metrologija - predavanja-3

Glava treća: Analiza grešaka merenja

63

Glava treća ANALIZA GREŠAKA MERENJA

III.1 Osnovni pojmovi o greškama merenja

Kao što je već istaknuto, osnovni cilj merenja je da se posredstvom odgovarajućih tehničkih sredstava (merila) praktično odredi (izmeri) vrednost date veličine, poznate pod nazivom kao merena veličina. Merenjem dobijena vred-nost veličine iskazana brojem odgovarajućih jedinica mera jeste rezultat merenja.

Podatak o rezultatu merenja može imati različit tretman i značaj, zavisno od toga koja se veličina i u koje svrhe meri. Nebrojeno je mnogo potreba čoveka da u svojim aktivnostima i delatnostima nešto meri, pa je zato i različit značaj pojedinačnih rezultata merenja. Nivo značajnosti rezultata merenja u skladu je sa hijerarhiskim nivoom pojedinih oblasti metrologije. Sa stanovišta metrologa, merenja i rezultati merenja sa svim svojim atributima imaju fundamentalni značaj, kako u teorijskoj, tako i u legalnoj i primenjenoj metrologiji. Zato su eksperimentalna istraživanja određenih zakonitosti u bilo kojoj oblasti naučno zasnovana, samo ako se veličinama i podacima, koji se dobijaju posmatranjem, odnosno merenjem, utvrđuje značaj kritičkom naučnom analizom.

Osnovni neophodni preduslovi za uspešno ostvarivanje merenja su: - temeljno poznavanje teorijskih principa i mogućnosti primenjenih mernih metoda i instrumenata i njihovih

metroloških karakteristika, - razumevanje suštine prirode veličine koja se meri, kao i - stečena znanja o postupcima za otklanjanje uočenih i nepoželjnih uticajnih faktora u mernom ambijentu. Razvoj i usavršavanje mernih sredstava i postupaka imaju u osnovi za cilj da rezultati dobijeni merenjem budu

što približniji pravoj vrednosti merene veličine. Međutim, idealna merna sredstva ne postoje, niti postoje idealni merni uslovi, tako da će se rezultati merenja, makar i malo, uvek razlikovati od prave vrednosti merene veličine. Merna sred-stva, čak i kada su predhodno kalibrisana i poseduju zvanični dokaz da su metrološki overena, u praktičnoj primeni, ipak usled neizbežnih ograničenja, ispoljavaju određene netačnosti. To ukazuje na činjenicu da se pri svakom izvršenom merenju dobija rezultat merenja sa neizbežnim odstupanjem od prave vrednosti merene veličine, odnosno sa greškom merenja.

Uzroci nastajanja i priroda ponašanja svih mogućih grešaka u merenju, njihova klasifikacija na pojedine grupe, kao i metode empirijske i matematičke analize za procenu njihovih vrednosti u rezultatu merenja, predmet su posebne oblasti u metrologiji, poznate pod nazivom teorija grešaka. Teorija grešaka, u suštini, obuhvata matematičke metode obrade eksperimentalno dobijenih podataka, koji u najvećem broju slučajeva čine niz diskretnih rezultata merenja koji u sebi sadrže greške različitog porekla i vrednosti.

U teoriji grešaka polazi se od činjenice da se greške sa utvrđenim karakterom i poznatim poreklom njihovog nastajanja, kao što su sistematske i grube greške, uglavnom mogu otkloniti, ili korigovati u konačnom rezultatu mer-enja, a da su predmet analize oni rezultati merenja čije se vrednosti rasipaju prema statističkim zakonima slučajnih veličina. U biti statističke analize je da se karakter rasipanja rezultata merenja oko prave vrednosti merene veličine pouzdano prepoznaje na osnovu poznatih matematičkih modela osobina grešaka, koji su okarakterisani zakonom raspo-dele verovatnoće pojavljivanja slučajnih grešaka u rezultatima merenja.

Analiza uzroka nastajanja grešaka merenja i pouzdano određivanje njihovih osobina i vrednosti, ima za cilj da se što verovatnije proceni vrednost rezultata merenja. Tako procenjena vrednost greške u rezultatu merenja naziva se merna nesigurnost. Zato se među osnovnim kriterijumima kod izbora metoda i sredstava merenja, pored ostalih metroloških karakteristika, analiziraju upravo takve karakteristike kojima se garantuje vrednost procenjene merne ne-sigurnosti. Te karakteristike su u najvećoj meri u neposrednoj vezi sa mogućim greškama merenja koje treba teorijskom analizom sistematizovati i određenim postupcima proceniti.

Bez obzira što se na današnjem stupnju razvoja metrologije i merne tehnike pojavljuju sredstava merenja vrhunskih performansi, istraživanja i razvoj novih mernih metoda i sredstava su stalni izazov svakog metrologa za dalje poboljšanje realno postignutih mogućnosti merila, a koja su sigurno sa realno neizbežnim ograničenjima, kao što su:

- granične mogućnosti u materijalizaciji i reprodukciji jedinica mera, - nesavršenost postupaka poređenja merene veličine sa odgovarajućom jedinicom mere, odnosno realno

ostvarive mogućnosti mernih metoda u procesu merenja, - neizbežan uticaj referentnih uslova ambijenta u kome se ostvaruje merenje, - nepotpuno poznavanje prirode merene veličine, odnosno mernog objekta, - uticaj subjektivnog psihofizičkog stanja merača i - ostali nepredvidivi i nepoznati faktori koji utiču i na merenu veličinu i na proces merenja. S obzirom na mnoštvo uzroka nastajanja različitih grešaka, u teoriji grešaka se, zavisno od primenjenih opštih

ili detaljnije određenih kriterijuma, vrši klasifikacija i sistematizacija pojedinih vrsta grešaka merenja. I pored nasto-janja da se standardizuju pojedine grupe grešaka merenja, danas su još uvek prisutne različite tradicionalne i konven-cionalne podele grešaka, uglavnom zbog uticaja globalnih svetskih podela i razlika nastalih u razvoju metrologije. Iako je Metarska konvencija, na širem međunarodnom planu, u znatnoj meri doprinela uvođenju jedinstva mera, tradicionalni

B. Dimitrijević: METROLOGIJA ELEKTRIČNIH VELIČINA

64

i drugi uticaji u oblasti metrologije se još uvek teško napuštaju. Zbog toga su danas, i pored međunarodno priznatih standarda, još uvek prisutni i drugačiji standardi kao rezultat nasleđenih navika i tradicija, ali i zbog dominacije interesa ekonomski vodećih zemalja u svetu. Te razlike, koje se istini za volju sve više smanjuju, uglavnom su formalno-teorijskog karaktera, posebno u terminološkom definisanju nekih pojmova i termina u oblasti legalne metrologije i stan-dardizacije. Harmonizacijom jedinstva mera na širem međunarodnom planu, dostignut je danas zavidan nivo saglasnosti u formulacijama normativa i standarda koji su sadržani u rezolucijama i preporukama međunarodnih i nacionalnih metroloških institucija.

III.1.1 Analiza uzroka i karaktera grešaka merenja Kako je rezultat merenja u osnovi rezultat upoređivanja merene veličine i referentne veličine - jedinice mere, u različitim domenima nauke i tehnike postoji nebrojeno mnogo metoda za merenje različitih vrsta veličina. Osnovne razlike, prema kojima se grupišu metode merenja, upravo su u načinu upoređivanja merene i referentne veličine. U praktičnim rešenjima, referentne veličine su često sastavni deo merila, čije su vrednosti date na mernom opsegu, koji je izbaždaren (kalibrisan) sa spoljnim posebnim izvorom referentne veličine - kalibratorom. Iako se po prirodi stvari mogu direktno upoređivati samo veličine iste prirode, u praksi nije moguće obezbediti referentnu veličinu za svaku vrstu merene veličine, tako da se merene i referentne veličine različite prirode u najvećem broju slučajeva moraju indirektno upoređivati. Kada su ove veličine koje se porede iste prirode, onda je u pitanju direktno poređenje, odnosno direktna metoda merenja, dok su u svim ostalim slučajevima poređenja u pitanju indirektne metode merenja. Kod indirektnih metoda merenja, odnosno kada su merena i referentna veličina različitog karaktera, jedna od tih veličina morala bi se preko dimenzione konstante proporcionalnosti kao posrednika povezati sa odgovarajućim karakterom druge veličine, kako bi se praktično na posredan način poredile veličine iste prirode. Na primer, ako se meri otpornost Rx, primenom Omovog zakona, onda se pri stal-noj struji I voltmetrom meri pad napona na otporniku Ux, kao na sl. 3.1. U ovom slučaju ne poredi se direktno merena otpornost sa referentnom merom otpornosti, već se posrednim putem određuje iz vrednosti izmerenog napona Ux preko relacije Ux=IRx. Inače, direktno se poredi napon Ux na merenoj otpornosti sa naponskom referencom voltmetra. Napon Ux do-bija se poređenjem vrednosti referentnih naponskih jedinica, ili njenih decimalnih delova po podeoku na skali voltmetra, odnosno 10−NV/pod. U tom slučaju je referentna veličina dužina razmaka ili ugao između uzastopnih podeoka. U postupku merenja, praktično se direktno upoređuje ugao iskazan brojem kalibrisanih podeoka sa uglom skretanja kazaljke na skali voltmetra koji odgovara merenom naponu Ux, odnosno merenoj otpornosti Rx. Neka je rezultat merenja očitani broj Nx podeoka na skali voltmetra, gde svakom podeoku odgovara napon od 10-NV, onda je vrednost izmerenog napona Ux=Nx[pod.]⋅10-N [V/ pod.]=10-N⋅Nx [V]. Kako je merena otpornost Rx= Ux / I= kUx, gde je k-dimenziona konstanta proporcionalnosti, koja je za kon-stantnu vrednost struje I očito k=1/ I[A], tada se vrednost merene otpornosti dobija na indirektan način kao Rx = k [1/A]⋅ 10-N⋅Nx[V]=k⋅10-N⋅Nx[Ω]. Kod merenja više veličina moguće je da sve, ili neke od tih veličina, budu iste ili različite prirode, koje su me-đusobno zavisne ili nezavisne. U takvim slučajevima radi se o kumulativnim metodama merenja u kojima se ostvaruje direktno ili indirektno poređenje većeg broja merenih i referentnih veličina, tako da se konačni rezultati merenja dobi-jaju računskim postupcima. S obzirom na različitost pojedinih vrsta metoda merenja, celishodno je analizirati uzroke i karakter grešaka koje se pojavljuju u rezultatu merenja, posebno za svaku vrstu metoda merenja, koje su u opštem obliku poznate kao direktne, indirektne i kumulativne metode merenja. Realno prisustvo grešaka u rezultatu merenja moguće je analizirati uvođenjem idealnog hipotetičkog modela svake od navedenih grupa metoda merenja u kome se identifikuju uzroci i karakter nastajanja pojedinih vrsta grešaka. Po definiciji, idealni rezultat merenja direktnom metodom poređenja sa referentnom veličinom (jedinicom mere) bio bi nepogrešivo jednak pravoj vrednosti merene veličine, pod uslovom da je merena veličina apsolutno stabilna, tj iste vrednosti u svakom trenutku merenja, da je jedinica mere apsolutno tačne vrednosti i da je postupak poređenja neograničene tačnosti. Apsolutno tačni odnos merene i referentne veličine obezbeđuje se u idealnom stepenu za pore-đenje. Na sl. 3.2a prikazan je model idealne direktne metode merenja. Predpostavljene idealne vrednosti merene i referentne veličine u svakom trenutku, prikazane su na sl.3.21b. Pri datim uslovima dobio bi se apsolutno tačan rezultat merenja veličine X, jer je greška merenja jednaka nuli, što je naravno, u realnim uslovima neostvarljivo. Na primer, neka se direktnom metodom poređenja sa jedinicom mere apso-lutne tačnosti UR=1V meri jednosmerni napon U=5,25V, kao na sl. 3.2a. Rezultat merenja, nakom poređenja, bio bi A=U/UR= 5,25V ± 0,00V, jer u idealnom merenju ne bi trebalo da postoji bilo kakva greška, zato što su greške merene i referentne veličine, ε = 0 i ∆= 0, respektivno, sl 3.2b. Čak i da je jedinica mere X0 apsolutno tačna vrednost, nije mo-guće za svaku vrednost merene veličine X obezbediti apsolutnu jednakost X=kX0 u kojoj bi k trebalo biti celobrojna vrednost, što predstavlja primarno prirodno ograničenje tačnosti date jednakosti, osim ako referentna veličina nije ele-mentarni kvant merene veličine.

Rx I

V

Sl.3.1


65

U hipotetičkoj realnoj direktnoj metodi merenja, koja je prikazana na sl 3.3a, merena i referentna veličina date su u svom prirodnom obliku sa realno očekivanim odstupanjima u vremenu, zbog uticaja različitih predvidivih i nepredvidivih faktora. Među uticajnim faktorima od značaja je i uticaj izlaznih karakteristika izvora merene veličine na stepen za poređenje i obrnuto uticaj ulaznih karakteristika stepena za poređenje na vrednost merene veličine. Iako je i referentna veličina X0 promenljive vrednosti, ipak je sa znatno manjim i pouzdanijim određenim odstupanjima (barem za red veličine) u odnosu na merenu veličinu (∆<<ε). Isto tako, predpostavka je da se sve operacije u procesu merenja izvršavaju u istom vremenskom trenutku (tk), što u praksi nije uvek ispunjeno, tako da se, na primer, poređenje merene i referentne veličine ostvaruje u različitim vremenskim trenutcima što, takođe, treba imati u vidu kod analize uzroka nastajanja greške. Pod predpostavkom da je referentna veličina povezana sa stepenom za poređenje na propisani način, njihov međusobni uticaj iskazan je kao greška materijalizacije i reprodukcije referentne veličine. Realne moguće promene

merene i referentne veličine u određenim vremenskim trenutcima, X(tk) i X0(tk), prikazane su na sl. 3.3b. Vrednosti ovih veličina između datih tačaka nisu poznate, tako da prikazane prave linije ukazuju samo na pravac promene sledeće u odnosu na predhodnu vrednost posmatranih veličina.

Sa sl. 3.3a. evidentno je da će se rezultati merenja međusobno razlikovati, čak i da su dobijeni iz tačnog od-nosa merene i referentne veličine, jer su u vremenskim trenutcima od t1 do t8 ove veličine različite. Kako je u realnim

Jedinica mere

X±0⋅10-n

Merena veličina

X:X0

A=X ± 0⋅10-n Rezultat merenja Poređenje

X0

X0±0⋅10-n

Sl.3.2a. Hipotetička idealna direktna metoda merenja

X(t); ε→ 0

tX

+ε

−ε

X0(t); ∆→ 0

tX0

+∆

−∆

Sl.3.2b. Idealne vrednosti merene, X(t) i referentne veli~ine, X0(t)

X0

X0(tk)

Merena veličina

X X(tk):X0(t

Poređenje

Jedinicamere

Sl.3.3a. Hipotetička realna direktna metoda merenja

X(tk)

Rezultat merenjaA=kX0(tk)±∆(tk)

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

X(t); 0<∆ <ε

tX

+ε

−ε

X0(t); ∆ >0

tX0

+∆

−∆

Sl.3.3b. Realne vrednosti merene X(t) i referentne veličine X0(t)


66

uslovima i metod upoređivanja veličina sa ograničenom tačnošću, to će se u rezultatu merenja pojaviti i greška pore-đenja merene i referentne veličine. Pored ovih grešaka realno postoje i dodatne greške izazvane spoljnim izvesnim i neizvesnim uticajnim faktorima, tako da se ukupna greška merenja sastoji iz više komponenata koje su određene karak-terom pojedinih vrsta uzroka nastajanja grešaka. Kod indirektnih metoda, određuju se vrednosti najmanje dve veličine, od kojih je jedna (Y ), kao rezultat indi-rektnog merenja, u funkcionalnoj zavisnosti od rezultata direktnog merenja druge veličine (X ), odnosno Y=f(X ). Pri tome, direktno merena veličina X može biti iste i/ili različite prirode od veličine Y. U opštem sliučaju, veličina Y se do-bija računskim putem iz direktno merenih više veličina preko poznate funkcije njihovih zavisnosti,Y=f(X1, X2,...,Xi,...,Xn), kao što je šematski prikazano na sl. 3.4. Takođe, veličine X1, X2,...,Xi,...,Xn mogu biti iste i/ili različite prirode, kako međusobno tako i u odnosu na veličinu Y. U konačnosti, ukupna greška merenja veličine Y zavisi od pojedinačnih grešaka merenih veličina Xi i određuje se izračunavanjem iz funkcije ∆Y=f(∆X1, ∆X2,..., ∆Xi,..., ∆Xn). Isto tako treba imati u vidu da i funkcije zavisnosti merenih valičina, koje sadrže matematičke operatore i prirodne konstante sa kojima su pojedine veličine povezane, do-prinose na određeni način ukupnoj greški merenja. S obzirom na različiti karakter pojedinih izvora grešaka, ukupna greška merenja obuhvata komponente sistematske i slučajne greške koje se izračunavaju prema posebnim pravilima.

Kod kumulativnih metoda merenja tražene vrednosti veličina nalaze se rešenjem sistema jednačina sa kojima su funkcionalno povezane veličine Yi dobijenih direktnim merenjem veličina Xj. Tražene veličine aj (j=1,2,...,m) odre-đene su rešenjem sistema funkcionalnih jednačina

),(1

∑=

=n

iijjii XafY , (3.1)

gde su: aj (j=1,2,...,m) - tražene vrednosti veličina; Yi (i=1,2,...,n) - merene vrednosti veličina; Xij - date referentne vrednosti merenih veličina. Praktični značaj kumulativne metode je kod određivanja parametara mreže kod kojih se pri zadatim vred-nostima ulaznih referentnih veličina Xij mere vrednosti izlaznih veličina Yj, na osnovu kojih se izračunavaju koeficijenti datog polinoma aj. Greške pri određivanju vrednosti parametara aj čine greške referentnih i merenih pojedinih veličina i greške u izračunavanju tih parametara.

III.1.2 Apsolutna i relativna greška merenja. Pri svakom merenju neizbežno se pojavljuje razlika između dobijenog rezultata merenja i prave (tačne) vred-

nosti merene veličine. Na osnovu vrednosti te razlike, poznate pod nazivom greška merenja, utvrđuje se stepen netač-nosti, odnosno kvalitativne osobine tačnosti merenja. Ovako definisana greška merenja nema jednoznačnu vrednost, jer nije poznato da li je dobijeni rezultat merenja manje ili veće vrednosti od nepoznate prave vrednosti merene veličine. Zato ovako definisana greška u odnosu na pravu vrednost veličine koja se meri ima samo teorijski smisao, jer se njena vrednost ne može realno odrediti ni po vrednosti ni po znaku.

Međutim, teorijska analiza grešaka merenja omogućava da se predvide njihovi uzroci nastajanja, utvrdi priroda ponašanja, odnosno karakter pojedinih vrsta mogućih grešaka, kako bi se primenile adekvatne metode i postupci za nji-hovu procenu, a zatim i mogućnosti za njihovo smanjenje.

Ako se prava vrednosti merene veličine označi sa X, a rezultat merenja sa Α, onda njihova razlika, data u jed-inicama merene veličine, predstavlja apsolutnu grešku merenja, ∆X, iskazane relacijom

<−>−

=−=∆AXXAAXAX

AXX;;

(3.2)

Iz relacije (3.2) sledi da se vrednost merene veličine u trenutku merenja može dobiti iz izraza X=A±∆X, odakle se ne može znati koja je od dve dobijene vrednosti merene veličine prava.

Sl. 3.4. Model indirektne metode merenja

X1

f(X1, X2, . . . , Xi, . . . , Xn)

X1:X01 X01

X21

X2:X021X021

Xi

X0i

Xn

Xn:X0n1 X0n

Yi

Xi:X0i


67

Ako bi se, na primer, pri merenju napona pomoću voltmetra, koji na datom opsegu može pogrešiti za ∆U=0,1 V, dobio rezultat UX = 9,8 V, onda bi prava vrednost napona mogla biti

<=−>∆=+

=0∆zaV,7,91,08,90zaV,9,91,08,9

UU

U X (3.3)

Kako nije poznato da li je ∆U veće ili manje od nule, to nije moguće odrediti da li je mereni napon 9,9 V ili 9,7V, ali je verovatno između ovih vrednosti. Prema datom primeru, očigledno je da se ne može dobiti jedna vrednost veličine koja se meri, već interval mo-gućih vrednosti te veličine, pa je konkretno za dati slučaj prava vrednost merenog napona verovatno negde u intervalu 9,7V < UX < 9,9V.

Prema tome za datu apsolutnu grešku, prava vrednost merene veličine, zbog nejednoznačnosti greške, data je in-tervalom njenih mogućih vrednosti, koji se može izraziti u obliku X=[A-∆X, A+∆X], ili A-∆X<X<A+∆X. (3.4)

Za dobijenu vrednost rezultata merenja A i date apsolutne greške ∆X, za pravu vrednost X može se uzeti bilo koja od brojnih vrednosti xi na intervalu skupa vrednosti X=[xi], i=1,2,3,...,n, koji je osenčano prikazan na brojnoj osi na sl. 3.5. To znači da nije moguće odrediti pravu vrednost merene veličine, već interval njenih mogućih vrednosti koja se pojavila u ternutku merenja. U tom slučaju, sve vrednosti xi ravnopravne su u pogledu verovatnoće njihovog po-javljivanja, ali postoji i verovatnoća da niti jedna od vrednosti merene veličine ne bude u određenom intervalu, što uka-zuje da greška merenja nije sigurno određena. To znači da veličina intervala zavisi od apsolutne greške koja sadrži komponentu greške mernog instrumenta, ali i komponentu greške postavljene vrednosti merene veličine, za koju se predpostavlja da je stalne vrednosti. Ova komponenta greške više se ispoljava kod ponovljenog postupka merenja u određenim vremenskim razmacima a pod istim uslovima merenja.

U teoriji grešaka, iz praktičnih razloga se umesto apsolutne greške merenja, bilo sistematskog ili slučajnog karaktera, u relaciji (3.2) koristi pojam pod nazivom relativna greška merenja, kojom se prikazuje procentualni odnos apsolutne greške i prave vrednosti merene veličine, odnosno

%.100XX

X∆

=δ (3.5)

Znak relativne greške u relaciji (3.5) određen je znakom apsolutne greške. Ovako definisane apsolutna i rela-tivna greška merenja imaju samo kvalitativno teorijski smisao, pa su po pravilu, kvantitativno neodređene, jer je veličina X nepoznata. Njihov praktični značaj je, na primer, pri analizi uticaja pojedinih parametara projektovanih mernih metoda i sredstava na vrednost merene veličine, odnosno na objekat merenja. U praktičnim primenama, u relaciji za relativnu grešku (3.5), prava vrednost X zamenjuje se izmerenom, procenjenom ili propisanom (normiranom) vrednošću merene veličine ili veličinom mere.

Relativna greška merenja daje, po pravilu, pravu predstavu o nivou tačnosti izmerene veličine, što se vidi iz sledećeg primera. Ako je apsolutna greška merenja nekog napona 5mV, onda se jedino zna da je nepoznata prava vred-nost tog izmerenog napona u granicama ± 5 mV, što na prvi pogled može da se čini da greška merenja i nije tako velika. Međutim, ako je merena vrednost napona 10 mV, onda je relativna greška vrlo velika, konkretno čak 50%, ali bi za mereni napon od 10V relativna greška bila znatno manja, čak 0,5%. Upravo u tome je i prednost prikazivanja relativne greške merenja, jer uz podatak o apsolutnoj greški mora da se ima i podatak o vrednosti merene veličine.

Teorijski značaj definicije relativne greške ilustrovan je na sledećem primeru. Otpornost voltmetra, kojim se meri napon u nekom električnom kolu, u tačkama A i B kao na sl.3.6a, svojim prisustvom remeti radni režim tog kola i unosi grešku, zato što se onda merena vrednost napona Vx menja u odnosu na vrednost tog napona bez prisustva volt-metra.

Ako se, primenom Tevenenove teoreme, električno kolo u tačkama A i B gde se meri napon, zameni rednom vezom ekvivalentnog generatora Vx i ekvivalentne otpornosti Re, kao na sl. 3.6b, onda se prema relaciji (3.5) greška izmerenog napona Vx, zbog prisustva otpornosti voltmetra RV, a priori, može izračunati kao:

X 0A-∆X A+∆X X= xi

Sl. 3.5.Interval mogućih vrednosti merene veličine

ARe

RV

B

A

Električna mreža V

B

VRV

Sl. 3.6. Ilustracija greške u merenju napona pod uticajem otpornosti voltmetra

(a) (b)

VX VV


68

%100%100ve

e

x

vxv RR

RV

VV+

=−

=δ . (3.6)

Tako je u relaciji (3.6) pokazano kako na relativnu grešku merenja napona voltmetra utiče otpornost voltmetra Rv za date ostale otpornosti kola iskazane preko ekvivalentne otpornost Re. Međutim, ako je na voltmetru očitana vrednost napona Uv , a ostali parametri kola su nepoznati, onda se greška merenja tog napona ne može direktno odrediti pomoću relacije (3.6), jer je neodređena prava vrednost napona koji se meri. Zbog toga relacija (3.6) ima čisto teorijski značaj u analizi uticaja otpornosti voltmetra na tačnost merena napona u električnom kolu. U takvim slučajevima analize, termin relativna greška ili tačnost predstavlja pojam koji ima samo kvalitativni karakter.

Izvedena greška merenja - klasa tačnosti. Iz praktičnih razloga, u teoriji grešaka uveden je pojam pod na-zivom izvedena greška merenja, koja se određuje tako što se prava vrednost zamenjuje, prema izvesnim kriterijumima, sa propisanom vrednošću Xn. Izvedena greška služi za klasifikaciju mernih sredstava sa različitim opsezima merenja prema tačnosti, pa se često koristi i za određivanje greške rezultata merenja. Propisane vrednosti Xn date su kao metrološki podaci na samoj meri, na indikatoru mernog instrumenta ili u priloženoj dokumentaciji merila, Najčešće su to:

- nominalna vrednost materijalizovane jedinice mere; - gornja granica mernog opsega, ako je oznaka nulte vrednosti na kraju ili izvan opsega merenja; - suma modula granica merenja, ako je oznaka nulte vrednosti unutar opsega merenja; - dužina skale ili njenog dela, koja odgovara opsegu merenja, ako je skala nelinearna (kao, na primer, kod

om-metra u klasičnom multimetru); - nominalna vrednost merene veličine, ako je takva ustanovljena (na primer, kod merača parametara napona

mreže nominalne vrednosti monofaznog ili trofaznog napona, frekvencije i faze mogu biti 220V ili 380V, 50Hz, 1200, respektivno);

- moduo razlike granica merenja, ako se radi o skali sa uslovljenom nulom (na primer, kod temperaturnih skala).

Kao propisana metrološka karakteristika mernih instrumenata veoma često se sreće poznata opšta karakter-istika sredstava merenja (mernih instrumenata) - klasa tačnosti. To je dozvoljena izvedena relativna greška merenja instrumenta, dobijena overom tih mernih instrumenata sa odgovarajućim mernim standardima. Overa instrumenata je postupak upoređivanja po tačnosti ispitivanog instrumenta sa referentnim instrumentom.

Prema formalnoj (legalnoj) definiciji 1: "Klasa tačnosti je klasa mernih instrumenata koji ispunjavaju određene neophodne metrološke uslove da se

greška održi u okviru specificiranh granica". Drugim rečima, klasa tačnosti, sa oznakom p, definisana je u odnosu na granične vrednosti (više granice) apso-

lutne greške mernog opsega instrumenta i određuje se relacijom

%100gr

gr

XX

p∆

= , (3.7)

gde je ∆Xgr - maksimalna apsolutna greška ostvarena pri overi instrumenta, a Xgr- propisana vrednost kao gornja granična vrednost mernog opsega, odnosno vrednost pune skale. Zbog toga se, često, umesto pojma klase tačnosti koristi termin greška pune skale merila.

Klasa tačnosti određuje se obradom rezultata merenja dobijenih propisanim postupcima overe ispitivanog mer-nog instrumenta i standardnog sredstva overe koje je, svakako, više klase tačnosti. Vrednosti klasa tačnosti su obično označene konvencionalno prihvaćenim brojevima ili simbolima pod nazivom oznake klasa. Prema preporukama OIML, za merne instrumente gde je maksimalna greška data kao apsolutna greška ∆ = ± a, specificirane klase tačnosti se prikazuju velikim slovima ili rimskim brojevima, kao što su, na primer, za tegove E1, E2, F1, F2, M1 i M2, za vage I, II, III, IIII, itd. Oznake klasa tačnosti, prema relaciji (3.7), za električne pokazne instru-mente date su kao niz brojeva: 1x10n, 1.5x10n, 1.6x10n, 2x10n, 2.5x10n, 3x10n, 4x10n, 5x10n, 6x10n, gde je n=1, 0, -1, -2, itd. Za iste vrednosti stepena n broj klasa je ograničen na 5.

Kod nas je još uvek važeći standard JUS L.G1.020, prema kome su klase tačnosti predstavljene nizom brojeva A=[0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 ; 5]. Za neka druga merila klase tačnosti se predstavljaju simbolima kao što su, na primer, za tegove E1, E2, F1, F2, M1 i M2, za vage I, II, III, IIII itd.

Na osnovu date klase tačnosti, interval dozvoljene apsolutne greške ∆Xgr određuje se iz relacije (3.5). Kako se ova vrednost greške uzima kao konstanta na celom opsegu merenja, to je očigledno da ona ne zavisi od vrednosti merene veličine, pa se zato često naziva greškom nule. Međutim, relativna greška obrnuto je proporcionalna vrednosti merene veličine, tako da je uvek brojno veća od deklarisane klase tačnosti. Ako je izmerena vrednost A ≤ Xgr, onda je relativna greška merenja za datu klasu tačnosti mernog uređaja

pA

pXAX grgr

A ≤=∆

= %100%100δ (3.8)

Prema tome, za datu klasu tačnosti mernog uređaja relativna greška merenja se bitno menja duž graduisane skale, pri A ≤ Xgr, odnosno raste sa smanjenjem merene veličine, pošto se smatra da apsolutna greška na celom opsegu ima stalnu vrednost. Zato je u praksi preporučljivo da se kod instrumenata sa analognom skalom rezultat merenja oči-tava u intervalu gornje trećine skale mernog opsega.

1 VIM - Međunarodni rečnik metrologije


69

Ostaje dilema da li greška iskazana procentom kao merom brojne veličine može predstavljati kvantitativni podatak i fizičke merene veličine koja ima svoju mernu jedinicu.Korektnije bi bilo da se relativna greška iskazuje, makar, čisto brojnim odnosom, kao na primer, 5:104 =5⋅10-4, ili 5 mV:10 V=0.5 mV/V. Ipak je još uvek u širokoj upotrebi i procentualna greška, koja za ovaj primer iznosi 0.05%. Zato uz ovaj podatak mora da se daju i veličine na koje se odnosi.

Takođe, u terminologiji merenja kod relativnih grešaka je uobičajeno da terminu tačnost brojno odgovara termin greška merenja, koji u suštini predstavlja netačnost merenja. Ako bi to bilo tako, onda bi teorijski apsolutna tačnost bila 100%, a realna tačnost 100% - δX. Prema tome, za grešku merenja od δX=2% nije logično da je netačnost 98%, jer bi u kvantitativnom smislu značilo da je za malu grešku netačnost velika, i obrnuto. Zato je logično da za grešku od 2% tačnost iznosi 100%-2%=98%; uostalom, apsolutnoj tačnosti od 100% odgovara greška od 0%!

Međutim, tradicionalno, pa i u legalnoj metrološkoj terminologiji u srpskom jeziku, zadržan je stav da greška merenja i tačnost termi-nološki označavaju isti pojam i istu brojnu vrednost. Na primer, ako se kaže da je greška merenja 0,1%, onda se podrazumeva da je i tačnost takvog merenja 0,1%. U literaturi se mogu sresti i relacije gde su tačnost i relativna greška merenja obrnuto proporcionalne veličine. Bez obzira na nelogič-nost značenja pojmova, ipak je korektno koristiti terminologiju koja je utvrđena međunarodno priznatim standardima i preporukama.

Kada se radi o načinu određivanja grešaka, globalno se, prema načinu utvrđivanja funkcije zavisnosti direktno i indirektno merenih veličina, razlikuju greške direktnih, indirektnih i kumulativnih metoda merenja. Kumulativna mer-enja odnose se na kombinovanu primenu direktnih i indirektnih metoda merenja u kojima se nepoznate veličine indirek-tno određuju rešavanjem sistema jednačina kojima su uspostavljene njihove zavisnosti sa veličinama koje se dobijaju merenjem, odnosno procenom njihovih vrednosti. Analiza svake od ovih grupa grešaka usko je povezana sa karakter-istikama kako primenjene metode merenja, tako i veličine koja se meri. Zato je pored analize metroloških karakteristika merila za određenu merenu veličinu neophodna i analiza mogućih i ostvarenih grešaka u rezultatu merenja, primenom zakonitosti utemeljinih u teoriji grešaka.

III.2 Klasifikacija grešaka merenja prema uzroku pojavljivanja Do konačnih metroloških karakteristika rezultata merenja dolazi se temeljnom analizom i obradom ostvarenih

pojedinačnih mernih podataka, primenom poznatih postupaka i zakonitosti u teoriji grešaka. Teorija grešaka obuhvata analizu uzroka nastajanja, određivanje zakonitosti kojima se pokoravaju pojedine vrste grešaka i uvođenje pravila za njihovo izračunavanje. Zato su greške merenja prema određenim kriterijumima klasificirane po grupama, odnosno vrstama, sa svim svojim specifičnostima i osobinama.

Osnovni kriterijum za podelu grešaka merenja jeste priroda uzroka njihovog pojavljivanja. Prema tom kriteri-jumu, greške se mogu podeliti na one koje će se u rezultatu merenja sigurno pojaviti sa vrednošću koja se može pred-videti i ekperimentalno odrediti i greške koje su nepredvidive, jer je nepoznat niti uzrok njihovog pojavljivanja, niti trenutak kada će se i sa kojom vrednošću pojaviti u rezultatu merenja.

Prema tome, greške čije se vrednosti i uzroci pojavljivanja mogu unapred predvideti, odrediti i korigovati u rezultatu merenja, poznate su pod nazivom sistematske greške. Ostatak grešaka kao neizvesnih događaja imaju slučajni karakter u svom pojavljivanju, pa se zato zovu slučajne greške merenja.

Prisustvo slučajnih grešaka doprinosi neizvesnosti, odnosno nesigurnosti određivanja prave vrednosti merene veličine. Zato je pored greške rezultata merenja (netačnosti merenja) opravdano koristiti i pojam nesigurnost rezultata merenja. Kvantitativna procena nesigurnosti u vezi je sa stepenom verovatnoće da će se rezultati merenja pojaviti u predpostavljenom intervalu njihovih vrednosti. Pri tome treba razlikovati pojam nesigurnosti određivanja rezultata mer-enja na bazi metroloških karakteristika metoda i sredstava merenja od nesigurnosti pojave same vrednosti merene veličine. Naravno, sve greške koje se mogu unapred predvideti i korigovati ne bi trebalo da utiču na nesigurnost rezul-tata merenja.

Dakle, jedan od osnovnih zadataka obrade rezultata merenja je pouzdano određivanje vrednosti granica inter-vala datih relacijom (3.4). Jer, što je manja apsolutna greška merenja to su vrednosti granica intervala međusobno bliže, pa se smatra da je i tačnije i sigurnije određena vrednost merene veličine, i obrnuto.

I pored mnoštva različitih uzroka nastajanja grešaka u svakom procesu merenja, njihove izračunate ili procen-jene vrednosti, bez obzira na karakter, određuju u konačnosti meru tačnosti ispitivanog rezultata merenja. Prioritet u analizi grešaka merenja imaju takve greške koje imaju dominantni uticaj na konačnu vrednost i tačnost rezultata mer-enja.

Definicije pojedinih vrsta grešaka i njihovih parametara su standardizovane, kako opštim međunarodnim priznatim standardima, tako i pojedinačnim nacionalnim standardima, mada su prisutne i tradicionalne kategorije stan-darda. Zato se u tim standardima za iste vrste grešaka i njihovih atributa mogu sresti terminološki različiti pojmovi i klasifikacije.

Sistematske i slučajne greške. Polazeći od prirode nastajanja grešaka, kao osnovnog kriterijuma, jasno se razli-kuju dve velike grupe grešaka neslučajnog i slučajnog karaktera, ili kako je to konvencionalno prihvaćeno: sistematske i slučajne greške. Priroda karaktera ovih grešaka najočitije se ispoljava kod višestruikog ponavljanja merenja jedne iste veličine u istim uslovima njihovog pojavljivanja. Svaka od mogućih grešaka u rezultatu merenja ispoljava dva karak-tera, koji se jasno uočavaju u ponovljenom broju merenja iste veličine pod prividno istim referentnim uslovima. Kaže se prividno, jer ako se predpostavi da se u pogledu uslova ni jedan od uslovnih faktora nije promenio, barem se vremenski trenutak predhodnog merenja više ne može ponoviti u narednim merenjima, što je dovoljna predpostavka da će se promeniti ili vrednost veličine koja se meri, a možda i neki od nepredvidivih uticajnih faktora.

Ako je broj ponovljenih merenja dovoljno veliki, uočava se da se rezultati merenja koncentrišu oko neke ustal-jene (usrednjene, očekivane, ili najverovatnije) vrednosti sa određenim rasipanjem oko te vrednosti. Takav karakter is-poljavaju slučajno promenljive veličine kao što su slučajne greške. Zato se i rezultati merenja posmatraju kao slučajno promenljive vrednosti, jer u sebi sadrže i greške merenja koje su slučajnog karaktera.


70

Ako se posmatra slučaj višestrukog poređenja merene veličine X i standardne mere X0, onda se dobija niz rezultata merenja A=[A1, A2, A3,. . . , An], koji se rasipaju u odnosu na uslovno uzetu srednju vrednost svih rezultata merenja, Ā, za iznos njihove greške. Broj ni predstavlja frekvenciju pojavljivanja istih rezultata merenja Ai kao što je ilustrativno prikazano na sl.3.7. Odnos broja ni i ukupnog broja ponovljenih ispitivanja N jeste verovatnoća po-javljivanja pojedinačnih vrednosti rezultata merenja P(A=Ai).

Razlika između procenjene najverovatnije vrednosti rezultata mer-enja Ā i mere X0 jeste sistematska greška S=∆X, a odstupanje pojedinačnih rezultata merenja Ai od najverovatnije vrednosti Ā - Ai predstavlja slučajnu grešku merenja označene sa εi.

Primenom teorije verovatnoće i matematičke statistike utvrđuje se koje greške imaju karakter slučajnih veličina i izvode se odgovarajuće relacije za određivanje pojedinih parametara raspodele verovatnoće njihove pojave, na osnovu kojih se utvrđuju (procenjuju) bitne metrološke karakter-istike datih sredstava merenja. Detaljnija analiza slučajnih grešaka data je u posebnom poglavlju.

Osnovna osobina sistematskih grešaka je da pri svakom pojedinač-nom merenju ostaju nepromenjene, kako po apsolutnoj vrednosti, tako i po znaku, ili se menjaju prema određenoj zakonitosti izmene nekog od uslova merenja. Sistematske greške se mogu teorijskom analizom predvideti i nji-hova vrednost eksperimentalno odrediti. Za taj iznos greške može se odgova-rajućim korekcijama popraviti rezultat merenja.

Prema uzroku nastajanja, prisutne su sledeće sistematske greške: - greške metoda ili mernih uređaja (instrumenata), - greške mera, odnosno etalona (ili standarda) i - dodatne greške. Merni uređaji, odnosno merni instrumenti, su sredstva merenja sa kojima se u procesu merenja ostvaruje pore-

đenje merene i referentne veličine mere sa prikazom (indikacijom) ili registracijom rezultata merenja na indikatoru. Postupak direktnog ili indirektnog poređenja merene i referentne veličine u procesu merenja nosi opšti naziv metoda merenja.

Kod izbora metode merenja polazi se od toga da se utvrdi neka prirodna veza između merene veličine i pogodne veličine čija se vrednost na poznati način određuje i registruje. Takva veza je prihvatljiva pod uslovom da se ostale uti-cajne veličine na merenu veličinu mogu pouzdano kontrolisati i odrediti. Međutim, u realnim uslovima nije uvek mo-guće ostvariti potpunu kontrolu i odrediti apsolutne vrednosti uticajnih veličina, tako da se u dobijenom rezultatu mer-enja neizbežno pojavljuje greška zbog nesavršenosti primenjene metode merenja.

Komponenta greške koja se javlja samo pod uticajem primenjenih mernih instrumenata poznata je kao osnovna greška instrumenata i predstavlja značajnu metrološku karakteristiku takvih sredstava merenja. Ova greška pokazuje u kojoj meri se stvarne osobine mernog instrumenta razlikuju od njegovih nominalno datih karakteristika u propisanim radnim uslovima. Prema načinu brojnog prikaza, osnovnu grešku instrumenta čine apsolutna, relativna i izvedena greška, odnosno klasa tačnosti instrumenta, o kojoj je već bilo reči. Greška instrumenata koja nastaje u izmenjenim rad-nim uslovima naziva se dodatna greška instrumenta.

Sistematske greške se, po pravilu, mogu u izvesnoj meri kompenzirati ili eliminisati. Tako, na primer, greške primenjene metode mogu se smanjiti, ako je to neophodno, izborom savršenijih, ali sigurno i složenijih rešenja ili uvođenjem popravke (korekcije) u rezultatu merenja u postupku kalibracije. Za eliminaciju sistematskih grešaka mera dovoljno je postupati u skladu sa propisanim uputstvom o njihovoj upotrebi.

U analizi grešaka instrumenata i izbora postupka za njihovo smanjenje od posebnog značaja je podela ovih grešaka prema zavisnosti od vrednosti merene veličine na dve grupe: aditivne i multiplikativne greške. Aditivna apso-lutna greška ne zavisi od merene veličine, niti od osetljivosti instrumenta i kon-stantna je za sve vrednosti ulazne merene veličine. Multiplikativna greška propor-cionalna vrednosti merene veličine X i zavisi od osetljivosti instrumenta. Ukupna apsolutna sistematska greška ∆XU je u tom slučaju je zbir aditivne ∆XA i multiplika-tivne greške ∆XM , odnosno

∆XU=∆XA+∆XM =∆XA+ kX, (3.9) čiji je dijagram prikazan na sl. 3.8.

Iz relacije (3.9) sledi da za nultu vrednost merene veličine, greška instru-menta iznosi ∆XA, što bi sa stanovišta kvaliteta instrumenta bilo nepoželjno, jer se se za svaki instrument obavezno vrši korekcija nule. Zato se aditivna greška definiše za sve vrednosti merene veličine koje su veće od nule.

Vrednost propisane greške instrumenta, kao izvedena greška, određuje se na bazi ukupne osnovne apsolutne greške date relacijom (3.7). Ukoliko je aditivna greška mnogo veća od multiplikativne, onda se normira apsolutna ili izvedena greška, koja je brojno jednaka vrednosti ∆XA i konstantna je u celom mernom opsegu instrumenta. Izvedena greška, ili klasa tačnosti instrumenta definiše se u odnosu na propisanu vrednost Xn, o kojoj je napred bilo reči. Ako je, pak, multiplikativna greška izrazito veća od aditivne, onda se propisuje dozvoljena granica relativne greške, koja će za dati slučaj biti konstantna na celom opcegu merenja, čija je vrednost k.

εi

n1

n3

ni

n2

nn

S=∆X

n

A

Sl. 3.7 Raspodela ponovljenih rezultata merenja

A1 A2 A3 Ā .... Ai ... An

0X

∆X

∆XU

kX

∆XA

Sl. 3.8


71

Kod instrumenata sa aditivnom i multiplikativnom greškom granica dozvoljene relativne greške prema relaciji (3.9) je oblika

kXX

XX Au +

∆=

∆=δ . (3.10)

Ako se u relaciji (3.10) doda i oduzme relativna aditivna greška iskazana u odnosu na graničnu vrednost op-sega instrumenta Xmax, onda se dobija izraz

−+=

−

∆+

∆+= 11 maxmax

maxmax XXqp

XX

XX

XXk AAδ . (3.11)

Iz relacije (3.11) sledi da je za vrednost merene veličine X=Xmax, relativna aditivna greška jednaka klasi tač-nosti instrumenta, odnosno graničnoj vrednosti dozvoljene relativne greške pri punom opsegu instrumenta. Vrednost apsolutne osnovne greške instrumenta iz relacije (3.11) može se napisati u obliku ∆X=(p-q)X+qXmax, pa se može zaključiti da pri nultom pokazivanju (X=0) instrumenta q predstavlja granicu dozvoljene relativne greške pri maksimal-noj vrednosti skale instrumenta.

Relacija (3.11) koristi se za normiranje greške instrumenata visoke tačnosti, kao što su digitalni merni instru-menti standardne dekadne kutije otpornosti i kapacitivnosti i sl. Prema preporukama OIML, klasa tačnosti sredstava merenja, kod kojih su aditivna i multiplikativna greška istog reda veličina, označava se odnosom p/q koji je veći od jedan. Vrednosti za q su standardizovane kao vrednosti za klasu tačnosti p.

Dodatna greška instrumenta iskazuje se na isti način kao i osnovna greška i za svaku uticajnu veličinu posebno se određuje. Za merne instrumente ustanovljavaju se granice dozvoljenih odstupanja od propisanih vrednosti za svaku od uticajnih veličina. U granicamma normalnog opsega, odnosno u granicama radne oblasti, ukupna greška merenja instrumenta, ∆Xu, sastoji se iz zbira osnovne, ∆X, i dopunskih grešaka, ∆Xi, nastalih pod dejstvom uticajnih i-tih veličina, odnosno

∑=

∆+∆=∆m

iiu XXX

1

. (3.12)

Ako se granice dozvoljenih grešaka mernih instrumenata prikazuju u vidu grafika, tabela ili u formi iskazanoj relacijom (3.12), onda se klasa tačnosti prikazuje rimskim brojevima ili slovima abecede, što, naravno, zavisi od propis-anog standarda. Isto tako različit je prikaz klasa tačnosti u dokumentaciji i na samom instrumentu; na primer, na instru-mentu se označava samo brojna vrednost klase 0.5, a u dokumentaciji stoji tekst ”Klasa tačnosti 0,5”.

Za normiranje greške instrumenata visoke tačnosti, kao što su digitalni merni instrumenti standardne dekadne kutije otpornosti i kapacitivnosti i sl. koristi se relacija (3.11). Prema preporukama OIML, klasa tačnosti ovih sredstava merenja, kod kojih su aditivna i multiplikativna greška istog reda veličina, označava se odnosom p/q koji mora da zado-volji uslov da je p/q>1 (na primer, klasa tačnosti 0,5/0,1) Vrednosti za p i q su standardizovane kao vrednosti za klasu tačnosti p (relacija 3.7). Standardizovane greške sredstava merenja zaokružuju se na dve značajne cifre. Primeri oznaka klasa tačnosti u dokumentaciji i na samom sredstvu merenja, prema OIML, prikazani su u Tabeli 3.1.

Konačno, svi uzroci nastajanja sistematskih grešaka ne mogu biti potpuno eliminisani, tako da u rezultatu mer-enja ipak postoji “ostatak” greške čija se vrednost može proceniti pravilima za procenu parametara slučajnih grešaka.

Podela grešaka merenja najbolje se može ilustrovati na primeru grešaka pri gađanju kružne mete, kao što je

prikazano na sl. 3.9. Na meti (a) pogotci su grupisani oko centra mete, a neznatna odstupanja oko centra mogu biti rezultat slučajnih grešaka u gađanju. Isto tako, usamljeni pogodak izvan mete predstavlja promašaj, odnosno grubu - nezakonitu grešku. Grupisani pogotci izvan centra mete (b) ilustruje prisustvo sistematske greške ∆X u gađanju centra

Tabela 3.1

Vrsta greške Relacija za dozvoljenu osnovnu grešku

Klasa tačnosti ili maksimalna greška

Oznaka klase

tačnosti Apsolutna greška ∆ = ± a Klasa M M

Izvedena greška, linearna skala %p%

100

N±=

∆±=

Xγ

γ = ± 1,5 % 1,5

Izvedena greška, nelinearna skala %p%

100

N±=

∆±=

Xγ

γ = ± 0,5 %

0,5

Konstantna relativna greška

%c%100

N±=

∆±=

Xδ

γ = ± 0,5 %

0,5

Relativna greška u funkciji merene

veličine

%1max

−+±=X

Xqpδ

%1max01,002,0

−+±=X

Xδ

0,02/0,01


72

mete, koja može biti uzrokovana, na primer, nepravilnim podešavanjem nišana. Naravno, i ovde je neizbežno prisustvo slučajnih grešaka, εi, u odnosu na centar grupisanih pogodaka. U tom slučaju se vrednost ε uzima kao statistička pro-cena najverovatnije greške, što će kasnije biti detaljnije analizano. Na meti (c), pored slučajnih grešaka, dominantno je prisutna multiplikativna sistematska greška kao rezultat dejstva spoljne sile koja se povećava tokom gađanja, na primer, dejstvo vetra. Na poslednjem primeru mete (d) ilustrovano je i netačno i neprecizno gađanje, jer su pogodci prilično udaljeni od centra mete.

Na ilustrovanom primeru podele grešaka jasno se uočava razlika između dva često korišćena termina za ocenu rezultata merenja poznata pod nazivom tačnost i preciznost. Ako se prihvati da je visoka tačnost gađanja ostvarena kada su pogodci rasipani vrlo blizu centra mete, onda je gađanje u metu (a) i tačno i precizno. Po tom kriterijumu gađanje u metu (b) je netačno, jer postoji sistematska greška ∆X, ali je preciznost kao kod mete (a), dok je gađanje pod (c) i (d) i neprecizno i netačno. Prema tome, tačnost predstavlja stepen prib-ližvanja rezultata merenja pravoj vrednosti veličine koja se meri, a pre-ciznost - stepen rasipanja pojedinačnih rezultata merenja pri po-novljenom broju merenja jedne iste veličine pod istim uslovima. Iz toga se može zaključiti da merenje može biti tačno samo ako je i precizno, ali ako je precizno ne znači i da će biti tačno.

Značenje pojmova tačnosti i preciznosti rezultata merenja jasno su ilustrovani i na primeru višestruko ponovljenog broja merenja kapaciivnosti nominalne vrednosti 22 nF, gde su rezultati merenja pri-kazani na sl.3.10. Čak i da je ostvarena dovoljna preciznost, kao mera rasipanja rezultata merenja, ipak to nije garancija da je postignuta i zadovoljavajuća tačnost merenja.

U analizi grešaka razlikuju se i greške prema funkcionalnoj zavisnosti od vremena u kome se pojavljuju. Tako su poznate još dve grupe grešaka: Statičke i dinamičke greške. Statičke greške se kao vre-menske funkcije pojavljuju sa konstantnim vrednostima, dok su diman-ičke greške vremenski promenljive veličine. U skladu sa ovim greškama razlikuju se statika i dinamika instrumenata, odnosno njihove statičke i dinamičke metrološke karakteristike. III.3 Osobine rezultata merenja kao slučajne veličine Kod ponovljenog niza merenja jedne iste vrednosti neke veličine istim sredstvom merenja u potpuno jednakim uslovima dobijaju se pojedinačni rezultati merenja koji se, makar i malo, ipak međusobno razlikuju. Isto tako, ni u jed-nom ponovljenom merenju ne može se unapred tačno predvideti rezultat merenja, zbog prisustva nepredvidivih uticaja kao uzroka pojavljivanja slučajnih grešaka. Termin ”slučajno” koristi se uslovno, jer se u prirodi ne dešava ništa što je slučajno; svaka posledica kao uočena prirodna pojava ima svoje poreklo, odnosno uzrok! Međutim, određene prirodne pojave za posmatrača se slučajno pojavljuju iz razloga što ih ili nedovoljno poznaje, ili nije u stanju da objasni uzroke i zakonitosti njihovog nastajanja.

Rezultati merenja, iako se dobijaju objektivnim mernim sredstvima, pod uticajem su mnoštva nepredvidivih pojava, te zato predstavljaju posebnu vrstu slučajnih veličina sa svim svojim specifičnostima i karakteristikama. O uz-rocima nastajanja slučajnih grešaka u rezultatu merenja bilo je reči u prvom poglavlju ove glave.

Obrada rezultata merenja je sastavni deo svakog eksperimenta sa kojim bi trebalo proveriti, potvrditi ili poka-zati verodostojnost, odnosno stepen sigurnosti određene teorijske postavke. Zato je u metrologiji, umesto slučajne greške, korektnije govoriti o rezultatu merenja sa slučajnim greškama kao krajnjem cilju u merenjima - o veličini koju treba analizirati i metrološki okarakterisati. Za razliku od sistematskih grešaka koje se, u cilju povećanja tačnosti mer-enja, mogu sigurno predvideti, odrediti, pa i korigovati, slučajne greške doprinose neizvesnosti, odnosno određenom stepenu nesigurnosti rezultata merenja.

U opštem slučaju, cilj obrade rezultata merenja jeste da se odredi (proceni) najverovatnija vrednost rezultata merenja, ali po mogućstvu sa manjim brojem ponovljenih mernih postupaka. Zato se u obradi višestruko ponovljenih

Promašaj (gruba greška) (a) (b) (d) (c)

Sl. 3.9. Ilustracija tipičnih vrsta grešaka gađanja u metu

∆Xεi

εi

Preciznost

Sl.3.10. Ilustracija tačnosti i preciznosti rezultata merenja C=22 nF

0 5 10 15 20 25

120

100

80

60

40

20 C[nF]

n Tačnost

Bro

j mer

enja


73

rezultata merenja polazi od analize osobina verovatnoće njihovog pojavljivanja kao slučajnih veličina koja je okarak-terisana svojim parametrima. Rezultat merenja je, dakle, jedna vrsta slučajnih veličina, odnosno slučajnih događaja, čiji se parametri mogu procenjivati zakonima teorije verovatnoće i matematičke statistike. U savremenoj metrologiji pose-ban značaj pridaje se statističkim postupcima za procenu nesigurnosti merenja, kao osnovnog parametra kvaliteta ispitivanih, ili primenjivanih različitih sredstava merenja.

Neograničeni niz svih mogućih vrednosti slučajne veličine naziva se populacija, kao nasleđeni termin iz demo-grafske statistike. Generalno posmatrano, kako se slučajne veličine mogu posmatrati kao diskretne ili kontinualne veličine, to i rezultati merenja, kao posebna populacija slučajnih veličina, mogu imati i diskretni i kontinualni karakter. Ograničeni niz, ili podskup slučajnih vrednosti rezultata merenja, kao deo neograničenog skupa njihove populacije, praktično predstavlja jedan statistički uzorak.

Niz brojnih vrednosti pojedinačnih rezultata merenja uzetih u određenim vremenskim trenutcima ima diskretni karakter. Rezultat merenja kontinualnog karaktera može se predstaviti poznatom matematičkom funkcijom zavisnosti izlazne veličine mernog sistema Y od ulaznih parametara kontinualnog signala sa objekta merenja X, koji sadrže i pa-rametre slučajnog karaktera. Takve funkcije mogu biti, na primer, prenosna funkcija mernog sistema, funkcija linear-nosti mernog opsega instrumenta i dr. Zbog toga je neophodno poznavanje određenih osobina i zakonitosti koje važe za populacije, kako diskretnih, tako i kontinualnih slučajnih veličina.

Postupci za određivanje statističkih parametara jednog uzorka ili serije uzoraka iz N rezultata merenja, pri-menom zakonitosti koje važe za datu populaciju, imaju za cilj određivanje jedne (tačkasta procena) ili intervalne vred-nosti (intervalna procena) najverovatnijeg rezultata merenja i njegovu disperziju (stepen rasipanja) oko prave, odnosno procenjene merene vrednosti.

Slučajna veličina populacije X je diskretna veličina, ako za svaku njenu moguću vrednost, kao elementarnog događaja iz jednodimenzionalnog skupa X=[x1, x2, x3,...,xi,...], postoji verovatnoća pi data relacijom

,....,,i,NmxPxXPp i

iii 321)()( ===== (3.13)

gde su: pi - verovatnoća diskretne slučajne veličine X=xi, mi - broj ostvarenih realizacija pojedinačnih vrednosti xi N -broj svih mogućih realizacija (populacije) slučajne veličine X. U teoriji verovatnoće, odnos mi/N često nosi naziv i frekvencija i-te slučajne veličine xi. Frekvencija po-

javljivanja posmatrane veličine, kada N raste, približava se verovatnoći pi. Verovatnoće pojavljivanja pojedinih veličina iz posmatrane populacije određuju se primenom zakonitosti iz kombinatorike. Iz relacije (3.13) sledi da verovatnoća pi ima sledeće karakteristične vrednosti

0 ≤ pi ≤ 1 i 1lim1

=∑=

→∞

N

iiN

p . (3.14)

Ako skup mogućih vrednosti slučajne veličine u nekom intervalu predstavlja niz u kome se uzastopne vred-nosti razlikuju za diferencijalno male priraštaje, onda se radi o kontinualnoj slučajnoj veličini, koja se može prikazati kontinualnom matematičkom funkcijom.

III.3.1. Funkcija raspodele verovatnoće Prema teoriji verovatnoće, zakon verovatnoće slučajne veličine karakterišu:

− funkcija raspodele verovatnoće, − funkcija gustine verovatnoće i − momenti.

Funkcija raspodele verovatnoće (integralni zakon verovatnoće) slučajne vrednosti veličine, xi, jeste verovat-noća pojavljivanja slučajne veličine X koja je manja od xi, odnosno

∑<

=<=ixXi

ip,

ii )xP(X)F(x (3.15)

Grafik funkcije raspodele verovatnoće može imati oblik koji je prikazan sl. 3.11. To je monotono rastuća funkcija sa graničnim vrednostima F(−∝)=0 i F(+∝)=1, ili što rečima iskazano znači da je verovatnoća po-javljivanja svih vrednosti X<−∝ jednaka nuli, a verovatnoća pojavljivanja svih vrednosti X<+∝ jednaka jedinici, što je i priodno logičan zaključak.

Verovatnoća da se slučajna veličina X nađe u intervalu ∆x jeste razlika vrednosti funkcije raspodele verovatnoća F(xi) i F(xi+∆x), odnosno

F(xi+∆x) − F(xi) = P(xi<X<x+∆x)=P(X<xi+∆x) − P(X<xi) (3.16) i predstavlja diferencijal verovatnoće čija je vrednost brojno jednaka površini ispod funkcije F(xi) na intervalu ∆x. S druge strane ova površina se može dobiti kao proizvod određenog pa-rametra verovatnoće p(x) i intervala ∆x, tj.

0

Sl. 3.11. Funkcija rapodele verovatnoće

xi

F(xi+∆x)

F(xi)

xi xi+∆x

F(xi)


74

P(xi<X<xi+∆x) = ∆P=p(xi)∆x. (3.17) Prema tome parametar p(xi) određen je odnosom razlike verovatnoća date relacijom (3.15) i intervala ∆x , od-nosno

xP

xxxXxPxp ii

i ∆∆

=∆

∆+<<=

)()( (3.18)

i naziva se gustina raspodele verovatnoće slučajne diskretne veličine X. Ako je poznata funkcija p(xi) i ∆x ≅ dx, onda prema relaciji (3.15) za diskretne slučajne promenljive funkciju raspodele ima sledeći oblik

∫∞−

≅<=x

ii dxxpxXPxF )()()( . (3.19)

Prema tome, za kontinualne slučajne veličine gustina raspodele verovatnoće prema relaciji (3.18) može se napisati u diferencijalnom obliku kao

).(')()(lim)(0

xFdx

xdFx

xxXxPxpx

==∆

∆+<<=

→∆ (3.20)

Implikacija relacije (3.20) je da se funkcija raspodele verovatnoće dobija integracijom gustine raspodele verovatnoće p(x) po slučajnoj promenljivoj x, odnosno

∫∞−

=x

dxxpxF )()( . (3.21)

Iz relacije (3.21) sledi da je verovatnoća slučajne veličine za besko-načne granice integrala jednaka jedinici, odnosno

.1)()( ==+∞ ∫+∞

∞−

dxxpF (3.22)

Za poznatu funkciju gustine raspodele verovatnoće p(x) može se odrediti kolika je verovatnoća da će se slučajna veličina X naći u intervalu x1<X<x2 rešavanjem određenog integrala iz relacije (3.21)

dxxpdxxpdxxpxFxFxXxPx

x

xx

∫∫∫ =−=−=<<∞−∞−

2

1

12

)()()()()()( 1221

(3.23) Grafik funkcije gustine raspodele verovatnoće slučajne veličine p(x), čiji je oblik prikazan sl.3.12, dobija se

diferenciranjem funkcije raspodele verovatnoće F(x). Osenčana površina na grafiku brojno je jednaka verovatnoći koja je određena relacijom (3.23) i poznata je pod nazivom kvantil.

III.3.2. Momenti raspodele verovatnoće

Sledeće osobine raspodele verovatnoće u vezi su sa trendom raspodele (distribucije) vrednosti slučajne veličine, odnosno njihovih verovatnoća pojavljivanja. Te osobine poznate su kao numeričke (brojčane) karakteristike slučajnih veličina. Polazeći od analogija momenata kao dejstva sila u odnosu na tačke oslonca napadnutog tela u mehanici, u teoriji verovatnoće su za opisivanje očekivanih tendencija verovatnoće pojave slučajnih veličina uvedeni slični pojmovi, kao što su momenti.

Imajući u vidu činjenicu da prikazana populacija u koordinatnom sistemu ima centar raspodele verovatnoća, uvedeni su momenti u odnosu na koordinatni početak i momenti u odnosu na centar raspodele. U literaturi su različiti nazivi ovih momenata, pa se tako, na primer, u ruskoj literaturi sreću nazivi početni i centralni momenti, a u američkoj necentrirani i centrirani momenti. Definicije momenata su u vezi sa statističkim veličinom, poznate pod nazivom mate-matičko očekivanje, ili matematička nada.

Matematičko očekivanje diskretnih slučajnih veličina, mx, je po definiciji aritmetička sredina populacije pos-matranih uzoraka xi, dato relacijom

∑∑==

===n

iii

n

iiix pxxm

Nxm

11

1 , (3.24)

pod uslovom da je red označen sumom apsolutno konvergentan, odnosno

∑∞

=

∞<1i

ii px .

Simboli u relaciji (3.24) označavaju: n - broj različitih vrednosti slučajnih veličina, N - ukupan broj slučajnih veličina, mi - broj pojedinačnih istih vrednosti slučajnih veličina xi. pi - verovatnoća pojavljivanja slučajne veličine xi.

Sl. 3.12. Funkcija gustine rapodele verovatnoće

p(x)

x0 x1 x2


75

Matematičko očekivanje prvog reda, dato relacijom (3.24), je slučajna veličina sa najvećom verovatnoćom i zato predstavlja centar raspodele slučajnih veličina. Polazeći od matematičkog očekivanja prvog reda, definisani su necen-trirani i centrirani momenti višeg reda, označeni sa αk i µk, respektivno. Necentrirani moment k-tog reda, αk, je matematičko očekivanje slučajne veličine X k, koji je simbolički prikazan relacijom αk=M[Xk], k=1,2,3,... (3.25) Odavde sledi da je necentrirani moment prvog reda matematičko očekivanje

α1=M[X]=a, (3.26) jer se vrednost veličine X uzima u odnosu na kordinatni početak, odnosno za X= 0. Centrirani moment k-tog reda, µk, je matematičko očekivanje k-tog reda u odnosu na centar raspodele a, od-nosno µk=M[(X-a)k], (3.27) ili prema relaciji (3.24), za diskretne veličine je

in

i

kik paxµ ∑ −=

=1)( . (3.28)

Centrirani moment reda k za kontinualne slučajne veličine je, prema tome

∫+∞

∞−

−= dxxpax kk )()(µ . (3.29)

Očigledno je prema relacijama (3.28) i (3.29) da je centrirani moment prvog reda, za k=1, jednak nuli, što poka-zuje da je najveća verovatnoća za slučajnu veličinu upravo njena aritmetička sredina. Centrirani moment drugog reda, za k=2, naziva se disperzija posmatrane slučajne veličine, D[X] i definiše se kao µ2=M[(X-a)2]=D[X], odnosno za diskretne veličine je

[ ] in

ii paxXD ∑ −=

=1

2)( , (3.31)

ili za konrtinualne veličine

[ ] ∫+∞

∞−

−= dxxpaxXD )()( 2 . (3.32)

Pored naziva disperzija, centrirani moment drugog reda često ima naziv i varijansa ili varijacija. Disperzija je mera rasipanja slučajnih veličina u odnosu na centar raspodele, odnosno njene najverovartnije vrednosti. U teoriji verovatnoće se iz praktičnih razloga disperzija označava simbolom σ2, kako bi se za vrednost σ koristila ista jedinica mere kao i za slučajnu veličinu. U tom slučaju se kao mera rasejavanja uvodi pojam srednjekvadratno odstupanje koje je jednako kvadratnom korenu iz disperzije, odnosno za diskretne slučajne promenljive je

.)(D[X]1

2i

ii pax∑

∞

=

−==σ (3.33)

Za detaljnije opisivanje osobina raspodele verovatnoće slučajne veličine koriste se momenti višeg reda, uglav-nom do k=4. Momenti trećeg reda (k=3) koriste se za ocenu stepena asimetrije simetričnih raspodela gustina verovat-noće raspodele prema koeficijentu definisanog odnosom Sk=µ3/σ 3, a momenti četvrtog reda (k=4) za ocenu ekscesa takvih raspodela primenom odnosa Ek=µ4 /σ 4−3. Dijagrami asimetrije i eksesa prikazani su na sl. 3.13.

x x

f(x)

Sk= 0

Sk> 0

Sk< 0

f(x)

Ex= 0

Ex> 0

Ex< 0

(a) (b)

Sl. 3.13. Ilustracija: asimetrije (a) i ekscesa (b) funkcije gustine raspodele


76

III.3.3 Statistika rezultata merenja U procesu merenja, prikupljanje niza ponovljenih rezultata merenja može se dobiti direktnim očitavanjem iz-

merene vrednosti na odgovarajućem indikatoru, ili indirektno, izračunavanjem konačnog rezultata merenja na osnovu direktno izmerenih veličina koje su u funkcionalnoj zavisnosti sa veličinom koju treba odrediti. Nizovi rezultata mer-enja kod računarskih procesa merenja dobijaju se iz određene baze za prikupljanje i memorisanje mernih podataka.

U statističkim analizama rezultata merenja sa slučajnim greškama podrazumeva se obrada različitih vrsta, karak-tera i obima ispitivanih nizova rezultata merenja, kako zbog različitih vrsta i namena procesa merenja, tako i zbog različitih uslova ostvarivanja i kontrole primenjenih mernih procedura. Prema tome, postoje i različite primenjene statis-tičke metode obrade rezultata merenja za procenu vrednosti pojedinih parametara metrološkog obezbeđenja procesa merenja.

Iako je na sadašnjem stupnju razvoja metrologije postignut ogroman uspeh da se metodologija primene statistike u metrologiji unificira i sistematizuje, još uvek je u brojnoj literaturi širom sveta prisutan različit metodološki pristup, zavisno od funkcionalne i metrološke karakterizacije procesa merenja. Među publikovanim pokušajima na tom planu, čini se da je najviše u tome uspeo Nacionalni institut za standarde i tehnologiju - NIST (National Institute of Standards and Technology-USA) preko nekoliko publikacija, kao što su, na primer, Engineering Statistics Handbook, Uncertainty of Measurement Results, Guidelines for the expression of uncertainty in measurements2 i dr.

U daljem izlaganju teorijske osnove i praktične primene statističkih metoda obrade rezultata merenja imaće se u vidu, pre svega, tipovi nizova mernih podataka, a prema tome i adekvatna primena statističkih kriterijuma i postupaka obrade rezultata merenja za procenu osnovnih metroloških karakteristika procesa merenja.

Nizovi rezultata merenja (broj merenja N >1) mogu biti: -niz višestruko izmerene vrednosti jedne iste veličine, prikazan skupom X= [x1, x2,...xN]; -serija nizova višestruko izmerene vrednosti jedne iste veličine kao podskupovi datog skupa X= [x1, x2,...xN]; -serija nizova višestruko izmerenih različitih vrednosti jedne iste veličine u različitim tačkama mernog opsega

kao skupovi Xi= [xi1, xi2 ,...xiN]; i=1,2,..., K; slučaj u postupku kalibracije merila; -niz dobijenih brojnih vrednosti direktno izmerene veličine (direktno poređenje merene i referentne veličine X i

X0) čiji pojedinačni rezultati ispitivanja mogu sadržati sve moguće vrste grešaka, bilo sistematskog ili slučajnog karak-tera.

-nizovi mernih podataka kao rezultati indirektno izmerenih veličina, koji su dobijeni izračunavanjem veličina koje se mere Xj (j=1, 2,...,Q) na bazi funkcionalne zavisnosti sa veličinom Yj=f(Xj) koja se direktno porede sa referent-nom veličinom Y0j).

-nizovi mernih podataka kao rezultati direktno ili indirektno izmerene veličine u postupku ispitivanja uticajne veličine ξi ;

- nizovi rezultata merenja merenja dobijenih iz većeg broja laboratorija kod komparacije standarda na širem me-đunarodnom planu, itd.

Kod direktnih merenja procenjene statističke vrednosti parametara su konačne i direktno su primenjene na dobi-jeni rezultat merenja. Kod indirektnih merenja svaka od merenih vrednosti se podvrgava statističkoj analizi, a zatim se naknadnim računskim putem utvrđuje konačna vrednost rezultata merenja prema datoj funkcionalnoj zavisnosti sa predhodno obrađenim pojedinačnim merenim vrednostima. U tom slučaju izlazna veličina Y se ne meri direktno, već se određuje iz N drugih veličina X1, X2, . . . , XN preko funkcionalne jednakosti

Y= f (X1, X2, . . . , XN), (3.34) koja nosi naziv jednačina merenja.

Među veličinama Xi obuhvaćene su korekcije (ili korekcioni faktori) i veličine koje uzimaju u obzir i druge utica-jne izvore, kao što su ispitivači, instrumenti, uzorci, laboratorije i vreme u kome se obavljaju ispitivanja. Ovakvom funkcijom f jednačine (1), koja ne predstavlja samo jedan fizički zakon, već merni proces, posebno treba da se obuhvate sve veličine koje u mernom procesu mogu izrazito da doprinesu ukupnoj nesigurnosti rezultata merenja. Procenjena merena veličina Y, označena sa ŷ, dobija se iz jednačine (3.34) na osnovu ulaznih procena

Nxxxx ˆ...,,ˆ,ˆ,ˆ 321 svake od N vrednosti ulaznih veličina X1, X2, . . . , XN . Otuda je izlazna procena ŷ, koja predstavlja rezultat merenja, data relacijom

)ˆ...,,ˆ,ˆ,ˆ(ˆ 321 Nxxxxfy = . (3.35) Pojedinačne vrednosti u jednom nizu ponovljenih rezultata merenja međusobno će se razlikovati i rasipati oko neke najčešće pojavljivane vrednosti, koja je najpribližnija aritmetičkoj sredini svih dobijenih vrednosti. Kao što je već pokazano, do rasipanja dolazi zbog prisustva grešaka slučajnog karaktera koje se, u odnosu na srednju vrednost, nepredvidivo menjaju i po vrednosti i po znaku. Ako su pojedinačni rezultati merenja dobijeni pod istim uslovima, onda nijedan od njih nema prednosti u odnosu nad drugim, tako da se svi moraju ravnopravno tretirati. Aritmetička sredina N rezultata merenja xi, i=1,2,3,...,N, kao najverovatnija vrednost merene veličine, određuje se relacijom

∑=

=+++++

=N

ii

Ni xNN

xxxxx1

21 1...... . (3.36)

2 Videti sajt: www.nist. gov


77

Iako je izračunata aritmetička sredina najverovatniji rezultat merenja, pitanje je sa kojom verovatnoćom je ova vrednost u posmatranom uzorku i najpribližnija pravoj vrednosti merene veličine. Tako određena aritmetička sredina nema jednu vrednost, već interval sa graničnim vrednostima u kome se sa datom verovatnoćom nalazi procenjena arit-metička sredina. U tom slučaju se sa zadatom verovatnoćom procenjuju granice intervala aritmetičke sredine. Prema tome, osnovni zadatak statističke analize i obrade višestruko ponovljenih rezultata merenja da se izvrši:

procena prave vrednosti merene veličine, procena parametra disperzije merene veličine, procena intervala poverenja prave vrednosti i disperzije i procena merne nesigurnosti rezultata merenja.

Stepen ili mera nesaglasnosti između ostvarenog rezultata merenja i prave (ciljane ili referentne) vrednosti, u statistici se definiše preko kvantitativnog pojma "necentriranost" koji predstavlja odstupanje srednje vrednosti rezultata merenja na uzorku od njegove prave vrednosti (engleski: unbiased; ruski: несмещение). Kako u srpskom jeziku nema adekvatnog termina kojim bi se ovaj pojam predstavio u duhu datih stranih termina, to se značenje ovog pojma može opisno dati. Prema tome, necentrirana procena pokazuje da statistička srednja vrednost ispitivanog uzorka najverovat-nije nije blizu prave vrednosti, dok centriranost znači da ne postoji odstupanje date procene od prave vrednosti. Na primeru gađanja u metu na sl. 3.14. ilustrovan je pojam "centriranosti i necentriranosti" sa stanovišta statističke raspo-dele pogodaka u odnosu na centar kružne mete. Procena tačnosti gađanja biće centrirana ako je aritmetička sredina po-godaka u okolini centra mete, a ako su pogodci na određenoj udaljenosti od centra mete, procena će biti necentrirana. Kao što će kasnije biti prikazano, ovaj pojam je od značaja kada se procenjuju parametri normalnog zakona raspodele verovatnoće slučajne greške, jer predstavlja jedan od uslova, odnosno kriterijuma, u kojoj meri je primenjena procena statistički prihvatljiva.

Na primer, ako se neko merilo na određeni način overava u laboratoriji gde se koristi, a zatim se isti takav test ost-vari u nekoj referentnoj laboratoriji onda se "necentriranost" u proceni pojavljuje kao razlika (uglavnom nepoznata) između laboratorijski usrednjene vrednosti pokazivanja (tokom vremena) testiranog merila i srednje vrednosti koja bi se dobila istim postupkom overe u referentnoj laboratoriji. U praktičnim primenama, pojam "centriranost" kao kriterijum koristi se u sledećim slučajevima:

1. Kalibracija standarda i/ili instrumenata u metrološkoj laboratoriji, gde je vrednost koja se dodeljuje stan-

dardu korisnika, zasnovana na komparacijama sa laboratorijskim referentnim standardima; 2. Overa standarda, gde se preporučuje obavezna rekalibracija standarda ili instrumenata kod kojih je došlo do

odstupanja od propisanih kontrolnih granica u dokumentaciji merila; 3. Metrološko obezbeđenje programa, gde referentna laboratorija ili druga kvalifikovana agencija ustupa koris-

nicima svoja merila, kao "lažni" uzorak, sa kojima se vrše merenja u uslovima u kojima ih korisnik koristi; 4. Međulaboratorijska komparacija, gde referentni standardi ili materijali cirkulišu u više laboratoraja.

Postupci za dobijanje statističkih procena i parametara za određivanje njihovog kvaliteta zavise, pre svega, od primenjenog zakona raspodele verovatnoće na konačni niz rezultata merenja, kao statističkog uzorka. Statistički uzorci okarakterisani su sa dva značajna parametra: centar raspodele (ili najreprezentativnija vrednost) i disperzija (rasipanje oko centra raspodele).

Osnovni zadatak u svakom kvantitativnom eksperimentalnom ispitivanju je da se do-bije centrirana procena prave vrednosti i disperzije, a u konačnosti i pravilna procena inter-vala poverenja, odnosno merne nesigurnosti. Temeljne statističke procene osnovnih parametara raspodele slučajne veličine ispiti-vanog uzorka, koji pripada određenoj populaciji, prihvatljive su samo ako ispunjavaju tri osnovna kriterijuma, a što se dokazuje primenom metode momenata, a to su: osnovanost (konzistentnost), centriranost i efektivnost. Osnovanost procene zasniva se na Gausovoj teoriji3 grešaka, kojom su postavljene temeljne zakonitosti o prirodi i uticaju slučajnih grešaka merenja. Polazeći od empirijskih postavljenih aksioma, koji su kasnije mnogo puta i eksperimentalno potvrđeni, da je u ve-likom broju N ponovljenih rezultata merenja xi neke veličine X ,

1. pojava slučajnih grešaka istih vrednosti, a suprotnih znaka, jednako verovatna, 3 Nema~ki matemati~ar Karl Friedrich Gauss, 1777-1855

Rezultati pogodaka su necentrirani u odnosu na cilj

Rezultati pogodaka su centrirani u odnosu na cilj

Sl. 3.14. Prikaz kvalitativnih pojmova: centriranost i necentriranost

Cilj

3)Karl Friedrich Gauss, 1777-1855


78

2. verovatnoća pojavljivanja malih grešaka veća od verovatnoće pojavljivanja velikih grešaka, iz kojih proističe stav da je

XxN

N

iiN

→∑=

∞→1

1lim . (3.36)

Drugim rečima, osnovanost procene je potvrđena ako srednja vrednost niza rezultata merenja (matematičko oče-kivanje, odnosno moment prvog reda), relacija (3.36), predstavlja najverovatniju vrednost procenjivane veličine X.

Centriranost procene, kao što je već napred istaknuto, jeste ostvarena ukoliko je matematičko očekivanje dobi-

jene procene određenog parametra jednako pravoj vrednosti parametra koji se procenjuje, odnosno M[û]=u, gde je, u opštem slučaju, u - prava vrednost procenjivanog parametra, a û procena tog parametra.

Na primer, kako je srednja vrednost rezultata merenja veličine X određena iz ograničenog broja rezultata mer-enja kao uzorka cele populacije, xx =ˆ , to je i procenjena srednja vrednost svakog uzorka ix , takođe, slučajna veličina. Prema tome, procena je centrirana, ako je ispunjen uslov da je [ ] xxM =ˆ . Prema relaciji (3.28), matematičko očekivanje procenjene srednje vrednosti, kao slučajne veličine, izračunava se kao

[ ] [ ] [ ] [ ] xXMXMN

xMN

xN

MxMN

i

N

ii

N

ii ====

= ∑∑∑

=== 111

111ˆ , (3.37)

čime je, očigledno, potvređen stav o centriranosti procene. Prema tome, za N≥1 aritmetička sredina sa stanovišta sta-tistike postaje centrirana procena prave vrednosti merene veličine X. Efektivnost, kao kriterijum, ispunjava takva procena nekog parametra u koja ima najmanju disperziju, odnosno minimalnu vrednost momenta drugog reda, D[û]=min. Pokazuje se da takav uslov ispunjava procenjena aritmetička sredina uzorka x , ako je

( ) .minˆ2

1

=−∑=

N

ii ax , (3.38)

gde je a - pretpostavljena najverovatnija vrednost merene veličine. Za date vrednosti niza ix , minimalna vrednost izraza (3.38), kao ekstremna vrednost funkcije, dobija se izjednačavanjem njenog prvog izvoda sa nulom, t.j.

( ) .Naxaxa

N

ii

N

ii ∑∑

==

=+−=

−

∂∂

1

2

1

02ˆ2ˆ

Kako je drugi izvod po a, relacije (3.38), N>0, to ekstremna vrednost ove funkcije ima minimum za vrednost

xxN

xMN

xN

aN

i

N

i

M

jj

N

ii ==

== ∑ ∑∑∑

= === 1 111

111ˆ1 , (3.39)

čime je potvrđeno da je aritmetička sredina uzorka populacije xi zaista najverovatnija vrednost rezultata merenja, tj. X→a. Ova pretpostavka poslužila je Gauss-u pri utemeljenju svoje teorije grešaka uzimajući ovaj stav za aksiom. Zbog datog oblika, relacija (3.38) dobila je naziv "metoda najmanjih kvadrata", kao fundamentalna metoda u fitovanju (usaglašavanju) statističkih podataka sa predpostavljenim polinomom. Statističke procene parametara mogu se dobiti na bazi poznavanja parametara funkcije raspodele verovatnoće pojavljivanja slučajnih veličina. Kako se u praktičnim primenama koristi ograničeni broj ispitivanih rezultata merenja, to je neophodno utvrditi odgovarajuće zakonitosti raspodele verovatnoće takvih uizoraka u kojima Gausovi aksiomi predstavljaju poseban slučaj raspodele kada se radi o neograničenom broju ponovljenih ispitivanih slučajnih veličina, konkretno slučajnih grešaka. III.4. Tipične raspodele slučajnih veličina

Osobine i parametri raspodele definisane su za kontinualne slučajne veličine, čija se pravila, pod određenim us-lovima, uspešno primenjuju i na diskretne slučajne veličine. Kontinualna slučajna veličina može biti i bilo koji pa-rametar električnog signala, koji predstavlja slučajnu promenu vrednosti u vremenu označene kao X(xi, t). Kontinualna slučajna promenljiva može da realizuje bezbroj vrednosti (tačke, brojevi) pravih linija u nekom konačnom intervalu. Elementarni događaji analognog slučajnog procesa X(xi, t) su n različite realizacije u n sličnih procedura. U tom slučaju se radi o analognom stohastičkom procesu koji postaje slučajna promenljiva X(xi), gde su elementarni događaji reali-zacije trenutnih vrednosti xi u jednom vremenskom trenutku t, ili vrednost signala u slučajno odabranim vremenskim trenutcima x(ti). Otuda kod signala u ergodičnim procesima i vreme kao slučajni parametar znači isto što i očekivane vrednosti ostalih parametara signala. U teoriji slučajnih procesa analiziraju se statistički parametri slučajnih stacionarnih i ergodičnih signala u vremenskom i frekventnom domenu poznati kao korelacija, regresija, spektralna gustina snage signala, itd.


79

III.4.1 Ravnomerna (pravougaona) raspodela. Slučajna veličina X pokorava se ravnomernoj raspodeli na intervalu

x1<x<x2 ako su sve njene moguće vrednosti na tom intervalu i ako je gustina raspodele verovatnoće njihovih pojavljivanja konstantna veličina, kao što je prikazano na sl.3.15a. Iz relacije (3.19) sledi da je

.1)()()( 12

2

1

=−== ∫∫+∞

∞−

xxAdxxpdxxpx

x

tako da vrednost konstante A iznosi

12

1xx

A−

= ,

odakle se dobija opšti oblik funkcije gustine raspodele verovatnoće

+∞<≤

<≤−

<<∞−

=

xx

xxxxx

xx

xp

2

2112

1

;0

;1;0

)( (3.40)

gde su x1 i x2 konstantne granične vrednosti. Integracijom funkcije date relacijom (3.40) dobija se izraz za funkciju raspodele verovatnoće u obliku

+∞<≤

<≤−−

<<∞−

=

xx

xxxxxxx

xx

xF

2

2112

1

1

;0

;

;0

)( (3.41)

čiji je grafik prikazan na sl.3.15b. Isto tako, dobijaju se izrazi za matematičko očekivanje a=M[x] i disperziju D[x], odnosno srednjekvadratno od-

stupanje σ2, respektivno

2

]M[ 21 xxXa +== (3.42)

12

]D[2

122 )x(xXσ −== . (3.43)

Među primerima ravnomerne raspodele verovatnoća slučajnih veličina mogu biti i greške kod zaokruživanja bro-jeva. Ako su sve tablične vrednosti neke funkcije zaokružene do cifre jedne iste težine, na primer, 10-m, onda nasumce odabrana tablična vrednost broja, zbog zaokruživanja, sadrži grešku slučajnog karaktera čija je raspodela verovatnoće ravnomerna u intervalu −ε <x<+ε, gde je ε =0,5⋅10-m. Praktično, granične vrednosti intervala mogućih sistematskih grešaka podležu ravnomernoj raspodeli verovatnoće pojavljivanja, tako da se za procenu njihovih vrednosti, odnosno nesigurnosti, primenjuju statističke metode obrade rezultata merenja. Drugi karakteristični primer je merenje vremenskih intervala tx brojanjem jediničnih vrednosti vremena t0. Disk-retna greška ±t0 , kao sistematska greška brojačkih metoda merenja, ima slučajni karakter sa raspodelom verovatnoće njenog pojavljivanja koja je ravnomerna. Najverovatnija vrednost, ili matematičko očekivanje greške, prema relaciji (3.39), iznosi 0.5t0. Diskretna greška ± t0, kao sistematska greška brojačkih metoda merenja, ima slučajni karakter sa raspodelom verovatnoće njenog pojavljivanja koja je ravnomerna. Praktično, granične vrednosti intervala mogućih sis-tematskih grešaka podležu ravnomernoj raspodeli verovatnoće pojavljivanja, tako da se za procenu njihovih vrednosti, odnosno nesigurnosti, primenjuju statističke metode obrade rezultata merenja. Često se kod intervalne raspodele verovatnoće primenjuju i trouglaste raspodele, kojima se mogu pouzdanije proceniti nesigurnosti rasipanja rezultata merenja oko najverovatnije vrednosti. III.4.2 Normalna (Gausova) raspodela slučajne veličine.

Poreklo slučajnih grešaka u rezultatu merenja očito je rezultat mnogobrojnih međusobno nezavisnih nepredvidi-vih spoljnih faktora. Svaki od ovih uticaja u obliku elementarne greške merenja, makar i neznatno, doprinosi određenoj varijaciji rezultata merenja. Otuda ukupnu slučajnu grešku pojedinačnog merenja čini suma svih mogućih elemen-tarnioh grešaka kao posebne populacije slučajnih veličina.

Primenom teorije velikih brojeva u statistici, gde se podrazumeva da je broj elemetarnih grešaka neograničen i da je njihov pojedinačni uticaj na formiranje ukupne pojedinačne greške vrlo mali, a na osnovu Centralne granične teo-reme Ljapunova, pokazano je da se realna greška merenja više ili manje pokorava normalnom (standardnom) zakonu raspodele verovatnoće slučajnih veličina.

p(x)A

x2 x1 x

Sl. 3.15. (a) Gustina raspodele (b) Raspodela verovatnoće

1

x2 x1 x

F(x)0

0

(a)

(b)


80

Analitički oblik normalnog zakona raspodele gustine verovatnoće pojavljivanja kontinualne slučajne veličine f(x), poznat i kao Gausova raspodela, dat je relacijom

2

2

21)(

x

exf−

=π

za -∞ < x < +∞. (3.44)

Vrednost koeficijenta 1/ π2 određena je iz uslova da je verovatnoća slučajne veličine x u intervalu od -∞ < x < +∞ jednaka jedinici, odnosno

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−== 2)( 2

2

πdxedxxfx

(3.45)

Funkcija gustine normalne raspodele verovatnoće prikazana je na sl. 3.16a. Kao što se vidi ova funkcija je simet-rična u odnosu na centar raspodele za x=0, sa maksimumom 1/ π2 ≈0,4 i sa dve prevojne tačke za x = ±1. Za granične vrednosti slučajne promenljive x→±∝ kriva raspodele asimtotski se vrlo brzo približava x-osi; na primer za x=3, f(3)=0,0044, a već za x=4, vrednost f(4)=0,00013. Integral funkcije gustine raspodele verovatnoće spada u klasu nesvojstvenih integrala, tako da se za određivanje verovatnoće koristi tablica verovatnoće slučajne veličina sa normalnom raspodelom, kao specijalne funkcije oblika

∫−

=t x

dxet0

2

2

22 ,π

)Φ( (3.46)

koji je u literaturi poznat pod nazivom integral verovatnoće. Grafik integrala verovatnoće kao funkcije verovatnoće slučajne promenljive prikazan je na sl.3.16b. Numeričke vrednosti ovog integrala za vrednosti argumenta t = 0-3 date su u Tabeli 2 u Prilogu. Kako je grafik funkcije integrala normalne raspodele verovatnoće neparna funkcija, odnosno Φ(-t) = -Φ(t), dovoljno je tablično dati vrednosti samo za pozitivne vrednosti x. Koristeći funkciju integrala verovatnoće, može se izračunati vrednost verovatnoće da se slučajna veličina X nađe u intervalu x1<X<x2, odnosno,

( ) [ ])Φ()Φ(21

21

21)( 12

2221

12

22

2

1

xxdxedxedxxfxXxPx xx xx

x

−=−==<< ∫∫∫∞−

−

∞−

−

ππ (3.47)

Kako je najčešće dati interval simetričan u odnosu na vrednost nula, tj. (-t, + t), onda se prema relaciji (3.44) dobija da je verovatnoća takvog intervala P(-t < X < +t)= 0.5 [Φ(t)-Φ(-t)]=Φ(t). (3.48) Relacija (3.47) ukazuje na značaj Gausovog integrala primenjen za izračunavanje verovatnoće neprekidne sluča-jne veličine t>0, pošto funkcija Φ(t) predstavlja verovatnoću položaja slučajne promenljive X koja se pokorava normal-noj raspodeli verovatnoće pojavljivanja u simetričnom intervalu (-t, +t).

Matematičko očekivanje funkcije normalne raspodele verovatnoće M[X], prema relaciji (3.29), jednako je nuli, tj. M[x]=0, jer je za x > 0

[ ] 0lim22

22

21 2

0

22

222

∫∫∫∞−

−

→∞

+∞−

+∞

∞−

−====

N x

N

xx

dxxedxxedxxexMπππ

(3.49)

i predstavlja centar raspodele. Centralni moment drugog reda, ili disperzija, prema relaciji (3.32), jednak je jedinici, tj. D [x]=1, jer je za x > 0

( )

.12142

222

21][

23

0

2222

22

==== ∫ ∫+∞

∞−

+∞−− π

πππdxexdxexxD

xx

(3.49)

Standardna normalna raspodela verovatnoće slučajne veličine x često se označava simbolički kao N(0,1), čime se naglašava da je za datu raspodelu matematičko očekivanje mx=0 i disperzija D[x]=σ2(x)=1. Međutim, u statističkoj te-oriji grešaka od značaja je necentrirani moment koji predstavlja matematičko očekivanje, odnosno najverovatniju vred-nost slučajne veličine. U relaciji (3.30) umesto vrednosti x koristi se relativni odnos (x-a)/σ, tako da je funkcija gustine normalne (Gausove) raspodele verovatnoće data relacijom.


81

,2

1)(

2

21

−−

= σ

πσϕ

ax

ex (3.50)

gde je M[x]=a i D[x]=σ.2 Na sl. 3.16a,b prikazani su dijagrami normalne raspodele N(0; σ) za različite vrednosti σ, odnosno za tri karak-

teristične vrednosti: σ=[0,5; 1,0; 2,0]. Time je jasno pokazan značaj vrednosti srednjekvadratnog odstupanja na verovatnoću pojavljivanja, odnosno rasipanja slučajnih veličina u odnosu na centar raspodele a = 0. Jer, što je manja vrednost σ, to je i rasipanje slučajnih vrednosti oko centra raspodele manje, i obrnuto; parametar σ nosi nazive kao što su standardno odstupanje ili standard (ili jednostavno samo "sigma").

Ukoliko centar raspodele nije nula, tj. a ≠ 0, onda su dijagrami oblika sa sl. 3.16. simetrično postavljeni u odnosu na vrednost matematičkog očekivanja M[X]=a, kao što je prikazano na sl. 3.17. Prema tome, parametri (a; σ) normalne raspodele karakterišu centar raspodele i rasipanje, odnosno disperziju slučajnih veličina. Isto tako, svaka slučajna veličina, koja se pokorava normalnom zakonu raspodele verovatnoće N(a; σ ) može se predstaviti kao linearna funkcija slučajne veličine X0 sa Gausovom raspodelom, odnosno X=a+σ X0.

Na osnovu relacije (3.50), lako se pokazuje da za funkcije gustine raspodele N(0, 1) i N(a, σ), važi relacija ϕ0;σ(x)= ϕa;σ (t),

gde je t=(x-a)/σ - normalizovana slučajna veličina. Uvođenjem normalizovane vrednosti t preko poznatih vrednosti a i σ omogućuje se određivanje vrednosti

Gausovog integrala iz Tabele 2 u Prilogu i za brojne vrednosti slučajne veličine x koje su veće od vrednosti datih u ovoj tabeli.

Primenom relacije (3.34), pokazuje se da verovatnoća rasipanja slučajnih veličina u odnosu na centar raspodele a za vrednost tσ, odnosno verovatnoća da će se slučajna veličina naći u intervalu a−tσ <X< a+tσ, iznosi

( ) ( ) )Φ(PP ttaXtaXta =<−=+<<− σσσ , čime se ukazauje na značaj standardne devijacije σ kao karakterističnog parametra normalne raspodele slučajne veličine. Tako, na primer, verovatnoća intervala P(a-3σ <X<a+3σ), prema Tabeli 1 u Prilogu, iznosi Φ(3)=0,9973. S druge strane, verovatnoća da će se slučajna veličina naći izvan intervala ±3σ iznosi praktično 0,003, odnosno 3‰. U teorijskoj statistici, ovaj primer poznat je pod nazivom "zakon tri sigma".

Zakon normalne raspodele ima fundamentalni značaj u teoriji obrade rezultata merenja. Centralna granična teo-rema potvrđuje da se zakon raspodele sumarne greške merenja približava normalnoj raspodeli uvek kada se rezultati posmatranja formiraju pod uticajem velikog broja nezavisnih uticaja slučajnih komponenti, gde svaka od njih ima neznatni doprinos vrednosti konačne sumarne greške. Prema tome, normalni zakon dozvoljava da se primeni čak i onda

ϕa;σ(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

0,2

0,4

ϕ0;σ(x)

σ = 0,5

σ = 2

σ = 1

0,8

Sl. 3.17. Dijagrami normalne raspodele N(0; σ) i N(a; σ) za različite vrednosti σ

x

0,2

0,4 σ = 0,5

σ = 2

σ = 1

0,8

a

-3 -2 -1 0 1 2 3

t

Φ(t) f(x)

-1

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

0,4

(a) (b)

Sl. 3.16. Grafici funkcija normalne raspodele: (a) gustine verovatnoće (b) integrala verovatnoće

-3 -2 -1 0 1 2 3


82

kada je zakonitost dejstva neizvestan, jer što je manji intervala poverenja to je zakon raspodele sve približniji normal-noj raspodeli.

Ovde treba pomenuti bez dokazivanja još dve važne osobine normalne raspodele: 1. Svaka linearna zavisnost slučajne promenljive pokorava se normalnom zakonu raspodele. Bliže iskazano, ako

se slučajna veličina X pokorava normalnoj raspodeli N(a; σ), onda će i raspodela linearne funkcije Y=Y0+bX biti nor-malna sa matematičkim očekivanjem Y0+ba i standardnim odstupanjem |b|σ.

2. Suma dve nezavisne veličine sa normalnom raspodelom takođe ima normalnu raspodelu, odnosno ako nezav-isne slučajne veličine X1 i X2 imaju normalnu raspodelu, respektivno N(a1; σ1) i N(a2; σ2), to će njihov zbir Y=X1+X2 takođe imati normalnu raspodelu sa parametrima N(a1+a2; 2

221 σσ + ). Ova osobina može se generalisati za n nezavisnih

veličina, kao posledica predhodne osobine: Svaka linearna kombinacija nezavisnih veličina sa normalnom raspodelom isto tako pokorava se normalnoj raspodeli. To znači da ako su nezavisne slučajne veličine Xk sa normalnom raspodelom N(ak;σk) za k=1,2,3,...n, onda je i veličina

Y=b1X1+b2X2+b3X3+...+ bnXn sa normalnom raspodelom čiji su parametri

( ) .;; 2

11

= ∑∑

==i

n

iii

n

iiee babNaN σσ (3.51)

Ovaj stav proizilazi neposredno iz predhodno navedenih osobina normalne raspodele. U slučaju da sve (nezav-isne) slučajne veličine Xk imaju normalne raspodele sa istim parametrima N(a; σ), onda njihov zbir ima normalnu raspodelu sa parametrima na i n/σ . Odavde sledi da se aritmetička sredina takvih slučajnih veličina pokorava nor-

malnoj raspodeli sa parametrima N(a; n/σ ), odnosno sa istim matematičkim očekivanjem kao i svaka nezavisna slučajna veličina, dok je standarno odstupanje aritmetičke sredine n puta manje od standarnog odstupanja pojedi-načne slučajne veličine Xk.

III.4.3 χ2 ("Hi-kvadrat") - raspodela slučajne veličine. Raspodela sučajne veličine χk

2 (hi-kvadrat) sa k stepena slobode jeste suma kvadrata k nezavisnih slučajnih veličina

X=X12+ X2

2+ X32+...+Xn

2= χk2, (3.52)

gde su X1, X2,...Xn nezavisne slučajne veličine od kojih svaka podleže normalnoj raspodeli N(0;1). Funkcija gustine raspodele verovatnoće, χk

2=∑Xk2, zavisi samo od broja k=N-1 i data je relacijom

≤

>=

−−

,0;0

;0;)2/Γ(2),( 2/

2/12/

X

Xk

eXkXf k

Xk

(3.53)

gde je Γ-Ojlerova gama funkcija ∫∞

−−=0

1)Γ( dxexp xp .

Matematičko očekivanje i disperzija su, respektivno, M[X]=k i σ2[X]=2k. Oblik funkcije gustine verovatnoće f(χk

2), za tri vrednosti stepena slobode (k=2; 4; 10), prikazan je na sl. 3.18. Vrednosti parametra χ2 za verovatnoću P i broj stepeni slobode k=N-1 dati su u Tabeli 3 u Prilogu.

Bitna karakteristika hi-kvadrat raspodele, kao posebnog slučaja gama-raspodele, jeste da je asimetrična i da se sa pove-ćanjem broja stepeni slobode transformiše u seriju poznatih raspodela, počev od raspodela Releja, Puasona, Maksvela, Pir-sona i dr. pa do asimptotskog približavanja normalnoj raspo-deli, kada se broj stepeni slobode znatnije povećava. Međutim, sa povećanjem broja stepeni slobode, maksimum funk-cije gustine raspodele verovatnoće opada. Karakter svake od ovih raspodela u vezi je sa verovatnostnim osobinama posmatranih slučajnih događaja, odnosno slučajnih veličina.

f(χk2)

Sl. 3.18. Dijagram gustine raspodele χk2 za k=2,4,10

0,2

0,5 k=2

k=10 k=4

0 4 8 12 16 18

χk 2


83

III.4.4 Studentova4 t-raspodela slučajne veličine. Studentovom t-raspodelom naziva se raspodela odnosa

k

Xt kk

2χ= , (3.54)

gde je veličina X sa normalnom raspodelom N(0;1) i sa funkcijom gustine raspodele ϕ0;1(x). Funkcija gustine raspodele slučajne veličine t, čiji je broj stepena slobode k=n-1, ima oblik

21

21

2Γ

21Γ

1)(

+−

+

+

=

k

k kt

k

k

ktf

π; -∞<tk<+∞ (3.55)

gde je Γ(p) - Ojlerova gama-funkcija ∫∞

−−=0

1 dxexp xp)Γ( .

Matematičko očekivanje i disperzija date raspodele su: [ ][ ] .3za;

2

;2za;0

2 ≥−

=

≥=

kk

kX

kXM

σ (3.56)

Funkcija gustine raspodele (3.55) je unimodalna, monotona i simetrična. Grafik funkcije je sličan grafiku funk-cije gustine normalne raspodele, ali zavisi od broja stepeni slobode, kao što je prikazano na sl.3.19.

Sa povećanjem broja stepeni slobode Studentova raspodela se asimptotski približava normalnoj raspodeli. Vred-nosti kvantila daju se tablično za vrednosti k, odnosno tk i verovatnoće P. Ova raspodela je od značaja u primenama statističke obrade rezultata merenja, posebno kada je u pitanju procena najverovatnije vrednosti rezultata merenja a, na bazi manjeg broja ponovljenih rezultata merenja i kada nije poznata vrednost disperzije, odnosno srednjekvadratnog odstupanja σ2. Vrednosti parametra t za date tipične verovatnoće P i broja stepena slobode k=N-1, prikazani su u Tabeli 4 u Prilogu.

III. 5 Postavka zadatka obrade rezultata merenja Postoje različiti vidovi obrade rezultata merenja, zavisno od njihovog karaktera, zahteva i ciljeva koje treba ost-variti datim mernim postupkom. Kako se u svakom obavljenom merenju neizbežno pojavljuju i slučajne greške, to je neophodna obrada rezultata merenja kao slučajnih veličina ili slučajnih procesa, primenom određenih zakonitosti iz teorije grešaka zasnovane na verovatnoći i matematičkoj statistici. Pod obradom rezultata merenja podrazumevaju se sve aktivnosti tokom i nakon merenja, bilo da je to samo očitavanje, zapisivanje rezultata merenja i njihova specifi-kacija na određeni način, ili analiza čitavih serija ponovljenih rezultata merenja pod različitim postavljenim uslovima i kriterijumima. Neophodnost obrade rezultata merenja može se pojaviti u različitim slučajevima primene procesa merenja, od kojih su interesantna i posebno karakteristična dva slučaja: 1. Ako se, na primer, izvodi direktno merenje neke fizičke veličine, čija je prava vrednost označena simbolom X i pri tom dobijen jedan rezultat x1∈Χ, i=1,2,3,...,N, onda se, osim registracije očitane merene vrednosti, ne primenjuje neki poseban postupak obrade takvog rezultata merenja. Operator u tom slučaju, na bazi datih metroloških karakter-istika mernog pribora, može utvrditi samo granice u kojima se pouzdano nalazi prava vreednost merene fizičke veličine. 4 William S. Gosset, 1908

Sl. 3.19. Dijagrami Studentove raspodele za različite vrednosti k

tk

0,2

f(tk)

k=10

k=2

k=4

0,4

4)William S. Gosset, 1908-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


84

Međutim, ako se pod istim uslovima višestruko (N puta) ponovi postupak merenja date veličine, onda se regis-truje i zapisuje niz rezultata merenja x1, x2, x3,...,xN. Kao što je već rečeno, svaki od dobijenih rezultata merenja, makar i malo, razlikovaće se od prave vrednosti merene veličine u vidu greške merenja, ali će se isto tako pojedinačni rezultati merenja i međusobno razlikovati. Kao prvi zadatak merioca jeste da proceni (ili prosudi) jednu reprezentativnu vred-nost merene veličine. Ova procena, koja bi trebalo da bude najpribližnija pravoj vrednosti merene veličine, može se dobiti samo na bazi primene matematičkih operacija teorije verovatnoće i statistike nad dobijenim nizom rezultata mer-enja koji se tretiraju kao slučajne veličine. Zato je neophodno, pre primene bilo kakvog postupka za procenu, utvrditi kvalitativne kriterijume na osnovu kojih će se odabrati postupak obrade rezultata merenja.

Rezultat merenja, pored brojne vrednosti izmerene veličine, prati dopunska informacija dobijena na bazi višestruko ponovljenog merenja, kojom se bliže procenjuje tačnost merene veličine, odnosno parametri raspodele sluča-jnih grešaka i proveravaju se neke predpostavke (hipoteze) u vezi sa prirodom i osobinama merene veličine.

2. Često je u praksi slučaj da je kvalitativno poznat zakon promene određene električne veličine u zavisnosti od neke uticajne veličine, ali je potrebno uspostaviti i njihovu kvantitativnu relaciju Y=f(X). U tom cilju potrebno je izvršiti istovremeno merenje date električne veličine i vrednosti uticajne veličine onoliko puta koliki je broj nepoznatih pa-rametara koje treba odrediti. Na primer, kvalitativna zavisnost otpornosti termistora od temperature, R(θ), može se aproksimirati linearnom funkcijom oblika

( )[ ]00 1)()( θθαθθ −+= RR , (3.57) gde je - R0(θ0) nepoznata vrednost otpornosti termistora pri temperaturi datoj temperaturi θ0, a α-temperaturni koefici-jent materijala termistora.

Za rešenje ovog problema neophodno je izvršiti merenje otpornosti za najmanje dve vrednosti temperature, tako da se može postaviti sistem jednačina sa dva nepoznata parametra, odnosno

( )[ ]( )[ ]02022

01011

1)()(1)()(

θθαθθθθαθθ

−+=−+=

RRRR

(3.58)

Rešenjem sistema jednačina (3.58) određuju se vrednosti parametara R(θ0) i α, tako da očigledno nije potrebno vršiti bilo kakvu dodatnu obradu rezultata merenja. Međutim, ako se prema predhodnom primeru višestruko ponove merenja za više od dve vrednosti temperature, onda se dobija sistem od N jednačina i 2N rezultata merenja:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]00

03033

02022

01011

1...

111

θθαθθ

θθαθθθθαθθ

θθαθθ

−+=

−+=−+=

−+=

NNN RR

RRRRRR

(3.59)

Kako su rezultati merenja Ri(θi) i θi slučajne veličine, to i rešenja sitema jednačina (3.59) nisu jednoznačna, od-nosno ne postoje jedinstvene vrednosti za R0(θ0) i α koje bi zadovoljile sve jednačine sistema. U tom slučaju se mora izvršiti procena vrednosti rešenja jednačina, koje bi najpribližnije odgovarale linernoj zavisnosti otpornosti od tempera-ture. To podrazumeva dodatnu analizu mernih informacija u cilju povećanja tačnosti procene traženih parametara lin-earne zavisnosti, procene nivoa greške merenja i grešaka dobijenih procena parametara, kao i proveru postavljenih sta-tističkih hipoteza, itd. Napred navedeni zadaci ne obuhvataju sve moguće višestruke zadatke u vezi sa obradom rezultata merenja, ali su najrasprostranjeniji u metrološkoj praksi, te će zato biti posebno prikazani. Pre svega, da bi procena vrednosti merene veličine ispunila zahteve visokog nivoa kvaliteta, ona mora da zado-volji određene logičke uslove kao što su: osnovanost, centriranost i efektivnost procene, koji su već dati u paragrafu III.3.3.

Procena ispunjava uslov u pogledu osnovanosti, ako se sa povećanjem broja ponovljenih ispitivanja do N→∞, vrednost procene približava pravoj vrednosti veličine koja se procenjuje.

Procena ispunjava uslov u pogledu centriranosti ako je vrednost njenog matematičkog očekivanja jednaka na-jverovatnijoj vrednosti merene veličine. Naravno, takva procena isključuje postojanje sistematske greške u rezultatima merenja.

I konačno, procena je efikasna ako je procenjena vrednost njene disperzije minimalna. U praktičnim slučajevima se ne dobijaju uvek procene koje ispunjavaju napred navedene uslove. U cilju lakšeg izračunavanja dozvoljava se određeni stepen necentriranosti procene ili se, strogo uzevši, koristi neefikasna procena, premda se u svim sličnim slučajevima obavezno ocenjuje stepen pogoršavanja dobijene procene u poređenju sa najbol-jom dobijenom procenom.

Za obezbeđenje visoko kvalitetne procene potrebno je utvrditi kriterijume za potvrđivanje najbolje procene. Ako su takvi kriterijumi utvrđeni, onda se za najbolju procenu uzima ona procena koja ispunjava uslov ekstremne vrednosti tog kriterijuma. Zato se u praksi, za obezbeđenje kvalitetnih procena, najviše primenjuju dve metode procene: metoda najmanjih kvadrata i metoda maksimalne verodostojnosti (istinitosti). Kao kriterijum za poređenje procena kod metode najmanjih kvadrata uzima se suma kvadrata razlike rezultata merenja xi i vrednosti procenjene merene veličine â, ili procenjene funkcije f(â). Tako za ovde dati slučaj 1., najbolja procena parametra â mora da zadovolji uslov


85

( )∑=

=−N

ii ax

1

2 minˆ (3.60)

a u napred opisanom slučaju 2, uslov optimalnosti procene za R(θ0) i α dobija oblik

( )[ ] ∑=

=−+−N

iii RR

1

200 .minˆ1)(ˆ)( θθαθθ (3.61)

Kod metode maksimalne verodostojnosti, u svojstvu kriterijuma optimalnosti procene, koristi se funkcija vero-dostojnosti, koja u suštini predstavlja gustinu verovatnoće celog skupa eksperimentalnih podataka. Tražena procena nalazi se iz uslova maksimuma funkcije poverenja, što faktički odgovara maksimumu verovatnoće dobijenih rezultata merenja. Izračunavanje funkcije poverenja iziskuje znanje oblika zakona raspodele grešaka merenja. U tome je i prin-cipijelna razlika kriterijuma maksimalnog poverenja od kriterijuma najmanjih kvadrata. Samo ukoliko je raspodela verovatnoće greške normalna, onda se ova dva kriterijuma podudaraju. U daljem izlaganju kod razmatranja konkretnih zadataka u vezi sa obradom rezultata merenja koristiće se metod maksimalne verodostojnosti. Uporedo sa iznalaženjem procene tražene veličine u vidu jednog broja (tzv. procena jedne vrednosti - tačkasta procena) široko je u primeni i procena intervala verodostojnosti te procenjene vrednosti - intervala poverenja. Intervalom poverenja je interval značajnih vrednosti procenjene veličine, koji sa zadatom verovatnoćom (pouz-danom verovatnoćom) obuhvata i pravu vrednost merene veličine. Zato je interval poverenja, isto tako, slučajni inter-val, jer je njegov slučajni položaj određen procenom jedne vrednosti, a slučajna dužina intervala određena je, po pra-vilu, na osnovu eksperimentalnih podataka. Za određivanje vrednosti intervala poverenja za zadatu pouzdanu verovat-noću treba znati zakon raspodele greške merenja.

III.5.1. Obrada rezultata direktnih merenja

Neka je prava vrednost merene veličine a izmerena N puta i pri tom su dobijeni rezultati merenja x1, x2,....xN. Svaki od rezultata xi koji se podvrgava obradi za dobijanje rezultata merenja naziva se rezultat ispitivanja. Pod rezulta-tom merenja smatra se procena vrednosti merene veličine a koja je izračunata na bazi celog skupa rezultata ispitivanja x1, x2,....xN.

Razlika ∆xi=xi-a jeste pojedinačna greška i-tog ispitivanja za koju važe sledeće hipoteze: 1. Greška ∆xi je slučajna veličina sa normalnim zakonom raspodele verovatnoće njihovog pojavljivanja; 2. Matematičko očekivanje greške je M[∆xi]=0, što pokazuje da ne postoji sistematska greška merenja;

3. Greška ∆xi ima disperziju σ2, koja je jednaka za svako izvršeno merenje, što znači da su merenja iste tačnosti; 4. Greške pojedinačnih ispitivanja su međusobno nezavisne. Hipoteza o normalnosti zakona raspodele greške polazi od činjenice da je slučajna greška rezultat čitavog niza različitih uticaja, ali da zakoni raspodele pojedinih njenih komponenti koje su skoro jednakih neznatnih vrednostii nisu od uticaja, te da se verovatnoća rezultujuće greške pokorava vrlo blizu normalnom zakonu njene raspodele. Ako su predhodne hipoteze validne, onda funkcija gustine raspodele verovatnoće svakog rezultata merenja, prema relaciji (3.50), ima oblik

2

21

21

−

= σax

i

i

eπσ

a),φ(x (3.62)

Ukupna verovatnoća svih nezavisnih uticajnih veličina jednaka je proizvodu pojedinačnih verovatnoća svake veličine, pa je otuda i ekvivalentna funkcija gustine verovatnoće proizvod pojedinačnih gustina verovatnoće, odnosno

∏=

=N

iiN a),φ(xa),x,...,x,x,φ(x

1321 . (3.63)

Funkcija gustine raspodele sistema slučajnih veličina u suštini jeste funkcija verodostojnosti koja se može pred-staviti relacijom

( )∑

=

−−

=

N

i

aixσe

N

Nπσ

,a)x,...,x,x,L(x 1

222

1

3212

1 (3.64)

Primenom metoda maksimalne verodostojnosti, nalazi se procena najverovatnija vrednost merene veličine a iz uslova da za a= â bude ispunjen uslov L(x1, x2, x3,..., xN, â)=max.

Ovaj uslov je očigledno ispunjen ako je u relaciji (3.64) suma u eksponentu označena simbolom Q minimalna, odnosno

( ) .minˆ1

2 =−= ∑=

N

ii axQ , (3.65)

što predstavlja kriterijum metode najmanjih kvadrata. Prema tome, može se zaključiti da su procene slučajne veličine koje podležu normalnom zakonu raspodele verovatnoće, primenom metode verodostojnosti i metode najmanjih kvad-rata, podudarne.


86

Izjednačavanjem sa nulom parcijalnog diferencijala relacije (3.65 po promenljivoj â dobija se da je

( ) 0ˆ2ˆ

1

=−−=∂∂ ∑

=

N

ii ax

aQ ,

odakle sledi da je najverodostojnija procena rezultata merenja upravo aritmetička sredina svih rezultata ispitivanja, tj.

xxN

aN

ii == ∑

=1

1ˆ . (3.66)

Iz relacije (3.66) sledi da aritmetička sredina x predstavlja slučajnu veličinu sa normalnim zakonom raspodele, sa parametrima M[ x ]=a i D[ x ]=σ2/N. (3.67) Time je pokazano da procena aritmetičke sredine ima znatno veću tačnost, jer je njena disperzija N puta manja od dis-perzije pojedinačnih rezultata ispitivanja. Neodređenost rezultata merenja okarakterisana je vrednošću srednjekvadrat-nog odstupanja greške, tako da iz relacije (3.67) sledi da se usrednjavanjem rezultata N ispitivanja slučajna greška smanjuje N puta. U slučaju da postoji određeni stepen zavisnosti između ispitivanih rezultata xi i xj (i<j), koji se definiše pojmom koeficijent korelacije ρij, onda se disperzija procene x , date relacijom (3.64), izračunava iz relacije

[ ]

+= ∑

<

N

jiijρNN

σxσ 212

2 . (3.68)

Dobijena procena xa =ˆ ispunjava sva tri osnovna kriterijuma: osnovanost, centriranost i efektivnost. Za procenu neodređenosti veličine a neophodno je sa istim eksperimentalnim podacima oceniti vrednost dis-

perzije greške merenja. Analogno relaciji (3.64), funkcija gustine verovatnoće može se napisati u obliku .max)ˆ,,,...,,,( 2

321 =σaxxxxL N (3.69) Ekstremna vrednost funkcije (3.69) dobija se iz uslova

0)ˆ,,,...,,,(2

2321 =∂

∂σ

σaxxxxL N , (3.70)

odakle sledi relacija za procenjenu vrednost disperzije

( )∑=

−=N

ii .ax

Nσ

1

22 1ˆ (3.71)

Kada je a neizvesna prava vrednost veličine x to se umesto nje u relaciji (3.71) može koristiti njena procenjena vrednost x , tako da se procenjena vrednost disperzije, označena simbolom s2

može odrediti iz relacije

( )∑=

−=N

ii xx

Ns

1

22 1 (3.72)

Kao što je već pokazano, uslov centriranosti disperzije s2 ispunjen je ako je matematičko očekivanje procenjene vrednosti disperzije jednako M[s2]=σ2 . U konkretnom slučaju ovaj uslov nije ispunjen, jer je

[ ] 22

1σ

−=

NNsM . (3.73)

Međutim, da bi uslov centriranosti procene bioispunjen potrebno je da N→∝, jer je

[ ] ( ) 2

1

222

1lim1limlim σσ∑

=∞→∞→∞→

=−

=−=N

iNiNN N

NxxN

sM . (3.74)

Zapravo, ovim se potvrđuje da se za N→∝ dobija asimptotski centrirana procena disperzije. Prema tome, da bi se dobila centrirana procena disperzije, odnosno standardna devijacija s, potrebno je vrednost srednje kvadratne greške σ2, prema relaciji (3.73), korigovati faktorom odnosa N/(N-1), t.j.

( )∑=

−−

=−

==N

ii xx

Nσ

NNsσ

1

2222

11

1ˆ . (3.75)

Konačno, na osnovu izraza za standardnu devijaciju, relacija (3.75), procenjena standardna devijacija aritmetičke sredine rezultata merenja izračunava se po formuli

[ ] ( )∑=

−−

=≈N

ii xx

NNNsxD

1

22

)1(1 (3.76)

* * *

Zadatak 3.1: Pokazati da disperzija uzorka Du= σu2 populacije rezultata merenja X nije centrirana procena dis-

perzije D=σ2, već da je


87

[ ] 2

12 σσ

−=

NNM u ,

i na osnovu toga izvesti izraz za korigovanu disperziju uzorka koja ispunjava kriterijum centrirane procene. Rešenje: Prema definiciji kriterijuma centrirane procene potrebno je da matematičko očekivanje procenjenog parametra uzorka bude jednako odgovarajućem parametru normalne raspodele date populacije, odnosno M[û]=u.

Disperzija uzorka populacije X određuje se pomoću relacije

( )2

1

12 ∑=

−=N

ii xx

Nuσ . (P.3.1)

Izraz (P.3.1) može se napisati u obliku

( ) ( ) ,xaaxN

σN

iiu

2

1

212 ∑=

−−−= (P.3.2)

gde je a - matematičko očekivanje normalne raspodele verovatnoće, određeno relacijom

∑=

=N

iix

Na

1

1 .

Matematičko očekivanje procene disperzije uzorka, relacija (P.3.2), nakon izvođenja, iznosi

( ) ( ) .σN

NσN

σ]xaM[]axM[N

]M[σN

iiu

2222

1

2 1112 −=−=−−−= ∑

=

(P.3.3)

Procena disperzije uzorka bila bi asimptotski centrirana kada N→∝. Prema tome, procenjena vrednost dis-perzije uzorka dobija se iz relacije

( )2

1

2

11

1ˆ 2 ∑

=

−−

=−

=N

ii xx

Nσ

NNσu . (P.3.4)

* * *

Procenjene vrednosti rezultata merenja iskazane jednim brojem nazivaju se tačkastim procenama. Iako su time procenjene i granice intervala, ove procene su nepotpune jer se ne zna sa kojom verovatnoćom su one garantovane. Prema tome, tačkaste procene omogućavaju da se dobije određena predstava o tačnosti sprovedenog mernog postupka, pa se zato preporučuje korišćenje ovih podataka sa drugim procenama rezultata merenja, a ne kao konačni rezultati pro-cene vrednosti merene veličine.

III.5.2. Procena intervala poverenja (intervalne procene). Procene parametara slučajne veličine određene iz jednog uzoraka date popuilacije daju kao rezultat jednu brojnu vrednost, tzv. "tačkastu" procenu, koja, takođe, predstavlja slučajnu veličinu u populaciji sa normalnim zakonom raspo-dele verovatnoće. S obzirom da je posmatrani uzorak, ipak, sa ograničenim brojem rezultata ispitivanja, očigledno je da se vrednosti tako dobijenih procena mogu znatno razlikovati od prave vrednosti parametra koji se procenjuje. U tom slučaju vrednosti procenjivanog parametra mogu se očekivati sa zadatom verovatnoćom u granicama određenog inter-vala. Procene granica intervala mogućih vrednosti parametara poznate su u statistici kao intervalne procene pa-rametara raspodele. Tako procenjeni interval, bez obzira na jasno značenje, u domaćoj literaturi koristi se pod nazivom i kao pouzdani interval ili interval pouzdanosti. Ako je u engleskom jeziku pod nazivom confidence interval, od latinske reči confidentia, ili u ruskom jeziku доверительный интервал, onda je korektnije da u srpskom jeziku taj interval ima naziv interval poverenja. Pod intervalnom procenom podrazumeva se određivanje verovatnoće ε da će razlika procenjene u* i prave vred-nosti u ispitivanog parametra zadovoljiti uslov |u*-u |< δ, gde je δ − zadata "tačnost" procene. Sa stanovišta statistike, verovatnoća takvog događaja data je relacijom ε = P[|u*-u|<δ], (3.77) gde je u*- δ < u < u*+δ interval poverenja procenjivanog parametra u, sa granicama i u1= u*- δ i u2= u*+ δ koje treba odrediti.

Predpostavka je da se za datu verovatnoću P treba pouzdano da odredi interval poverenja nekog procenjenog pa-rametra u* za koji je poznata funkcija gustine raspodele ϕ(u*). Ako su granice traženog intervala u1 i u2, onda je verovatnoća P da će se procenjena vrednost naći u tom intervalu data relacijom


88

∫=2

1

)(u

u

duuP ϕ (3.78)

Da bi postavljeni zadatak imao jedinstveno rešenje, polazi se od sledećih logički postavljenih hipteza: 1) Matematičko očekivanje u jednako je izračunatoj proceni tačke simetrije uC definisane funkcije gustine raspo-dele ϕ(u); 2) Verovatnoća, da će se prava vrednost procenjivanog parametra naći iznad i ispod granica intervala poverenja u1< u < u2, jednaka je i iznosi (1-P)/2, gde je P verovatnoća data relacijom (3.47). Iz druge hipoteze proizilazi uslov da su samo kod simetričnih funkcija raspodele, u odnosu na matematičko oče-kivanje, granice u1 i u2, takođe, simetrične u odnosu na centar raspodele uC. Interval poverenja prave vrednosti rezultata merenja a. Kada su u pitanju procene intervala poverenja merene veličine, odnosno srednje vrednosti rezultata merenja, karakteristična su dva slučaja u pogledu vrednosti disperzije ispitivanih rezultata merenja i to:

a) vrednost disperzije σ 2 je poznata b) vrednost disperzije σ 2 nije poznata. Kada se radi o rezultatima merenja sa normalnom raspodelom verovatnoće sa poznatom vrednošću disperzije σ

2, onda se iz relacije

)Φ(2 tN

taxP =

<−

σ (3.79)

za datu verovatnoću Φ(t), iz Tabele 2 u Prilogu, određuje se parametar t, a sa time i granice intervala poverenja, od-nosno

Nt σδ ±= (3.80)

Ako se posmatra uzorak iz normalne populacije, kada disperzija nije poznata, onda je interval poverenja prave vrednosti merene veličine a određen granicama koje ne zavise samo od procene xa =ˆ , već i od procene srednje kvad-ratnog odstupanja greške merenja .ˆ 2σ Kako je u pitanju ograničeni broj ponovljenih rezultata merenja N, onda je za određivanje intervala poverenja korektnije koristiti funkciju gustine raspodele sa ograničenim stepenom slobode k=N-1, konkretno Studentovu t-raspodelu. Parametar tk koji se može, prema relaciji (3.75), napisati u obliku

NaxNs

axtN σ11

−=−

−=− , (3.78)

pokorava se Studentovoj t-raspodeli sa k=N-1 stepena slobode, čija je funkcija gustine raspodele fk(x) data relacijom (3.55). Kako se partametar tk, za zadatu verovatnoću P i broja stepeni slobode k=N-1, može dobiti iz Tabele 4 u Prilogu, onda se iz relacije (3.67), interval poverenja prave vrednosti merene veličine a, za procenjenu disperziju s, do-bija iz relacije

∫−

=

−<− −

1

01 )(2

1

Nt

kN dxxfNstaxP . (3.79)

Interval poverenja disperzije merene veličine σ2. Pri oceni intervala poverenja disperzije ispitivanog niza rezul-tata merenja mogu se javiti, takođe, dva slučaja:

a) centar raspodele a je poznat (overa, kalibracija) i b) centar raspodele a nije poznat (rezultati merenja). 1. Ako je centar raspodele a poznata vrednost, onda se može smatrati da je empirijski centralni moment drugog

reda, ili disperzija m22 dat relacijom

2

12

22

ˆˆ ∑=

−

=N

i

i

σax

σNm (3.80)

ima χ2 raspodelu sa k=N stepena slobode (jer se suma kvadrata normirane normalizovane veličine (xi-a)/σ pokorava normalnom zakonu raspodele). Ovim se omogućava da se za zadatu verovatnoću P odrede granice intervala poverenja procenjene disperzije, koristeći sl.3.20.

Koristeći Tabelu 3 u Prilogu, za χk2 (P,k), može se za zadatu verovatnoću P naći interval poverenja za procenu

disperzije rezultata ispitivanja. Ovaj interval dobija se iz uslova da verovatnoća disperzije za vrednost granica tog in-tervla ne bude veća od neke male vrednosti q (nivo značajnosti), s tim što bi verovatnoće za obe granične vrednosti in-tervala bile jednake q/2, kao što je prikazano na sl. 3.20. Granice intervala poverenja u1=χ2

k, q/2 i u2=χ2k, 1-(q/2) nalaze se

iz relacija


89

F(χ2k, q/2)=q/2 i F(χ2

k, 1-q/2)=1-q/2. (3.81)

Za date granice intervala poverenja, interval poverenja disperzije određuje se iz relacije verovatnoće

qNmP qkqk −=

≤< − 1ˆ

22/1;2

222

2/; χσ

χ . (3.82)

Relacija (3.67) može se transformisati u oblik

qNmNmPqkqk

−=

≥>−

1ˆ2/1;

2

2/;

2

χσ

χ, (3.83)

iz koje se za zadatu verovatnoću P=1-q dobijaju granice intervala poverenja srednjekvadratnog odstupanja σ, označene sa u1 i u2,

.i2/1;

222

2/;

21

qkqk

NmumNmu−

==χχ

(3.84)

Za poznatu vrednost centra raspodele a i date parametre u1(P,k)=χk12 i u2(P,k)=χk2

2 , koji se mogu odrediti iz Ta-bele 5 u Prilogu, interval poverenja prave vrednosti srednje kvadratne greške σ određen je relacijom

u1m2<σ< u2m2 , gde je srednja kvadratna greška m2 određena iz relacije

( )∑=

−=N

ii ax

Nm

1

22 .12 (3.85)

Kada centar raspodele a nije poznat, onda se u proceni intervala poverenja disperzije koristi procenjena vrednost standardne devijacije na osnovu procenjene vrednosti centra raspodele, kao srednje vrednosti rezultata ispitivanja date relacijom (3.75), odnosno

( )∑=

−−

=N

ii xx

Ns

1

22 .1

1ˆ (3.86)

Prema tome, interval poverenja procenjene standardne devijacije za datu verovatnoću P i broja stepena slobode k=N-1 određen je parametrima χ2-raspodele u1(P,k) i u2(P,k) koji se određuju iz Tabele 5, odnosno

u1(P,k) s <s< u2 (P,k) s . (3.87) Procenjena vrednost granice intervala poverenja standardne devijacije s u relaciji (3.87) naziva se merna ne-sigurnost rezultata merenja. Koliko je od značaja metrološka karakteristika merna nesigurnost, vidi se iz nastojanja međunarodnih metroloških institucija (npr. NIST) da se unificira kvalifikacija ne samo slučajnih grešaka čije je poreklo slučajnog karaktera, već i "ostatka" nekorigovanih sistematskih grešaka, a da se merna nesigurnost rezultata merenja procenjuje prema propisanom Uputstvu5. Standardna nesigurnost. Svaka komponenta nesigurnosti, bilo kako da je određena, prikazuje se kao procenjena standardna devijacija, označena kao standardna nesigurnost sa predloženim simbolom ui, i jednaka je pozitivnoj vrednosti kvadratnog korena iz izračunate varijanse ui

2. Uputstvom se propisuju dva postupka procene, odnosno dva tipa standardne nesigurnosti i to :

- Standardna nesigurnost tipa A i - Standardna nesigurnost tipa B.

Komponenta nesigurnosti dobijena evaluacijom tipa A statistički se prikazuje kao procenjena standardna devija-cija si, koja se dobija kao pozitivna vrednost kvadratnog korena iz statistički dređene varijanse si

2, sa pridodatim brojem stepena slobode vi. Za ovu komponentu standardna nesigurnost je ui = si . Na sličan način, komponenta nesigurnosti dobijena evaluacijom tipa B prikazuje se veličinom uj, koja se može smatrati aproksimacijom odgovarajuće standardne devijacije; to je pozitivna vrednost kvadratnog korena iz uj

2, kao 5 Guidelines for Evaluating and Expresing the Uncertainty of NIST Measurement Results, NIST Technical Note 1297, 1994 Edition

q/2

u1

pχ2 (u)

u2 u

q/2

P

Sl. 3.20. Funkcija gustine raspodele χk2


90

aproksimacije odgovarajuće varijanse dobijene iz predpostavljene raspodele verovatnoće bazirane na svim raspoloživim informacijama. Kako se veličina uj

2 tretira slično kao varijansa, a uj kao standardna devijacija, to je ovakva komponenta standardne nesigurnosti jednostavno uj.

* * * Zadatak 3.2. Ako je pri merenju kapacitivnosti kondenzatora nominalne vrednosti Cx= 1000pF dobijeno 13 rezultata mer-enja, kao u tabeli, odrediti:

a) Tačkastu procenu vrednosti kapacitivnosti kondenzatora; b) Tačkastu centriranu procenu disperzije; c) Tačkastu procenu srednjekvadratnog odstupanja; d) Interval poverenja prave vrednosti i disperzije (a, σ 2) za

pouzdanu verovatnoću P=0,95; Rešenje: Potrebna izračunavanja prikazana su tabelarno, bez oznaka jedinica merenja. a) Tačkasta procena vrednosti kapacitivnosti kondenzatora je:

pF169010011311 13

11

,CCN

Ci

i

N

ii xxx === ∑∑

==

.

b) Tačkasta centrirana procena disperzije je

( ) ( ) pF1083,01311

213

11

22ˆ =−=−= ∑∑== i

xx

N

ixx CCCC

N iiσ

c) Tačkasta procena srednjekvadratnog odstupanja iznosi

pF3291,0ˆˆ 2 == σσ . d) Interval poverenja prave vrednosti kapacitivnosti Cx, kada je disperzija nepoznata, prema relaciji (3.78) je oblika

N

txCN

tx xσσ ˆˆ

−<<− .

Za datu verovatnoću P= 0,95 iz Tabele 4. u Prilogu, dobija se parametar t= 2,179, tako da se dobija interval poverenja 10001,169−2,179⋅0,329/130,5< CX < 10001,169−2,179⋅0,329/130,5, odnosno (1001,169-0,19889) pF <CX< (1001, 169+0,19889) pF, ili 1000,97011 pF < CX < 1001,36789 pF Interval poverenja srednje kvadratne vrednosti kapacitivnosti CX prema relaciji (3.87) je oblika

σσσ ˆ),(ˆ),( 21 kPukPu << .

i Cxi[pF] i Cxi[pF] 1 1001,3 8 1001,2 2 1001,0 9 1001,3 3 1001,2 10 1001,1 4 1001,1 11 1001,8 5 1001,4 12 1001,2 6 1001,1 13 1001,0 7 1001,5

i Xi=Cxi Xi-Xsr (Xi-Xsr)2

1 1000.3 -0.869 0.7556 2 1001.0 -0.169 0.0286 3 1001.2 0.031 0.0009 4 1001.1 -0.069 0.0048 5 1001.4 0.231 0.0533 6 1001.1 -0.069 0.0048 7 1001.5 0.331 0.1094 8 1001.2 0.031 0.0009 9 1001.3 0.131 0.0171

10 1001.1 -0.069 0.0048 11 1001.8 0.631 0.3979 12 1001.2 0.031 0.0009 13 1001.0 -0.169 0.0286

Xsr= 1001.169 Σ=1.4077


91

Iz tabele 5. u Prilogu, za dato P=0,95 i k=12, u1(P,k)=0,717 i u2(P,k)=1,651, tako da je interval poverenja pro-cenjene srednje kvadratne greške

0,2359 pF<σ <0,5433 pF. Međutim, dobijeni rezultati moraju biti zaokruženi prema vrednostima značajnih cifara datih podataka koji

imaju samo jedno decimalno mesto, tako da je korektno dati rezultat procenjene vrednosti kondenzatora 1001,2 pF sa intervalom poverenja pri verovartnoći od 0,95 koji je dat u granicama 1001,0 pF <Cx< 1001,4 pF ili CX= (1001,2±0,2) pF. Slučajna greška merenja okarakterisana je procenom srednjekvadratne greškeσ =0,3pF, dok je njegova prava vrednost sa verovatnoćom od 95% u granicama 0,2<σ <0,5 pF.

* * *

Predhodno određene procene vrednosti merene veličine i disperzije slučajne greške optimalne su za normalni zakon raspodele verovatnoće. Pri obradi rezultata ispitivanja slučajnih veličina, koje se nesumnjivo pokoravaju normal-nom zakonu raspodele i bez prisustva velikih (grubih) grešaka, neophodno je pažljivo izanalizirati uslove u kojima se pojavljuju velika odstupanja u rezultatima merenja. Pod sumnjom su najveće ili najmanje vrednosti rezultata merenja. Ovakav postupak je primenljiv i u slučajevima kada je zakon raspodele greške blizak normalnom zakonu. Međutim, u praksi se mogu sresti slučajevi kada se zakon raspodele greške znatno razlikuje od normalnog zakona. Ukoliko je ovaj zakon nepoznat, onda primena predhodno opisanog postupka može dati neophodne procene, koje su optimalne u po-gledu kriterijuma maksimalne verodostojnosti. Ako se pak raspodela suštinski razlikuje od normalne, nije moguće sa dovoljnom tačnošću utvrditi zakon raspo-dele. U tom slučaju se tačkaste procene određuju prema relacijama (3.66) i (3.72), imajući u vidu da je njihova efektiv-nost procene nešto lošija od efektivnosti optimalne procene. Za grube procene pri nižim pouzdanim verovatnoćama pri zadatom simetričnom intervalu poverenja može se primeniti jednakost Čebiševa

.12fN

faxP ≤

≥−σ (3.88)

Tada se za procenu prave vrednosti merene veličine može formulisati interval poverenja oblika

N

fxaN

fx σσ ˆˆ+≤≤− , (3.89)

gde faktor f zavisi od zadate verovatnoće P, odnosno

21

1

Pf

−= . (3.90)

Pri ovim uslovima treba imati u vidu da se prema relaciji (3.89) određuje viša granica intervala poverenja.

III.5.3. Obrada rezultata indirektnih merenja Kod indirektnih merenja rezultat merenja Y je funkcija direktno merenih veličina Xi, i=1,2,3,...N, data oblikom Y=f(X1, X2, X3,...,XN), (3.91) gde svaka od merenih veličina Xi kao rezultat merenja sadrži svoju brojnu vrednost i vrednost izračunatih sistematskih i procenjenih slučajnih grešaka. Pojedine vrste grešaka drektno merenih veličina izračunavaju se i procenjuju napred opisanim pravilima i postupcima. Obrada rezultata merenja Y , prema tome, podrazumeva obradu rezultata direktno merenih veličina Xi , a zatim, prema relaciji (3.91), sledi izračunavanje konačne vrednosti tražene veličine Y date odgovarajućim jedinicama mere. Kada je za svaku direktnu merenu veličinu Xi poznata vrednost sistematske i/ili slučajne greške, onda se sis-tematska i slučajna greška određivanja vrednosti Y, dobija različitim postupcima za sistematske, odnosno slučajne greške.

Slučaj A. U jednostavnijim slučajevima kada su sitematske greške merenih veličina određene i po vrednosti po znaku, onda se veličina Y dobija iz funkcije zavisnosti sa korigovanim pojedinačnim vrednostima rezultata merenja Xi. Na primer, ako se u nekom električnom kolu meri snaga P kojom je električni izvor opterećen, tako što se izmere po-jedinačne vrednosti napona U, struje I i otpornosti R u kolu i izračuna snaga po datoj formuli

2

222

2111 RUIRIUPX ++= . (3.92)

Neka su izmerene vrednosti i određene sistematske greške pojedinih parametara:

I1=1,85 mA ∆I1=-0,02 mA I2=2,52 mA ∆I2=-0,02 mA U1=8,3V ∆U1=+0,1V


92

U2=5,4V ∆U2=+0,1V R1=108Ω ∆R1=+2,0 Ω R2=251Ω ∆R2=+2,0 Ω

Nekorigovani rezultat izmerene snage dobija se zamenom izmerenih vrednosti parametara u relaciju (3.92), tako

da je

Ω+×Ω+×=

251V4,5mA52,2108mA85,1V3,8

2222

xP = 0,132 W.

Ako se u relaciji (3.92) unesu korigovane vrednosti parametara za date vrednosti odgovarajućih grešaka dobija se vrednost korigovanog rezultata indirektno izmerene snage kao

W.0,129416

Ω2)(251V0,1)(5,4mA0,2)(2,52Ω2)(1080,2)mA(1,850,1)V(8,3

'

2222'

=

++

+−×++−×+=

x

x

P

P

Očigledno je da je indirektno izmerena vrednost snage korigovana za iznos sistematske greške ∆PX=Px-Px'= +2,58361 mW.

Dobijeni rezultati su izračunati sa prilično visokom tačnošću, čak sa šest značajnih cifara, iako su date vrednosti parametara znatno manje tačnosti. S obzirom na pravila predstavljanja rezultata merenja, izračunate vrednosti snage i greške merenja moraju se prikazati sa značajnim ciframa koje ne mogu biti veće od broja značajnih cifara datih po-dataka merenih parametara i njihovih grešaka. U skladu sa tim, ispravno napisani rezultati merenja bili bi sledeći: Px=132 mW i ∆Px= -2,6 mW. Slučaj B. Kada znak greške kod indirektnih merenja nije poznat, onda se ispred svake brojne vrednosti greške stavlja simbol "±", na primer, ± ∆I; ± 0,2 V, ili se greška daje kao apsolutna vrednost, |∆U|; |0,2|V. Ova notacija važi i kada se greške prikazuju u relativnim, odnono procentualnim iznosima. Drugim rečima, iz ovako prikazane vrednosti grešaka nepoznato je koji će znak greška imati u trenutku dobijanja rezultata merenja, tako da nije moguće po pred-hodno opisanom postupku odrediti ne samo znak, već ni vrednost sistematske greške indirektno merene veličine Y. U tom slučaju primenjuju se matematičke metode konačnih priraštaja funkcije (3.91) date oblikom Y ±∆Y= f(X1±∆X1, X2±∆X2, X2±∆X2,. . . XN±∆XN) (3.93) odakle se dobija izraz za apsolutnu sitematsku grešku indirektno merene veličine ±∆Y= f(X1±∆X1, X2±∆X2, X2±∆X2,. . . XN±∆XN) - f(X1, X2, X3,...,XN). (3.94) Relativna sistematska greška dobija se prosto deljenjem relacije (3.94) sa datom funkcijom (3.91), tako da je

1)...,,,(

)...,,,(

321

332211 −∆±∆±∆±∆±

=∆±

=N

NNY XXXXf

XXXXXXXXfY

Yδ . (3.95)

Kako je u praksi, u najvećem broju slučajeva, ∆Xi<< Xi, to se relacija (3.93), koja može biti komplikovana za izračunavanje, može sa visokim stepenom tačnosti predstaviti samo članovima prvog stepena Tejlorovog reda, ili total-nog diferencijala, pod uslovom da je neprekidna i diferencijabilna, tako da se smenom dY≈∆Y i dXi≈∆Xi dobija

( )∑=

∆

∂∂

=∆N

ii

i

N XX

XXXXfY1

321 ...,,, . (3.96)

Ako se iz predhodnog primera izostave samo znakovi datih grešaka, onda se primenom relacije (3.94) dobija izraz za apsolutnu sistematsku grešku indirektno merene veličine Y iz relacije (3.91) u obliku

±

±+

+

±

++±±+

+

+±±=±

2

2

2

2

2

2

2

22

1

12

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2211

1

1

1

1

1

1

1

111

1

122

RR

RR

UU

RU

RR

II

RR

II

RR

II

IR

II

UU

UU

II

IUP

∆

∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆

m

(3.97)

Kako su u relaciji (3.97) date relativne greške, to je pogodnije za izračunavanje greške koristiti sledeću tabelu:

I1 = 1,85 mA ∆I1 = -0,02 mA ∆I1/I1 = ±0,0108108 I2 = 2,52 mA ∆I2 = -0,02 mA ∆I2/I2 = ±0,0079365 U1 = 8,3V ∆U1 = +0,1V ∆U1/U1 = ±0,0120481 U2 = 5,4V ∆U2 = +0,1V ∆U2/U2 = ±0,0185185 R1 = 108Ω ∆R1 = +2,0 Ω ∆R1/R1 = ±0,0185185 R2 = 251Ω ∆R2 = +2,0 Ω ∆R1/R1 = ±0,0079681


93

Prema tome, pozitivna greška indirektno merene snage P iznosi +∆P= 0,0011536312 W, a negativna sistematska greška je -∆P=0,003402540 W, što zaokruženo iznosi +∆P= 1,6 mW

−∆P= 3,4 mW, a što pokazuje da je povoljniji slučaj u pogledu greške ako su sve greške pozitivnog znaka. III.6. Metode za smanjenje greške merenja Kod projektovanja i realizacije određenog procesa merenja, polazi se od postavljenih zahteva, u kojima je istak-nut cilj i zadat potrebni nivo odgovarajućih metroloških karakteristika. Da bi se taj zadatak uspešno ostvario, neohodno je poznavati opšte principe i postupke (metode) sa kojima je u praktičnim rešenjima moguće poboljšati kvalitet i pouz-danost očekivanih rezultata merenja. Osnovni cilj u razvoju i primeni ovih principa je da se konstruktivnim i tehnološkim postupcima obezbedi, kolikogod je to moguće, viši nivo kvaliteta merenja. To se u praktičnim rešenjima može ostvariti na nekoliko načina, kao što su:

- izbor materijala i komponenata stabilnih karakteristika sa kojima se stabilizuju bitni parametri elemenata i sredstava merenja koji su pod uticajem spoljnih faktora,

- zaštita sredstava merenja od naglih promena uticajnih veličina, tako što se slučajne greške smanjuju tehnikama filtriranja, termičkom izolacijom, oklopljavanjem, uzemljenjem, amortizacijom i sl.,

- stabilizacija promena kontinualno promenljivih uticajnih veličina, - tehnike korekcije komponenata sistematskih grešaka: aditive, multiplikativne i greške nelinearnosti, - izbor optimalnih algoritama za statističku obradu rezultata merenja sa slučajnim greškama, - projektovanje racionalnije konstrukcije i savršenije tehnologije izrade sredstava merenja. Bez obzira na primenjenu metodu merenja, kod izbora postupaka za smanjenje grešaka ili otklanjanje njihovih

uticaja polazi se od analize uzroka i izvora pojave tipičnih grešaka čiji se uticaj na rezultat merenja može smanjiti. U praksi su široko rasprostranjene metode za povećanje tačnosti, koje se zasnivaju na primeni strukturne i/ili vremenske redundancije6, tj. na uvođenju dodatnih sredstava merenja (mernih pretvarača, mernih uređaja) i/ili na izvođenju dodatnih merenja, čiji se rezultati dodatno obrađuju prema specijalnom algoritmu.

Poznato je nekoliko tipičnih metoda koje se primenjuju za kompenzaciju grešaka merenja, odnosno za obezbeđenje veće tačnosti merenja, kao što su:

- Metode povratne sprege - negativne reakcije; - Metode dodatnih postupaka merenja; - Metode iteracionih mernih procedura – iteracione metode; - Metode primene mernih standarda; - Metode testiranja i samotestiranja – test metode;

Kako je priroda ponašanja sistematskih i slučajnih grešaka kod ponovljenih merenja suštinski različita, tako su i metode za smanjenje pojedinih vrsta grešaka u suštini različite. Kod višestruko ponovljenih merenja neke veličine, usrednjavanje dobijenog niza od N rezultata merenja je jedna od najefikasnijih metoda kojom se sve slučajne greške svode na najverovatniju vrednost slučajne greške. Srednje kvad-ratno odstupanje tako određene vrednosti slučajne greške rezultata merenja, odnosno procenjena aritmetička sredina od N rezultata merenja time je smanjeno za N

puta. Međutim, višestruko ponavljanje mernih postupaka povećava vreme merenja, odnosno smanjuje brzinu merne procedure, što u nekim slučajevima predstavlja ozbiljno ograničenje. Veoma je teško smanjiti verovatnu grešku u slučajevima kada je vrednost merene veličine nije konstantna u vre-menu. U tim uslovima koriste se složenije procedure filtriranja, sa kojom se dobija optimalna procena merene veličine, pri čemu se i procena posmatra kao proces koji se odvija u vremenu. Greška takve procene kao razlika između procene i merenja predstavlja po sebi funkciju vremena, tako da se za kriterijum optimalnosti procene koristi neki parametar pro-cenjene greške u datom vremenskom intervalu kao, na primer, srednja kvadratna greška. U zavisnosti od vrste korišćenog pretvaranja mernog signala razlikuje se linearno i nelinearno filtriranje, tako da se praktična realizacija postupka pretvaranja može ostvariti kako hardverski tako i softverski. Za realizaciju optimalne procedure filtriranja neophodna je apriorna informacija o karakteristikama signala i smetnji (slučajne greške). Detaljnija prikaz tehnike filtriranja signala, koja se može primeniti i na merne signale, spada u posebnu oblast procesiranja elek-tričnih signala. Kao što je već istaknuto, sistematske greške dele se na stalne i promenljive. U predhodnom poglavlju o teoriji grešaka pokazane su neke od najrasprostranjenijih osnovnih metoda za smanjenje takvih sistematskih grešaka, uvođen-jem popravke, zamenom, korekcijom grešaka po znaku i dr. Mada u praksi, posebno u primeni merno-informacionih sistema za merenje fizičkih veličina u proizvodnim pogonima, dominiraju promenljive sistematske greške, koje nastaju usled promene temperature, vlažnosti, atmosferskog pritiska i drugih uticaja u prostoru koji ih okružuje, kao i zbog promena napona napajanja, uticaja spoljnih električnih i magnetnih polja, itd.

Promenljive sistematske greške, kao slučajne funkcije vremena, javljaju se zbog izmena spoljnih uticajnih fak-tora, čije su vrednosti obično neizvesne, s tim što se od slučajnih grešaka razlikuju po tome što predstavljaju nestacion-

6 Povećanje pouzdanosti nekog sistema višestrukim obezbeđenjem paralelnih istih funkcija tog sistema.


94

arne slučajne funkcije, koje se menjaju u vremenu relativno sporo. Smanjenje sličnih promenljivih sistematskih grešaka predstavlja aktuelan, svrsishodan i dosta složen zadatak. Opisane metode za otklanjanje sistematskih grešaka nalaze primenu uglavnom u laboratorijskim uslovima, jer njihova primena u automatskim mernim uređajima i merno informacionim sistemima u proizvodnim uslovima i kod mernih sredstava sa promenljivim sistematskim greškama, u većini slučajeva nije izvodljiva. U vezi sa tim, razvijaju se i primenjuju metode za smanjenje promenljivih sistematskih grešaka, zasnovane na korišćenju strukturne i/ili vremen-ske redundancije. III.6.1 Metoda povratne sprege -negativne reakcije

Principijelna blok šema procesa merenja sa primenom metode negativne reakcije prikazana je na sl. 2.4, i sastoji se iz dva bloka: osnovni merni stepen i stepen povratne sprege. U stepenu povratne sprege sa prenosnim faktorom β, izlazna veličina y pretvara se u veličinu xp=‡βy koja je iste prirode kao i merena veličina x. Na ulaz osnovnog mernog stepena dovodi se onda signal

x+xp= x−βy. (3.98) Smatra se da su oba stepena sa prenosnim funkcijama, kao funkcijama pretvaranja, linearnog oblika

y = K x; xp = −βy, (3.99) gde su K i β - prenosni faktori, ili faktori osetljivosti osnovnog mernog stepena i stepena povratne sprege, respektivno. U tom slučaju, prenosna funkcija kompletnog mernog stepena sa povratnom spregom sa sl.3.21, je oblika y=K(x−βy), odnosno

x,K1 p=

+= x

KKyβ

(3.100)

gde je KP - faktor transformacije ili faktor osetljivosti mernog sis-tema, koji je dat relacijom

KKKP β+

=1

. (3.101)

Relacija (3.100) pokazuje da se sa negativnom povratnom spregom osetljivost mernog sistema smanjuje za 1+βK puta. Pri-menom jake povratne sprege, tj. za βK>>1, sledi da je Kp≈1/β, što znači da je osetljivost takvog mernog sistema dominantno određen osetljivošću stepena povratne sprege, 1/β. Greške u mernom stepenu uglavnom su izazvane zbog nestabilnosti osetljivosti parametara ∆K i ∆β. Tako je greška izlaznog signala y pri konstantnoj vrednosti ulaznog mernog signala x bez dejstva reakcije je ∆y=∆K· x.

Međutim, greška izlaznog signala y pri konstantnoj vrednosti ulaznog mernog signala x pod dejstvom negativne reakcije dobija se preko totalnog diferencijala prenosne funkcije y=f(K,β), date relacijom (3.100), u obliku:

( ) ( )β

βKxKK

βKxβ

βyK

Kyy ∆

1∆

1∆∆∆ 2

2

2 +−

+=

∂∂

+∂∂

= . (3.102)

Uvođenjem u relaciju (3.102) relativne greške za y, K i β , oblika

ββδδδ β

∆=

∆=

∆= ;;

KK

yy

Ky ,

dobija se za relativnu grešku izlaznog mernog signala

( )ββ δβδ

ββδβ

βδδ K

KKK

K KK

y −+

=+

−+

=1

111

. (3.103)

Greške δK i δβ predstavljaju relativne multiplikativne greške osnovnog mernog stepena i stepena povratne sprege, respektivno. Kao što se iz relacije (3.103) vidi, uvođenjem negativne povratne sprege smanjuje se izlazna mul-tiplikativna greška za 1+β K puta, iako se pri tome javlja dopunska greška uzrokovana povratnom spregom. Ako je β K >>1, onda sledi da je δy ≈ δβ , jer je i δK << βK, što znači da je multiplikativna greška praktično određena greškom ste-pena povratne sprege. Prema tome, dati metod je svrsishodan u slučaju kada je tačnost stepena povratne sprege osetno veća od tačnosti osnovnog mernog stepena. Ošigledno je da se povratnom spregom smanjuje dodatna greška na izlazu osnovnog mernog stepena za 1+βK puta, mada se za toliko puta smanjuje i vrednost izlazne veličine y, pa je sledstveno tome i relativna dopunska greška neizmenjena.

Primenom negativne povratne sprege omogućava se ne samo smanjenje multiplikativne greške, već i greške nelinearnosti, ali se sa jačinom povratne sprege menjaju i dinamička svojstva zatvorenih mernih sistema, kao što su kvalitet prelaznih procesa i stabilnost sistema. Dati metod nalazi široku primenu pri merenju električnih veličina (napona, struja), kada formiranje tačnih pretvarača u povratnoj sprezi ne izazivaju poteškoće.

x yOSNOVNI MERNI STEPEN

STEPEN POVRATNE

SPREGE xp = −βy

x -βy

Sl. 3.21. Blok šema merne metode sa negativnom povratnom spregom


95

III.6.2 Metoda dodatnih postupaka merenja

Metoda dodatnih postupaka merenja ilustrovana je blok šemom na sl.3.22, gde se pored osnovnog stepena merenja (OSM) koristi veći broj pomoćnih dodatnih sredstava merenja (DSMn) sa podrškom mikroračunara (µR). Pod uslovom da je greška merenja osnovnog mernog sistema, ∆y, izazvana dejstvom spoljnih faktora ξ1 ξ2, ...,ξn, onda je neo-phodno uspostaviti funkcionalnu zavisnost ovih grešaka od vred-nosti spoljnih faktora u obliku

∆y=f(ξ1, ξ2, ... , ξn). (3.104) U datom slučaju, korekcija greške se ostvaruje na osnovu

izmerene vrednosti svakog pojedinačnog faktora ξi pomoću dodatnog mernog sredstva DSMi. Na osnovu izmerenih vrednosti, mikroračunar µR izračunava vrednost popravke ∆yn kojim se vrši korekcija greške date relacijom (3.104). Umesto da se uvodi po-pravka izlazne veličine, mikroračunar se može iskoristiti za podešavanje vrednosti odgovarajućih parametara osnovnog mernog sredstva (samopodešavanje), kako bi se smanjio uticaj neželjenih spoljnih faktora.

Prema tome, metod dodatnih merenja koristi se za smanjenje uticaja takvih destabilizirajućih faktora, čije se vrednosti mogu lako odrediti. Zato je za ostvarivanje korekcije greške neophodno znati funkcionalnu zavisnost greške merene veličine od ovih faktora. Nedostatak ovog metoda je u tome što se za smanjenje uticaja svakog od faktora iziskuje dodatno merno sredstvo, tako da se bitno sužava oblast njegove praktične primene.

Metod dodatnih merenja predstavlja jednu od varijanti realizacije principa višekanalnog mernog sistema, kojim se obezbeđuje invarijantnost izlaznih veličina sistema od bilo kakvog spoljneg uticaja. III.6.2 Iteracione metode

Princip iteracione metode zasniva se na višestruko ponovljenoj korekciji greške izlaznog rezultata merenja u od-nosu na predhodno dobijeni rezultat merenja. Na taj način, rezultat merenja se dobija sukcesivnim približavanjem na-jtačnijoj vrednosti. U zavisnosti od korišćenih postupaka korekcije u procesu merenja (sabiranje-oduzimanje ili množenje-delenje) razlikuju se aditivni i multiplikativni algoritmi korekcije. Iteracioni algoritam za povećanje tačnosti može se realizovati bilo izvršavanjem neophodnih postupaka u određenom redosledu, ili istovremenim izvršavanjem mernih postupaka pomoću dopunskih funkcionalnih blokova, objedinjenih u odgovarajuću strukturu.

Principijelna blok šema mernog sistema u kome se ostvaruje iteracioni algoritam aditivne korekcije sa vremen-skom raspodelom operacija, prikazana je na sl.3.23. Pored preklopnika ulaznih veličina (K), osnovnog mernog stepena i mikroračunara (µR), u stepenu povratne sprege je primenjen linearni pretvarač veće tačnosti od tačnosti osnovnog mer-nog stepena.

Proces korekcije greške ostvaruje se prema sledećem algoritmu. Kada je preklopnik K u položaju 1, na ulaz osnovnog mernog stepena dovodi se merena veličina x, a odgovarajuća vrednost izlazne veličine se memoriše u računaru kao y0. Zatim se preklopnik K prebaci u položaj 2, a veličina y0 se vodi na ulaz stepena povratne sprege, sa čijeg se izlaza preko preklopnika K na ulaz osnovnog mernog stepena dovodi veličina xp1. Na izlazu se onda dobija veličina yp1 sa kojom se u mikroračunaru izračunava razlika memorisane izlazne vrednosti ∆y1=y0−yp1. Ova razlika se sabira sa predhodnom izlaznom veličinom y0, tako da se do-bija korigovana izlazna veličina y=y0+∆y1. Time je završen prvi ciklus iteracione korekcije.

U drugom ciklusu izlazna veličina y1 vraća se na ulaz pretvarača u povratnoj sprezi na čijem izlazu se javlja nova veličina xp2, koja se meri i pri tom dobija sledeća izlazna veličina yp2 sa kojom se izračunava nova vrednost popravke ∆y2=y1-yp2. Korigovani rezultat merenja je tada y2=y0+∆y2. Opisani ciklični proces korekcije se ponavlja dok se ne dostigne prihvatljiva tačnost.

Predpostavimo da osnovni merni stepen ima funkciju pretvaranja (prenosnu funkciju) sa multiplikativnom i adi-tivnom greškom, u obliku

y=k(1+δ) x+∆x, (3.105) gde su:

k - nominalni koeficijent pretvaranja; δ - relativna multiplikativna greška i ∆x - apsolutna aditivna greška.

Pretvarač u povratnoj sprezi je veće tačnosti od osnovnog mernog stepena ukoliko je funkcija pretvaranja oblika xi=yi/k. Tada je opšti oblik rezultata merenja yi u i-tom ciklusu korekcije dobija u obliku yi= k[1+(-1)i δ i+1]x+(-1)i δ i∆x. (3.106)

Start

x 1

2 K

OSNOVNI MERNI STEPEN

µR

STEPEN POVRATNE

SPREGE

xp

y

Sl.3.23. Merni sistem sa iteracionom korekcijom greške

x y

DSM1 µR

OSM yn

Sl.3.22. Merni sistem sa korekcijom greške metodom dodatnih merenja

DSM2

DSMn

∆yi / /

/

ξ1 ξ2 / / / ξn


96

za i=0, 1, 2,3,...,n. Kada je |δ |<1 prikazani algoritam korekcije greške je efikasniji za merne sisteme kod kojih preovladava aditivna

greška, jer se sa povećanjem broja iteracionih ciklusa i aditivna i multiplikativna greška smanjuju po apsolutnoj vrednosti, pri čemu je to smanjenje brže ukoliko je δ manje.

Multiplikativni algoritmi iteracionih korekcija odlikuju se po tome što se umesto izračunavanja aditivne popravke u svakom ciklusu izračunava popravka faktora kojim se množi merena veličina x. To pokazuje da su mul-tiplikativni algoritmi efikasniji kod mernih sistema kod kojih preovladava miltiplikativna greška. U slučaju kada merni sistem ima znatnu i aditivnu i multiplikativnu grešku, pokazuje se da je svrsishodna primena kombinovanog aditivnog i multipliokativnog iteracionog postupka korekcije greške.

Dobra strana iteracionih metoda je ta što se pomoću njih koriguje opšta greška mernog sistema nezavisno od uzroka njihovog pojavljivanja. Očigledni nedostatak ovih metoda je zahtev za primenom dovoljno tačnog pretvarača u povratnoj sprezi, čime se ograničava oblast njihove praktične primene uglavnom na merenja električnih veličina.

Iteracioni algoritmi sa prostornom raspodelom operacija primenjuju se kod realizacije mernih procesa u kojima se koriste merni pojačavači sa definisanim nivoom tačnosti. III.6.3 Metode primene mernih standarda

Metode mernih standarda zasnivaju se na određivanju realnih vrednosti parametara prenosne funkcije pretvarača mernog sistema u kome se u procesu ciklusa merenja ulazna merena veličina zamenjuje mernim standardom.

U opštem slučaju, funkcija pretvaranja mernog sistema sa prihvatljivom tačnošću može se predstaviti sledećim polinomom n-1 reda

∑=

−=n

i

ii xdy

1

1 , (3.107)

u kome su sve greške određene promenom parametara di. Proces merenja sastoji se iz n+1 takta. U prvom taktu meri se veličina x. Zatim se merena veličina isključuje, a u sledećim taktovima na ulazu mernog sistema redosledom se uključuju mere M1, M2,...,Mn, za koje se dobijaju rezultati merenja y1, y2,..., yn, koji zajedno sa rezultatom prvog taktnog merenja obrazuiju sistem jednačina

=

=

=

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

n

i

inin

n

i

ii

n

i

ii

Mdy

Mdy

xdy

1

1

1

111

1

10

.

................

;

;

(3.108)

Rešenja sistema od n jednačina su vrednosti svih parametara d1, d2, ...,dn prenosne funkcije mernog sistema. Zamenom njihovih vrednosti u prvu jednačinu datog sistema dobija se vrednost merene veličine.

U slučaju da je prenosna funkcija mernog sistema linearna, y= d1+d2x, onda su ulazne veličine x, M1 i M2 koje čine sistem od tri jednačine sa tri nepoznate d1, d2 i x. Rešavanjem sistema jednačina dobija se konačno rešenje za mer-enu veličinu

12

10121 )(

yyyyMMMx

−−

−+= . (3.109)

Ako je vrednost za x= 0 u opsegu merenja, onda jedna od vrednosti mernih standarda može imati nultu vrednost (M1=0). Za linearnu prenosnu funkciju pretvarača rezultati merenja M1=0 i M2 mogu se iskoristiti za automatsko određivanje parametara prenosne funkcije pretvarača (samokalibracija).

Kod nelinearnih prenosnih funkcija mernih sistema pogodno je koristiti segmentni način njenog predstavljanja. Na primer, za segmentno linearni oblik prenosne funkcije mernog sistema zavisnost izlazne od ulaznih veličina data je relacijom

y = d1i + d2i x, i=1,2,...,m, gde je m-broj linearnih segmenata sa kojima se može sa potrebnom tačnošću aproksimirati prenosna funkcija mernog sistema. U tom slučaju ciklus merenja sastoji se, takođe, iz tri ciklusa, a vrednost merene veličine na jednom segmentu određuje se prema relaciji

12

101 )(

yyyyMMMx iii −

−−+= + . (3.110)

Merni standardi Mi i Mi+1 iz skupa standarda ne biraju se proizvoljno, već u zavisnosti od predhodnog rezultata merenja, što je ilustrovano na sl.3.24. Očigledno je da je u tom slučaju potrebno m+1 mernih standarda.


97

Metode mernih standarda omogućavaju smanjenje svake od kom-ponenti sistematskih grešaka mernog sistema (aditivna i multiplikativna greška i greška nelinearnosti), nezavisno od uzroka njihovog nastajanja. Kao nedostatak metoda mernih standarda jeste neophodnost peri-odičnog komutiranja na ulazu mernog sistema merene veličine i mernih standarda kao i potreba za velikim brojem mernih standarda kod izrazito nelinearnih prenosnih funkcija mernih sistema. Takođe, nije uvek mo-guće komutiranje merene veličine sa mernim standardom na ulaz mernog sredstva. Realna oblast primene ovih metoda jeste oblast merenja elek-tričnih veličina, pošto se kod merenja drugih fizičkih veličina javlja teškoća u obezbeđenju mernih standarda iste prirode kao i merena veličina.

III.6.4 Metode testiranja i samotestiranja

Suština test metoda za povećanje tačnosti je u tome što se u procesu ciklusa merenja dobijaju informacije ne

samo o vrednosti merene veličine, već i o parametrima prenosne funkcije mernog sistema u realnom vremenu merenja. Za razliku od metoda mernih standarda, kod test metoda se uz dopunska merenja koriste testovi u kojima učestvuje i merena veličina. Time se omogućava da se u startu ne isključuje merena verličina na ulazu mernog sistema i primena manjeg broja standardnih veličina, čak i kod izrazite nelinearnosti prenosne funkcije mernog sistema.

U opštem slučaju prenosna funkcija mernog sistema opisuje se polinomom n-1 reda (relacija 3.107), koji obuhvata n parametra di. Ciklus merenja sastoji se iz n+1 takta; u prvom taktu meri se veličina x, a u n drugih taktova - izvode se testovi A1(x), A2(x), ..., An(x), gde u svakom od njih postoji neka od funkcija merene veličine x.

Rezultati merenja formiraju sistem jednačina:

( )[ ]

( )[ ]

=

=

=

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

n

i

inin

n

i

ii

n

i

ii

.xAdy

................

;xAdy

;xdy

1

1

1

111

1

10

(3.111)

Rešavanjem sistema jednačina (3.111) dobijaju se vrednosti parametara d1, d2, ...,dn i tražena vrednost x. Složenost rešenja ovog sistema jednačina bitno zavisi od reda polinoma i oblika korišćenih testova Aj(x). Testovi koji se koriste u praksi mogu se podeliti na tri grupe: aditivni, multiplikativni i funkcionalni.

Aditivni testovi formiraju se u obliku suma Ai(x) = x+x0i (3.112)

gde je x0i- veličina standarda sa kojim se direktno poredi merena veličina x. Multiplikativni testovi formiraju se u vidu proizvoda

Ai(x) = ki x, (3.113) gde je ki - koeficijent pretvaranja date vrednosti. Očigledno je da aditivni i multipliktivni testovi predstavljaju delimični slučaj funkcionalnih testova u kojima Ai(x) predstavlja proizvoljnu poznatu funkciju. Funkcionalni testovi koriste uglavnom kod merenja električnih veličina. Najširu primenu imaju aditivni i multiplikativni testovi, koji se jednostavno realizuju, kako za električne, tako i za neelektrične veličine. Sa praktičnog stanovišta, od značaja su mogućnosti korišćenja samo aditivnih, ili samo multiplikativnih testova. Dokazuje se da nije teško odrediti sve parametre prenosne funkcije, di, ako se koriste samo multiplikativni testovi, jer u tom slučaju sistem jednačina (3.111) ima beskonačno mnogo rešenja. Jedino aditivni testovi dozvoljavaju rešenje zadatka i to u posebnom slučaju kada je bar jedan od parametara prenosne funkcije, di, jednak nuli, na primer za prenosnu funkciju oblika y= d1+d2 x2. U opštem slučaju, kada su svi parametri različiti od nule (di≠0), neophodno je primeniti i aditivne i multiplika-tivne testove, pri čemu se vrednost x izračunava najjednostavnije ako se primeni jedan test jedne vrste, a ostali n-1 testovi druge vrste. Na primer, kod primene segmentno linearne aproksimacije prenosne funkcije mernog sistema, neo-phodno je formiranje aditivnog i multiplikativnog testa.

Odgovarajuća strukturna šema prikazana je na sl.3.25. Pored osnovnog mernog stepena i računara (µR), struk-turna šema sadrži i stepen za formiranje aditivnog testa baterije SAT, stepen za formiranje multiplikativnog testa SMT i odgovarajuće prekidače K1, K2 i K3.

y

y0

y1

y2

Sl.3.24. Prenosna funkcija mernog sistema

0 Mi x Mi+1 xmax x


98

Proces merenja realizuje se u tri koraka. U prvom koraku, prekidači K1 i K3 su otvoreni, a prekidač K2 zatvoren, a na ulaz osnovnog mernog stepena direktno dolazi merena veličina x. U drugom koraku zatvara se prekidač K1 tako da se na ulaz osnovnog mernog stepena dovodi veličina aditivnog testa x+q. U trećem koraku kada je prekidač K2 otvoren, a K3 zatvaren, na ulaz mernog stepena dolazi veličina multiplikativnog testa kx.

Rezultati merenja u sva tri koraka predstavljeni su sistemom jednačina:

+=++=

+=

.);(

;

212

211

210

kxddyqxddy

xddy

ii

ii

ii

(3.114)

Rešenje sistema jednačina (3.114) po x, dobija se

.1 01

02

yyyy

kqx

−−

−= (3.115)

Računar memoriše vrednosti y0, y1 i y2 i izračunava vrednost x po formuli (3.115). Pošto izračunata vrednost ne zavisi od parametara prenosne funkcije mernog sistema d1i i d2i na i-tom segmentu aproksimacije, to se može zaključiti da su aditivna i multiplikativna greška eliminisane čime je bitno smanjena greška nelinearnosti.

Dobijeni rezultati merenja u koracima u skladu sa relacijom (3.114) ilustrovani su na sl.3.26. Prenosna funkcija (ili karakteristika) mernog ste-pena, y=f(x), aproksimirana je linearnim segmentima, pri čemu svaki i-ti interval aproksimacije nema fiksirane granice već su određene intervalom, u kome se nalaze vrednosti x, x+θ, kx. Promenom vrednosti x i pri stalnim vrednostim k i θ menjaju se istovremeno sve tri tačke na novi segment aproksimacije. U vezi sa tim, bez obzira na nelinearnost prenosne funkcije, potrebne su samo dve tačne veličine: standardna veličina θ i koeficijent prenosne funkcije k.

Iako određivanje tačne i stabilne vrednosti θ obično i ne predstavlja poseban problem, realizacija stepena multiplikativnog testa sa stabilnim koeficijentom prenosne funkcije, k, ipak nije uvek ostvarljiva.

Na sl. 3.27 prikazana je strukturna šema, u kojoj je eliminisan uticaj koeficijenta prenosne funkcije stepena mul-tiplikativnog testa na rezultat merenja. To se postiže time što je ulaz stepena multiplikativnog testa povezan sa izlazom stepena aditivnog testa i uvedeno još jedno dopunsko merenje.

Proces merenja izvodi se sada u četiri koraka. Prva tri koraka su potpuno analogna predhodno prikazanom slu-čaju na sl. 3.25. U četvrtom koraku, pri otvorenom prekidaču K2, zatvaraju se prekidači K1 i K3; tada se na ulaz dovodi test veličina oblika k(x+q). Rezultat takvog mernog postupka može se predstaviti relacijom

y3 = d1j +d2j k(x+q). (3.116) Rešenjem predhodnog sistema jednačina (3.114) i jednačine (3.116), po x, dobija se

y

y1

y2

y0

0 x+q xx kx

y=d1i+d2i x

y=f(x)

Sl. 3.26 Dijagram prenosne funkcije mernog sistema

Sl. 3.25. Merni sistem sa korekcijom greške primenom test metoda

Multiplikativni test

Aditivni test

q

MERNI STEPEN (µR)

x K2

K1

K3

y

Sl. 3.27. Modifikovana strukturna šema mernog sistema sa korekcijom greške primenom test metode

Multiplikativni test

Aditivnitest

q

MERNI STEPEN (µR)

x

K2

K1

K3

y


99

( ) ( )0213

02

yyyyyyqx

−−−−

= , (3.117)

odakle se vidi da rezultat merenja ne zavisi od koeficijenta prenosne funkcije stepena multiplikativnog testa, k . Kada je prenosna funkcija mernog sistema izrazito nelinearna, onda se za postizanje visoke tačnosti merenja

može primeniti segmentno-parabolična aproksimacija date prenosne funkcije. U tom slučaju neophodno je realizovati još jedan test i izvršiti još jedan korak u merenju. Na taj način, u velikom broju praktičnih slučajeva primene test me-toda ne treba realizovati veliki broj testova (već obično 2-3), što ne iziskuje ni veliki broj standardnih veličina.

Mali broj testova i neisključivanje merene veličine sa ulaza mernog sistema omogućavaju primenu test metoda za povećanje tačnosti merenja kako električnih, tako i drugih merljivih fizičkih veličina. Test metode su danas našle praktičnu primenu u merenju različitih fizičkih veličina, kako električnih (napon, struja, električna otpornost, kapacitivnost, induktivnost) tako i neelektričnih veličina (pomeraj, masa, potrošnja tečnih i zrnastih materijala, temperatura, električna provodnost rastvora, debljina prevlaka, toplotna provodnost materijala, itd.).

P R I L O G

JEDINICE SI SISTEMAIZVEDENE JEDINICE SA POSEBNIM NAZIVIMA

Metar DUŽINA

m

Kilogram MASA kg

Sekunda VREME s

Kelvin TERMODINAMIČKA TEMPERATURA

K Mol

KOLIČINA MATERIJE

mol Amper

ELEKTRIČNA STRUJA

A

Radijan RAVANSKI UGAO

rad

Steradijan PROSTORNI UGAO

sr

Kandela SVETLOSNA JAČINA DOPUNSKE JEDINICE

cd

m2

PRITISAK Paskal (N/m2)

NSILA

Njutn(kgm/s2)

m/s2

POVRŠINA

UBRZANJE

J RAD

Džul(Nm) m/s

SNAGA Vat(J/s)

Hz

FREKVENCIJA Herc (1/s)

H

INDUKTIVNOSTHenri (Wb/A) Wb

FLUKS Veber(Vs) MAGNETNA

INDUKCIJA Tesla(Wb/m2)

V NAPON

Volt(W/A)

F

KAPACITIVNOST Farad(C/V)

Ω OTPORNOST Om(V/A)

PROVODNOST Simens(A/V)

UGAONA BRZINA

lx ILUMINENCIJA Luks(A/V)

SVETLOSNI FLUKS

Lumen(cd sr)

T W

S

Pa

lm

rad/s2

C

Direktna proporcionalnost Inverzna proporcionalnost

OSNOVNE JEDINICE

BRZINA

Sl.1. Ilustrativni pregled hijerahije osnovnih i izvedenih jedinica SI sistema

Tabela 1. Vrednosti fundamentalnih konstanti u elektromagnetici

Naziv Oznaka Vrednost Jedinica Tačnost

Brzina svetlosti u vakuumu c; c0 299 792 458 m s−1 (Apsolutna)

Magnetna konstanta vakuuma

µ0 4π x 10−7 12,566 370 614 ...x10−7 N A−2 (Apsolutna)

Dielektrična konstanta, 1/ µ0c2 ε0 8,854 187 817 ...x10−12 F m−1 (Apsolutna)

Plankova konstanta h 6 ,626 068 76(52) x10−34 J s 7,8 x 10-8

Kvant elektriciteta e 1,602 176 462(63) x10−19 C 3,9 x 10−8 Odnos, e/h 2,417 989 491(95) x1014 A J−1 3,9 x 10−8 Klitzing-ova konstanta RK 25 812,807 572(95) Ω 3,7 x 10−9

Josephson-ova konstanta 2e/h KJ 483 597,898(19)x 109 Hz V−1 3,9 x 10−8

Tabela 2: Integral verovatnoće ∫−

=∞

−tdxet

x

2

2

2

2

π)Φ(

t Φ(t) t Φ(t) t Φ(t) 0,00 0,0000 1,35 0,8230 2,70 0,9931 0,05 0,0399 1,40 0,8385 2,75 0,9940 0,10 0,0797 1,45 0,8529 2,80 0,9949 0,15 0,1192 1,50 0,8664 2,85 0,9956 0,20 0,1585 1,55 0,8789 2,90 0,9963 0,25 0,1974 1,60 0,8904 2,95 0,9968 0,30 0,2358 1,65 0,9011 3,00 0,9973 0,35 0,2737 1,70 0,9109 3,05 0,9977 0,40 0,3108 1,75 0,9199 3,15 0,9984 0,45 0,3473 1,80 0,9281 3,20 0,9986 0,50 0,3829 1,85 0,9357 3,25 0,9988 0,55 0,4177 1,90 0,9426 3,30 0,9990 0,60 0,4515 1,95 0,9488 3,35 0,9991 0,65 0,4848 2,00 0,9545 3,40 0,9993 0,70 0,5161 2,00 0,9525 3,45 0,9994 0,75 0,5467 2,05 0,9596 3,50 0,9995 0,80 0,5763 2,10 0,9643 3,55 0,9996 0,85 0,6047 2,15 0,9864 3,60 0,9997 0,90 0,6319 2,20 0,9722 3,65 0,99974 0,95 0,6579 2,25 0,9756 3,70 0,99978 1,00 0,6827 2,30 0,9786 3,75 0,99982 1,00 0,6827 2,35 0,9812 3,80 0,99986 1,05 0,7063 2,40 0,9836 3,85 0,99988 1,10 0,7287 2,45 0,9857 3,90 0,99990 1,15 0,7499 2,50 0,9876 3,95 0,99992 1,20 0,7699 2,55 0,9892 4,00 0,99994 1,25 0,7887 2,60 0,9907 4,05 0,99999 1,30 0,8064 2,65 0,9920 4,10 -

Tabela 3. Vrednosti parametra χ2 za verovatnoću P i broj stepeni slobode k=N-1

Verovatnoća, P k=N-1 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,999 4 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,5 5 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,5 6 8,56 10,64 12,59 15,03 16,80 22,5 7 9,80 12,02 14,07 16,6 18,5 24,3 8 11,03 13,36 15,51 18,20 20,10 26,10 9 12,24 14,68 16,90 19,70 21,70 27,90

10 13,44 15,99 18,30 21,20 23,20 29,60 11 14,63 17,30 19,70 22,60 24,70 31,30 12 15,80 18,50 21,00 24,10 26,20 32,9 13 17,00 19,80 22,40 25,50 27,70 34,50 14 18,20 21,10 23,7 26,9 29,10 36,10 15 19,30 22,30 25,00 28,30 30,60 37,70 16 20,50 23,50 26,30 29,60 32,00 39,30 17 21,60 24,80 27,60 31,00 33,40 40,80 18 22,80 26,00 28,90 32,30 34,80 42,30 19 23,90 27,20 30,10 33,70 36,20 43,80 20 25,00 28,40 31,40 35,00 37,60 45,30 22 27,30 30,80 33,90 37,70 40,30 48,30 24 29,6 33,2 36,40 40,30 43,00 51,20 26 31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 54,1 28 34,0 37,9 41,3 45,4 48,3 56,9 30 36,3 40,3 43,80 48,0 50,9 59,7

Tabela 4: Vrednosti parametra Studentove t-raspodele za tk=f(k=N-1, P) Verovatnoća, P k=N-1 P=0,90 P=0,95 0,98 P=0,99 P=0,999

2 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598 3 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941 4 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859 6 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405 8 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 18 1,734 2,103 2,552 2,878 3,922 20 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 25 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 30 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 35 1,689 2,030 2,437 2,724 3,591 40 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 45 1,679 2,014 2,412 2,689 3,522 50 1,676 2,008 2,403 2,677 3,497 60 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 70 1,667 1,995 2,381 2,648 3,436 80 1,664 1,990 2,374 2,639 3,416 90 1,662 1,987 2,368 2,632 3,401 100 1,660 1,984 2,364 2,626 3,391 ∝ 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291

Tabela 5: Parametri Hi-kvadrat raspodele u1(P,k) i u2(P,k) za procenu disperzije s

Verovatnoća P=0,90 P=0,95 0,98 P=0,99 k=N-1

u1 u2 u1 u2 u1 u2 u1 u2 4 0,649 2,370 0,599 2,870 0,549 3,670 0,519 4,390 5 0,672 2,090 0,624 2,453 0,576 3,004 0,546 3,489 6 0,690 1,916 0,644 2,202 0,597 2,623 0,569 2,979 7 0,705 1,797 0,661 2,035 0,616 2,377 0,588 2,660 8 8,718 1,711 0,675 1,916 0,631 2,205 0,604 2,440 9 0,729 1,645 0,688 1,826 0,644 2,076 0,618 2,277

10 0,739 1,593 0,699 1,755 0,656 1,977 0,630 2,154 11 0,748 1,530 0,808 1,698 0,667 1,898 0,641 2,056 12 0,755 1,515 0,717 1,651 0,677 1,833 0,651 1,976 13 0,762 1,485 0,725 1,611 0,685 1,779 0,660 1,910 14 0,769 1,460 0,732 1,577 0,693 1,733 0,669 1,854 16 0,780 1,418 0,745 1,522 0,707 1,659 0,683 1,764 18 0,790 1,385 0,756 1,479 0,719 1,602 0,696 1,695 20 0,798 1,358 0,765 1,444 0,730 1,556 0,707 1,640 22 0,805 1,335 0,773 1,416 0,739 1,519 0,717 1,595 24 0,812 1,316 0,781 1,391 0,747 1,487 0,726 1,558 26 0,818 1,300 0,788 1,371 0,755 1,460 0,734 1,526 28 0,823 1,286 0,794 1,352 0,762 1,436 0,741 1,499 30 0,828 1,274 0,799 1,337 0,768 1,417 0,748 1,475 35 0,838 1,248 0,811 1,304 0,781 1,376 0,762 1,428 40 0,847 1,228 0,821 1,279 0,792 1,334 0,774 1,390 45 0,854 1,212 0,830 1,259 0,802 1,318 0,784 1,360 50 0,861 1,199 0,837 1,243 0,810 1,297 0,793 1,336

metrologija - predavanja-3

Documents