método de newton raphson metodos numericos

Método de Newton-Raphson

Clase 6

14-Febrero-2015

Método de Newton Raphson

• Este método es uno de los mas ampliamente usados en la búsqueda de

raíces de ecuaciones. Según se puede ver en la figura 1

Figura 1. Método de

Newton Raphson


• Si se parte de un valor inicial 𝑥𝑖, que no se encuentre alejado de la raíz, al

trazar una tangente al punto 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖 y extrapolarla hasta su intersección

con el eje 𝑥, el punto donde esta tangente cruza al eje 𝑥, 𝑥𝑖+1 representa una

aproximación mejorada de la raíz.


• La ecuación de la recta tangente que pasas por el punto 𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖) y cuya pendiente es

𝑓′(𝑥𝑖) es:

• 𝑦 − 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓′ 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 ………(𝐴)

• Al sustituir en esta ecuación el punto de intersección de la recta tangente el eje 𝑥, 𝑥𝑖+1, 0 ,

se tiene:

• 0 − 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓′ 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 …………(𝐵)


• Donde:

• 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −𝑓 𝑥𝑖

𝑓′ 𝑥𝑖………… . (1)


• La ecuación es la expresión conocida como ecuación predictor de Newton-Raphson.

• Algoritmo

1. Introducir la ecuación a resolver 𝑓(𝑥).

2. Introducir la derivada de la función a resolver 𝑓′(𝑥)

3. Introducir el máximo numero de iteraciones 𝑁𝑚á𝑥

4. Introducir valor máximo error porcentual aproximado 𝑇𝑚á𝑥


• La ecuación es la expresión conocida como ecuación predictor de Newton-Raphson.

• Algoritmo

5. Seleccionar una aproximación inicial cercana a la raíz 𝑥𝑖

6. Inicializar el contador el contador 𝑖 = 1

7. Mientras que 𝑖 ≤ 𝑁𝑚á𝑥 continuar con los pasos 8 al 11.

8. Calcular la siguiente aproximación a la raíz mediante la ecuación (1)

Método de Newton Raphson• La ecuación es la expresión conocida como ecuación predictor de Newton-Raphson.

• Algoritmo

9. Calcular el error porcentual aproximado con la ecuación

𝑒𝑝 =𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖𝑥𝑖+1

∗ 100

10. Verificar que se cumpla la condición 𝑒𝑝 ≤ 𝑇𝑚á𝑥. Si se cumple, entonces se ha encontrado la

aproximación final, ir al paso 13, de lo contrario continuar.


11.Hacer 𝑖 = 𝑖 + 1

12.Verificar si se cumple la condición 𝑖 ≤ 𝑁𝑚á𝑥. Si después de 𝑁𝑚𝑎𝑥 iteraciones no se

ha cumplido que 𝑒𝑝 ≤ 𝑇𝑚á𝑥, el método ha fracasado. Terminar la ejecución del

algoritmo.

13.Imprimir los resultados

Ejemplo

• Obtener la raíz real negativa de la ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑥

2= 0

Solución

• Para iniciar la solución del problema se genera una gráfica de la ecuación, en el

intervalo de valores de la variable "𝑥“ de −2 𝑎 2. Para esto se siguen los pasos

que se muestran en la diapositiva como graficar con Excel, como se muestra en

la figura 2.

Figura 2 Gráfica de laecuación

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) −𝑥

2

Solución

• Para usar la ecuación predictor de Newton-Raphson (2), es necesario obtener la

derivada de la ecuación (1)

• 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 0.5…… . . (2)

Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson mediante el uso de Excel

1. Construir la tabla de la figura 3 para iniciar el método de Newton-Raphson, la

cual tiene diferentes columnas que incluyan valores de: número de iteración

(columna A), aproximación lineal 𝑥𝑖 (columna B), evaluación de la función en

el punto inicial 𝑓(𝑥𝑖) (columna C), evaluación de la derivada de la función

𝑓′(𝑥𝑖) (columna D), calculo de la siguiente aproximación 𝑥𝑖+1 (columna E) y el

porcentaje de error aproximado (columna F).

Figura 3 Tabla parainiciarEl Metodo deNewton Raphson


2. Introducir el valor inicial de la variable 𝑥𝑖 en la celda 𝐵56. En la Figura 2 se muestra la

grafica de la función en el intervalo de valores de "𝑥“ de −2 𝑎 2. Al observar la gráfica,

se puede seleccionar como punto inicial 𝑥𝑖 = −0.8. Introducir la formula de la

evaluación de la función en la celda C56, la formula para evaluar la derivada de la

función (2) en la celda D56 y la ecuación predictoria de Newton Raphson (1).

Finalmente se obtiene una tabla como de la figura 4.

Figura 4 Introducción del valor inicial de lavariable, la evaluación de la función, laderivada de la función y la ecuaciónpredictora de Newton-Raphson


3. Asignar el valor de la celda E56 a la celda B57, ya que en la segunda iteración, el valor

obtenido de 𝑥𝑖+1 de la primera iteración, se convierte en el valor de 𝑥𝑖 para la

segunda iteración. Los demás cálculos se repiten de la misma forma que en la

primera iteración e incluir el calculo del porcentaje de error aproximado. Para

termina la solución del problema se repiten los cálculos a partir de la segunda

iteración. En la figura 5 se muestra una tabla de valores con las iteraciones necesarias

para aproximar la raíz, la cual aparece en la celda E60 remarcada al final de la tabla.

Figura 5 Iteraciones para el calculo de la

raíz de 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑥

2= 0 de

Newton-Raphson.

Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic

1. En la figura 2 se puede observar que existe una raíz cercana a −1, por lo que

este valor puede ser el correspondiente a 𝑥𝑖 para iniciar el proceso.


2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 6 se abre una hoja nueva en el mismo

archivo, y se etiquetan las celdas a emplear al algoritmo. En este caso deberán aparecer:

el porcentaje de error (celda B4), el valor de 𝑥𝑖 (celda B6), y el valor de la raíz (celda B8).

También se etiquetan las columnas de la tabla de resultados que aparecerá con los

siguientes datos: número de iteración (columna A), valor inicial 𝑥𝑖 (columna B), evaluación

de la función en el punto 𝑥𝑖 , 𝑓′(𝑥𝑖) (columna D), calculo de la siguiente aproximación 𝑥𝑖+1

(columna E) y el porcentaje de error aproximado 𝑒𝑝 (columna F).

Figura 6 Inicio de los cálculos de las raíces

de 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑥

2= 0 , por el

método de Newton−Raphson


3. Una vez hecha la tabla de la figura 6 se incrustan dos botones de acuerdo a las

instrucciones anteriormente vistas en ejercicios anteriores, los cuales se

etiquetan con las leyendas: “calcular” y “limpiar”, según se muestra en al

figura 7

Figura 7 Se incrustan los diferentes botonespara el método de Newton-Raphson porVisual Basic.


4. El botón correspondiente a “calcular” tiene el propósito de calcular la raíz y

tiene el siguiente código de programación.

Figura 8 Código Fuente del BotónCalcular


5. El botón correspondiente a “limpiar” tiene el siguiente código de

programación.

Figura 9 Código Fuente del BotónLimpiar


6. La función y la derivada de la función se introducen en el código general de la

siguiente manera:


7. Una vez que se introdujeron los códigos anteriores, se ejecuta el programa

introduciendo el valor inicial sugerido 𝑥𝑖 = −1, según aparece en la figura 10.

La raíz obtenida fue de −0.626790

Figura 10 Calculo de la primera raíz por elMétodo de Newton Raphson con Visual Basic

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