Interferencia en Pelculas delgadas

Segn las leyes de la reflexin y la refraccin, cuando un haz de luz incide sobre la frontera que separa dos medios de ndice de refraccin (n) diferente, una porcin de este haz se refleja en la frontera regresando al medio de donde vena y la otra se refracta hacia el segundo medio. Consideremos el caso de un haz de luz propagndose por el aire (n= 1) y que incide sobre un substrato de vidrio sobre el cual se ha depositado una pelcula de ZnS (n=2.3) (Figura 1). En este caso el haz encontrar tres fronteras diferentes: aire substrato, substrato-pelcula, pelcula-aire. En cada una de ellas habr un parte del haz que se refleje una parte refractada.En el caso de la frontera pelcula-aire, una parte del haz se refractar hacia el aire produciendo haces del tipo 3 representado en la Figura 1 . La parte reflejada hacia la pelcula sufrir una nueva reflexin en la frontera pelcula-substrato y finalmente saldr de la pelcula formando haces del tipo 2.Los haces Una parte del haz se refleja en la frontera aire-substrato y otra se refracta atravesando el substrato y llegando hasta la pelcula.

Substraton=1n=1.5n=2.25ZnS32n=1n=1.5n=2.25ZnS31SubstratoFigura 1: Representacin esquemtica de un sistema conteniendo un substrato grueso(d~1mm) sobre el cual se ha depositado una pelcula delgada cuyo espesor es varios rdenes de magnitud menor que le espesor del substrato.

El haz (2) recorre una distancia 2d mayor que el haz (3) donde (d) es el espesor de la pelcula. Si se trata de una pelcula fina (d no mayor que alguna micras), entonces los haces (2) y (3) son haces coherentes y pueden interferir dando lugar a regiones de interferencia constructiva (mximos de intensidad) y regiones de interferencia destructiva (mnimos de intensidad), como las que se aprecian en la Figura 2.

Figura 2: Espectros de transmitancia de un substrato de vidrio BK7 y de una pelcula de ZnS crecida sobre ese substrato.

Debido a que hay cambio de fase en la frontera pelcula-vidrio la condicin para los mximos de interferencia viene dada por la ecuacin (E1 ):

(E1 )

De forma similar la condicin para los mnimos de interferencia queda establecida por la ecuacin (E2 )) :

(E2 )

Mtodo de SwanepoelConsideremos el caso de una pelcula delgada crecida sobre un substrato tranparente(Figura 1). La pelcula tiene un espesor d y un ndice de refraccin complejo n=n-ik donde n es el ndice de refraccin y k es el coeficiente de extincin, el cual se puede expresar en trminos del coeficiente de absorcin por la ecuacin:(E3 )

El espesor del substrato es varios rdenes de magnitud mayor que el de la pelcula y su ndice de refraccin es s. El sistema est rodeado de aire n0=1. La expresin para la transmitancia de un sistema como este, tomando en cuenta las mltiples reflexiones que acontecen en las diferentes interfaces del sistema viene dada por la expresin:

dnde: (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(E4 )

Un espectro tpico de transmitancia para este sistema es el presentado en la Figura 2. Utilizando las condiciones de mximo y mnimo de interferencia (ecuaciones (E1 ) y (E2 )), se demuestra que en las longitudes de onda de los extremos del espectro de transmitancia, la funcin toma los valores:, es decir un numero par de veces para las longitudes de onda de mximo de interferencia.y , es decir un nmero impar de veces para las longitudes de onda de mnimo de interferencia. Por tanto la funcin tomar los valores y para las posiciones de mximo y mnimo de interferencia, respectivamente. De manera que de la ecuacin (E4 ) se pueden obtener los valores de la transmitancia para las posiciones de mximo (TM) y de mnimo (Tm) segn la ecuacin:

(E5 )

(E6 )

Estas dos ecuaciones constituyen la base y la esencia misma del mtodo de Swanepoel. Como veremos a continuacin, partir de estas ecuaciones se pueden obtener en forma relativamente fcil todas las dems ecuaciones que permiten el clculo de las constantes pticas de un material a partir de su espectro de transmitancia.En el espectro presentado en la Figura 2 pueden identificarse 4 regiones diferentes que caracterizan el comportamiento de la transmitancia en funcin de la longitud de onda: La regin transparente, la regin de absorcin dbil, la regin de absorcin media y la regin de absorcin fuerte.

La regin transparenteEn esta regin la pelcula no absorbe y los mximos de interferencia coinciden con la transmitancia del substrato Ts. Si no hay absorcin entonces el coeficiente de absorcin es cero , y por tanto la transmitancia . Substituyendo la ecuacin (E4 ) en la (E5 ) se tiene: (E6 )

Similarmente, substituyendo la ecuacin (E4 ) en la (E6 ) se tiene:

donde

(E8 )

Swanepoel plantea un clculo directo que resuelva las constantes pticas a partir del espectro de transmitancia de la pelcula delgada descrita en la ecuacin Error! No se encuentra el origen de la referencia.)Error! No se encuentra el origen de la referencia..

El sustrato es considerado transparente y su transmitancia Ts () se define por la ecuacin Error! No se encuentra el origen de la referencia. :

(E5 )

Ahora se despeja el ndice de refraccin del sustrato s() y se tiene:

Pero el espectro de transmisin del sistema pelcula-sustrato no resuelve por si solos los parmetros n( ), ( ) y d desconocidos. Esto se aprecia en la ecuacin (6) , donde () es la transmitancia medida y T (, n, , d) su correspondiente expresin analtica.

() - T (, n, , d) = 0

Se necesitan dos ecuaciones ms para completar el sistema de ecuaciones que resuelva todos los parmetros desconocidos. Swanepoel completa el sistema con la ecuacin de la envolvente mxima (Ec. 5a) y mnima (Ec. 5b). Los valores () y () son medidas virtuales que se obtienen construyendo las envolventes del espectro para cada longitud de onda. Las envolventes son construidas mediante interpolacin de los puntos de las franjas de interferencia

(E5 )

(E6 )

Swanepoel divide el espectro de transmitancia en tres regiones; transparente, dbil y meda de absorcin fuerte. En cada una de ellas calcula las constantes pticas como se describe a continuacin.

Espectro de transmisin simulado con los parmetros de la tabla Acompaan la grfica las curvas envolventes () y () y la curva de transmitancia libre de interferencia ().Regin transparenteSe caracterizan porque en ella el coeficiente de absorcin es prcticamente nulo, entonces y x = 0. Las envolventes de esta regin se expresan

En esta regin, los mximos de las franjas de interferencia coinciden con los valores de (). As lo indica la equivalencia entre las ecuaciones (2) y (7.a)De la ecuacin (7.b) se despeja el ndice de refraccin de la pelcula en funcin de s () y Tm(), obtenindose:

M= 2s/Tm (s2 + 1)/2

N = [ M + (M2 s2)1/2](1)

Regin de absorcin dbil y mediaEn esta regin el coeficiente de absorcin ya no es despreciable 0 y x < 1.Swanepoel propone un artificio para deshacerse de la absorbancia x (): sustraer las inversas de las envolventes mnima y mxima segn la ecuacin .(2)

De la ecuacin (9) se calcula el ndice de refraccin de la pelcula:

V=N = [ V + () 1/2]

El espesor tambin se calcula a partir de las franjas de interferencia. Para esto se usa la ecuacin (11) para mximos para mnimos (11)Entre dos mximos (o mnimos) adyacentes con ndices n1 y n2 y longitud de onda 1 y 2 respectivamente, el espesor tiene la siguiente expresin:d= (12)Sin embargo la ecuacin (12) es sensible a errores en el ndice de refraccin. Por esta razn Swanepoel corrige el clculo de espesor usando un mtodo grfico. Este mtodo consiste en graficar los puntos versus (ver ecuacin 13). La grfica se aproxima a una recta con pendiente igual a 2d y corta el eje en el punto m1. = 2d (n/) m1 (13)

La absorbancia x(se despeja de la forma cuadrtica de las expresiones de las envolventes (, la curva que pasa por puntos inflexin (o la curva de transmitancia sin interferencias (.

Algunas fallas del mtodo de Swanepoel[[endnoteRef:2]] [2: [] D. Poelman and P. F. Smet, Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review, J. Phys. D: Appl. Phys. 36 (2003) 18501857]

There is no right way to construct the envelopes betweeninterference extremes. Usually, they are constructed usingparabolic interpolation, but this is in fact an arbitrarychoice.The envelopes should ideally be constructed from thetangent points touching the transmission curve, not fromthe interference extremes: it is easy to see that, especiallyin a region where the transmission is changing fast,connecting the extremes will yield TM() and Tm()curves that are actually too close to each other. Morerecently, efforts have been undertaken to increase theaccuracy of the envelope determination [44, 45]. The method cannot cope with local absorption features ifthe film is not very thick, i.e. if the absorption bands fallin between interference extremes. The accuracy of the method decreases with decreasing filmthickness, since at lower film thickness, the interferenceextremes are spaced further apart and interpolationbetween these extremes becomes more difficult. The method fails if the absorption in the film is so high thatinterference fringes are not visible and TM() and Tm()curves coincide. In its original form [41], the method thenreduces to a Cauchy dispersion relation fit.

Clculo de las constantes pticas

Para el clculo de las constantes pticas de un material a partir de su espectro de transmitancia utilizando el mtodo de Swanepoel lo primero que se deber de hacer es identificar las posiciones de mximo y mnimo de interferencia en el espectro de transmitancia tal como se muestra en la Figura 3(a). En este trabajo la identificacin se realiz de forma manual, utilizando el programa Origin.Una vez identificados esos valores, el siguiente paso es ajustar una funcin TM que pase por todos los puntos de mximo y una funcin Tm que pase por todos los puntos de mnimo. A sugerencia del propio Swanepoel [[endnoteRef:3]] este ajuste debe ser realizado utilizando una funcin cuadrtica(polinomio de segundo orden), sin embargo en ocasiones puede ser necesario utilizar un polinomio de orden superior para conseguir que las funciones TM y Tm se ajusten mejor la data experimental. [3: [] R Swanepoel, Determination of the thickness and optical constants of amorphous silicon, J. Phys. E: Sci. Instrum., Vol 16 (1983) 1214-1222. ]

Una vez conocidas las funciones TM y Tm es posible determinar una primera aproximacin del ndice de refraccin del material (n0) utilizando la ecuacin (10). Es importante mencionar que en esta ecuacin, los valores de TM y Tm para el clculo del ndice de refraccin debern ser tomados para un mismo valor de longitud de onda.

La calidad de este ajuste depende de varios factores: el nmero de mximos y mnimos que tenga el espectro de transmitancia, la precisin con que se haya medido el espectro; la calidad de la pelcula fabricada entre otros. El ajuste va a influir directamente en la precisin con que se determinen las constantes pticas del material.En la prctica existen otros factores que influyen en la calidad del ajuste. El hecho de tomar valores de mximo o mnimo que estn en la regin de fuerte absorcin puede resultar en un mal ajuste a la data experimental

Figura 3: Espectros de trasnmitancia de muestra de ZnS. (a) En el espectro de la muestra, se identificaron las longitudes de onda de mximo(puntos en rojo) y mnimo(puntos en azul) de transmitancia. A esos puntos les fue ajustada una funcin TM(linea roja continua) y Tm(linea azul continua) para el caso de los mximos y los mnimos, respectivamente. (b) una vez conocida la funciones TM posible evaluarla en las longitudes de onda donde hay MINIMO. Similarmente, una vez conocida la funcin Tm es posible evaluarla en las longitudes de onda donde hay MAXIMO. De esta forma se consigue un mayor nmero de pares (TM,Tm) donde se pueda calcular n0.

Una vez realizado un ajuste a los puntos de mximo(TM) y de mnimo (Tm), se dispone de la ecuacin algebraica de las funcin que mejor describe esos valores. Para el caso de la muestra presentada en el ejemplo las funciones tienen la forma:

y los parmetros de ajuste P, se encuentran reportados en la Tabla 1.Tabla 1: Parmetros de ajuste para la funcin Tm y TmParmetro(P)valorError estndarPPP[%]

P00.525390.08649

P1535.1710296.78577

P2-188158.1893026031.81814

R20.99998

P30.576280.02914

P4190.3978936.37099

P5-84499.2113810.761

R20.999993

Como resultado del ajuste se dispone de las funciones TM y Tm de manera que se puede obtener su valor para cualquier longitud de onda. Como ya fue mencionado para el clculo de n0 se necesitan pares de (TM,Tm) evaluados en la misma longitud e onda, para lo cual se evala la funcin TM para las longitudes de onda donde hay MINIMO de interferencia y la funcin Tm para las longitudes de onda donde hay MAXIMOS de interferencia. De esta forma se duplican las posiciones d mximos y mnimos con las cuales podr ser calculado el ndice de refraccin.Conocido el ndice de refraccin y utilizando la condicin para dos mximos(o dos mnimos) consecutivos, es posible determinar una primera aproximacin del espesor de la pelcula (d0) mediante la relacin (12).Finalmente, utilizando los valores de n0 y el valor medio de d0, es posible calcular el nmero de orden (m0) de cada uno de los mximos o mnimos de interferencia presentes en el espectro mediante la ecuacin (11).Los valores de m0 pueden ser redondeados a los valores enteros o semi-enteros ms prximos segn el caso y con esto repetir el clculo de n y d. De esta forma cada nuevo clculo(iteracin) que se realice dar valores de n y d ms prximos al valor real.

A partir de la ecuacin de los mximos y los mnimos se puede encontrar una relacin que describa tanto las posiciones de mximo como de mnimo

Donde l es un nmero entero que puede variar a partir de cero y el valor m1 es el numero del la primer posicin de interferencia (mximo o mnimo) que se considere en el espectro de transmitancia. Re-arreglando la ecuacin se obtiene:

que es la ecuacin de una lnea recta con pendiente 2d y cuyo intercepto es -m1, es decir el nmero de orden del primer mximo o mnimo que se considere para el ajuste de las funciones TM y Tm. De manera que graficando vs ; obtendremos una lnea recta de con la cual podemos encontrar de forma directa el espesor de la pelcula y los nmeros de orden de los mximos y mnimos de interferencia. Es importante mencionar que el valor de m1 se obtendr redondeando el intercepto de la recta vs al valor entero (1,2,3,...) o semientero (1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ...) ms prximo al valor del primer mximo o mnimo que se utilice para los clculos.

Tabla:

(nm)TMTmn0d0(nm)m0n1d1(nm)m1

416.85430.72460.539952.40025576.321936.076932.37248527.11156

442.17010.777730.573882.37948531.90275.679432.30685527.11155.5

480.64790.829150.609062.35058525.838185.161312.27963527.11155

523.45260.861940.633842.32484512.872624.687342.23438527.11154.5

583.35360.885620.654472.29817511.508134.157782.2134527.11154

656.52490.898340.668212.27581507.71823.658452.17965527.11153.5

761.57410.904970.678082.25584576.321933.126142.16721527.11153

903.26380.907780.684132.241592.61912.142012.5

d0=527.694d1=527.11

Taza de depsito: 4.39 nm/min

Figura 4:

ZnS10a

Esta muestra se midi hasta 3000nm

LamdaTMTmn0d0m0n1d1m1n0/lamdl/2

419.420.719440.538482.3937546.25446.044182.37623529.52565.707115.5

446.620.772890.57612.35912542.47915.594092.31946529.5255.55.282135

485.770.821670.611032.32775550.49655.074792.29346529.52554.791794.5

528.820.853180.63442.30591534.01594.617962.24703529.5254.54.360434

588.660.877170.653392.2861525.60994.112882.22338529.52543.883523.5

662.910.891840.66642.26992520.82913.626362.19084529.5253.53.424133

769.050.901170.676182.25507522.52223.105422.17854529.52532.932242.5

910.580.906130.68252.2438513.4252.609662.14953529.5252.52.464122

1132.420.908770.686162.23692510.14072.092012.13857529.52521.975341.5

1502.160.909260.68592.238641.578292.127621.51.490271

2265.650.906680.679352.254831.0542.1393310.995220.5

Taza deposito: 4.41 nm/min

En ambos casos se ajunt una funcin de Cauchy :

los parmetros de ajuste en cada caso, as como el coeficiente de ajuste (R2)se presentan en la tabla

AStd errorBStd ErrR2

ZnS10

ZnS10a

2