occorre considerare anche gli effetti dello scattering multiplo •Più combinatorio

•Si preferisce il primo approccio, in generale.

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Generazione dei Seed-Generazione dei Seed-considerazioniconsiderazioni

Spesso si utilizza il vincolo del vertice primario (che Spesso si utilizza il vincolo del vertice primario (che aggiunge un punto con grande braccio di leva!)aggiunge un punto con grande braccio di leva!)

Questo può essere Questo può essere inefficiente inefficiente nel ricostruire tracce di nel ricostruire tracce di secondari secondari che vengono da decadimenti. Necessario che vengono da decadimenti. Necessario

complementare con seeding dedicato, se si è complementare con seeding dedicato, se si è interessati a questo tipo di segnali.interessati a questo tipo di segnali.

Il seeding ai layer esterni è invece inefficiente nel Il seeding ai layer esterni è invece inefficiente nel trovare trovare

la particella “genitrice” in un decadimentola particella “genitrice” in un decadimento

IP Seeding

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Generazione dei Seed-Generazione dei Seed-altre considerazionialtre considerazioni

Quanti più punti si utilizzano nel seeding, Quanti più punti si utilizzano nel seeding, tanto più si limita il trasporto di falsi tanto più si limita il trasporto di falsi candidati di traccia. candidati di traccia.

Occorre tenere presente che alcuni canali Occorre tenere presente che alcuni canali nella regione di seeding possono essere nella regione di seeding possono essere inefficienti. Fare la ricerca utilizzando più inefficienti. Fare la ricerca utilizzando più combinazioni di piani.combinazioni di piani.

Compromesso fra velocità e efficienza...Compromesso fra velocità e efficienza...

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Track Following-Track Following-PropagazionePropagazione

Trovati i seed, occorre propagarli attraverso il Trovati i seed, occorre propagarli attraverso il detector.detector.

Necessario un prototipo di Necessario un prototipo di modello di tracciamodello di traccia che permetta diche permetta di

estrapolare, sulla base della stima preliminare estrapolare, sulla base della stima preliminare della direzionedella direzione

data dal seed, il candidato di traccia sul layer data dal seed, il candidato di traccia sul layer di misuradi misura

successivo, con la relativa incertezza.successivo, con la relativa incertezza.

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Track Following-Track Following-PropagazionePropagazione

In generale, Il modello di traccia “definitivo”, utilizzato in fase di track fitting per la stima finale dei parametri di traccia, deve esser il più accurato possibile: parametrizzazione della soluzione delle equazioni del moto di una particella carica e trattazione degli effetti del materiale (MS, perdita di energia)

Nel track following in generale, si utilizzano anche metodi approssimati (semplici rette o parabole utilizzando

l’informazione degli ultimi punti accumulati)

Nel Kalman Filter, anche in questa fase si utilizza il modello “definitivo”

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Track Following-Approcci Track Following-Approcci PossibiliPossibili

“Naive” Track Following:

Nel layer n-simo di propagazione, si associa l’hit più

vicino all’estrapolazione della traiettoria. La propagazione prosegue finché non si trovano più hit.

Sensibile a hit che non appartengono alla traccia, a

rumore ed inefficienze (soprattutto nelle prime fasi della propagazione).

Può essere usato se la densità di traccia lo permette, e se in propagazione ho buona precisione sull’estrapolazione.

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Track Following-Approcci Track Following-Approcci PossibiliPossibili

Combinatorial Track Following:

ad ogni layer si considerano più hit compatibili entro una tolleranza relativamente grande

da questi si genera un “albero” di nuovi candidati di traccia.

la selezione del candidato migliore é fatto in fase finale,

ad esempio con un fit di traccia su ciascun candidato. Metodo molto efficiente, ma molto impegnativo dal punto di vista computazionale

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Track Following-ArbitrationTrack Following-Arbitration

Si limita il numero di candidati ad un numero massimo

Possibilità di un certo numero di hits mancanti (“track faults”), consecutivi o totali

Quali candidati scegliere, si decide in base alla qualità della traccia ((numero di faults, numero di hit già accumulati, 2 ))

Arbitration: criteri usati per trovare un compromesso tra i due tipi “estremi” di track following. Ad ogni step di propagazione, si consente la creazione di candidati multipli come nel combinatorial track finding: tuttavia, i candidati traccia sono fatti evolvere in parallelo, e ad ogni step:

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Track Following-Track Following-ArbitrationArbitration

Seed T1

Candidato accettato

Candidati

Eliminati

Nmaxfaults=1,

Nmaxcand=3

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Track RoadTrack Road

Utilizzando hits agli estremi della traccia (e un Utilizzando hits agli estremi della traccia (e un punto intermedio centrale per tracce curve), si punto intermedio centrale per tracce curve), si definisce la “strada” entro una certa tolleranza, definisce la “strada” entro una certa tolleranza, assumendo un modello di traccia (rette o eliche). assumendo un modello di traccia (rette o eliche). Gli hit compatibili con la track road sono associati.Gli hit compatibili con la track road sono associati.

Più lento del Track Following (più combinatorio), Più lento del Track Following (più combinatorio), ed è utilizzato nel caso di bassa densità di traccia, ed è utilizzato nel caso di bassa densità di traccia, grande distanza fra i piani di misura del rivelatore grande distanza fra i piani di misura del rivelatore e per rivelare tracce con un basso numero di hite per rivelare tracce con un basso numero di hit. .

Basato sull’ interpolazione piuttosto che sull’ estrapolazione:Basato sull’ interpolazione piuttosto che sull’ estrapolazione:

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