metodología para la propagación y filtración de...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

“METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DE PROPAGACIÓN Y FILTRADO DE ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO ELECTRICISTA

PRESENTAN: HÉCTOR DE JESÚS ALVARADO PERUSQUÍA

JUAN MANUEL RAMÍREZ SÁNCHEZ

ASESORES:

M. EN C. MIGUEL JIMÉNEZ GUZMÁN ING. GUILLERMO BASILIO RODRÍGUEZ

MÉXICO, D.F. 2010

RESUMEN

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RESUMEN Actualmente, la presencia de equipos basados en electrónica de potencia cuya operación es no lineal, instalados en los sistemas eléctricos, ha incrementado la presencia de distorsión en la señal de corriente y/o tensión eléctrica, originando problemas en la calidad de la energía eléctrica. Como una solución a este problema, en esta tesis se desarrolla una metodología para el análisis de propagación y filtrado de armónicos y su implementación el programa Matlab para reducir la distorsión armónica de tensión. En esta tesis se describen las armónicas en los sistemas eléctricos, como son generadas y transmitidas, su interacción con los diferentes elementos del sistema eléctrico y los efectos que producen en ellos. Se describen filtros armónicos como una medida de control de la distorsión armónica en los sistemas eléctricos, explicando su funcionamiento y configuración establecida por normas internacionales y nacionales. En este trabajo se propone una metodología para el análisis y filtrado de sistemas eléctricos contaminados con señales armónicas, haciendo hincapié en el uso de las normas establecidas para el control de la distorsión armónica, además se describe el proceso para el cálculo de los elementos del filtro armónico. Se utilizan como casos de estudio dos ejemplos de sistemas eléctricos del IEEE, y un equivalente del sistema de transmisión de la división sureste de la CFE (Comisión Federal de Electricidad), los cuales son simulados en el software Matlab utilizando la metodología planteada. Se realiza el cálculo e implementación de los filtros armónicos en los nodos necesarios, obteniendo resultados satisfactorios en base a las normas establecidas en este ámbito.

ABSTRACT

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ABSTRACT On this thesis are described harmonics on electrical systems, the way that they are generated and transmitted, the interaction with different elements of electrical system and the effects that harmonics produce on them. Also are described harmonics filters as a control for harmonic distortion on electrical systems, given an explanation how they work and the configuration that is established by international and national standards. On this paper is propose a methodology for analysis and filtering on electrical systems that contain harmonics distortion over the values established by standards, also is described the process of calculation for elements of harmonic filter. As study cases are used two examples of electrical systems from IEEE, and one equivalent transmission system from CFE (Comisión federal de electricidad, México), which are simulated on Matlab software using the proposed methodology. Also is made the calculus and implementation of harmonics filters on nodes where are necessaries, obtaining satisfactory results according to the established standards on this field.

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DEDICATORIA .................................................................................................. i

AGRADECIMIENTOS ..................................................................................... i

RESUMEN ........................................................................................................... i

ABSTRACT ...................................................................................................... iii

ÍNDICE ................................................................................................................ v

ÍNDICE DE TABLAS ...................................................................................... ix

ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................... xi

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ................................................................... 1 1.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 1

1.2 ANTECEDENTES ..................................................................................................... 2

1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................. 3

1.4 OBJETIVOS ................................................................................................................ 3

1.5 JUSTIFICACIÓN ....................................................................................................... 3

1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS .................................................................................. 4

CAPÍTULO 2 ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS .................. 7 2.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 7

2.2 DEFINICIÓN DE ARMÓNICAS ............................................................................ 7

2.3 FUENTES DE DISTORSIÓN ARMÓNICA .......................................................... 9 2.3.1 Cargas no lineales clásicas ................................................................................. 10 2.3.2 Cargas electrónicas de potencia. ....................................................................... 12 2.3.3 Otras cargas no lineales ..................................................................................... 14

2.4 EFECTO DE LAS ARMÓNICAS .......................................................................... 16 2.4.1 Motores de Inducción ........................................................................................ 16 2.4.2 Relevadores de Inducción ................................................................................. 16 2.4.3 Equipo Electrónico ............................................................................................. 18 2.4.4 Equipo de Medición ........................................................................................... 18 2.4.5 Resonancia en Capacitores ................................................................................ 20 2.4.6 Pérdidas I2R ......................................................................................................... 22

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2.5 RESPUESTA DEL SISTEMA A LAS ARMÓNICAS.......................................... 23 2.5.1 Condiciones de Resonancia .............................................................................. 23 2.5.2 Resonancia paralelo ........................................................................................... 23 2.5.3 Resonancia serie .................................................................................................. 25 2.5.4 Razón de Corto-Circuito (SCR) ........................................................................ 26 2.5.5 Trayectoria de las Armónicas ........................................................................... 26

CAPÍTULO 3 PROPAGACIÓN DE ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS ................................................................................................... 31

3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 31

3.2 MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS ...................................................... 32

3.3 ANÁLISIS DE ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS .......................... 32

3.4 EL MÉTODO DE BARRIDO EN FRECUENCIA ............................................... 33

3.5 ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES .............................................................. 34

3.6 LOS MÉTODOS DE FLUJOS DE POTENCIA ARMÓNICA ........................... 35

3.7 EL MÉTODO DE INYECCIÓN DE CORRIENTES ........................................... 35

CAPÍTULO 4 FILTROS ARMÓNICOS ...................................................... 41 4.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 41

4.2 TIPOS DE FILTROS PASIVOS ............................................................................. 41

4.3 FILTRO SINTONIZADO ....................................................................................... 42 4.3.1 Ecuaciones para el diseño del filtro sintonizado ........................................... 44 4.3.2 Puntos de resonancia paralela .......................................................................... 45 4.3.3 Factor de calidad ................................................................................................ 48 4.3.4 Valores recomendados de operación para los componentes del filtro ....... 51

4.3.4.1 Capacitores .................................................................................................. 51 4.3.4.2 Reactor de sintonización ........................................................................... 52

4.3.5 Detección de desbalance .................................................................................... 53 4.3.6 Selección de un filtro y evaluación de desempeño ........................................ 53

4.4 ASPECTOS RELEVANTES A CONSIDERAR EN EL DISEÑO DE FILTROS PASIVOS .............................................................................................................................. 55

4.5 ELIMINACIÓN DE LAS ARMÓNICAS ............................................................. 56 4.5.1 Técnicas para la Mitigación de Armónicas ..................................................... 56 4.5.2 Filtros pasivos ..................................................................................................... 57

4.5.2.1 Filtro Sintonizado ....................................................................................... 58 4.5.3 Corrección del Factor de Potencia en Sistemas con Armónicas .................. 59

4.5.3.1 Consideraciones prácticas en la corrección del factor de potencia ..... 62 4.5.4 Protecciones para los filtros .............................................................................. 62

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CAPÍTULO 5 METODOLOGÍA Y CASOS DE ESTUDIO .................... 65 5.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 65

5.2 METODOLOGÍA .................................................................................................... 66 5.2.1 Información del sistema ..................................................................................... 66

5.2.1.1 Topología ..................................................................................................... 66 5.2.1.2 Parámetros ................................................................................................... 66

5.2.2 Análisis de Flujos de Potencia a frecuencia fundamental. ........................... 67 5.2.3 Análisis de Barrido en Frecuencia en un rango de 0 a 3000 Hz. .................. 67

5.2.3.1 Líneas y transformadores .......................................................................... 67 5.2.3.2 Cargas ........................................................................................................... 67 5.2.3.3 Generadores ................................................................................................. 67 5.2.3.4 Capacitores en derivación ......................................................................... 67

5.2.4 Identificación de fuentes significativas de armónicas (modelado) ............. 68 5.2.5 Análisis de Propagación de Armónicas en la red mediante el Método de Inyección de Corrientes. ................................................................................................ 69 5.2.6 Cálculo de %THD de tensión ............................................................................ 69 5.2.7 Comparación del THD obtenido con los límites establecidos por la norma IEEE-519 1992 [6] para tensiones. Si el %THD de tensión no está dentro norma, diseñar el/los filtro/s armónico/s pasivo/s para atenuar los niveles de distorsión armónica. ....................................................................................................... 69

5.2.7.1 Cálculo de los parámetros del filtro armónico ....................................... 69 5.2.7.2 Cálculo de los parámetros del filtro armónico cuando no se tiene un banco de capacitores. ................................................................................................. 69 5.2.7.3 Cálculo de los parámetros del filtro cuando se tiene un banco de capacitores. .................................................................................................................. 72

5.2.8 Repetir la metodología hasta la reducción del %THD con el establecido en la norma IEEE-519 1992. ................................................................................................ 73 5.2.9 Diagrama de flujo de la metodología empleada. ........................................... 74

5.3 CASO DE ESTUDIO 1: SISTEMA DE PRUEBA DE 6 NODOS DEL IEEE .... 75

5.4 CASO DE ESTUDIO 2: SISTEMA DE PRUEBA DE 16 NODOS DEL IEEE 106

5.5 CASO DE ESTUDIO 3: EQUIVALENTE DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN DE LA DIVISIÓN SURESTE DE LA CFE (COMISIÓN FEDERAL DE ELECTRICIDAD) ....................................................................................................... 148

CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............... 183 6.1 CONCLUSIONES ................................................................................................. 183

6.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS .................................. 184

REFERENCIAS .............................................................................................. 185

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APÉNDICE A SERIES DE FOURIER ........................................................ 187

APÉNDICE B VALORES DE DISTORSIÓN ARMÓNICA RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-519-1992 ......................... 197

APÉNDICE C PARÁMETROS DE CAPACITORES RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-18-2002 ........................... 199

APÉNDICE D CÓDIGO EN MATLAB DE LOS PROGRAMAS UTILIZADOS ................................................................................................. 201

APÉNDICE E GLOSARIO .......................................................................... 237

ÍNDICE DE TABLAS

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ÍNDICE DE TABLAS Capítulo 2

Tabla 2.1 Porcentaje de usuarios y energía facturada en la División Centro Occidente de CFE ...................................................................................................................................... 20 Tabla 2.2 Datos del banco de Capacitores de 60 kVAr, 480 volts .................................... 21 Tabla 2.3 Relación entre las secuencias y las armónicas ................................................... 28 Capítulo 3 Tabla 3.1 Comparación de los métodos de análisis de propagación armónica ............. 39 Capítulo 4 Tabla 4.1 Cantidades relevantes sobre un filtro pasivo sintonizado ............................... 49 Tabla 4.2 Límites máximos recomendados para operación continúa de capacitores en paralelo bajo condiciones de contingencia .......................................................................... 51 Tabla 4.3 Limites para el capacitor ....................................................................................... 62 Capítulo 5 Tabla 5.1 Datos de las líneas .................................................................................................. 75 Tabla 5.2 Datos de cargas ...................................................................................................... 76 Tabla 5.3 Datos de generación .............................................................................................. 76 Tabla 5.4 Elementos en derivación rama RLC en p.u. ....................................................... 76 Tabla 5.5 Corrientes armónicas de las cargas no lineales ................................................. 76 Tabla 5.6 Tensiones Nodales, potencias de generación y demanda ............................... 77 Tabla 5.7 Potencia del sistema .............................................................................................. 77 Tabla 5.8 Corrientes armónicas de las cargas no lineales ................................................. 82 Tabla 5.9 Tensiones nodales armónicas ............................................................................... 84 Tabla 5.10 Distorsión armónica ............................................................................................ 85 Tabla 5.11 Tensiones Nodales, potencias de generación y demanda ............................. 96 Tabla 5.12 Potencia del sistema ............................................................................................ 96 Tabla 5.13 Tensiones nodales armónicas ........................................................................... 103 Tabla 5.14 Distorsión Armónica ......................................................................................... 103 Tabla 5.15 Comparativa del THD ....................................................................................... 105 Tabla 5.16 Datos de líneas .................................................................................................... 107 Tabla 5.17 Datos de transformadores ................................................................................ 107 Tabla 5.18 Datos de cargas .................................................................................................. 107 Tabla 5.19 Datos de generación .......................................................................................... 108 Tabla 5.20 Elementos en derivación ................................................................................... 108 Tabla 5.21 Corriente armónica de la carga no lineal ........................................................ 108 Tabla 5.22 Tensiones Nodales, potencias de generación y demanda ........................... 108 Tabla 5.23 Potencia del sistema .......................................................................................... 109

ÍNDICE DE TABLAS

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Tabla 5.24 Corrientes armónicas de la carga no lineal .................................................... 120 Tabla 5.25 Tensiones nodales armónicas .......................................................................... 122 Tabla 5.26 Distorsión armónica .......................................................................................... 123 Tabla 5.27 Tensiones Nodales, potencias de generación y demanda ........................... 132 Tabla 5.28 Potencia del sistema .......................................................................................... 132 Tabla 5.29 Tensiones nodales armónicas .......................................................................... 144 Tabla 5.30 Distorsión Armónica ......................................................................................... 145 Tabla 5.31 Comparativa de THD ........................................................................................ 147 Tabla 5.32 Datos de las líneas ............................................................................................. 149 Tabla 5.33 Datos de cargas .................................................................................................. 149 Tabla 5.34 Datos de Generación ......................................................................................... 149 Tabla 5.35 Elementos en Derivación .................................................................................. 150 Tabla 5.36 Armónicas Generadas por la carga no lineal ................................................. 150 Tabla 5.37 Tensiones nodales, potencias de generación y demanda ............................ 150 Tabla 5.38 Potencia del sistema .......................................................................................... 151 Tabla 5.39 Corrientes armónicas de la carga no lineal .................................................... 159 Tabla 5.40 Tensiones nodales armónicas .......................................................................... 160 Tabla 5.41 Distorsión armónica .......................................................................................... 161 Tabla 5.42 Tensiones Nodales, potencias de generación y demanda ........................... 170 Tabla 5.43 Potencia del sistema .......................................................................................... 170 Tabla 5.44 Tensiones nodales armónicas .......................................................................... 179 Tabla 5.45 Distorsión Armónica ......................................................................................... 179 Tabla 5.46 Comparativa del THD ...................................................................................... 181 Apéndice B Tabla B1. Limites de distorsión de tensión ....................................................................... 198 Tabla B2. Limites de distorsión de corriente para sistemas de 120 V a 69 kV ............. 198 Tabla B3. Limites de distorsión de corriente para sistemas de 69 001 V a 161 kV ...... 198 Tabla B4. Limites de distorsión de corriente para sistemas mayores a 161 kV ........... 198 Apéndice C Tabla C1 Límites máximos recomendados para operación continúa de capacitores en paralelo bajo condiciones de contingencia ....................................................................... 199 Tabla C2 Tensión y potencia reactiva de capacitores ...................................................... 199 Apéndice E Tabla E1 Secuencia de fases en un sistema balanceado trifásico ................................... 243

ÍNDICE DE FIGURAS

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ÍNDICE DE FIGURAS Capítulo 2 Figura 2.1 Forma de onda original y sus componentes armónicos: 1°,5°,7°,11° ........................ 8 Figura 2.2 Componentes armónicas relativas a la fundamental de la señal de la Fig. 2.1 .......... 8 Figura 2.3 Componentes en el dominio del tiempo y de la frecuencia ......................................... 9 Figura 2.4 Corriente magnetizante para un transformador monofásico de 25 kVA, 12.5kV/240V. THD = 76.1% .................................................................................................... 10 Figura 2.5 Corriente de un refrigerador 120 V THDI=6.3% ................................................... 11 Figura 2.6 Corriente de un aire acondicionado residencial 240 V THDI=10.5% .................... 11 Figura 2.7 Corriente de una lámpara fluorescente de 277 V con balastro magnético THDI=18.5% ............................................................................................................................. 11 Figura 2.8 Convertidor de conmutación de línea trifásico de seis pulsos ................................. 12 Figura 2.9 Convertidor de fuente de tensión de seis pulsos ...................................................... 13 Figura 2.10 Fuente de alimentación de conmutación monofásica y formas de onda de corriente. ................................................................................................................................................... 14 Figura 2.11 Corriente de horno de microondas de 120 V THDI = 31.9% ................................ 15 Figura2.12 Corriente de una aspiradora de 120 V THDI = 25.9% .......................................... 15 Figura 2.13 Corriente de una lámpara fluorescente de 277 V (con balastro electrónico), THDI=11.6% ............................................................................................................................. 15 Figura 2.14 a y b Curvas de tiempo inverso de un relevador 51 de inducción en presencia de armónicas. Relevador Westinghouse y Relevador General Electric 121AC51B806A respectivamente ......................................................................................................................... 17 Figura 2.15 a y b Tensión y corriente de una carga. Caso ideal y caso real respectivamente ... 19 Figura 2.16 Error del watthorímetro de inducción al medir una carga resistiva switcheada por un tiristor a diferentes ángulos de disparo ................................................................................ 19 Figura 2.17 Error en los watthorímetro de inducción debido a la distorsión de corriente. ....... 20 Figura 2.18 a y b Corriente armónica en un banco de capacitores de 60 kVAr, 480 volts ....... 22 Figura 2.19 Circuito resonante paralelo .................................................................................... 23 Figura 2.20 Efecto del sistema a la resonancia paralelo ............................................................ 24 Figura 2.21 Sistema resonante serie .......................................................................................... 25 Figura 2.22 Efecto del sistema a la resonancia serie .................................................................. 26 Figura 2.23 Trayectoria de las armónicas en un sistema inductivo .......................................... 27 Figura 2.24 Efecto de los capacitores en las trayectorias de las armónicas ............................... 27 Figura 2.25 Relación entre las armónicas y las componentes de secuencia .............................. 29 Figura 2.26 Circulación de la tercera armónica por el neutro del transformador ..................... 30 Capítulo 4 Figura 4.1 Diagrama eléctrico de filtros pasivos ....................................................................... 42 Figura 4.2 Respuesta en frecuencia de un filtro armónico sintonizado .................................... 44 Figura 4.3 Puntos resonantes de un filtro RLC serie sintonizado ............................................ 46 Figura 4.4 Respuesta de un filtro armónico para diferentes fuentes de MVAcc. ..................... 47

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Figura 4.5 Cantidades fundamentales que determinan el desempeño de un filtro pasivo sintonizado. ............................................................................................................................... 49 Figura 4.6 Gráfica de impedancia-frecuencia de un filtro armónico para diferentes valores de Q ................................................................................................................................................... 50 Figura 4.7 Filtros pasivos en paralelo con la red ...................................................................... 57 Figura 4.8 Respuesta de un filtro sintonizado .......................................................................... 58 Figura 4.9 Configuración típica de un filtro en baja tensión .................................................... 59 Figura 4.10 Respuesta del sistema al ser utilizado el banco de capacitores como parte del filtro. ................................................................................................................................................... 59 Figura 4.11 Sistema con bajo factor de potencia ....................................................................... 60 Figura 4.12 Factor de potencia compensado con un banco de capacitores ................................ 60 Figura 4.13 Carga con bajo factor de potencia y circulación de corrientes armónicas ............. 61 Figura 4.14 Efecto del capacitor en un sistema contaminado por armónicas ........................... 61 Figura 4.15 Efecto de un filtro utilizado para compensar el factor de potencia ........................ 62 Capítulo 5 Figura 5.1 Red eléctrica del sistema de prueba de 6 nodos del IEEE ........................................ 75 Figura 5.2 circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones armónicas en la red .................................................................................................................... 78 Figura 5.3 Impedancia equivalente en todos los nodos ............................................................. 79 Figura 5.4 Impedancia equivalente en el nodo 1 ....................................................................... 79 Figura 5.5 Impedancia equivalente en el nodo 2 ....................................................................... 80 Figura 5.6 Impedancia equivalente en el nodo 3 ....................................................................... 80 Figura 5.7 Impedancia equivalente en el nodo 4 ....................................................................... 81 Figura 5.8 Impedancia equivalente en el nodo 5 ....................................................................... 81 Figura 5.9 Impedancia equivalente en el nodo 6 ....................................................................... 82 Figura 5.10 Forma de onda de la corriente de la fundidora ...................................................... 83 Figura 5.11 Forma de onda de la corriente del TCR ................................................................. 83 Figura 5.12 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos ..................................................... 86 Figura 5.13 Forma de onda de tensión en el nodo 3 .................................................................. 86 Figura 5.14 Arreglo del filtro armónico instalado en el nodo 3 ................................................ 92 Figura 5.15 Circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones armónicas en la red .................................................................................................................... 97 Figura 5.16 Impedancia equivalente en todos los nodos .......................................................... 98 Figura 5.17 Detalle de la figura 5.16 ........................................................................................ 98 Figura 5.18 Impedancia equivalente en el nodo 1 ..................................................................... 99 Figura 5.19 Impedancia equivalente en el nodo 2 ..................................................................... 99 Figura 5.20 Impedancia equivalente en el nodo 3 ................................................................... 100 Figura 5.21 Detalle de la figura 5.20 ...................................................................................... 100 Figura 5.22 Impedancia equivalente en el nodo 4 ................................................................... 101 Figura 5.23 Impedancia equivalente en el nodo 5 ................................................................... 101 Figura 5.24 Impedancia equivalente en el nodo 6 ................................................................... 102

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Figura 5.25 Detalle de la figura 5.24 ...................................................................................... 102 Figura 5.26 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos ................................................... 104 Figura 5.27 Forma de onda de tensión en el nodo 3 ................................................................ 104 Figura 5.28 Red eléctrica del sistema de prueba de 16 nodos del IEEE .................................. 106 Figura 5.29 circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones armónicas en la red .................................................................................................................. 109 Figura 5.30 Impedancia equivalente en todos los nodos ......................................................... 110 Figura 5.31 Detalle 1 de la Figura 5.30 .................................................................................. 111 Figura 5.32 Detalle 2 de la figura 5.30 ................................................................................... 111 Figura 5.33 Impedancia equivalente en el nodo 1 ................................................................... 112 Figura 5.34 Impedancia equivalente en el nodo 2 ................................................................... 112 Figura 5.35 Impedancia equivalente en el nodo 3 ................................................................... 113 Figura 5.36 Impedancia equivalente en el nodo 4 ................................................................... 113 Figura 5.37 Impedancia equivalente en el nodo 5 ................................................................... 114 Figura 5.38 Impedancia equivalente en el nodo 6 ................................................................... 114 Figura 5.39 Impedancia equivalente en el nodo 7 ................................................................... 115 Figura 5.40 Impedancia equivalente en el nodo 8 ................................................................... 115 Figura 5.41 Impedancia equivalente en el nodo 9 ................................................................... 116 Figura 5.42 Impedancia equivalente en el nodo 10 ................................................................. 116 Figura 5.43 Impedancia equivalente en el nodo 11 ................................................................. 117 Figura 5.44 Impedancia equivalente en el nodo 12 ................................................................. 117 Figura 5.45 Impedancia equivalente en el nodo 13 ................................................................. 118 Figura 5.46 Impedancia equivalente en el nodo 14 ................................................................. 118 Figura 5.47 Impedancia equivalente en el nodo 15 ................................................................. 119 Figura 5.48 Detalle de la figura 5.47 ...................................................................................... 119 Figura 5.49 Impedancia equivalente en el nodo 16 ................................................................. 120 Figura 5.50 Forma de onda de la corriente de la fundidora..................................................... 121 Figura 5.51 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos ................................................... 124 Figura 5.52 Forma de onda de tensión en el nodo 14 .............................................................. 125 Figura 5.53 Arreglo del filtro armónico instalado en el nodo 14 ............................................ 131 Figura 5.54 Circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones armónicas en la red .................................................................................................................. 133 Figura 5.55 Impedancia equivalente en todos los nodos ......................................................... 134 Figura 5.56 Detalle 1 de la Figura 5.55 .................................................................................. 134 Figura 5.57 Detalle 2 de la Figura 5.55 .................................................................................. 135 Figura 5.58 Impedancia equivalente en el nodo 1 ................................................................... 135 Figura 5.59 Impedancia equivalente en el nodo 2 ................................................................... 136 Figura 5.60 Impedancia equivalente en el nodo 3 ................................................................... 136 Figura 5.61 Impedancia equivalente en el nodo 4 ................................................................... 137 Figura 5.62 Impedancia equivalente en el nodo 5 ................................................................... 137 Figura 5.63 Impedancia equivalente en el nodo 6 ................................................................... 138 Figura 5.64 Impedancia equivalente en el nodo 7 ................................................................... 138 Figura 5.65 Impedancia equivalente en el nodo 8 ................................................................... 139

ÍNDICE DE FIGURAS

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Figura 5.66 Impedancia equivalente en el nodo 9 ................................................................... 139 Figura 5.67 Impedancia equivalente en el nodo 10 ................................................................. 140 Figura 5.68 Impedancia equivalente en el nodo 11 ................................................................. 140 Figura 5.69 Impedancia equivalente en el nodo 12 ................................................................. 141 Figura 5.70 Impedancia equivalente en el nodo 13 ................................................................. 141 Figura 5.71 Impedancia equivalente en el nodo 14 ................................................................. 142 Figura 5.72 Detalle de la figura 5.71 ...................................................................................... 142 Figura 5.73 Impedancia equivalente en el nodo 15 ................................................................. 143 Figura 5.74 Detalle de la figura 5.73 ...................................................................................... 143 Figura 5.75 Impedancia equivalente en el nodo 16 ................................................................. 144 Figura 5.76 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos ................................................... 146 Figura 5.77 Forma de onda de tensión en el nodo 14 .............................................................. 147 Figura 5.78 Equivalente del sistema de Transmisión de la División Sureste de la CFE ........ 148 Figura 5.79 circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones armónicas en la red .................................................................................................................. 151 Figura 5.80 Impedancia equivalente en todos los nodos ......................................................... 152 Figura 5.81 Detalle de la figura 5.80 ...................................................................................... 153 Figura 5.82 Impedancia equivalente en el nodo 1 ................................................................... 153 Figura 5.83 Impedancia equivalente en el nodo 2 ................................................................... 154 Figura 5.84 Impedancia equivalente en el nodo 3 ................................................................... 154 Figura 5.85 Impedancia equivalente en el nodo 4 ................................................................... 155 Figura 5.86 Impedancia equivalente en el nodo 5 ................................................................... 155 Figura 5.87 Impedancia equivalente en el nodo 6 ................................................................... 156 Figura 5.88 Impedancia equivalente en el nodo 7 ................................................................... 156 Figura 5.89 Impedancia equivalente en el nodo 8 ................................................................... 157 Figura 5.90 Impedancia equivalente en el nodo 9 ................................................................... 157 Figura 5.91 Impedancia equivalente en el nodo 10 ................................................................. 158 Figura 5.92 Impedancia equivalente en el nodo 11 ................................................................. 158 Figura 5.93 Forma de onda de la corriente de la fundidora .................................................... 159 Figura 5.94 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos ................................................... 162 Figura 5.95 Forma de onda de tensión en el nodo 9 ................................................................ 162 Figura 5.96 Circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones armónicas en la red .................................................................................................................. 170 Figura 5.97 Impedancia equivalente en todos los nodos ........................................................ 171 Figura 5.98 Detalle de la figura 5.97 ...................................................................................... 172 Figura 5.99 Impedancia equivalente en el nodo 1 ................................................................... 172 Figura 5.100 Impedancia equivalente en el nodo 2 ................................................................. 173 Figura 5.101 Impedancia equivalente en el nodo 3 ................................................................. 173 Figura 5.102 Impedancia equivalente en el nodo 4 ................................................................. 174 Figura 5.103 Impedancia equivalente en el nodo 5 ................................................................. 174 Figura 5.104 Detalle de la figura 5.103 .................................................................................. 175 Figura 5.105 Impedancia equivalente en el nodo 6 ................................................................. 175 Figura 5.106 Impedancia equivalente en el nodo 7 ................................................................. 176

ÍNDICE DE FIGURAS

I.P.N. - E.S.I.M.E.-ZACATENCO xv

Figura 5.107 Impedancia equivalente en el nodo 8 ................................................................. 176 Figura 5.108 Impedancia equivalente en el nodo 9 ................................................................. 177 Figura 5.109 Detalle de la figura 5.108 .................................................................................. 177 Figura 5.110 Impedancia equivalente en el nodo 10 ............................................................... 178 Figura 5.111 Impedancia equivalente en el nodo 11 ............................................................... 178 Figura 5.112 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos ................................................. 180 Figura 5.113 Forma de onda de tensión en el nodo 9 .............................................................. 181 Apéndice A Figura A1 Forma de onda de corriente de una computadora, y sus componentes armónicos de orden 1, 3, 5. ............................................................................................................................ 187 Figura A2 Forma polar ............................................................................................................ 189 Figura A3 Forma de onda de la corriente de una PC retrasada en el tiempo .......................... 190 Figura A4 Onda cuadrada....................................................................................................... 192 Figura A5 Onda Triangular ................................................................................................... 192 Figura A6 Media onda rectificada de coseno ........................................................................... 194 Apéndice E Figura E1 Forma de onda fundamental más tercera armónica ............................................... 237

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN

I.P.N. - E.S.I.M.E.-ZACATENCO 1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN Los sistemas eléctricos son diseñados para operar a una frecuencia fundamental de 60 Hz. En cualquier caso, ciertos tipos de cargas producen corrientes y tensiones con frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Estas frecuencias mayores son una forma de contaminación eléctrica conocida como armónicas. Las armónicas no son un fenómeno nuevo. De hecho, un texto publicado por Steinmetz en 1916[1] le presta mucha atención al estudio de las armónicas en los sistemas trifásicos de potencia. La principal preocupación era las corrientes de tercera armónica causadas por la saturación del hierro en transformadores y máquinas eléctricas. Steinmetz fue la primera persona en proponer las conexiones delta para bloquear las corrientes de tercera armónica. Después del importante descubrimiento de Steinmetz, fueron aplicadas mejoras en el diseño de transformadores y maquinas eléctricas, los problemas de armónicas fueron ampliamente resueltos hasta 1930 y 1940. Después con la llegada de la electrificación y telefonía rural, los circuitos de potencia y de telefonía fueron ubicados los derechos de vía comunes. Transformadores y rectificadores en sistemas de potencia produjeron corrientes armónicas que se acoplaban inductivamente en circuitos de telefonía de cable abierto y producían interferencias telefónicas audibles. Estos problemas fueron aliviados gradualmente por medio del filtrado y la minimización de las corrientes magnetizantes de los núcleos de los transformadores. Problemas aislados de interferencia telefónica aún ocurren, pero estos problemas son poco frecuentes debido a que los circuitos de cable abierto telefónicos han sido remplazados por pares trenzados, fibra óptica, cables enterrados, entre otros. Hoy en día, las fuentes más comunes de armónicas son las cargas electrónicas de potencia, como son variadores de velocidad (ASDs adjustable speed drives) y fuentes de energía de conmutación. Las cargas electrónicas usan diodos, SCRs (silicon-controlled rectifier), transistores de potencia, y otros interruptores para cortar la forma de onda o convertir la corriente alterna de 60 Hz a corriente directa. En el caso de los variadores de velocidad, la CD es después convertida en corriente alterna de frecuencia variable para controlar la velocidad de los motores. Ejemplos del uso de variadores de velocidad son los enfriadores y bombas. Las cargas electrónicas de potencia ofrecen grandes ventajas en eficiencia y controlabilidad. En cualquier caso, estas consumen corrientes no senoidales de los



sistemas de energía de CA, y estas corrientes reaccionan con las impedancias del sistema para crear tensiones armónicas y en algunos casos resonancia. Estudios demuestran que los niveles de distorsión armónica en alimentadores de distribución se elevan a medida de que las cargas electrónicas continúan proliferando. A diferencia de los fenómenos transitorios como descargas atmosféricas que duran apenas unos microsegundos, o caídas de tensión que duran milisegundos o unos cuantos ciclos, los armónicos son de estado estable, fenómenos periódicos que producen distorsión continúa de la tensión eléctrica (forma de onda). Estas formas periódicas no senoidales se describen en términos de sus armónicas, cuyas magnitudes y ángulos de fase son calculados mediante el uso del análisis de Series de Fourier. El análisis de Fourier permite descomponer una forma de onda periódica distorsionada en series que contienen sus componentes de CD, frecuencia fundamental (60 Hz), segundo armónico (120 Hz), tercer armónico (180 Hz), y así sucesivamente. Los armónicos individuales se suman para reproducir la forma de onda original. Los armónicos no deben de ser confundidos con interferencia de frecuencias de radio (RFI, radio frequency interference) o interferencia electro-magnética (EMI, electro-magnetic interference). Ordinariamente los componentes de CD no se presentan en sistemas de potencia debido a que la mayoría de las cargas no producen CD y porque los transformadores bloquean el flujo de CD. Las armónicas de orden par son generalmente mucho muy pequeñas en comparación a las armónicas de orden impar debido a que la mayoría de las cargas electrónicas tienen la propiedad de simetría de media onda las cuales no tienen armónicos pares. La corriente consumida por las cargas electrónicas puede ser libre de distorsión (perfectamente senoidal), pero el costo de hacer esto es significativo y es materia de debate entre los fabricantes de equipo eléctrico y las compañías suministradoras del servicio en sus actividades relacionadas con estándares [1]. 1.2 ANTECEDENTES En los últimos años se han estado haciendo considerables esfuerzos para reducir la distorsión armónica en los sistemas eléctricos. Se han establecido normas y recomendaciones para su control, se encuentran disponibles instrumentos para su medición. El área de análisis de armónicas también ha experimentado avances significativos, se han desarrollado modelos más apropiados de los equipos, métodos de simulación y procedimientos de análisis para realizar estudios de armónicas.



Compañías suministradoras de energía eléctrica han analizado la problemática de la propagación de armónicas, llegado a afirmar que son el mayor problema de la calidad de la energía eléctrica que venden [2]. 1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En la actualidad se ha acentuado con mayor severidad los efectos que producen las armónicas sobre los sistemas eléctricos y los dispositivos conectados a este, afectando principalmente a los parámetros de diseño como lo es la frecuencia y la tensión eléctrica, los cuales se ven modificados en la presencia de frecuencias armónicas. El estudio del comportamiento de los sistemas eléctricos hasta hace algún tiempo se ha venido realizando a frecuencia fundamental, dejando a un lado el comportamiento que presenta el sistema en la presencia de armónicas. Si no se realiza una acción para corregir los efectos producidos por la presencia de armónicas, el daño al cual se ven expuestos los dispositivos conectados al sistema se verá incrementado hasta la destrucción del equipo. 1.4 OBJETIVOS

• Desarrollar una metodología para el análisis de propagación y filtrado de armónicas en los nodos de los sistemas eléctricos en los cuales los niveles de distorsión armónica no se encuentran dentro de los valores recomendados en la norma IEEE-519-1992.

• Describir la importancia de las armónicas en los sistemas eléctricos, las fuentes que generan armónicas, los efectos que producen en los equipos, y la respuesta del sistema a las armónicas.

• Implementar el método de inyección de corrientes para el estudio de

propagación de armónicas.

• Diseñar una herramienta para analizar el comportamiento de los filtros pasivos sintonizados en redes eléctricas, mediante su modelado matemático y simulación.

1.5 JUSTIFICACIÓN La implementación de filtros para reducir la distorsión armónica es una buena elección debido a que esto permite reducir los daños ocasionados a los aparatos y a la instalación. El efecto dañino es ocasionado por las condiciones armónicas a las que se encuentran sujetos los dispositivos ya que no fueron diseñados para operar bajo



condiciones de forma de onda no senoidales; lo cual repercute en que el tiempo de vida estimada para los equipos se vea reducido, o pueda llegar a producirse un daño irreversible. La razón por la cual se deben utilizar filtros armónicos radica en mejorar los parámetros de alimentación de energía eléctrica, los cuales deben mantener la frecuencia y la tensión eléctrica constantes para un buen funcionamiento de los equipos instalados. Previo a esta ejecución se debe realizar un análisis que determine el grado de distorsión armónica para determinar si es necesaria la implementación de técnicas que las eliminen o las disminuyan hasta un porcentaje establecido por la norma nacional (CFE L0000-45, “Perturbaciones permisibles en la forma de onda de tensión y corriente del suministro de energía eléctrica”) e internacional (IEEE-519-1992, “Recommended practices and requirements for harmonic control in electrical power systems - Prácticas recomendadas y requerimientos para el control de armónicas en sistemas eléctricos de potencia”). Razón por la cual se propone el uso de filtros armónicos los cuales están formados por capacitores y reactores conectados en serie, en la conexión delta o estrella; estos circuitos proveen una baja impedancia para los armónicos y de esta forma eliminarlos o reducir la distorsión a valores establecidos; además el filtro actúa a la frecuencia fundamental (60 Hz) como un capacitor y produce energía reactiva, funcionando de la misma forma que un banco de capacitores convencional. 1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS CAPÍTULO 2 Se describe a las armónicas en los sistemas eléctricos, se define el término de armónicas, se mencionan las fuentes de distorsión armónica, los efectos de las armónicas, la respuesta del sistema a las armónicas, se describe la resonancia serie y paralela. CAPÍTULO 3 En este capítulo se presenta el análisis de la propagación de armónicas en los sistemas eléctricos, el cual describe el modelado de sistemas eléctricos, el análisis de armónicas en sistemas eléctricos, el método de barrido en frecuencia, el análisis de circuitos lineales, el método de flujos de potencia y el método de inyección de corrientes.



CAPÍTULO 4 Se presenta la teoría de filtros armónicos, haciendo referencias de las normas con las cuales se deben de comparar los límites permitidos de los parámetros para el diseño de los filtros pasivos sintonizados. CAPÍTULO 5 En este capítulo se desarrolla la metodología para el análisis de propagación y filtrado de armónicas en sistemas eléctricos y el procedimiento para el diseño del filtro pasivo sintonizado; además se incluyen los casos de estudio para la aplicación del filtro pasivo sintonizado, utilizando el sistema de prueba de 6 nodos del IEEE, el sistema de prueba de 16 nodos del IEEE y el equivalente del sistema de transmisión de la división sureste de la CFE, mostrando el comportamiento del sistema eléctrico antes y después de la aplicación de los filtros calculados para reducir la distorsión armónica de tensión al nivel establecido en la norma IEEE-519-1992. CAPÍTULO 6 Contiene las conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros que continúen en la misma línea de enfoque o relacionados a esta tesis.

CAPÍTULO 2: ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS


CAPÍTULO 2

2 ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS 2.1 INTRODUCCIÓN Las armónicas en sistemas eléctricos, son funciones senoidales de tensión eléctrica y/o corriente cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia fundamental del sistema, donde su análisis se refiere a un problema en estado estable. En los últimos años los estudios de propagación de armónicas se han convertido en una herramienta importante para el análisis, diseño y regulación de los sistemas de distribución, se usan para cuantificar la distorsión de las formas de onda de tensión y corriente en un sistema eléctrico, y determinar la existencia y/o mitigación de condiciones de resonancia. Para el análisis armónico en redes eléctricas de gran dimensión, es necesario contar con una herramienta computacional la cual se encargue de hacer los análisis de respuesta en frecuencia del sistema y propagación de armónicas. Estos dos análisis son utilizados para conocer las frecuencias de resonancia del sistema y la propagación de las armónicas en la red respectivamente. 2.2 DEFINICIÓN DE ARMÓNICAS Este concepto proviene del teorema de Fourier y define que “bajo ciertas condiciones analíticas, una función periódica cualquiera puede considerarse integrada por una suma de funciones senoidales, incluyendo un término constante en caso de asimetría respecto al eje de las abscisas, siendo la primera armónica denominada también señal fundamental del mismo período y frecuencia que la función original y el resto serán funciones senoidales cuyas frecuencias son múltiplos de la fundamental. Estas componentes son denominadas armónicas de la función periódica original” [Apéndice A]. Las ondas simétricas contienen únicamente armónicas impares, mientras que para ondas asimétricas existirán tanto armónicas pares como impares.



Figura 2.1 Forma de onda original y sus componentes armónicos: 1°,5°,7°,11°

Cuando se hacen mediciones de las ondas de corriente o tensión utilizando analizadores de armónicas, el equipo efectúa integraciones mediante la técnica de la trasformada rápida de Fourier, dando como resultado la serie de coeficientes Ah que expresadas con relación a la amplitud A1 de la fundamental, constituye el espectro de corrientes armónicas relativo a la onda medida.

Figura 2.2 Componentes armónicas relativas a la fundamental de la señal de la Fig. 2.1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250Forma de onda con 1°,5°,7° y 11° armónica

Tiempo (seg)

Mag

nitu

d

onda fundamental

5° armónica

7° armónica11° armónica

onda resultante



Estas señales pueden visualizarse en un sistema tridimensional en el que se representan su magnitud, ubicación en frecuencia y a lo largo del tiempo.

Figura 2.3 Componentes en el dominio del tiempo y de la frecuencia

2.3 FUENTES DE DISTORSIÓN ARMÓNICA Las armónicas son producidas por cargas no lineales o dispositivos que trabajan con corrientes no senoidales. Un ejemplo de una carga no lineal es un diodo, el cual permite que solo la mitad de la corriente de una onda senoidal fluya. Otro ejemplo es un transformador saturado, cuya corriente magnetizante no es senoidal. Pero por mucho los causantes de la mayoría de los problemas de cargas no lineales son los grandes rectificadores y convertidores de C.D. a C.A. Las formas de onda de corrientes de cargas no lineales siempre varían de alguna manera la forma de onda de tensión aplicada. Típicamente, la distorsión de corriente de una carga no lineal decrece a medida de que incrementa la distorsión de tensión aplicada. De esto que, la mayoría de las cargas no lineales tienen mayores niveles de distorsión de corriente cuando la forma de onda de la tensión es cercana a la forma senoidal y el sistema conectado es “rígido” (esto es de baja impedancia). En la mayoría de los casos de simulación de armónicas, estas variaciones de las formas de onda son ignoradas y las cargas no lineales son tratadas como inyectores de corrientes armónicas arreglados cuyas magnitudes de las corrientes y ángulos de fase son arreglados relativamente a su magnitud y ángulo de fase. En otras palabras, el espectro de corriente armónica de una carga no lineal es asumido usualmente a ser arreglado en estudios de simulación. El ángulo de corriente fundamental, el cual es ligeramente atrasado, es ajustado para producir el desplazamiento deseado del ángulo del factor de potencia. Los ángulos de fase de las armónicas se ajustan de acuerdo al principio de desplazamiento en el tiempo para preservar la apariencia en las formas de onda.



2.3.1 Cargas no lineales clásicas

Algunas de las cargas no lineales no están relacionadas con cargas electrónicas y han existido a lo largo de los años como:

Transformadores. Por razones económicas, los transformadores de potencia se diseñan para operar en 0 ligeramente pasando la rodilla de la curva de saturación del material magnetizante. La corriente magnetizante resultante es ligeramente marcado (pronunciado valle o cresta) y rica en armónicas. El componente de tercera armónica predomina. Afortunadamente, la corriente magnetizante es sólo un pequeño porcentaje de la corriente de la carga completa. La corriente magnetizante para un transformador de 25 kVA, 12500/240 V se muestra en la figura 2.4. El componente de corriente fundamental retrasa el componente de tensión fundamental por 66°. Aún así la corriente magnetizante de 1.54 ARMS es altamente distorsionada (76.1%), esta es relativamente pequeña en comparación con la corriente a plena carga de 140 ARMS.

Figura 2.4 Corriente magnetizante para un transformador monofásico de 25 kVA,

12.5kV/240V. THD = 76.1%

Maquinas. Como en los transformadores, las maquinas operan con densidades de flujo pico más allá de la rodilla de saturación. A menos de ser bloqueadas por una transformación Δ, un generador síncrono trifásico producirá una corriente armónica de tercer orden de 30%.

Hay una variación considerable entre los motores monofásicos en la cantidad

de corrientes armónicas que inyectan. La mayoría de estos tienen un THDI en el rango de 10%, dominados por la 3er armónica. Las formas de onda de un refrigerador y aire acondicionado residencial se muestran en las figuras 2.5 y 2.6 respectivamente.



Figura 2.5 Corriente de un refrigerador 120 V THDI=6.3%

Figura 2.6 Corriente de un aire acondicionado residencial 240 V THDI=10.5%

Lámparas fluorescentes. Con balastros magnéticos, las lámparas fluorescentes se extinguen y encienden cada medio ciclo, pero el efecto flicker o parpadeo es difícilmente perceptible a 60 Hz. El encendido ocurre después del cruce de la tensión por cero. Una vez encendido, las lámparas fluorescentes muestran características de resistencia negativas. Sus formas de onda de corriente son ligeramente picudas y presentan otro pico adicional. Las armónicas dominantes son los de orden 3, en el orden de 15 – 20 % de la fundamental. Una forma de onda típica se muestra en la figura 2.7

Figura 2.7 Corriente de una lámpara fluorescente de 277 V con balastro magnético

THDI=18.5%



Hornos de arco. Estos no son estrictamente periódicos, y por lo tanto, no pueden ser analizados acertadamente por medio del uso de series de Fourier y armónicas. De hecho, estas son cargas transitorias en las cuales el parpadeo es el mayor problema y no las armónicas. Algunos intentos para modelar hornos de arco como fuentes armónicas usan predominantemente armónicas de orden 3 y 5.

2.3.2 Cargas electrónicas de potencia.

Ejemplos de cargas electrónicas de potencia son:

Convertidores de conmutación de línea. Son los circuitos más usados en convertidores CA / CD por encima de 500 HP. Estos circuitos se muestran en la figura 2.8. Estos se pueden modelar como convertidores de seis pulsos debido a que producen seis picos de rizos en VCD por ciclo de CA. En la mayoría de las aplicaciones, la energía fluye hacia la carga de CD. Como sea, si el circuito de CD tiene una fuente de energía, como baterías o arreglos fotovoltaicos, la energía puede fluir desde CD a CA en modo inverso.

Ia con transformador Δ – Y Ó Y – Δ Ia con transformador Δ – Δ Ó Y – Y

THD = 30 % en ambos casos

Figura 2.8 Convertidor de conmutación de línea trifásico de seis pulsos



Convertidores de fuente de tensión eléctrica. Para aplicaciones menores a 500 HP, los convertidores de fuentes de alimentación emplean moduladores de ancho de pulso con interruptores de encendido y apagado en el lado del motor, son a menudo la elección para dispositivos variadores de velocidad. Desde que la energía y la tensión pueden ser controlados desde el lado de la carga, los SCR (Rectificador controlado de silicio de la figura 2.9) pueden ser reemplazados por simples diodos.

Figura 2.9 Convertidor de fuente de tensión de seis pulsos

Desafortunadamente, la distorsión de corriente que provocan los los conevrtidores de tensión en el lado del sistema es mayor a la que provocan los convertidores de conmutación de línea, y las formas de onda de corriente varían considerablemente con el nivel de carga. Las formas de onda características se muestran en la figura 2.9. Además con la disminución de la carga, tienen mayor nivel de distorsión THDI.



Fuentes de alimentación conmutadas. Estos tipos de fuentes son lo que se usa principalmente en sistemas de 120 V como son PC´s y equipo de entretenimiento casero. Normalmente, tienen un puente rectificador de onda completa conectado entre la fuente de CA y un capacitor en paralelo. El capacitor sirve para minimizar los rizos para la carga de CD. Desafortunadamente, cuando se tienen pocos rizos, el sistema de CA carga a los capacitores solo por una fracción de cada medio ciclo, produciendo que la forma de onda de corriente tenga picos, como se muestra en la figura 2.10.

Figura 2.10 Fuente de alimentación de conmutación monofásica y formas de onda de corriente.

2.3.3 Otras cargas no lineales

Hay muchas otras fuentes de armónicas. Entre estas se encuentran los ciclo-convertidores, los cuales convierten 60 Hz de CA en otras frecuencias, compensadores estáticos de VARs, los cuales proveen una fuente variable de energía reactiva, y casi cualquier tipo de dispositivo de “ahorro de energía” o deformadores de ondas, tales como controladores de factor de potencia de motores. Formas de onda de estas tres cargas se muestran en la figura 2.11, 2.12 y 2.13



Figura 2.11 Corriente de horno de microondas de 120 V THDI = 31.9%

Figura2.12 Corriente de una aspiradora de 120 V THDI = 25.9%

Figura 2.13 Corriente de una lámpara fluorescente de 277 V (con balastro electrónico), THDI=11.6%



2.4 EFECTO DE LAS ARMÓNICAS El efecto de las armónicas en las redes eléctricas se refleja de varias maneras, principalmente en el calentamiento de equipos como motores, transformadores y cables, así mismo presenta efectos sobre la operación de equipos como medidores de inducción, relevadores y equipo electrónico. Otro de sus efectos importantes es el provocar la resonancia en bancos de capacitores. Los efectos de las armónicas se describen a continuación:

2.4.1 Motores de Inducción

El efecto de las armónicas y desbalances en el sistema sobre los motores, se presenta principalmente en el calentamiento del mismo provocando pérdidas en el núcleo, además de que provoca pares parásitos en la flecha del mismo, provocando pares pulsantes. Uno de los problemas más frecuentes es el calentamiento de motores debido a la presencia de la quinta armónica, la cual tiene un comportamiento similar a la secuencia negativa por lo que el calentamiento es común que se presente.

2.4.2 Relevadores de Inducción

Las armónicas provocan que los dispositivos de protección tengan una operación incorrecta, tal es el caso de algunas protecciones de sobre-corriente que censan la corriente del neutro. Esta corriente del neutro se ve incrementada grandemente con la presencia de terceras armónicas. Algunas protecciones tienden a operar en pendientes pronunciadas de corriente, esta pendiente se puede incrementar con las armónicas y no necesariamente es una falla. Otras protecciones se ven afectadas por las corrientes armónicas de secuencia negativa que aparentan venir de una falla. Las Figuras 2.14 a y b muestran la característica de tiempo inverso de un relevador Westinghouse y de un General Electric de inducción respectivamente. Como se observa presentan unas variaciones en la corriente ante la presencia de armónicas (corriente proveniente de un rectificador de 6 pulsos con carga resistiva), y por lo tanto se esta expuesto a tener una mala coordinación de protecciones cuando el relevador está expuesto a armónicas.



Figura 2.14a Curvas de tiempo inverso de un relevador 51 de inducción en presencia de armónicas. Relevador Westinghouse

2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

s e g .

a m p

c o n a r m ó n i c a s s i n a r m ó n i c a s

Figura 2.14b Curvas de tiempo inverso de un relevador 51 de inducción en presencia de

armónicas. Relevador General Electric 121AC51B806A

Figura 2.14 a y b Curvas de tiempo inverso de un relevador 51 de inducción en presencia de armónicas. Relevador Westinghouse y Relevador General Electric 121AC51B806A

respectivamente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 00

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

c o n a r m ó n i c a s s i n a r m ó n i c a s

a m p

s e g



Se puede pensar que todos los dispositivos de protección son diseñados para operar a 60 Hz. Sin tomar en cuenta el problema de las armónicas, problemas en su operación así como en la curva característica.

2.4.3 Equipo Electrónico

Las corrientes armónicas provocan la distorsión de las tensiones en los nodos de alimentación, esta distorsión de la tensión provoca la mala operación de dispositivos electrónicos más sensibles, tales como equipo de cómputo, PLC (controladores lógicos programables), equipos de control y procesos en donde su sincronización depende de los cruces por cero de la tensión. Muchos de estos equipos requieren de una alimentación totalmente limpia para su correcta operación.

2.4.4 Equipo de Medición

Los equipos de medición de energía más usados en el mundo son los watthorímetros de inducción, los cuales ocupan más del 90% del total de los medidores instalados.

El principio de funcionamiento de un watthorímetro de inducción se basa en que las formas de onda, tanto de la tensión como de la corriente, son totalmente senoidales. Por considerar un ejemplo la operación de un watthorímetro de inducción se basa en la Figura 2.15a, pero la realidad, como ya se ha visto es muy diferente (Figura 2.15b).

0 0 .0 1 0.02 0.03-1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

0 .2

IR MS

0 .6

1

θ VR MS

Figura 2.15a Tensión y corriente de una carga (caso ideal)



0 0.01 0.02 0.03 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.6

1

IRMS?

0.6 θ? VRMS?

Figura 2.15b Tensión y corriente de una carga (caso real)

Figura 2.15 a y b Tensión y corriente de una carga. Caso ideal y caso real respectivamente

La Figura 2.16 muestra el error que presenta un watthorímetro de inducción para cuando se tiene una carga resistiva a través de un tiristor el cual interrumpe el paso de la corriente.

20 40 60 80 100 120 %

% error 25

20

15

10

5

1500 1200

900

600

Figura 2.16 Error del watthorímetro de inducción al medir una carga resistiva switcheada por

un tiristor a diferentes ángulos de disparo

La Figura 2.17 muestra el error del watthorímetro de inducción ante la presencia de armónicas en la corriente cuando la tensión esta dentro de los limites de distorsión (<3%).



Figura 2.17 Error en los watthorímetro de inducción debido a la distorsión de corriente.

La Tabla 2.1 muestra el porcentaje de usuarios y la energía facturada en la División Centro Occidente de la CFE (Comisión Federal de Electricidad) en 1995. Tabla 2.1 Porcentaje de usuarios y energía facturada en la División Centro Occidente

de CFE

USUARIOS 1,093,551 usuarios 6,006 GWH de energía facturada Casa habitación 1,074,499 98.26% 1,541 24.17%

Industrial y Comercial 19,052 1.74% 4,555 75.83% De la energía medida en la Tabla 2.1 se tiene que el 99.9% de los medidores son de inducción y solamente el 0.1% son medidores de estado sólido. La gran mayoría de los medidores de inducción se encuentran en las casas habitación y una cantidad más pequeña en usuarios tipo industrial y comercial.

2.4.5 Resonancia en Capacitores

El problema en los capacitores es debido a la resonancia que presentan con el sistema, esta frecuencia de resonancia muchas veces se encuentra cercana a la 5a ó 7a armónica, las cuales son comunes en los sistemas eléctricos. De esta manera la frecuencia de resonancia a la cual está expuesto un banco de capacitores esta dado por:

CAP

CCres MVars

MVAf =

(2.1)

Donde:

MVACC = Potencia de corto circuito donde esta conectado el banco de capacitores

MVArsCAP = Potencia del banco de capacitores.



La Tabla 2.2 y la Figura 2.18 muestran las corrientes a través de un banco de capacitores cuando están expuestos a problemas de resonancia.

Tabla 2.2 Datos del banco de Capacitores de 60 kVAr, 480 volts

Tensión Corriente Frecuencia 60,04 RMS 471,5 76,47 Potencia Pico 671,8 173,97 kW 33,0 DC Offset -0,3 -0,26 kVA 36,1 Pico/RMS 1,42 2,28 kVAr 0,4 THD Rms 3,06 39,86 kW pico 116,3 THD Fund 3,06 43,46 Fase 179° lag HRMS 14,4 30,46 PF total 0,91 DPF 1,00

Corriente

mSec

Amps

0

100

200

-100

-200

, 2,08 4,16 6,25 8,33 10,41 12,49 14,57

Figura 2.18a Forma de onda



Corriente

Armónicas

Amps

0

2 0

4 0

6 0

8 0

DC 2 4 6 8 1 0 12 14 1 6 1 8 20 2 2 2 4 26 28 3 0

1 3 5 7 9 1 1 13 15 1 7 19 21 2 3 25 27 29 3 1

Figura 2.18b Contenido armónico

Figura 2.18 a y b Corriente armónica en un banco de capacitores de 60 kVAr, 480 volts

2.4.6 Pérdidas I2R

Por el hecho de incrementarse la corriente rms con la presencia de armónicas, las pérdidas se verán incrementadas de acuerdo a la siguiente ecuación:

( )L+++== 23

22

21

2RMSRMSRMS

IIIRRIP RMS (2.2) ( )L+++= 2

322

21 RMSRMSRMS

IIRRI

HHz PP += 60

Las pérdidas se incrementan con el contenido de las armónicas. Estas pérdidas se reflejan con en el calentamiento de equipos y cables.



2.5 RESPUESTA DEL SISTEMA A LAS ARMÓNICAS

2.5.1 Condiciones de Resonancia

Las condiciones de resonancia son aquellas en los que un sistema pasa de ser inductivo a capacitivo o viceversa. Este cambio provoca problemas muy graves como pueden ser sobrecorrientes o sobretensiones, los cuales ocasionan el fallo y/o destrucción de los equipos que se encuentran expuestos a estos fenómenos de resonancia.

2.5.2 Resonancia paralelo

La resonancia paralelo se da cuando las impedancias de un elemento inductivo con un capacitivo se igualan, cuando estos elementos se encuentran en paralelo. Desde un punto de vista práctico, este efecto se presenta cuando el equivalente del sistema al cual está conectado un banco de capacitores, se iguala a la impedancia equivalente del banco (quedando en paralelo). Esto se observa en la Figura 2.19. Entonces este equivalente paralelo esta dado por:

ZX X

X Xeqsist cap

sist cap=

− (2.3)

Figura 2.19 Circuito resonante paralelo

Entonces al igualarse estas impedancias a una cierta frecuencia, la impedancia equivalente se hace infinita, y al existir una fuente de corriente a esa frecuencia en paralelo, entonces se tienen sobretensiones ocasionando grandes corrientes entre el sistema y en el banco de capacitores.



De esta manera, para que estas dos impedancias sean iguales se necesita que exista la frecuencia llamada de resonancia dada por:

HzxMVarMVAHzx

XX

HzxLC

fCAP

CC

sist

capres 6060601

=== (2.4)

Donde:

MVACC = capacidad de corto circuito donde está conectado el banco de capacitores MVArCAP = capacidad del banco de capacitores.

Como se puede observar, si se tiene una planta conectada a una misma tensión y un mismo banco de capacitores, pero diferentes valores MVACC entonces el sistema responde de manera distinta, tal y como lo muestra la Figura 2.20.

Figura 2.20 Efecto del sistema a la resonancia paralelo

La Figura 2.20. muestra que a medida que el sistema es más débil se tiene que las frecuencias de resonancia se acercan cada vez más a frecuencias que pueden existir en el sistema como por ejemplo la 3a, 5a ó 7a armónica, ocasionando así problemas de resonancia llevando a la destrucción al banco de capacitores.

100 200 300 400 500 600 700 Frec Hz10

1

102

103

104

105

Z

Sistema débil

Sistema regular

Sistema fuerte



2.5.3 Resonancia serie

Este caso ocurre cuando una impedancia inductiva se encuentra en serie con un capacitor. En forma práctica esta resonancia serie puede presentarse en sistemas industriales los cuales tienen una configuración similar a la Figura 2.21.

Figura 2.21 Sistema resonante serie

Entonces, al igualarse la impedancia del transformador con el banco de capacitores, se tiene que la impedancia equivalente esta dada por: Z X Xeq trans cap= − (2.5)

Donde al igualarse estas impedancias se tiene una equivalente igual a cero, dando como resultado una corriente de gran magnitud a través de estos elementos. Asimismo, la frecuencia de resonancia serie esta dada por

fL C

x HzXX

x Hzrestrans

cap

trans= =

160 60 (2.5)

Además de que también existe una resonancia paralelo con el sistema dado por:

fX

X Xx Hzres

cap

sist trans=

+60 (2.6)

La Figura 2.22 muestra el efecto del sistema sobre la resonancia serie.



50 100 150 200 250 300 350 Frec Hz 0

50

100

Z

Sistema débil

Sistema regularSistema fuerte

Figura 2.22 Efecto del sistema a la resonancia serie

La Figura 2.22 muestra que a medida que el sistema es más débil, se tienen impedancias grandes antes de la resonancia, pudiendo ocasionar sobretensiones armónicas muy fuertes.

2.5.4 Razón de Corto-Circuito (SCR)

La razón de corto-circuito es la razón que existe entre la capacidad del sistema y la capacidad de la carga no lineal conectada al sistema

SCRMVAMW

CC

rect= (2.7)

Las recomendaciones expresan que si el SCR es menor a 20, entonces pueden existir fuertes problemas de resonancia.

2.5.5 Trayectoria de las Armónicas

Toda corriente eléctrica fluye por donde se le presenta menor resistencia a su paso. Por esta razón las corrientes armónicas siguen trayectorias distintas, pues se tiene que las impedancias de los sistemas varían según la frecuencia, donde se tiene que la reactancia inductiva se incrementa con la frecuencia y la resistencia se incrementa en menor medida, mientras que la reactancia capacitiva disminuye con la frecuencia.



Así, las armónicas fluyen hacia donde se le presenta menos resistencia a su paso. Esto se muestra en la Figura 2.23.

Figura 2.23 Trayectoria de las armónicas en un sistema inductivo

En cambio, si al sistema de la Figura 2.23. Se le incluye un banco de capacitores como se muestra en la Figura 2.24, da lugar a unas trayectorias distintas para las armónicas.

Figura 2.24 Efecto de los capacitores en las trayectorias de las armónicas

La trayectoria que siguen las armónicas también dependen del tipo de sistemas, ya sean monofásicos o trifásicos, así como de las conexiones de los transformadores que se encuentran a su paso. Las armónicas que se presentan en sistemas balanceados tienen una relación directa con las componentes de secuencias positiva, negativa y cero. Esto se puede describir suponiendo que se tiene un sistema trifásico balanceado.

)()()(

cb

bb

aa

hIsenIhIsenIhIsenI

δδδ

===

(2.8)

Donde para que sea un sistema trifásico balanceado se tiene que: δ ωδ ωδ ω

a

b

c

ttt

== −= +

120120

0

0 (2.9)



De esta manera para los diferentes valores de h se tiene que: Para h=1

)120()(

)120()(

)()(

0

0

+==

−==

==

tIsenIsenI

tIsenIsenI

tIsenIsenI

cc

bb

aa

ωδ

ωδ

ωδ

Secuencia positiva

Para h=2

)1202()2402()2(

)1202()2402()2(

)2()2()2(

00

00

−=+==

+=−==

===

tIsentIsenIsenI

tIsentIsenIsenI

tIsentIsenIsenI

cc

bb

aa

ωωδ

ωωδ

ωωδ

Secuencia negativa

Para h=3

)3()3603()3(

)3()3603()3(

)3()3()3(

0

0

tIsentIsenIsenI

tIsentIsenIsenI

tIsentIsenIsenI

cc

bb

aa

ωωδ

ωωδ

ωωδ

=+==

=−==

===

Secuencia cero

De aquí en adelante se repiten las secuencias, quedando así la relación que existe entre las armónicas y las secuencias mostradas en la Tabla 2.3

Tabla 2.3 Relación entre las secuencias y las armónicas

Secuencia 1 2 0 1 2 0 1 2 .......

armónica 1 2 3 4 5 6 7 8 .......



0 0.005 0.01 0.015 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ia Ib Ic

Fundamental (sec. positiva)

0 0.005 0.01 0.015 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.

Ia Ib Ic

0 0 .0 0 5 0 .0 1 0 .0 1 5 0 .0 2-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

Ia , Ib , Ic

Descomposición de una señal Tercera armónica (sec. cero)

0 0 .0 0 5 0 .0 1 0 .0 1 5 0 .0 2-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

I a I c I b

Quinta armónica (sec. negativa)

Figura 2.25 Relación entre las armónicas y las componentes de secuencia



El comportamiento de las armónicas es similar al comportamiento de las secuencias (positiva, negativa y cero). Es por esta razón que ante la presencia de armónicas en la corriente del sistema, se tengan corrientes que circulan de una manera similar a las corrientes de secuencia. De esta manera se tiene que como las corrientes de secuencia cero tienden a fluir por los neutros del sistema, entonces este comportamiento lo tienen las armónicas múltiplos de tres (secuencia cero). Este efecto se puede ver en la Figura 2.26 [3].

Ia

Ib

Ic

In

Figura 2.26 Circulación de la tercera armónica por el neutro del transformador

CAPÍTULO 3: PROPAGACIÓN DE ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS


CAPÍTULO 3

3 PROPAGACIÓN DE ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS

3.1 INTRODUCCIÓN Para la mayoría de los análisis convencionales, el sistema eléctrico es esencialmente modelado como un sistema lineal con elementos pasivos excitados por fuentes de tensión senoidal de magnitud y frecuencia constante. Sin embargo, con la proliferación excesiva de la electrónica de potencia, cantidades significativas de corrientes armónicas son inyectadas a los sistemas eléctricos. Las corrientes armónicas no sólo perturban las cargas sensibles, sino que también producen muchos efectos indeseables en elementos del sistema eléctrico. Como consecuencia, los estudios armónicos se están volviendo una preocupación creciente. Los estudios de propagación armónica empiezan con el desarrollo de los modelos de dispositivos del sistema eléctrico. En casi todos los estudios, no es factible incluir modelos detallados de cada componente del sistema. Los sistemas eléctricos interconectados típicamente incluyen centenares de generadores, líneas de transmisión, líneas de distribución y cargas de los clientes. Los sistemas tienen cargas que pueden ser modeladas individualmente. Cada estudio armónico debe comenzar con una determinación del rango de frecuencia de interés y la selección de los componentes del sistema que serán modelados. Los algoritmos de análisis armónicos se realizan en el dominio de la frecuencia y/o en el dominio del tiempo. Los métodos numéricos para el cálculo de la propagación y distorsión armónica difieren en la manera en que se representan las fuentes armónicas y la impedancia del sistema. Los métodos iterativos como flujos de carga armónicos usan una representación fasorial de estos parámetros, mientras que los métodos en el dominio del tiempo usan una representación en el tiempo de los elementos del sistema y de las fuentes armónicas siendo más exactos que los métodos iterativos. Hay un gran número de métodos de análisis en el dominio de la frecuencia de uso común. Los más populares son el de “frecuency scan” barrido en frecuencia, inyección de corriente y flujos de potencia armónica. Cada una de estas técnicas pueden ser utilizadas por fase (secuencia positiva o cero) o multifase y cada técnica utiliza un



modelo matricial de admitancias del sistema construido a partir de los modelos de los equipos según la topología de sistema. 3.2 MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS Existen diferencias prácticas significativas al desarrollar modelos para los sistemas de distribución y transmisión. Los sistemas de distribución se dividen en distribución primaria (distribuidora) y distribución secundaria (consumidor). El problema del estudio de armónicas en el sistema de distribución consiste en evaluar el contenido y propagación de armónicas existente en el sistema. Lo primero que se debe considerar en el estudio de armónicas en un sistema de distribución es si se requiere un modelo trifásico o si basta con uno monofásico. Un modelo trifásico se requiere cuando una combinación de transformadores con conexión estrella-estrella y/o delta-estrella provoca la cancelación de armónicas, si están presentes capacitores monofásicos son importantes en el estudio las corrientes a tierra o residuales o si está presente una carga desbalanceada significativa. El modelo monofásico del sistema puede ser atractivo si es un tercio del tamaño del modelo trifásico (si el sistema está balanceado) y los resultados pueden ser más compactos y más fáciles de interpretar. Además, sólo debería emplearse cuando está claro que es suficiente para el caso de estudio que se va a realizar. Los ejemplos típicos donde un modelo monofásico es suficiente son: cuando la causa del estudio es solo una gran fuente armónica trifásica, el sistema eléctrico está bien balanceado o si las corrientes de tierra no son relevantes. Los estudios de los sistemas de distribución secundarios involucran estudios de una planta sencilla o una instalación comercial. Muchas de las características del modelado en los sistemas de distribución primaria también aplican para los sistemas secundarios. El modelo de la planta probablemente incluye muchos niveles de tensión diferentes y probablemente tiene muy pocos capacitores, aunque la mayoría de los capacitores se instalan con bobinas de sintonización para propósitos de filtrado. Las capacitancias de líneas y de transformadores generalmente se desprecian, así como la de cables de poca distancia. En muchos casos, las mediciones son más fáciles en los sistemas secundarios, y los datos de carga pueden estar disponibles más rápidamente. 3.3 ANÁLISIS DE ARMÓNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS El objetivo de los estudios armónicos es cuantificar la distorsión en la forma de onda de tensión y corriente en puntos de interés en el sistema, determinar la existencia de condiciones peligrosas de resonancia y verificar violaciones en los límites de



armónicas permitidos (norma IEEE 519 1992). Un estudio de armónicas consiste de los siguientes pasos:

1. Definición del equipo generador de armónicas. 2. Determinación de los modelos para representar componentes del sistema

incluso redes externas. 3. Simulación del sistema para varios escenarios.

Un gran número de problemas encontrados en la práctica relacionados con las armónicas, involucran sistemas con distorsión relativamente baja y a menudo una sola fuente armónica dominante. En estos casos los cálculos simplificados de frecuencia de resonancia se pueden realizar manualmente y los cálculos de distorsión pueden hacerse con una hoja de cálculo. Para grandes sistemas y múltiples cargas generadoras de armónicas son necesarios métodos de análisis de flujos de potencia armónica. En esta sección se presentan las técnicas empleadas en el análisis armónico en sistemas eléctricos, estas técnicas varían en términos de requerimientos de datos, complejidad del modelado, formulación del problema y algoritmos de solución. Matemáticamente el estudio de armónicas involucra resolver la ecuación de la red para cada armónica escrita en forma matricial como: [ ] [ ][ ]hhh VYI = h=1,2,…., n (3.1)

Donde [Yh] es la matriz de admitancia nodal, [Ih] es el vector de fuentes de corriente y [Vh] es el vector de tensiones nodales para cada armónica h. En modelos más avanzados el vector de corrientes esta en función de los tensiones nodales. 3.4 EL MÉTODO DE BARRIDO EN FRECUENCIA El método de Barrido en Frecuencia (frequency scan) es usualmente el primer paso en un estudio armónico. Un barrido en frecuencia o impedancia es una gráfica del driving point o impedancia de Thevenin en un bus del sistema contra la frecuencia. El bus de interés es uno donde existe una fuente armónica. Para un sistema simple esta impedancia puede obtenerse de un diagrama de impedancias. Formalmente, la impedancia de Thevenin puede calcularse inyectando una fuente de uno por unidad con una frecuencia apropiada en el bus de interés. Las demás corrientes se fijan en cero y (3.1) se resuelve para encontrar las tensiones nodales. Estas tensiones son iguales al driving-point. El cálculo se repite en el rango de la frecuencia armónica de interés. Típicamente, se realiza un barrido para las redes de secuencia positiva y cero. Si una fuente armónica se conecta al bus de interés, la tensión armónica del bus estará dada por la corriente armónica multiplicada por la impedancia armónica. El método



de frequency scan proporciona una gráfica de los niveles de impedancia y la tensión de distorsión. Es una herramienta muy efectiva para determinar resonancias, las cuales aparecen en la grafica de impedancias vs frecuencia como picos (resonancias paralelas) o como valles (resonancias serie). 3.5 ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES El análisis en estado estable de circuitos lineales ante condiciones senoidales y no senoidales, se puede llevar a cabo mediante análisis fasorial, pero en condiciones no senoidales es necesario resolverlo para cada frecuencia de interés y no solo a frecuencia fundamental. Los inductores y capacitores tienen una respuesta lineal a la frecuencia, esto es:

LjhXL 0ω= ChjXC 0/ ω−= Respectivamente, la resistencia se puede considerar que permanece constante. Con estos tres elementos pasivos y las fuentes representadas por su contenido armónico, se puede llevar a cabo un análisis de circuitos lineales. En general, la operación de un circuito lineal ante condiciones no senoidales se puede representar correctamente por el siguiente sistema de ecuaciones:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Nh

jh

h

h

NNh

jNh

Nh

Nh

Njh

jjh

jh

jh

Nh

jhhh

Nh

jhhh

Nh

jh

h

h

V

V

VV

YYYY

YYYY

YYYYYYYY

I

I

II

M

M

LL

MOMOMM

LL

MOMOMM

LL

LL

M

M

2

1

,,2,1,

,,2,1,

,2,22,21,2

,1,11,11,1

2

1

(3.2)

Donde la corriente j

hI es el fasor de la corriente a frecuencia armónica inyectada en el nodo j, esto es hh

jh II θ∠= . ji

hY , es la admitancia equivalente a la frecuencia armónica h entre los nodos i y j. j

hV es el fasor de tensión a la frecuencia armónica h en el nodo j. N es el número total de nodos de la red. A continuación, es resuelta (3.1) para cada frecuencia armónica h de interés y el resultado final se obtiene por superposición de los efectos. La inversa de la matriz de admitancia

hY da como resultado la matriz de impedancia hZ



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NNh

jNh

Nh

Nh

Njh

jjh

jh

jh

Nh

jhhh

Nh

jhhh

h

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZZZZZ

Z

,,2,1,

,,2,1,

,2,22,21,2

,1,11,11,1

LL

MOMOMM

LL

MOMOMM

LL

LL

(3.3)

Donde la impedancia jj

hZ , es conocida como el “Driving Point Impedance” del nodo j a diferentes frecuencias. 3.6 LOS MÉTODOS DE FLUJOS DE POTENCIA ARMÓNICA Los métodos de flujos de potencia armónica son una extensión de los métodos convencionales de flujos de potencia. El objetivo de los métodos de flujos de potencia convencionales es calcular la magnitud y ángulo de fase de las tensiones en todos los nodos del sistema, La potencia real y la magnitud de la tensión o la potencia reactiva se conocen en los demás nodos del sistema a excepción del nodo compensador. Para el método de flujos de potencia armónica, se debe de conocer además: la magnitud de la tensión y el ángulo en todos los nodos y para todas las armónicas de interés, las potencias reactivas en cada nodo en el cual se encuentre una carga no-lineal, y dos variables de estado para describir cada carga no-lineal (por ejemplo, para un rectificador trifásico, ángulo de disparo y ángulo de conmutación). A diferencia del método de matriz de admitancia, el método de flujos de potencia armónica no se basa en la superposición lineal y la independencia de la inyección de corriente armónica con la distorsión de la tensión nodal. Uno de las limitaciones del método de flujos de potencia armónica es que el sistema trifásico se considera balanceado, por lo que el análisis de flujos de potencia se lleva a cabo usando un equivalente monofásico. Como en cualquier método de flujos de potencia la convergencia puede ser una problemática para datos de entrada erróneos (Ej. grandes valores de demanda de P o de Q). 3.7 EL MÉTODO DE INYECCIÓN DE CORRIENTES El método de inyección de corriente o fuente de corriente es la forma más común de análisis armónico. Todos los métodos hacen uso del modelo de admitancias (3.2). El procedimiento de análisis es similar al análisis de frecuency scan, en el método de inyección de corrientes las cargas no lineales se representan mediante espectros de



corrientes armónicas de magnitud y ángulo conocidos. Más específicamente, las cargas no lineales se representan mediante el contenido armónico de su corriente usando las series de Fourier. Con estas inyecciones de corrientes armónicas (magnitud y ángulo de cada armónica de interés) conocidos para cada carga, el procedimiento de análisis es el siguiente:

1. Formular la matriz de admitancias lineales del sistema. 2. Construir el vector de inyección de corrientes armónicas producto de las

cargas no lineales 3. Resolver (3.2) para determinar las tensiones en todos los nodos de la red.

Los pasos 1-3 empiezan en la frecuencia mínima representada en los vectores de corriente de carga armónica y se repite para cada frecuencia de interés. Es claro que no todos los nodos tienen inyecciones de corriente de carga armónica a todas las frecuencias; Algunas cargas inyectan 5a, 7ª, 11ª, 13ª armónica, etc., Mientras otras inyectan 3ª, 5ª, 7ª, 9ª armónica, etc. Para el caso donde una carga no lineal no inyecta corriente a una frecuencia en particular (pero otra carga no lineal si lo hace), una forma simple es forzar la inyección a un valor de cero en ese bus de carga y mantener la solución de (3.2) en la frecuencia de interés. Los resultados del análisis usando el método de inyección de corrientes son un vector de tensiones armónicas para cada bus del sistema. Debido a la naturaleza lineal del problema (todas las no linealidades han sido representadas como inyecciones de corriente) la superposición puede ser aplicada. Por consiguiente, los términos en cada vector de tensión corresponden a los coeficientes de Fourier de la tensión (solo magnitud; la fase no es usualmente mostrada, pero si calculada). Si se desea la forma de onda en el dominio del tiempo puede ser fácilmente construida del espectro de tensión en cada nodo de la red. El método de inyección de corrientes es muy utilizado para estudios de propagación armónica en sistemas industriales, de distribución y potencia. Los puntos más sobresalientes de este método son los siguientes:

• Punto de operación. Se determina mediante un estudio convencional de flujos de potencia a frecuencia fundamental para obtener magnitud y ángulo de las tensiones nodales de la red.

• Elementos pasivos. Todos los elementos pasivos como capacitores, inductores y resistores se representan linealmente dependientes de la frecuencia.

R = Constante LL jhXhX =)( hjXhX CC /)( −= (3.4)



Donde R es la resistencia y XL y Xc son las reactancias inductiva y capacitiva respectivamente.

• Líneas y Cables. Se representan por su equivalente nominal de circuito PI a

diferentes frecuencias considerando los efectos de longitud, transposición y desbalance. El circuito PI equivalente, sólo debe ser usado en casos de líneas de transmisión cortas y a orden armónico bajo.

• Generadores. Se consideran como elementos lineales donde la impedancia

armónica se puede representar similar a la de los elementos pasivos, mediante la impedancia.

hjXhRhZ dg

")( += (3.5) Donde R se determina de las pérdidas de potencia del generador y Xd” es la reactancia subtransitoria del generador. Si se requiere la saturación del generador y el efecto de la conversión de frecuencia se puede representar por medio de inyección de corrientes y tensiones armónicas respectivamente.

• Transformadores. Se consideran como elementos lineales cuyas impedancias

armónicas se obtienen de manera similar a los elementos pasivos.

hjXhRhZ tt +=)( (3.6) Donde R se determina de las pérdidas de potencia del transformador y Xt es la reactancia de cortocircuito del transformador. La conexión del transformador se debe de tomar en cuenta si existen armónicas de secuencia cero. El efecto de saturación del transformador puede representarse por medio de una fuente de inyección de corriente armónica.

• Bancos de Capacitores. Se consideran como elementos pasivos

φ3

2)(

hQLLV

jhCX −= (3.7)

Donde VLL es la tensión rms de línea en kV y φ3Q es la potencia reactiva trifásica

en MVAR.



• Cargas Lineales. Se pueden representar por los modelos dados por CIGRE (Consejo Internacional de Grandes Sistemas Eléctricos, International Council on Large Electric Systems).

Paralelo LXR − . φ3

2

PLLV

R = φ3

2)(

QLLhV

jhLX = (3.8)

Paralelo LXR − … φ3

2

)(kPVhR LL=

φ3

2

)(kQhVjhX LL

L = (3.9)

9.01.0 += hk

Paralelo LXR− en serie con SX φ3

2

PLLV

R = (3.10)

hRjhSX 073.0)( =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

=

74.03

37.6

)(

φ

φ

P

Q

hRjhLX

• Cargas No lineales. Estas cargas se pueden representar por su inyección de

corriente armónica o por su inyección de tensión armónica. La inyección de corriente armónica es usada para representar la contribución armónica de dispositivos como el compensador estático de VARs (SVC), hornos de arco eléctrico y de inducción, rectificadores y dispositivos electrónicos.

Por ejemplo, el SVC se puede representar por una corriente armónica dada por

φ1)(% IhIh = donde (%h) es el porcentaje de la corriente a frecuencia fundamental

dada por )2/(3

31

πθφφ

±= jeLLV

QI donde θ es el ángulo de tensión obtenido del

estudio convencional de flujos, y π /2 es el ángulo de fase de la corriente con respecto a la tensión. Los hornos de arco y los convertidores PWM (Pulse Width Modulation, Modulación de ancho de pulso) son fuentes de tensión armónica. Por ejemplo un convertidor PWM se puede representar por un equivalente de Thevenin dado por la reactancia del transformador y una fuente de tensión armónica. Los elementos de transmisión y cargas lineales se representan por impedancias para cada armónica h, con las que se construye la matriz del sistema Yh.



Una limitación del método de inyección de corrientes es la validez de la representación del vector de corrientes armónicas de las cargas no lineales. La experiencia ha mostrado que esta representación es válida para la mayoría de las cargas no lineales hasta el punto donde la distorsión de tensión de la carga exceda 10% del THD. Es importante contar con una herramienta que permita evaluar los índices asociados a la calidad de la tensión contemplados dentro de la regulación de la calidad de la energía en sistemas eléctricos de distribución, en la tabla 3.1 se presenta una comparación de los métodos de análisis de propagación de armónicas que se pueden emplear para determinar dichos índices [4].

Tabla 3.1 Comparación de los métodos de análisis de propagación armónica

Comparación Inyección de corriente Gauss-Seidel Newton-Raphson

Solución Velocidad Muy rápido Lento Lento Iteraciones No iterativo 50 – 500 7 – 30

Requisitos de Memoria Moderada (usando técnicas de dispersidad)

Inicialización solución del convertidor Fuera de línea En línea En línea

Entrada / Salida Requerimientos

de datos de entrada

Moderado

Facilidad en la preparación de

datos Moderado

Volumen de datos de salida Moderado

Índices que se pueden

determinar

THD, TIF, C-message,

graficas, verificación de

estándares

THD, TIF, C-message, graficas,

verificación de estándares, solución del

convertidor, condiciones de

resonancia

THD, TIF, C-message, graficas,

verificación de estándares, solución del convertidor,

condiciones de resonancia

Exactitud Adecuado sólo en casos de THD bajo Adecuado Adecuado

CAPÍTULO 4: FILTROS ARMÓNICOS


CAPÍTULO 4

4 FILTROS ARMÓNICOS 4.1 INTRODUCCIÓN En un contexto general, nos podemos referir a los filtros armónicos como filtros pasivos y activos. Su diferencia esencial, radica sobre si ellos proveen una acción de filtración dentro de un ancho de banda seleccionado (pasivo) o como resultado de un proceso de monitoreo en tiempo real que guía la inyección de la cancelación de corrientes armónicas en tiempo real (activo). Uno de los métodos más comunes para el control de la distorsión armónica en la industria es el uso de técnicas de filtración pasiva que hacen uso de filtros sintonizados o pasa altas. Los filtros armónicos pasivos pueden ser diseñados como elementos sintonizados que proveen un camino de baja impedancia a las corrientes armónicas a una frecuencia puntual o como componentes pasa altas o pasa banda que pueden filtrar armónicas sobre un cierto rango de frecuencia. Los más sofisticados conceptos de filtración activa operan en un rango amplio de frecuencias, ajustando su operación al espectro armónico resultante. Los filtros activos son diseñados para inyectar corrientes armónicas de igual magnitud pero desfasadas 180°para contrarrestar las componentes armónicas existentes. Los filtros activos comprenden configuraciones serie y paralelo de C.D. y C.A. Los filtros híbridos son una combinación de esquemas de filtración pasiva y activa. La filtración activa es tan extensa y especializada, por lo que en esta tesis se consideran sólo los filtros pasivos. 4.2 TIPOS DE FILTROS PASIVOS Los filtros pasivos son los más comúnmente usados en la industria. Como se ilustra en la figura 4.1, se pueden clasificar como:

• Filtros sintonizados • Filtros pasa altas o pasa banda (primero, segundo y tercer orden)



Figura 4.1 Diagrama eléctrico de filtros pasivos

4.3 FILTRO SINTONIZADO Probablemente es el filtro armónico más común en aplicaciones industriales, el filtro pasivo presenta muy baja impedancia al cambio de frecuencia, a través de la cual toda la corriente de la frecuencia particular será derivada. De esta manera, el diseño del filtro pasivo debe tomar en cuenta el informe del crecimiento esperado de las fuentes de corriente armónica o la reconfiguración de la carga porque puede de otra manera ser expuesto a sobrecarga, la cual puede rápidamente desarrollar un sobrecalentamiento extremo interno y daño térmico. El diseño de un filtro pasivo requiere un conocimiento preciso de la carga de producción armónica y del sistema de potencia. Una gran distribución de la simulación del trabajo es frecuentemente requerido para probar el desempeño bajo condiciones de variación de carga o cambios en la topología de la red. Los filtros pasivos siempre proveen compensación reactiva determinada por la capacidad y la tensión usada en el banco de capacitores. En hecho pueden ser diseñados para el doble objetivo de provisión de acción filtradora y compensación del factor de potencia al nivel deseado. Si más de un filtro es usado –por ejemplo, paquetes de ramales de 5°, 7° y 11° orden- será importante recordar que todos les proveerán un cierto amontonamiento de compensación reactiva. Este filtro es una combinación serie de una inductancia y una capacitancia. En realidad, en la ausencia de un resistor diseñado físicamente, estará siempre una resistencia serie, la cual es la resistencia intrínseca del reactor serie, algunas veces usado como un punto para evitar sobrecalentamiento del filtro. Todas las corrientes armónicas cuya frecuencia coincide con la del filtro encontrarán un camino de baja impedancia a través del filtro. La frecuencia resonante de este filtro puede ser expresada mediante la siguiente expresión:



𝑓 = √ (4.1) Donde:

F0=frecuencia resonante en Hertz L=inductancia del filtro en Henrys C=capacitancia del filtro en Farads

El factor de calidad 𝑄 del filtro es la relación entre la reactancia inductiva o capacitiva bajo resonancia y la resistencia. Los valores típicos de 𝑄 fluctúan entre 15 y 80 para filtros que son usados en la industria. La siguiente relación es usada para calcular el factor de calidad:

𝑄 = = (4.2) Los filtros de baja tensión (480 a 600 V) usan núcleos de hierro con espacio de aire que tienen elevadas pérdidas pero están asociados a bajos valores de 𝑄 . Los filtros en madia tensión (4,16 a 13,8 kV) tienen valores de 𝑄 en el rango superior a los anteriores. La relación de sistemas de baja tensión está en el rango de 3 a 7. Estos sistemas no presentan un pico elevado de resonancia paralela en la característica Z-f. Aunque los filtros de baja tensión tienen pérdidas elevadas, también proveen gran atenuación a cualquier oscilación presente en el sistema. En los criterios de diseño para construir un filtro se consideran los siguientes factores: bajo mantenimiento, economía, y fiabilidad. El diseño de un filtro simple es lo que se busca en la mayoría de los casos. Los pasos para diseñar un filtro armónico usando las relaciones básicas que permitan una operación confiable pueden ser sintetizados como sigue:

1. Calcular la capacitancia necesaria para mejorar el factor de potencia y eliminar cualquier penalización por la compañía del suministro eléctrico. La compensación del factor de potencia es generalmente aplicada para elevar el factor de potencia alrededor del 0,95 o mayor.

2. Elegir un reactor para cambiar el capacitor serie a la frecuencia armónica deseada. Por ejemplo, en un convertidor de 6 pulsos, esto podría comenzar en la quinta armónica y podría envolver bajas frecuencias en la aplicación de un horno de arco.



3. Calcular la tensión pico en las terminales del capacitor y la corriente rms del reactor.

4. Elegir componentes comerciales para el filtro y verificar el desempeño del filtro para asegurar que los componentes del capacitor operan entre los límites recomendados por la norma IEEE-18-2002 [7]. Esto podría requerir de un número de iteraciones hasta que la reducción deseada de los niveles armónicos sea lograda.

Los filtros pasivos transmiten una corriente que puede ser expresada como una fracción de la corriente de la carga a la frecuencia fundamental. Por su costo, son más caros que los reactores serie a menudo usados para proveer alguna atenuación armónica, pero ellos tienen la ventaja de proveer potencia reactiva a la frecuencia fundamental. Para propósitos prácticos, son substancialmente usados en la industria. El diseño de filtros usualmente ofrece un mecanismo robusto que provee una menor acción de filtración para una fracción de otras corrientes armónicas cuyo orden está cercano al cambio de frecuencia que no provee cambio del filtro a las frecuencias existentes. La impedancia del filtro debe ser más pequeña que la presentada por el sistema al cambio de frecuencia. En sistemas de baja tensión en el cual la relación es pequeña, un filtro individual será suficiente para proveer la atenuación necesaria. Algunas veces una componente resistiva serie es incluida para el control de la corriente máxima permitida a través del filtro. Esto tendrá un impacto sobre el factor de calidad del filtro como es descrito por la ecuación (4.2). El estudio de la respuesta de los filtros sintonizados proporciona los siguientes aspectos relevantes: Los filtros sintonizados actúan como un camino de baja impedancia, absorbiendo efectivamente las corrientes armónicas para la cual fueron sintonizados. Es importante estar consciente que estos filtros pueden tomar corrientes de frecuencias vecinas, por lo tanto, será importante evaluar el impacto de esas corrientes adicionales en los parámetros operacionales del filtro. Para un consumo de potencia comercial o industrial hay un pronunciado incremento de la impedancia antes de la frecuencia de sintonización en los filtros serie LC de frecuencia cambiante como es mostrada en la figura 4.2 (b). Este es un resultado de una condición de resonancia paralela entre el capacitor del filtro y la inductancia de la fuente.



Figura 4.2 Respuesta en frecuencia de un filtro armónico sintonizado

4.3.1 Ecuaciones para el diseño del filtro sintonizado

La impedancia de la rama del filtro está dada por: 𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝜔𝐿 − (4.3) Donde R, L, C son la resistencia, inductancia y capacitancia de los elementos del filtro, respectivamente, y ω es la frecuencia angular del sistema de potencia. La condición de resonancia serie es excitada cuando la parte imaginaria de la impedancia es igual a cero, donde sólo la componente de la impedancia es la resistencia. La frecuencia a la cual el filtro es sintonizado es entonces definida por el valor de ω que hace que la reactancia inductiva y capacitiva se cancela una a otra en la ecuación (4.3). Esta frecuencia está dada por la ecuación (4.1). Si hacemos h la relación entre la armónica y la frecuencia fundamental del sistema, la reactancia inductiva y capacitiva a la frecuencia armónica puede ser expresada como: 𝑋 = ℎ𝜔 (4.4)

𝑋 = (4.5)

Expresado de una manera diferente, asumiendo una resistencia cero, la condición para la impedancia en la ecuación (4.3) cae a cero a la frecuencia sintonizada requerida: 𝑋 = 𝑋 (4.6) Sustituyendo la ecuación (4.4) y la ecuación (4.5) en la ecuación (4.6) y resolviendo para h, obtenemos:



ℎ = Ó ℎ = (4.7)

4.3.2 Puntos de resonancia paralela

Como fue mencionado anteriormente, la interacción del filtro con la fuente de impedancia (𝐿 ) siempre resulta en una resonancia paralela caracterizada por la gran impedancia pico ilustrada en la figura 4.3. Vista desde arriba del banco de capacitores (hacia la fuente), una resonancia paralela es para ser estabilizada a una frecuencia: 𝑓 = ( ) (4.8)

Lo cual cae ligeramente por debajo de la frecuencia sintonizada del filtro, como es ilustrada en la figura 4.3.

Figura 4.3 Puntos resonantes de un filtro RLC serie sintonizado

En instalaciones en las cuales múltiples filtros sintonizados son requeridos, una frecuencia resonante paralela existirá para cada filtro pasivo individual. Note que la



frecuencia del punto de resonancia paralela puede experimentar cambios siempre que sean en los elementos L o C del filtro u ocurrir en una inductancia 𝐿 de la fuente. 𝐿 Puede cambiar, por ejemplo, prosiguiendo a la desconexión o adición de un transformador en la subestación. Este podría tomar lugar cada vez que la utilidad de la potencia cambie la configuración de la fuente durante acciones de mantenimiento del transformador o cuando los transformadores son adicionados al banco. Un cambio que también puede afectar la frecuencia de resonancia paralela en la ecuación (4.8) es la adición de unidades de capacitores para mejorar el factor de potencia sobre el alimentador que sirve a la carga no lineal donde el filtro armónico está instalado. Sin embargo, el más notable impacto del desempeño de la fuente de impedancia sobre el desempeño del filtro es la impedancia pico paralela. La figura 4.4 ilustra el valor de la impedancia a resonancia pico paralela en el diseño de un filtro de dos ramas como una función de la fuente de impedancia. Esto es mostrado en tres diferentes gráficas con incrementos de valores de Megavoltamper de corto circuito (o fuente de impedancia reducida) en la figura 4.4. Observe como los picos de impedancia paralela son reducidos en amplitud, con lo cual tenemos el efecto del decremento de distorsión armónica producida por algún componente armónico de frecuencia más pequeña que la frecuencia sintonizada del filtro. El efecto opuesto puede ser observado si iniciamos con una fuente de impedancia pequeña e incrementamos cuando un transformador de la subestación es sacado para mantenimiento.

Figura 4.4 Respuesta de un filtro armónico para diferentes fuentes de MVAcc.



Un problema que puede surgir con los puntos adyacentes paralelos es una acción de desintonización. Si el filtro es sintonizado exactamente a la frecuencia de interés, entonces un cambio del punto de resonancia serie a valores de alta frecuencia resultará en un afilado incremento de impedancia como es vista por la corriente armónica del orden de la frecuencia. Esto puede ocasionar, por ejemplo, el envejecimiento del capacitor, lo cual podría causar algún decremento en la capacitancia. Si el pico resonante paralelo cambia en tal manera que se alinea con la frecuencia de una armónica característica de la carga, la amplificación de la tensión armónica resultante puede ser desastrosa porque puede producir sobretensiones sobre el aislamiento sólido de cables y sobre las bobinas de las máquinas. Los aspectos envueltos en la acción de desintonización del filtro y pueden ser descritos como sigue:

La acción de disparo de los fusibles del banco de capacitores desconecta una o dos unidades monofásicas lo cual decrementará la capacitancia equivalente trifásica, incrementando la frecuencia de sintonización del filtro. El construir tolerancias de los elementos del filtro puede resultar en un cambio de la frecuencia de sintonización en cualquier dirección, por lo cual es importante tomarlos en cuenta.

Las variaciones de temperatura pueden producir una aceleración de envejecimiento sobre las unidades de capacitores. Las variaciones en la topología o configuración del sistema, la cual cambia la reactancia inductiva hacia arriba vista desde la ubicación del filtro, puede también tener un impacto en la ubicación de los puntos resonantes paralelos. Considerando los puntos precedentes y asumiendo una fuente de impedancia arreglada es conveniente sintonizar el filtro a una frecuencia ligeramente menor a la frecuencia deseada. Esto contará para pequeños cambios de la frecuencia de sintonización a altos valores sobre el tiempo, aún permitiendo que el filtro provea un camino de baja impedancia. También, un esquema de detección de desbalance para proteger el banco de capacitores y asegurar la operación apropiada del filtro será importante de considerar.

4.3.3 Factor de calidad

Considerando filtros armónicos sintonizados, el factor de calidad relaciona la habilidad de un filtro para disipar la energía absorbida a la frecuencia sintonizada. Haciendo hincapié en el IEEE una definición equivalente aproximada es la relación de la frecuencia resonante 𝜔 al ancho de banda entre aquellas frecuencias sobre lados opuestos de la frecuencia resonante donde la respuesta de estructura resonante difiere 3 dB de aquella a la resonancia:



𝑄 = ( ) (4.9) En un circuito serie RLC, podemos definir Q como: 𝑄 = = = (4.10)

Donde 𝑋 y 𝑋 son la reactancia inductiva y capacitiva, respectivamente, a la frecuencia de resonancia del filtro serie. La figura 4.5 y la tabla 4.1 resumen los parámetros básicos que describen el filtro pasivo sintonizado

Figura 4.5 Cantidades fundamentales que determinan el desempeño de un filtro pasivo

sintonizado.

Tabla 4.1 Cantidades relevantes sobre un filtro pasivo sintonizado

Orden del armónico sintonizado

Factor de calidad

Ancho de banda Th

Potencia reactiva a f1

Potencia activa a f1 (pérdidas)

ℎ = 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋 𝑄 = 𝑛 ∙ 𝑋𝑅 = 𝑋𝑛 ∙ 𝑅

𝐵 = 𝑓𝑄 𝑄= 𝑉𝑋 ∙ 𝑛(𝑛 − 1)

𝑃≅ 𝑄 ∙ 𝑛𝑛 − 1 ∙ 1𝑄

Nota: f1=frecuencia fundamental; ω = 2πf1 = frecuencia angular; fn = frecuencia de sintonía; n = orden armónico fn/f1; V = tensión nominal de línea a línea; XL = reactancia inductiva a frecuencia fundamental = Lω; y XC = reactancia capacitiva a frecuencia fundamental = 1/Xc

La figura 4.6 muestra un número de gráficas para un filtro armónico con diferentes valores de 𝑄 . Las áreas sombreadas delinean la respuesta del filtro. Note como el 𝑄 mayor logra la mejor acción de filtración, lo cual es reflejado sobre la impedancia más baja a la frecuencia sintonizada. Este es un efecto lógico que resulta de decrementar puramente la impedancia resistiva a la frecuencia resonante en la ecuación (4.10)



Figura 4.6 Gráfica de impedancia-frecuencia de un filtro armónico para diferentes valores de Q

Los siguientes puntos resumen los aspectos más relevantes del factor de calidad en los filtros sintonizados: Típicamente, la resistencia de un filtro armónico sintonizado es la resistencia intrínseca del reactor. Sin embargo, R puede ser favorablemente usada para variar el factor de calidad del filtro y proveer un modo de controlar el amontonamiento no deseado de corriente armónica a través de este. Un valor grande de 𝑄 implica un valle prominente a la frecuencia resonante (sintonización) de un filtro y por lo tanto la captura del amontonamiento de frecuencia armónica. La mejor reducción de distorsión armónica será lograda con valores grandes de 𝑄 del filtro. Sin embargo, se debe tener cuidado con las corrientes armónicas de otras frecuencias para las cuales el filtro es sintonizado porque ellas también encuentran un camino de impedancia reducida. Estas corrientes proveerán incremento en la disipación de calor. A menudo será necesario conducir estudios computarizados de simulación de armónicas para predecir el desempeño de los filtros, especialmente cuando múltiples armónicas existen en la fuente.



Los filtros de bajo factor de calidad pueden ser usados en situaciones en las cuales la distorsión armónica apenas excede los límites y una pequeña acción de filtración es todo lo que es necesitado para llevarla dentro de conformidad.

4.3.4 Valores recomendados de operación para los componentes del filtro

4.3.4.1 Capacitores Los bancos de capacitores son los componentes de los filtros sensibles a la tensión por las siguientes razones: Los capacitores pueden ser expuestos a incrementadas tensiones durante la distorsión de la forma de onda producida por componentes armónicas. La tensión puede ser incrementada en la forma de un pico aumentado o un incremento de los valores rms. La potencia reactiva de salida del capacitor cambiará con el cuadrado de la relación de la tensión rms distorsionada al rms no distorsionado. En situaciones en las cuales la entrada y salida de tensiones es frecuente, los capacitores del filtro pueden ser expuestos a daño. Los límites recomendados por la norma IEEE-18-2002 para la operación de capacitores en derivación en sistemas de potencia se muestran en la tabla 4.2. Siguiendo esta pauta, los capacitores son diseñados para ser operados a un valor menor de la tensión nominal y ser capaces de continuar operando en un sistema bajo condiciones de contingencia.

Tabla 4.2 Límites máximos recomendados para operación continúa de capacitores en paralelo bajo condiciones de contingencia

VAR 135%Tensión RMS 110%Nivel de tensión, incluyendo armónicas 120%Corriente RMS 135%

Note que el límite para la corriente rms es menor que el 180% que fue considerado en la revisión en 1992 del IEEE-18 porque ese nivel de corriente puede causar un nivel de potencia excediendo el límite recomendado. Es importante observar en conformidad con estos límites principalmente en instalaciones en las cual es considerable la



existencia de la distorsión de armónica donde los capacitores son parte de un filtro armónico. Generalmente, la tensión del capacitor en un banco usado en un filtro armónico sintonizado puede ser expuesta a un incremento de tensión que puede ser aproximado en términos del orden armónico (h) de los filtros como sigue: 𝑉 = ( ) (𝑉 ) (4.11) Cuando la máxima amplificación de tensión es verificada, las peores condiciones que incluyen la tensión máxima considerando la tolerancia de los elementos del filtro (típicamente 8% para el capacitor y 5% para el inductor) deben ser probadas. Cuando un banco de capacitores es usado a una tensión nominal diferente al del sistema, los kVAr efectivos del banco deben ser determinados de la siguiente expresión: 𝑘𝑉𝐴𝑟 = (𝑘𝑉𝐴 ) (4.12)

La presencia de un reactor en el filtro cambia los kVAr del filtro. La nueva salida será: 𝑘𝑉𝐴𝑟 = ( ) (4.13) Si la compensación reactiva es necesaria, el banco de capacitores del filtro puede ser elegido para proveerla. Sin embargo, el diseñador necesitará típicamente seguir un proceso iterativo para decidir los VArs adecuados del banco. 4.3.4.2 Reactor de sintonización La tensión máxima de elevación a través del reactor también debe ser determinada. Los parámetros usualmente incluidos en la especificación de un reactor son los siguientes:

• Corriente a 60 Hz • Espectro de corriente armónica • Corriente de corto circuito • Relación 𝑋/𝑅 • Tensión del sistema • BIL (nivel básico de aislamiento)



Los reactores usados en filtros armónicos son algunas veces diseñados con núcleo de aire. Este provee características lineales considerando frecuencia y corriente. En aplicaciones que involucran sistemas de potencia industrial, el 5% en la tolerancia es típicamente usado. La relación 𝑋/𝑅 a 60 Hz, la cual es típicamente menor que 150 puede ser manipulada a futuro para obtener el factor de calidad deseado como fue descrito previamente. También, la elevación de la máxima tensión a través del reactor debe ser determinada. La tensión nominal del reactor debe ser capaz de manejar la sobretensión impuesta bajo condición de corto circuito, por ejemplo, cuando un capacitor falla. El nivel básico de aislamiento (BIL) del reactor y similarmente del banco de capacitores debe ser el mismo que para el transformador de potencia que alimenta la carga donde los filtros son integrados.

4.3.5 Detección de desbalance

El propósito de un esquema de detección de desbalance es remover el banco de capacitores tan pronto como la protección de sobrecorriente de fase viaje debido a un solo evento de falla a tierra. Generalmente, una detección de desbalance desencadena una alarma cuando una o varias etapas se pierden en el banco de capacitores. En un filtro armónico, la falla de una unidad del banco de capacitores puede desintonizar el filtro y producir amplificación de tensión armónica continuando con un cambio en el punto de resonancia paralela.

4.3.6 Selección de un filtro y evaluación de desempeño

Primero, determinar si la compensación reactiva es requerida. Si este es el caso, el banco de capacitores del filtro debe ser dimensionado para proveer los VARs necesarios. Para ciertas condiciones del sistema, más de un filtro puede ser necesario. Considere todos los posibles escenarios para determinar la condición del peor caso. En ciertas aplicaciones, cargas no lineales pueden ser cíclicas y los esquemas de filtros deben ser diseñados tanto que ellos permitan la posibilidad de tener ramas de componentes de filtros adentro y afuera como sean necesarios. Cuando se analiza la efectividad de un filtro (entenderlo como el grado de supresión armónica), es importante intentar lo anterior para diferentes condiciones de impedancia, los cuales están relacionados con la utilidad de la fuente de impedancia. Otro punto importante a considerar es la posibilidad del cambio de los puntos de resonancia paralela. Como fue descrito previamente, cambiando el alimentador de capacitancia como una respuesta para variaciones de carga o el perfil de tensión



puede tener un impacto sobre la frecuencia resonante paralela. Por ejemplo, si en el alimentador cargado al 100%, hay una resonancia pico a la armónica 4.5, una carga decrece acompañada por la desconexión del banco de capacitores para corrección del factor de potencia puede cambiar el pico resonante paralelo a la 5a armónica. Cualquier corriente de 5a armónica de la carga podría ver una gran impedancia hacia arriba y una alta distorsión de tensión armónica y a que frecuencia se podría desarrollar. Esta situación debe ser considerada en el diseño de filtros armónicos o en la implementación de reglas especiales de operación para minimizar los efectos negativos de la resonancia pico. El criterio de diseño tradicional en relación con la presencia de corrientes armónicas en redes industriales es la distorsión armónica total (THD). La distorsión armónica es probable que sea excedida en aplicaciones industriales y comerciales incluyendo grandes convertidores de potencia, amontonamientos masivos de iluminación fluorescente, y un significante amontonamiento de equipo de oficina. Por lo tanto, instalaciones financieras, edificios comerciales o de oficina, y oficinas corporativas o públicas son buenos candidatos para exceder la conformidad con los límites recomendados. Además, el factor de interferencia telefónica puede llegar a niveles considerables en extensos cables de red de potencia bajo condiciones de resonancia. El THD debe ser evaluado en cada bus relevante en el sistema, es decir, en el bus principal de la subestación de la planta, en aquellos nodos con fuentes de corriente armónica, y en cualquier lugar que exista equipo sensible. Si los límites de THD están por encima de los límites, y entonces la necesidad de proveer filtros armónicos debe ser buscada y los niveles de THD reevaluados. Los escenarios de operación deben ser considerados en el diseño del filtro donde la etapa debería incluir la red y la reconfiguración de la carga que involucre la expansión de la planta y el crecimiento futuro de la carga. Si los valores nominales de los componentes de los filtros son excedidos bajo operación normal, un ajuste debe seguir. Sin embargo, ningún ajuste en el desempeño del filtro debería ser anticipado al esquema del filtro y considerado en las especificaciones del diseño del filtro. En la evaluación de los filtros armónicos debe ser incluida la frecuencia de la potencia y las pérdidas armónicas. Esto es particularmente relevante para el diseño de un “mínimo filtro”, por ejemplo, el cual es especificado e instalado para traer la distorsión de corriente armónica dentro de los límites pero no para efectos de corrección del factor de potencia.



4.4 ASPECTOS RELEVANTES A CONSIDERAR EN EL DISEÑO DE FILTROS PASIVOS

Varios aspectos deben ser considerados en la etapa de diseño de filtros pasivos para el control de problemas asociados con armónicas. Estas se resumen a continuación: Los requerimientos de kVAr capacitivos para corrección del factor de potencia. Algunas instalaciones se pueden beneficiar de la instalación de filtros armónicos porque el factor de potencia será mejorado. En otras situaciones, en la corrección del factor de potencia se necesita ser dictado el tamaño del banco de capacitores para usarse. En los filtros sintonizados, los picos resonantes paralelos son el resultando de la interacción entre el filtro y la fuente. Considerando tolerancias de los componentes del filtro. Ellos pueden producir cambios no deseables de frecuencias de resonancia. También revisando los cambios de impedancia de la carga y la red que pueden modificar la estabilidad en el peor de los casos escenarios armónicos. Bancos de capacitores sobredimensionados pueden ser requeridos en filtros pasa altas con bajo cambio de frecuencias y significativamente alto orden de características armónicas. Se debe tener cuidado con el factor de calidad de los filtros como una medida para controlar la cantidad de corrientes armónicas que deben extraerse del sistema. Se debe evitar la sobrecarga en los bancos de capacitores usando un resistor serie en los filtros sintonizados. Un desacuerdo entre el decremento de los valores de THD y la corrección del factor de potencia aseguran la integridad del banco de capacitores lo que a menudo decide el valor de 𝑄𝑓 para adoptar en un filtro. Las redes eléctricas extensas pueden tener cargas no lineales con diferente contenido espectral. Siempre que sea posible, agrupando cargas por tipo de espectro armónico (por instancia, convertidores de 6 pulsos, convertidores de 12 pulsos, componentes de tipo arqueo, lámparas fluorescentes, etc.) pueden optimizar la instalación, ubicación, y dimensionamiento de filtros armónicos. Aunque esta es una terea a lograr, especialmente cuando tipos comparables de cargas no están en la misma ubicación, la idea puede ser considerada como un camino para reducir el número de filtros armónicos a instalar. El agrupamiento de carga puede también ayudar a reducir la interferencia telefónica intentando mantener las líneas telefónicas a una distancia posible de los sitios portadores de alto orden de corrientes armónicas.



La minimización de filtros puede ser adoptada bajo una compensación reactiva no necesaria. Los parámetros de un mínimo de filtros deben ser elegidos para alcanzar el máximo límite THD recomendado. 4.5 ELIMINACIÓN DE LAS ARMÓNICAS

4.5.1 Técnicas para la Mitigación de Armónicas

La forma de mitigar estos problemas se pueden enumerar de la siguiente manera: a) Reducir la Aportación de Corrientes Armónicas Reducir la aportación de corrientes armónicas provenientes de las fuentes que las generan es mediante:

• Cuando se trata de fuentes de armónicas provenientes de lámparas, es recomendable utilizar conexión delta-estrella del transformador de alimentación con el fin de atrapar las armónicas de secuencia cero.

• Si las armónicas provienen de un transformador, lo mejor será cambiar el transformador o liberarle carga.

• Si se trata de un controlador de velocidad, una buena opción es conectar un reactor limitador en la alimentación de tal manera que atenúe la magnitud de las armónicas, además de servir como protección para estados transitorios.

• Si se trata de un rectificador de 6 pulsos, una opción es cambiarlo por uno de 12 pulsos, aunque económicamente no puede ser factible.

• En caso de tener varias cargas que utilicen rectificación conectadas a un mismo bus, entonces lo recomendable es que unos rectificadores se alimenten de un transformador delta-estrella y otros de un delta-delta, esto con el fin de que se tenga cancelación de armónicas.

b) Utilizando Filtros Sintonizados La utilización de filtros es una buena opción pero no siempre es la más económica o factible, pues depende mucho de qué problema se esté tratando. c) Modificación de la respuesta a la frecuencia Problema: Operación de los fusibles de bancos de capacitores debido a resonancia. Posible solución: Modificar la frecuencia de resonancia:



• Poniendo un reactor en terminales del banco de capacitores, de tal manera que se modifiquen los MVAcc, esto no significa que se esté poniendo un filtro sintonizado.

• Cambiar el valor del banco de capacitores, esto traerá cambios en el FP, el cual se puede tratar de corregir mediante capacitores locales.

• Cambiar los capacitores a otros puntos donde se tengan diferentes capacidades de corto circuito.

• Definitivamente quitar los capacitores. Problema: Interferencia telefónica y/o mal operación de equipo de cómputo o equipo de control numérico. Posibles soluciones:

• La interferencia telefónica se puede resolver mediante la modificación de la trayectoria de las armónicas, esto es, relocalizando capacitores de tal manera que las armónicas se dirijan hacia los bancos. Otra posibilidad es cambiar de lugar los cables por los cuales se sabe que circulan armónicas.

• Para la mala operación de equipos sensibles, la solución se complica un poco más, pues se puede tratar de un problema transitorio, por ejemplo: flickers (parpadeos), sags (caídas de tensión), etc., dado que estos problemas de calidad de energía afectan grandemente a estos equipos. Lo más importante es tratar de alimentar a estos equipos de un nodo tal que no se esté expuesto o cerca de fuentes tales como: hornos eléctricos, rectificadores, lámparas, etc.

• Hacer lo mismo que para la interferencia telefónica.

4.5.2 Filtros pasivos

El filtro pasivo es un filtro que se sintoniza para una armónica en especial, o un rango determinado. Estos filtros son los más utilizados en los sistemas eléctricos por su bajo costo y fácil instalación, aunque en algunos casos trae con sigo problemas de resonancia. La Figura 4.10 muestra la configuración de estos filtros.

Filtro sintonizado Filtro pasa altas

C

L

R C

L R

Figura 4.7 Filtros pasivos en paralelo con la red



El filtro lo que hace es presentar una impedancia baja a una corriente de una frecuencia determinada, esto significa que los elementos del filtro entran en resonancia serie, ocasionando la circulación de esta corriente. De esta manera, a partir de un valor del banco de capacitores se obtiene el valor del reactor del filtro:

2

capCAP

KVXMVAr

= (4.30)

XXhreac

cap= 2 (4.31)

Donde h es la armónica a la cual está sintonizado el filtro; y por tanto, a la corriente que se quiere drenar. El filtro sintonizado es utilizado para eliminar en forma individual las armónicas más bajas como la 3a, 5a y 7a. En cambio, el filtro pasa altas es utilizado para eliminar un rango de armónicas las cuales tienen un valor pequeño de corriente, por lo general son usados para eliminar de la armónicas 11a en adelante. 4.5.2.1 Filtro Sintonizado El cálculo de la resistencia del filtro está dado por la siguiente expresión:

f)(

QfX

R resreac= (4.32)

Qf = Factor de calidad 20<Qf<30 La Figura 4.11 Muestra la respuesta del filtro sintonizado ante diferentes factores de calidad.

Figura 4.8 Respuesta de un filtro sintonizado

2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 F r e c H z1 0

0

1 01

1 02

Z f

Q = 2 Q = 5

Q = 2 0

Q = 3 0

f r e s



En los casos prácticos, muchas veces esta resistencia es la propia del reactor, por lo que no se hace necesario la utilización de resistencias adicionales.

R = Constante LL jhXhX =)( hjXhX CC /)( −=

Figura 4.9 Configuración típica de un filtro en baja tensión

La Figura 4.15 muestra la configuración típica de un filtro en plantas industriales. Los efectos del filtro cambian la respuesta a la frecuencia del sistema como se muestra en la Figura 4.16. Por lo que es importante tener presente los problemas que se pueden tener por una mala sintonización del filtro.

Figura 4.10 Respuesta del sistema al ser utilizado el banco de capacitores como parte del filtro.

4.5.3 Corrección del Factor de Potencia en Sistemas con Armónicas

La corrección del factor de potencia se puede ilustrar mediante los siguientes esquemas. En la Figura 4.17 se observa que el sistema esta entregando una corriente



activa IR y una corriente reactiva IL la cual provoca un bajo factor de potencia. Prácticamente este efecto se observa en la facturación y en la medición de los kW y kVAr en el primario del transformador.

Figura 4.11 Sistema con bajo factor de potencia

Para compensar este factor de potencia, basta con entregar la corriente reactiva de otro elemento en forma local, el cual puede ser de un banco de capacitores como se muestra en la Figura 4.18.

Figura 4.12 Factor de potencia compensado con un banco de capacitores

De esta manera se observa que el concepto de corregir el factor de potencia es simple. Pero qué pasa cuando se tiene que la carga además de las corrientes activas y reactivas que necesita para su operación también es generador de una corriente armónica Ih; entonces está pasando lo mostrado en la Figura 4.19. Prácticamente se observaría un bajo factor de potencia en la facturación y también en los kW y kVAr medidos en el primario del transformador, pero la circulación de esta armónica no se conocería con estos aparatos.



Figura 4.13 Carga con bajo factor de potencia y circulación de corrientes armónicas

De esta manera, lo primero que se tendría en este sistema es corregir el factor de potencia en la forma tradicional, como se muestra en la Figura 4.20. La Figura 4.20 muestra que la corriente reactiva está siendo suministrada en forma local a la carga por el capacitor, pero existe ahora la corriente armónica que circula entre el sistema, el capacitor y la carga. La circulación de esta corriente provoca la excitación del circuito resonante sistema-capacitor, pudiendo llegar a destruir el banco.

Figura 4.14 Efecto del capacitor en un sistema contaminado por armónicas

Ahora se tiene que es necesario cambiar la trayectoria de esta corriente armónica, como se muestra en la Figura 4.21, dando lugar a que el sistema solamente entrega la corriente activa, cumpliendo así con la corrección del factor de potencia y el control de armónicas.



Figura 4.15 Efecto de un filtro utilizado para compensar el factor de potencia

4.5.3.1 Consideraciones prácticas en la corrección del factor de potencia Las consideraciones prácticas para la implementación de un filtro toman en cuenta los límites para capacitores.

Tabla 4.3 Limites para el capacitor

Valores incluyendo armónicas LIMITE en % del nominal IRMS 135 VRMS 110 VPICO 120 kVAr 135

4.5.4 Protecciones para los filtros

La protección o protecciones con que deben contar los filtros para la eliminación de armónicas deben cumplir con lo siguiente:

• Deben de proteger tanto a los capacitores y equipo del filtro, como al usuario contra descargas o choques eléctricos.

• Deben ser seguros ya que por el filtro va a circular la corriente a frecuencia fundamental y la corriente a la frecuencia de la armónica.

• De igual manera sucedería con la tensión en las terminales de dicho filtro. Algunos de los procedimientos para la protección del filtro son las siguientes:

• Protección térmica para bobinas. • Capacitores sobredimensionados. • Protección contra sobretensión. • Protección contra sobrecorriente.



Si en una misma línea o bus se tiene conectados varios filtros sintonizados a diferentes frecuencias armónicas, es recomendable que dichos filtros lleven una secuencia, ya sea para entrar o salir. Dicha secuencia se debe hacer de la siguiente manera: Para entrar deben entrar los filtros de la frecuencia armónica más baja hasta los de frecuencia armónica más alta. Para sacar los filtros se debe de hacer en sentido contrario a lo descrito anteriormente, es decir el, de la frecuencia más alta hasta el de menor frecuencia. Esto con el fin de evitar problemas de resonancia. Otro punto muy importante es que el filtro, por protección, se debe sintonizar a una frecuencia un poco más baja a la deseada, por ejemplo para eliminar la 5ª armónica, es recomendable sintonizar el filtro a la 4.7ª. Esto es porque, por lo general, la corriente armónica no va a estar exactamente a la frecuencia de la armónica, sino a una frecuencia menor [5].

CAPÍTULO 5: METODOLOGÍA Y CASOS DE ESTUDIO


CAPÍTULO 5

5 METODOLOGÍA Y CASOS DE ESTUDIO 5.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se propone la metodología para la implementación de filtros armónicos en sistemas eléctricos, tomando en cuenta los limites de distorsión armónica establecidos en la norma IEEE-519-1992. Dentro de su desarrollo, se considera la formulación de una serie de pasos como herramienta general cuyo fin es analizar el comportamiento de los filtros pasivos en sistemas eléctricos. También se presentan los resultados de las simulaciones utilizando Matlab, teniéndose tres casos de estudio, los casos analizados son: Caso de estudio 1 “sistema de prueba de 6 nodos del IEEE” el sistema cuenta con dos cargas no lineales que consiste en un compensador estático, que es un arreglo de un banco de capacitores y un reactor controlado por tiristores (TCR) y una empresa de fundición y dos bancos de capacitores; Caso de estudio 2 “Sistema de prueba de 16 nodos del IEEE” tiene una carga no lineal que es una empresa de fundición y un banco de capacitores; Caso de estudio 3: “Equivalente del sistema de transmisión de la división sureste de la CFE (Comisión Federal de Electricidad)” en este caso sólo se contaba con el banco de capacitores y se implemento la carga no lineal (industria),debido a que no rebasaba los limites de %THD. Para la obtención del comportamiento de dichas redes, se requirió de los estudios de flujo de potencia convencional, para conocer los niveles de tensión y utilizar bancos de capacitores para su compensación. El método de barrido en frecuencia para conocer puntos de resonancia de los sistemas. El método de inyección de corrientes para conocer las tensiones nodales y a su vez obtener los índices de distorsión armónica. Basándose en la norma IEEE-1531-2003 se calcularon los elementos del filtro. Finalmente se vuelve a hacer el estudio previamente descrito para observar el comportamiento del sistema al implementar los filtros pasivos sintonizados.



5.2 METODOLOGÍA Como se menciono en capítulos anteriores que con incremento de la electrónica de potencia y el uso de equipos que funcionan a base a fuentes conmutadas. Se vio la necesidad de realizar una herramienta que facilite el análisis de propagación y filtración de harmónicas en sistemas eléctricos. Se decidió utilizar el lenguaje de programación de MATLAB (Matrix Laboratory “laboratorio de matrices”), que es una herramienta muy eficaz en la realización de operaciones muy complejas y un lenguaje de programación fácil de entender. Se realizaron tres programas principales los cuales son:

1. Estudios de flujo de potencia convencional que se utiliza para conocer los niveles de tensión y potencias de demanda y generación. • sistema_6nodos.m • sistema_16nodos.m • red_oaxaca.m

2. El método de barrido en frecuencia que nos sirve para ver los puntos de en

donde pueda existir resonancia. • sistema_6nodos_DPI.m • sistema_16nodos_DPI.m • red_oaxaca_DPI.m

3. Calculo de tensiones armónicas y graficas del espectro armónico.

• sistema_6nodos_Vh.m • sistema_16nodos_Vh.m • red_oaxaca_Vh.m

En el apéndice D se incluyen los códigos de los programas siguiendo la metodología la cual se describe a continuación.

5.2.1 Información del sistema

Las unidades que se manejan en esta tesis deben de ser en por unidad (p.u), debido a que facilita el análisis del sistema, así como cálculos para el diseño del filtro. 5.2.1.1 Topología

• Diagrama unifilar 5.2.1.2 Parámetros

• Líneas de transmisión (R, X, semisusceptancia (B/2))



• Cargas (P, Q) • Generadores (P, V, X, R) • Elementos en derivación (XC, XL, R) • Cargas no lineales (espectros de corrientes armónicas de magnitud y

ángulo)

5.2.2 Análisis de Flujos de Potencia a frecuencia fundamental.

En esta tesis no se mencionara a detalle el análisis de flujos de potencia debido a que es un tema muy extenso, sólo se tomaran las magnitudes y ángulos de tensión, dando le mayor importancia al comportamiento del sistema en presencia de armónicas.

5.2.3 Análisis de Barrido en Frecuencia en un rango de 0 a 3000 Hz.

Para este análisis se debe de formar la matriz de admitancias nodales a diferentes frecuencias. Para esto se representan los elementos del sistema a estudiar considerando lo siguiente: 5.2.3.1 Líneas y transformadores 𝑍 (ℎ) = 𝑅 + 𝑗𝑋 (ℎ) 𝑌 = 𝑗ℎ𝐵 5.2.3.2 Cargas Se representan como cargas pasivas mediante un equivalente, usando el modelo 3 de CIGRE.

SL

L XXR

RXhZ ++

=)(

Donde

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

===

74.03

37.6

)(3

2073.0)(

φ

φφ

P

Q

hRjhLX

PLLV

RhRjhSX

5.2.3.3 Generadores

hjXhRhZ dg")( +=

5.2.3.4 Capacitores en derivación



Pueden ser bancos de capacitores o reactores. 𝑍(ℎ) = −𝑗 𝑋ℎ + 𝑗ℎ𝑋 + 𝑅

Una vez formada la matriz de admitancias del sistema 𝑌 se procede a invertirla, para obtener la matriz de impedancia 𝑍 .

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NNh

jNh

Nh

Nh

Njh

jjh

jh

jh

Nh

jhhh

Nh

jhhh

h

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZZZZZ

Z

,,2,1,

,,2,1,

,2,22,21,2

,1,11,11,1

LL

MOMOMM

LL

MOMOMM

LL

LL

Siendo 𝑍 , el “Driving Point Impedance” del nodo j a diferentes frecuencias.

5.2.4 Identificación de fuentes significativas de armónicas (modelado)

La fuente de inyección de armónicas se modela como sigue.

φ1)(% IhhI =

Donde (%h) es el porcentaje de la corriente a frecuencia fundamental dada por:

)2/(3

31

πθφφ

±= jeLLV

QI

Obteniendo el vector de inyección de corrientes. Por ejemplo en un sistema de 6 nodos se tiene 3 cargas no lineales en los nodos 2, 3 y 6.

𝑰 =⎣⎢⎢⎢⎢⎡

0|𝐼 |∠𝜃|𝐼 |∠𝜃00|𝐼 |∠𝜃 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤



5.2.5 Análisis de Propagación de Armónicas en la red mediante el Método de Inyección de Corrientes.

La matriz de admitancias nodales se forma para las armónicas que inyectan las cargas no lineales. Y el vector de inyecciones armónicas tiene valores de cero a excepción de los nodos que contengan las cargas no lineales, que es donde se encuentra la inyección armónica. Para obtener las tensiones armónicas de los nodos resolviendo la siguiente ecuación 𝑽 = 𝒀 ∗ 𝑰

5.2.6 Cálculo de %THD de tensión

Una vez obtenidas las tensiones armónicas se calcula el %THD con la siguiente fórmula:

%𝑇𝐻𝐷 = ∑ 𝑉𝑉 𝑥100

5.2.7 Comparación del THD obtenido con los límites establecidos por la norma IEEE-519 1992 [6] para tensiones. Si el %THD de tensión no está dentro norma, diseñar el/los filtro/s armónico/s pasivo/s para atenuar los niveles de distorsión armónica.

5.2.7.1 Cálculo de los parámetros del filtro armónico El objetivo de esta sección es ilustrar el proceso de diseño para filtros armónicos en una manera sistemática. Para el diseño del filtro se tendrán dos casos: Cuando no existe un banco de capacitores y se encuentra un banco utilizado para compensar la potencia reactiva 5.2.7.2 Cálculo de los parámetros del filtro armónico cuando no se tiene un banco

de capacitores. De acuerdo a los datos proporcionados del sistema de donde se requiere instalar un, se debe diseñar un banco de capacitores para corregir el factor de potencia (debido a a que la carga no lineal ocasiona un bajo factor de potencia). El banco de capacitores se puede diseñar de diferentes maneras, pero en nuestro caso se procederá de la siguiente manera.

• Con la potencia activa P y la potencia Reactiva Q se calcula la potencia aparente S



𝑆 = 𝑃 + 𝑄 • El factor de potencia

𝑓. 𝑝 = 𝑃𝑆

• Corrección del factor de potencia a un rango que no provoque penalizaciones por parte de la compañía (0.9 a 1)

𝑄 (𝑉𝐴𝑟) = (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛)(𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎) = (tan 𝜃 − tan 𝜃 )(𝑃)

Donde: 𝜃 = Angulo del factor de potencia actual 𝜃 = Angulo del factor de potencia deseado

• Con el diseño del banco de capacitores se seleccionan los capacitores a valores comerciales (MVAr) que formaran el banco, basándonos en la norma IEEE-18 2002.

• La elección del nivel de tensión de los capacitores se dejara al final, debido a que se deben considerar las tensiones aportadas presentes en el nodo de estudio.

• Se calcula la reactancia efectiva del filtro.

𝑋 = (𝑉 )𝑄

• Tras haber hecho el análisis descrito anteriormente (barrido en frecuencia,

propagación de armónicas y calculo de %THD) e identificado la armónica que se desea filtrar, se debe de considerar un porcentaje menor de la frecuencia de sintonía como lo sugiere a la norma IEEE-1531 2003 para evitar posibles resonancias con otras armónicas al aumento o disminución de carga. En esta tesis se manejara 6% menor de la frecuencia de sintonía para todos los casos.

𝑋 = (ℎ ∗ 0.6)(ℎ ∗ 0.6) − 1 ∗ 𝑋

• Se calcula el rector del filtro



𝑋 = 𝑋ℎ ∗ 0.6

• Para el cálculo del reactor se debe de considerar el factor de calidad (Qf), que la relaciona de la capacidad del filtro pa ra disipar la energía a la frecuencia sintonizada. Tras haber varias literaturas de diseño de filtros, se sugiere que Qf tenga un valor de 20 a 30. En esta tesis se manejara un factor de calidad de 20 para todos los casos. 𝑅 = 𝑋 ∗ (ℎ ∗ 0.6)𝑄

• Para comprobar que el filtro no baya a sufrir daño por posibles sobrecorrientes

debido a la presencia de corrientes armonicas, se procede a corroborar que no rebase un 1.35% de la corriente fundamental como lo establece la norma IEEE-18 2002.

𝐼 (1) = 𝑉 √3(𝑋 − 𝑋 )

Calculo de las corrientes armónicas inyectadas por la carga no lineal en % de la fundamental 𝐼 = % 𝐼 Donde:

h = harmónica inyectada por la carga no lineal % = porcentaje de la corriente armónica con respecto a la fundamental,

obtenido de espectro armónico de corriente de la carga no lineal (proporcionado como dato del sistema)

La corriente total que circula por el filtro está dada por: 𝐼 = 𝐼 + ⋯ + 𝐼

Donde:

h = Harmónica inyectada por la carga no lineal n = Numero armónicas inyectadas por la carga no lineal

Se verifica que se cumpla lo establecido en la norma



% 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼 𝐼 (1) ∗ 100 ≤ 135% 𝐼

• Revisar que el nivel de tensión no rebase la tensionde diseño del banco de

capacitores, basándonos en la norma IEEE-18 2002. Calculo de la tensión a frecuencia fundamental 𝑉 (1) = 𝐼 (1) ∗ 𝑋 Calculo de las tensiones provocadas por las armónicas 𝑉 (ℎ) = 𝐼(ℎ) ∗ 𝑋ℎ

Se debe de revisar que se cumplan los siguientes límites (norma IEEE-18 2002): Para tensiones pico % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑉 𝑉 ∗ 100 ≤ 120% 𝑉

Para tensiones RMS % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑉 𝑉 ∗ 100 ≤ 110%𝑉

• Finalmente con el cumplimiento de la norma IEEE-18 se establece el arreglo del filtro.

5.2.7.3 Cálculo de los parámetros del filtro cuando se tiene un banco de

capacitores. Para el diseño de los elementos del filtro al existir un banco de capacitores se sigue el mismo procedimiento que el anterior, solo que es a partir del cálculo de la reactancia efectiva del filtro (Xeff).



5.2.8 Repetir la metodología hasta la reducción del %THD de la norma IEEE-519 1992.

Tomando en cuenta de que la carga no lineal puede tener un amplio rango de inyección de corrientes armónica y de magnitudes diferentes, se debe de hacer el análisis de comportamiento del sistema con la instalación del filtro (solo por mencionarlo se incluyen como elementos en derivación) y de ser necesario se diseña otro filtro o hasta cumplir con los lineamientos de la norma IEEE-519.



5.2.9 Diagrama de flujo de la metodología empleada.

INICIO

Información del sistema

Análisis de Flujos de Potencia a frecuencia fundamental

Análisis de Barrido en Frecuencia en un rango de 0 a 3000 Hz.

Análisis de Propagación de Armónicas en la red mediante el Método de Inyección de Corrientes

Cálculo de %THD de tensión

%THD > Norma IEEE-519 1992

Cálculo de los parámetros del filtro

FIN

SI

NO

Identificación de fuentes significativas de armónicas (modelado)



5.3 CASO DE ESTUDIO 1: SISTEMA DE PRUEBA DE 6 NODOS DEL IEEE La red eléctrica de la Figura 5.1 consiste de un sistema de 6 nodos, de los cuales 2 son de generación y 4 son de carga. Para mantener las tensiones adecuadas, se requiere de una compensación de potencia reactiva en el nodo 4 mediante un banco de capacitores, y en el nodo 6 de un compensador estático de VArs. El compensador estático es un arreglo de un banco de capacitores y un reactor controlado por tiristores (TCR). Así mismo se tiene una empresa de fundición en el nodo 3. Los únicos elementos que inyectan armónicas son el TCR y la empresa de fundición.

Figura 5.1 Red eléctrica del sistema de prueba de 6 nodos del IEEE

La Tabla 5.1 muestra los datos de la red en p.u. (por unidad), donde N1 y N2 son los nodos de conexión, R es la resistencia, X la reactancia, y B/2 la susceptancia en derivación.

Tabla 5.1 Datos de las líneas

N1 N2 R X B/2 1 2 0.02 0.04 0.02 2 3 0.04 0.20 0.02 3 5 0.15 0.40 0.02 3 4 0.02 0.40 0.01 4 5 0.02 0.40 0.01 6 5 0.02 0.40 0.02 2 5 0.02 0.40 0.02

La Tabla 5.2 muestra los datos de las cargas en p.u. Donde N es el nodo de conexión, P la potencia activa y Q la potencia reactiva.



Tabla 5.2 Datos de cargas

N P Q 1 0.00 0.00 2 0.60 0.20 3 0.65 0.50 4 0.40 0.15 5 0.50 0.25 6 0.00 0.20

La carga indicada del nodo 3, corresponde a la potencia que demanda la empresa de fundición. La carga indicada en el nodo 6, corresponde a la potencia reactiva demandada por el TCR. Se debe de hacer la aclaración de que los nodos de cargas no lineales no se deben de mezclar con cargas lineales, solamente se pueden mezclar con elementos en derivación, esto es con el fin de que el software (Matlab) realice los cálculos correctos de las inyecciones de corrientes armónicas. Las tablas siguientes muestran los datos de los nodos de generación, los valores de los elementos de compensación o derivación, y la magnitud de las corrientes armónicas generadas por las cargas no lineales, los datos se encuentran en p.u.

Tabla 5.3 Datos de generación

N Pg V Xg Rg 1 0.00 1.000 0.0001 0.000012 0.30 0.985 0.0050 0.00005

Tabla 5.4 Elementos en derivación rama RLC en p.u.

N XC XL R 4 1.5 0 0 6 3 0 0

Tabla 5.5 Corrientes armónicas de las cargas no lineales

Fundidora TCR H Magnitud en % Ángulo en grados Magnitud en % Ángulo en grados1 100% 0 100% 0 5 0 0 25% 180 7 0 0 15% 0 11 15% 75 10% 180 13 3% 20 5% 0



La propagación de armónicas se realiza utilizando el estudio de barrido en frecuencia el cual consiste de los siguientes cuatro puntos que son:

a) Estudio de Flujos de Potencia en estado estable b) Estudio de Respuesta a la Frecuencia en cada uno de los nodos del sistema c) Inyección de las Corrientes Armónicas al sistema d) Determinación de las tensiones Armónicas en la red

Flujos de Potencia en Estado Estable Las tensiones nodales y las potencias de generación y demanda que se presentan en la Tabla 5.6 se obtienen de un estudio de flujos de potencia convencional con los datos del sistema. Para la obtención de estos resultados ver el Apéndice D.1.1.

Tabla 5.6 Tensiones Nodales, potencias de generación y demanda

Nodo de Conexión Tensión Generación Carga No. Magnitud Ángulo Pg(p.u.) Qg(p.u.) Pd(p.u.) Qd(p.u.)

1 1 0 1.996 -0.5395 0 0 2 0.9850 -5.2559 0.3 1.2103 0.6 0.2 3 0.9115 -17.4462 0 0 0.65 0.2 4 1.0409 -23.8815 0 0 0.4 0.15 5 0.9576 -20.1116 0 0 0.5 0.25 6 1.0243 -20.3110 0 0 0 0.2

Tabla 5.7 Potencia del sistema

Potencia p.u. Generación 2.2960 Demanda 2.1500 Pérdidas 0.1460



Barrido en frecuencia

Figura 5.2 circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones

armónicas en la red

En la Figura 5.3 se presenta el barrido en frecuencia de todos los nodos, para un rango entre la armónica 0 y la 50. Como se puede observar en esta grafica para este rango de frecuencias, el nodo 3 entra en resonancia con las armónica 11 y 13, esto ocasionará que la tensión de la armónica 11 y 13 sea muy elevada en el nodo 3 debido a que son armónicas que están presentes en el sistema las cuales son inyectadas por la fuente armónica de la fundidora. El nodos 6 entra en resonancia con la armónica 5, esto ocasionará que la tensión de la armónica 5 sea muy elevado en el nodo 6 debido a que es una armónica que está presente en el sistema la cual es inyectada por la fuente armónica del TCR. La respuesta a la frecuencia para cada uno de los nodos, se muestra en las Figuras 5.4 a la 5.9. Ver Apéndice D.2.1 para la obtención de dicho resultado.



Figura 5.3 Impedancia equivalente en todos los nodos

Figura 5.4 Impedancia equivalente en el nodo 1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.

Respuesta a la frecuencia

Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.





Fuentes de Inyección de Corrientes Armónicas Existen dos formas para determinar las corrientes armónicas producidas por fuentes armónicas, la primera y la más confiable es la medición directa en los puntos de acoplamiento común de las cargas generadoras de armónicas y la segunda es mediante el modelado de las cargas generadoras de armónicas. En la Tabla 5.8 se presentan las inyecciones de corrientes armónicas medidas en las cargas no lineales de los nodos 3 y 6, fundidora y TCR respectivamente.

Tabla 5.8 Corrientes armónicas de las cargas no lineales

Fundidora TCR H Magnitud en % Ángulo en grados Magnitud en % Ángulo en grados1 100% 0 100% 0 5 0 0 25% 180 7 0 0 15% 0 11 15% 75 10% 180 13 3% 20 5% 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.




La representación en el tiempo de estas corrientes se muestra en las Figuras 5.10 y 5.11. Para ver la forma de obtener esta corriente ver Apéndice D.3.1.

Figura 5.10 Forma de onda de la corriente de la fundidora

Figura 5.11 Forma de onda de la corriente del TCR

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Corriente de la fundidora

Tiempo [seg]

Cor

rient

e [p

.u.]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Corriente del TCR

Tiempo [seg]

Cor

rient

e [p

.u.]



Tensiones Armónicas en la Red Para la obtención de las tensiones armónicas se tiene que resolver la siguiente ecuación para cada armónica de interés.

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎤ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 ,𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 ,𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 ,𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 ,𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 ,𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , 𝑌 , ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎤ ∗

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

00𝐼00𝐼 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ (5.11)

Donde la matriz de admitancias nodales se forma para las armónicas 5, 7, 11 y 13. Y el vector de inyecciones armónicas tiene valores de cero a excepción de los nodos 3 y 6, que es donde se encuentra la inyección armónica, de esta manera queda como:

𝑰 =⎣⎢⎢⎢⎢⎡

00|𝐼 |∠𝜃00|𝐼 |∠𝜃 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤ (5.12)

Una vez resuelta la ecuación (5.11) para las armónicas 5, 7, 11 y 13, se pueden obtener los resultados mostrados en la Tabla 5.9. Ver Apéndice D.4.1 para la obtención de los resultados.

Tabla 5.9 Tensiones nodales armónicas

Fundamental 5 7 N Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo 1 1 0 0 -87.6871 0 -55.3868 2 0.985 -5.2559 0.0002 -90.8291 0.0001 -57.3029 3 0.9115 -17.4462 0.0017 -96.8822 0.0009 -65.365 4 1.0409 -23.8815 0.0028 98.0371 0.0005 128.7677 5 0.9576 -20.1116 0.0107 -88.3175 0.0046 -53.2451 6 1.0243 -20.3110 0.0446 -77.0847 0.0163 -36.9018



11 13 N Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo 1 0 16.8942 0 50.9448 2 0.0036 16.0212 0.001 50.333 3 0.1383 21.5457 0.0364 63.75 4 0.0062 -165.3672 0.0012 -136.58765 0.0565 -9.196 0.0227 5.638 6 0.0096 -156.298 0.0032 -116.9599

Índices de distorsión armónica Donde el THD está calculado como:

2 2 2 25 7 11 13

1

100%V V V V

THDV

+ + += × (5.13)

Tabla 5.10 Distorsión armónica

N THD (%) 1 0.0009 2 0.3751 3 15.6888 4 0.6651 5 6.4732 6 4.7455

La figura 5.12 representa el espectro armónico de las tensiones armónicas en cada uno de los nodos. Ver Apéndice D.4.1 para la obtención de la gráfica. La Figura 5.13 muestra la forma de onda de tensión para el nodo 3 (el nodo con mayor valor de THD). Ver Apéndice D.4.1 para la obtención de esta forma de onda.



Figura 5.12 Tensiones armónicas en cada uno de los nodos

Figura 5.13 Forma de onda de tensión en el nodo 3

1 5 7 11 130

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Armónicas

Mag

nitu

d de

ten

sión

en

p.u.

Tensiones armónicas en los nodos de la red

Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Tensión en el nodo 3

Tiempo [seg]

Ten

sión

[p.

u.]



Análisis de las tensiones armónicas En la Tabla 5.10 se observa que en los nodos 3, 5 y 6 se sobrepasan los límites del %THD de tensión recomendados en la norma IEEE-519-1992 [6], debido a que la tensión del sistema es 115 kV. Por lo que es necesario realizar el diseño del filtro en los nodos requeridos para reducir la distorsión armónica de tensión. El diseño se realizará utilizando la metodología propuesta. DISEÑO DE LOS FILTROS PASIVOS SINTONIZADOS SERIE RLC Valores base del sistema:

𝑀𝑉𝐴 = 100 𝑘𝑉 = 115 𝑍 = 𝑘𝑉𝑀𝑉𝐴 = 115100 = 132.25 Ω

Cálculo del filtro para eliminar la onceava armónica (sintonizada a un - 6% de la frecuencia armónica, de acuerdo con la norma IEEE-1531-2003 [8]) en el nodo 3. Con los datos del sistema que se tienen en el nodo 3. 𝑃 . . = 0.65 𝑦 𝑄 . . = 0.5 Se realiza lo siguiente: La potencia aparente está dada por: 𝑆 . . = 𝑄 . . + 𝑃 . . = 0.5 + 0.65 = 0.8201 𝑀𝑉𝐴 = 𝑀𝑉𝐴 ∗ 𝑆 . . = (100 ∗ 10 ) ∗ 0.8201 = 82.02 𝑀𝑉𝐴 El factor de potencia es: 𝑓𝑝 = 𝑃 . .𝑆 . . = 0.650.8201 = 0.7926



Se desea elevar el factor de potencia hasta un valor de 0.95. Por lo tanto la potencia de los capacitores debe ser de: 𝜃 = cos (𝑓𝑝 ) = cos (0.7926) = 37.5686° 𝜃 = cos (𝑓𝑝 ) = cos (0.95) = 18.1949° 𝑄 = 𝑃(tan 𝜃 − tan 𝜃 ) = (𝑀𝑉𝐴)(𝑓𝑝 ) ∗ (tan 𝜃 − tan 𝜃 )= (82.01 ∗ 10 )(0.7926) ∗ (tan 37.5686 − tan 18.1949) = 28.64 𝑀𝑉𝐴𝑟 El arreglo del banco de capacitores trifásico instalado en el nodo 3 se debe seleccionar con respecto a los valores comerciales establecidos en la norma IEEE-18-2002 [7]. El arreglo del banco estará formado de 5 grupos en serie por fase, cada grupo formado por 12 unidades de capacitores de 150 kVAr (1800 kVAr por grupo), haciendo un total de 9 MVAr por fase y 27 MVAr trifásicos. Nota: la tensión de los capacitores se establecerá al final del diseño del filtro, este deberá ser considerado a partir del resultado de la tensión a frecuencia fundamental y las tensiones armónicas a las que estará sometido el banco de capacitores. 𝑉 = 𝑘𝑉 ∗ 𝑉 . . = 115 ∗ 1 = 115 𝑘𝑉 𝑋 = 𝑉 𝑄 (𝑀𝑉𝐴𝑟) = (115 ∗ 10 )27 ∗ 10 = 489.8148 Ω por fase

𝑋 = ℎℎ − 1 ∗ 𝑋 = 10.3410.34 − 1 ∗ 489.8148 Ω = 494.4394 Ω = 3.7387 p. u. 𝐶 = 12𝜋𝑓𝑋 = 12 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 ∗ 494.4394 Ω = 5.364 𝜇𝐹

𝑋 = 𝑋ℎ = 494.4394 Ω10.34 = 4.6246 Ω = 0.035 p. u. 𝐿 = 𝑋2𝜋𝑓 = 4.6246 Ω2 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 = 12.2671 𝑚𝐻

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄 (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜) = 20 𝑅 = 𝑋 (𝑓 )𝑄 = 4.6246 Ω (10.34)20 = 2.3909 Ω = 0.0181 𝑝. 𝑢.



Para que el filtro pasivo serie RLC se sintonice a la frecuencia requerida, se debe cumplir la siguiente condición: 𝑋 = 𝑋 𝑋 (ℎ = 10.34) = 𝑋ℎ = 494.4394 Ω10.34 = 47.8181 Ω 𝑋 (ℎ = 10.34) = 𝑋 ∗ ℎ = 4.6246 Ω ∗ 10.34 = 47.8181 Ω

𝐼 (1) = 𝑉 √3(𝑋 − 𝑋 ) = 115 𝑘𝑉 √3(494.4394 Ω − 4.6246 Ω) = 135.5518 𝐴

Corrientes armónicas con respecto a la fundamental: 𝐼 = 25% 𝐼 = 33.8880 𝐴 𝐼 = 15% 𝐼 = 20.3328 𝐴 𝐼 = 10% 𝐼 = 13.5552 𝐴 𝐼 = 5% 𝐼 = 6.7776 𝐴 𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 =√135.5518 𝐴 + 33.8880 + 20.3328 + 13.5552 + 6.7776 = 142.0063 A

% 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼 𝐼 (1) ∗ 100 = 142.0063 A135.5518 𝐴 ∗ 100 = 104.7616 %

𝐼 = 104.7616% 𝐼 (1)≤ 135% 𝐼 (1) 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 (1) = 𝐼 (1) ∗ 𝑋 = 135.5518 𝐴 ∗ 494.4394Ω = 67.022 kV 𝑉 (ℎ) = 𝐼(ℎ) ∗ 𝑋ℎ

𝑉 (5) = 33.8880 𝐴 ∗ 494.4394 Ω5 = 3.351 𝑘𝑉 𝑉 (7) = 20.3328 𝐴 ∗ 494.4394 Ω7 = 1.436 𝑘𝑉



𝑉 (11) = 13.5552 𝐴 ∗ 494.4394 Ω11 = 0.6093 𝑘𝑉 𝑉 (13) = 6.7776 𝐴 ∗ 494.4394 Ω13 = 0.2578 𝑘𝑉 𝑉 (ℎ) = 5.6544 𝑘𝑉 𝑉 = √2 ∗ 𝑉 (1) + 𝑉 (ℎ) = √2 ∗ (67.022 kV + 5.6544 𝑘𝑉)= 102.7799 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 115 𝑘𝑉√3 = 66.3953 𝑘𝑉

𝑉 = √2 ∗ 𝑉 = 93.8971 𝑘𝑉 % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑉 𝑉 ∗ 100 = 102.7799 𝑘𝑉93.8971 𝑘𝑉 ∗ 100 = 109.46 %

𝑉 = 109.46% 𝑉 ≤ 120%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 = 𝑉 (1) + 𝑉 (5) + 𝑉 (7) + 𝑉 (11) + 𝑉 (13) = 67.1245 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 115 𝑘𝑉√3 = 66.3953 𝑘𝑉

% 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑉 𝑉 ∗ 100 = 67.1245 𝑘𝑉66.3953 𝑘𝑉 ∗ 100 = 101.0982 %

𝑉 = 101.0982 %𝑉 ≤ 110%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 1992 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑄 = 𝑉 𝑋 ∗ 3 = (67.1245 ∗ 10 )494.4394 Ω ∗ 3 = 27.3382 𝑀𝑉𝐴𝑟

% 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝐴 = 𝑄 𝑄 ∗ 100 = 27.3382 𝑀𝑉𝐴𝑟27 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 100 = 101.2527 %



𝑄 = 101.2527 % 𝑄 ≤ 135 % 𝑄 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 La revisión final del diseño del filtro armónico es ver que el calentamiento del dieléctrico del capacitor del filtro armónico es aceptable con respecto del IEEE-18-2002. El calentamiento del dieléctrico es evaluado por la siguiente desigualdad: 𝑉(ℎ)𝐼(ℎ) ≤ 1.35 𝑄

3 ∗ (67.022 kV ∗ 135.5518 𝐴) + (3.351 𝑘𝑉 ∗ 33.8880 𝐴) + (1.436 𝑘𝑉 ∗ 20.3328 𝐴)+ (0.6093 𝑘𝑉 ∗ 13.5552 𝐴) + (0.2578 𝑘𝑉 ∗ 6.7776 𝐴)≤ 1.35 ∗ 27.3382 𝑀𝑉𝐴𝑟 Comparando la desigualdad se tiene: 27.7132 ≤ 36.9066 𝑀𝑉𝐴𝑟 La desigualdad es satisfecha con margen substancial, por lo tanto el calentamiento dieléctrico del diseño propuesto es satisfactorio. Finalmente el filtro estará formado por un banco de capacitores trifásico de 27 MVAr conectado en estrella y reactores de 4.6246 Ω (12.2671 mH) por fase. El banco de capacitores estará formado por 5 grupos en serie por fase, cada grupo formado por 12 unidades de capacitores a una tensión por grupo de 13.28 kV y un total de los cinco grupos en serie de 66.4 kV de fase a neutro. El arreglo del filtro armónico se muestra en la Figura 5.14.



Figura 5.14 Arreglo del filtro armónico instalado en el nodo 3



Cálculo del filtro para eliminar la séptima armónica (sintonizada a un - 6% de la frecuencia armónica, de acuerdo con la norma IEEE-1531-2003) en el nodo 6. 𝑋 = 𝑋 . . ∗ 𝑍 = 3 ∗ 132.25 Ω = 396.75 Ω por fase 𝑄 (𝑀𝑉𝐴𝑟) = 𝑘𝑉 𝑋 = (115 ∗ 10 𝑉)396.75 Ω = 33.333 𝑀𝑉𝐴𝑟

𝑋 = ℎℎ − 1 ∗ 𝑋 = 6.586.58 − 1 ∗ 396.75 Ω = 406.1302 Ω = 3.07093 𝑝. 𝑢. 𝐶 = 12𝜋𝑓𝑋 = 12 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 ∗ 406.1302 Ω = 6.531 𝜇𝐹

𝑋 = 𝑋ℎ = 406.1302 Ω6.58 = 9.3802 Ω = 0.07093 𝑝. 𝑢. 𝐿 = 𝑋2𝜋𝑓 = 9.3802 Ω2 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 = 24.8817 𝑚𝐻

Para Qf = 20 𝑅 = 𝑋 (𝑓 )𝑄 = 9.3802 Ω (6.58)20 = 3.0861 Ω = 0.02334 𝑝. 𝑢. Para que el filtro pasivo serie RLC se sintonice a la frecuencia requerida, se debe cumplir la siguiente condición: 𝑋 = 𝑋 𝑋 (ℎ = 6.58) = 𝑋ℎ = 406.1302 Ω6.58 = 61.7219 Ω 𝑋 (ℎ = 6.58) = 𝑋 ∗ ℎ = 9.3802 Ω ∗ 6.58 = 61.7217 Ω

𝐼 (1) = 𝑉 √3(𝑋 − 𝑋 ) = 115 𝑘𝑉 √3(406.1302 Ω − 9.3802 Ω) = 167.3479 𝐴

𝐼 = 25% 𝐼 = 41.837 𝐴



𝐼 = 15% 𝐼 = 25.1022 𝐴 𝐼 = 10% 𝐼 = 16.7348 𝐴 𝐼 = 5% 𝐼 = 8.3674 𝐴 𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 =√167.3479 + 41.837 + 25.1022 + 16.7348 + 8.3674 = 175.3164 A % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼 𝐼 (1) ∗ 100 = 175.3164 A167.3479 𝐴 ∗ 100 = 104.7616 %

𝐼 = 104.7616% 𝐼 (1)≤ 135%𝐼 (1) 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 (1) = 𝐼 (1) ∗ 𝑋 = 167.3479 𝐴 ∗ 406.1302 Ω = 67.965 kV 𝑉 (ℎ) = 𝐼(ℎ) ∗ 𝑋ℎ

𝑉 (5) = 41.837 𝐴 ∗ 406.1302 Ω5 = 3.3983 𝑘𝑉 𝑉 (7) = 25.1022 𝐴 ∗ 406.1302 Ω7 = 1.4564 𝑘𝑉 𝑉 (11) = 16.7348 𝐴 ∗ 406.1302 Ω11 = 0.6179 𝑘𝑉 𝑉 (13) = 8.3674 𝐴 ∗ 406.1302 Ω13 = 0.2614 𝑘𝑉 𝑉 (ℎ) = 5.7339 𝑘𝑉 𝑉 = √2 ∗ 𝑉 (1) + 𝑉 (ℎ) = √2 ∗ (67.965 kV + 5.7339 𝑘𝑉) = 104.226 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 115 𝑘𝑉√3 = 66.3953 𝑘𝑉

𝑉 = √2 ∗ 𝑉 = 93.8971 𝑘𝑉 % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑉 𝑉 ∗ 100 = 104.226 𝑘𝑉93.8971 𝑘𝑉 ∗ 100 = 111 %



𝑉 = 111% 𝑉 ≤ 120%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 = 𝑉 (1) + 𝑉 (5) + 𝑉 (7) + 𝑉 (11) + 𝑉 (13) = 68.0688 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 115 𝑘𝑉√3 = 66.3953 𝑘𝑉


𝑉 = 102.52 % 𝑉 ≤ 110%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑄 = 𝑉 𝑋 ∗ 3 = (68.0688 ∗ 10 )406.1302 Ω ∗ 3 = 11.4086 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 3 = 34.2257 𝑀𝑉𝐴𝑟 % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝐴 = 𝑄 𝑄 ∗ 100 = 34.2257 𝑀𝑉𝐴𝑟33.333 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 100 = 102.6781 %

𝑄 = 102.6781 % 𝑄 ≤ 135% 𝑄 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 La revisión final del diseño del filtro armónico es ver que el calentamiento del dieléctrico del capacitor del filtro armónico es aceptable con respecto del IEEE-18-2002. El calentamiento del dieléctrico es evaluado por la siguiente desigualdad: 𝑉(ℎ)𝐼(ℎ) ≤ 1.35 𝑄

3 ∗ (67.965 kV ∗ 167.3479 𝐴) + (3.3983 𝑘𝑉 ∗ 41.837 𝐴) + (1.4564 𝑘𝑉 ∗ 25.1022 𝐴)+ (0.6179 𝑘𝑉 ∗ 16.7348 𝐴) + (0.2614 𝑘𝑉 ∗ 8.3674 𝐴)≤ 1.35 ∗ 33.333 𝑀𝑉𝐴𝑟 34.6952 ≤ 44.9995 𝑀𝑉𝐴𝑟 La desigualdad es satisfecha con margen substancial, por lo tanto el calentamiento dieléctrico del diseño propuesto es satisfactorio.



Finalmente el filtro estará formado por un banco de capacitores trifásico de 33.333 MVAr conectado en estrella y reactores de 9.3802 Ω (24.8817 mH) por fase. BARRIDO EN FRECUENCIA CON FILTROS Flujos de Potencia en Estado Estable Las tensiones nodales se presentan en la Tabla 5.11. Para la obtención de estos resultados ver en detalle el Apéndice D.1.1.



1 1 0.0000 1.9968 -0.5398 0 0 2 0.9850 -5.2582 0.3 0.7836 0.6 0.2 3 0.9733 -17.3573 0 0 0.65 0.5 4 1.1097 -23.0232 0 0 0.4 0.15 5 1.0092 -19.5786 0 0 0.5 0.25 6 1.0897 -19.8715 0 0 0 0.2


Potencia p.u. Generación 2.2968 Demanda 2.1500 Perdidas 0.1425




Figura 5.15 Circuito equivalente pasivo usado para obtener el “driving point” y las tensiones


En las Figuras 5.16 y 5.17 se presenta el barrido en frecuencia de todos los nodos, para un rango entre la armónica 0 y la 50. Como se puede observar en esta grafica los nodos 3, 4, 5, 6 entran en resonancia para la armónica 2.5, y el nodo 6 entra en resonancia para la armónica 29. Estas armónicas no ocasionarán problemas debido a que no son inyectadas al sistema. La respuesta a la frecuencia para cada uno de los nodos, se muestra en las Figuras 5.18 a la 5.25. Ver Apéndice D.2.1 para la obtención de dicho resultado.




Figura 5.17 Detalle de la figura 5.16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

140

160

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

1

2

3

4

5

6

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6





0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


2 4 6 8 10 12 14 16

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

140

160

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


2 4 6 8 10 12 14 16

0

1

2

3

4

5

6

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.




Tensiones Armónicas en la Red Para la obtención de dichos resultados ver Apéndice D.4.1.


Fundamental 5 7 N Magnitud Angulo Magnitud Angulo Magnitud Angulo 1 1 0 0 -102.3796 0 93.5134 2 0.9850 -5.2582 0.0001 -105.5216 0 91.5974 3 0.9733 -17.3573 0.0019 -123.351 0.0001 -56.7024 4 1.1097 -23.0232 0.0012 87.1288 0 -77.6523 5 1.0092 -19.5786 0.0039 -88.2864 0.0005 102.75796 1.0897 -19.8715 0.0153 -74.5626 0.0020 117.1948

11 13

N Magnitud Angulo Magnitud Angulo1 0 15.6478 0 47.0607 2 0.0002 14.7749 0.0001 46.4489 3 0.0057 26.6597 0.0037 91.6599 4 0.0004 -167.5538 0.0002 -145.52725 0.0083 -0.0251 0.0093 13.2575 6 0.0116 33.0285 0.0085 68.3434

Índices de distorsión armónica Donde el THD está calculado con la fórmula (5.13):

Tabla 5.14 Distorsión Armónica

N THD (%) 1 0.0001 2 0.0269 3 0.7230 4 0.1192 5 1.2941 6 1.9354

La figura 5.26 representa el espectro armónico de tensiones en cada uno de los nodos. Ver Apéndice D.4.1 para la obtención de la gráfica. La Figura 5.27 muestra la forma de onda de tensión para el nodo 3. Ver Apéndice D.4.1 para la obtención de esta forma de onda.





1 5 7 11 130

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Armónicas

Mag

nitu

d de

ten

sión

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Tensión en el nodo 3

Tiempo [seg]

Ten

sión

[p.

u.]



Análisis de las tensiones armónicas Con los resultados de la simulación, se determina que la implementación de los filtros sintonizados serie RLC reduce satisfactoriamente el valor del %THD. Obteniéndose las siguientes reducciones:

Tabla 5.15 Comparativa del THD

N THD(%) ANTERIOR

THD(%) ACTUAL

3 15.6888 0.7230 5 6.4732 1.2941 6 4.7455 1.9354



5.4 CASO DE ESTUDIO 2: SISTEMA DE PRUEBA DE 16 NODOS DEL IEEE El sistema eléctrico de la Figura 5.28 está formado por 16 nodos, de los cuales 3 son de generación y 13 de carga. El nodo 16 se encuentra compensado con un banco de capacitores de 3.5 MVAr. En el nodo 14 se encuentra una empresa de fundición, la cual inyecta armónicas a la red.

Figura 5.28 Red eléctrica del sistema de prueba de 16 nodos del IEEE

La Tabla 5 .16 muestra los datos de la red en p.u., donde N1 y N2 son los nodos de conexión, R es la resistencia, X la reactancia, y B/2 la susceptancia en derivación.



Tabla 5.16 Datos de líneas

N1 N2 R X B/2 4 6 0.00665 0.03519 0.07458 8 10 0.00665 0.03519 0.07858 10 11 0.00998 0.05279 0.1119 2 4 0.01664 0.08798 0.18644 2 11 0.01664 0.08798 0.18644 5 7 0.008302 0.04555 0.00812915 16 0.02768 0.1518 0.0271 11 12 0.006656 0.035192 0.07457613 14 0.0521 0.1773 0.003707

Tabla 5.17 Datos de transformadores

N1 N2 R X B/2 1 2 0.003500 0.03500 0.000015 2 0.002722 0.03267 0.000013 12 0.002083 0.04167 0.00003 4 0.003846 0.03846 0.00005 6 0.001667 0.04167 0.00007 8 0.001667 0.04167 0.00009 10 0.001200 0.02400 0.0000

La Tabla 5.18 muestra los datos de las cargas en p.u. Donde N es el nodo de conexión, P la potencia activa y Q la potencia reactiva, ambas en p.u.


N P Q 3 0.45 0.155 0.65 0.727 0.90 0.209 0.15 0.0413 0.50 0.6514 0.43 0.3916 1.50 0.20

La Tabla 5.19 muestra los datos de los nodos de generación. La Tabla 5.20 muestra los valores de los elementos de compensación, y la Tabla 5.21 muestra la magnitud de las corrientes armónicas generadas por la empresa de fundición.



Tabla 5.19 Datos de generación

N Pg V X’’g Rg

1 0 1 0.0001 0.00001

3 1.1 1.0318 0.0050 0.00005

9 2.2 1.0500 0.0050 0.00005

Tabla 5.20 Elementos en derivación

N XC

16 3.5

Tabla 5.21 Corriente armónica de la carga no lineal

H TCR Magnitud (%) Ángulo (grados)

1 100 0 5 4.23 180 7 24.28 0 11 3.09 180 13 2.69 0


a) Estudio de Flujos de Potencia en estado estable b) Estudio de Respuesta a la Frecuencia en cada uno de los nodos del sistema c) Inyección de las Corrientes Armónicas al sistema d) Determinación de las Tensiones Armónicas en la red

Flujos de Potencia en Estado Estable Las tensiones nodales y las potencias de generación y demanda que se presentan en la Tabla 5.22 los cuales se obtienen de un estudio de flujos de potencia convencional con los datos del sistema. Para la obtención de estos resultados ver el Apéndice D.1.2.


Nodo de Conexión Tensión Generación Carga Magnitud Ángulo Pg(p.u.) Qg(p.u.) Pd(p.u.) Qd(p.u.)

1 1 0 1.4681 0.1416 0 0 2 0.9912 -2.9427 0 0 0 0



3 1.0318 -1.2788 1.1 0.6007 0.45 0.15 4 1.0128 -2.5545 0 0 0 0 5 0.9704 -4.6812 0 0 0.65 0.72 6 0.9932 -3.4342 0 0 0 0 7 0.9814 -4.4391 0 0 0.9 0.2 8 1.0012 -1.9821 0 0 0 0 9 1.0500 2.4566 2.2 1.204 0.15 0.04 10 1.0221 -0.0964 0 0 0 0 11 0.9713 -2.6967 0 0 0 0 12 0.9177 -4.3698 0 0 13 0.8800 -7.1088 0.5 0.65 14 0.7564 -11.9376 0.43 0.39 15 0.9741 -5.9454 0 0 16 0.9040 -21.0349 1.5 0.2


Potencia p.u. Generación 4.7681Demanda 4.5800Pérdidas 0.1857






En las Figuras 5.30 a la 5.32 se presenta el barrido en frecuencia de todos los nodos, para un rango entre la armónica 0 a 50, 0 a 30 y 0 a 10. Como se puede observar en estas graficas los nodos 4, 5 y 6 entran en resonancia con la armónica 7, esto ocasionará que la tensión de la armónica 7 sea muy elevada en los nodos 4, 5 y 6 debido a que son armónicas que están presentes en el sistema las cuales son inyectadas por la fuente armónica de la fundidora. También se observa que en el nodo 15 entra en resonancia con la armónica 37 aproximadamente, teniendo una elevada tensión, pero como no es inyectada al sistema por las cargas no lineales no se tendrá problema con dicha armónica. La respuesta a la frecuencia para cada uno de los nodos, se muestra en las Figuras 5.33 a la 5.49. Ver Apéndice D.2.2para la obtención de dicho resultado.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

350

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16



Figura 5.31 Detalle 1 de la Figura 5.30

Figura 5.32 Detalle 2 de la figura 5.30

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16





0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

350

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.





Fuente de Inyección de Corrientes Armónicas Existen dos formas para determinar las corrientes armónicas producidas por fuentes armónicas, la primera y la más confiable es la medición directa en los puntos de acoplamiento común de las cargas generadoras de armónicas y la segunda es mediante el modelado de las cargas generadoras de armónicas. En la Tabla 5.24 se presentan la inyección de corrientes armónicas medidas en la carga no lineal del nodo 14.

Tabla 5.24 Corrientes armónicas de la carga no lineal

H Fundidora Magnitud en % Ángulo en grados

1 100 0 5 4.23 180 7 24.28 60 11 3.09 180 13 2.69 30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.




La representación en el tiempo de esta corriente se muestra en la Figura 5.50. Para ver la forma de obtener esta corriente ver Apéndice D.3.2.


Tensiones Armónicas en la Red Para la obtención de las tensiones armónicas se tiene que resolver la siguiente ecuación para cada armónica de interés. 𝑽 = 𝒀 𝑰 (5.14) Donde la matriz de admitancias nodales se forma para las armónicas 5, 7, 11 y 13. Y el vector de inyecciones armónicas tiene valores de cero a excepción del nodo 14, que es donde se encuentra la inyección armónica, de esta manera queda como:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Corriente de la fundidora

Tiempo [seg]

Cor

rient

e [p

.u.]



𝑰 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0000000000000|𝐼 |∠𝜃00 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(5.15)



N Fundamental 5 7 Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo

1 1 0 0 147.9638 0.0001 76.747 2 0.9912 -2.9427 0.0009 149.3747 0.0377 78.0892 3 1.0318 -1.2788 0.0001 145.878 0.0028 71.4602 4 1.0128 -2.5545 0.0004 145.4803 0.0243 71.4255 5 0.9704 -4.6812 0.0006 140.5708 0.0279 64.5081 6 0.9932 -3.4342 0.0005 142.6691 0.0278 67.9032 7 0.9814 -4.4391 0.0008 141.5839 0.0323 65.5100 8 1.0012 -1.9821 0.0010 149.3756 0.0405 75.3559 9 1.0500 2.4566 0.0002 153.8647 0.0074 81.5800 10 1.0221 -0.0964 0.0011 153.7269 0.0429 81.5788 11 0.9713 -2.6967 0.0031 154.9374 0.1045 84.6425 12 0.9177 -4.3698 0.0043 156.1082 0.1054 87.3976 13 0.8800 -7.1088 0.0053 157.3617 0.0906 91.2489 14 0.7564 -11.9376 0.0133 162.2846 0.1048 123.6203 15 0.9741 -5.9454 0.0007 141.1084 0.0310 71.9364 16 0.9040 -21.0349 0.0006 66.2932 0.019 -35.0800



N 11 13 Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo

1 0 169.6320 0 162.7438 2 0.0016 170.8347 0.0020 163.8885 3 0.0005 147.6017 0.0002 25.3351 4 0.0045 147.9136 0.0017 25.7293 5 0.0026 139.9378 0.0012 -18.8941 6 0.0043 145.309 0.0018 9.1587 7 0.0010 133.3157 0.0012 -56.8821 8 0.0002 -34.5224 0.0018 -68.591 9 0.0002 -44.52800 0.0003 -76.6497 10 0.0011 -44.40500 0.0015 -76.4983 11 0.0033 -45.2474 0.0014 -91.7867 12 0.0014 -26.1677 0.0011 57.9189 13 0.0017 105.4944 0.0033 72.5462 14 0.0150 124.7474 0.0157 81.4645 15 0.0014 169.2213 0.0018 163.0232 16 0.0004 19.9305 0.0003 3.8201

Índices de distorsión armónica El THD está calculado como se indica en la fórmula 5.13:


N THD (%) kV del sistema

1 0.0108 13.8 2 3.8137 115 3 0.2739 13.8 4 2.4421 115 5 2.8860 23 6 2.8372 115 7 3.2969 23 8 4.0470 115 9 0.7042 13.8 10 4.2036 115 11 10.7730 115 12 11.4949 115 13 10.3196 23 14 14.2600 23 15 3.1938 23 16 2.1061 23



La Figura 5.51 representa el espectro armónico de tensiones armónicas en cada uno de los nodos. Ver Apéndice D.4.2 para la obtención de la grafica. La Figura 5.52 muestra la forma de onda de tensión para el nodo 14 (el nodo con mayor valor de THD). Ver Apéndice D.4.2 para la obtención de esta forma de onda.


1 5 7 11 130

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Armónicas

Mag

nitu

d de

ten

sion

es e

n p.

u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16




Análisis de las tensiones armónicas En la Tabla 5.26 se observa que los nodos, 13 y 14 sobrepasan el límite del %THD para una tensión de 23 kV, y los nodos 2,6,8,10,11 y12 sobrepasan el límite del %THD para una tensión de 115 kV recomendados en la norma IEEE-519-1992 [6]. Por lo que es necesario realizar el diseño del filtro en los nodos requeridos para reducir la distorsión armónica de tensión. El diseño se realizará utilizando la metodología propuesta. DISEÑO DEL FILTRO PASIVO SINTONIZADO SERIE RLC Valores base del sistema:

𝑀𝑉𝐴 = 100 𝑘𝑉 = 23 𝑍 = 𝑘𝑉𝑀𝑉𝐴 = 23100 = 5.29 Ω

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Ten

sión

[p.

u.]



Cálculo del filtro para eliminar la séptima armónica (sintonizada a un - 6% de la frecuencia armónica, de acuerdo con la norma IEEE-1531-2003 [8]) en el nodo 14. Con los datos del sistema que se tienen en el nodo 14. 𝑃 . . = 0.43 𝑦 𝑄 . . = 0.39 Se realiza lo siguiente: La potencia aparente está dada por: 𝑆 . . = 𝑄 . . + 𝑃 . . = 0.39 + 0.43 = 0.5805 𝑀𝑉𝐴 = 𝑀𝑉𝐴 ∗ 𝑆 . . = (100 ∗ 10 ) ∗ 0.8201 = 58.05 𝑀𝑉𝐴 El factor de potencia es: 𝑓𝑝 = 𝑃 . .𝑆 . . = 0.430.5805 = 0.7407

Se desea elevar el factor de potencia hasta un valor de 0.95. Por lo tanto la potencia de los capacitores debe ser de: 𝜃 = cos (𝑓𝑝 ) = cos (0.7407) = 42.2073° 𝜃 = cos (𝑓𝑝 ) = cos (0.95) = 18.1949° 𝑄 = 𝑃(tan 𝜃 − tan 𝜃 ) = (𝑀𝑉𝐴)(𝑓𝑝 ) ∗ (tan 𝜃 − tan 𝜃 )= (52.05 ∗ 10 )(0.7407) ∗ (tan 42.2073 − tan 18.1949)= 24.8666 𝑀𝑉𝐴𝑟 El arreglo del banco de capacitores trifásico instalado en el nodo 14 se debe seleccionar con respecto a los valores comerciales establecidos en la norma IEEE-18-2002 [7]. El arreglo del banco estará formado de 2 grupos en serie por fase, cada grupo formado por 14 unidades de capacitores de 300 kVAr (4200 kVAr por grupo), haciendo un total de 8.4 MVAr por fase y 25.2 MVAr trifásicos. Nota: la tensión de los capacitores se establecerá al final del diseño del filtro, este deberá ser considerado a partir del resultado de la tensión a frecuencia fundamental y las tensiones armónicas a las que estará sometido el banco de capacitores. 𝑉 = 𝑘𝑉 ∗ 𝑉 . . = 23 ∗ 1 = 23 𝑘𝑉



𝑋 = 𝑉 𝑄 (𝑀𝑉𝐴𝑟) = (23 ∗ 10 )25.2 ∗ 10 = 20.9921 Ω por fase

𝑋 = ℎℎ − 1 ∗ 𝑋 = 6.586.58 − 1 ∗ 20.9921 Ω = 21.4884 Ω = 4.0621 p. u. 𝐶 = 12𝜋𝑓𝑋 = 12 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 ∗ 21.4884 Ω = 123.443 𝜇𝐹

𝑋 = 𝑋ℎ = 21.4884 Ω6.58 = 0.4963 Ω = 0.0938 p. u. 𝐿 = 𝑋2𝜋𝑓 = 0.4963 Ω2 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 = 1.3165 𝑚𝐻

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄 (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜) = 20 𝑅 = 𝑋 (𝑓 )𝑄 = 0.4963 Ω (6.58)20 = 0.1633 Ω = 0.0309 𝑝. 𝑢. Para que el filtro pasivo serie RLC se sintonice a la frecuencia requerida, se debe cumplir la siguiente condición: 𝑋 = 𝑋 𝑋 (ℎ = 6.58) = 𝑋ℎ = 21.4884 Ω6.58 = 3.26571 Ω 𝑋 (ℎ = 10.34) = 𝑋 ∗ ℎ = 0.4963 Ω ∗ 6.58 = 3.26571 Ω

𝐼 (1) = 𝑉 √3(𝑋 − 𝑋 ) = 23 𝑘𝑉 √3(21.4884 Ω − 0.4963 Ω) = 632.575 𝐴

Corrientes armónicas con respecto a la fundamental: 𝐼 = 25% 𝐼 = 26.7579 𝐴 𝐼 = 15% 𝐼 = 153.5892 𝐴 𝐼 = 10% 𝐼 = 19.5466 𝐴 𝐼 = 5% 𝐼 = 17.01627 𝐴



𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 =√632.575 + 26.7579 + 153.5892 + 19.5466 + 17.01627 = 652.0188 A

% 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼 𝐼 (1) ∗ 100 = 652.0188 A632.575 𝐴 ∗ 100 = 103.0737 %


𝑉 (5) = 26.7579 𝐴 ∗ 21.4884 Ω5 = 0.115 𝑘𝑉 𝑉 (7) = 153.5892 𝐴 ∗ 21.4884 Ω7 = 0.4715 𝑘𝑉 𝑉 (11) = 19.5466 𝐴 ∗ 21.4884 Ω11 = 0.03818 𝑘𝑉 𝑉 (13) = 17.01627 𝐴 ∗ 21.4884 Ω13 = 0.02813 𝑘𝑉 𝑉 (ℎ) = 0.6528 𝑘𝑉 𝑉 = √2 ∗ 𝑉 (1) + 𝑉 (ℎ) = √2 ∗ ( 13.593 kV + 0.6528 𝑘𝑉) = 20.1466 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 23 𝑘𝑉√3 = 13.2791 𝑘𝑉

𝑉 = √2 ∗ 𝑉 = 18.7794 𝑘𝑉 % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑉 𝑉 ∗ 100 = 20.1466 𝑘𝑉 18.7794 𝑘𝑉 ∗ 100 = 107.28 %

𝑉 = 107.28% 𝑉 ≤ 120%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎



𝑉 = 𝑉 (1) + 𝑉 (5) + 𝑉 (7) + 𝑉 (11) + 𝑉 (13) = 13.6018 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 23 𝑘𝑉√3 = 13.2791 𝑘𝑉


𝑉 = 102.43 %𝑉 ≤ 110%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 1992 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑄 = 𝑉 𝑋 ∗ 3 = (13.6018 ∗ 10 )21.4884 Ω ∗ 3 = 25.82899 𝑀𝑉𝐴𝑟

% 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝐴 = 𝑄 𝑄 ∗ 100 = 25.82899 𝑀𝑉𝐴𝑟25.2 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 100 = 102.496 %

𝑄 = 102.496 % 𝑄 ≤ 135 % 𝑄 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 La revisión final del diseño del filtro armónico es ver que el calentamiento del dieléctrico del capacitor del filtro armónico es aceptable con respecto del IEEE-18-2002. El calentamiento del dieléctrico es evaluado por la siguiente desigualdad: 𝑉(ℎ)𝐼(ℎ) ≤ 1.35 𝑄

𝑉 (5) = 26.7579 𝐴 ∗ 21.4884 Ω5 = 0.115 𝑘𝑉 𝑉 (7) = 153.5892 𝐴 ∗ 21.4884 Ω7 = 0.4715 𝑘𝑉 𝑉 (11) = 19.5466 𝐴 ∗ 21.4884 Ω11 = 0.03818 𝑘𝑉 𝑉 (13) = 17.01627 𝐴 ∗ 21.4884 Ω13 = 0.02813 𝑘𝑉



3 ∗ (13.593 kV ∗ 632.575 𝐴) + (0.115 𝑘𝑉 ∗ 26.7579 𝐴) + (0.4715 𝑘𝑉 ∗ 153.5892 𝐴)+ (0.03818 𝑘𝑉 ∗ 19.5466 𝐴) + (0.02813 𝑘𝑉 ∗ 17.01627 𝐴)≤ 1.35 ∗ 25.82899 𝑀𝑉𝐴𝑟 Comparando la desigualdad se tiene: 26.02595 𝑀𝑉𝐴𝑟 ≤ 34.8691 𝑀𝑉𝐴𝑟 La desigualdad es satisfecha con margen substancial, por lo tanto el calentamiento dieléctrico del diseño propuesto es satisfactorio. Finalmente el filtro estará formado por un banco de capacitores trifásico de 25.2 MVAr conectado en estrella y reactores de 0.4963 Ω (1.3165 mH) por fase. El banco de capacitores estará formado por 2 grupos serie por fase, cada grupo formado por 14 unidades de capacitores a una tensión por grupo de 6.64 kV y un total de los 2 grupos en serie de de 13.28 kV de fase a neutro. El arreglo del filtro armónico se muestra en la Figura 5.53.



Figura 5.53 Arreglo del filtro armónico instalado en el nodo 14



BARRIDO EN FRECUENCIA CON FILTROS Flujos de Potencia en Estado Estable Las tensiones nodales se presentan en la Tabla 5.27. Para la obtención de estos resultados ver en detalle el Apéndice D.1.2.


Nodo de Conexión Tensión Generación Carga Magnitud Ángulo Pg(p.u.) Qg(p.u.) Pd(p.u.) Qd(p.u.)

1 1 0 1.4422 0.0269 0 0 2 0.9953 -2.9016 0 0 0 0 3 1.0318 -1.1879 1.1 0.5549 0.45 0.15 4 1.0145 -2.4711 0 0 0 0 5 0.9735 -4.5794 0 0 0.65 0.72 6 0.9955 -3.3462 0 0 0 0 7 0.9850 -4.3367 0 0 0.90 0.20 8 1.0054 -1.892 0 0 0 0 9 1.0500 2.5333 2.2 1.0015 0.15 0.04 10 1.0267 -0.0212 0 0 0 0 11 0.9868 -2.6759 0 0 0 0 12 0.9450 -4.3547 0 0 13 0.9217 -6.8913 0.5 0.65 14 0.8490 -11.7131 0.43 0.39 15 0.9786 -5.8779 0 0 16 0.9098 -20.805 1.5 0.2


Potencia p.u. Generación 4.7422Demanda 4.5800Perdidas 0.1590






En las Figuras 5.55 a la 5.57 se presenta el barrido en frecuencia de todos los nodos, para un rango entre la armónica 0 y la 50. Como se puede observar en esta grafica el nodo 4 entran en resonancia con la armónica 30, el nodo 5 entra en resonancia con la armónica 4.5 y 30, el nodo 6 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 7 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 8 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 9 entra en resonancia con la armónica 31, el nodo 10 entra en resonancia con la armónica 29 y 46, y el nodo 11 entra en resonancia con la armónica 29 y 46. Estas armónicas no ocasionarán problemas debido a que no son inyectadas al sistema. La respuesta a la frecuencia para cada uno de los nodos, se muestra en las Figuras 5.58 a la 5.75. Ver Apéndice D.2.2 para la obtención de dicho resultado.





0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

350

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16





1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

350

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


5 10 15 20 25 30

0.5

1

1.5

2

2.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.





Tensiones Armónicas en la Red Para la obtención de dichos resultados ver Apéndice D.4.2


N Fundamental 5 7 Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo

1 1 0 0 5.5478 0 96.0057 2 0.9953 -2.9016 0.0008 6.9587 0.0035 97.3480 3 1.0318 -1.1879 0 3.5096 0.0003 90.7471 4 1.0145 -2.4711 0.0004 3.1118 0.0023 90.7124 5 0.9735 -4.5794 0.0005 -1.7287 0.0026 83.8510 6 0.9955 -3.3462 0.0005 0.3357 0.0026 87.2143 7 0.985 -4.3367 0.0007 -0.7068 0.0030 84.8581 8 1.0054 -1.892 0.0009 7.0449 0.0038 94.6505 9 1.0500 2.5333 0.0002 11.5179 0.0007 100.8534 10 1.0267 -0.0212 0.0010 11.3801 0.0040 100.8522 11 0.9868 -2.6759 0.0027 12.5844 0.0098 103.908 12 0.9450 -4.3547 0.0038 13.7591 0.0098 106.6618

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.




13 0.9217 -6.8913 0.0047 15.0153 0.0085 110.5114 14 0.8490 -11.7131 0.0114 19.6826 0.0092 143.5523 15 0.9786 -5.8779 0.0007 -1.4169 0.0029 91.1656 16 0.9098 -20.805 0.0005 -76.343 0.0018 -16.4147

N 11 13 Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo

1 0 179.636 0 173.166 2 0.0007 -179.1613 0.0010 174.3107 3 0.0002 157.548 0.0001 35.9879 4 0.0020 157.86 0.0008 36.3820 5 0.0011 149.9126 0.0006 -8.48320 6 0.0019 155.2613 0.0009 19.6700 7 0.0005 143.3242 0.0006 -46.2916 8 0.0001 -24.3792 0.0009 -57.8934 9 0.0001 -34.5171 0.0001 -65.8904 10 0.0005 -34.3941 0.0007 -65.7390 11 0.0015 -35.2388 0.0007 -80.9550 12 0.0006 -16.2074 0.0006 68.7647 13 0.0008 115.667 0.0017 83.4080 14 0.0067 134.7599 0.0076 92.0105 15 0.0006 179.2469 0.0009 173.4574 16 0.0002 29.5005 0.0002 13.9416

Índices de distorsión armónica El THD está calculado con la fórmula (5.13):


N THD (%) kV del sistema

1 0.0011 13.8 2 0.3823 115 3 0.0350 13.8 4 0.3125 115 5 0.3037 23 6 0.3414 115 7 0.3240 23 8 0.3961 115 9 0.0692 13.8 10 0.4113 115



11 1.0393 115 12 1.1178 115 13 1.0679 23 14 2.1042 23 15 0.3231 23 16 0.2063 23

La Figura 5.76 representa el espectro armónico de tensiones en cada uno de los nodos. Ver Apéndice D.4.2 para la obtención de la gráfica. La Figura 5.77 muestra la forma de onda de tensión para el nodo 14. Ver Apéndice D.4.2 para la obtención de esta forma de onda.


1 5 7 11 130

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Armónicas

Mag

nitu

d de

ten

sion

es e

n p.

u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8Nodo 9

Nodo 10

Nodo 11Nodo 12

Nodo 13

Nodo 14

Nodo 15Nodo 16




Análisis de las tensiones armónicas Con los resultados de la simulación, se determina que la implementación de los filtros sintonizados serie RLC reduce satisfactoriamente el valor del %THD. Obteniéndose las siguientes reducciones:

Tabla 5.31 Comparativa de THD

N THD(%) ANTERIOR

THD(%) ACTUAL

LIMITE DE % THD

2 3.8137 0.3823 2.5 6 2.8372 0.3414 2.5 8 4.0470 0.3961 2.5 10 4.2036 0.4113 2.5 11 10.773 1.0393 2.5 12 11.4949 1.1178 2.5 13 10.3196 1.0679 5 14 14.2600 2.1042 5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Ten

sión

[p.

u.]



5.5 CASO DE ESTUDIO 3: EQUIVALENTE DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN DE LA DIVISIÓN SURESTE DE LA CFE (COMISIÓN FEDERAL DE ELECTRICIDAD)

La red que se muestra en la Figura 5.78 es un equivalente del sistema de Transmisión de la División Sureste de la CFE, el cual consiste de un sistema de transmisión equivalente de 10 nodos, de los cuales 3 son equivalentes de Thevenin en los nodos MHT-115, CNJ-115, OMT-115 y PPG, 6 nodos son de carga CNJ-115, RSO-115, PIN-115, OMT-115, CGN-115 y PPG-115, cuenta con compensación de potencia reactiva en los nodos POC-115 y PIN-115 mediante bancos de capacitores en derivación trifásicos de 7.5 MVAr y 12.5 MVAr respectivamente, y en el nodo PUE-115 se considera una fuente de armónicas debido a una carga industrial.

16

7 8

4

5

2

391011

VTH1 MHT-115

POC-115

HCO-115

PUE-115 RSO-115

CGN-115 OMT-115 PIN-115

VTH2

VTH3

Figura 5.78 Equivalente del sistema de Transmisión de la División Sureste de la CFE

En la Tabla 5.32 se muestran los datos de las líneas de transmisión de la red en p.u., donde Nodo de Envío y Nodo de Recepción son los nodos de conexión, R es la Resistencia, X la Reactancia, y B/2 la semisusceptancia en derivación.



Tabla 5.32 Datos de las líneas

Nodo de

Envío

Nodo de Recepción

Nodo de Envío

Nodo de Recepción

R p.u

X p.u

B/2 p.u

1 4 VTH1 MHT-115 0.0804 0.2934 0 2 6 VTH2 HCO-115 0.1805 0.6524 0 3 11 VTH3 CNJ-115 0.1162 0.3514 0 4 5 MHT-115 POC-115 0.0811 0.2979 0.001 5 6 POC-115 HCO-115 0.0632 0.232 0.001 6 7 POC-115 PUE-115 0.0693 0.2545 0.001 7 8 PUE-115 RSO-115 0.0741 0.2733 0.001 8 9 RSO-15 PIN-115 0.065 0.2325 0.001 9 10 PIN-115 OMT-115 0.0732 0.2617 0.001

10 11 OMT-115 CGN-115 0.0768 0.2747 0.001 La Tabla 5.33 muestra los datos de las cargas en p.u. Donde N es el nodo de conexión, P es la potencia activa y Q la potencia reactiva de la carga, ambas en p.u.


N Nodo de Conexión

P MW

Q MVAr

P p.u

Q p.u

1 VTH1 2 VTH2 3 VTH3 4 MHT-115 5 POC-115 6 HCO-115 7 PUE-115 8 RSO-15 5.083 0.545 0.05083 0.00545 9 PIN-115 18.459 4.508 0.18459 0.04508 10 OMT-115 13.242 3.281 0.13242 0.03281 11 CGN-115 8.694 0.545 0.08694 0.00545

La Tabla 5.34 muestra los datos de los nodos de generación. La Tabla 5.35 muestra los valores de los elementos de compensación, y la Tabla 5.36 muestra la magnitud de las corrientes armónicas generadas por la industria.

Tabla 5.34 Datos de Generación

Nodo de Generación Pg V X’’g Rg 1 VTH1 0.15 1.000 0.0001 0.00001 2 VTH2 0.15 1.000 0.0001 0.00005 3 VTH3 0.15 1.000 0.0001 0.00001



Tabla 5.35 Elementos en Derivación

Nodo de Conexión QC MVAr QC p.u Xc p.u. 5 POC-115 7.5 0.075 13.3333 9 PIN-115 12.5 0.125 8

Tabla 5.36 Armónicas Generadas por la carga no lineal

H Fundidora

Magnitud en % Ángulo en grados1 100% 0 5 20% 180 7 15% 0 11 9% 180 13 3% 0


a) Estudio de Flujos de Potencia en estado estable b) Estudio de Respuesta a la Frecuencia en cada uno de los nodos del sistema c) Inyección de las Corrientes Armónicas al sistema d) Determinación de las Tensiones Armónicas en la red

Flujos de Potencia en Estado Estable Las tensiones nodales y las potencias de generación y demanda que se presentan en la Tabla 5.37 los cuales se obtienen de un estudio de flujos de potencia convencional con los datos del sistema. Para la obtención de estos resultados ver el Apéndice D.1.3.

Tabla 5.37 Tensiones nodales, potencias de generación y demanda


1 1 0 0.1929 -0.0324 0 0 2 1 -3.5945 0.1500 -0.0013 0 0 3 1 -22.1126 0.1500 0.0604 0 0 4 0.9957 -3.4079 0 0 0 0 5 0.9949 -6.8801 0 0 0 0 6 0.9787 -9.3470 0 0 0 0 7 0.9592 -14.4861 0 0 0 0 8 0.9467 -20.1838 0 0 0.0508 0.0054



9 0.9464 -24.3588 0 0 0.1846 0.0451 10 0.9444 -25.6470 0 0 0.1324 0.0328 11 0.9624 -24.8337 0 0 0.0869 0.0054


Potencia p.u. Generación 0.4929Demanda 0.4548Pérdidas 0.0381




En las Figuras 5.80 a la 5.81 se presenta el barrido en frecuencia de todos los nodos, para un rango entre la armónica 0 y la 50. Como se puede observar en esta grafica



para este rango de frecuencias, los nodos 4, 5 y 6 entran en resonancia con la armónica 7, esto ocasionará que la tensión de la armónica 7 sea muy elevado en los nodos 4, 5 y 6 debido a que son armónicas que están presentes en el sistema las cuales son inyectadas por la fuente armónica de la fundidora. El nodo 9 entra en resonancia con las armónicas 5 y 7, esto ocasionará que la tensión de la armónica 5 y 7 sea muy elevado en el nodo 9 debido a que es una armónica que está presente en el sistema la cual es inyectada por la fuente armónica de la fundidora. La respuesta a la frecuencia para cada uno de los nodos, se muestra en las Figuras 5.82 a la 5.92. Ver Apéndice D.2.3 para la obtención de dicho resultado.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10Nodo 11





2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10Nodo 11

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.




Fuente de Inyección de Corrientes Armónicas Existen dos formas para determinar las corrientes armónicas producidas por fuentes armónicas, la primera y la más confiable es la medición directa en los puntos de acoplamiento común de las cargas generadoras de armónicas y la segunda es mediante el modelado de las cargas generadoras de armónicas. En la Tabla 5.39 se presentan la inyección de corrientes armónicas medidas en la carga no lineal del nodo 8.

Tabla 5.39 Corrientes armónicas de la carga no lineal

Fundidora H Magnitud en % Ángulo en grados1 100% 0 5 20% 180 7 15% 0 11 9% 180 13 3% 0

La representación en el tiempo de esta corriente se muestra en la Figura 5.93. Para ver la forma de obtener esta corriente ver Apéndice D.3.3.


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Corriente de la fundidora

Tiempo [seg]

Cor

rient

e [p

.u.]



Tensiones Armónicas en la Red Para la obtención de las tensiones armónicas se tiene que resolver la siguiente ecuación para cada armónica de interés. 𝑽 = 𝒀 𝑰 (5.16) Donde la matriz de admitancias nodales se forma para las armónicas 5, 7, 11 y 13. Y el vector de inyecciones armónicas tiene valores de cero a excepción del nodo 8, que es donde se encuentra la inyección armónica, de esta manera queda como:

𝑰 =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0000000|𝐼 |∠𝜃000 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ (5.17)



Fundamental 5 7 N Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo 1 1 0 0 -59.7867 0 64.9883 2 1 -3.5945 0.0001 -55.9679 0 70.7735 3 1 -22.1126 0 -89.4854 0 115.9865 4 0.9957 -3.4079 0.0061 -60.3628 0.0063 64.9111 5 0.9949 -6.8801 0.0122 -60.3410 0.0126 64.9348 6 0.9787 -9.3470 0.0116 -58.8568 0.0065 68.7423 7 0.9592 -14.4861 0.0152 -57.5033 0.0024 91.7862 8 0.9467 -20.1838 0.0188 -56.5731 0.0032 -148.1761 9 0.9464 -24.3588 0.0252 -79.8152 0.0083 128.7075 10 0.9444 -25.647 0.0165 -86.7742 0.0053 120.162 11 0.9624 -24.8337 0.0091 -90.7082 0.0029 115.4466



11 13 N Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo 1 0 13.3475 0 -112.9507 2 0 -169.0232 0 66.2956 3 0 9.8098 0 -121.1523 4 0.0006 13.6474 0.0002 -112.5697 5 0.0012 13.6781 0.0003 -112.5348 6 0.0009 -170.2816 0.0005 65.2433 7 0.0034 -168.8007 0.0016 65.7637 8 0.0060 -168.5035 0.0027 65.9453 9 0.0030 25.1766 0.0008 -105.4477 10 0.0018 15.2070 0.0005 -115.5894 11 0.0010 9.8150 0.0003 -121.0208

Índices de distorsión armónica Donde el THD está calculado como se indica en la fórmula (5.13):


N THD (%) 1 0.0003 2 0.0101 3 0.0003 4 0.8832 5 1.7711 6 1.3599 7 1.6486 8 2.1306 9 2.8213 10 1.8498 11 0.9950

La figura 5.94 representa el espectro armónico de tensiones armónicas en cada uno de los nodos. Ver Apéndice D.4.3 para la obtención de la gráfica. La figura 5.95 muestra la forma de onda de tensión para el nodo 9 (el nodo con mayor valor de THD). Ver Apéndice D.4.3 para la obtención de esta forma de onda.





1 5 7 11 130

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Armónicas

Mag

nitu

d de

ten

sion

es e

n p.

u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10Nodo 11

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Ten

sión

[p.

u.]



Análisis de las tensiones armónicas En la tabla 5.41 se observa que en el nodo 9 se sobrepasa el límite del %THD de tensión recomendado en la norma IEEE-519-1992 [6], debido a que la tensión del sistema es 115 kV. Por lo que es necesario realizar el diseño del filtro en los nodos requeridos para reducir la distorsión armónica de tensión. El diseño se realizará utilizando la metodología propuesta. DISEÑO DE LOS FILTROS PASIVOS SINTONIZADOS SERIE RLC Valores base del sistema:

𝑀𝑉𝐴 = 100 𝑘𝑉 = 115 𝑍 = 𝑘𝑉𝑀𝑉𝐴 = 115100 = 132.25 Ω

Cálculo del filtro para eliminar la séptima armónica (sintonizada a un - 6% de la frecuencia armónica, de acuerdo con la norma IEEE-1531-2003 [8]) en el nodo 5. 𝑉 = 𝑘𝑉 ∗ 𝑉 . . = 115 ∗ 1 = 115 𝑘𝑉 𝑋 = 𝑋 . . ∗ 𝑍 = 13.3333 ∗ 132.25 Ω = 1763.3289 Ω por fase 𝑄 (𝑀𝑉𝐴𝑟) = 𝑘𝑉 𝑋 = (115 ∗ 10 𝑉)1763.3289 Ω = 7.5 𝑀𝑉𝐴𝑟

𝑋 = ℎℎ − 1 ∗ 𝑋 = 6.586.58 − 1 ∗ 1763.3289 Ω = 1805.0187 Ω = 13.6485 𝑝. 𝑢. 𝐶 = 12𝜋𝑓𝑋 = 12 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 ∗ 1805.0187 Ω = 1.469 𝜇𝐹

𝑋 = 𝑋ℎ = 1805.0187 Ω6.58 = 41.6898 Ω = 0.3152 𝑝. 𝑢.



𝐿 = 𝑋2𝜋𝑓 = 41.6898 Ω2 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 = 110.5856 𝑚𝐻


𝐼 (1) = 𝑉 √3(𝑋 − 𝑋 ) = 115 𝑘𝑉 √3(1805.0187 Ω − 41.6898 Ω) = 37.6534 𝐴

𝐼 = 20% 𝐼 = 7.5307 𝐴 𝐼 = 15% 𝐼 = 5.6480 𝐴 𝐼 = 9% 𝐼 = 3.3888 𝐴 𝐼 = 3% 𝐼 = 1.1296 𝐴 𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 =√37.6534 + 7.5307 + 5.6480 + 3.3888 + 1.1296 = 38.9763 A % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼 𝐼 (1) ∗ 100 = 38.9763 A37.6534 𝐴 ∗ 100 = 103.513 %

𝐼 = 103.513% 𝐼 (1)≤ 135%𝐼 (1) 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 [7] ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 (1) = 𝐼 (1) ∗ 𝑋 = 37.6534 𝐴 ∗ 1805.0187 Ω = 67.9651 kV



𝑉 (ℎ) = 𝐼(ℎ) ∗ 𝑋ℎ



𝑉 = 109.726 % 𝑉 ≤ 120%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 = 𝑉 (1) + 𝑉 (5) + 𝑉 (7) + 𝑉 (11) + 𝑉 (13) = 68.0375 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 115 𝑘𝑉√3 = 66.3953 𝑘𝑉


𝑉 = 102.473 % 𝑉 ≤ 110%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎



𝑄 = 𝑉 𝑋 ∗ 3 = (68.0375 ∗ 10 )1805.0187 Ω ∗ 3 = 2.5646 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 3 = 7.6937 𝑀𝑉𝐴𝑟 % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝐴 = 𝑄 𝑄 ∗ 100 = 7.6937 𝑀𝑉𝐴𝑟7.5 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 100 = 102.583 %


3 ∗ (67.9651 kV ∗ 37.6534 𝐴) + (2.7186 𝑘𝑉 ∗ 7.5307 𝐴) + (1.4564 𝑘𝑉 ∗ 5.648 𝐴)+ (0.5561 𝑘𝑉 ∗ 3.3888𝐴) + (0.1568 𝑘𝑉 ∗ 1.1296 𝐴)≤ 1.35 ∗ 7.6937 𝑀𝑉𝐴𝑟 7.7696 ≤ 10.3865 𝑀𝑉𝐴𝑟 La desigualdad es satisfecha con margen substancial, por lo tanto el calentamiento dieléctrico del diseño propuesto es satisfactorio. Finalmente el filtro estará formado por un banco de capacitores trifásico de 7.5 MVAr conectado en estrella y reactores de 41.6898 Ω (110.5865 mH) por fase. Cálculo del filtro para eliminar la quinta armónica (sintonizada a un - 6% de la frecuencia armónica, de acuerdo con la norma IEEE-1531-2003) en el nodo 9. 𝑉 = 𝑘𝑉 ∗ 𝑉 . . = 115 ∗ 1 = 115 𝑘𝑉 𝑋 = 𝑋 . . ∗ 𝑍 = 8 ∗ 132.25 Ω = 1058 Ω por fase 𝑄 (𝑀𝑉𝐴𝑟) = 𝑘𝑉 𝑋 = (115 ∗ 10 𝑉)1058 Ω = 12.5 𝑀𝑉𝐴𝑟



𝑋 = ℎℎ − 1 ∗ 𝑋 = 4.74.7 − 1 ∗ 1058 Ω = 1108.1659 Ω = 8.3793 𝑝. 𝑢. 𝐶 = 12𝜋𝑓𝑋 = 12 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 ∗ 1108.1659 Ω = 2.393 𝜇𝐹

𝑋 = 𝑋ℎ = 1108.1659 Ω4.7 = 50.1659 Ω = 0.3793 𝑝. 𝑢. 𝐿 = 𝑋2𝜋𝑓 = 50.1659 Ω2 ∗ 𝜋 ∗ 60𝐻𝑧 = 133.0692 𝑚𝐻


𝐼 (1) = 𝑉 √3(𝑋 − 𝑋 ) = 115 𝑘𝑉 √3(1108.1659 Ω − 50.1659 Ω) = 62.7555 𝐴

𝐼 = 20% 𝐼 = 12.5511 𝐴 𝐼 = 15% 𝐼 = 9.4133 𝐴 𝐼 = 9% 𝐼 = 5.6480 𝐴 𝐼 = 3% 𝐼 = 1.8827 𝐴 𝐼 = 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 =√62.7555 + 12.5511 + 9.4133 + 5.6480 + 1.8827 = 64.9602 A % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼 𝐼 (1) ∗ 100 = 64.9602 A62.7555 𝐴 ∗ 100 = 103.513 %






𝑉 = 112.274 % 𝑉 ≤ 120%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑉 = 𝑉 (1) + 𝑉 (5) + 𝑉 (7) + 𝑉 (11) + 𝑉 (13) = 69.6176 𝑘𝑉 𝑉 = 𝑉 √3 = 115 𝑘𝑉√3 = 66.3953 𝑘𝑉




𝑉 = 104.853 % 𝑉 ≤ 110%𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐸𝐸𝐸 − 18 − 2002 ∴ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑄 = 𝑉 𝑋 ∗ 3 = (69.6176 ∗ 10 )1108.1659 Ω ∗ 3 = 4.3735 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 3 = 13.1206 𝑀𝑉𝐴𝑟 % 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝐴 = 𝑄 𝑄 ∗ 100 = 13.1206 𝑀𝑉𝐴𝑟12 𝑀𝑉𝐴𝑟 ∗ 100 = 109.339 %


3 ∗ (69.5435 kV ∗ 62.7555𝐴) + (2.7817 𝑘𝑉 ∗ 12.5511𝐴) + (1.4902 𝑘𝑉 ∗ 9.4133𝐴)+ (0.5690 𝑘𝑉 ∗ 5.6480 𝐴) + (0.1605 𝑘𝑉 ∗ 1.8827𝐴)≤ 1.35 ∗ 13.1206 𝑀𝑉𝐴𝑟 13.2492 ≤ 17.7128𝑀𝑉𝐴𝑟 La desigualdad es satisfecha con margen substancial, por lo tanto el calentamiento dieléctrico del diseño propuesto es satisfactorio. Finalmente el filtro estará formado por un banco de capacitores trifásico de 12.5 MVAr conectado en estrella y reactores de 50.1659 Ω (133.0692 mH) por fase. BARRIDO EN FRECUENCIA CON FILTROS Flujos de Potencia en Estado Estable Las tensiones nodales se presentan en la Tabla 5.42. Para la obtención de estos resultados ver en detalle el Apéndice D.1.3.





1 1 0 0.1951 -0.032 0 0 2 1 -3.6992 0.1500 -0.0007 0 0 3 1 -22.3120 0.1500 0.0611 0 0 4 0.9955 -3.4450 0 0 0 0 5 0.9944 -6.9565 0 0 0 0 6 0.9783 -9.4472 0 0 0 0 7 0.9586 -14.6139 0 0 0 0 8 0.9461 -20.3436 0 0 0.0508 0.0054 9 0.9458 -24.5456 0 0 0.1846 0.0451 10 0.9439 -25.8389 0 0 0.1324 0.0328 11 0.9622 -25.0286 0 0 0.0869 0.0054


Potencia p.u. Generación 0.4951Demanda 0.4548Perdidas 0.0385






En las Figuras 5.97 ala 5.98 se presenta el barrido en frecuencia de todos los nodos, para un rango entre la armónica 0 y la 50. Como se puede observar en esta grafica el nodo 4 entran en resonancia con la armónica 30, el nodo 5 entra en resonancia con la armónica 4.5 y 30, el nodo 6 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 7 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 8 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 9 entran en resonancia con la armónica 31, el nodo 10 entra en resonancia con la armónica 29 y 46, y el nodo 11 entra en resonancia con la armónica 29 y 46. Estas armónicas no ocasionarán problemas debido a que no son inyectadas al sistema. La respuesta a la frecuencia para cada uno de los nodos, se muestra en las Figuras 5.99 a la 5.111. Ver Apéndice D.2.3 para la obtención de dicho resultado.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10Nodo 11





1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10Nodo 11

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

Armónicas

Mag

nitu

d de

la im

peda

ncia

en

p.u.




Tensiones Armónicas en la Red Para la obtención de dichos resultados ver Apéndice D.4.3.


Fundamental 5 7 N Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo 1 1 0 0 -112.0259 0 -112.0832 2 1 -3.6992 0 -89.1700 0 -94.0182 3 1 -22.312 0 1.4197 0 -114.9082 4 0.9955 -3.4450 0.0043 -112.602 0.0002 -112.1605 5 0.9944 -6.9565 0.0086 -112.5802 0.0005 -112.1368 6 0.9783 -9.4472 0.0036 -92.0589 0.0034 -96.0495 7 0.9586 -14.6139 0.0033 -1.0395 0.0078 -94.9718 8 0.9461 -20.3436 0.0079 27.9502 0.0123 -94.6144 9 0.9458 -24.5456 0.0013 11.0972 0.0047 -102.1784 10 0.9439 -25.8389 0.0008 4.1324 0.0030 -110.7309 11 0.9622 -25.0286 0.0005 0.1970 0.0016 -115.4481

11 13 N Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo 1 0 -172.0199 0 60.6905 2 0 -169.8164 0 62.5284 3 0 164.4155 0 36.3175 4 0.0009 -171.7201 0.0004 61.0715 5 0.0018 -171.6894 0.0008 61.1064 6 0.0044 -171.0748 0.0019 61.4762 7 0.0086 -170.8902 0.0036 61.6245 8 0.0126 -170.7559 0.0051 61.7624 9 0.0054 179.7919 0.0022 52.0316 10 0.0033 169.8147 0.0013 41.8824 11 0.0017 164.4207 0.0007 36.4490

Índices de distorsión armónica Donde el THD está calculado con la fórmula (5.13):


N THD (%) 1 0.0002 2 0.0052 3 0.0001



4 0.4433 5 0.8902 6 0.6971 7 1.3151 8 2.1139 9 0.8023 10 0.5009 11 0.2618

La figura 5.112 representa el espectro armónico de tensiones en cada uno de los nodos. Ver Apéndice D.4.3 para la obtención de la gráfica. La Figura 5.113 muestra la forma de onda de tensión para el nodo 9. Ver Apéndice D.4.3 para la obtención de esta forma de onda.


1 5 7 11 130

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Armónicas

Mag

nitu

d de

ten

sion

es e

n p.

u.


Nodo 1Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10Nodo 11




Análisis de las la tensiones armónicas Con los resultados de la simulación, se determina que la implementación de los filtros sintonizados serie RLC reduce satisfactoriamente el valor del %THD. Obteniéndose las siguientes reducciones:

Tabla 5.46 Comparativa del THD

N THD(%) ANTERIOR

THD(%) ACTUAL

9 2.8213 0.8023

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Tiempo [seg]

Ten

sión

[p.

u.]

CAPÍTULO 6: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES


CAPÍTULO 6

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 6.1 CONCLUSIONES La inserción de cargas no lineales produce corrientes y tensiones de frecuencia diferente a la del diseño del sistema eléctrico (60 Hz), los cuales fluyen a través de la red eléctrica afectando a dispositivos y equipo que no fueron diseñados para operar en condiciones diferentes a la del sistema. Las sobretensiones o atenuaciones de la tensión producidas por la presencia de armónicas causan en muchas ocasiones daño a los equipos conectados al sistema, y mal funcionamiento de las protecciones. Por ello es necesario utilizar herramientas computacionales que ayuden a predecir el comportamiento del sistema eléctrico en presencia de armónicas y los efectos que se puedan producir en los dispositivos que se encuentren conectados al sistema. Utilizando los sistemas de prueba de 6 y 16 nodos del IEEE, y el equivalente del sistema de transmisión de la división sureste de la CFE como casos de estudio, los cuales contienen cargas que inyectan corrientes armónicas al sistema eléctrico y realizando la implementación de los filtros armónicos sintonizados serie RLC se logró reducir la distorsión armónica total de tensión (THD) en los nodos que no cumplían con los valores recomendados en la norma IEEE-519-1992 [6]; teniendo un resultado satisfactorio al diseñar e incluir los filtros pasivos sintonizados en los nodos afectados por las armónicas. De los casos de estudio utilizados, tomando como referencia el nodo que presentó mayor distorsión armónica total de tensión (THD), se logró la reducción de la siguiente manera:

• En el sistema de prueba de 6 nodos se logró una reducción en el nodo 3 del 15.6888% al 0.7230% del THD.

• En el sistema de prueba de 16 nodos se logró una reducción en el nodo 12 del 11.4949% al 1.1178% del THD.

• En el equivalente del sistema de transmisión de la división sureste de la CFE se logró una reducción en el nodo 9 del 2.8213% al 0.8023% del THD.

El uso de filtros armónicos pasivos sintonizados resulta ser una buena elección para reducir la distorsión armónica total, debido a que el arreglo conformado por la

CAPÍTULO 6: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES


reactancia inductiva, capacitiva y la resistencia ofrecen un camino de baja impedancia a la frecuencia para la cual es sintonizado el filtro. 6.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

1. Utilizar otros casos de estudio de sistemas eléctricos del IEEE de mayor dimensión en el número de nodos, para verificar si el programa presenta algún problema debido a la complejidad de los sistemas.

2. Modificar el programa para que se realice automáticamente el cálculo de los

parámetros del filtro pasivo sintonizado, los cuales son 𝑋 , 𝑋 𝑦 𝑅.

3. Comparar la metodología empleada en esta tesis con la utilizada por los fabricantes comerciales de filtros pasivos sintonizados, como es el caso de ABB, Schneider Electric, Siemens, etc.

REFERENCIAS


REFERENCIAS 1. Dugan, R.C., Brooks, D.L., McDermott, T.E., Sundaram, A., “Using voltage sag

and interruption indices in distribution planning” Winter Meeting 1999, Vol. 2, Jan-Feb, pp. 1164-1169.

2. Prof. Mack Grady University of Texas at Austin, Understanding Power System Harmonics, September 2000

3. Jiménez Guzmán Miguel, SEPI-ESIME-IPN, Calidad en el Suministro de Energía Eléctrica en Sistemas Eléctricos de Distribución

4. Madrigal Manuel. Análisis Armónico en Sistemas Eléctricos, PGIIE-DIEE- Instituto Tecnológico de Morelia, 1998.

5. De la Rosa Francisco C., Harmonics and power systems, published in 2006 by Taylor & Francis Group.

6. IEEE standard 519-1992, IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems, IEEE, 1992.

7. IEEE standard 18–2002, IEEE Standard for Shunt Power Capacitors, IEEE 2002. 8. IEEE standard 1531-2003, IEEE Guide for application and specification of harmonics

filters, IEEE, 2003.

APÉNDICE A: SERIES DE FOURIER


APÉNDICE A

SERIES DE FOURIER Cualquier forma de onda periódicamente realizable puede ser descompuesta en Series de Fourier de CD, frecuencia fundamental, y términos armónicos. En la forma senoidal, la serie de Fourier es:

01

( ) sin( 90 )dc k kk

i t I I k tω θ∞

=

= + + − °∑

(A1)

Donde Idc es el valor promedio de CD, Ik son las magnitudes pico de las armónicas individuales, ω0 es la frecuencia fundamental (en radianes por segundo), y θk son los ángulos de fase de las armónicas. El periodo de tiempo de las formas de onda es:

0 0 0

2 2 12

Tf f

π πω π

= = =

Los términos de seno en (A1) pueden ser remplazados por cosenos si se restan 90° de cada θk.

Figura A1 Forma de onda de corriente de una computadora, y sus componentes armónicos de

orden 1, 3, 5.

La figura A1 muestra la forma de onda de una computadora de escritorio. La figura muestra como la forma de onda actual puede ser aproximada mediante la suma de la frecuencia fundamental, y las componentes armónicas de orden 3 y 5. Si los términos



de orden mayor son incluidos (como componentes de orden 7, 9, 11 y así sucesivamente), entonces la forma de onda puede ser reconstruida perfectamente. Una serie de Fourier truncada es de hecho una aproximación de una curva de error de mínimos-cuadrados. Mientras sean sumados términos de mayor orden, el error se reduce. Afortunadamente, una propiedad especial conocida como simetría de media onda existe para la mayoría de las cargas electrónicas. La simetría de media onda existe cuando las mitades positivas y negativas de una forma de onda son idénticas pero opuestas, lo que es:

( )2Ti t i t⎛ ⎞= − ±⎜ ⎟

⎝ ⎠,

Donde T es el periodo. Las formas de onda con simetría de media onda no tienen armónicas de orden par. Es obvio que la forma de onda de corriente de la televisión tiene simetría de media onda. COEFICIENTES DE FOURIER Si una función i(t) es periódica con un periodo T (esto es, i(t)=i(t+ NT)), entonces i(t) puede ser escrita en su forma rectangular como:

[ ]0 0 01

2( ) cos( ) sin( ) , ,dc k kk

i t I a k t b k tTπω ω ω

∞

=

= + + =∑ (A2)

Donde:

0

0

1 ( ) ,t T

dct

I i t dtT

+

= ∫

0

0

02 ( )cos( ) ,

t T

kt

a i t k t dtT

ω+

= ∫ 0

0

02 ( ) sin( ) .

t T

kt

b i t k t dtT

ω+

= ∫

Los términos de seno y coseno en (A2) pueden ser convertidos en la forma polar, convirtiéndose en (A1) utilizando identidades trigonométricas como sigue:

( ) ( )

( ) ( )0 0

0 02 2

2 2

cos sin

cos sin

k k

k kk k

k k

a k t b k t

a k t b k ta b

a b

ω ω

ω ω

+

+= + •

+



( ) ( )2 20 02 2 2 2

cos sink kk k

k k k k

a ba b k t k t

a b a bω ω

⎡ ⎤⎢ ⎥= + • +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0sin cos cos sink k k ka b k t k tθ ω θ ω= + • +⎡ ⎤⎣ ⎦ (A3)

Donde:

2 2 2 2sin( ) ,cos( )k k

k k

k k k k

a b

a b a bθ θ= =

+ +

Aplicando la identidad trigonométrica sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( )A B A B A B+ = +

Figura A2 Forma polar

La ecuación (A3) produce en su forma polar:

2 20sin( ),k k ka b k tω θ+ • + (A4)

Donde:

sin( )tan( )cos( )

k kk

k k

ab

θθθ

= = (A5)

TRASLADO DE FASE Hay dos tipos de traslado de fase pertinentes para armónicas. El primero es un traslado de tiempo, esto es + T / 3 entre las fases de corrientes a – b – c. Si la forma de onda de la computadora en la figura A3 es retrasada por ΔT segundos, la corriente modificada es:



Am

pere

s

Figura A3 Forma de onda de la corriente de una PC retrasada en el tiempo

0 0 01 1

( ) sin( ( ) ) sin( )k k k kk k

i t T I k t T I k t k Tω θ ω ω θ∞ ∞

= =

−Δ = −Δ + = − Δ +∑ ∑

0 0 0 01 1

sin( ( )) sin( )k k k kk k

I k t k T I k t kω θ ω ω θ θ∞ ∞

= =

= + − Δ = + −∑ ∑ (A6)

Donde θ0 es el retraso de fase de la corriente fundamental correspondiente a ΔT. El último término en (A6) muestra que las armónicas individuales son retrasadas por kθ0. El segundo tipo de traslado de fase es en el ángulo de la armónica, el cual ocurre en transformadores delta estrella. Las conexiones Delta - estrella en transformadores trasladan corrientes y tensiones en + 30°. Los estándares ANSI requieren que sin importar en cual lado de la delta o la estrella las fases a – b – c sean marcadas para que en los lados de alta las corrientes y tensiones adelanten a estos en el lado de baja por 30° para secuencia positiva, y retrasen por 30° para secuencia negativa. Las secuencias cero son bloqueadas por la conexión a tres hilos para que sus traslados de fase no sean significativos. SIMPLIFICACIONES DE SIMETRÍA La simetría de las formas de onda simplifica grandemente el esfuerzo en el desarrollo de los coeficientes de Fourier. Los argumentos de simetría deben de ser aplicados a la forma de onda después de que el componente de CD ha sido removido.

Simetría Impar i(t) = -i(-t) Entonces la correspondiente serie de Fourier no tiene términos de coseno. ak = 0 Y bk se puede encontrar integrando sobre la primera mitad del periodo y duplicando los resultados.



200

4 ( )sin( )T

kb i t k t dtT

ω= ∫

Simetría Par

i(t) = i(-t) Entonces la correspondiente serie de Fourier no tiene términos de seno. bk = 0 y ak se puede encontrar integrando sobre la primera mitad del periodo y duplicando los resultados.

200

4 ( )cos( )T

ka i t k t dtT

ω= ∫

NOTA: La simetría par e impar puede algunas veces ser obtenida por medio del traslado de tiempo de la forma de onda. En este caso, resolver por los coeficientes de Fourier usando las formas de onda desplazadas en tiempo, y después regresar los coeficientes de los desplazamientos de ángulo de los coeficientes de Fourier.

Simetría de Media Onda

( ) ( )2Ti t i t± = −

Entonces la correspondiente serie de Fourier no tiene armónicas pares, y ak y bk se pueden encontrar integrando sobre cualquier mitad del periodo y duplicando sus resultados.

0

0

0

0

20

20

4 ( ) cos( ) ,

4 ( )sin( ) ,

Tt

k t

Tt

k t

a i t k t dt k imparT

b i t k t dt k imparT

ω

ω

+

+

= →

= →

∫

∫

Simetría de media onda es común en sistemas de energía.



EJEMPLOS

Onda cuadrada Por inspección, el valor de CD es cero, y la forma de onda tiene ambas simetrías impares y simetría de media onda. Por esto que ak = 0, y

0

0

20

4 ( )sin( ) ,Tt

k tb i t k t dt k impar

Tω

+= →∫

Resolviendo para bk

0220 0 00

0 0

4 4 4sin( ) cos( ) | cos cos(0)2

TT t

k tk TV Vb V k t dt k t

T k T k Tωω ω

ω ω=

=⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∫

Desde 02 ,entoncesTπω =

4 2(cos( ) 1) (1 cos( )),

2

4 ,

k

k

V Vb k k produciendok k

Vb k impark

π ππ π

π

−= − = −

=

La serie de Fourier es entonces:

0 0 0 01, _

4 1 4 1 1( ) sin( ) sin(1 ) sin(3 ) sin(5 ) ...3 5k k impar

V Vv t k t t t tk

ω ω ω ωπ π

∞

=

⎡ ⎤= = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

(A7)

Donde se observa que las magnitudes de las armónicas decrecen con forme a 1 /

k…

Onda triangular

Por inspección, el valor de CD es cero, y la forma de onda tiene ambas simetrías, simetría par y simetría de media onda. De esto que bk = 0, y

T/2

T

V

-V

Figura A4 Onda cuadrada

T

T/2V

-V

Figura A5 Onda Triangular



0

0

20

4 ( )cos( ) ,Tt

k ta v t k t dt k impar

Tω

+= →∫

Resolviendo para ak,

2 20 0 020 0

20 0 02

2 2 00 0 00

2 2

4 4 4 161 cos( ) cos( ) cos( )

sin( ) sin( )4 16 16sin sin(0)2

2 4 4sin( ) sin( ) (1 cos( )),

T T

k

Tt T

t

t V Va V k t dt k t dt t k t dtT T T T

k T t k t k tV V V dtk T T k T k

V V Vk k k k impk k k

ω ω ω

ω ω ωω ω ω

π π ππ π π

=

=

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− + − →

∫ ∫

∫

ar

Continuando,

2 2

8 ,kVa k impar

k π= →

La serie de Fourier es entonces

02 21, _

8 1( ) cos( )k k impar

Vv t k tk

ωπ

∞

=

= ∑

0 0 02

4 1 1cos(1 ) cos(3 ) sin(5 ) ...9 25

V t t tω ω ωπ

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (A8)

Donde se puede observar que las magnitudes de las armónicas decrece a razón de 1 / k2. Para convertirlo en serie de seno, remarcar que cos (θ) = sin (θ + 90°), así que la serie se vuelve

( ) ( ) ( ) ( )0 0 02

8 1 1sin 1 90º sin 3 90º sin 5 90º ....9 25

Vv t ϖ ϖ ϖπ

⎡ ⎤= + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (A9)

Para el retraso en el tiempo (esto es moverse a la derecha) de la forma de onda por T / 4 (esto es 90° de la fundamental), restar (k • 90°) de cada ángulo de las armónicas. De esto que la ecuación (A9) se vuelve:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 02

8 1 1sin 1 90º 1 90º sin 3 90º 3 90º sin 5 90º 5 90º ....9 25

Vv t ϖ ϖ ϖπ

⎡ ⎤= + − • + + − • + + − • +⎢ ⎥⎣ ⎦



( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 02

8 1 1 1sin 1 sin 3 sin 5 sin 7 ....9 25 49

Vv t t t t tϖ ϖ ϖ ϖπ

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (A10)

Media onda rectificada de coseno

La forma de onda tiene un valor de CD y simetría par. Por esto, bk = 0, y

200

4 ( )cos( ) ,T

ka i t k t dt k imparT

ω= →∫

Resolviendo para el valor de CD:

0

0

44

0 004

4

1 1 1( ) cos( ) sin( )

TtTt T

TCD t Tt

I i t dt I t dt tT T T

ω ωω

=+

−=−

= = =∫ ∫

0 0 01 1 1sin sin sin sin2 4 4 4 2

T T Tω ω ω ππ π π

−⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

1CDI

π= (A11)

Resolviendo para ak:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

4 40 0 0 00 0

40 0

0 0 0

4 2cos( ) cos( ) cos( 1 ) cos( 1 )

sin( 1 ) sin( 1 )21 1

T T

k

Tt

t

Ia I t k t dt k t k t dtT T

k t k tIT k k

ω ω ω ω

ω ωω ω

=

=

= = − + +

⎛ ⎞− += +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

∫ ∫

Para k = 1, tomando los limites de las expresiones anteriores produce 𝑎 =

( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

0

0

0

1 1 00 0

0

1 00 0

sin 1 sin 1 12 4 2lim1 1 1

sin 1 1sin 1 02 2lim1 1 1

k

k

TkI IaT k

kI IT k

ω

ω

πω

ω π ω

πωω π ω

− →

− →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟= • +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎛ ⎞− •− • − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

T/2 T/2

TI

Figura A6 Media onda rectificada de coseno



( )10

2 sin 0 04 2 2

I T I IaT

πω π

= + − − = (A12)

Para k > 1

( )( )

( )( )

sin 1 sin 12 2

1 1k

k kIak k

π π

π

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= +⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

(A13)

Todos los términos nones k en (A12) son cero. Para términos pares, es de mucha ayuda encontrar un común denominador y escribir a (A13) como:

( ) ( ) ( ) ( )2

1 sin 1 1 sin 12 2 , 1,1k

k k k kIa k k park

π π

π

⎡ ⎤+ − + − +⎢ ⎥= > =⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Evaluando la ecuación superior muestra una señal de patrón alternante que puede ser expresado como:

( )2

2

22,4,6,....

2 11 , 1,1

k

kk

Ia k k park

α

ω

+

=

= − >−∑

La expresión final se vuelve:

( ) ( ) ( )2 10 02

2 1cos ( 1) cos2 1

kI I Ii t t k tk

ω ωπ π

+= + + −−∑

APÉNDICE B: VALORES RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-519-1992


APÉNDICE B

VALORES DE DISTORSIÓN ARMÓNICA RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-519-

1992

“RECOMMENDED PRACTICES AND REQUIREMENTS FOR HARMONIC CONTROL IN ELECTRICAL POWER SYSTEMS -

Prácticas recomendadas y requerimientos para el control de armónicas en sistemas eléctricos de potencia”

Las normas internacionales referentes al control de armónicas son las siguientes: IEC 36.05 (EUROPA). DIN 57160 (ALEMANIA). G 5/3 (INGLATERRA). AS 2279 (AUSTRALIA). Pero las recomendaciones más utilizadas son las expuestas mediante el Estándar 519 -1992 del IEEE. La tendencia en México, impulsada por Comisión Federal de Electricidad, es de implantar la norma estándar IEEE-519-1992, aunque hasta ahora solo ha aparecido una especificación provisional CFE L0000-45 “Perturbaciones permisibles en las formas de onda de tensión y corriente del suministro de energía eléctrica”, la cual se basa en la norma IEEE-519. Esta especificación entro en vigor a partir del 21 de Abril de 1995 y la cual se encuentra en revisión. Las recomendaciones de la norma IEEE- 519-1992 “IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems, Prácticas Recomendadas y Requerimientos para el control de Armónicas en Sistemas Eléctricos de Potencia” son las siguientes [6]:

APÉNDICE B: VALORES RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-519-1992


Tabla B1. Limites de distorsión de tensión

Tensión del bus IHD THD ≤ 69 kV 3.0 5.0

69 kV< Vbus ≤ 161 kV 1.5 2.5 > 161 kV 1.0 1.5

Tabla B2. Limites de distorsión de corriente para sistemas de 120 V a 69 kV

Máxima corriente de distorsión en % de IL. Para armónicas impares

ICC / IL <11 11≤h<17 17≤h<23 23≤h<35 35≤h TDD <20 4.0 2.0 1.5 0.6 0.3 5.0

20<50 7.0 3.5 2.5 1.0 0.5 8.0 50<100 10.0 4.5 4.0 1.5 0.7 12.0

100<1000 12.0 5.5 5.0 2.0 1.0 15.0 >1000 15.0 7.0 6.0 2.5 1.4 20.0

Para armónicas pares se incrementa el límite en 25% de las impares

Tabla B3. Limites de distorsión de corriente para sistemas de 69 001 V a 161 kV Máxima corriente de distorsión en % de IL. Para armónicas impares

ICC / IL <11 11≤h<17 17≤h<23 23≤h<35 35≤h TDD <20 2.0 1.0 0.75 0.3 0.15 2.5

20<50 3.5 1.75 1.25 0.5 0.25 4.0 50<100 5.0 2.25 2.0 0.75 0.35 6.0

100<1000 6.0 2.75 2.5 1.0 0.5 7.5 >1000 7.5 2.5 3.0 1.25 0.7 10.0

Para armónicas pares se incrementa el límite en 25% de las impares

Tabla B4. Limites de distorsión de corriente para sistemas mayores a 161 kV Máxima corriente de distorsión en % de IL. Para armónicas impares

ICC / IL <11 11≤h<17 17≤h<23 23≤h<35 35≤h TDD <50 2.0 1.0 0.75 0.3 0.15 2.5 >50 3.0 1.5 1.15 0.45 0.22 3.75

Para armónicas pares se incrementa el límite en 25% de las impares ICC Corriente máxima de corto circuito IL Corriente máxima de demanda (fundamental)

APÉNDICE C: VALORES RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-18-2002


APÉNDICE C

PARÁMETROS DE CAPACITORES RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-18-

2002

“STANDARD FOR SHUNT POWER CAPACITORS – Standard para capacitores de potencia en derivación”

En la elección de bancos de capacitores se deben de tomar varias consideraciones, algunos de los aspectos se mencionan en la norma IEEE-18-2002 de estándares para capacitores de potencia en derivación (Standard for Shunt Power Capacitors), las cuales se muestran a continuación [7]: Tabla C1 Límites máximos recomendados para operación continúa de capacitores en

paralelo bajo condiciones de contingencia

VAr 135% Tensión RMS 110% Nivel de tensión pico, incluyendo armónicas 120% Corriente RMS 135%

Tabla C2 Tensión y potencia reactiva de capacitores

Volts, rms (en terminales) kVAr Numero de fases NBAI kV*

216 5, 7 ½, 13 1/3, 20, y 25 1 y 3 30** 240 2.5, 5, 7 ½, 10, 15, 20, 25 y 50 1 y 3 30** 480 5, 10, 15, 20, 25, 35, 50, 60 y 100 1 y 3 30** 600 5, 10, 15, 20, 25, 35, 50, 60 y 100 1 y 3 30**

2400 50, 100, 150 y 200 1 75 2770 50, 100, 150 y 200 1 75 4160 50, 100, 150 y 200 1 75 4800 50, 100, 150 y 200 1 75 6640 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 7200 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 7620 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95

APÉNDICE C: VALORES RECOMENDADOS POR LA NORMA IEEE-18-2002


7960 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 8320 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 9540 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 9960 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95

11 400 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 12 470 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 13 280 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 y 125 13 800 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 y 125 14 400 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 95 y 125 15 125 50, 100, 150, 200, 300 y 400 1 125 19 920 100, 150, 200, 300 y 400 1 125

19 920*** 100, 150, 200, 300 y 400 1 125 y 150 20 800*** 100, 150, 200, 300 y 400 1 150 y 200 21 600*** 100, 150, 200, 300 y 400 1 150 y 200 22 800*** 100, 150, 200, 300 y 400 1 150 y 200 23 800*** 100, 150, 200, 300 y 400 1 150 y 200 24 940*** 100, 150, 200, 300 y 400 1 150 200

*Ver tabla C6 **No se aplica a interiores ***Solo una termina

APÉNDICE D: CÓDIGO EN MATLAB DE LOS PROGRAMAS UTILIZADOS


APÉNDICE D

CÓDIGO EN MATLAB DE LOS PROGRAMAS UTILIZADOS

Para el análisis de la propagación y filtración de armónicas se realizaron tres programas principales y que se van modificando de acuerdo al sistema eléctrico a estudiar, estos son: Flujos de Potencia, Respuesta a la Frecuencia y Tensiones Armónicos. El código de los programas se realizo en MATLAB. D.1) FLUJOS DE POTENCIA CONVENCIONAL Para la solución del problema se requiere hacer uso de un programa de flujos de potencia, para obtener los tensiones y ángulos nodales, en este caso se uso el programa llamado flujos.m, en donde los datos de la red se encuentran en los archivos sistema_6nodos.m, sistema_16nodos.m y red_oaxaca.m. flujos.m % Programa de Flujos de Potencia, Newton Raphson clc % limpia ventana de comandos clear all; % limpia memoria global n1 n2 rl xl b2l P Q V D Ybus % Contiene los parametros del sistema para estudios de flujos sistema_6nodos; %sistema_16nodos; %red_oaxaca; formybus; % Forma ya matriz de admitancias nodales de la red condini; % Calcula potencias netas y angulos los incia en cero en nodos PQ y PV iter=0; maxdel=1; while(maxdel>0.0001), calcpot; % Calcula potencias: Pcal, Qcal calcjaco;J=sparse(J); % Calcula el Jacobiano: J caldelpq; % Cancula desviaciones en potencias: dP=Pesp-Pcal, dQ=Qesp-Qcal



delvd=inv(J)*delpq; % Calcula desviaciones de tension y angulo: [dV dA]=inv(J)*[dP dQ] calvd; % Actualiza tension y angulo: V=V+dV, A=A+dA norma; % Calcula error en potencias entre iteraciones maxdel; % Variable que contiene el error iter=iter+1; % Contabiliza el numero de iteraciones maxdel; end; calcnod; % Calcula flujos de potencia en lineas iter; % Desplega el numero de iteraciones desplega; % Desplega resultados: tensiones nodales, potencias, etc. % Los siguientes programas son requeridos: % formybus.m jqkvk.m jpd.m % calcjaco.m jpkdk.m jqv.m % calcnod.m jpkdm.m jqkvm.m % calcpot.m jpkvk.m norma.m % caldelpq.m jpkvm.m slin.m % calvd.m jpv.m % condini.m jqd.m % desplega.m jqkdk.m % flujos.m jqkdm.m D.1.1) sistema_6nodos.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SISTEMA 6 NOD0S %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % DATOS GENERALES nl=7; % numero de lineas y transformadores ng=2; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc=4; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=2; % Numero de elementos en derivacion % DATOS DE LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo 1 2 3 4 5 6 7 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' % tipo de elemento 'L':linea, 'T': transformador n1 = [1 2 3 3 4 6 2 ]; % nodos de salida n2 = [2 3 5 4 5 5 5 ]; % nodos de llegada rl = [0.02 0.04 0.15 0.02 0.02 0.02 0.02]; % resistencia de la linea entre n1 y n2 xl = [0.04 0.20 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40]; % inductancia de la linea entre n1 y n2 b2l= [0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.02 0.02]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 tap= [1 1 1 1 1 1 1 ]; % taps de transf (1 si no hay con tap fuera del nominal)) % ELEMENTOS EN DERIVACION



% Sin Filtros nnc=[ 4 6 ]; % nodo de conexion sc =[ 1.5 3 ]; % reactancia capacitiva en derivacion sl =[ 0 0 ]; % reactancia inductiva en derivacion sr =[ 0 0 ]; % resistencia en derivacion % Con Filtros % nnc=[ 4 6 3 ]; % nodo de conexion % sc =[1.5 3.07093 3.7387 ]; % reactancia capacitiva en derivacion % sl =[ 0 0.07093 0.035 ]; % reactancias inductiva en derivacion % sr =[ 0 0.02334 0.0181 ]; % resistencia en derivacion % DATOS DE NODOS DE GENERACION Y CARGA % nodo 1 2 3 4 5 6 tn = ['S' 'V' 'C' 'C' 'C' 'C' ]; % tipo de nodo S:slack (1), V:tension, C:carga Pg = [0 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00]; % potencia activa de generacion Qg = [0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00]; % potencia reactiva de generacion Pd = [0 0.60 0.65 0.40 0.50 0 ]; % potencia activa de demanda Qd = [0 0.20 0.50 0.15 0.25 0.20]; % potencia reactiva de demanda V = [1 0.985 1 1 1 1 ]; % tensiones nodales iniciales D = [0 0 0 0 0 0 ]; % angulos de tensiones nodales iniciales %FIN D.1.2) sistema_16nodos.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SISTEMA 16 NOD0S %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % DATOS GENERALES nl= 16; % numero de lineas y transformadores ng= 3; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc= 13; % nodos de carga N= ng+nc; % numero de nodos totales ncd=1; % Numero de elementos en derivacion %DATOS DE LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1=[ 4 8 10 2 2 5 15 11 13 1 15 13 3 5 7 9]; % nodos de salida n2=[ 6 10 11 4 11 7 16 12 14 2 2 12 4 6 8 10]; % nodos de llegada



rl = [0.006650 0.006650 0.009980 0.016640 0.016640 0.008302 0.027680 0.006656 0.052100 0.003500 0.002722 0.002083 0.003846 0.001667 0.001667 0.001200]; % resistencia de la linea o transformador entre n1 y n2 xl = [0.035190 0.035190 0.052790 0.087980 0.087980 0.045550 0.151800 0.035192 0.177300 0.035000 0.032670 0.041670 0.038460 0.041670 0.041670 0.024000]; % inductancia de la linea o transformador entre n1 y n2 b2l= [0.074580 0.074580 0.111900 0.186440 0.186440 0.008129 0.027100 0.074576 0.003707 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 tap= [1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.025000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000]; % taps de transf (1 si no hay con tap fuera del nominal) %ELEMENTOS EN DERIVACION %Sin Filtro nnc= 16 ; % nodo de conexion sc =[ 3.5 ]; % reactancia capacitiva en derivacion sl =[ 0 ]; % reactancia inductiva en derivacion sr =[ 0 ]; % resistencia en derivacion %Con Filtro % nnc=[ 16 14 ]; % nodo de conexion % sc =[ 3.5 4.0621 ]; % reactancia capacitiva en derivacion % sl =[ 0 0.0938 ]; % reactancia inductiva en derivacion % sr =[ 0 0.0309 ]; % resistencia en derivacion % DATOS DE NODOS DE GENERACION Y CARGA %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 tn =['S' 'C' 'V' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' 'V' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' ]; % tipo de nodo S:slack (1), V:tension, C:carga Pg =[0 0 1.1 0 0 0 0 0 2.2 0 0 0 0 0 0 0 ]; % potencia activa de generacion Qg =[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]; % potencia reactiva de generacion Pd =[ 0 0 0.45 0 0.65 0 0.90 0 0.15 0 0 0 0.50 0.43 0 1.50]; % potencia activa de demanda Qd =[ 0 0 0.15 0 0.72 0 0.20 0 0.04 0 0 0 0.65 0.39 0 0.20]; % potencia reactiva de demnda V =[1 1 1.0318 1 1 1 1 1 1.0500 1 1 1 1 1 1 1 ]; % tensiones nodales iniciales D =[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]; % angulos de tensiones nodales iniciales %FIN D.1.3) red_oaxaca.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % RED EQUIVALENTE DE LA DIVISION SURESTE DE LA CFE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



% DATOS GENERALES nl=10; % numero de lineas y transformadores ng=3; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc=8; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=2; % Numero de elementos en derivacion % LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1 =[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]; % nodos de salida n2 =[ 4 6 11 5 6 7 8 9 10 11 ]; % nodos de llegada rl =[0.0804 0.1805 0.1162 0.0811 0.0632 0.0693 0.0741 0.0650 0.0732 0.0768]; % resistencia de la linea o transformador entre n1 y n2 xl =[0.2934 0.6524 0.3514 0.2979 0.2320 0.2545 0.2733 0.2325 0.2617 0.2747]; % inductancia de la linea o transformador entre n1 y n2 b2l=[ 0 0 0 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.001 ]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 tap=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]; % taps de transf (1 si no hay con tap fuera del nominal) % ELEMENTOS EN DERIVACION % Sin Filtros nnc=[ 5 9 ]; % nodo de conexion sc=[13.3333 8 ]; % reactancias capacitivas en derivacion sl=[ 0 0 ]; % reactancias inductiva en derivacion sr=[ 0 0 ]; % resistencia en derivacion % Con Filtros % nnc=[ 5 9 ]; % nodo de conexion % sc= [13.6485 8.3793 ]; % reactancias capacitivas en derivacion % sl= [0.3152 0.3793 ]; % reactancias inductiva en derivacion % sr= [0.1037 0.08914]; % resistencia en derivacion % DATOS DE NODOS DE GENERACION Y CARGA %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tn=['S' 'V' 'V' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' 'C' ]; % tipo de nodo S:slack (1), V:tension, C:carga Pg=[0.15 0.15 0.15 0 0 0 0 0 0 0 0 ]; % potencia activa de generacion Qg=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]; % potencia reactiva de generacion Pd =[0 0 0 0 0 0 0 0.05083 0.18459 0.13242 0.08694]; % potencia activa de demanda Qd =[0 0 0 0 0 0 0 0.00545 0.04508 0.03281 0.00545]; % potencia reactiva de demanda



V =[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]; % tensiones nodales iniciales D =[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]; % angulos de tensiones nodales iniciales %FIN D.2) RESPUESTA A LA FRECUENCIA DE LA RED ELÉCTRICA Para obtener las graficas de barrido en frecuencia de acuerdo al caso de estudio se utilizaron los programas sistema_6nodos_DPI.m, sistema_16nodos_DPI.m ó red_oaxaca.m. A continuación se presenta el código de los programas. D.2.1) sistema_6nodos_DPI.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Respuesta en frecuencia de redes % eléctricas (DPI: Driving Point Impendace) % % Caso: sistema_6nodos % % H : numero de armonicas a considerar % dH : incremento en frecuencia % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clc % DATOS GENERALES nl =7; % numero de lineas y transformadores ng =2; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc =4; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=2; % numero de capacitores en derivacion H = 50; dH = 0.1; % LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo 1 2 3 4 5 6 7 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' % tipo de elemento 'L':linea, 'T': transformador n1 = [1 2 3 3 4 6 2 ]; % nodos de salida n2 = [2 3 5 4 5 5 5 ]; % nodos de llegada rl = [0.02 0.04 0.15 0.02 0.02 0.02 0.02]; % resistencia de la linea entre n1 y n2 xl = [0.04 0.20 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40]; % inductancia de la linea entre n1 y n2



b2l= [0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.02 0.02]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 % CARGAS % nodo1 2 3 4 5 6 Pd = [0 0.60 0.65 0.40 0.50 0.00]; % potencia activa de demanda Qd = [0 0.20 0.50 0.15 0.25 0.20]; % potencia reactiva de demanda % TENSIONES OBTENIDAS DE FLUJOS DE POTENCIA V=[1.0000 0.9850 0.9115 1.0409 0.9576 1.0243 ]; % Sin Filtros %V=[1 0.985 0.9733 1.1097 1.0092 1.0897]; % Con Filtros % GENERADORES nng=[ 1 2 ]; % nodo de conexion xg =[0.00010 0.0050 ]; % reactancia del generador rg= [0.00001 0.00005]; % resistencia del generador % ELEMENTOS EN DERIVACION % Sin Filtros nnc=[ 4 6 ]; % nodo de conexion xcc=[ 1.5 3.5]; % reactancia capacitiva en derivacion sl= [ 0 0 ]; % reactancia inductiva en derivacion sr= [ 0 0 ]; % resistencia en derivacion % Con Filtros % nnc=[ 4 6 3 ]; % nodo de conexion % xcc=[ 1.5 3.07093 3.7387]; % reactancia capacitiva en derivacion % sl= [ 0 0.07093 0.035 ]; % reactancia inductiva en derivacion % sr= [ 0 0.02334 0.0181]; % resistencia en derivacion %%% FORMACION DE Y NODAL A DISTINTAS FRECUENCIAS c=1; for h=1:dH:H Ynodal=zeros(N,N); Z=zeros(N,N); % LINEAS for k=1:nl nn1=n1(k); nn2=n2(k); z=rl(k)+j*h*xl(k); yserie=1/z; yshunt=j*h*b2l(k); Ynodal(nn1,nn1)=Ynodal(nn1,nn1)+yserie+yshunt; Ynodal(nn2,nn2)=Ynodal(nn2,nn2)+yserie+yshunt; Ynodal(nn1,nn2)=Ynodal(nn1,nn2)-yserie; Ynodal(nn2,nn1)=Ynodal(nn2,nn1)-yserie;



end % CARGAS % Modelo III del CIGRE: RL paralelo en serie con Xs for k=1:N if Pd(k)~=0 rc=(V(k)^2)/Pd(k); xc=j*(h*rc/(6.7*(Qd(k)/Pd(k))-0.74)); xs=j*0.073*h*rc; zc=((rc*xc)/(rc+xc))+xs; Ynodal(k,k)=Ynodal(k,k)+1/zc; end end %GENERADORES for k=1:ng nk=nng(k); x=rg(k)*sqrt(h)+j*h*xg(k); y=1/x; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % ELEMENTOS EN DERIVACION for k=1:ncd nk=nnc(k); zf=(-j*xcc(k)/h)+j*h*sl(k)+sr(k); y=1/zf; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end Z=inv(Ynodal); for k=1:N Zdpi(k,c)=Z(k,k); end c=c+1; end %Desplega el DPI de cada nodo for k=1:N figure h=1:dH:H; plot(h,abs(Zdpi(k,:)),'k','linewidth',2); xlabel('Armónicas') ylabel('Magnitud de la impedancia en p.u.'); title('Respuesta a la frecuencia'); grid; pause end % Desplega el DPI de todo el sistema figure plot(h,abs(Zdpi),'linewidth',2);



xlabel('Armónicas') ylabel('Magnitud de la impedancia en p.u.'); title('Respuesta a la frecuencia'); legend('Nodo 1','Nodo 2','Nodo 3','Nodo 4','Nodo 5','Nodo 6'); grid; %FIN D.2.2) sistema_16nodos_DPI.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Respuesta en frecuencia de redes % eléctricas (DPI: Driving Point Impendace) % % Caso: sistema_16nodos % % H : número de armónicas a considerar % dH : incremento en frecuencia % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clc % DATOS GENERALES nl =16; % numero de lineas y transformadores ng =3; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc =13; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=1; % numero de capacitores n derivacion H = 50; dH = 0.1; %DATOS DE LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1=[ 4 8 10 2 2 5 15 11 13 1 15 13 3 5 7 9]; % nodos de salida n2=[ 6 10 11 4 11 7 16 12 14 2 2 12 4 6 8 10]; % nodos de llegada rl = [0.006650 0.006650 0.009980 0.016640 0.016640 0.008302 0.027680 0.006656 0.052100 0.003500 0.002722 0.002083 0.003846 0.001667 0.001667 0.001200]; % resistencia de la linea o transformador entre n1 y n2 xl = [0.035190 0.035190 0.052790 0.087980 0.087980 0.045550 0.151800 0.035192 0.177300 0.035000 0.032670 0.041670 0.038460 0.041670 0.041670 0.024000]; % inductancia de la linea o transformador entre n1 y n2



b2l= [0.074580 0.074580 0.111900 0.186440 0.186440 0.008129 0.027100 0.074576 0.003707 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 % CARGAS %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Pd =[ 0 0 0.45 0 0.65 0 0.90 0 0.15 0 0 0 0.50 0.43 0 1.50]; % potencia activa de demanda Qd =[ 0 0 0.15 0 0.72 0 0.20 0 0.04 0 0 0 0.65 0.39 0 0.20]; % potencia reactiva de demanda % TENSIONES OBTENIDAS DE FLUJOS DE POTENCIA V=[1 0.9912 1.0318 1.0128 0.9704 0.9932 0.9814 1.0012 1.05 1.0221 0.9713 0.9177 0.88 0.7564 0.9741 0.904]; %Sin Filtro %V=[1 0.9953 1.0318 1.0145 0.9735 0.9955 0.985 1.0054 1.05 1.0267 0.9868 0.945 0.9217 0.849 0.9786 0.9098]; %Con Filtro % GENERADORES nng=[ 1 3 9 ]; % nodo de conexion xg =[0.0001 0.0050 0.0050]; % reactancia subtransitoria del generador rg =[0.00001 0.000050 0.000050]; % resistencia del generador % ELEMENTOS EN DERIVACION %Sin Filtro nnc=[ 16 ]; % nodo de conexion sc =[ 3.5 ]; % reactancia capacitiva en derivacion sl =[ 0 ]; % reactancia inductiva en derivacion sr =[ 0 ]; % resistencia en derivacion %Con Filtro %nnc=[ 16 14 ]; % nodo de conexion %sc =[ 3.5 4.0621 ]; % reactancia capacitiva en derivacion %sl =[ 0 0.0938 ]; % reactancia inductiva en derivacion %sr =[ 0 0.0309 ]; % resistencia en derivacion % FORMACION DE LA Y NODAL A DISTINTAS FRECUENCIAS c=1; for h=1:dH:H Ynodal=zeros(N,N); Z=zeros(N,N); % Lineas for k=1:nl nn1=n1(k); nn2=n2(k); z=rl(k)+j*h*xl(k); yserie=1/z; yshunt=j*h*b2l(k);



Ynodal(nn1,nn1)=Ynodal(nn1,nn1)+yserie+yshunt; Ynodal(nn2,nn2)=Ynodal(nn2,nn2)+yserie+yshunt; Ynodal(nn1,nn2)=Ynodal(nn1,nn2)-yserie; Ynodal(nn2,nn1)=Ynodal(nn2,nn1)-yserie; end % Cargas Modelo III del CIGRE: RL paralelo en serie con Xs % R=(VLL^2)/Pd; % Xl=j*(h*R/(6.7*((Qd/Pd)-0.74))) % xs=j*0.073*h*R for k=1:N if Pd(k)~=0 rc=(V(k)^2)/Pd(k); xc=j*(h*rc/(6.7*(Qd(k)/Pd(k))-0.74)); xs=j*0.073*h*rc; zc=((rc*xc)/(rc+xc))+xs; Ynodal(k,k)=Ynodal(k,k)+1/zc; end end %GENERADORES for k=1:ng nk=nng(k); x=rg(k)*sqrt(h)+j*h*xg(k); y=1/x; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end %ELEMENTOS EN DERIVACION for k=1:ncd nk=nnc(k); zf=(-j*sc(k)/h)+j*h*sl(k)+sr(k); y=1/zf; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end Z=inv(Ynodal); for k=1:N Zdpi(k,c)=Z(k,k); end c=c+1; end %Desplega el DPI de cada nodo for k=1:N figure h=1:dH:H; plot(h,abs(Zdpi(k,:)),'k','linewidth',2); xlabel('Armónicas') ylabel('Magnitud de la impedancia en p.u.');



title('Respuesta a la frecuencia'); grid; pause end % Desplega el DPI de todo el sistema figure plot(h,abs(Zdpi),'linewidth',2); xlabel('Armónicas') ylabel('Magnitud de la impedancia en p.u.'); title('Respuesta a la frecuencia'); legend('Nodo 1','Nodo 2','Nodo 3','Nodo 4','Nodo 5','Nodo 6','Nodo 7','Nodo 8','Nodo 9','Nodo 10','Nodo 11','Nodo 12','Nodo 13','Nodo 14','Nodo 15','Nodo 16'); grid; % FIN D.2.3) red_oaxaca_DPI.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Respuesta en frecuencia de redes % eléctricas (DPI: Driving Point Impendace) % % Caso: red_oaxaca % % H : número de armónicas a considerar % dH : incremento en frecuencia % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clc % DATOS GENERALES nl =10; % numero de lineas y transformadores ng =3; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc =8; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=2; % numero de elementos en derivacion H=50; dH=0.01; % LINEAS Y TRANSFORMADORES % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L']; % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1 =[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % nodos de salida n2 =[ 4 6 11 5 6 7 8 9 10 11]; % nodos de llegada



rl =[0.0804 0.1805 0.1162 0.0811 0.0632 0.0693 0.0741 0.0650 0.0732 0.0768]; % resistencia de la linea o transformador entre n1 y n2 xl =[0.2934 0.6524 0.3514 0.2979 0.2320 0.2545 0.2733 0.2325 0.2617 0.2747]; % inductancia de la linea o transformador entre n1 y n2 b2l=[ 0 0 0 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.001 ]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 tap=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]; % taps de transf (1 si no hay con tap fuera del nominal) % CARGAS %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Pd =[ 0 0 0 0 0 0 0 0.05083 0.18459 0.13242 0.08694]; % potencia activa de demanda Qd =[ 0 0 0 0 0 0 0 0.00545 0.04508 0.03281 0.00545]; % potencia reactiva de demanda % TENSIONES obtenidos de flujos de potencia V=[ 1 1 1 0.9957 0.9949 0.9787 0.9592 0.9467 0.9464 0.9444 0.9624]; % Sin Filtros % V=[ 1 1 1 0.9955 0.9944 0.9783 0.9586 0.9461 0.9458 0.9439 0.9622 ]; %Con Filtros % GENERADORES nng=[ 1 2 3 ]; % nodo de conexion xg= [0.00010 0.00500 0.00010]; % reactancia del generador rg= [0.00001 0.00005 0.00001]; % resistencia del generador % ELEMENTOS EN DERIVACION % Sin Filtros nnc=[ 5 9 ]; % nodo de conexion sc=[13.3333 8 ]; % reactancias capacitivas en derivacion sl=[ 0 0 ]; % reactancias inductiva en derivacion sr=[ 0 0 ]; % resistencia en derivacion % Con Filtros % nnc=[ 5 9 ]; % nodo de conexion % sc= [13.6485 8.3793 ]; % reactancias capacitivas en derivacion % sl= [0.3152 0.3793 ]; % reactancias inductiva en derivacion % sr= [0.1037 0.08914]; % resistencia en derivacion %%% FORMACION DE Y NODAL A DISTINTAS FRECUENCIAS c=1; for h=1:dH:H Ynodal=zeros(N,N); Z=zeros(N,N); % LINEAS for k=1:nl nn1=n1(k);



nn2=n2(k); z=rl(k)+j*h*xl(k); yserie=1/z; yshunt=j*h*b2l(k); Ynodal(nn1,nn1)=Ynodal(nn1,nn1)+yserie+yshunt; Ynodal(nn2,nn2)=Ynodal(nn2,nn2)+yserie+yshunt; Ynodal(nn1,nn2)=Ynodal(nn1,nn2)-yserie; Ynodal(nn2,nn1)=Ynodal(nn2,nn1)-yserie; end % CARGAS % Modelo III del CIGRE: RL paralelo en serie con Xs for k=1:N if Pd(k)~=0 rc=(V(k)^2)/Pd(k); xc=j*(h*rc/(6.7*(Qd(k)/Pd(k))-0.74)); xs=j*0.073*h*rc; zc=((rc*xc)/(rc+xc))+xs; Ynodal(k,k)=Ynodal(k,k)+1/zc; end end %GENERADORES for k=1:ng nk=nng(k); x=rg(k)*sqrt(h)+j*h*xg(k); y=1/x; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % ELEMENTOS EN DERIVACION for k=1:ncd nk=nnc(k); zf=(-j*sc(k)/h)+j*h*sl(k)+sr(k); y=1/zf; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end Z=inv(Ynodal); for k=1:N Zdpi(k,c)=Z(k,k); end c=c+1; end %Desplega el DPI de cada nodo for k=1:N figure h=1:dH:H; plot(h,abs(Zdpi(k,:)),'k','linewidth',2); xlabel('Armónicas')



ylabel('Magnitud de la impedancia en p.u.'); title('Respuesta a la frecuencia'); grid; pause end % Desplega el DPI de todo el sistema figure plot(h,abs(Zdpi),'linewidth',2); xlabel('Armónicas') ylabel('Magnitud de la impedancia en p.u.'); title('Respuesta a la frecuencia'); legend('Nodo 1','Nodo 2','Nodo 3','Nodo 4','Nodo 5','Nodo 6','Nodo 7','Nodo 8','Nodo 9','Nodo 10','Nodo 11'); grid; %FIN D.3) REPRESENTACIÓN DE LA CORRIENTE DE LAS CARGAS NO LINEALES A continuación se presentan los códigos para graficar la forma de onda de corriente de las cargas no lineales de los diferentes casos de estudio. Utilizando los datos en p.u. de la magnitud de la corriente y los ángulos en grados. D.3.1) sistema 6 nodos Obtiene la grafica de la onda de corriente del la fundidora del nodo 3. f=60; %frecuencia T=1/f; %tiempo de 1 Hz dt=T/100; %incremento de tiempo t=0:dt:2*T; %tiempo total de graficación w=2*pi*f; %velocidad angular i1=1*cos(w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 1 i5=0*cos(5*w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 5 i7=0*cos(7*w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 7 i11=0.15*cos(11*w*t+75*pi/180); %corriente de la armonica de orden 11 i13=0.03*cos(13*w*t+20*pi/180); %corriente de la armonica de orden 13 ifun=i1+i5+i7+i11+i13; %corriente en la fundidora plot(t,ifun,'k','linewidth',2); title 'Corriente de la fundidora' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Corriente [p.u.]') grid



Obtiene la grafica de la onda de corriente del TCR (reactor controlado por tiristores) del nodo 6. f=60; %frecuencia T=1/f; %tiempo de 1 Hz dt=T/100; %incremento de tiempo t=0:dt:2*T; %tiempo total de graficación w=2*pi*f; %velocidad angular i1=1*cos(w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 1 i5=0.25*cos(5*w*t+180*pi/180); %corriente de la armonica de orden 5 i7=0.15*cos(7*w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 7 i11=0.10*cos(11*w*t+180*pi/180); %corriente de la armonica de orden 11 i13=0.05*cos(13*w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 13 itcr=i1+i5+i7+i11+i13; %corriente en el tcr (reactor controlado por tiristores) plot(t,itcr,'k','linewidth',2); title 'Corriente del TCR' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Corriente [p.u.]') grid D.3.2) sistema 16 nodos Obtiene la grafica de la onda de corriente del la fundidora del nodo 14. f=60; %frecuencia T=1/f; %tiempo de 1 Hz dt=T/100; %incremento de tiempo t=0:dt:2*T; %tiempo total de graficación w=2*pi*f; %velocidad angular i1=1*cos(w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 1 i5=0.0423*cos(5*w*t+180*pi/180); %corriente de la armonica de orden 5 i7=0.2428*cos(7*w*t+60*pi/180); %corriente de la armonica de orden 7 i11=0.0309*cos(11*w*t+180*pi/180); %corriente de la armonica de orden 11 i13=0.0269*cos(13*w*t+30*pi/180); %corriente de la armonica de orden 13 ifun=i1+i5+i7+i11+i13; %corriente de la fundidora plot(t,ifun,'k','linewidth',2); title 'Corriente de la fundidora' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Corriente [pu]') grid D.3.3) red Oaxaca Obtiene la grafica de la onda de corriente del la fundidora del nodo 8.



f=60; %frecuencia T=1/f; %tiempo de 1 Hz dt=T/100; %incremento de tiempo t=0:dt:2*T; %tiempo total de graficación w=2*pi*f; %velocidad angular i1=1*cos(w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 1 i5=0.2*cos(5*w*t+180*pi/180); %corriente de la armonica de orden 5 i7=0.15*cos(7*w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 7 i11=0.09*cos(11*w*t+180*pi/180); %corriente de la armonica de orden 11 i13=0.03*cos(13*w*t+0*pi/180); %corriente de la armonica de orden 13 ifun=i1+i5+i7+i11+i13; %corriente en la fundidora plot(t,ifun,'k','linewidth',2); title 'Corriente de la fundidora' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Corriente [p.u.]') grid D.4) TENSIONES ARMÓNICAS Los programas sistema_6nodos_Vh.m, sistema_16nodos_Vh.m y red_oaxaca_Vh.m calculan la tensión en todos los nodos a una armónica determinada, obtiene el espectro armónico de todos los nodos y grafica la forma de onda de tensión del nodo de interés. D.4.1) sistema_6nodos_Vh.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Tensiones armónicas % Caso: sistema_6nodos % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clc % DATOS GENERALES nl = 7; % numero de lineas y transformadores ng = 2; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc = 4; % nodos de carga N = ng+nc; % numero de nodos totales ncd= 2; % numero de capacitores n derivacion ni = 2; % numero de nodos de carga que contienen inyeccion de corriente armonica na = 4; % numero de armonicas a considerar



% LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo 1 2 3 4 5 6 7 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1 = [1 2 3 3 4 6 2 ]; % nodos de salida n2 = [2 3 5 4 5 5 5 ]; % nodos de llegada rl = [0.02 0.04 0.15 0.02 0.02 0.02 0.02]; % resistencia de la linea entre n1 y n2 xl = [0.04 0.20 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40]; % inductancia de la linea entre n1 y n2 b2l= [0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.02 0.02]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 % CARGAS %nodo 1 2 3 4 5 6 Pd = [0 0.60 0.65 0.40 0.50 0.00]; % potencia activa de demanda Qd = [0 0.20 0.50 0.15 0.25 0.20]; % potencia reactiva de demanda %TENSIONES Y ANGULOS OBTENIDOS DE FLUJOS DE POTENCIA %Sin Filtros V= [1 0.9850 0.9115 1.0409 0.9576 1.0243 ]; %tensiones Di=[0 -5.2559 -17.4462 -23.8815 -20.1116 -20.3110]; %angulos %Con Filtros % V= [1 0.985 0.9733 1.1097 1.0092 1.0897 ]; %tensiones % Di=[0 -5.2582 -17.3573 -23.0232 -19.5786 -19.8715]; %angulos % GENERADORES nng=[ 1 2 ]; % nodo de conexion xg =[0.0001 0.0050 ]; % reactancia subtransitoria del generador rg= [0.00001 0.00005]; % resistencia del generador % ELEMENTOS EN DERIVACION % Sin Filtros nnc=[ 4 6 ]; % nodo de conexion xcc=[ 1.5 3 ]; % reactancia capacitiva en derivacion sl= [ 0 0 ]; % reactancia inductiva en derivacion sr= [ 0 0 ]; % resistencia en derivacion % Con Filtros % nnc=[ 4 6 3 ]; % nodo de conexion % xcc=[ 1.5 3.07093 3.7387]; % reactancia capacitiva en derivacion % sl= [ 0 0.07093 0.035 ]; % reactancia inductiva en derivacion % sr= [ 0 0.02334 0.0181]; % resistencia en derivacion % DATOS DE INYECCION DE CORRIENTES Nfi =[3 6] ; % nodos de carga que contienen inyeccion de armonicas Ari =[ 5 7 11 13 ]; % armonicas inyectadas Mari=[0.00 0.00 0.15 0.03 % porcentaje/100 de magnitud de armonicas inyectadas



0.25 0.15 0.10 0.05]; % las filas corresponden al nodo 3, nodo 6, etc Aari=[0.00 0.00 75 20 % angulo de armonicas inyectada en grados 180 0.00 180 0.00]; % las filas corresponden al nodo 3, nodo 6, etc D=Di*pi/180; Ih=zeros(N,1); I1=zeros(N,1); % FORMA EL VECTOR DE INYECCION A FRECUENCIA FUNDAMENTAL for k=1:ni % calcula la corriente de fase a fundamental nf=Nfi(k); % nf nodo de conexion de fuente armonica Sc=Pd(nf)+j*Qd(nf); Vc=V(nf)*exp(j*D(nf)); I1(nf)=Sc/(sqrt(3)/Vc'); % I1=(Potencia aparante trifasica)/sqrt(3) /(Tension de linea conjugado) end for c=1:na h=Ari(1,c); Ynodal=zeros(N,N); Ih=zeros(N,1); % FORMACION DE Y NODAL A LA ARMONICA H % LINEAS for k=1:nl nn1=n1(k); nn2=n2(k); z=rl(k)+j*h*xl(k); yserie=1/z; yshunt=j*h*b2l(k); Ynodal(nn1,nn1)=Ynodal(nn1,nn1)+yserie+yshunt; Ynodal(nn2,nn2)=Ynodal(nn2,nn2)+yserie+yshunt; Ynodal(nn1,nn2)=Ynodal(nn1,nn2)-yserie; Ynodal(nn2,nn1)=Ynodal(nn2,nn1)-yserie; end % CARGAS % Modelo III del CIGRE: RL paralelo en serie con Xs for k=1:N if Pd(k)~=0 rc=(V(k)^2)/Pd(k); xc=j*(h*rc/(6.7*(Qd(k)/Pd(k))-0.74)); xs=j*0.073*h*rc; zc=((rc*xc)/(rc+xc))+xs; Ynodal(k,k)=Ynodal(k,k)+1/zc; end end % GENERADORES for k=1:ng



nk=nng(k); x=rg(k)*sqrt(h)+j*h*xg(k); y=1/x; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % ELEMENTOS EN DERIVACION for k=1:ncd nk=nnc(k); y=1/((-j*xcc(k)/h)+j*h*sl(k)+sr(k)); Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % Resultado para la armonica h Yh=Ynodal; % CARGAS NO LINEALES for n=1:ni nf=Nfi(n); Ihm=Mari(n,c)*abs(I1(nf)); % magnitud de la corriente armonica de fase en el nodo nf Iha=Aari(n,c)*pi/180+h*angle(I1(nf)); % angulo en radianes de la armonica en el nodo nf Ih(nf)=Ihm*exp(j*Iha); % inyeccion de armonica h en el nodo nf end Vh(:,c)=sqrt(3)*inv(Yh)*Ih; % Tension de linea ocasionado por las armonicas end har=[1 Ari]; Vmtotal=[V' abs(Vh)]; Vatotal=[D' angle(Vh)]*180/pi; for k=1:N Vrms(k)=norm(Vmtotal(k,:)); end for k=1:N Vthd(k)=norm(abs(Vh(k,:)))/V(k)*100; end fprintf('---------- REPORTE DE PROPAGACIóN DE ARMóNICAS ----------\n\n'); fprintf('--------- Reporte de tensiones nodales y THD ----------\n\n'); fprintf(' N V1 Ang1 Vrms THD \n\n'); for k=1:N fprintf('%5d %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',k,V(k),D(k)*180/pi,Vrms(k), Vthd(k)) end fprintf('\n------------ Reporte de tensiones armónicas ------------\n'); for c=1:na+1 fprintf('\n Armónica: '); fprintf('%5d \n', har(c));



fprintf(' N Vh Angh\n'); for k=1:N fprintf('%5d %8.4f %10.4f\n',k,Vmtotal(k,c),Vatotal(k,c)) end end %Grafica el espectro armónico figure bar(har,Vmtotal'); xlabel('Armónicas'); ylabel('Magnitud de tensiones en p.u.') title('Tensiones armónicas en los nodos de la red'); legend('Nodo 1','Nodo 2','Nodo 3','Nodo 4','Nodo 5','Nodo 6'); grid; % Grafica la forma de onda de tensión del nodo 3 f=60; T=1/f; dt=T/100; t=0:dt:2*T; w=2*pi*f; v2=0; for k=1:na+1 v1=Vmtotal(3,k)*sin(har(k)*w*t+Vatotal(3,k)*pi/180); v2=v2+v1; end figure plot(t,v2,'k','linewidth',2); title 'Tensión en el nodo 3' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Tensión [p.u.]') grid %FIN D.4.2) sistema_16nodos_Vh.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Tensiones armónicas % Caso: sistema_16nodos % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clc % DATOS GENERALES



nl =16; % numero de lineas y transformadores ng =3; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc =13; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=1; % numero de elementos en derivacion ni =1; % numero de nodos de carga que contienen inyeccion de corriente armonica na =4; % numero de armonicas a considerar %LINEAS Y TRANSFORMADORES %nodo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' 'T' % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1=[ 4 8 10 2 2 5 15 11 13 1 15 13 3 5 7 9]; % nodos de salida n2=[ 6 10 11 4 11 7 16 12 14 2 2 12 4 6 8 10]; % nodos de llegada rl = [0.006650 0.006650 0.009980 0.016640 0.016640 0.008302 0.027680 0.006656 0.052100 0.003500 0.002722 0.002083 0.003846 0.001667 0.001667 0.001200]; % resistencia de la linea o transformador entre n1 y n2 xl = [0.035190 0.035190 0.052790 0.087980 0.087980 0.045550 0.151800 0.035192 0.177300 0.035000 0.032670 0.041670 0.038460 0.041670 0.041670 0.024000]; % inductancia de la linea o transformador entre n1 y n2 b2l= [0.074580 0.074580 0.111900 0.186440 0.186440 0.008129 0.027100 0.074576 0.003707 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 % CARGAS %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Pd =[ 0 0 0.45 0 0.65 0 0.90 0 0.15 0 0 0 0.50 0.43 0 1.50]; % potencia activa de demanda Qd =[ 0 0 0.15 0 0.72 0 0.20 0 0.04 0 0 0 0.65 0.39 0 0.20]; % potencia reactiva de demanda %TENSIONES Y ANGULOS OBTENIDOS DE FLUJOS DE POTENCIA %Sin Filtro V=[1 0.9912 1.0318 1.0128 0.9704 0.9932 0.9814 1.0012 1.05 1.0221 0.9713 0.9177 0.88 0.7564 0.9741 0.904]; Di=[0 -2.9427 -1.2788 -2.5545 -4.6812 -3.4342 -4.4391 -1.9821 2.4566 -0.0964 -2.6967 -4.3698 -7.1088 -11.9376 -5.9454 -21.0349]; %Con Filtro % V=[1 0.9953 1.0318 1.0145 0.9735 0.9955 0.985 1.0054 1.05 1.0267 0.9868 0.945 0.9217 0.849 0.9786 0.9098]; % Di=[0 -2.9016 -1.1879 -2.4711 -4.5794 -3.3462 -4.3367 -1.892 2.5333 -0.0212 -2.6759 -4.3547 -6.8913 -11.7131 -5.8779 -20.805 ]; % GENERADORES nng=[ 1 3 9 ]; % nodo de conexion xg =[0.0001 0.0050 0.0050]; % reactancia subtransitoria del generador rg =[0.00001 0.000050 0.000050]; % resistencia del generador



% ELEMENTOS EN DERIVACION %Sin Filtro nnc=[ 16 ]; % nodo de conexion sc =[ 3.5 ]; % reactancia capacitiva en derivacion sl =[ 0 ]; % reactancia inductiva en derivacion sr =[ 0 ]; % resistencia en derivacion %Con Filtro %nnc=[ 16 14 ]; % nodo de conexion %sc =[ 3.5 4.0621 ]; % reactancia capacitiva en derivacion %sl =[ 0 0.0938 ]; % reactancia inductiva en derivacion %sr =[ 0 0.0309 ]; % resistencia en derivacion % DATOS DE INYECCION DE CORRIENTES Nfi = 14 ; % nodos de carga que contienen inyeccion de armonicas Ari =[ 5 7 11 13 ]; % armonicas inyectadas Mari=[0.0423 0.2428 0.0309 0.0269]; % porcentaje/100 de magnitud de armonicas inyectadas Aari=[ 180 60 180 30 ]; % angulo de armonicas inyectada en grados D=Di*pi/180; Ih=zeros(N,1); I1=zeros(N,1); % FORMA EL VECTOR DE INYECCION A FRECUENCIA FUNDAMENTAL for k=1:ni % calcula la corriente de fase a fundamental nf=Nfi(k); % nf nodo de conexion de fuente armonica Sc=Pd(nf)+j*Qd(nf); Vc=V(nf)*exp(j*D(nf)); I1(nf)=Sc/(sqrt(3)/Vc'); % I1=(Potencia aparante trifasica)/sqrt(3) /(Tension de linea conjugado) end for c=1:na h=Ari(1,c); Ynodal=zeros(N,N); Ih=zeros(N,1); % FORMACION DE Y NODAL A LA ARMONICA H % LINEAS for k=1:nl nn1=n1(k); nn2=n2(k); z=rl(k)+j*h*xl(k); yserie=1/z; yshunt=j*h*b2l(k); Ynodal(nn1,nn1)=Ynodal(nn1,nn1)+yserie+yshunt; Ynodal(nn2,nn2)=Ynodal(nn2,nn2)+yserie+yshunt; Ynodal(nn1,nn2)=Ynodal(nn1,nn2)-yserie;



Ynodal(nn2,nn1)=Ynodal(nn2,nn1)-yserie; end % CARGAS % Modelo III del CIGRE: RL paralelo en serie con Xs for k=1:N if Pd(k)~=0 rc=(V(k)^2)/Pd(k); xc=j*(h*rc/(6.7*(Qd(k)/Pd(k))-0.74)); xs=j*0.073*h*rc; zc=((rc*xc)/(rc+xc))+xs; Ynodal(k,k)=Ynodal(k,k)+1/zc; end end % GENERADORES for k=1:ng nk=nng(k); x=rg(k)*sqrt(h)+j*h*xg(k); y=1/x; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % ELEMENTOS EN DERIVACION for k=1:ncd nk=nnc(k); y=1/((-j*sc(k)/h)+j*h*sl(k)+sr(k)); Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % Resultado para la armonica h Yh=Ynodal; % CARGAS NO LINEALES for n=1:ni nf=Nfi(n); Ihm=Mari(n,c)*abs(I1(nf)); % magnitud de la corriente armonica de fase en el nodo nf Iha=Aari(n,c)*pi/180+h*angle(I1(nf)); % angulo en radianes de la armonica en el nodo nf Ih(nf)=Ihm*exp(j*Iha); % inyeccion de armonica h en el nodo nf end Vh(:,c)=sqrt(3)*inv(Yh)*Ih; % Tension de linea ocasionado por las armonicas end har=[1 Ari]; Vmtotal=[V' abs(Vh)]; Vatotal=[D' angle(Vh)]*180/pi; for k=1:N Vrms(k)=norm(Vmtotal(k,:)); end



for k=1:N Vthd(k)=norm(abs(Vh(k,:)))/V(k)*100; end fprintf('---------- REPORTE DE PROPAGACIóN DE ARMóNICAS ----------\n\n'); fprintf('--------- Reporte de tensiones nodales y THD ----------\n\n'); fprintf(' N V1 Ang1 Vrms THD \n\n'); for k=1:N fprintf('%5d %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',k,V(k),D(k)*180/pi,Vrms(k), Vthd(k)) end fprintf('\n------------ Reporte de tensiones armónicas ------------\n'); for c=1:na+1 fprintf('\n Armónica: '); fprintf('%5d \n', har(c)); fprintf(' N Vh Angh\n'); for k=1:N fprintf('%5d %8.4f %10.4f\n',k,Vmtotal(k,c),Vatotal(k,c)) end end % Grafica el espectro armónico figure bar(har,Vmtotal'); xlabel('Armónicas'); ylabel('Magnitud de tensiones en p.u.') title('Tensiones armónicos en los nodos de la red'); legend('Nodo 1','Nodo 2','Nodo 3','Nodo 4','Nodo 5','Nodo 6','Nodo 7','Nodo 8','Nodo 9','Nodo 10','Nodo 11','Nodo 12','Nodo 13','Nodo 14','Nodo 15','Nodo 16'); grid; % Grafica la forma de onda de tensión del nodo 14 f=60; T=1/f; dt=T/100; t=0:dt:2*T; w=2*pi*f; v2=0; for k=1:na+1 v1=Vmtotal(14,k)*sin(har(k)*w*t+Vatotal(14,k)*pi/180); v2=v2+v1; end figure plot(t,v2,'k','linewidth',2) title 'Tensión en el nodo 14' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Tensión [p.u.]')



grid %FIN D.4.3) red_oaxaca_Vh.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Tensiones armónicas % Caso: red_oaxaca % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all clc % DATOS GENERALES nl =10; % numero de lineas y transformadores ng =3; % nodos de generacion, incluyendo el slack nc =8; % nodos de carga N =ng+nc; % numero de nodos totales ncd=2; % numero de elementos en derivacion ni =1; % numero de nodos de carga que contienen inyeccion de corriente armonica na =4; % numero de armonicas a considerar % LINEAS Y TRANSFORMADORES % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L' 'L']; % tipo de elemento 'L': linea, 'T': transformador n1 =[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]; % nodos de salida n2 =[ 4 6 11 5 6 7 8 9 10 11 ]; % nodos de llegada rl =[0.0804 0.1805 0.1162 0.0811 0.0632 0.0693 0.0741 0.0650 0.0732 0.0768]; % resistencia de la linea o transformador entre n1 y n2 xl =[0.2934 0.6524 0.3514 0.2979 0.2320 0.2545 0.2733 0.2325 0.2617 0.2747]; % inductancia de la linea o transformador entre n1 y n2 b2l=[ 0 0 0 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.001 ]; % susceptancia de la linea (b/2) entre n1 y n2 tap=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]; % taps de transf (1 si no hay con tap fuera del nominal) % CARGAS %nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Pd =[ 0 0 0 0 0 0 0 0.05083 0.18459 0.13242 0.08694]; % potencia activa de demanda Qd =[ 0 0 0 0 0 0 0 0.00545 0.04508 0.03281 0.00545]; % potencia reactiva de demanda % TENSIONES Y ANGULOS OBTENIDOS DE FLUJOS DE POTENCIA



% Sin Filtros V= [1 1 1 0.9957 0.9949 0.9787 0.9592 0.9467 0.9464 0.9444 0.9624]; Di=[0 -3.5945 -22.1126 -3.4079 -6.8801 -9.3470 -14.4861 -20.1838 -24.3588 -25.6470 -24.8337]; % Con Filtros % V= [1 1 1 0.9955 0.9944 0.9783 0.9586 0.9461 0.9458 0.9439 0.9622]; % Di=[0 -3.6992 -22.3120 -3.4450 -6.9565 -9.4472 -14.6139 -20.3436 -24.5456 -25.8389 -25.0286]; % GENERADORES nng=[ 1 2 3 ]; % nodo de conexion xg= [0.00010 0.00500 0.00010]; % reactancia del generador rg= [0.00001 0.00005 0.00001]; % resistencia del generador % ELEMENTOS EN DERIVACION % Sin Filtros nnc=[ 5 9 ]; % nodo de conexion sc=[13.3333 8 ]; % reactancias capacitivas en derivacion sl=[ 0 0 ]; % reactancias inductiva en derivacion sr=[ 0 0 ]; % resistencia en derivacion % Con Filtros % nnc=[ 5 9 ]; % nodo de conexion % sc= [13.6485 8.3793 ]; % reactancias capacitivas en derivacion % sl= [0.3152 0.3793 ]; % reactancias inductiva en derivacion % sr= [0.1037 0.08914]; % resistencia en derivacion % DATOS DE INYECCION DE CORRIENTES Nfi= 8 ; % nodos de carga que contienen inyeccion de armonicas Ari= [ 5 7 11 13 ]; Mari=[0.20 0.15 0.09 0.03]; % porcentaje/100 de magnitud de armonicas inyectadas Aari=[180 0.00 180 0.00]; % angulo de armonicas inyectada en grados D=Di*pi/180; Ih=zeros(N,1); I1=zeros(N,1); % FORMA EL VECTOR DE INYECCION A FREC. FUNDAMENTAL for k=1:ni % calcula la corriente de fase a fundamental nf=Nfi(k); % nf nodo de conexion de fuente armonica Sc=Pd(nf)+j*Qd(nf); Vc=V(nf)*exp(j*D(nf)); I1(nf)=Sc/(sqrt(3)/Vc'); % I1=(Potencia aparante trifasica)/sqrt(3) /(Tension de linea conjugado) end for c=1:na h=Ari(1,c);



Ynodal=zeros(N,N); Ih=zeros(N,1); % FORMACION DE Y NODAL A LA ARMONICA H % LINEAS for k=1:nl nn1=n1(k); nn2=n2(k); z=rl(k)+j*h*xl(k); yserie=1/z; yshunt=j*h*b2l(k); Ynodal(nn1,nn1)=Ynodal(nn1,nn1)+yserie+yshunt; Ynodal(nn2,nn2)=Ynodal(nn2,nn2)+yserie+yshunt; Ynodal(nn1,nn2)=Ynodal(nn1,nn2)-yserie; Ynodal(nn2,nn1)=Ynodal(nn2,nn1)-yserie; end % CARGAS % Modelo III del CIGRE: RL paralelo en serie con Xs for k=1:N if Pd(k)~=0 rc=(V(k)^2)/Pd(k); xc=j*(h*rc/(6.7*(Qd(k)/Pd(k))-0.74)); xs=j*0.073*h*rc; zc=((rc*xc)/(rc+xc))+xs; Ynodal(k,k)=Ynodal(k,k)+1/zc; end end % GENERADORES for k=1:ng nk=nng(k); x=rg(k)*sqrt(h)+j*h*xg(k); y=1/x; Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % ELEMENTOS EN DERIVACION for k=1:ncd nk=nnc(k); y=1/((-j*sc(k)/h)+j*h*sl(k)+sr(k)); Ynodal(nk,nk)=Ynodal(nk,nk)+y; end % Resultado para la armonica h Yh=Ynodal; % CARGAS NO LINEALES for n=1:ni nf=Nfi(n); Ihm=Mari(n,c)*abs(I1(nf)); % magnitud de la corriente armonica de fase en el nodo nf Iha=Aari(n,c)*pi/180+h*angle(I1(nf)); % angulo en radianes de la armonica en el nodo nf



Ih(nf)=Ihm*exp(j*Iha); % inyeccion de armonica h en el nodo nf end Vh(:,c)=sqrt(3)*inv(Yh)*Ih; % Tension de linea ocasionado por las armonicas end har=[1 Ari]; Vmtotal=[V' abs(Vh)]; Vatotal=[D' angle(Vh)]*180/pi; for k=1:N Vrms(k)=norm(Vmtotal(k,:)); end for k=1:N Vthd(k)=norm(abs(Vh(k,:)))/V(k)*100; end fprintf('---------- REPORTE DE PROPAGACIóN DE ARMóNICAS ----------\n\n'); fprintf('--------- Reporte de tensiones nodales y THD ----------\n\n'); fprintf(' N V1 Ang1 Vrms THD \n\n'); for k=1:N fprintf('%5d %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',k,V(k),D(k)*180/pi,Vrms(k), Vthd(k)) end fprintf('\n------------ Reporte de tensiones armónicas ------------\n'); for c=1:na+1 fprintf('\n Armónica: '); fprintf('%5d \n', har(c)); fprintf(' N Vh Angh\n'); for k=1:N fprintf('%5d %8.4f %10.4f\n',k,Vmtotal(k,c),Vatotal(k,c)) end end % Grafica el espectro armónico figure bar(har,Vmtotal'); xlabel('Armónicas'); ylabel('Magnitud de tensiones en p.u.') title('Tensiones armónicas en los nodos de la red'); legend('Nodo 1','Nodo 2','Nodo 3','Nodo 4','Nodo 5','Nodo 6','Nodo 7','Nodo 8','Nodo 9','Nodo 10','Nodo 11'); grid; % Grafica la forma de onda de tension del nodo 9 f=60; T=1/f; dt=T/100; t=0:dt:2*T;



w=2*pi*f; v2=0; for k=1:na+1 v1=Vmtotal(9,k)*sin(har(k)*w*t+Vatotal(9,k)*pi/180); v2=v2+v1; end figure plot(t,v2,'k','linewidth',2) title 'Tensión en el nodo 9' xlabel('Tiempo [seg]') ylabel('Tensión [p.u.]') grid %FIN D.5) En esta sección se presentan los programas que forman parte del programa principal “Flujos de Potencia”. formybus.m % Forma la Matriz de Admitancias Nodal Ybus Ybus=zeros(N,N); for k=1:nl yl=(1/(rl(k)+j*xl(k)))/tap(k); % y/a %si a<1 es transf. con tap fuera del nominal yt1=(1-tap(k))/tap(k)^2*yl; % y(1-a)/a^2 yt2=(tap(k)-1)/tap(k)*yl; % y(a-1)/a Ybus(n1(k),n1(k))=Ybus(n1(k),n1(k))+yl+j*b2l(k)+yt1; Ybus(n2(k),n2(k))=Ybus(n2(k),n2(k))+yl+j*b2l(k)+yt2; Ybus(n1(k),n2(k))=Ybus(n1(k),n2(k))-yl; Ybus(n2(k),n1(k))=Ybus(n2(k),n1(k))-yl; end; for k=1:ncd nk=nnc(k); if ((sc(k)~=0)|(sl(k)~=0)|(sr(k)~=0)) zder=sr(k)-j*sc(k)+j*sl(k); yder=1/zder; Ybus(nk,nk)=Ybus(nk,nk)+yder; end end; condini.m for k=2:N if tn(k)=='C' V(k)=1; D(k)=0; P(k)=Pg(k)-Pd(k);



Q(k)=Qg(k)-Qd(k); end; if tn(k)=='V' D(k)=0; P(k)=Pg(k)-Pd(k); end; end; calcpot.m for k=1:N Vol(k,1)=V(k)*(cos(D(k))+j*sin(D(k))); end; I=Ybus*Vol; S=Vol.*conj(I); P=real(S); Q=imag(S); calcjaco.m J=zeros(nc*2+ng-1,nc*2+ng-1); a=1;b=1; for k=2:N, for m=2:N, if tn(k)=='C' if tn(m)=='C' J(a,b) = jpv(k,m); J(a,b+1) = jpd(k,m); J(a+1,b) = jqv(k,m); J(a+1,b+1) = jqd(k,m); b=b+2; end; %cc if tn(m)=='V' J(a,b) = jpd(k,m); J(a+1,b) = jqd(k,m); b=b+1; end; %cv end; % carga if tn(k)=='V' if tn(m)=='C' J(a,b) = jpv(k,m); J(a,b+1) = jpd(k,m); b=b+2; end; %vc if tn(m)=='V' J(a,b) = jpd(k,m); b=b+1; end; %vv end; % volt end; % for m b=1; if tn(k)=='C'; a=a+2; else a=a+1; end; end; % for k



funcion jpv.m function F=jpv(k,m) if k==m F=jpkvk(k); else F=jpkvm(k,m); end; function jpkvk.m function F=jpkvk(k) global P Ybus V F = (P(k)+real(Ybus(k,k))*V(k)^2)/V(k); Function jpkvm.m function F=jpkvm(k,m) global V D Ybus Gkm=real(Ybus(k,m)); Bkm=imag(Ybus(k,m)); F = V(k)*V(m)*(Gkm*cos(D(m)-D(k))-Bkm*sin(D(m)-D(k))); F = F/V(m); funcion jpd.m function F=jpd(k,m) if k==m F=jpkdk(k); else F=jpkdm(k,m); end; function jpkdk.m function F=jpkdk(k) global Q V Ybus F = -Q(k)-imag(Ybus(k,k))*V(k)^2; function jpkdm.m function F=jpkdm(k,m) global V D Ybus Gkm=real(Ybus(k,m)); Bkm=imag(Ybus(k,m)); F = -V(k)*V(m)*(Gkm*sin(D(m)-D(k))+Bkm*cos(D(m)-D(k))); fincion jqv.m function F=jqv(k,m) if k==m F=jqkvk(k);



else F=jqkvm(k,m); end; function jqkvk.m function F=jqkvk(k) global Q Ybus V F = (Q(k)-imag(Ybus(k,k))*V(k)^2)/V(k); function jqkvm.m function F=jpkvm(k,m) global V D Ybus Gkm=real(Ybus(k,m)); Bkm=imag(Ybus(k,m)); F = V(k)*V(m)*(Gkm*cos(D(m)-D(k))-Bkm*sin(D(m)-D(k))); F = F/V(m); función jqd.m function F=jpv(k,m) if k==m F=jpkvk(k); else F=jpkvm(k,m); end; function jqkdm.m function F=jqkdk(k) global P Ybus V F = P(k)-real(Ybus(k,k))*V(k)^2; function jqkdm.m function F=jqkdm(k,m) global V F = jpkvm(k,m); F = -F*V(m); Caldelpq.m m=1; for k=2:N if tn(k)=='C' delpq(m,1) = (Pg(k)-Pd(k))-P(k); delpq(m+1,1) = (Qg(k)-Qd(k))-Q(k); m=m+2; end;



if tn(k)=='V' delpq(m,1) = (Pg(k)-Pd(k))-P(k); m=m+1; end; end; calvd.m m=1; for k=2:N, if tn(k)=='C' V(k)=V(k)+delvd(m); D(k)=D(k)+delvd(m+1); m=m+2; end; if tn(k)=='V' D(k)=D(k)+delvd(m); m=m+1; end; end; norma.m maxdel=abs(delpq(1)); for k=2:(2*nc+ng-1), if abs(delpq(k))>maxdel maxdel=abs(delpq(k)); end; end; calcnod.m Pg(1)=P(1)+Pd(1); Qg(1)=Q(1)+Qd(1); for k=2:N, if tn(k)=='V' Qg(k)=Q(k)+Qd(k); end; end; for k=1:nl, S12(k,1)=slin(k,n1(k),n2(k)); S21(k,1)=slin(k,n2(k),n1(k)); end; desplega.m totdem=0; totgen=0; totper=0; fprintf('-------------- REPORTE DE FLUJOS DE POTENCIA --------------\n\n'); fprintf('-------------- Reporte Nodal -------------- \n\n'); fprintf(' N V Ang Pg Qg Pd Qd\n\n'); for k=1:N,



fprintf('%5d %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',k,V(k),D(k)*180/pi,Pg(k),Qg(k),Pd(k),Qd(k)) totdem=totdem+Pd(k); totgen=totgen+Pg(k); end; fprintf('\n -------------- Flujos en lineas -------------- \n\n'); fprintf(' N1 N2 S12 S21\n\n'); for k=1:nl, fprintf('%5d %4d %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',n1(k),n2(k),real(S12(k)),imag(S12(k)),real(S21(k)),imag(S21(k))); totper=totper+real(S12(k))+real(S21(k)); end; fprintf('\n Generacion : %8.4f',totgen); fprintf('\n Demanda : %8.4f',totdem); fprintf('\n Perdidas : %8.4f\n\n',totper);

APÉNDICE E: GLOSARIO


APÉNDICE E GLOSARIO

ARMÓNICA

Este concepto proviene del teorema de Fourier y define que bajo ciertas condiciones analíticas, una función periódica cualquiera puede considerarse integrada por una suma de funciones senoidales, incluyendo un término constante en caso de asimetría respecto al eje de las abscisas, siendo la primera armónica denominada también señal fundamental del mismo período y frecuencia que la función original y el resto serán funciones senoidales cuyas frecuencias son múltiplos de la fundamental. Aquí es importante retomar la definición de armónica de la manera en que es utilizada en redes eléctricas. De esta manera una armónica esta definida como una frecuencia múltiplo de la frecuencia fundamental (en este caso 60 Hz). Y como en los sistemas eléctricos se tienen señales periódicas, por ejemplo la tensión, entonces se puede representar por:

L++++++= )33cos(3)22cos(2)1cos(1)( θωθωθω tVtVtVtv

Que en forma compacta es:

v t V n tn nn

h

( ) cos( )= +=∑ ω θ

1

Donde a: Vn se le define como la armónica de orden n y a θn como el ángulo de la armónica n

0 0.005 0.0 0.01 0.02

-0.5

0

0.5

1fundamental (60 Hz)

tercera armónica (180 Hz.)

fundamental más tercera armónica

Figura E1 Forma de onda fundamental más tercera armónica



CAPACITANCIA

Se define como la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.

La capacitancia siempre es una cantidad positiva y puesto que la diferencia de potencial aumenta a medida que la carga almacenada se incrementa, la proporción 𝑄 𝑉 es constante para un capacitor dado. En consecuencia la capacitancia de un

dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica.

La capacitancia tiene la unidad del SI coulomb por volt. La unidad de capacitancia del SI es el farad (F), en honor a Michael Faraday.

Capacitancia = 1F = 1 C

El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica los dispositivos comunes tienen capacitancia que varían de microfarads a picofarads.

La capacitancia de un dispositivo depende entre otras cosas del arreglo geométrico de los conductores. INDUCTANCIA

La inductancia se define como la oposición de un elemento conductor (una bobina) a cambios en la corriente que circula a través de ella.

También se puede definir como la relación que hay entre el flujo magnético (Φb) y la corriente que fluye a través de una bobina.

El valor de la inductancia viene dado exclusivamente por las características de la bobina y por la permeabilidad magnética (μ) del medio en el que se localiza. Se mide en Henrys (L) y matemáticamente se define así:

𝐿 = Φ𝑏𝑖

POTENCIA ACTIVA

Los diferentes dispositivos eléctricos convierten la energía eléctrica en otras formas de energía tales como: mecánica, lumínica, térmica, quimica, etc. A la energía



consumida por dichos dispositivos, que es capaz de producir trabajo útil, se le conoce como potencia activa y es similar a la energía consumida por una resistencia eléctrica; su símbolo es P y sus unidades son los Watts (W).

POTENCIA REACTIVA

Además de utilizar potencia activa para producir un trabajo, los motores, transformadores y demás equipos similares requieren un suministro de potencia reactiva para generar el campo magnético necesario para su funcionamiento. La potencia reactiva no produce por si misma ningún trabajo; se simboliza con la letra Q y sus unidades son los volts-ampers reactivos (VAR).

POTENCIA APARENTE La potencia total o aparente es la suma geométrica de las potencias activa y reactiva, o bien, el producto de la corriente y la tensión; su símbolo es S y sus unidades se expresan en volts-ampers (VA). FACTOR DE POTENCIA (FP)

El factor de potencia (cos φ) es la relación entre la potencia activa (en kilowatts, kW), y la potencia aparente (en kilovolts-ampers, kVA) y describe la relación entre la potencia de trabajo o real y la potencia total consumida.

El FP está definido por la siguiente ecuación:

𝐹𝑃 = 𝑃𝑆 = 𝐶𝑂𝑆 ∅

El factor de potencia expresado en términos generales, es el defasamiento de la corriente con relación a la tensión y es utilizado como indicador del correcto aprovechamiento de la energía eléctrica, el cual puede tomar valores entre 0 y 1.0 siendo la unidad (1.0) el valor máximo de FP y por tanto el mejor aprovechamiento de energía.

IMPEDANCIA

La impedancia es la oposición que presenta un circuito al paso de la corriente alterna. Es un valor vectorial compuesto en su parte real por un valor de resistencia y en su parte imaginaria por un valor de reactancia y se calcula de la siguiente manera: 𝑍 = 𝑅 + 𝑋



Donde: Z = Impedancia medida en Ohms (Ω) R = Resistencia medida en Ohms (Ω) X = Reactancia total medida en Ohms (Ω)

REACTANCIA

Se denomina Reactancia a la impedancia ofrecida, al paso de la corriente alterna, por un circuito en el que solo existen inductores (bobinas) o capacidades (condensadores) puras, esto es sin resistencias. No obstante esto representaría una condición ideal puesto que no existen en la realidad bobinas ni condensadores que no contengan una parte resistiva, con lo cual los circuitos en general estarán formados por una composición R-L-C (resistencia, inductancia y capacitancia).

En el análisis de circuitos R-L-C, la reactancia representada como (X) es la parte imaginaria del número complejo que define el valor de la impedancia, mientras que la resistencia (R) es la parte real de dicho valor.

Dependiendo del valor de la reactancia se puede decir que el circuito presenta reactancia capacitiva cuando X<0, reactancia inductiva cuando X>0 o es puramente resistivo cuando X=0. Como la impedancia que es en realidad la reactancia también se mide en ohms. Vectorialmente la reactancia inductiva y la capacitiva son opuestas.

REACTANCIA INDUCTIVA.

El estudio de la inductancia muestra que un cambio en el campo magnético induce una tensión en tal sentido que se opone a cualquier cambio en la intensidad de la corriente. Esto da lugar a que la intensidad sea más baja que si no estuviera presente la inductancia y la inductancia debe por tanto introducir una oposición al flujo de la corriente. La oposición se llama reactancia inductiva y se expresa en ohms; sobre los valores de la reactancia inductiva influyen dos valores:

a) La inductancia del circuito. b) La velocidad a que cambia la corriente. 𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿

REACTANCIA CAPACITIVA

La capacitancia ofrece una oposición al flujo de corriente alterna que retarda los cambios de tensión exactamente como la inductancia retarda los cambios de intensidad. Cuando se conecta un condensador a una fuente de corriente alterna la oposición se presenta permanentemente a ésta. La oposición que un capacitor



ofrece al flujo de corriente alterna se llama reactancia capacitiva. Se expresa en ohms y su símbolo es:

𝑋 = 12𝜋𝑓𝐶

Donde: Xc = Reactancia capacitiva. f = Frecuencia en cps o Hz. C = Capacitancia, Farads.

VALORES DE DISTORSIÓN

Los valores de distorsión están definidos en % de cantidades eléctricas, estos valores son muy utilizados para conocer el grado de contaminación de las redes eléctricas. Distorsión armónica total Para la tensión

THDV V

VxV =

+ +22

32

1100

L

Para la corriente

THDI I

IxI =

+ +22

32

1100

L

Para armónicas individuales

IHDVV

xnn=1

100

Distorsión total de demanda

TDDI I

Ix

dem max=

+ +

−

22

32

100L

Interferencia telefónica



( )I I TIFh hh

.T .==

∞

∑ 2

1

El TIF es una medición de la sensibilidad entre el sistema telefónico y el oído humano a varias frecuencias, este TIF se obtiene de una curva llamada C-message obtenida en los laboratorios Bell. Factor K En la gran mayoría de los casos cuando un transformador alimenta cargas no lineales, este transformador se sobrecalentamiento aun cuando no ha alcanzado sus kVA nominales. Se estima que el calentamiento de los transformadores debido a las armónicas es directamente proporcional al cuadrado de la armónica multiplicado por las pérdidas que esta produce, de esta manera aparece el factor K el cual es aplicado a transformadores. Este factor K viene especificado en los datos de placa de algunos transformadores, indicando la capacidad del transformador para alimentar cargas no lineales sin exceder la temperatura de operación a la cual están diseñados, esto es:

Factor KI

Ihh

rmsh=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

∞

∑2

2

1 (A8) Donde la corriente de la expresión (A8) es la corriente de la carga no lineal la cual será o es alimentada por el transformador. Los factores K más comunes de transformadores son de 4 y 13, los cuales son utilizados para alimentar cargas que utilizan rectificación principalmente. SECUENCIA DE FASE En un sistema balanceado de tres fases, las corrientes en las fases a – b – c se desplazan en el tiempo por + 120° de la fundamental. De esto que:

01

( ) sin( )a k kk

i t I k tα

ω θ=

= +∑

Entonces las corrientes en las fases b y c se retrasan y adelantan por radianes, respectivamente. Esto es:



01

01

2( ) sin( )3

2( ) sin( )3

b k kk

c k kk

i t I k t k

i t I k t k

α

α

πω θ

πω θ

=

=

= + −

= + +

∑

∑

Tomando las tres primeras armónicas muestran un importante patrón. Expandiendo las series de antes

1 0 1 2 0 2 3 0 3( ) sin(1 ) sin(2 ) sin(3 )ai t I t I t I tω θ ω θ ω θ= + + + + +

( )

1 0 1 2 0 2 3 0 3

1 0 1 2 0 2 3 0 3

2 4 6sin 1 sin 2 sin 33 3 3

2 2sin 1 sin 2 sin 3 03 3

bi I t I t I t

I t I t I t

π π πω θ ω θ ω θ

π πω θ ω θ ω θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Note que la primera armónica de ib (t) es de secuencia positiva debido a que las corrientes están balanceadas. La segunda armónica de ib (t) adelanta a la primera armónica de ia (t) por 120 ° y es en consecuencia de secuencia negativa. La tercera armónica de ib (t) esta en fase con la primera armónica de ia (t) y es de secuencia cero. Ahora para la fase c,

( )

1 0 1 2 0 2 3 0 3

1 0 1 2 0 2 3 0 3

2 4 6sin 1 sin 2 sin 33 3 3

2 2sin 1 sin 2 sin 3 03 3

ci I t I t I t

I t I t I t

π π πω θ ω θ ω θ

π πω θ ω θ ω θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Note que la primera armónica de ic (t) es de secuencia negativa debido a que las corrientes están balanceadas. La segunda armónica de ic (t) retrasa a la primera armónica de ia (t) por 120 ° y es en consecuencia de secuencia positiva. La tercera armónica de ic (t) esta en fase con la primera armónica de ia (t) y es de secuencia cero. El patrón de secuencias desarrollado se muestra en la tabla E1.

Tabla E1 Secuencia de fases en un sistema balanceado trifásico

ARMÓNICA SECUENCIA DE FASES

1 + 2 - 3 0



4 + 5 - 6 0 … …

Si un sistema no esta balanceado, entonces cada armónica puede tener componentes de secuencia positiva, negativa y cero. Como sea, en la mayoría de los casos, el patrón de la tabla antes mostrada es válido. Desde que las armónicas “triplicadas” (múltiplos de tres) en un sistema balanceado son de secuencia cero, ellas no pueden fluir en sistemas de tres hilos o cargas. De esto que un transformador delta – estrella aterrizada a la entrada de un sistema de consumo industrial bloquea efectivamente el flujo de corrientes armónicas triplicadas en un sistema, siendo un sistema razonablemente balanceado. Desafortunadamente, el transformador no bloquea los flujos de armónicas no triplicadas. Solo las corrientes armónicas triplicadas son afectadas por los caminos aterrizados. Las otras armónicas son de secuencias positivas o negativas o ambas, las cuales se suman a cero en puntos neutros y no fluyen en cables neutros o conexiones a tierra. Las tensiones de línea a línea nunca tienen componentes de secuencia cero debido, de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff, ellos siempre suman armónicas que dominan formas de onda de tensiones de línea a neutro.

metodología para la propagación y filtración de...

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