mipt€¦ · 3 СОДЕРЖАНИЕ...

3

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие................................................................................... 7

Лабораторная работа 1. Погрешности вычислений................... 9 Введение (9). Погрешности вычислений. (9). Вычисление зна-чения функции с помощью разложения ее в ряд Тейлора (13). Вычисление производной (15). Формула первого порядка аппроксимации (15). Формула второго порядка аппроксима-ции (17). Формула четвертого порядка аппроксимации (18). Контрольные вопросы (19). Порядок выполнения работы (21). Библиографическая справка (23).

Лабораторная работа 2. Табличное задание ................................ 24 и интерполирование функций Введение (24). Задача интерполяции (24). Алгебраическая ин-терполяция (25). Непосредственное вычисление коэффициен-тов интерполяционного полинома (25). Интерполяционный полином в форме Лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона (26). Формула для погрешности алгебраи-ческой интерполяции (27). О сходимости интерполяционного процесса (28). Обусловленность задачи построения интерпо-ляционного многочлена для функции, заданной таблицей (29). Классическая кусочно-многочленная интерполяция (31). Оценка неустранимой погрешности при приближении функ-ции по ее значениям в узлах интерполяции. Выбор степени кусочно-многочленной интерполяции (31). Насыщаемость (гладкостью) кусочно-многочленной интерполяции (32). Ку-сочно-многочленная гладкая интерполяция (сплайны). Ло-кальные сплайны (32). Нелокальная гладкая кусочно-многочленная интерполяция (34). Тригонометрическая ин-терполяция (35). Многочлены Чебышёва (38). Алгебраиче-ский интерполяционный полином на сетке из нулей поли-нома Чебышёва (38). Алгебраический интерполяционный полином на сетке из экстремумов полинома Чебышёва (39). Чувствительность интерполяционного тригонометрического многочлена к погрешностям задания функции в узлах ин-терполяции (39). Контрольные вопросы (40). Порядок вы-полнения работы (41). Библиографическая справка (44).

Лабораторная работа 3. Численное интегрирование................ 45 Введение (45). Способы конструирования квадратурных фор-мул (45). Погрешность квадратурных формул (48). Приемы вычисления несобственных интегралов (52). Контрольные

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

http://www.novapdf.com


4

вопросы (56). Порядок выполнения работы (56). Библиогра-фическая справка (57).

Лабораторная работа 4. Численное решение систем ............... 58 линейных уравнений Введение (58). Обусловленность систем линейных уравне-ний (59). Метод Гаусса (61). Метод сопряженных градиен-тов (63). Метод простых итераций (65). Метод Зейделя и ме-тод релаксации (67). Метод простых итераций с оптимальным параметром (68). Трехслойный метод Чебышева (70). Метод с оптимальным набором параметров (71). Метод минимальных невязок (72). Метод скорейшего спуска (73). Контрольные во-просы (74). Порядок выполнения работы (75). Некоторые ре-комендации по работе с программой (76). Библиографическая справка (78).

Лабораторная работа 5. Численное решение .............................. 79 нелинейных уравнений Введение (79). Нелинейные уравнения. Теоретическая справ-ка (79). Метод простой итерации (80). Метод Ньютона (81). Метод секущих (83). Мера погрешности (84). Сходимость по аргументу (84). Сходимость по функции (85). Контрольные вопросы (85). Порядок выполнения работы (86). Библиогра-фическая справка (87).

Лабораторная работа 6. Переопределенные системы.............. 88 линейных уравнений. Метод наименьших квадратов Введение (88). Переопределенная система линейных алгеб-раических уравнений (88). Геометрический смысл метода наименьших квадратов (90). Оценка обусловленности мат-рицы системы МНК (91). Метод Гаусса (92). Метод сопря-женных градиентов (92). Полиномы Лежандра (92). Порядок выполнения работы (93). Некоторые рекомендации по рабо-те с программой (95). Библиографическая справка (96).

Лабораторная работа 7. Численное решение .............................. 97 обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши Введение (97). Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (98). Ус-тойчивость (99). Дифференциальная задача (99). Сеточная область (100). Разностная задача (100). Погрешность мето-да (100). Явные методы Рунге–Кутты (100). Метод Рунге–Кутты первого порядка точности (101). Метод Рунге–Кутты второго порядка точности (101). Метод Рунге–Кутты третье-го порядка точности (102). Метод Рунге–Кутты четвертого




5

порядка точности (102). Экстраполяция Ричардсона (102). Схема второго порядка с центральной разностью (103). Тео-ремы об устойчивости методов Рунге–Кутты (103). Кон-трольные вопросы (104). Порядок выполнения работы (105). Библиографическая справка (108).

Лабораторная работа 8. Численное решение............................... 109 обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача Введение (109). Пример краевой задачи (109). Линейная краевая задача (110). Метод численного построения общего решения (110). Конечно-разностный метод (прогонки) (111). Нелинейная краевая задача (112). Метод стрельбы (112). Вычислительная неустойчивость задачи Коши (114). Метод линеаризации (115). Порядок выполнения работы (116). Библиографическая справка (118).

Лабораторная работа 9. Численное решение............................... 119 дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Уравнение переноса Введение (119). Дифференциальная задача (119). Сеточная область (120). Пример разностной задачи (120). Шаблон разностной схемы (120). Погрешность метода (120). Невяз-ка (121). Спектральный признак устойчивости (122). Явный левый уголок (122). Явная четырехточечная схема (123). Яв-ная центральная трехточечная схема (124). Гибридная схема (схема Федоренко) (124). Схема «чехарда» (126). Неявный левый уголок (126). Неявный правый уголок (127). Неявная четырехточечная схема (127). Схема «прямоугольник» (128). Неявная шеститочечная схема (129). Точное решение задачи Коши для однородного уравнения (129). Порядок выполне-ния работы (130). Библиографическая справка (131).

Лабораторная работа 10. Численное решение............................. 132 дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Волновое уравнение Введение (132). Дифференциальная краевая задача (132). Сеточная область (133). Разностная задача (133). Шаблон раз-ностной схемы (133). Ошибка аппроксимации (133). Спек-тральный признак устойчивости (134). Способы конструиро-вания разностных схем (135). Сведение задачи (10.1) к задаче для системы двух уравнений первого порядка (138). Кон-трольные вопросы (149). Порядок выполнения работы (150). Библиографическая справка (150).




6

Лабораторная работа 11. Численное решение ............................ 151 дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Уравнение теплопроводности Введение (151). Дифференциальная краевая задача (152). Се-точная область (152). Пример разностной задачи (152). Шаб-лон разностной схемы (153). Спектральный признак устойчи-вости (153). Шеститочечная параметрическая схема (154). Схема Франкела–Дюфорта (155). Схема Ричардсона (155). Явная центральная четытрехточечная схема (156). Схема Алена–Чена (157). Нецентральная явная схема (157). Схема Саульева (158). Точные решения тестовых краевых задач для одномерного линейного уравнения теплопроводности (159). Порядок выполнения работы (160). Библиографическая справка (161).

Лабораторная работа 12. Численное решение уравнений ....... 162 эллиптического типа. Уравнение Пуассона Введение (162). Аппроксимация и устойчивость простей-шей разностной схемы (163). Обусловленность систем ли-нейных уравнений (167). Метод дискретного преобразова-ния Фурье (167). Метод сопряженных градиентов (169). Ме-тод простых итераций (169). Метод с оптимальным параметром (169). Трехслойный метод Чебышева (169). Ме-тод спектрально-эквивалентных операторов (169). Кон-трольные вопросы (170). Порядок выполнения работы (171). Библиографическая справка (171).

Лабораторная работа 13. Метод разностных потенциалов ..... 172 Введение (172). Форма области и сетка (173). Сеточные множества (173). Разностная вспомогательная задача (174). Разностный потенциал (175). Граничный проектор (175). Решение краевой задачи (176). Оператор вычисления плот-ности (177). Вычисление нормальной производной (178). Кусочно-кубическая интерполяция (179). Порядок выполне-ния работы (180). Библиографическая справка (181).

Приложение 1. Теоретическая справка ..................................... 182 к работам 9–12

Разностные методы (182). Спектральный признак устойчивости для эволюционных уравнений (184).

Приложение 2. Некоторые рекомендации ................................ 188 при работе с системой ОВМ

Редактирование (188). Вывод списка графиков на экран (189).

Список литературы ...................................................................... 191




7

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое учебное пособие включает описание лабораторных работ по вычислительной математике с использованием разрабо-танного на кафедре вычислительной математики МФТИ практи-кума «Основы вычислительной математики». Теоретической ос-новой практикума служит книга В. С. Рябенького «Введение в вычислительную математику» [1]. При подготовке практикума нашли свое отражение и другие учебники, созданные на кафедре [2–4]. Конечно, предлагаемое пособие не заменяет собой учебник, так как содержит лишь краткие теоретические справки по темам предлагаемых работ. Для более подробного изучения материала требуется знакомство с другими источниками. Список рекомен-дованной литературы приведен в конце книги.

Изучение вычислительной математики в последнее время тесно связано с практикой на ЭВМ. Примером таких «машинно-ориентированных» курсов служат недавние переводы книг [5, 6]. Можно отметить, что выбор основных тем для практикума вполне соответствует современным тенденциям [5].

Предлагаемое пособие в корне отличается от зарубежных аналогов. Так, в книге Дж. Каханера, К. Моулера и С. Нэша [5] в качестве вычислительной основы использованы программы из научной библиотеки SLATEK министерства энергетики США, написанной на фортране. Книга Дж. Голуба и Ч. Ван Лоуна [6], как и большинство других зарубежных учебников, ориентиро-вана на использовании MATLAB. С одной стороны, это являет-ся достоинством «компьютеризированных» курсов, рассчитан-ных на профессионалов (не обязательно вычислителей) — зна-комство студентов с широко распространенными профессиональными пакетами. С другой стороны, при таком подходе страдает методическая сторона, поскольку ни один прикладной пакет не содержит неустойчивый метод, не слиш-ком удачную аппроксимацию и т. п. Вместе с тем, эффекты, проявляющиеся при неудачном выборе метода, незнание границ его применимости могут привести к «открытиям» в соответст-вующих предметных областях. Вопросы, которые по определе-нию не подлежат реализации в прикладных пакетах, находят свое место в рамках лабораторного практикума.




8

Хорошо подобранные примеры и задания, прямое модели-рование изучаемых процессов дают возможность освоить наи-более известные методы, традиционно используемые при реше-нии научных и практических задач на ЭВМ, понять границы их применимости. Графические возможности ЭВМ позволяют в понятной и наглядной форме познакомиться с характерными эффектами, возникающими при численном решении задач. Практикум можно использовать для проведения лекционных и семинарских занятий, практических работ на ЭВМ, при самостоя-тельном изучении вычислительной математики. Отличительными чертами пакета являются: наличие контекстно-зависимой под-сказки, гипертекстовой системы помощи, интерактивного графи-ческого интерфейса, прямое моделирование исследуемых задач с возможностью интерактивного изменения параметров моделиро-вания.

Пакет состоит из 13 работ, каждая из которых содержит краткую справку, контрольные вопросы, порядок выполнения лабораторной работы и краткие рекомендации по работе с про-граммой. К большинству работ также приложена краткая биб-лиографическая справка по теме работы. Практикум разработан в 1992 г. на кафедре вычислительной математики МФТИ и с тех пор успешно применяется при проведении занятий по вычисли-тельной математике в МФТИ, МЭИ и других вузах. Он послу-жил основой первого в России электронного учебника, создан-ного под эгидой Российского НИИ информационных систем [7].

Авторы выражают благодарность выпускникам МФТИ, ко-торые в свои студенческие годы отдали много времени и сил на написание программ практикума. Это В. В. Байков, Д. Л. Будько, К. Б. Бухаров, А. Ю. Езерский, А. Б. Константинов, С. А. Корытник, Ю. П. Кравченко, Ю. Д. Крикунов, Д. В. Лунев, В. А. Торгашев, А. А. Тренихин, Г. Л. Химичев.

Авторы благодарны издательству МЗ-Пресс за возмож-ность осуществления данного проекта.

Лабораторный практикум доступен по адресу в Интернете: http://cs.mipt.ru/nummeth.

Желаем Вам успешного освоения курса вычислительной математики и надеемся, что наш практикум поможет сделать его более приятным и увлекательным.




9

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1.1. Введение В этой работе Вы познакомитесь с основными источниками воз-никновения погрешности. На специально подобранных приме-рах изучите влияние конечной арифметики на достоверность ре-зультатов, получаемых при численном решении задачи. В част-ности, для функции, представляемой сходящимся рядом Тейлора с теоретически бесконечным радиусом сходимости, вычислить ее значение с заданной точностью путем суммирова-ния ряда удается лишь для сравнительно небольших значений аргумента. Реальный «радиус сходимости» весьма невелик, и он сильно зависит от числа значащих цифр, используемых для представления чисел в ЭВМ.

Вычисление производной с использованием формул чис-ленного дифференцирования также таит в себе много интерес-ного. Все это Вы узнаете, если проделаете предлагаемую рабо-ту, но прежде чем Вы начнете ее выполнять, советуем ознако-миться с данной теоретической справкой, которая, конечно же, ни в коей мере не заменяет учебника.

Выполнение этой работы необходимо для понимания ре-альной ситуации, в которой используются рассматриваемые в других работах численные методы решения задач.

1.2. Погрешности вычислений. Теоретическая справка Напомним некоторые понятия, связанные с погрешностями. Ес-ли a — точное значение некоторой величины, *a — ее прибли-женное значение, то абсолютной погрешностью величины *a обычно называют наименьшую величину ),( *a про которую известно, что

).(|| ** aaa




10

Относительной погрешностью приближенного значения называют наименьшую величину ),( *a про которую известно, что

).( *)(*

*a

a

aa

В любой вычислительной задаче по некоторым входным дан-ным требуется найти ответ на поставленный вопрос. Для вычисле-ния значения функции )(xfy при tx входными данными за-дачи служат число x и закон f, по которому каждому значению ар-гумента x ставится в соответствии значение функции ).(xfy

Если ответ можно дать с любой точностью, то погрешность отсутствует. Но обычно ответ удается найти лишь приближен-но. Погрешность задачи вызывается тремя причинами.

Первая — неопределенность при задании входных данных, которая приводит к неопределенности в ответе. Ответ может быть указан лишь с погрешностью, которая называется неустранимой.

Проиллюстрируем понятие неустранимой погрешности на примере. Пусть функция )(xf известна приближенно, напри-мер, она отличается от xsin не более чем на величину :0

.)(sin)()(sin xxfx (1.1)

Кроме того, пусть значение аргумента tx получается при-ближенным измерением, в результате которого получаем

,*tx причем известно, что t лежит в пределах

,** ttt (1.2)

где 0 — число, характеризующее точность измерения (для определенности будем считать, что функция tsin на отрезке (1.2) монотонно возрастает).

Величиной )(tfy может оказаться любая точка отрезка

],[ bay (см. рис. 1), где ,)(sin * ta .)(sin * tb Понятно, что, приняв за приближенное значение величины

)(xfy любую точку *y отрезка [a, b], можно гарантировать оценку погрешности:

.|||| * abyy (1.3)




11

Эту гарантированную оценку погрешности нельзя существенно улучшить при имеющихся неполных входных данных.

Рис. 1

Самая малая погрешность, получается, если принять за y середину отрезка [a, b], положив

.2

||*опт* abyy

Тогда справедливая оценка

.||2

||*оптabyy

(1.4)

Таким образом, 0,5b – a и есть та неустранимая (не уменьшаемая) погрешность, которую можно гарантировать при имеющихся неопределенных входных данных в случае самого удачного выбора приближенного решения .*оптy Оптимальная оценка (1.4) ненамного лучше оценки (1.3). Поэтому не только о точке ,*оптy но и о любой точке ],[* bay условимся гово-рить, что она является приближенным решением задачи вычис-ления числа ),(ty найденным с неустранимой погрешностью, а вместо 0,5b – a из (1.4) за величину неустранимой погрешно-сти примем (условно) число b – a.

Вторая причина возникновения погрешности состоит в том, что при фиксированных входных данных ответ вычисля-




12

ется с помощью приближенного метода. Возникает погреш-ность, связанная с выбором метода — погрешность метода вычислений. Проиллюстрируем это понятие на следующем простом примере.

Положим .sin ** ty Точка *y выбрана среди других то-чек отрезка [a, b] (см. выше по поводу неустранимой погреш-ности), так как она задается при помощи удобной для даль-нейшего формулы.

Воспользуемся разложением функции tsin в ряд Тейлора:

!5!3

53sin tttt (1.5)

Для вычисления значения *y можно выбрать одно из следую-щих выражений:

,**1* tyy

,!3

**2*3*ttyy (1.6)

.)1(0 )!12(

**)12(*

n

k ktkn

kyy

Выбирая для приближенного вычисления *y одну из формул (1.6), тем самым выбираем метод вычисления.

Величина || ** nyy — погрешность метода вычисления. Фактически выбранный метод вычисления зависит от па-

раметра n и позволяет добиться, чтобы погрешность метода бы-ла меньше любой наперед заданной величины за счет выбора этого параметра.

Очевидно, нет смысла стремиться, чтобы погрешность мето-да была существенно (во много раз) меньше неустранимой по-грешности. Поэтому число n не стоит выбирать слишком боль-шим. Однако, если n слишком мало и погрешность метода суще-ственно больше неустранимой погрешности, то избранный способ не полностью использует информацию о решении, содер-жащуюся во входных данных. Часть этой информации теряется.

Наконец, сам выбранный приближенный метод реализует-ся неточно из-за ошибок округления при вычислениях на реаль-




13

ном компьютере. Так, при вычислении *ny по одной из формул (1.6) на реальном компьютере в результате ошибок округления мы получим значение .~*ny

Величину |~| ** nn yy называют погрешностью округления. Она не должна быть существенно больше погрешности метода. В противном случае произойдет потеря точности метода за счет ошибок округления. Точность метода вычислений также целесообразно согласовывать с величиной ожидаемых ошибок округления.

Погрешность результата складывается, таким образом, из неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешно-сти округления. Рассмотрим несколько простых примеров.

1.3. Вычисление значения функции с помощью разложения ее в ряд Тейлора Пусть требуется вычислить значения .sin ty Воспользуемся разложением функции tsin в окрестности нуля в ряд Тейлора, радиус сходимости которого для данной функции равен беско-нечности:

!5!3

53sin tttt

Для вычисления y можно воспользоваться одним из при-ближенных выражений:

,**1* tyy

,!3

**2*3*ttyy

.)1(0 )!12(

**)12(*

n

k ktkn

kyy

Выбирая для вычисления y одну из приведенных формул, мы тем самым выбираем приближенный метод вычисления, точ-ность которого определяется числом привлекаемых членов ряда n.

Ряд Тейлора для функции tsin является знакопеременным,




14

сходится для любого значения t, а его частичная сумма отлича-ется от точного значения функции не более, чем на величину первого отброшенного члена ряда. Выбирая n так, чтобы

,)!12(

12

nt n

можно добиться любой наперед заданной точности . Однако при вычислениях на реальном компьютере полу-

чить результат с требуемой точностью для t (которое сущест-венно больше единицы) не удается из-за быстрого роста ошибок округления. Последние тем больше, чем больше t. Это связано с различным характером поведения величины членов ряда Тейло-ра при 1t и .1t При 1t члены ряда по абсолютной вели-чине монотонно убывают в зависимости от n. При 1t члены ряда по модулю сначала растут (тем сильнее, чем больше t) и только потом, достигнув при некотором mk максимума, на-чинают убывать и стремиться к нулю при .n Для того, чтобы обеспечить при вычислении, например, ma -го (макси-мального по модулю) члена ряда абсолютную погрешность, не превосходящую , необходимо вычислить его с относительной погрешностью, не хуже чем

.)(|||| mm

maa

ama

Требуемая относительная точность тем выше, чем больше |,| ma что можно обеспечить только увеличением длины ман-

тиссы. Величина погрешности округления зависит также от того,

как алгоритмически реализован приближенный метод. Напри-мер, частичную сумму ряда для функции tsin можно подсчи-тывать, суммируя члены ряда в их естественном порядке; можно суммировать в обратном порядке (с конца); можно рассматри-вать отрезок ряда как полином и использовать для его вычисле-ния схему Горнера; можно просуммировать отдельно положи-тельные и отрицательные члены ряда и затем вычесть из первой суммы вторую и т. д. (из перечисленных алгоритмов последний наиболее чувствителен к ошибкам округления).

Схемой Горнера называют запись полинома n-й степени в следующем виде




15

.))(()( 01 axxaxaxP nnn

Формальное использование этой схемы для вычисления значений отрезка ряда без учета специфики вычислений на ЭВМ приведет к неверным результатам уже при сравнительно не-больших n. Сохранив идею, необходимо внести в нее соответст-вующие коррективы.

1.4. Вычисление производной Пусть задана функция ).(xf Необходимо вычислить ее первую производную в некоторой точке x. Воспользуемся для этого формулами численного дифференцирования различного поряд-ка аппроксимации.

1.5. Формула первого порядка аппроксимации

.)( )()()I(h

xfhxfxf (1.7)

Пусть известно, что ;|)(| 2)II( Mf тогда погрешность метода для этой формулы имеет первый порядок по h:

.)(||2

)()()I(12 hM

hxfhxfxfr

(1.8)

Пусть значения функции )(xf известны с погрешностью ),(x .E|)(| x Даже в случае отсутствия неустранимой по-

грешности f, при вычислении значения функции на ЭВМ возни-кает погрешность за счет ошибок округления, и ее величина в этом случае зависит от представления чисел в машине. Тогда при вычислении производной по формуле (1.7) возникает по-грешность ,2r причем

.|| E22 h

r (1.9)

Для суммарной погрешности r имеем оценку

.)(|||||| E22212

h

hMhgrrr (1.10)

Для уменьшения погрешности метода необходимо, со-




16

гласно оценке (1.8), уменьшить шаг h, но при этом растет вто-рое слагаемое в (1.10).

На рис. 2 представлен характер зависимости погрешности метода, погрешности вычисления функции и суммарной по-грешности в зависимости от шага h. Минимум суммарной по-грешности достигается в точке *h экстремума функции :)(hq

,0)( hq причем в ней .21 rr

Рис. 2

Тогда имеем для оптимального шага дифференцирования:

,0)(

dhhdq .2

2

E*M

h (1.11)

При использовании формулы (1.7) нельзя рассчитывать на точность более высокую, чем

,E 2* Mr (1.12)

которая является следствием (1.10) при .*hh Если погрешность при вычислении функции связана лишь

с ошибками округления, то в этом случае |,|2E ft где t — число разрядов, отводимых под хранение мантиссы числа. Сле-довательно, производную можно вычислить, в лучшем случае, с половиной верных знаков (если 2M и 1|| f ).

Рассмотрим теперь как изменятся результаты в случае ис-




17

пользования формулы численного дифференцирования второго порядка аппроксимации. 1.6. Формула второго порядка аппроксимации

.)(2

)()()I(h

hxfhxfxf (1.13)

Пусть известно, что ;|)(| 3)III( Mf тогда погрешность мето-да для этой формулы имеет второй порядок по h:

.)(||62

)()()I(12

3 hM

hhxfhxfxfr

(1.14)

Пусть значения функции )(xf известны с погрешностью ),(x .E|)(| x Тогда при вычислении производной по форму-

ле (1.13) возникает погрешность |,| 2r причем

.|| E2 h

r (1.15)

Для суммарной погрешности r имеем оценку:

.)(|||||| E621

23

h

hMhqrrr (1.16)

Для уменьшения погрешности метода необходимо, со-гласно оценке (1.14), уменьшить шаг h, но при этом растет второе

Рис. 3




18

слагаемое в (1.16). На рис. 3 представлен характер зависимости погрешности метода, погрешности вычисления функции и сум-марной погрешности в зависимости от шага h. Минимум по-грешности достигается в точке h — экстремума функции :)(hq

.0)( hq Оптимальное значение шага численного дифферен-цирования есть:

.3 E3*3M

h (1.17)

Таким образом, при использовании формулы (1.13) нельзя рассчитывать на точность более высокую, чем

.38

E9* 32 M

r (1.18)

Ниже рассматривается формула четвертого порядка ап-проксимации.

1.7. Формула четвертого порядка аппроксимации

.12

)2()(8)(8)2()I(h

hxfhxfhxfhxff (1.19)

Пусть известно, что ;|)(| 5)5( Mf тогда погрешность метода для этой формулы имеет четвертый порядок по h:

.||3012

)2()2(8)(8)2()I(14

5 hM

hhxfhxfhxfhxffr

(1.20)

Пусть значения функции )(xf известны с погрешностью ),(x .E|)(| x Тогда при вычислении производной по форму-

ле (1.19) возникает погрешность |,| 2r причем

.||2

E32 h

r (1.21)

Для суммарной погрешности r имеем оценку

.)(||||||2

E33021

45

h

hMhqrrr (1.22)




19

Для уменьшения погрешности метода необходимо, со-гласно оценке (1.20), уменьшить шаг h, но при этом растет второе слагаемое в (1.22).

На рис. 4 представлен характер зависимости погрешности метода, погрешности вычислений и суммарной погрешности в зависимости от шага h.

Рис. 4

Минимум погрешности достигается в точке *h экстремума функции :)(hq .0)( hq Имеем для оптимального шага чис-ленного дифференцирования

.54

E45*5M

h (1.23)

Таким образом, при использовании формулы (1.19) нельзя рассчитывать на точность более высокую, чем

.515

E48

15* 54 Mr

1.8. Контрольные вопросы

1. Как известно, для вычисления функции xln можно использо-вать следующий ряд по x:




20

k

xkxxx kxx 1

432)1()1(ln

432 (а)

Можно представить x1 в виде ,21 zx m где ],1;5,0[z положив далее

,11

zzy

для представления логарифма получаем ряд

.22lnln123

123

kyy k

ymx (б)

В чем преимущества и недостатки использования ряда (б)? Как оценить погрешность метода при использовании каждого из этих разложений?

2. Какова относительная погрешность округления при представ-лении действительного числа в ЭВМ, если под хранение ман-тиссы отводится p бит? (Ответ: .2 p )

Указание: Рассмотрите представление произвольного действи-тельного числа в виде бесконечной двоичной дроби:

,2sign11

221

2222

pp

pp aaaaqaa

где la равно 0 или 1, и соответствующее ему округленное представление:

.2sign222 2

21

ppaaaqaa

3. Пусть функция )(xf задана таблично: заданы значения ар-гументов Nxxxx 210 (расстояние между двумя со-седними точками h) и значения функции в них ,0f ,1f … .Nf

Самостоятельно выведите формулу вычисления односто-ронней производной для приближенного вычисления )(xf в

точках 0x и Nx с точностью до )O( 2h и ).O( 3h Найдите оп-




21

тимальные шаги численного дифференцирования. Сравните их с оценками для центральных разностей.

Указание: Для вывода формул используйте метод неопреде-ленных коэффициентов, а именно, равенство

.)22)1(10(0 ()0 )(

hxfxx ff

xf

Подберите ,0 1 и 2 так, чтобы равенство выполнялось с

точностью до ).O( 2h

4. Вторая и третья производные функции вычисляются по при-ближенным формулам

2)()(2)()(

h

hxfxfhxfxf

и

.)(32

)2()(2)(2)2(

h

hxfhxfhxfhxfxf

Найдите погрешность метода и неустранимую погреш-ность при вычислениях по этим формулам. Найдите оптималь-ные шаги численного дифференцирования и минимально воз-можную ошибку.

1.9. Порядок выполнения работы Начните выполнение работы с вычисления функции ty sin с помощью ряда Тейлора (пункт меню «Методы» к разделу «Ря-ды»). Задайте максимальную длину мантиссы (K = 52), обычно используемую при работе с переменными типа double; задайте начальный интервал изменения аргумента 10].[0,t Последо-вательно увеличивая число членов ряда, привлекаемых для вы-числения суммы, визуально убедитесь в том, что для фиксиро-ванного t точность метода растет с ростом n. Отметьте, что чем больше t, тем большее число членов ряда необходимо привле-кать для обеспечения необходимой точности.

Отодвиньте правую границу интервала t вправо настолько, чтобы наблюдаемое отклонение от точного значения функции

tsin нельзя было устранить увеличением точности метода. Уста-




22

новите режим «Вычисление ряда с заданной точностью » и убедитесь, что результат будет тем же. Попытайтесь объяснить наблюдаемое явление. В случае затруднений обратитесь к раз-делу меню «Учебник». Меняя длину мантиссы (число К), убеди-тесь, что наблюдаемый эффект возникает тем раньше, чем мень-ше это число.

Установите режим «Вычисление ряда с заданной точно-стью » и задайте точность очень грубую, например .3 Объ-ясните наблюдаемую картину.

Задайте интервал для ],20,0[t длину мантиссы K = 20, число членов ряда .24n Оцените, какой вклад в наблюдае-мую погрешность вносит ошибка метода и какая ошибка воз-никает из-за мантиссы конечной длины. Задайте режим «Вы-числение ряда с заданной точностью » (в этом режиме про-грамма сама выбирает минимально необходимое число членов ряда для вычисления значения функции при каждом t с за-данной точностью) и задайте достаточно высокую точность. Объясните, почему наблюдаемая погрешность намного пре-вышает заданную точность.

Используя информацию с экрана, оцените величину мак-симального по модулю члена ряда для t = 20, приняв в качестве гипотезы, что наблюдаемая погрешность возникла при вычис-лении только одного максимального члена ряда.

Найдите номер m максимального по модулю члена ряда. Для этого можно воспользоваться связью между 1na -м и na -м членами ряда:

.||||)12(21

2

nn

tnn aa

Найдя m, оцените .|| ma Сравните полученный результат с ранее найденным значением .|| ma

Установите .10 5 Почему в этом случае погрешность носит пилообразный характер?

Перейдите к пункту меню «Методы–Дифференцирование». Установите длину мантиссы (начните с максимальной). Задайте начальный шаг h для вычисления производной. Выберите фор-мулу первого порядка аппроксимации и функцию, для которой будет вычисляться производная. Последовательно уменьшая шаг h, проследите, как ведет себя погрешность метода и по-




23

грешность, связанная с использованием конечной арифметики. Уменьшайте шаг до тех пор, пока на графике производной не появятся аномальные эффекты; посмотрите, что произойдет при дальнейшем уменьшении шага. Постарайтесь объяснить наблю-даемые явления. Изменяя длину мантиссы, исследуйте, какое влияние оказывает на них эта характеристика ЭВМ.

Установив режим «Выбор точки», получите на экране за-висимость погрешности вычисления производной от шага, сравните ее с теоретической. С помощью инструментария про-граммы Вы можете вывести на экран отдельные фрагменты этой зависимости в более крупном масштабе (пункт меню «Запуск–Масштабирование»). Определите, при каком шаге h погреш-ность минимальна. Установите, какова эта погрешность. Как влияет на эти величины длина мантиссы? Сравните результаты с теоретическими оценками.

Изменение масштабов в окне, где отображена погреш-ность, осуществляется либо с помощью мыши, либо с исполь-зованием клавиатуры. При этом рамка лупы управляется кноп-ками Home, End, PageUp, PageDown. Перемещается рамка лу-пы с помощью стрелок.

Проделайте это же задание, используя формулы численно-го дифференцирования второго и четвертого порядка точности. Сравните все три метода по оптимальному шагу, при котором достигается минимум погрешности, по величине этой погреш-ности. Сравните с теоретическими оценками.

1.10. Библиографическая справка Подробнее элементарная теория погрешностей рассмотрена в [1, 32]. Некоторые аспекты вычислений с конечной арифмети-кой можно найти в [5]. Анализ влияния конечноразрядной арифметики на результаты вычислений в задачах линейной ал-гебры проведен в [6].




24


ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1. Введение Работа позволяет изучить основные свойства процесса интерпо-ляции функций, заданных таблицей. Для функций с различными дифференциальными свойствами иллюстрируются особенности процесса глобальной алгебраической и тригонометрической ин-терполяции. Изучается погрешность алгебраической и тригоно-метрической интерполяции, сходимость, устойчивость и насы-щаемость гладкостью интерполяционного процесса на различ-ных системах узлов интерполяции: равноотстоящие узлы, корни полиномов Чебышева, экстремумы полиномов Чебышева. Рас-сматривается кусочно-многочленная гладкая интерполяция двух типов — локальные и нелокальные сплайны, а также негладкая кусочно-линейная, кусочно-квадратичная, и кусочно-кубическая интерполяция.

2.2. Задача интерполяции Задача интерполяции состоит в нахождении обобщенного мно-гочлена

,)()(0

n

kkkn xcxP (2.1)

где )(xk — фиксированные функции, а значения коэффициен-тов определяются из условия равенства со значением прибли-жаемой функции в узлах интерполяции

,)( kkn fxP .,,1,0 nk (2.2)

Набор точек jx на интервале [a, b], 10 xxa

,bxn в которых заданы значения функции ),( jxf назы-




25

вают сеткой. Множество точек jx иногда также называют уз-лами сетки или узлами интерполяции.

Мы будем называть сетку равномерной, если

,const1 jj xx ;1,,1,0 nj

,0xa .nxb Если ,)( kk xx то соответствующая интерполяция назы-

вается алгебраической, если k — тригонометрические функ-ции, то говорят о тригонометрической интерполяции.

Если построенный многочлен (2.2) используется для вос-становления функции на всем отрезке [a, b], то говорят о гло-бальной интерполяции. Если же для восстановления функции между каждыми двумя соседними узлами строится многочлен заданной невысокой степени, то говорят о кусочно-многочленной интерполяции.

Если значения функции f(x) заданы в узлах jx на интерва-

ле [a, b], ,10 bxxxa n то говорят, что функция f(x) задана таблицей.

2.3. Алгебраическая интерполяция

Теорема 1. Пусть задан n + 1 узел ,0x ,1x …, ,nx среди ко-торых нет совпадающих, и значения функции в этих узлах

),( 0xf ),( 1xf …, ).( nxf Тогда существует один и только один многочлен ),,,,,()( 10 nnn xxxfxPxP степени не выше n, принимающий в узлах kx заданные значения ).( kxf

Интерполяционный многочлен можно записать (и соответ-ственно вычислить) различными способами представляя его в ви-де разложения по степеням x (в форме Лагранжа и в форме Ньютона), или в виде разложения по ортогональным многочле-нам.

2.4. Непосредственное вычисление коэффициентов интерполяционного полинома Полином степени n можно записать в виде




26

,...)( 2210 nnn xaxaxaaxP (2.3)

где ,0a …, na — неопределенные коэффициенты. Их можно определить из n+1 условия:

),( 00202010 xfxaxaxaa nn

),( 11212110 xfxaxaxaa nn

............................................................. (2.4) ).(2210 nnnnnn xfxaxaxaa

Определитель системы (2.4) есть детерминант Вандермон-да, известный из курса линейной алгебры. Его значение в слу-чае, когда выполняются условия теоремы 1, отлично от нуля, что доказывает существование и единственность полинома. Эта линейная система во многих случаях является плохо обусловлен-ной. Последнее связано с тем, что последовательные степени 1, x, ,2x …, nx «почти линейно зависимы» на интервале 0 < x < 1. Напомним, что обусловленность линейной системы Ay = b оп-ределяется числом

||,|||||| 1 AA (2.5)

которое определяет относительную погрешность решения системы в зависимости от относительной погрешности правой части b:

.||||||||

||||||||

bδb

yδy

(2.6)

Матрицу A будем называть сингулярной, если в рамках сис-темы вычислений с плавающей точкой на данной машине вы-полняется равенство .1

2.5. Интерполяционный полином в форме Лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона Введем вспомогательные многочлены

.)())(()()())(()(

110110

nkkkkkknkk

xxxxxxxxxxxxxxxx

kl

(2.7)

Многочлен ),(xPn заданный равенством

)()(),,,,,()( 0010 xlxfxxxfxPxP nnn




27

),()()()( 11 xlxfxlxf nn (2.8)

есть интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Употребляются и другие виды записи интерполяционного

многочлена. Часто используется запись в форме Ньютона. Определим разностные отношения (иногда употребляется

термин «разделенные разности»). Пусть функция )(xf в точках ,ax ,bx ,cx dx и т. д. принимает значения ),( axf ),( bxf

),( cxf ).( dxf Разностные отношения нулевого порядка )( kxf функции

)(xf в точке kx определяют, как значение функции в этой точке ),()( kk xfxf k = a, b, c, d … Разностные отношения первого

порядка ),( tk xxf функции )(xf для произвольной пары точек

kx и tx определим через разностные отношения нулевого по-рядка:

.),()()(

kt

ktxx

xfxftk xxf

(2.9)

Разностное отношение ),...,,( 10 nxxxf порядка n определим че-рез разностное отношение порядка ,1n положив:

.),,,(0

101 ),,(),,(10 xx

xxfxxfn

n

nnxxxf

(2.10)

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона ),,,,,( 10 nn xxxfxP с использованием введенных разностных

отношений может быть записан как:

))(,()(),,,,,( 010010 xxxxfxfxxxfxP nn ))()(,,( 10210 xxxxxxxf

.xxxxxxxf nn )())(,,,( 1010 (2.11)

Если ,10 nxxx то соответствующую интерполяцию называют интерполяцией вперед; в случае nxxx 10 ин-терполяцию называют интерполяцией назад.

2.6. Формула для погрешности алгебраической интерполяции




28

Оценим погрешность ),,()()( fxPxfxR ss ,1 kk xxx возникающую при приближенной замене )(xf алгебраическим многочленом ).,( fxPs В основе оценки лежит следующая об-щая теорема о формуле погрешности.

Теорема 2. Пусть )(tf — функция, определенная на не-котором отрезке t и имеющая производные до некото-рого порядка s + 1 включительно.

Пусть ,0t ,1t …, st — произвольный набор попарно раз-личных точек из отрезка ];,[ ),( 0tf ),( 1tf …, )( stf — зна-чения функции )(tf в этих точках; )(tPs — интерполяционный многочлен степени не выше s, построенный по этим значениям. Тогда погрешность интерполяции )()()( tPtftR ss пред-ставляется формулой:

),())(()( 10)!1()()1(

sszf

s tttttttRs

(2.12)

где )(tzz — некоторая точка интервала ].,[

2.7. О сходимости интерполяционного процесса На отрезке a ≤ х ≤ b будем рассматривать бесконечную последо-вательность узлов интерполяции

11x

22

21 , xx

33

32

31 ,, xxx

............................. (2.13) nnnnn xxxx ,,,, 321

............................. и соответствующую последовательность интерполяционных многочленов ),,( fxPn построенную для некоторой функции

),(xf принимающей конечное значение.

Теорема 3. (Фабера). Какова бы ни была последователь-




29

ность узлов интерполяции, существует непрерывная функция f, для которой последовательность интерполяционных многочле-нов расходится.

Теорема 4. Для каждой функции f, непрерывной на конеч-ном отрезке, существует такая последовательность узлов ин-терполяции, что соответствующий ей интерполяционный про-цесс равномерно сходится к f.

Теорема 5. Не существует последовательности узлов, для которой интерполяционный процесс был бы равномерно сходящимся для всякой непрерывной на отрезке функции.

Теорема 6. Если функция f имеет ограниченную производ-ную на отрезке, то интерполяционный процесс, в котором за узлы принимаются корни многочленов Чебышёва, сходится рав-номерно к f.

Основные термины. Интерполирующую функцию иногда называют интерполянтом.

Гладкий кусочно-многочленный интерполянт называется сплайном.

2.8. Обусловленность задачи построения интерполяционного многочлена для функции, заданной таблицей Интерполяционный многочлен

,)()(0

n

kkkn xcxP (2.14)

где )(xk — фиксированные функции, а значения коэффициентов

kc определяются из условия совпадения со значениями прибли-жаемой функции в узлах интерполяции, можно записать в виде

),()(0

xlfxPn

kkkn

(2.15)

для ,0)( ik xl ;ik ;1)( kk xl n.ik ,,1,0, )(xlk иногда называют фундаментальными полиномами.

Придадим значениям функции )( jxf возмущения




30

).( jxf Интерполяционный многочлен ),( fxPn заменится

многочленом ).,( ffxPn Так как ),(),(),( fxPfxPffxP nnn в силу линейно-

сти (2.15) по f, то возмущение ),,( fxPn которое претерпевает интерполяционный многочлен, можно оценить как:

.|)(||)(|max|),(|0

n

kkjn xlxffxP (2.16)

Это возмущение при заданных узлах интерполяции и фиксиро-ванных базисных функциях )(xk зависит только от f.

Введем в рассмотрение функцию ,|)(|)(0

n

kkn xlxL кото-

рая называется функцией Лебега. За меру чувствительности интерполяционного многочлена

к возмущениям задания функции в узлах f принимается наи-меньшее число ,Ln при котором для каждого f выполнено не-равенство

.|)(|maxL|),(|max jj

nnbxa

xffxP

(2.17)

Очевидно, что ).(maxL xLnbxa

n

Числа ),,,,,,(LL 10 baxxx nnn ,1,0n называют константами Лебега. Эти числа растут с ростом n. Их поведе-ние при возрастании n существенно зависит от отрезка [a, b] и от расположения узлов интерполяции на этом отрезке.

Для алгебраической интерполяции ))(( kk xx в случае равномерно расположенных узлов

,constL 2

nn

n

т. е. чувствительность результата интерполяции к погрешностям задания функции в узлах резко возрастает с ростом n. Такие по-грешности неизбежны как при получении табличных значений в результате измерений, так и в результате округлений.

Если узлами интерполяции являются корни полинома Че-бышёва или точки, где этот полином достигает экстремумов, то




31

,lnconstL nn т. е. с ростом n константы Лебега растут очень медленно. В этом случае вычислительная неустойчивость не яв-ляется препятствием для использования интерполяционных многочленов высокой степени.

2.9. Классическая кусочно-многочленная интерполя-ция

Пусть функция )(xf задана таблицей. Для восстановления функции между узлами можно воспользоваться функцией, ко-торая между каждыми двумя соседними узлами является много-членом заданной невысокой степени, например, первой, второй, третьей и т. д.

Соответствующая интерполяция называется кусочно-линейной, кусочно-квадратичной и т. п.

2.10. Оценка неустранимой погрешности при приближении функции по ее значениям в узлах интерполяции. Выбор степени кусочно-многочленной интерполяции

Пусть функция )(xf определена на отрезке ],0[ и пусть зада-ны ее значения в узлах равномерной сетки ,/ nkxk k

.,,1,0 n По таблице ),0(xf ),( 1xf …, ),( nxf в принципе, нельзя восстановить функцию )(xf точно, потому что значения различных функций могут совпадать в точках ,kx k = 1, …, n, т. е. различные функции могут иметь одинаковую таблицу.

Если, о функции известно лишь то, что она непрерывна, то ее нельзя восстановить в точке ,kxx k = 0, 1, …, n, ни с какой гарантированной точностью.

Пусть о функции )(xf известно, что она имеет производ-ные порядка s + 1, причем

.const|)(|max )1( ssx

Mxf (2.18)

Укажем две функции

,)(1

sin)I(

sn

nxxf ,)(

1sin

)II(

sn

nxxf (2.19)




32

для которых таблицы ),()( )II()I( kk xfxf k = 0, 1, …, n, совпа-дают (обе таблицы содержат лишь нули) Эти функции уклоня-ются друг от друга на величину порядка :1sh

.2max2|)()(|max 1sin)II()I( 1

sn

nx

xxhxfxf

s (2.20)

Таким образом, зная лишь оценку s + 1 производной, в принци-пе нельзя восстановить табличную функцию с точностью, большей, чем ).(O 1sh Данная погрешность неустранима.

2.11. Насыщаемость (гладкостью) кусочно-многочленной интерполяции

Пусть функция )(xf определена на отрезке [a, b], и задана ее таблица )( kxf в равноотстоящих узлах ,kx ;,,1,0 nk с шагом ./)( nabh

Погрешность кусочно-многочленной интерполяции степе-ни s (с помощью интерполяционных многочленов ),( kjs fxP на

отрезке 1 kk xxx ) в случае, если на [a, b] существует и ог-

раничена )()1( xf s , имеет порядок ).(O 1sh Если о функции )(xf известно лишь, что она имеет огра-

ниченную производную до некоторого порядка q, ,sq то не-устранимая погрешность при ее восстановлении по таблице есть ).(O 1qh Можно показать, что при интерполяции с помо-

щью ),( kjs fxP порядок )(O 1qh достигается.

Если )(xf имеет ограниченную производную порядка q + 1, q > s, то погрешность интерполяции с помощью ),( kjs fxP

остается ),(O 1sh т. е. порядок погрешности не реагирует на дополнительную, сверх s + 1 производной, гладкость функции

).(xf Это свойство кусочно-многочленной интерполяции назы-вают свойством насыщаемости (гладкостью).

2.12. Кусочно-многочленная гладкая интерполяция (сплайны). Локальные сплайны




33

Классическая кусочно-линейная, кусочно-квадратичная и, во-обще, кусочно-многочленная интерполяция заданной степени приводят к интерполирующей функции (интерполянту), которая в узлах интерполяции, вообще говоря, не имеет производной даже первого порядка. Существует два типа гладких кусочно-многочленных интерполянтов — локальные и нелокальные сплайны. Они обладают заданным числом производных всюду, включая узлы интерполяции.

Рассмотрим локальные сплайны. Пусть заданы узлы интерпо-ляции :lx 1 ll xx и значения функции )( lxf в них. Зададим натуральное число s, фиксируем натуральное число j: j ≤ s. Каждой точке lx сопоставим интерполяционный многочлен ),,( fxPs по-строенный по значениям ),( jlxf ),( 1 jlxf …, )( sjlxf в

узлах ,jlx ,1 jlx …, .sjlx Кусочно-многочленную интер-

полирующую функцию ),,( sx имеющую непрерывные произ-водные порядка s, определим равенствами

),,(),( 12 kxQsx s

,1 kk xxx k = 0, 1, 2, … (2.21)

где ),(12 kxQ s — многочлен степени не выше 2s + 1, опреде-ляемый равенствами

.,,1,0,при,

;,,1,0,при,

1),(

),(),(12

smxx

smxx

kdxfxPd

kmdxfxPd

dxkxQd

msm

sm

msm

(2.22) Верны следующие теоремы.

Теорема 7. Существует один и только один многочлен степени не выше 2s + 1, удовлетворяющий (2.22).

Теорема 8. Пусть )(xf — многочлен степени не выше s. Тогда интерполянт ),( sx совпадает с этим многочленом.

Теорема 9. Кусочно-многочленная интерполирующая функ-ция ),,( sx определяемая равенством (2.22), в узлах интерполяции

lx совпадает с заданным в них значением ),( lxf l = 0, 1, …




34

Кроме того, ),( sx имеет всюду в области своего опреде-ления непрерывную производную порядка s.

Многочлен ),(12 kxQ s можно записать в виде

),,(),(),( 1212 kxRfxPkxQ sss (2.23)

обозначив через ),(12 kxR s поправку к классическому интер-поляционному многочлену ).,( fxPs

Рассмотрим здесь наиболее интересный для приложений случай, когда s = 2, j = 1, а узлы интерполяции функции состав-ляют равномерную сетку. Тогда

3

3

31123 )()()(3)(3)(

!25 ),(h

xх

hxfxfxfxfh kkkkkkxR

.3)(21

h

xх

h

xх kk (2.24)

Эта формула справедлива только при 0 < k < n. На отрезках a

10 xxx и bxxx nn 1 поправка: .0),(5 kxR

2.13. Нелокальная гладкая кусочно-многочленная интерполяция Пусть задана таблица. Поставим задачу найти на каждом отрез-ке 1 kk xxx кубический многочлен ),(3 kxP так, чтобы возникающая при этом на отрезке bxa кусочно-многочленная функция совпадала с заданной функцией в узлах и имела непрерывные производные до порядка s = 2. Общее число неизвестных — 4n. Число дополнительных условий равно 4n – 2. Недостающие условия можно задавать различными спо-собами. Наиболее употребляемыми являются следующие два:

0232

232 ),()0,(

dxnxPd

dxxPd — «свободный сплайн»; (2.25)

,303

333 )0,(

dxcd

dxxPd

.3

3

333 ),(

dxcd

dxnxPd n (2.26)

Здесь )(),(0 xcxc n — единственные кубические кривые, кото-рые проходят соответственно через четыре первые и четыре по-




35

следние из заданных точек. Построенная таким образом функция называется кубическим

сплайном Шонберга. Если интерполируемая функция имеет огра-ниченную производную третьего порядка, то непрерывный с про-изводными до второго порядка сплайн Шонберга сохраняет не-улучшаемые аппроксимационные свойства классической, а также локальной гладкой кусочно-многочленной интерполяции.

Однако сплайны Шонберга теряют свойства локальности, присущие как классической кусочно-многочленной интерполя-ции, так и локальной гладкой интерполяции: коэффициенты мно-гочлена, задающие интерполянт на каком-либо отрезке

,1 kk xxx зависят от значений функции во всех узлах сетки.

2.14. Тригонометрическая интерполяция Задача (линейной) тригонометрической интерполяции состоит в нахождении тригонометрического многочлена вида

L

xx

L

xxnQ

)(2)(2 00 sin,cos

.sincos1

)(2

0

)(2 00

n

k L

xxkk

n

k L

xxkk ba (2.27)

Здесь k и n — натуральные числа, 0xxL N — положитель-ное число, ],[ 0 Nxx — отрезок интерполяции, ka и kb — чи-словые коэффициенты.

Теорема 10. (Первый вариант задания узлов интерполя-ции). Пусть N = 2(n+1), n — натуральное число. При произволь-ном задании значений функции ,mf периодической с периодом L, в узлах сетки

,20 NL

NLm

m xx m = 0, 1, …, N – 1

существует один и только один интерполяци-онный тригонометрический многочлен

fQ

L

xx

L

xxn ,

)(2)(2 00 sin,cos




36

,sincos1

1

)(2

0

)(2 00

n

k L

xxkk

n

k L

xxkk ba (2.28)

удовлетворяющий равенствам ,)( mmn fxQ m = 0, …, N – 1. Коэффициенты этого многочлена задаются формулами

,1

0

10

N

mmN

fa

1

0

11 ,)1(

N

mmm

Nn fb

,cos1

0

22

N

m NNm

mNk kfa ,,,2,1 nk (2.29)

,sin1

1

22

N

m NNm

mNk kfb .,,2,1 nk

Теорема 11. (Bторой вариант задания узлов интерполя-ции). Пусть N = 2n. При произвольном задании значений функ-ции ,mf периодической с периодом L, в узлах сетки

,0 NLm

m xx m = 0, 1, …, (N – 1)

существует один и только один интерполяци-онный тригонометрический многочлен

fQ

L

xx

L

xxn ,sin,cos

)(2)(2 00

,sincos1

1

)(2

0

)(2 00

n

k L

xxkk

n

k L

xxkk ba (2.30)

удовлетворяющий равенствам ,)( mmn fxQ m = 0, 1, 2, …, (N – 1).

Коэффициенты этого многочлена задаются формулами

,1

0

10

N

mmN

fa

1

0

1 ,)1(N

mmm

Nn fa

,cos1

0

22

N

m Nkm

mNk fa ,1,,2,1 nk (2.31)




37

,sin1

1

22

N

m Nkm

mNk fb .1,,2,1 nk

Теорема 12. (Произвольное расположение узлов интерпо-ляции на отрезке периодичности). Пусть заданы значения :if i = 1, …, N, периодической с периодом L функции )(xf в N = 2n несовпадающих точках :ix i = 1, …, N, принадлежащих отрез-ку ],,[ ba ,Lab ).()( 1 bfffaf N

Тогда существует один и только один интерполяционный тригонометрический многочлен

,)(,sin,cos1

0

)(2)(2

N

kkkL

axL

axn xlffQ (2.32)

.)()()()(

)()()(

11

11

sinsinsin

sinsinsin

Laxx

Laxx

Laxx

L

axx

L

axx

L

axx

Nkikk

Ni

xlk

(2.33) (В произведениях отсутствует сомножитель, соответствую-щий i = k, так что 1)( kk xl ).

Построенные тригонометрические многочлены обладают определенными преимуществами перед алгебраическим много-членом, построенным по значениям функции в узлах .mx

Во-первых, при N погрешность тригонометриче-ской интерполяции

fQxffxRL

xL

xN ,sin,cos)(),( 22

равномерно стремится к нулю, если )(xf имеет хотя бы вторую производную, причем скорость убывания погрешности автома-тически учитывает гладкость ),(xf т. е. возрастает с ростом числа (r+1) производных:

,O|)(|maxln

1

rN

NrN

xMxR .max

1

1 )(1

r

r

dx

xfd

xrM

(2.34)




38

Во-вторых, чувствительность тригонометрического интер-поляционного многочлена к погрешности задания значений mf в узлах с ростом числа узлов «почти» не возрастает.

Эти два положительных свойства тригонометрической ин-терполяции, а именно, возрастание точности при увеличении гладкости и вычислительную устойчивость, можно придать и алгебраической интерполяции функций на отрезке за счет спе-циального выбора узлов интерполяции и использования алгеб-раических многочленов Чебышева, обладающих многими заме-чательными свойствами.

2.15. Многочлены Чебышёва

Многочлены Чебышёва можно ввести по формуле )(xTk ),arccos(cos xk ,1,0k . Функции )(xTk суть многочлены

степени k = 0, 1, … При этом ,1)(0 xT ;1 xT ),(2 xT )(3 xT … вычисляются по рекуррентной формуле

.)()(2)( 11 xTxTxxT kkk (2.35)

Нули )(xTk определяются из уравнения:

,0)arccos(cos)( xkxTk (2.36)

т. е. ,cos2

)12(k

mmx

.1,,1,0 km =

Точки экстремума )(xTk определяются как:

,coskl

lx 1 = 0, 1, …, k.

Таким образом, )(xTk на интервале 11 x имеет k ве-щественных нулей и 1k точку экстремума. На оси x эти точки получаются проекцией пересечения полуокружности с множе-ством лучей, имеющих между собой равные углы.

2.16. Алгебраический интерполяционный полином на сетке из нулей полинома Чебышёва При выборе в качестве узлов интерполяции нулей полинома Че-бышева интерполяционный полином можно записать в виде:




39

),(),(0

xTafxP kn

kkn

(2.37)

где ;)1/()(0

00

n

mmm nxTfa ;)1/()(2

0

n

mmkmk nxTfa

n + 1 — число узлов интерполяции.

2.17. Алгебраический интерполяционный полином на сетке из экстремумов полинома Чебышёва При выборе в качестве узлов интерполяции экстремумов поли-нома Чебышева интерполяционный полином можно записать в следующем виде:

,)(),(0

n

kkkn xTafxP (2.38)

где

,)(1

1

102

10

n

mmnnn

fffa

,)())1((1

1

20

1

n

mmkmnnk

nk xTfffa

).)1(( 021

nnnn ffa

Здесь n + 1 — число узлов интерполяции.

2.18. Чувствительность интерполяционного тригонометрического многочлена к погрешностям задания функции в узлах интерполяции Чувствительность интерполяционного тригонометрического мно-гочлена к погрешности задания значений mf оценивается сле-дующим образом. Пусть вместо ][ mff задана сеточная функ-ция }.{ mm ffff Тогда возникающая погрешность




40

fQQL

xL

xnn ,sin,cos 22 (2.39)

и, следовательно, мерой чувствительности интерполяционного тригонометрического многочлена к возмущению f входных данных могут служить числа ,Ln называемые константами Лебега (см. п. 2.8):

.||maxL||max mm

nnx

fQ (2.40)

Теорема 13. Константы Лебега тригонометрического интерполяционного многочлена удовлетворяют оценке .2L nn

Интерполяционный полином на сетке из нулей или экстре-мумов полиномов Чебышёва наследует от тригонометрической интерполяции слабый рост константы Лебега при увеличении n. Для этого случая справедлива оценка

.1lnL 2

nn

2.19. Контрольные вопросы 1. Докажите, что при выборе в качестве узлов интерполяции ну-лей полинома Чебышева, алгебраический интерполяционный полином можно записать в виде

,)(),(0

n

kkkn xTafxP

где

,)(0

011

0

n

mmmn

xTfa

n

mmkmnk xTfa

012 )( .


2. Докажите, что при выборе в качестве узлов интерполяции экстремумов полинома Чебышева алгебраический интерполяци-онный полином можно записать в виде




41

,)(),(0

n

kkkn xTafxP

где коэффициенты

,)()(1

10

102

10

n

mmmnnn

xTfffa

,)())1((1

1

20

1

n

mmkmnnk

nk xTfffa

.)()1())1((1

1

10

1

n

mmnmmnnn

nn xTfffa


3. Выведите формулы для интерполяции табличной функции кубическим сплайном (Шонберга):

а) на равномерной сетке; б) на неравномерной сетке.

Указание. Пусть im — значение второй производной в i-м узле,

1im — значение второй производной в i + 1-м узле. На отрезке ],[ 1ii xx )(3 xP — линейная функция. На этом отрезке )(3 xP —

непрерывная функция, которую можно получить, дважды интег-рируя )(3 xP по x. При этом возникают две константы интегриро-вания. Они находятся из условий: ,)(3 ii fxP .)( 113 ii fxP Для значения вторых производных im строится система алгеб-раических уравнений из условия ).0()0( 33 ii xPxP

2.20. Порядок выполнения работы 1. Войдите в меню «Параметры/Таблица» и выберите из пред-ложенного списка функций в пункте «Функции» какую-нибудь гладкую (т. е. имеющую непрерывные производные) функцию. В меню «Сетка» выберите пункт равномерная, число узлов, равное двум. Алгебраический интерполяционный полином ка-кой степени может быть построен по этим данным?

Выберите в подменю «Метод/Глобальная» строку «Ин-




42

терполяционный полином в форме Лагранжа», степень которо-го 3, 4, 5, 6, 7, , 50. Постройте интерполяционный полином. Теоретически оцените погрешность интерполяции и сравните ее с фактической (т. е. разностью между исходной функцией и ее интерполянтом по данной таблице) погрешностью, выбрав пункт меню «Окна/Ошибка». Сформируйте таблицу, выбрав функцию, имеющую:

а) только две непрерывных производных );3/)(sign( 3xxy

б) одну непрерывную производную );2/)(sign( 2xxy в) не имеющую непрерывной производной ). ||( xy =

Как будет меняться фактическая погрешность восстановления функции с ростом степени полинома для равномерной сетки? Почему в пункте a) для нечетных степеней k интерполяционного полинома ошибка меньше, чем для k – 1 и k + 1? То же для сетки из нулей полинома Чебышева. Чем объяснить существенное раз-личие в поведении погрешности?

2. Выберите целую (разлагающуюся в сходящийся степенной

ряд для любого конечного x) функцию (например, 2xey ) и постройте на сетке из равноотстоящих узлов глобальный алгеб-раический интерполянт. Сравните различные способы вычисле-ния интерполяционного полинома:

а) находя его коэффициенты по базису },{ kx решая со-ответствующую линейную систему;

б, в) записывая интерполяционный многочлен в форме Лагранжа; в форме Ньютона.

Какой способ требует меньшего числа арифметических действий?

Выберите число узлов 90.,30, 20, 10, = n Объясните проблемы, возникающие при численном решении линейной системы. Почему результаты использования формы Ньютона и Лагранжа в начале совпадают, а затем начинают различаться?

Проанализируйте накопление погрешности при вычислении полинома в форме Ньютона при перенумерации в порядке воз-растания и в порядке убывания (интерполяция вперед и назад)?

Как изменятся результаты, если вычисления производить с двойной (мантисса 52 бита) и стандартной (мантисса 24 бита) точностью?

3. Проанализируйте влияние погрешности задания функции в




43

узлах на величину фактической погрешности восстановления функции. В силу линейности интерполяции эти эффекты удоб-но изучать на функции у = 0. Как задать распределение по-грешности для получения максимального отклонения между узлами интерполяции? Рассмотрите случай равноотстоящих узлов и сетку из нулей полинома Чебышева. Сравните с теоре-тической оценкой. 4. Сравните фактическую погрешность интерполяции функций

2xey и )251/(1 2xy (функция Рунге) на отрезке 55 x на равномерной сетке при числе узлов n = 11, 21, 31,

41, 51. В чем причина отсутствия сходимости интерполяционно-го процесса для функции Рунге? Задайте теперь отрезок интер-поляции 50 x и повторите вычисления. Попытайтесь объ-яснить полученный результат.

Указание. Обратите внимание на то, что функция 2xey целая, а функция Рунге имеет полюсы при .2,0 ix

5. Посмотрите, как ведет себя глобальный интерполянт вне от-резка, на котором расположены узлы интерполяции. Для этого в меню «Окно» установите соответствующие границы изменения аргумента x для отображения )(xf и ).,( fxPn Что лучше ис-пользовать для экстраполяции: глобальный интерполянт или ку-сочно-многочленный?

6. Сравните ошибку при алгебраической интерполяции и интер-поляции сплайнами на равномерной сетке из 3, 4, …, 25 узлов на отрезке [–1, 1] следующих функций:

а) ;sign3

3xx б) ;2xe в) функции Рунге.

Объясните результаты.

7. Интерполирующим кубическим сплайном (Шонберга) при-ближается функция

.0,1;0,0

)(xx

xy

на отрезке ].1,1[x Почему в окрестности разрыва возникают осцилляции? Как




44

меняется их амплитуда в зависимости от изменения числа узлов сетки? Объясните эффект. Ответьте на те же вопросы для ло-кального сплайна.

8. Исследуйте, как изменяется ошибка интерполяции какой-либо гладкой функции при кусочно-линейном восполнении и при глобальной интерполяции с увеличением числа узлов.

9. Выбирая функции, имеющие одну, две и т. д. непрерывные на отрезке производные, убедитесь, что кусочно-линейная интер-поляция насыщается гладкостью, в то время как ошибка гло-бальной интерполяции на сетке из нулей полинома Чебышева тем меньше, чем больше непрерывных производных имеет )(xf (не насыщающийся гладкостью алгоритм).

2.20. Библиографическая справка Теория интерполяции — обширный раздел вычислительной ма-тематики. В данной работе изложение ведется по книге [1]. Дру-гие аспекты тории изложены в [9, 10], в частности, подробно рассмотрено свойство насыщаемости алгоритмов. О построении глобального сплайна см. [11]. О локальных сплайнах, кроме [1], см. также [12].

В связи с развитием алгоритмов машинной графики бурно развивается теория сплайн-интерполяции. О применении сплай-нов и кривых Безье см. также [5]. Различным приложениям сплайнов посвящены книги [13–15]. В [5, 14]дается понятие о В-сплайнах, нашедших широкое применение как в алгоритмах машинной графики, так и в развитии численных методов. О применении В-сплайнов в инженерных расчетах см. в [16]. В [15] описаны алгоритмы построения сглаживающих сплайнов, находящие применение, в частности, в обработке эксперимен-тальных данных.




45


ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3.1. Введение Работа предоставляет возможность наглядно исследовать свой-ства основных квадратурных формул для вычисления опреде-ленного интеграла

.)(b

adxxfI

Поясняются способы конструирования квадратурных формул, методы оценки погрешности, к которым они приводят. Демон-стрируются приемы вычисления несобственных интегралов.

3.2. Способы конструирования квадратурных формул Рассмотрим простейшие, но широко используемые в практиче-ских вычислениях формулы: прямоугольников (с центральной точкой), трапеций, Симпсона. Способ их получения состоит в следующем. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на N частей точками ).,,1,0( Nnxn

Положим ,1 nnn xxh так что

.1

0abh

N

nn

В дальнейшем будем называть nx — узлами, nh — шагами ин-тегрирования. Иногда отрезок от nx до 1nx будем именовать элементарным отрезком. В частном случае шаг интегрирования может быть постоянным: ./)( Nabh Также будем использо-вать обозначение ).( nn xff




46

После введения шагов интегрирования искомый интеграл можно представить в виде

,)(1

0

1

0

1

N

nn

N

n

x

xIdxxfI

n

n

(3.1)

где .)(1

n

n

x

xn dxxfI

3.2.1. Формула прямоугольников. Считая nh малым парамет-ром, заменим nI в (3.1) площадью прямоугольника с основани-ем nh и высотой ).2/(2/1 nnn hxff Тогда придем к ло-кальной формуле прямоугольников

.~2/1 nnn fhI (3.2)

Суммируя в соответствии с (3.1) приближенные значения по всем элементарным отрезкам, получаем формулу прямоуголь-ников для вычисления приближения к I:

.~ 1

02/1

N

nnn fhI (3.3)

В частном случае, когда const, hhn формула прямоуголь-ников принимает вид

.~ 1

02/1

N

nnfhI (3.3а)

Замечание. Можно конструировать аналогичные формулы, используя в качестве высоты элементарных прямоугольников значение )(xf не в середине отрезка, а на границе (левой или правой). Но в этом случае существенно ухудшается точность приближения вычисляемого интеграла.

3.2.2. Формула трапеций. На элементарном отрезке ],[ 1nn xx заменим подынтегральную функцию интерполяционным поли-номом первой степени:

).()(11

nxxff

n xxfxfnnnn




47

Выполняя интегрирование на отрезке, приходим к локальной формуле трапеций:

).()()(~12

1112

1nnnnnnnn ffhffxxI (3.4)

Замечание. Название формулы связано с тем, что интеграл по элементарному отрезку заменяется площадью трапеции с ос-нованиями, равными значениям )(xf на краях отрезка, и вы-сотой, равной .nh

Суммируя (3.4) по всем отрезкам, получаем формулу тра-пеций для вычисления приближения к I:

.)(~ 1

012

1

N

nnnn ffhI (3.5)

В случае постоянного шага интегрирования формула при-нимает вид:

].222[)(~12102

1

012 NN

hN

nnn

h fffffffI

(3.5а)

О точности приближения I~ к I см. п. 3.3.

3.2.3. Формула Симпсона. На элементарном отрезке ],,[ 1nn xx используя значение функции в центре отрезка, за-

меним подынтегральную функцию )(xf интерполяционным полиномом второй степени:

22/1211)()( nn

nnn xx

hff

n xfxPxf

.2

22)2(22 12/11

nn

n

nnn xxh

fff x

Напомним, что мы обозначили: ,1 nnn xxh ),( nn xff а значение в полуцелой точке ).2/]([ 12/1 nnn xxff

Вычисляя интеграл от полинома на отрезке ],,[ 1nn xx приходим к локальной формуле Симпсона:

).4(~12/16 nnn

hn fffI n (3.6)




48

Суммируя (3.6) по всем отрезкам, получаем формулу Симпсона для вычисления приближения к I:

.)4(~ 1

012/16

1

N

nnnnn fffhI (3.7)

Для постоянного шага интегрирования hhn const Nab /)( формула Симпсона принимает вид

12/106

1

012/16

24()4(~ ffffffI hN

nnnn

h

).424 2/112/3 NNN ffff (3.8)

Замечание. Последнюю формулу иногда записывают без ис-пользования дробных индексов, в виде

).42424(~1232103 NNN

h fffffffI (3.8а)

К этой записи приходим, если под локальной формулой понимать результат интегрирования по паре элементарных отрезков:

1

1

),4()(~~1132

n

n

x

xnnn

hn fffdxxPI

где )(~2 xP — интерполяционный полином второй степени для

)(xf на ],,[ 11 nn xx построенный по значениям в точках ,1nx ,nx .1nx Суммируя локальные приближения по всем

парам, получим (3.8а). Разумеется, число пар на [a, b] в этом случае должно быть целым, т. е. N — четным.

Формулы, используемые для приближенного вычисления интеграла, называются квадратурными.

3.3. Погрешность квадратурных формул Один из возможных способов оценки точности построенных формул состоит в следующем. Рассмотрим интеграл по элемен-тарному отрезку:

.)(1

n

n

x

xn dxxfI




49

Выберем на этом отрезке какую-либо «опорную» точку x = z и разложим подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейло-ра относительно этой точки:

),()()())(()()( 221 zxRzxzfzxzfzfxf

)( zxR — остаточный член используемой формулы Тейлора. Вычисляя интеграл от последней суммы, получаем пред-

ставление nI в виде:

1

,)(...)( 32n

n

x

xnnnn dxzxRBhAhhzfI (3.9)

где коэффициенты A, B, … зависят от значения производных в точке z: ),(zf ),(zf …

Заметим далее, что каждая из рассматриваемых квадратур-ных формул (прямоугольников, трапеций и Симпсона) в преде-лах элементарного отрезка ],[ 1nn xx может быть представлена следующим образом:

][~12/1 nnnnn fqfsfrhI (3.10)

со своими коэффициентами r, s, q. Заменяя в (3.10) каждое из значений функции f по формуле

Тейлора относительно той же точки z, получим представление приближенного значения nI~ в виде, аналогичном (3.9):

.~)(~ 3121 RhBhAhzfI nnnn (3.11)

Сравнивая представления (3.9) и (3.11), обнаруживаем, что кро-ме первых слагаемых в (3.9), (3.11) совпадает еще некоторое ко-личество (p – 1) слагаемых, так что ,1AA ,1BB … Несовпа-дающие слагаемые характеризуют ошибку квадратурной фор-мулы. Оценивая величины этих слагаемых, приходим к оценке для локальной (на интервале ],[ 1nn xx ) погрешности

,||max|~| 1)(],[ 1

p

npxx

nn hfDIInn

где D — числовая константа, а )( pf — p-я производная функ-ции ).(xf




50

Суммируя локальные погрешности по всем интервалам, получим требуемую оценку погрешности рассматриваемой формулы интегрирования:

,)(|~| pp hMabDII (3.12)

где ||max )( pp fM по всему отрезку [a, b] (если шаг интег-

рирования не постоянен, т. е. const,nh то nn

hh max ).

Степень p в (3.12) принято называть порядком точности квадратурной формулы.

Для рассмотренных квадратурных формул полученные та-ким образом оценки погрешности имеют вид:

)(|~| 2422 abII hM — для формулы прямоугольников;

)(|~| 1222 abII hM — для формулы трапеций;

)(|~| 288044 abII hM — для формулы Симпсона в случае,

когда используются узлы с дробным индексом (3.8) и

)(|II~| 180

44 abhM

— для (3.8а).

Замечание 1. Для формулы трапеций приведенную оценку можно было бы получить, интегрируя по элементарным отрез-кам выражение для остаточного члена соответствующего ин-терполяционного полинома. Замечание 2. Полученные оценки погрешности, как следует из их вывода, зависят от гладкости подынтегральной функции. На-пример, при наличии 4-х (и выше) производных y )(xf формула Симпсона обеспечивает 4-й порядок точности. Если же )(xf толь-ко трижды непрерывно дифференцируема на [a, b], то точность формулы Симпсона на порядок уменьшается.

Если известны оценки для абсолютных величин соответст-вующих производных, то, используя (3.12), можно apriori (до проведения расчета) определить шаг интегрирования h = const, при котором погрешность вычисленного результата гарантиро-вано не превышает допустимого уровня погрешности . Для это-




51

го, как следует из (3.12), достаточно решить относительно h не-равенство .)( pphMabD

Однако типичной является ситуация, когда величины нуж-ных производных не поддаются оценке. Тогда контроль за точ-ностью вычисляемых результатов можно организовать, проводя вычисления на последовательно сгущающейся сетке узлов ин-тегрирования.

3.3.1. Контроль за точностью вычисляемого значения инте-грала. Пусть шаг интегрирования h = const, )(hI — вычислен-ное с шагом h приближение к I.

Если, далее вычислено также приближенное значение )2/(hI с шагом ,2/h то в качестве приближенной оценки по-

грешности последнего вычисленного значения можно рассмат-ривать величину

.|||| )()2/()2/( hhh IIII

На практике, при необходимости вычислить результат с требуемой точностью )( вычисления повторяются с последо-вательно уменьшающимся (вдвое) шагом до тех пор, пока не выполнится условие

.|| )()2/( hh II

3.3.1а. Экстраполяция Ричардсона. Пусть, как и в предыду-щем пункте, h = const, )(hI — вычисленное с шагом h прибли-жение к I. Пусть использован метод порядка p, тогда можно оценить значение интеграла по элементарному отрезку:

).O( 1)( pph hchII

Измельчив шаг вдвое, получаем

),O(2 12

)2/(

p

phh hcII

откуда главный член погрешности в первой формуле можно оценить как:

,121

)2/()(

p

hh IIpch




52

а для приближения интеграла I с порядком )O( 1ph имеем:

).O( 112

21

)()2/(1

pII hI

p

hhp

На основе алгоритма экстраполяции Ричардсона возможен алгоритм автоматического выбора шага, несколько отличный от описанного ниже.

3.3.2. Счет с автоматическим выбором шагов интегрирова-ния. Можно применять указанное правило для контроля ло-кальной погрешности на каждом элементарном интервале. При этом длина очередного интервала ,1 nnn xxh посредством последовательного уменьшения (или увеличения!) начальной длины вдвое, устанавливается такой, чтобы выполнялось усло-вие

,|||~|)(

)2/()(ab

hhn

hnnn

nIIII

так что

.

n

nabn

abh

hn

Преимущество способа вычисления интеграла с автомати-ческим выбором шага состоит в том, что он приспосабливается к особенностям подынтегральной функции: в областях резкого изменения функции шаг уменьшается, а там, где функция меня-ется слабо, — увеличивается.

3.4. Приемы вычисления несобственных интегралов Рассмотрим сходящиеся интегралы следующих двух типов:

b

adxxf ,)( причем )(xf при ax (первый тип);

adxxf )( (второй тип).

Замечание. Второй интеграл, вообще говоря, может быть све-




53

ден к первому заменой переменной интегрирования ./1 xt По-этому пока будем говорить об интегралах первого типа.

Очевидно, непосредственное использование квадратурных формул трапеций и Симпсона для вычисления таких интегралов невозможно (так как точка x = a является для этих формул узлом интегрирования). По методу прямоугольников вычисления фор-мально провести можно, но результат будет сомнительным, так как оценка погрешности теряет смысл (производные подынте-гральной функции не ограничены).

Продемонстрируем приемы, которые позволяют получать в подобных случаях надежные результаты, на примере интеграла

.1

0

cos dxI

xx

а) Иногда подходящая замена переменной интегрирования позволяет вообще избавиться от особенности.

В рассматриваемом примере после замены 2tx получаем

1

0

2 ,cos2 dttI

и интеграл вычисляется с требуемой точностью по любой из квадратурных формул.

б) Та же цель (избавление от особенности) достигается иногда предварительным интегрированием по частям:

1

0

1

0

1

0

cos .sin2cos2 dxxxxxdxIxx

Последний интеграл формально может быть вычислен стан-дартным образом, но оценка погрешности для любой квадра-турной формулы будет иметь лишь первый порядок, так как при x = 0 не существует вторая производная от подынтегральной функции. Проводя еще раз интегрирование по частям, придем к интегралу от дважды непрерывно дифференцируемой функции, который с гарантированной точностью может быть вычислен по формулам трапеций или прямоугольников.

в) Если упомянутыми простыми средствами избавиться от особенности не удается, то прибегают к универсальному методу




54

выделения особенности. В рассматриваемом случае представим интеграл в виде суммы двух интегралов:

,21 III ,0

cos1

dxI

xx .

1 cos2

dxI

xx

Второй интеграл особенности не содержит и вычисляется по любой квадратурной формуле. Вопрос о выборе величины обсуждается ниже.

Первый интеграл с требуемой точностью вычисляем ана-литически, используя представление подынтегральной функции в окрестности особой точки (x = 0) в виде отрезка ряда по степе-ням x, который получим после замены xcos соответствующим рядом Тейлора:

2/552

!21

0

)1(11 2)!2(!4!2

242

dxIx

mxmxx m

.)1( 2/12212

1)!2(

12/992

!41

mmm

m

Важно, что подобное аналитическое представление в малой окре-стности особой точки можно получить практически во всех кон-кретных случаях. Как это сделать — зависит от квалификации вычислителя.

Допустим, что мы решили ограничиться в полученном представлении первыми m слагаемыми. При этом для данного примера мы допускаем погрешность, которая не превосходит последнего приведенного в записи для 1I слагаемого в силу то-го, что ряд для — знакопеременный. Следовательно, для вы-бора двух параметров ( и m) имеем следующий критерий

22/12

2/121

)!2(1

mmm (3.13)

( 2/ отводится в качестве допустимого уровня погрешности при вычислении 2I ).

Таким образом, один из параметров (m или ) можно за-давать по своему усмотрению, второй – определяется из не-равенства (3.13). При этом нужно принять в расчет следую-




55

щее соображение. Если ,1 то существенно ухудшается оценка погрешно-

сти для любой квадратурной формулы, которую мы предполага-ем использовать для вычисления ,2I так как в качестве коэф-

фициента при ph (где p — порядок точности выбранной фор-мулы) фигурирует максимальное на отрезке ]1,[ значение p-й производной от подынтегральной функции, которое при x в рассматриваемом случае имеет порядок .)5,0( p

Кроме того, при вычислении интеграла 2I придется вы-числять подынтегральную функцию )(xf от аргумента либо равного (для формул трапеций и Симпсона), либо очень близ-кого к (для формулы прямоугольников с центральной точкой). Но значение )(f при малом может быть настолько большим

(в рассматриваемом случае ||/1~)( f ), что абсолютная по-грешность функции )(f не позволит вычислить интеграл с требуемой точностью при заданной длине мантиссы и выбран-ном шаге интегрирования.

Следовательно, целесообразно задать «не слишком малое» (например, 1,0 ), а затем m найти из условия (3.13).

Замечание. Разумеется, если поиск последовательных членов разложения подынтегральной функции затруднителен, то при-ходится ограничиваться доступными членами. В этом случае из условия типа (3.13) находится параметр .

Рассмотрим пример вычисления интеграла второго типа:

.0

2 dxe x

Можно, как уже отмечалось, свести его к интегралу первого ти-па. Но мы воспользуемся универсальным приемом выделения особенности. Особенность состоит в том, что верхний предел интегрирования — бесконечность. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов: ,21 III где 1I — интеграл по ко-нечному отрезку [a, A]; 2I — интеграл по ].,[ A Вычисление

1I при заданном A затруднений не вызывает. Выберем теперь A так, чтобы в пределах допустимой по-




56

грешности вторым интегралом можно было пренебречь, т. е. так, чтобы .2/|| 2 I Например, учитывая, что при 1A

,22221 A

A

x

A

x edxexdxe

и требуя, чтобы выполнялось условие

,21

21 2 Ae

найдем .|ln| A

3.5. Контрольные вопросы и упражнения 1.1. Получить оценки для погрешности квадратурной формулы трапеций. 1.2. Выполнить то же задание для формулы прямоугольников (с центральной точкой). 1.3. То же для формулы Симпсона. 2. Описать алгоритм автоматического выбора шага, основан-ный на экстраполяции по Ричардсону.

3.6. Порядок выполнения работы 1.1. Вычислить с постоянным шагом h = 0,1; 0,02 приближенное значение интеграла

1

0)210()110( dxxxxI

по формулам: а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона.

1.2. Сравнить фактическую погрешность с теоретической (точ-ное значение интеграла I = 36.) 1.3. Теоретически оценить шаг h, при котором погрешность ре-зультата для используемой квадратурной формулы не превы-шает .10 4 Сравнить найденное значение h с шагом, кото-рый вырабатывается по заданному автоматически при счете с




57

уменьшающимся шагом. 2. Выполнить задания п. 1.1–1.3 для

.ln1

01,0 dxxI

(Точное значение: 94395,01)100ln1(01,0 I ).

3. То же задание для интеграла

.40sin1

0

4 dxxeI x

Объяснить результат, полученный при счете с автоматическим контролем точности (режимы с уменьшающимся шагом и с ав-томатическим выбором шага), когда начальное значение h = 0,1.

Каким должно быть начальное значение h в этом случае? (Точное значение интеграла .)426089,0I

4. По основным квадратурным формулам (прямоугольников, трапеций, Симпсона) вычислить интеграл

2

1|| dxxхI

с шагом h = 0,1; 0,05; 0,02 и с шагом h = 1/4; 1/8; 1/16, 1/32.

5. Вычислить интеграл .ln)1(1

0

12/3 dxxxI

Указание. См. п. 3.4.

3.7. Библиографическая справка О методах численного интегрирования см. [1–3, 5, 8, 9, 10]. От-метим, что большей точности метода при небольшом количест-ве точек (узлов сетки) позволяют достигать квадратурные фор-мулы Гаусса. Про них можно прочитать в [5], теоретические ос-новы методов Гаусса разбираются в [9, 10].




58


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Введение В этой работе Вы познакомитесь с численными методами реше-ния систем линейных алгебраических уравнений. Все рассмат-риваемые методы ориентированы на решение систем уравнений большой размерности. Подобные системы возникают на прак-тике, например, при интегрировании уравнений в частных про-изводных эллиптического типа.

Везде далее будем рассматривать линейное пространство .Rm Будем также считать, что x, ,kx k = 0, 1, 2, …, являются

элементами пространства .Rm Кроме того, под А будем пони-мать тот или иной линейный оператор, действующий из mR в

.Rm Запишем систему линейный уравнений в следующем виде:

.fAx (4.1)

Предполагается, что определитель матрицы A отличен от нуля, так что решение существует и оно единственно.

Численные методы решения системы (4.1) делятся на две группы: прямые и итерационные.

В прямых методах точное решение находится за конечное число арифметических действий. Примерами прямых методов являются метод Гаусса и метод сопряженных градиентов.

Каждый итерационный метод состоит в том, что при реше-нии системы (4.1) указывается рекуррентное соотношение, ко-торое по заданному произвольно «нулевому» приближению 0x решения x позволяет вычислить первое, второе, …, p-е прибли-жение px (p = 1, 2, 3, …) решения x.

Иногда необходимо решить уравнение (4.1), в котором A — линейный оператор, не заданный явно в виде матрицы. В




59

этом случае прямые методы в отличие от итерационных, могут быть неприменимы.

В данной работе для итерационных методов дается нагляд-ная иллюстрация изменения нормы разности двух последова-тельных приближений. Эффективность различных методов (в том числе прямых) можно сравнить по затратам машинного вре-мени (необходимая информация выводится на экран), которое необходимо для достижения заданной точности, т. е. до тех пор, пока не будет выполнена оценка

.|||| nxx

Задача отыскания точного решения уравнения (4.1) не дик-туется, как правило, запросами приложений. Обычно допустимо использование приближенного решения, известного с достаточ-ной точностью. Поэтому во многих случаях для вычисления решения уравнения (4.1) точным методам целесообразно пред-почесть тот или иной итерационный метод.

Итерационный процесс должен быть построен так, чтобы последовательность приближений kx стремилась к решению x уравнения (4.1). Тогда для любого > 0 существует номер

)( nn такой, что .|||| nxx Задавая > 0 достаточно ма-лым, можно воспользоваться n-м приближением x.

Представлены следующие девять методов: 1) Гаусса; 2) сопряженных градиентов; 3) простых итераций; 4) с оптимальным параметром; 5) с оптимальным набором параметров; 6) Зейделя; 7) трехслойный метод Чебышева; 8) минимальных невязок; 9) скорейшего спуска.

4.2. Обусловленность систем линейных уравнений Две на первый взгляд похожие системы линейных уравнений могут обладать различной чувствительностью к погрешностям задания входных данных. Это свойство связано с понятием обусловлен-ности системы уравнений.

Числом обусловленности линейного оператора A, дейст-




60

вующего в нормированном пространстве ,R m а также числом обусловленности системы линейных уравнений Ax = f назовем величину

.||||||||)( 1 AAA

Таким образом, появляется связь числа обусловленности с вы-бором нормы.

Предположим, что матрица и правая часть системы заданы неточно. При этом погрешность матрицы составляет A, а пра-вой части — f. Можно показать, что для погрешности x имеет место следующая оценка ( 1|||||||| 1 AA ):

.||||||||

||||||||

)μ(1

)μ(||||||||

||||

||δ||

ff

AA

A

Axx

A

A

В частности, если A = 0, то

.)(||||||||

||||||||

ff

xx

A

При этом решение уравнения Ax = f не при всех f одинаково чувствительно к возмущению f правой части.

Свойства числа обусловленности линейного оператора:

1. ,)(||||min||||max

AxAxA

причем максимум и минимум берутся для всех таких x, что .1|||| x Как следствие,

2. .1)( A

3 ,)(||

||

min

max

A

где max и min — соответственно минимальное и макси-мальное по модулю собственные значения матрицы A. Равенст-во достигается для самосопряженных матриц в случае исполь-зования евклидовой нормы в пространстве .R m

4. ).()()( BAAB

Матрицы с большим числом обусловленности (ориентиро-




61

вочно 310)( A ) называются плохо обусловленными матрица-ми. При численном решении систем с плохо обусловленными матрицами возможно сильное накопление погрешностей, что следует из оценки для погрешности x. Исследуем вопрос о по-грешности решения, вызванной ошибками округления в ЭВМ при вычислении правой части. Пусть t — двоичная разрядность чисел в ЭВМ. Каждая компонента if вектора правой части округляется

с относительной погрешностью ).2O( t Следовательно,

).2O()(|||||||| t

Axx

Таким образом, погрешность решения, вызванная погреш-ностями округления, может быть недопустимо большой в слу-чае плохо обусловленных систем.

4.3. Метод Гаусса Метод Гаусса является прямым методом. Запишем систему ли-нейных уравнений в виде:

,11212111 fxaxaxa mm

,22222121 fxaxaxa mm ....................................................... (4.1а)

.2211 mmmmmm fxaxaxa

Пусть .011 a Выполнения этого условия всегда можно до-биться перенумерацией компонент вектора x, либо перестанов-ками уравнений. Тогда запишем первое из уравнений (4.1а) в виде

.11

1

11

1

11

1221 a

fma

aaa

xxx m (4.2)

Вычтем это уравнение, умноженное на соответствующий коэф-фициент ,1ia из i-го уравнения системы (4.1а), где i > 1. Тогда эти уравнения преобразуются к виду

,22323222 fxaxaxa mm ....................................................... (4.3)

.3322 mmmmmm fxaxaxa




62

Первая компонента вектора x не входит в подсистему (4.3). Выполним с (4.3) те же операции, что и ранее с системой урав-нений (4.1а). В результате получим новую подсистему уравне-ний, в которую уже не будут входить 1x и .2x Она дополняется уравнением (4.2) и первым уравнением системы (4.3), не содер-жащим .1x Уже после m – 3 подобных циклов мы получаем под-систему из одного уравнения с одним неизвестным. При этом матрица системы будет иметь треугольный вид. Совокупность операций по приведению системы уравнений к такому виду на-зывается прямым ходом метода Гаусса. Решение системы с тре-угольной матрицей не вызывает затруднений. Совокупность операций по нахождению решения системы с треугольной мат-рицей называется обратным ходом метода Гаусса.

Общее число арифметических операций при решении сис-темы (4.1а) методом Гаусса составляет ).O( 3m

В приложениях матрица A часто имеет трехдиагональный вид, т. е. ненулевые элементы матрицы располагаются на главной диагонали и двух близлежащих к ней. Применение метода Гаусса к такой системе уравнений называется методом прогонки.

Метод Гаусса может оказаться неустойчивым по отноше-нию к росту вычислительной погрешности.

Теорема 1. Для устойчивости метода Гаусса достаточ-но диагонального преобладания, т. е. выполнения неравенств

,|||||| |||||| 1121 imiiiiiiii aaaaaa

> 0, i = 1, 2, …, m. Вычислительную погрешность метода Гаусса можно умень-

шить, если применить модификацию метода, называемую мето-дом Гаусса с выделением главного элемента. Суть этой модифи-кации заключается в следующем. Нумерация компонент вектора x и уравнений выбирается так, чтобы 11a являлся максимальным по модулю элементом матрицы A. Затем, после исключения ,1x перенумерацией строк и столбцов добиваются того, чтобы 22a в (4.3) являлся максимальным по модулю элементом матрицы сис-темы (4.3). Подобная процедура продолжается и далее.

При расчете на реальной ЭВМ с заданным числом разря-дов, наряду с влиянием неточного задания входных данных на каждой арифметической операции, вносятся ошибки округле-ния. Влияние последних на результат зависит не только от раз-




63

рядности машины, но и от числа обусловленности матрицы сис-темы, а также от выбранного алгоритма. Существуют алгорит-мы, учитывающие влияние ошибок округления и позволяющие получить результат с гарантированной точностью, если система не обусловлена настолько плохо, что при расчете с заданной разрядностью эта точность не может быть гарантирована.

4.4. Метод сопряженных градиентов Пусть матрица A системы (4.1) самосопряженная и положи-тельно-определенная:

.0* AA

Запись A > 0 означает, что для любого ,R mx такого что ,0|||| x выполнено

),,(),( xxxAx

где > 0. Метод сопряженных градиентов может применяться и как

прямой, и как итерационный. Итерационный метод не уступает по скорости сходимости методу Чебышева, который будет рас-смотрен ниже, но выгодно отличается от последнего тем, что не требует знания границ спектра. В то же время, метод сопряжен-ных градиентов уступает методу Чебышева, поскольку является неустойчивым для плохо обусловленных матриц высокой раз-мерности. В точной арифметике этот метод дает точное реше-ние не позднее p итераций, где p — число различных собствен-ных значений. Наиболее благоприятная ситуация для примене-ния метода сопряженных градиентов имеет место, если границы спектра неизвестны, а порядок m системы много больше числа итераций k, при котором погрешность на k-й итерации k удов-летворяет поставленному требованию точности.

Метод сопряженных градиентов можно рассматривать как модифицированный вариант метода наискорейшего спус-ка (см. ниже).

Рассмотрим квадратичную форму

В настоящее время существуют модификации метода сопряженных

градиентов, для которых повышается скорость сходимости, и улуч-шается устойчивость, — см. [6].




64

).,(),()(21 xfAxxx F

Поскольку

)),(,()()(21 xxAxxxx FF

где fAx 1 — решение системы (4.1), и ,0* AA то реше-ние задачи (4.1) эквивалентно минимизации ).(xF Для градиен-та )(xF справедливо выражение

.)( rAxfx F

В этом направлении функционал )(xF обладает наибольшей мгновенной скоростью изменения.

Для метода сопряженных градиентов следующее прибли-жение к решению выбирается по формуле

,1 kkkk pxx

где kp — «вектор направления». Параметр k выбирается та-

ким образом, чтобы вектор kp был A-сопряженным с вектором

:1kp ,0),( 1 kk App а значение k вычисляется из условия

минимума :)( 1kF x

.),(

),(kk

kkk

App

rp

Вычислительный алгоритм состоит в следующем. Зададим произвольный вектор mR0 x и построим последовательность

,)( 1011 fxAEx (4.4)

,)1()( 1111111 fxxAEx

kkkkkkkk

где

,),(

),(1

kk

kkk rAr

rr ,fAxr kk k = 0, 1, 2, …, (4.5)

,11




65

,11

1),(

),(1

11

1

kkk

kk

k

kk rAr

rr k = 1, 2, …

Оказывается, что существует номер ,0k ,0 mk такой, что член

0kx последовательности (4.4) совпадает с точным решением x:

,0kxx .0 mk (4.6)

Элементы последовательности ,1x ,2x …, nx являются уточняющимися с ростом номера k приближениями к решению; при заданном малом , > 0, погрешность |||| kxx приближе-ния kx при некоторых условиях может стать меньше даже при значениях k << m.

Можно показать, что «вектор направления» kp с точно-стью до скалярного множителя представляет собой проекцию градиента kkk F Axfxr )( на пространство, натянутое

на векторы ,kp ,1kp …, ,1Np а векторы ,0p …, 1Np яв-ляются взаимно A-сопряженными. Отсюда следует название ме-тода — «сопряженных градиентов».

В настоящее время метод сопряженных градиентов при «умеренном» числе обусловленности и больших m используется обычно именно как метод последовательных приближений.

Попытка вычисления точного решения при большом числе обусловленности и большом m с помощью последовательности (4.4) и с учетом равенства (4.6) может натолкнуться на препят-ствие, состоящее в возможной потере вычислительной устойчи-вости при нахождении членов kx последовательности (4.4).

Заметим, что для применения метода не обязательно, что-бы система была задана в каноническом виде ,ijij fxa i = 1, 2, …, m, или приведена к такому виду. К тому же нет не-обходимости хранить матрицу A, которая имела бы 2m элемен-тов, в то время как векторы mRy и ,R m Ayz записанные в координатной форме, задаются лишь m числами каждый.

4.5. Метод простых итераций Заметим, что систему линейных уравнений




66

fAx (4.7) можно преобразовать к виду

,)( fxAEx (4.8)

причем новое уравнение (4.8) равносильно исходному при лю-бом значении . Вообще, (4.7) многими способами можно заме-нить равносильной системой вида

, xBx ,Rmx ,Rm (4.9)

частным случаем которой является (4.8). Итерационная схема при заданном произвольно 0x имеет

следующий вид

,1 pp Bxx p = 0, 1, … (4.10)

при заданном произвольно 0x . Ниже приведены условия, при которых последовательность

(4.10) сходится к решению системы (4.7). Рассмотрим частный случай итерационной формулы (4.10):

,)(1 fxAEx pp p = 0, 1, … (4.11)

Для вычисления по этой формуле достаточно уметь по заданно-му mp Rx находить элемент ,pAx получающийся в резуль-тате действия оператора A.

Таким образом, итерационный процесс вычисления реше-ния системы Ax = f, в отличие от метода Гаусса, можно реали-зовать и в случае операторной формы задания системы линей-ных уравнений, не выделяя какой-либо базис в mR и не приво-дя к каноническому виду

,1

im

jjij fxa

i = 1, 2, …, m. (4.12)

Для некоторых классов систем линейных уравнений число арифметических действий, необходимых для получения реше-ния с разумной точностью итерационными методами много меньше, чем ).(O 3m

Теорема 2. (Достаточное условие сходимости). Пусть в mR фиксирована некоторая норма, причем соответствующая




67

норма оператора B равносильной системы (4.9) оказалась меньше единицы:

.1|||| qB (4.13)

Тогда система (4.7) имеет одно и только одно решение x; при любом 0x из mR последовательность (4.10) сходится к решению x, причем погрешность p-го приближения (или p-й итерации)

pp xxε удовлетворяет оценке

.|||||||| 0εε pp q (4.14)

Тем самым, норма погрешности |||| pε стремится к нулю с

ростом p не медленнее геометрической прогрессии .pq

Замечание. Условие (4.13) может нарушаться при каком-нибудь другом выборе нормы .|||| x Однако сходимость сохра-нится, причем оценка (4.14) заменится оценкой

,|||||||| 0 εε pp Cq

где C — некоторая постоянная, зависящая от новой нормы, а знаменатель прогрессии q — прежний.

Теорема 3. (Необходимое и достаточное условие сходи-мости). Для того, чтобы итерационный процесс (4.10) схо-дился при любом начальном приближении, необходимо и дос-таточно, чтобы все собственные значения B лежали внутри единичного круга. Замечание. В условиях теоремы при проведении вычислений в реальной арифметике (с ограниченным числом значащих цифр) метод простых итераций может оказаться неустойчивым к росту ошибок округления. Например, если спектральный радиус мат-рицы B меньше единицы, а .1|||| B (См. пример из задания.)

4.6. Метод Зейделя и метод релаксации Итерационная схема имеет вид

.1 fCxBx nn




68

Здесь B — треугольная матрица, содержащая выше главной диа-гонали нули, а на главной диагонали и ниже ее — элементы мат-рицы A:

.BAC

Теорема 4. (Достаточное условие сходимости). Пусть A — вещественная симметричная положительно определенная матри-ца. Тогда метод сходится при любом начальном приближении.

Если для отыскания следующего приближения используется итерационная схема вида

,))1(()( 111 fCxxxDxDB

nnnn

где D — диагональная матрица с элементами iia на главной диагонали, то такой метод называется методом релаксации.

В случае 1 метод называется методом верхней релак-сации. Обычно полагают .21 Очевидно, что в случае

1 метод релаксации совпадает с методом Зейделя.

4.7. Метод простых итераций с оптимальным параметром Пусть матрица А в (4.1) самосопряженная и положительно-опре-деленная: .0* AA Собственные числа в этом случае дейст-вительные положительные числа.

Пусть известны наименьшее min и наибольшее max собственные значения A. Зададим произвольное приближение

0x и рассмотрим последовательность простых итераций:

,)(1 fxAEx pp p = 0, 1, …

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5. 1) Если достаточно мало, а именно, удовле-творяет неравенствам

,0max

2

(4.15)

то последовательность px сходится к решению x системы уравнений Ax = f, причем гарантировано убывание нормы по-




69

грешности |||| pxx при возрастании p в соответствии с оцен-кой

||,|||||| 0εε pp q p = 0, 1, … (4.16)

Здесь q < 1 и дается выражением: |},1||,1{|max)( maxmin qq (4.17)

т. е. q — наибольшее из чисел |1| min и |,1| max каж-дое из которых при условии (4.15) строго меньше единицы.

2) Пусть — произвольное число, удовлетворяющее (4.15). Существует начальное приближение ,0x при котором оценку (4.16) улучшить нельзя, так как соотношение (4.16) превраща-ется в точное равенство.

3) Если условие (4.15) не выполняется, то существует ,0x при котором последовательность px не сходится с ростом p к решению x.

4) Значение ,опт при котором q, задаваемое формулой (4.17), принимает наименьшее значение ),( оптопт qq есть

.maxmin

2опт

В этом случае q принимает наименьшее значение

,1)(1)(

опт

AAqq

где minmax /)( A — число обусловленности оператора A.

Замечание 1. Во многих случаях (например, при приближен-ной замене некоторых эллиптических краевых задач разност-ными) оператор A оказывается положительно определенным и самосопряженным в смысле некоторого естественного скаляр-ного умножения. Однако обычно не удается точно указать его

Такой вариант метода простых итераций часто называют методом

простых итераций с оптимальным параметром. Отметим, что minmax /)( A верно для самосопряженной мат-

рицы, если в mR выбрана норма вектора .),(|||| xxx




70

наибольшее и наименьшее собственные значения. Можно ука-зать лишь общие оценки границ спектра, т. е. числа a и b такие, что выполняются неравенства

.0 maxmin ba

В этом случае также можно воспользоваться методом про-стых итераций. Сходимость окажется тем медленнее, чем хуже известны границы спектра a и b. Замечание 2. Чем больше число обусловленности матрицы A, тем больше значение оптq и тем хуже скорость сходимости. В не-которых случаях сходимость метода простых итераций для плохо обусловленных систем уравнений можно существенно улучшить.

4.7.1. Переход к лучше обусловленной системе с помощью энергетически эквивалентного оператора. В случае плохо обу-словленной системы Ax = f иногда удается перейти к равносиль-ной системе с оператором, который имеет меньшее число обу-словленности, а затем решить эту систему методом итераций.

Пусть 0* BB — пока произвольный оператор. Умно-жим обе части уравнения Ax = f на .1B В результате получим равносильное уравнение

,gCx ,1ABC .1fBg

Оператор C является самосопряженным и положительно опре-деленным в смысле скалярного произведения ).,(),( yBxyx B Имеет смысл выбирать оператор B лишь среди тех операторов, для которых вычисление zB 1 по заданному z существенно проще, чем вычисление .1zA Если при этом удается выбрать B так, чтобы он был «похож» на оператор A, то можно надеяться, что оператор AB 1 будет «похож» на единичный, а его макси-мальное и минимальное собственные числа и число обуслов-ленности будут «ближе» к единице.

4.7.2. Масштабирование как средство улучшения числа обу-словленности. Прием масштабирования заключается в сле-дующем. Каждое из скалярных уравнений системы умножается на такой множитель, чтобы максимальный коэффициент нового уравнения оказался равным единице. От этой новой, масштаби-рованной системы уравнений вида ,fxA переходим к равно-




71

сильной системе с симметричной и положительно определенной матрицей путем умножения обеих частей системы на .*)(A

4.8. Трехслойный метод Чебышева

Пусть ,0* AA а также известны числа a > 0 и b > 0, являю-щиеся границами спектра оператора A. Зададим произвольное нулевое приближение 0x и будем вычислять последующие при-ближения по формулам:

,1 fxAEx 0

,)(1

1

1

1

1

1 2121 fxxAEx

p

p

p

p

p

p ppp

где p = 1, 2, …; ,2ba

),( kk ba / заданы как:

,10 ,11

1

,2 111 ppp p = 1, 2, …

Можно показать, что погрешность pp xxε приближения px удовлетворяет оценке

||,|||||| 01

22

εεp

p

q

qp

,1

1

q

,/ba p = 1, 2, … Метод сходится тем быстрее, чем точнее определены границы спектра a и b.

Рассмотренный метод часто называют трехслойным мето-дом Чебышева в отличие от двухслойного метода Чебышева (см. ниже). Трехслойный метод вычислительно устойчив, не ус-тупает двухслойному методу по скорости сходимости но, в от-личие от последнего, не требует оптимизации набора парамет-ров .k Трехслойный метод Чебышева уступает двухслойному методу по затратам памяти ЭВМ.

4.9. Метод с оптимальным набором параметров Этот метод является развитием метода простых итераций, когда параметр зависит от номера итерации. Пусть .0* AA Бу-




72

дем решать уравнение Ax = f с помощью итерационного метода

),(11 fAxxx pppp p = 0, 1, 2, …, (4.18)

где 0x — некоторое начальное приближение. Зафиксируем некоторое натуральное n. Поставим задачу

выбрать такой набор итерационных параметров ,1 ,2 …, ,n

при котором норма погрешности |||| nxx на n-й итерации ми-нимальна. Такими являются следующие параметры:

,0

011

kk

k = 1, 2, …, n, (4.19)

где

,maxmin

20

,

11

0

,max

min

.cos

2)12(

nk

k

(4.20)

Здесь min и max — соответственно минимальное и макси-мальное собственные значения.

Теорема 6. Если выбрать k согласно (4.19) и (4.20), то

для погрешности |||| nn xx справедлива оценка

||,|| 0 xx nn q

где

,21

1

1

2

n

n

nq

.

1

11

Итерационный метод (4.18)–(4.20) иногда называют двух-слойным итерационным методом Чебышева. Отметим, что k связано с k-м нулем многочленов Чебышева.

Как уже отмечалось выше, при проведении вычислений с ограниченным числом значащих цифр двухслойный метод может оказаться неустойчивым к росту ошибок округления. Для устой-чивости метода необходимо упорядочить набор параметров .k Этой проблемы можно избежать, применяя трехслойный метод Чебышева, описанный выше. В настоящее время двухслойный




73

метод применяется редко.

4.10. Метод минимальных невязок

Пусть по-прежнему матрица .0* AA Обозначим через

fAxr pp (4.21)

невязку, получающуюся при подстановке некоторого значения px в уравнение Ax = f. Итерационный алгоритм запишем в виде

,11 pppp rxx p = 0, 1, 2, …, (4.22)

где 0x — некоторое начальное приближение. Методом минимальных невязок называется итерационный

метод (4.22), в котором 1 p выбирается из условия минимума

|||| 1pr при заданной норме .|||| pr Минимум нормы невязки

|||| 1pr достигается, если

.||||

1 2

),(p

ppp

Ar

rAr

Метод минимальных невязок (4.22), (4.23) сходится с той же скоростью, что и метод простой итерации с оптимальным параметром.

Метод минимальных невязок по своей идее близок к ме-тоду сопряженных градиентов и отличается от последнего функционалом, который минимизируется на каждом шаге ите-раций.

4.11. Метод скорейшего спуска

Пусть матрица .0* AA Рассмотрим итерационный алго-ритм (4.22) из предыдущего раздела:

,11 pppp rxx p = 0, 1, 2, …

Здесь ,fAxr pp 0x — некоторое начальное приближение. Определим вектор .xxz pp Введем норму

.),(|||| rArr A




74

В методе скорейшего спуска 1 p находится из условия мини-

мума Az |||| 1p+ при заданном векторе .pz Оказывается, что

.),(

),(1 pp

ppk

rAr

rr

Метод скорейшего спуска сходится с такой же скоростью, что и метод простой итерации с оптимальным параметром.

4.12. Контрольные вопросы 1. Выпишите расчетные формулы для метода Зейделя и метода верхней релаксации.

2. Покажите, что для самосопряженной матрицы A число обу-словленности

,)(||

||

min

max

A

где — собственное значение матрицы A. Покажите, что в этом случае ).()( 22 AA

3. Как изменится число обусловленности матрицы, если умно-жить ее на ненулевую константу? Покажите, что для произволь-ных невырожденных матриц A и B выполняется неравенство

).()()( BAAB

4. Дана система

.,9910

,210,110

10021

1009998

321

21

axxxxxx

xxxxx

Предложите алгоритм, позволяющий экономно вычислять сово-купность решений, отвечающих различным значениям a. Указание. Алгоритм разобран в [17].

5. Рассмотрим матрицу A размером 30 30, где




75

.

1000000021000000

000021000000021000000021

A

Оцените ).(A Наряду с A рассмотрите матрицу B, являющуюся возму-

щением A: ,ΩAB

где матрица Ω такая, что ,2 291,30 а остальные ее эле-

менты равны нулю. В этом случае .2|||| 29Ω Как изменился определитель при переходе от матрицы A к матрице B?

5. Для системы

,,10

221

1213

bxxbxx

ответьте на следующие вопросы: а) каково число обусловленности системы; б) какова допустимая относительная погрешность b при

заданном фиксированном векторе ,),( т21 bbb при ко-

торой относительная погрешность не превосходит ;10 2 в) каково наименьшее число , при котором независимо от

b и b выполняется оценка

.||||||||

||||||||

bb

xx

4.13. Порядок выполнения работы

1. Численно решите систему уравнений Ax = f размером N N методом простой итерации. Матрица A является треугольной. По диагонали у матрицы A расположены числа, принимающие значение r, за исключением элемента ,11a который равен еди-




76

нице. На одной диагонали выше главной элементы матрицы принимают значение ,r остальные элементы равны нулю. Правую часть системы считать нулевой.

Попытайтесь применить метод простой итерации с пара-метром, равным 1, для значений N = 5, 10, 20 и r = 3/2.

Как видим, необходимые и достаточные условия сходимости метода простой итерации выполнены (теорема 3 из п. 4.5 — ме-тод простой итерации). Тем не менее, результат может оказаться отличным от ожидаемого. Подумайте, как это можно объяснить.

2. Попытайтесь решить методом сопряженных градиентов сис-тему линейных уравнений с матрицей A и правой частью

,)10,10,10,10,1( т12963b

).10,10,10,10,1(diag 12963A

Объясните полученный результат. При решении систем уравнений с плохо обусловленной

матрицей иногда помогает введение масштабирования. Нетруд-но догадаться, к какому эквивалентному виду надо привести систему уравнений в задаче 2, чтобы можно было с успехом применить метод сопряженных градиентов. Аналогичный пере-ход помогает и при решении системы задачи 3.

3. Методом простых итераций со значением итерационного па-раметра = 0,3 и начальным приближением )1,1(0 x решите систему с нулевой правой частью и с матрицей:

.2112

Определите оптимальное значение и сравните требуемое для схо-димости число итераций с предыдущим. Объясните результат.

4. Найдите решение системы

,6,510 3

yxyx

простым методом Гаусса и с выбором главного элемента. Вы-числения вести с двумя знаками. Объясните результаты.




77

4.14. Некоторые рекомендации по работе с программой Поясним основную схему работы с программой. Прежде всего необходимо задать условие задачи. Определение условия задачи равносильно заданию:

1) матрицы; 2) вектора (правая часть); 3) целого числа — размерности матрицы; 4) двух чисел с плавающей точкой — границ спектра; 5) параметра. Последние три числа входят в стандартное условие задачи,

и их нужно задавать. Введя условие (с клавиатуры или из зара-нее созданного файла), рекомендуется выбрать режим вывода на экран, после чего можно запускать программу на счет с помо-щью пункта меню «Запуск». По мере необходимости можно за-писывать введенные с клавиатуры матрицы в файлы или в стек.

Работа программы. После начала работы программы на экране будет демонстрироваться невязка по компонентам, если вклю-чен соответствующий режим, а по достижении заданного значе-ния невязки программа выведет на экран полученное решение и график зависимости нормы невязки от номера итерации.

В любой момент можно остановить счет, нажав произволь-ную клавишу на клавиатуре или на мыши. Тогда после утверди-тельного ответа на вопрос, хотите ли Вы остановить программу, выдается вся информация, известная на текущий момент (теку-щее приближение) и т. д.

Имеется возможность ввода матрицы (и параметров) из пя-ти файлов matrix1.dat, …, matrix5.dat.

Формат файлов matrix следующий: N

NN

NNaaaaaaaa

2122221

1111211

..................................................

21

121

121

YYbbbb

aaaa

NN

NNNNNN




78

Здесь N — размерность матрицы; ija — элемент матрицы A;

1Y — нижняя граница спектра; 2Y — верхняя граница спектра; — параметр.

Пользователю предоставляется возможность производить с матрицами следующие действия:

1) умножить текущую матрицу на сопряженную ей; 2) вычислить матрицу, обратную текущей; 3) запомнить текущую матрицу в стеке; 4) заменить текущую матрицу извлеченной из стека; 5) вычислить спектр текущей матрицы.

Редактирование текущей матрицы осуществляется аналогично вводу с клавиатуры, при этом у пользователя не запрашивается размерность матрицы.

В программе предусмотрен стек данных. Элементом стека является структура, состоящая из матрицы, вектора, значений границ спектра и параметра . В стек помещаются все перечис-ленные выше текущие данные. Емкость стека ограничена только размером свободной памяти.

4.15. Библиографическая справка Прикладная (машинная) линейная алгебра — обширная, бурно развивающаяся отрасль математики. Для знакомства с ней ре-комендуем книгу [5], в которой существует также обзор работ по данной тематике. Полезно также ознакомиться с работами [17–19], где обсуждаются различные аспекты линейной алгебры.

Отдельной темой является работа с матрицами специально-го вида — так называемыми разреженными матрицами, см. книги [5, 20, 21] и библиографии в них.




79


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Введение В этой работе Вы познакомитесь с итерационными методами ре-шения нелинейных уравнений. Предусматривается возможность на характерных примерах рассмотреть и сравнить различные чис-ленные методы решения нелинейных уравнений. Сравнение про-водится по числу итераций и затратам времени ЭВМ.

В предложенной работе используются следующие методы решения нелинейных уравнений:

1) метод простой итерации; 2) метод Ньютона; 3) метод секущих.

Первые два метода можно перенести на системы нелинейных алгебраических уравнений, а также на уравнения в произ-вольных метрических пространствах.

5.2. Нелинейные уравнения. Теоретическая справка Нелинейные уравнения и системы уравнений решаются с при-менением итерационных методов. Итерационные методы (их называют также методами последовательных приближений) со-стоят в том, что решение *x находится как предел последова-тельных приближений nx при числе итераций n, стремящемся к бесконечности. Обычно задаются числом > 0 и вычисления проводят до тех пор, пока не будет выполнена в норме оценка

.|||| * nxx

Так как точное решение *x неизвестно, то это условие на прак-тике часто заменяют лишь необходимым, но легко проверяемым




80

условием

.|||| 1 nn xx

Выполнение этого «условия сходимости» еще не гарантирует, что итерационный процесс сходится.

Текущее значение |||| 1 nn xx на экране монитора при выполнении работы называется термином «погрешность». Та-кое название является условным, так как на самом деле погреш-ностью является .|||| * nxx

При решении нелинейных уравнений возникают две зада-чи: указание областей, в которых находится по одному реше-нию (задача локализации корней), и задача отыскания корней с заданной точностью (задача уточнения корней). Для локализа-ции корней не существует общих приемов. Можно использо-вать построение графиков функции, отыскание участков ее монотонности, участков на которых функция меняет знак, и другие частные приемы.

5.3. Метод простой итерации

Пусть известно, что интересующий нас корень *x уравнения 0)( xF лежит в интервале }.|{Y bxax Приведем урав-

нение 0)( xF к равносильному уравнению вида )(xfx на интервале YU таком, что . bxa Можно положить

),()( xFxxf

где .const Такой вариант метода простых итераций иногда также называют методом релаксации. Для отыскания решения

,*x принадлежащего интервалу Y, зададим ,0x а затем вычис-лим последующие nx по формуле

),(1 nn xfx n = 0, 1, 2, … (5.1)

Теорема 1. Пусть функция )(xF непрерывна и итераци-

онный процесс (5.1) сходится к значению .*x Тогда *x — ко-рень уравнения .0)( xF




81

Теорема 2. Пусть функция )(xf имеет производную во всех точках области U (т. е. интервала bxa ), и пусть су-ществует q, ,10 q constq такое, что qf x |||| всюду в U. Тогда существует такая окрестность корня, что при любом

0x из этой окрестности метод простых итераций сходится, причем имеет место оценка:

||,|||||| 0** xxqxx nn n > 0.

Замечание. Практический смысл теоремы 2 заключается в сле-дующем. Она утверждает, что существует такое достаточно мел-кое разбиение U, при котором любая из точек одного из элемен-тов разбиения может быть выбрана как .0x При таком выборе начального приближения итерационный процесс с необходимо-стью сходится. Таким образом, поиск начального приближения, при котором итерационный процесс сходится, можно передать машине. При этом для погрешности nn xx * на каждой ите-рации выполнена оценка

||,|||||| 0 nn q n = 1, 2, …

5.4. Метод Ньютона

Пусть приближение nx к корню *x уравнения 0)( xF уже найдено. Воспользуемся приближенной формулой

),()()( nxn xxFxFxF

точность которой возрастает при приближении nx к .*x Вме-сто исходного уравнения 0)( xF воспользуемся линейным уравнением

.0)()()( nnxn xxxFxF

Решение этого уравнения примем за приближение :1nx

),()]([ 11 nnxnn xFxFxx n = 0, 1, 2, … (5.2)

Метод линеаризации Ньютона допускает простую геомет-рическую интерпретацию (рис. 5). График функции )(xF за-




82

меняется касательной к нему в точке )).(,( nn xFx За прибли-

жение 1nx принимается точка пересечения полученной пря-мой с осью абсцисс.

Формулу (5.2) можно интерпретировать как метод простой итерации с функцией ).(][)( 1 xFFxxf x В точке корня *x

уравнения 0)( xF выполняется равенство ,0xf поэтому нера-венство qf x || верно для любого положительного фиксированного значения q в достаточно малой ок-рестности корня.

Следовательно, асимптотиче-ски последовательность погреш-ностей || * nn xx метода

Ньютона убывает быстрее последовательности членов гео-метрической прогрессии. Справедлива теорема о квадратич-ной сходимости метода Ньютона.

Теорема 3. Пусть функция )(xF задана на интервале

,ryxry 0r

и удовлетворяет следующим условиям: 1) )(xF дважды непрерывно дифференцируема на этом

интервале; 2) для всех точек интервала 0)( xF и существуют ко-

нечные значения

|,)]([|sup 11 xFM

|,)(|sup2 xFM ;02 M

3) уравнение 0)( xF имеет корень :

,22 ryryMM

где .21MMM

Рис. 5




83

Тогда для любого значения :0x

,202MM

x

итерационный процесс сходится к , причем

.|||| 202

2

1n

n

xx Mn

На практике более привлекательна такая формулировка ус-ловий сходимости метода Ньютона, для которой не нужна ника-кая информация о решении уравнения. Примером формулиров-ки может служить следующая теорема.

Теорема 4. Пусть функция )(xF определена и дважды

непрерывно дифференцируема на интервале rxx || 0 (r > 0).

Пусть также ,0)( 0 xF ,0)( 0 xF существует конечное

значение 0|)()]([|sup 10 xFxFM и

,12)(

)(0

0

xF

xFM .2)(

)(0

0r

xF

xF

Тогда итерации процесса Ньютона сходятся к некоторо-му решению уравнения , для погрешности справедлива оценка

.2||2

)(

)(

2

10

0n

nMx

xF

xF

Mn

5.5. Метод секущих

Зададим начальные значения 0x и .1x Последующие значения nx вычисляем по формуле

),(1 nnnn xFrxx n = 1, 2, …,

где .)()( 1

1

nn

nn

xFxF

xxnr




84

Метод секущих является разностным аналогом метода Ньютона. Он применяется в тех случаях, когда вычисление про-

изводной )(xFx является затруд-нительным.

Геометрическая интерпре-тация метода секущих состоит в следующем. Через две точки

))(,( 11 nn xFx и ))(,( nn xFx проводится прямая. Абсцисса точки пересечения полученной таким образом прямой с осью х

и является новым приближением 1nx к решению нелиней-ного уравнения (см. рис. 6).

5.6. Мера погрешности Условием окончания итерационного процесса является выполне-ние одного из двух условий (выбор условия определяется соот-ветствующим пунктом меню):

|||| 1nn xx или .||)(|| nxF

Значение будем называть мерой погрешности. Следует заметить, что выполнение условия сходимости не

гарантирует, что последнее приближение nx находится доста-точно близко от корня.

В настоящей работе сходимость итерационного процесса фиксируется следующими способами: сходимость по аргументу и сходимость по функции.

5.7. Сходимость по аргументу Считается, что итерационный процесс сошелся, если выполне-но условие

|||| 1nn xx

где — мера погрешности.

Рис. 6




85

5.8. Сходимость по функции Считается, что итерационный процесс сошелся, если выполне-но условие

.||)(|| nxF

5.9. Контрольные вопросы 1. Требуется найти оба корня уравнения ).2(ln xx

1.1. Покажите, что для отыскания положительного корня мож-но воспользоваться итерационным процессом

),2(ln1 nn xx где 00 x —произвольно.

1.2. Можно ли указать ,0x не совпадающее с отрицательным корнем заданного уравнения, таким образом, чтобы итерацион-ный процесс )2(ln1 nn xx сходился к отрицательному кор-ню?

1.3. Предложите способ вычисления отрицательного корня.

2. Выпишите формулы подходящего способа последователь-ных приближений для нахождения положительного корня нели-нейного уравнения:

.01,03 xx

Оцените необходимое число итераций для достижения точ-ности 810 и сравните с тем числом, которое Вы получили при расчетах на ЭВМ.

3. Пусть уравнение ,0)()( xgxf где )(xf и )(xg — за-данные функции, решается методом Ньютона. Покажите, что приближение 1nx имеет геометрический смысл абсциссы точ-ки пересечения касательных к графикам )(xfy и ),(xgy

проведенным при .nxx

4. Пронумеруем корни ),(nx где ,2,1,0n уравнения

xe x cos в порядке возрастания. Покажите, что при решении

уравнения 0cos xe x методом Ньютона, итерации сходятся




86

к корню ),(nx если за )(0 nx принять число /2.)(0 nnx

5.10. Порядок выполнения работы 1. Решите уравнение xx tg методом Ньютона. Как изменится характер сходимости с увеличением номера корня?

2. Покажите, что для решения методом Ньютона следующих уравнений за 0x можно принять любое положительное число:

1) ;1x

xe

2) .02 xe x Решите предложенные уравнения численно.

3. Отделите корни следующих уравнений, а затем уточните один из них с помощью итерационного процесса:

1) ;02)1(garct xx 2) ;0)1(ln 3 xx

3) ;01tg22

xx 4) .1 1

xx

4. Уравнение

0123 xxt

зависит от времени t. Предложите итерационный алгоритм оты-скания положения этих корней в зависимости от времени t за время от t = 0 до t = 1.

Выясните, при каком значении t эволюция отрицательного корня заканчивается его исчезновением.

5. Решите каждое уравнение различными методами с точностью до 610 и сравните их по эффективности. Объясните получен-ный результат.

1) ;1ln xx

2) ;cos 25 xx

3) ;0)1(||ln 3 xx

4) ;thtg xx




87

5) 0sharctg3211

xx

при x > 0.

6. Методом Ньютона найдите корень уравнения 5,07 x с точ-ностью до .10 6 Рассмотрите отдельно критерии сходимости по функции и по аргументу. Сравните результат и число итераций, требуемое для сходимости.

5.11. Библиографическая справка Итерационным методам решения нелинейных уравнений и сис-тем посвящена обширная литература. Для выполнения работы вполне достаточно ознакомиться с основными идеями и теоре-мами по книгам [1–3]. Более полные сведения о методе можно получить из [8–10, 22], см. также [23] и библиографию в ней.

С итерационными методами решения нелинейных систем тесно связаны различные дискретные отображения. О них луч-ше прочитать в [24, 25], а на более серьезном уровне в [26].




88


ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

6.1. Введение Работа позволяет исследовать и продемонстрировать особенно-сти нахождения обобщенного решения переопределенных сис-тем линейных уравнений. Рассматриваются переопределенные системы линейных уравнений, возникающие, например, при об-работке результатов физических экспериментов. Исследуется влияние выбора базиса (степенные и тригонометрические мно-гочлены, многочлены Лежандра), степени многочлена на свой-ства вычислительного алгоритма и обусловленность возникаю-щей задачи.

6.2. Переопределенная система линейных алгебраических уравнений Каноническая запись переопределенной системы линейных ал-гебраических уравнений имеет следующий вид:

,11111 fbaba ss ..................................... n > s. (6.1)

,11 nsnsn fbaba

Введем пространства sR и nR состоящие из элементов вида ,),,( т1 sbb b т1 ),,( nff f и имеющие размерно-сти s и n > s соответственно. Обозначим через А прямоугольную матрицу системы (6.1):

.

1

221

111

nsn

ss

aa

aaaa

A (6.2)




89

Тогда систему (6.1) можно записать в виде

,fAb ,R sb nRf (6.3)

Введем в nR «основное» скалярное произведение, поло-жив

.),(1

)(

n

kkkn gfgf (6.4)

Скалярное произведение в nR можно ввести множеством дру-гих способов. Именно, произвольной симметричной и положи-тельно определенной матрице ,0* BB т. е. ,0),( fBf для любого вектора ,0f соответствует скалярное умножение

);,(),( gBfgf B .R, ngf (6.5)

Известно, что любое скалярное произведение в простран-стве nR можно записать формулой (6.5), подобрав соответст-вующий самосопряженный оператор .0* BB

Система (6.1), как правило, не имеет классического реше-ния, т. е. не существует такого набора чисел ,,,1 sbb который обращает каждое из n уравнений (6.1) в тождество.

Определение. Фиксируем ,0* BB В: .RR nn Вве-дем функцию от ,R sb положив

.),()( BfAbfAbb (6.6)

Примем за обобщенное решение системы (6.1) вектор ,R sb придающий наименьшее значение квадратичной форме (6.6).

Замечание. Выбор 0* BB зависит от исследователя. Мат-рица В имеет смысл «весовой» матрицы и выбирается из тех или иных соображений о том, какую цену придать невязке сис-темы (6.1) при заданном ).,,,( 21 sbbb

Теорема 1. Пусть столбцы матрицы А линейно незави-симы, т. е. ранг матрицы А равен s. Тогда существует одно и только одно обобщенное решение b системы (6.1). Обобщенное решение системы (6.1) является классическим решением сис-темы уравнений




90

,** fBAbBAA (6.7)

которая содержит s скалярных уравнений относительно s не-известных .,,, 21 sbbb

В дальнейшем будем иногда использовать обозначение

.*BAAC

6.3. Геометрический смысл метода наименьших квадратов Переопределенную систему ,fAb где ||,|| ijaA ,1 ni

,1 sj ,sn можно записать в виде:

,2211 fVVV ssbbb

где ni RV — i-й столбец матрицы A,

,R),,,( т21 nnfff f а вектор .R),,,( т21 ssbbb b Требуется найти коэффициенты sbbb ,,, 21 линейной

комбинации ssbbb VVV 2211 так, чтобы эта линейная комбинация наименее отличалась от f:

.min Bf kkVb

Обозначим через ns R)(R V подпространство размерности s

пространства ,Rn состоящее из всевозможных линейных ком-бинаций векторов ,1V …, .sV

Пусть sbbb ,,, 21 — обобщенное решение переопреде-ленной системы. Тогда линейная комбинация kkb V — ор-тогональная в смысле скалярного умножения B),( проекция

вектора nRf на подпространство ),(R Vs так как любой век-

тор из )(R Vs имеет вид:

),(111 VVVAδ ss R .Rsδ

Наименее уклоняется от f элемент kkb V подпростран-

ства ),(R Vs имеющий вид ,BAb где Bb — решение системы (6.7) методом наименьших квадратов (МНК).




91

В силу 0)),((),( )( nAδfAbBAδfAb BBB элемент

BAbf ортогонален любому элементу ).(R VAδ s

Если в пространстве sR вместо базиса ,1V …, sV вы-брать какой-либо другой базис ,1V …, ,sV то система (6.7) заменится системой

fbC (6.8)

с матрицей ||,|| ijcC где ,),( BVV jiij c ,,,2,1, sji и

правой частью i-я компонента которой .),( BVff ii Вместо решения Bb системы (6.7) получим новое решение

Bb системы (6.8), но проекция f на sR останется прежней. Если нас интересует проекция заданного вектора f на задан-

ное подпространство ,RR ns то естественно стремиться к выбо-ру базиса ,1V ,2V …, sV этого подпространства, по возможно-сти мало отличающегося от ортонормированного. Искомая про-екция от выбора базиса в sR не зависит, а система МНК (6.7) в случае такого базиса будет иметь хорошо обусловленную мат-рицу.

6.4. Оценка обусловленности матрицы системы МНК Обусловленность линейной системы (6.7) определяется числом

||,|||||| 1 CC которое определяет относительную погреш-ность решения системы в зависимости от погрешности правой час-ти f:

,||||||||

||||||||

ff

xx

,||max||||1

2

s

iij

jcC

,||||2

22 ||||

||||1yzC ,||||||

12

s

iizz

где векторы y и z определяются из решения следующих двух систем уравнений:




92

,т eyC ,yCz

где тC — транспонированная матрица, е — вектор с компонен-тами ,1 выбираемые так, чтобы обеспечить максимальный рост 2|||| y на этапе обратной подстановки.

6.5. Метод Гаусса Реализованный в программе прямой метод решения системы МНК (6.7) является вариантом метода Гаусса последовательно-го исключения неизвестных с частичным выбором ведущего элемента (по столбцу). Исключение по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямого хода и обратной подстановки. В прямом ходе на k-м шаге k-е уравнение вычитается из оставшихся с це-лью исключения k-ого неизвестного. Обратная подстановка со-стоит в решении последнего уравнения относительно ,xn пред-последнего — относительно 1nx и т. д. до .1x

6.6. Метод сопряженных градиентов Это прямой метод, но может применяться и как итерационный. Подробнее см. работу [4] и библиографию к ней. Используется, если матрица линейной системы самосопряженная и положи-тельно определенная. Матрица системы МНК как раз такая (см. п. 6.2). Метод неустойчив, если обусловленность системы дос-таточно велика. Обозначим матрицу системы МНК через C.

,011 fCbrs

,1 nnnn a Csrr ,1 nnnn a sbb

,1 nnnn sgrs

,),(

),( 11

nn

nnn sCs

rra .

),(

),(

11

nn

nnn rr

rrg

Существенным преимуществом метода является отсутст-вие необходимости знания границ спектра. В точной арифмети-ке метод сходится не более чем за n итераций, где n — размер-ность матрицы.




93

6.7. Полиномы Лежандра Многочлены

,1)(0 xP ,)(1 xxP ,)(2

132

2

xxP ,)(2

353

3 xxxP …,

)),()()12(( 111

1 xiPxPxiP iiii i = 3, 4, … (6.10)

называют многочленами Лежандра. Они ортогональны на от-резке ,11 x т. е.

,0)()(1

1

dxxPxP lk k l;

.)(12

21

1

2

kk dxxP

В программе используются многочлены, ортогональные на отрезке [a, b], ,min i

ixa ,max i

ixb получающиеся из (6.10.)

соответствующей заменой переменных; ,ix i = 1, …, N — абс-циссы точек исходных данных.

6.8. Порядок выполнения работы

1. В окне «Данные и их аппроксимация» маркерами отмечены точки с координатами ),,( kk yx k = 1, 2, …, 5, записанные в файле данных. По умолчанию это файл DATA\LSQ1.DAT.

В этом файле записаны результаты замеров какой-либо за-висимости ).(xy Расположение точек позволяет приближенно считать, что зависимость )(xy является линейной, т. е. имеет вид .)( 10 xbbxy Числа ,0b 1b желательно подобрать так, чтобы при kxx получались значения .yk Так как измерений больше, чем неизвестных ,0b ,1b то соответствующая система линейных уравнений будет переопределенной и в общем случае не имеет классического решения, поскольку не существует пря-мой, проходящей сразу через все экспериментальные точки.




94

Для аппроксимации данной зависимости в меню «Пара-метры/Выбор системы функций» выберите строку «Полиномы 1, x, ,2x …» и в строке «количество базисных функций» уста-новите число 2.

Если считать все измерения равноправными, то весовую матрицу В следует выбрать единичной. Для этого в меню «Па-раметры/Выбор Евклидовой нормы» выберите строку «Матри-ца В Единичная».

Если Вы сочтете разумным придать каждому измерению свой вес, то в меню «Параметры/Выбор Евклидовой нормы» выберите строку Матрица B произвольная и строку «редакти-рование матрицы». Задайте диагональным элементам В нерав-ные значения. Запустите задачу на счет и сравните результаты расчетов. Коэффициенты ,0b 1b можно посмотреть, активизи-ровав меню «Окна/Полная информация».

Если заранее известен вид зависимости ),(xyy то тот же набор данных можно интерпретировать как результат несколь-ких измерений для уточнения коэффициентов ,0b .1b

2. Выберите базис из полиномов Лежандра («Параметры/Выбор системы функций/Полиномы Лежандра») для представления того же набора экспериментальных данных ),,( kk yx т. е. бу-дем искать зависимость y(x) в виде ).()()( 1100 xPbxPbxy Установите, зависит ли аппроксимирующий полином от выбо-ра базиса (см. п. 6.2).

3. Введите набор данных из файла LSQ2.DAT («Парамет-ры/Данные/Ввод данных из файла»). Он отвечает более сложной, чем в предыдущем задании, зависимости )(xy и для хорошей аппроксимации нужно выбрать полином более высокой степени. Установите число базисных функций 10 и базис-полином 1, x,

,2x … в меню «Параметры/Выбор системы функций». Для решения системы МНК в меню «Метод» выберите «Ме-

тод сопряженных градиентов» и установите число итераций 8. Следующий расчет выполните для базиса из полиномов

Лежандра. Сравните полученные результаты. Обратите внима-ние на оценку числа обусловленности в обоих случаях. Опиши-те, как изменяются результаты, если уменьшить точность про-




95

межуточных вычислений. Для этого в меню «Параметры» в строке «Длина мантиссы» введите вместо установленной по умолчанию (53) цифру 24, а затем 12. 4. Данные в LSQ3.DAT соответствуют замерам зашумленного сигнала

.4sin2sin)( 21 xcxcxy

Найти ,1c .2c

Указание. Используйте базис из тригонометрических полино-мов («Параметры/Выбор системы функций/Полиномы триго-нометрические»).

5. Введите таблицу функции из файла LSQ4.DAT. Приблизьте эту функцию тригонометрическими многочленами степени m и m + r, r > 0, m + r < N, где N — число точек в таблице. Сравните первые m коэффициентов. Объясните полученный результат. 6. Используя мышь, введите произвольный набор данных с эк-рана терминала («Параметры/Данные/Ввод данных с экрана»). Аппроксимируйте их полиномами различной степени. Проана-лизируйте влияние выбора базиса, выбора матрицы В, задающей скалярное произведение, способы решения системы МНК («Ме-тод Гаусса, Метод сопряженных градиентов»).

6.9. Некоторые рекомендации по работе с программой Главное меню/Окна/График функции. При нажатии клавиши Enter открывается или закрывается окно с графиком функции («Данные и их аппроксимация»), на котором отображаются дан-ные и построенные графики.

Главное меню/Окна/График невязки. При нажатии клавиши Enter открывается или закрывается окно с графиком невязки, на котором отображаются в виде вертикальных прямых разность между значением аппроксимирующего полинома и ординатой точки данных. Цвет прямых соответствует цвету графика поли-нома в окне «График функции».

Главное меню/Окна/Масштабирование. Здесь можно задать вертикальные и горизонтальные масштабы для окон «График функции» и «График невязки».

Главное меню/Окна/Очистить экран. Удаляет все графики из окна «График функции» и все графики невязок из окна «Гра-фик невязки», а также информацию из окна «Полная информа-




96

ция». Главное меню/Окна/Полная информация. В окне содержит-

ся информация обо всех графиках в окне «График функции». Вы также можете посмотреть коэффициенты аппроксимирующего полинома.

Главное меню/Окна/Полная информация/Коэффициенты. Нажав клавишу Enter можно посмотреть коэффициенты аппрокси-мирующего полинома.

Подготовка файла данных. Для решения своей задачи мож-но подготовить данные в отдельном файле и записать его в ди-ректорию DATA. Формат данных должен иметь следующий вид:

1-я строка — комментарий; 2-я строка — если начинается с @, то границы окна с дан-

ными: ,minx ,maxx ,miny ,maxy иначе — комментарий; 3-я строка — количество точек в файле, далее данные:

1x 1y

2x 2y ...............

nx ny

Пример: DATA FILE FOR LSQ файл данных для МНК 3 1. –1e4 –5 –23 10

6.10. Библиографическая справка Изложение теоретических основ использования МНК ведется в соответствии с [1], см. также [8, 11, 27].




97


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЗАДАЧА КОШИ

7.1. Введение

В этой работе Вы познакомитесь с численными методами реше-ния задачи Коши для обыкновенных дифференциальных урав-нений (ОДУ):

,),( 0uGu x

dxd ,0xx

.x 00 )( Uu

В работу включены следующие явные методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

1) Рунге–Кутты первого порядка точности (метод Эйлера); 2) Рунге–Кутты второго порядка точности; 3) метод второго порядка с центральной разностью; 4) Рунге–Кутты третьего порядка точности (метод Хойна); 5) Рунге–Кутты четвертого порядка точности; 6) экстраполяция Ричардсона второго порядка для метода

Рунге–Кутты первого порядка точности. В процессе работы Вы сможете получать приближенные

решения различных обыкновенных дифференциальных урав-нений (или систем обыкновенных дифференциальных уравне-ний) с помощью реализованных численных методов, исследо-вать их поведение в зависимости от величины шага расчетной сетки, параметров задачи, сравнивать их между собой и с не-которыми точными решениями, получать фазовые портреты.




98

7.2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть

fuL (7.1)

— краткое символьное обозначение исходной дифференциаль-ной задачи.

Пусть, далее, введена в рассмотрение сеточная область hW и пространство hU сеточных функций :hu

hhh fuL (7.1а)

— соответствующее символьное обозначение разностной задачи (схемы), которой заменяется задача (7.1), и решение которой может быть вычислено с помощью ЭВМ.

Замечание. Решение (7.1а) рассматривается в качестве при-ближенного решения задачи (7.1) в узлах сетки. Ошибка этого приближения определяется как сеточная функция

,][ hhh uuu

где h][u — значения точного решения в узлах сетки.

Введем в пространстве hU сеточных функций hu какую-либо норму .||||

Определение. Погрешностью метода численного решения задачи (7.1) в смысле выбранной нормы принято называть ве-личину .|||| hu

Если выполнено условие

),(O ph

то говорят, что схема имеет p-й порядок точности. Введем в пространстве hF правых частей hf некоторую

норму для элементов этого пространства:

.|||||||| Fhhh ff

Далее индекс hF будем иногда опускать. Из теории известно, что величина имеет тот же порядок,




99

что и погрешность аппроксимации ,|||| hf где

.][ hhhh fuLf

Иными словами, hf — невязка, характеризующая, насколько на-рушаются сеточные уравнения (7.1а) при подстановке в них про-екции (ограничения на сетку) решения исходной задачи (7.1).

Замечание 1. Теорема о том, что погрешность , т. е. погреш-ность метода (7.1а) для задачи (7.1), имеет тот же порядок, что и погрешность аппроксимации ,|||| hf справедлива в предполо-жении, что разностная задача (7.1а) устойчива.

Замечание 2. Вопрос о сходимости метода (7.1а) сводится к исследованию разностной схемы (7.1а) на аппроксимацию и устойчивость.

7.3. Устойчивость Устойчивость разностной схемы означает, что решение (7.1а) существует, единственно, непрерывно зависит от входных дан-ных равномерно по h.

Для линейных задач последнее требование означает, что существует число ,constC не зависящее от параметра h такое, что для любых f выполнено

.|||||||| hh C fu

7.4. Дифференциальная задача Запишем дифференциальную задачу в следующем виде:

,),( 0uGu x

dxd ,0xx

.x 00 )( Uu (7.2)




100

7.5. Сеточная область

Без ограничения общности положим .00 x Кроме того, будем рассматривать задачу при значении аргумента ].1,0[x

Сеточной областью назовем множество узлов hW },,1,0;{ Nnxn (рис. 7), , nhxn где h — шаг сетки,

Nh = 1. Шаг сетки может быть неравномерным:

nnn xxh 1 .

На сетке определена сеточная функция },,,2,1,0;{ Nnuu nh здесь nu — ее компонента, относящаяся к узлу .nx

7.6. Разностная задача В качестве простейшего примера разностной схемы, аппрокси-мирующей дифференциальную задачу Коши, приведем сле-дующую схему (метод Эйлера) для одного уравнения вида (7.2):

),,(1nnh

uuuxGnn

n = 0, 1, 2, …, N – 1.

.00 Uu

7.7. Погрешность метода Величину погрешности для скалярного аналога (7.2) можно оп-ределить, например, следующим образом:

.|][|max hh uun

Напомним, что если ),(O ph то говорят, что метод име-ет p-й порядок точности.

7.8. Явные методы Рунге–Кутты

Пусть значение nu приближенного решения в точке nx уже найдено и требуется вычислить 1nu в точке .1 hxx nn

~x x x ... x x1 2 3 n Рис. 7




101

Задаем натуральное m и выписываем выражения вида: ),,(1 nn uxGk

),,( 12112 kbhuhaxGk nn

)),(,( 23213123 kbkbhuhaxGk nn ..................................................................

).,(1

11

m

iiminmnm kbhuhaxGk

Затем полагаем

,0) ( 111

mmhuuhh kpkpuL nn n = 0, 1, …, N – 1.

.00 Uu

Неопределенные коэффициенты ,1a ,2a …, ;1ma ;21b ,31b ;32b …; ,1mb …, ;1mmb ,1p ,2p …, mp подбираем так,

чтобы получить при заданном m аппроксимацию возможно бо-лее высокого порядка.

7.9. Метод Рунге–Кутты первого порядка точности (метод Эйлера) Частный случай методов Рунге–Кутты при m = 1:

,01

nhuu

Gnn n = 0, 1, 2, …, N – 1.

.00 Uu

7.10. Метод Рунге–Кутты второго порядка точности Один из возможных методов, реализованных в этой лабора-торной работе:

,021 k

huu nn n = 0, 1, 2, …, N – 1.

,00 Uu

),,(1 nn uxGk . ,2122

hn

hn kuxGk




102

В [1] приведено однопараметрическое семейство методов Рун-ге–Кутты второго порядка.

7.11. Метод Рунге–Кутты третьего порядка точности (метод Хойна) Наиболее употребительный метод Рунге–Кутты третьего поряд-ка (метод Хойна) имеет вид:

,4

3 311 kkh

uu nn n = 0, 1, 2, …, N – 1.

,00 Uu

),,(1 nn uxGk

, ,3132

hn

hn kuxGk . ,

32

232

3

hn

hn kuxGk

7.12. Метод Рунге–Кутты четвертого порядка точности Приведем формулы классического метода Рунге–Кутты четвер-того порядка:

,6

22 43211 kkkk

huu nn

n = 0, 1, 2, …, N – 1.

,00 Uu

),,(1 nn uxGk

, ,2122

hn

hn kuxGk , ,

2223

hn

hn kuxGk

).,( 34 hkuhxGk nn

Замечание. Известно, что существует большое число методов третьего и четвертого порядков [28–30]. В работе приводятся те, которые требуют минимального количества вычислений правой части.

7.13. Экстраполяция Ричардсона Пусть в точке х известно значение решения ).(xu Пусть мето-дом Рунге–Кутты порядка р в результате выполнения численно-




103

го интегрирования на двух шагах величины h найдено численное значение u в точке ,2hx а в результате выполнения одного ша-га 2h получено значение hu2 (в той же точке). Тогда выражение

122

phh uu

huu

аппроксимирует величину )2( hxu с порядком .1p Другими словами, экстраполяция Ричардсона позволяет увеличивать на единицу точность метода.

7.14. Схема второго порядка с центральной разностью Приведем пример разностной схемы на трехточечном шаблоне:

,02

11 nh

uuGnn n = 1, 2, …, N – 1.

.00 Uu

.001 hGuu

Заметим, что схемы Рунге–Кутты относятся к двухточеч-ным, т. е. для вычисления значения функции в точке 1nx тре-буется лишь значение в точке .nx В схеме с центральной разно-стью требуется знать значение в двух точках nx и .1nx Гово-рят, что дифференциальное уравнение 1-го порядка в этом случае приближено разностным уравнением 2-го порядка.

Формально порядок разностного уравнения определяется тем, какое количество начальных условий для его решения не-обходимо поставить.

Подробнее о линейных разностных уравнениях разного по-рядка см. в [31].

7.15. Теоремы об устойчивости методов Рунге–Кутты Приведем без доказательств три теоремы об устойчивости мето-дов Рунге–Кутты, доказательства см. в [2, 29].

Теорема 1. Пусть функция G в (7.2) удовлетворяет усло-виям Липшица по аргументу u с постоянной C:

||||||),(),(|| vv uCxGuxG




104

(эта оценка не зависит от сеточного параметра h). Пусть также .1CT Тогда метод Рунге–Кутты устойчив и имеет место оценка

.2|||||||| 00 CeCTnnCT

ueu vv

Здесь — максимальная ошибка округления на данной ЭВМ, }{ nu — «точное» сеточное решение задачи, }{ nv — решение

возмущенной задачи, T — длина отрезка интегрирования. Замечание. Данный вывод не зависит от порядка метода Рун-ге–Кутты. Более тонкие оценки получаются с учетом информа-ции о характере решения [2].

Введем обозначение

.*

21

uG

uG

A

Пусть система (7.2) такова, что для всех ],0[ Tx и любого вектора y выполнено

);,(),( yyyAy a .0const a

(Такие траектории называются устойчивыми.) Теорема 2. При численном интегрировании устойчивой

траектории методом Рунге–Кутты порядка k при всех x > 0 погрешность метода есть ).O( kh

Пусть теперь 0),( yAy для любого вектора y. Такие тра-ектории называются «не устойчивыми» (нейтральными).

Теорема 3. При численном интегрировании нейтральной системы методом Рунге–Кутты порядка k 2 точность ме-тода падает на порядок при )./1O( hx

7.16. Контрольные вопросы 1. Рассматривается задача Коши:

,ayy ,consta

.1)0( y

Ее точное решение есть .axey




105

Исследуйте схемы из п. 7.9, 7.14 данной работы на аппрок-симацию на решении данной задачи и на сходимость.

2. Рассматривается задача Коши для системы уравнений:

,vu

,uv

.1)0()0( vu

Система имеет первый интеграл (закон сохранения энергии)

.122

22

vu

Что будет происходить с энергией системы в случае применения явного метода Эйлера из п. 7.5? Будет ли сохраняться энергия при использовании схемы из п. 7.14?

Что произойдет при использовании неявного метода Эйле-ра

;11

nh

uu nn v .11

nh

unn vv

3. Показать, что система из предыдущего вопроса «не устойчи-вая» (нейтральная).

7.17. Порядок выполнения работы 1. Изучите поведение численных решений задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, полученных разными численными методами.

Для одного дифференциального уравнения

,0 Auux ,3A

1)0( u

на отрезке [0, 2] получите численные решения с помощью всех указанных в меню методов; сравните их между собой и с точ-ным решением (шаг интегрирования h = 0,05). Получите чис-ленные решения для методов Рунге–Кутты первого и четвертого порядка при различных значениях шага интегрирования h.

Проведите численное решение задачи (при 20A ) двумя




106

методами (с центральной точкой и Рунге–Кутты четвертого по-рядка) с h = 0,1; 0,06; 0,01; 0,001 на отрезке [0, 3]. Объясните ре-зультаты, полученные с помощью метода с центральной точкой.

Точное решение: .)0()( 3textx

2. Проведите аналогичные расчеты для системы двух уравнений

,vu

,uv

1)0()0( vu

сравните с точным решением системы (h = 0,01). Точное решение: ,cossin)( tttu .sincos)( ttt v

3. Получите численное решение «жесткой» системы уравнений

,19898 v uu

vv 19999 u

.1)0()0( vu

и сравните с точным решением. Какой шаг интегрирования не-обходимо взять, чтобы численное решение было устойчивым? О жестких системах см. [2, 28, 30].

Точное решение: ,34)( 100tt eetu

.32)( 100tt eet v

4. Получите численное решение системы двух ОДУ

,1)+( 2 vv BuAu ,1)0( u

,= 2vv uBu 1,(0) v

,1A ]5,1[B

двумя методами: Рунге–Кутты первого и четвертого порядка. Изучите фазовые портреты. Удалось ли Вам получить предель-ные циклы и бифуркацию Хопфа (при которой предельный цикл вырождается в точку; при этом 1))+(AAB ?

Эта система — модель Лефевра–Пригожина «брюсселя-




107

тор». Подробнее о ней см. в [29, 30].

5. Изучите поведение численного решения ОДУ второго поряд-ка (уравнения Ван-дер-Поля):

,0)1( 2 yyyey

представленного в виде системы двух ОДУ первого порядка

,zx

,)1( 2 xzxez ,0e

или в представлении Льенара

,yz

;3

3

yezy y ,0e

,2)0( x ,0)0( z 1000 t

в зависимости от изменения параметра e ( 10001,0 e ).

6. Исследуйте поведение фазовых траекторий для системы ОДУ

,yx

12 xy

вблизи особых точек (1, 0) и (–1, 0) с помощью двух методов Рун-ге–Кутты (первого и четвертого порядка точности). Объясните их поведение. Значения )0(x и )0(y варьируйте самостоятельно.

7. Получите траекторию движения спутника вокруг планеты, проведя численное решение задачи двух тел

,zx

,uy

,2/322 )( yx

xz

,2/322 )( yx

yu




108

;5,0)0( x ,0)0()0( zy 73,13)0( u

на интервале времени 200 t двумя методами (Рунге–Кутты первого и второго порядка точности). Исследуйте зависимость численного решения от шага интегрирования.

8*. Получите численное решение ОДУ с особенностью

, )(+= 2x2

1 xuu .0)0( u

9. Методами разных порядков аппроксимации численно решить систему Лоренца:

),( yxx

,yrxxzy

,bzxyz

1)0()0()0( zyx

при ,3/8b ,10 .28r Считаем, что .500 t Объяснить полученные результаты. Указание. О системе Лоренца см. [29].

7.18. Библиографическая справка Численному решению ОДУ посвящена обширная литература. Мы можем рекомендовать для первоначального ознакомления книги [2, 3, 4, 31]. Современные методы численного решения описаны в [5, 29]. Теории численных методов решения жестких систем методами Рунге–Кутты и исследованию их на устойчи-вость посвящена книга [28], а обзор современных методов чис-ленного решения жестких систем см. в [5, 30]. Конечно, это лишь малая часть литературы по численному решению задач Коши, и заинтересованный читатель сможет пополнить свои знания, используя приведенную в упомянутых книгах библио-графию.




109


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА


Эта работа знакомит с различными методами решения линей-ных и нелинейных краевых задач. Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетво-рять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке.

Простейшим представителем краевой задачи является двухточечная граничная задача, для которой граничные условия задаются в двух точках, как правило, на концах интервала, на котором ищется решение. Двухточечные граничные задачи встречаются во всех областях науки и техники. На примерах та-ких задач и будет рассмотрено применение методов, обсуждае-мых в настоящей работе. В случае задания краевых условий в более общем виде использование этих методов не представит принципиальных затруднений.

8.2. Пример краевой задачи Примером двухточечной краевой задачи является задача:

),,,( yyxfy ,10 x

,)0( 0Yy .)1( 1Yy (8.1)

с граничными условиями на обоих концах отрезка ,10 x на котором надо найти решение ).(xyy На этом примере мы схе-матически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

Если функция ),,( yyxf в (8.1) линейна по аргументам у и




110

,y то мы имеем линейную краевую задачу, иначе — нелиней-ную краевую задачу.

8.3. Линейная краевая задача Рассмотрим частную, но довольно распространенную краевую задачу следующего вида:

),()( xfyxpyLy ,10 x

,)0( 0Yy .)1( 1Yy (8.2)

Для этой задачи проиллюстрируем два способа решения: один основан на идее численного построения общего решения линейного дифференциального уравнения, другой (конечно-разностный) сводит исходную дифференциальную краевую за-дачу к системе линейных алгебраических уравнений, решение которых находится методом прогонки.

8.4. Метод численного построения общего решения Для нахождения решения краевой задачи (8.2) можно числено построить решение дифференциального уравнения, представи-мое в виде

),()()()( 02211 xyxyCxyCxy

где )(0 xy — какое-либо решение неоднородного уравнения

),()( xfyxpy

а )(1 xy и )(2 xy — два любые линейно независимые решения однородного уравнения .0)( yxpy Постоянные 1C и 2C находятся из граничных условий задачи (8.2).

Так как решения ),(0 xy ),(1 xy )(2 xy произвольны, то их можно построить различными способами. Например, можно за-дать какие-то начальные условия и решить одну задачу Коши для неоднородного и две задачи Коши для однородного уравне-ний. Эти условия, в частности, могут быть такими:

,0)0(0 y 0)0(0 y — для неоднородного уравнения;

,1)0(1 y ;0)0(1 y




111

,0)0(2 y 1)0(2 y — для однородного уравнения.

Однако при реализации этого способа, например, в случае 1)( xp для рассматриваемого уравнения могут возникнуть

трудности, связанные с неустойчивостью задачи Коши. В этом случае можно попытаться построить ),(0 xy ),(1 xy )(2 xy с по-мощью решения одной краевой задачи для неоднородного урав-нения и двух краевых задач для однородного уравнения. Крае-вые условия для этих задач могут быть, например, следующими:

,0)0(0 y 0)1(0 y — для неоднородного уравнения;

,1)0(1 y ;0)1(1 y

,0)0(2 y 1)1(2 y — для однородного уравнения.

Эти задачи могут быть решены методом прогонки. Условия устойчивости метода прогонки при ,0)( xp как легко прове-рить, выполнены. Этот подход может оказаться полезным, если краевые условия таковы, что для исходной задачи (8.2) метод прогонки применен быть не может.

Отметим, что с учетом специфики краевых условий ис-ходной задачи можно строить общее решение вида

),()()( 10 xyCxyxy

где )(0 xy — некоторое решение неоднородного уравнения, а )(1 xy — некоторое решение однородного уравнения.

8.5. Конечно-разностный метод (прогонки) При нахождении решения линейной краевой задачи:

),()( xfyxpy ,10 x

,)0( 0Yy .)1( 1Yy

для 1)( xp методом построения общего решения, если оно находится с помощью решения задач Коши, могут возникнуть трудности, связанные с вычислительной неустойчивостью за-дачи Коши.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться разностной схемой:




112

),()(2

11 2mmm

h

yyyxfyxpmmm

,0 Mm ,1Mh ,00 Yy 1YyM

и решить разностную задачу методом прогонки. Условия при-менимости метода прогонки при ,0)( xp как легко проверить, выполнены. Подробнее о методе прогонки см. в [1–4, 17, 31]. В [17] рассмотрены различные варианты метода прогонки.

8.6. Нелинейная краевая задача Краевая задача

),,,( yyxfy ,10 x

,)0( 0Yy .)1( 1Yy (8.3)

является нелинейной краевой задачей, если функция ),,( yyxf нелинейна хотя бы по одному из аргументов y или .y

В настоящей работе реализованы два способа решения не-линейных краевых задач: метод стрельбы и метод линеариза-ции (метод Ньютона), который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач.

8.7. Метод стрельбы Метод стрельбы для решения краевой задачи (8.3) базируется на том, что имеются удобные способы численного решения за-

дачи Коши, т. е. задачи следую-щего вида

),,,( yyxfy ,10 x

,)0( 0Yy (8.4)

,tg)0( y

где 0Y — ордината точки ),,0( 0Y из которой выходит ин-

тегральная кривая; — угол на-0.0 1.0

Рис. 8




113

клона интегральной кривой к оси x при выходе из точки ),0( 0Y (рис. 8). При фиксированном 0Y решение задачи (8.4) имеет вид

).,( xyy При 1x решение ),( xy зависит только от :

).,1(),( 1 yxy x

Используя указанное замечание о решении задачи Коши (8.4), можно задачу (8.3) переформулировать следующим обра-зом: найти такой угол ,* при котором интегральная кри-вая, выходящая из точки ),0( 0Y под углом к оси абсцисс, по-падет в точку :),1( 1Y

.),1( 1Yy (8.5)

Решение задачи (8.4) при этом * совпадает с искомым решением задачи (8.3). Таким образом, дело сводится к решению уравнения (8.5) (рис. 9). Уравнение (8.5) — это уравнение вида

,0)( F

где .),1()( 1YyF Оно отличается от привычных

уравнений лишь тем, что функция )(F задана не аналитическим вы-

ражением, а с помощью алгоритма численного решения задачи (8.4).

Для решения уравнения (8.5) можно использовать любой метод, пригодный для уточнения корней нелинейного уравнения, например, метод деления отрезка по-полам, метод Ньютона (касательных) и др. Метод Ньютона здесь предпочтительнее (если имеется достаточно хорошее на-чальное приближение) из-за высокой стоимости вычисления одного значения функции F() (нужно решить задачу Коши (8.4) с данным ).

Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи (8.3) к вычислению решений задачи Коши (8.4), хорошо работает в том случае, если решение ),( xy «не слишком сильно» зависит от . В противном случае он становится вычислительно неустой-

Рис. 9




114

чивым, даже если решение задачи (8.3) зависит от входных дан-ных «умеренно».

При решении уравнений ,0)( F методом деления отрезка пополам, мы задаем 0 и 1 так, чтобы разности 10),1( Yy и

11),1( Yy имели разные знаки. Затем полагаем

.22

10

Вычисляем ).,1( 2y Затем вычисляем 3 по одной из формул:

2321

или 2

20

в зависимости от того, имеют ли разности 12),1( Yy и

11),1( Yy соответственно разные или одинаковые знаки. За-тем вычисляем ).,1( 3y Процесс продолжаем до тех пор, пока

не будет достигнута требуемая точность .<),1( 1 Yy n

В случае использования для решения уравнения 0)( F метода Ньютона задаем ,0 а затем последующие n вычис-ляем по рекуррентной формуле

,)(

)(1

n

nFF

nn

n = 0, 1, …

Производная )( nF может быть вычислена по одной из формул численного дифференцирования, например, первого по-рядка аппроксимации:

.)()()(

hFhF

nnnF

8.8. Вычислительная неустойчивость задачи Коши

Поясним причину возникновения вычислительной неустойчиво-сти на примере следующей линейной краевой задачи:

,02 ypy ,10 x




115

,)0( 0Yy .)1( 1Yy (8.6)

при постоянном .2p Выпишем решение этой задачи:

.)( 11

01 2

)1()1(

2

)2(YYxy

p

xpxp

p

xppx

e

ee

e

ee

Коэффициенты при 0Y и 1Y с ростом р остаются ограниченны-ми на отрезке 10 x функциями; при всех 0p они не пре-восходят единицу. Поэтому небольшие ошибки при задании 0Y и 1Y ведут к столь же небольшим погрешностям в решении, т. е. краевая задача является «хорошей».

Рассмотрим теперь задачу Коши:

,02 ypy ,10 x

,)0( 0Yy .tg)0( y (8.7)

Ее решение имеет вид:

.)(2

tg

2

tg 00 pxp

pYpxp

pYeexy

Если при задании tg допущена погрешность , то значение решения при 1x получит приращение

.)1(22

pp

pp

eey (8.8)

При больших р вычитаемое в равенстве (8.8) пренебрежи-мо мало, но коэффициент в первом слагаемом pe p 2/ становит-ся большим. Поэтому метод стрельбы при решении задачи (8.6), будучи формально приемлемой процедурой, при больших р ста-новится практически непригодным. Подробнее о возникновении неустойчивостей см. [1, 2].

8.9. Метод линеаризации (метод Ньютона) Метод Ньютона сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач и состоит в следующем.

Пусть для нелинейной краевой задачи (8.3) известна функ-ция ),(0 xy удовлетворяющая граничным условиям и грубо при-




116

ближенно равная искомому ).(xy Положим

),()()( 0 xxyxy v (8.9)

где )(xv — поправка к нулевому приближению ).(0 xy Подста-вим (8.9) в уравнение (8.8) и линеаризуем задачу, используя сле-дующие равенства:

),()()( 0 xxyxy v

),,(),,( 0000 yyxfyyxf vv

).||O( 22),,(),,( 0000 vvvv

yyyxf

yyyxf

Отбрасывая остаточный член ),||(O 22 vv получим линейную краевую задачу для нахождения поправки :)(~ xv

),(~)(~)(~ xrxgxp vvv

,0)0(~ v ,0)1(~ v (8.10)

где

,)( ),,( 00y

yyxfxp

,)( ),,( 00

yyyxfxq

.),,()( 000 yyyxfxr

Решая линейную краевую задачу (8.10) каким-либо численным методом найдем поправку v~ и примем за первое приближение

.v~)()( 01 xyxy

Аналогично, зная приближение ),(1 xy положим 11~)()( v xyxy

и найдем следующее приближение. Продолжая процесс до тех пор, пока не будут выполнены неравенства

,|)(~|max xv ],1,0[x

где — требуемая точность, найдем приближенное решение ис-ходной нелинейной задачи.




117

8.10. Порядок выполнения работы 1. Начните выполнение работы с темы «Линейная краевая за-дача». Выбрав с помощью меню один из методов решения ли-нейной краевой задачи, перейдите к пункту меню «Парамет-ры». Наберите следующую краевую задачу:

,ppyy ,10 x

,1)0( y .1)1( y

для .0const p Решением этой задачи является функция .1y Установите значение шага сетки h = 0,05.

1.1. Найдите решение этой задачи методом построения общего решения и методом прогонки для разных р, начиная с умерен-ных значений и увеличивая их до величины порядка 1200. Сравните получаемые решения с точным и объясните наблю-даемые эффекты. Попытайтесь найти решение этой же задачи методом стрельбы. Проанализируйте, как влияет при разных р точность задания недостающего начального условия на левом конце интервала на успешное решение задачи методом стрель-бы. 1.2. Объясните полученные результаты. Замените левое краевое условие (положите, например, 0)0( y ) и посмотрите, как из-менится характер решения. 1.3. Выполните п. 1.1, 1.2 для задачи:

,ppyy ,10 x

,1)1( y .0)0( y

Eе точное решение .1y Объясните полученные результаты. Най-дите условие устойчивости метода прогонки для данной задачи. 2. Получите численное решение следующих нелинейных краевых задач: 2.1. ,0cos ypxy ,10 x

,0)0( y ,0)1( y p = 1, 4, 7, 25, 50, 100;

2.2. ,025,01

5,0

yy

y ,10 x

,)0( 0yy ,0)1( y




118

;95,1;9,1;8,1;5,1;1;5,0;25,00 y

2.3. ,0sin yy ,0 kxx

,0)0( y ,)( kxy

.6;4;2;1;5,0kx

3. Рассмотрите следующие краевые задачи:

3.1. ,yey ,10 x

,1)0( y ;)1( ay

3.2. ,yey ,10 x

,1)0( y .)1( ay

Параметр a меняется от 0 до 2. Что при этом происходит с ре-шением задач? Почему в задаче 3.2 при значениях a > 1,4999… не работает метод линеаризации? Замечание. Задача 3 подробно рассмотрена в [29].

4. Рассмотреть две сингулярно-возмущенные задачи (с малым параметром при старших производных):

),1( 2 yyy ,11 x

2)1()1( yy

и

),1( 2 yyy ,11 x

.2)1()1( yy

Считаем .10 3 Какие численные методы позволят получить решение каждой из этих задач? Почему?

8.11. Библиографическая справка Более детальную теоретическую справку о методах решения краевых задач можно получить, используя книги [1–4, 7, 27, 32]. Подробнее о различных вариантах метода прогонки см. в [17].




119


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА


В этой работе Вы познакомитесь с численными методами реше-ния дифференциальных уравнений в частных производных ги-перболического типа на примере одномерного линейного уравне-ния переноса, для которого рассматривается краевая задача:

),,( xtfuu xt ,0t ,0 x (9.1)

),(),0( xxu ,0 x

),()0,( ttu .0t

На предложенных примерах Вы изучите характерные чер-ты поведения численных решений этого уравнения в зависи-мости от входных данных задачи, выбора разностного метода, сеточных параметров (шагов по времени и координате).

Полученные приближенные (численные) решения одно-родного уравнения Вы сможете сравнить с аналитическим.

9.2. Дифференциальная задача В работе рассматривается следующая дифференциальная задача:

,fauu xt ,0 Tt ,0 Xx (9.1а)

),(),0( xxu ,0 Xx

),()0,( ttu .0t




120

9.3. Сеточная область Для рассмотренной задачи введена равномерная сетка

)],,[(W mph xt p = 0, 1, …, P; m = 0, 1, …, M;

в узлах которой определена сеточная функция :hu

];[ pmh uu p = 0, 1, …, P; m = 0, 1, …, M;

где pmu — компонента сеточной функции, относящаяся к узлу

),,( mp xt , pt p — шаг по времени, ,TP ,mhxm h —

шаг по координате, .XMh

9.4. Пример разностной задачи (схемы) Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возмож-ных разностных схем («явный правый уголок») имеет вид:

,11

pmh

uuuufa

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 0, 1, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

9.5. Шаблон разностной схемы Рассмотренная разностная схема при задан-ных m и p связывает значения решения в трех точках сетки, которые образуют конфи-гурацию «правый уголок», называемую шаб-лоном этой схемы.

9.6. Погрешность метода Введем в пространстве решений норму, положив например,

|,|sup||||,

pm

mph uu m = 0, 1, …, M; p = 0, 1, …, P.

* *p m p m, , + 1

*p m+ 1,




121

Тогда погрешность выражается формулой

,|][|max,

pm

pm

mpuu

где под pmu][ подразумевается значение точного решения ис-

ходной дифференциальной задачи в узле ).,( mp xt

9.7. Невязка Для рассмотренной разностной задачи соотношения при p = 0 (начальные данные) при подстановке в них решения (9.1), удов-летворяются точно, а соотношения, которые получены из (9.1) заменой производных по формулам численного дифференциро-вания в произвольном (p, m) узле, дают компоненту ошибки ап-проксимации:

.][][][][ 1

1p

mh

uuuupm faf

pm

pm

pm

pm

Представление о величине pmf легко получить, если задать

опорную точку и представить значения )],,([ xtu входящие в

выражение для ,pmf в виде разложения в ряды Тейлора отно-

сительно этой точки. Выбирая в качестве опорной точку ),,( mp xt получим:

pmtt

pm

pm upmhutuup

mf][)],([5,0][][ 2

pm

pmxx

hpmx

pm fuphmhuuhua )][)],([][]([

2

2

),,(),()][]([2

phmhupmhufuau xxah

ttp

mpmx

pmt

где ,0 .1

Для решения (9.1) выражение в первых скобках в послед-нем равенстве равно нулю. Поскольку выкладки проводились




122

для произвольного узла ),,( mp xt получаем (в предположении

ограниченности вторых производных ttu и xxu ):

).(O|||| hf h

Если и h имеют одинаковый порядок, то ).(O|||| hf h

9.8. Спектральный признак устойчивости Для однородной разностной задачи ищем решение в виде

. imppm eu

Подставляя его в разностные уравнения, получим

,011

he hi

a

или

.12h

eha hi

a

В силу произвольности отсюда получаем, что 1|| при всех тогда и только тогда, когда ,0/1 ha т. е. схема устойчива только, если в (9.1) 0a и },{ h выбраны так, что .1/|| ha

Подробнее о спектральном признаке устойчивости см. Приложение 1.

9.9. Явный левый уголок Сеточный шаблон:

* *p m p m, 1 ,

*p m+ 1,

Разностная схема (далее полагаем 1a ):

,11

pmh

uuuuf

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, …,

M; ,0 mmu m = 0, 1, …, M;




123

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:

.)( 11 p

mpm

pmh

pm

pm fuuuu

Порядок аппроксимации: О( + h). Схема устойчива при .1/ h

9.10. Явная четырехточечная схема Сеточный шаблон:

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*

Разностная схема:

,2

2

21111

1p

mh

uuu

h

uuuufq

pm

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; где q — коэффициент искусственной (схемной) вязкости;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 при m = 1, 2, ..., M – 1 рассчитывается по ее значениям на ниж-нем слое p:

)( 112

1 pm

pmh

pm

pm uuuu

.)2( 112

2 pm

pm

pm

pmh

q fuuu




124

Порядок аппроксимации ( 2/1q и 0f ): ).(O 22 h Схема (при 2/1q ) устойчива при .1/ h

9.11. Явная центральная трехточечная схема

Сеточный шаблон:

*p m p m, 1 , + 1

*p m+ 1,

*


,2

)(5,0 11111

pmh

puuuuufm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 находится по ее значениям на нижнем слое р (значения сеточ-ной функции в точках Mx рассчитываются по схеме «явный левый уголок»):

.)( 11 p

mpm

pmh

pm

pm fuuuu

Порядок аппроксимации:

.O 22

hh

Схема устойчива при .1/ h

9.12. Гибридная схема (схема Федоренко)





125

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*


,2

2 112

211

pm

uuu

hhh

uuuuf

pm

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Здесь 1 при |||2| 111pm

pm

pm

pm

pm uuuuu и 0 в

противном случае ( — численно подбираемый параметр гиб-ридной схемы).

Гибридные схемы используются при расчетах процессов, имеющих особенности разрывного характера (или большие гра-диенты искомых функций).

Вблизи областей с большими градиентами искомого реше-ния используется схема первого порядка аппроксимации, обла-дающая сглаживающими свойствами (см., например, поведение численного решения, полученного по схеме «явный левый уго-лок» при начальном условии третьего типа). В «гладких» облас-тях расчет ведется по немонотонной схеме второго порядка ап-проксимации (см., например, поведение численного решения, полученного по явной четырехточечной схеме при том же на-чальном условии).

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:

)( 1

1 pm

pmh

pm

pm uuuu




126

.2

2 112

2 pm

uuu

hhf

pm

pm

pm

Порядок аппроксимации: O( + h). Схема устойчива при .1/ h

9.13. Схема «Чехарда» Сеточный шаблон:

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

**p m1,


,22

1111

pmh

uuuuf

pm

pm

pm

pm

p = 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Алгоритм численного решения задачи: значения сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитываются по ее значениям на двух нижних слоях:

.2)( 1111 p

mpm

pmh

pm

pm fuuuu

Порядок аппроксимации: ).(O 22 h Схема устойчива при .1/ h

9.14. Неявный левый уголок Сеточный шаблон:

*

*p m,

*p m p m+ 1, 1 + 1,




127


,111

11

p

mh

uuuuf

pm

pm

pm

pm p = 0, …, P – 1; m = 1, …, M;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям в точках верхнего и нижнего p временных слоев:

./1

111

1h

fhuupm

pm

pm

pmu

Порядок аппроксимации: O( + h). Схема устойчива при любых соотношениях между шага-

ми сетки и h.

9.15. Неявный правый уголок Сеточный шаблон:

*

*p m,

*p m p m+ 1, + 1, + 1


,111

11

p

mh

uuuuf

pm

pm

pm

pm p = 0, …, P – 1; m = 0, …, M –

1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям в двух точках верхнего и ниж-него p-слоев:

.)( 11111

p

mpm

pm

hpm

pm hfuuuu

Порядок аппроксимации: O( + h).




128

Схема устойчива при .1/ h

9.16. Неявная четырехточечная схема Сеточный шаблон:

* *p m p m p m+ 1, 1 + 1, + 1, + 1

**p m,


,12

11

11

1

p

mh

uuuuf

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Алгоритм численного решения полученной системы линей-ных уравнений с матрицей трехдиагональной структуры — ме-тод прогонки.

Для предложенного метода рассматриваются пять типов условий на правой границе области интегрирования:

1) схема «явный левый уголок»; 2) схема «неявный левый уголок»; 3) схема «неявный правый уголок»; 4) условие «сноса» (производная сеточной функции по пе-

ременной x равна нулю); 5) значение сеточной функции равно нулю. Порядок аппроксимации: ).(O 2h Cхема устойчива при любых соотношениях между шага-

ми сетки и h.

9.17. Схема «прямоугольник» Сеточный шаблон:

* *p m p m+ 1, 1 + 1,

*p m p m, 1 ,*




129


,2/12/122

111

111

11

p

mh

uuuuuuuuf

pm

pm

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2,…, M;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое в точке (p + 1, m) рассчитывается по известным ee значениям в трех точ-ках (p + 1, m – 1), (p, m), (p, m – 1).

Порядок аппроксимации: ).(O 22 h Cхема устойчива при любых соотношениях между шагами

сетки и h.

9.18. Неявная шеститочечная схема Cеточный шаблон:

* *p m p m p m+ 1, 1 + 1, + 1, + 1

**p m p m p m, 1 , , + 1* *


,2/14

1111

11

1

p

mh

uuuuuuf

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,0ppu p = 1, 2, …, P.

Значения сеточной функции в точках Mx рассчитываются по схеме «явный левый уголок».

Порядок аппроксимации: ).(O 22 h Cхема устойчива при любых соотношениях между шагами

сетки и h.




130

9.19. Точное решение задачи Коши для однородного уравнения Укажем случай, когда известно решение краевой задачи (9.1а), и можно сравнивать приближенное решение с точным.

Зададим функцию :)(x . x Непосредственно проверяется, что при условиях

),()0,( xxu ,0 Xx

),(),0( ttu Tt 0

точное решение рассматриваемой краевой задачи задается сле-дующей формулой:

).(),( txtxu

9.20. Порядок выполнения работы 1. Исследуйте поведение численного решения в зависимости от изменения числа Куранта ./ hr

Для однородного уравнения переноса (с нулевой правой частью) с установленным разбиением отрезка [0, T] получите численное решение задачи (9.1a) с третьим типом начальных условий (см. пункт меню «Параметры»), используя следующие разностные схемы (см. пункт меню «Методы»):

1) явный левый уголок (r = 1; 0,5; 1,01); 2) явная четырехточечная схема (q = 0,5; r = 1; 0,5; 1,01); 3) неявная четырехточечрая схема (r = 1; 0,5; 1,01); 4) неявная шеститочечная схема (r = 1; 1,01); 5) явный правый уголок (r = 0,5); 6) неявный правый уголок (r = 0,5; 1,01).

Сравните полученные численные решения с точным. Объясните разницу в поведении численных решений при различных значе-ниях числа Куранта. Расчеты проводите последовательно по разным схемам с одним установленным значением числа Куран-та, затем установите следующее значение r и т. д.

2. Исследуйте поведение численного решения в зависимости от изменения сеточных параметров (, h). Для однородного урав-нения и второго типа начальных данных проведите расчеты по следующим разностным схемам (N — количество разбиений от-резка интегрирования):

1) явный левый уголок (N = 16; r = 0,5);




131

2) явная четырехточечная схема (q = 0,5; N = 16; r = 0,5); для (q = 0,5; N = 30) расчетным путем подберите шаг по времени ( rh ) такой, чтобы эта схема была устойчи-вой;

3) неявный левый уголок (N = 16; r = 0,5); 4) неявная шеститочечная схема (N = 16; r = 0,5); 5) явная центральная трехточечная схема (N = 80; r = 1; 0,1;

0,01; 0,001); Обратите внимание на отсутствие сходимости к точному

решению, если при измельчении сетки выполняется соотноше-ние .2h Объясните это явление, исследовав схему на ап-проксимацию.

3. Исследуйте поведение численных решений уравнения пе-реноса в зависимости от типа начальных данных. Для всех че-тырех типов начальных данных проведите расчеты по схемам:

1) явный левый уголок; 2) явная четырехточечная схема; 3) схема «чехарда»; 4) неявный левый уголок; 5) неявная четырехточечная схема; 6) неявная шеститочечная схема.

Объясните поведение этих схем при использовании различных типов начальных данных.

4. Исследуйте влияние на численное решение дополнитель-ного краевого условия на правой границе области интегрирова-ния ( Xx ). Для задачи 2 проведите расчеты (при r = 0,9; r = 2) c использованием неявной четырехточечной схемы и всех ука-занных в меню краевых условиях.

5. Методы регуляризации численных решений с большими градиентами по координатной переменной:

5.1. Гибридная схема. Для установленного разбиения отрезка [0, T] и начальных условий третьего и четвертого типов расчет-ным путем подберите наилучшее значение (в смысле близости к точному решению) коэффициента в формуле перехода от одной схемы к другой (явной четырехточечной и левого уголка). Пред-варительно проведите численные расчеты при = 0 и = 100 (предельные случаи). Объясните поведение гибридной схемы.

5.2. Схема с искусственной вязкостью. Проведя исследование явной четырехточечной схемы на устойчивость, численно опре-




132

делите наилучшее значение коэффициента q (в смысле близости к точному решению). Используйте третий тип начальных данных.

9.21. Библиографическая справка Подробнее о разностных схемах для решения модельного уравне-ния переноса см. в [1–4, 27, 31]. Уравнение переноса является хо-рошей моделью уравнений газовой динамики, поэтому на его при-мере проводится изучение свойств разностных схем газовой дина-мики и тестирование задач механики сплошных сред [33–37].

Гибридные схемы были предложены Р.П. Федоренко (см. [2] и библиографическую справку в ней). В настоящее время подходы, связанные с применением гибридных схем, активно развиваются.




133


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

10.1. Введение Работа предоставляет возможность познакомиться с разностны-ми методами решения типичных задач для одномерного гипер-болического уравнения второго порядка (на примере задачи о малых колебаниях тонкой струны):

),,(2 xtfuau xxtt ,10 x ,0t

),()0,( 1 xxu ),(),0( 2 xxut (10.1)

),()0,( 1 ttu ).()1,( 2 ttu

Обсуждаются: 1) способы конструирования разностных схем для решения

задачи (10.1); 2) вопросы аппроксимации начальных и краевых условий; 3) последовательность вычислений.

10.2. Дифференциальная краевая задача В работе рассматривается следующая задача:

),,(2 xtfuau xxtt ,10 x ,0t

),(),0( 1 xxu ),(),0( 2 xxut

),(ψ0),( 1 ttu ).(ψ1),( 2 ttu




134

10.3. Сеточная область Для рассмотренной задачи:

)],,[(W mph xt p = 0, 1, ..., P, m = 0, 1, …, M,

],[ pmh uu p = 0, 1, ..., P, m = 0, 1, …, M,


),,( mp xt , pt p — шаг по времени, ,TP ,mhxm h —

шаг по координате, .1Mh

10.4. Разностная задача (разностная схема) Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возмож-ных разностных схем имеет вид:

,2

112

11 222 pm

h

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,10 mmu ,201

muu mm

m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

10.5. Шаблон разностной схемы Рассмотренная разностная схема при заданных m и p связывает значения решения в четырех точках сетки, ко-торые образуют конфигурацию, на-зываемую шаблоном рассматривае-мой схемы.

10.6. Ошибка аппроксимации (невязка) Представление о величине невязки легко получить, если задать опорную точку и представить значения )],,([ xtu входящие в

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

**p m1,




135

выражение для hf (или pmf ), в виде разложения в ряды Тей-

лора относительно этой точки. Например, выбирая в качестве опорной точку ),,( mp xt для рассмотренной в п. 10.4 разностной схемы получим

).(O|||| 22 hf h

Замечание. Схема «крест» для волнового уравнения имеет по-рядок аппроксимации, определяемый порядком аппроксимации начальных условий. Он может быть и ниже второго порядка по обоим переменным, достигаемого во внутренних точках.

10.7. Спектральный признак устойчивости Подробнее о спектральном признаке устойчивости см. в теоре-тической справке к работам 9–11.

Для однородной разностной задачи ищем решение в виде

. imppm eu

Подставляя это решение в разностные уравнения, получим

,02222/12

h

ieiea

или

.01sin122

2222

22

h

a

Произведение корней этого уравнения равно единице. Если дис-криминант

22

224 sin1sin)(

2

22

2

22

h

a

h

aD

квадратного уравнения отрицателен, то корни ),(1 )(2 комплексно-сопряженные и равны единице по модулю.

Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство ,1|| т. е. когда {, h} выбраны так, что

.12

22

h

a




136

10.8. Способы конструирования разностных схем для задачи (10.1) 10.8.1. Непосредственная аппроксимация задачи (10.1) на се-точной области. Сеточная область

},/1,,1,0),,{(W )( hMpxt mph , pt p ,mhxm

— шаг по времени, h — шаг по координате x;

},,1,0;,1,0,{)( Mmpuu pmh

— искомая сеточная функция; pmu — значение сеточной функ-

ции, относящееся к узлу ).,( mp xt

Схема «Крест». Разностные уравнения для внутренних уз-лов сетки:

,2

222 112

11p

mh

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.2)

Аппроксимация краевых условий:

),(10pp tu ),(2 pp

m tu p = 1, 2, …, P.

Аппроксимация начальных условий:

),(10 mm xu ),(201

muu

xmm

m = 0, 1, …, M.

Во внутренних узлах уравнения (10.2) аппроксимируют исход-ное дифференциальное уравнение со вторым порядком точности. Однако в данном варианте схемы второе на-чальное условие аппроксимируется простейшим образом — с первым по-рядком точности (по ). Поэтому в це-лом это схема первого порядка.

Условие устойчивости численного решения — число Ку-ранта .1/Cu ha (По поводу отмеченных фактов см. п. 10.4.–10.7). О проведении расчетов по этой схеме см. п. 10.8.

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

**p m1,




137

Явная схема. Шаблон схемы имеет вид:

***

** Разностные уравнения для внутренних узлов сетки:

,12222

11

111

2

11

p

mh

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.3)

Начальные и краевые условия аппроксимируются как и в схеме «крест». Таким образом, данная схема состоит из уравнений (10.3) и начальных и краевых условий из схемы «крест».

Это схема первого порядка точности, но абсолютно не-устойчива! Для решения конкретных задач она не используется и приводится здесь лишь как пример абсолютно неустойчивой разностной схемы.

Неявная схема (1). Шаблон схемы имеет вид: ***

* *

Разностные уравнения для внутренних узлов сетки:

,12222

11

111

2

11

p

mh

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.4)

Начальные и краевые условия аппроксимируются также как в схеме «крест». Таким образом, данная схема состоит из приве-денных здесь уравнений (10.4) и начальных и краевых условий из схемы «крест».

Это схема первого порядка точности абсолютно устойчи-ва. Однако для решения конкретных задач она практически не




138

используется, так как дает слишком плохие результаты. В этом можно убедиться на методических примерах этой лаборатор-ной работы.

Неявная схема (2). Шаблон схемы имеет вид:

***

**

**


2

11 2 pm

pm

pm uuu

,2

11

111

11

111

2

)2()2(2 pm

h

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

(10.5)

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. Начальные и краевые условия аппроксимируются как в схеме «крест». Таким образом, данная схема состоит из уравнений (10.5) и начальных и краевых условий из схемы «крест».

Это схема первого порядка точности по t (за счет грубой аппроксимации начальных данных, как и схема «крест»), абсо-лютно устойчива.

10.8.2. Об аппроксимации начальных данных. В пояснениях к схеме «крест» приведена простейшая аппроксимация условия

),(),0( 2 txut приводящая к погрешности )(O , в то время как во внутренних узлах сетки погрешность аппроксимации для некоторых из рассматриваемых здесь схем является величиной второго порядка как по , так и по h.

Можно без труда обеспечить второй порядок и при аппрок-симации данного начального условия, так что соответствующая схема станет схемой второго порядка точности.

Представим значение решения в точках первого слоя по времени в виде ряда Тейлора по степеням :

).(O),0(),0(),0(),( 322

mttmtmm xuxuxuxu




139

Замечаем, что из дифференциального уравнения следует

).,(2 xtfuau xxtt

Таким образом,

),0(),0(),( mtmm xuxuxu

).(O)},0(),0({ 3222

mxxm xuaxf

Отсюда получаем расчетную формулу для данных на первом слое по времени:

)}.,0()({)()( 122211 2

mmxxmmm xfxaxxu

Последнее соотношение, переписанное в виде

)},,0()({)( 1222

01mmxxm

uuxfxaxmm

очевидно, аппроксимирует условие )(),0( 2 txut со вторым порядком точности.

10.8.3. О последовательности вычислений. Сначала из соотно-шений для начальных данных схемы «крест» находятся значе-ния: 0mu (m = 0, …, M) и 1mu (m = 1, 2, …, M – 1). Недостающие

компоненты сеточной функции на первом слое 10u и 1

Mu опре-деляются из условий на границах. Затем для p = 1, 2, …, P – 1 из

соотношения (10.2) отыскиваются 1pmu (m = 0, 1, …, M). Для

неявных схем необходимо решать систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей.

10.9. Сведение задачи (10.1) к задаче для системы двух уравнений первого порядка Замечание. В этом пункте демонстрируется, как с помощью искусственного приема рассматриваемую задачу можно свести к другой — известной как задача для уравнений акустики. По-следние — ничто иное, как уравнения переноса. Таким образом, этот раздел представляет собой связующее звено между данной лабораторной работой и работой «Численное решение диффе-




140

ренциальных уравнений в частных производных гиперболиче-ского типа. Уравнение переноса».

Задача (10.1) эквивалентна задаче: ),,( xtFau xt v ,0 xt uav ,0t ,10 x

где функция, стоящая в правой части первого уравнения

),(),(),( 20

xdxfxtFt

),(),0( 1 xxu ,0),0( xv (10.6)

),()0,( 1 ttu .ttu )()1,( 2

10.9.1. Обоснование. Введем в рассмотрение новую функцию ),( xtv связав ее с ),( xtu уравнением 0 xt uav и полагая

.0),0( xv Тогда волновое уравнение можно записать в виде

.0),( xtfau txtt v

Интегрируем последнее соотношение по t, получаем:

.0)],()[(0

t

txt dtxtfau v

После выполнения интегрирования

,][),( 00

txtt

xt audtxtfau vv

т. е. ),,( xtFau xt v где ).(),(),( 20

xdxfxtFt

Таким образом, задача (10.1) сведена к задаче (10.6) для двух дифференциальных уравнений первого порядка.

10.9.2. Дополнительные замечания. Легко проверить непо-средственно, что дифференциальные уравнения (10.6) можно записать в виде:

),,( xtFqaq xt ),,( xtFrar xt

где ,v uq v ur — инварианты Римана.




141

Особенность последних уравнений состоит в том, что в ка-ждом из них дифференцируется лишь одна неизвестная функция (q или r). Отметим, что возможность записи исходной системы типа (10.6) в виде системы для инвариантов (функций, для кото-рых уравнения разделяются так же, как и здесь) является при-знаком гиперболичности системы.

Очевидно, что рассматриваемая задача может быть сфор-мулирована как задача для инвариантов:

),,( xtFqaq xt ),,( xtFrar xt ,0t ,10 x

),(),0( 1 xxq ),(),0( 1 xxr (10.7)

),(2)0,()0,( 1 ttrtq .ttrtq )(2)1,()1,( 2

Уравнения для инвариантов, к которым мы перешли, явля-ются известными уравнениями переноса (см. лабораторную ра-боту «Численное решение дифференциальных уравнений в ча-стных производных гиперболического типа. Уравнение перено-са»). Последнее обстоятельство позволит распространить разностные схемы для уравнения переноса на наш случай.

Таким образом, вместо исходной задачи (10.1) можно ре-шать задачу (10.6) или задачу (10.7) для инвариантов. В послед-нем случае исходная искомая функция u вычисляется через q и r в нужных точках по формуле .2/)( rqu

10.9.3. Варианты разностных схем для задачи (10.6). Предва-рительные замечания. Как известно, неявные схемы практиче-ски всегда устойчивы. Однако, применительно к задаче (10.6) использование их связано с определенными трудностями, так как расчет данных на очередном слое по времени требует реше-ния линейной системы уравнений (более общего вида, нежели система с трехдиагональной матрицей). Поэтому в рамках дан-ной работы мы сосредоточим внимание на способах построения более простых (с точки зрения реализации) явных разностных схем для задачи (10.6). С ними, однако, применительно к задаче (10.6) снова не все ясно. (Попробуйте по произвольному «явно-му» шаблону построить устойчивую схему!). Поэтому сначала разберемся как строятся подходящие явные схемы для задачи (10.7), сформулированной для инвариантов q и r.

Так как каждое из дифференциальных уравнений (10.7) есть уравнение переноса, то соответствующие явные схемы для послед-него с некоторыми уточнениями, касающимися расчета в точках правой и левой границы, легко обобщаются на задачу (10.7).




142

СХИ1 — схема для инвариантов (первого порядка точно-сти). Эта схема является естественным обобщением на случай системы для инвариантов схем типа «явный угол» для уравне-ния переноса. С учетом характеристических направлений (на-правлений переноса инвариантов) первое из уравнений (10.9) аппроксимируется по шаблону

* *p m p m, , + 1

*p m+ 1,

шаблон для второго уравнения

* *p m p m, 1 ,

*p m+ 1,


,11

pmh

qqqqFa

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 0, 1, …, M – 1;

,11

pmh

rrrrFa

pm

pm

pm

pm

(10.8)

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M. Аппроксимация краевых условий:

),(2)0,()0,( 1 ttrtq

),(2)1,()1,( 2 ttrtq p = 1, 2, …, P – 1. (10.9)

Начальные данные:

),(10 mm xq ,)(10

mm xr m = 0, 1, …, M. (10.10)

Схема имеет первый порядок точности, устойчива при вы-полнении условия Куранта .1/Cu ha

Последовательность вычислений для схемы СХИ1. Из со-отношений (10.10) находятся q и r во всех точках начального слоя. Затем в рамках стандартного программного цикла для




143

p = 0, 1, 2, …, P – 1 осуществляется расчет данных на (p + 1)-м слое по времени. При этом:

1) из соотношений (10.8) находятся 1pmq для m = 0, …, M – 1

и 1pmr для m = 1, 2, …, M;

2) из (10.9) с использованием найденных значений 10pq и

1pMr отыскиваются 1

0pr и .1p

Mq

СХИ2 — схема для инвариантов (второго порядка точно-сти). В этой схеме используется шаблон

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*

Замечание. Данная схема является обобщением на случай сис-темы (10.7) явной четырехточечной схемы второго порядка для уравнения переноса.


h

qqqqpm

pm

pm

pm a

211

1

,)()(2

222

11

h

qqqpmx

pmt

pm

pm

pm

pmaFaFF

h

rrrrp

mp

mp

mp

m a2

111

,)()(2

222

11

h

rrrpmx

pmt

pm

pm

pm

pmaFaFF

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.11)

Аппроксимация краевых условий: ),(2)0,()0,( 1 ttrtq

),(2)1,()1,( 2 ttrtq p = 1, 2, …, P – 1. (10.12)




144


),(10 mm xq ),(10 mm xr m = 0, 1, …, M. (10.13)

В отличие от схемы СХИ1 данная система соотношений пока не замкнута. Подходящий способ замыкания данной схемы рассматривается ниже. При выбранном там способе замыкания схема имеет второй порядок точности и устойчива при выпол-нении условия Куранта: .1/Cu ha

Дополнительные соотношения схемы СХИ2. Заметим, что дифференциальное уравнение для инварианта q — ничто иное, как характеристическое соотношение

,Fcdt

dq

выполняющееся вдоль характеристик ,/: adtdxc которые представляют собой семейство прямых .const atx

В частности, это характеристическое соотношение связы-вает значение q в точках левой границы со значениями q внутри расчетной области (на c — характеристике, выпущенной из рассматриваемой точки левой границы). Поэтому логично для получения одного недостающего уравнения аппроксимировать с желаемым порядком точности дифференциальное уравнение для q из (10.7) в ячейках сетки, примыкающих к левой границе. Аналогичным образом второе дополнительное соотношение по-лучается аппроксимацией уравнения для r из (10.7) по ячейке, примыкающей к правой границе.

Замечание. В схеме СХИ1 разностные уравнения для q при m = 0 и для r при m = M, можно рассматривать как аппроксима-ции первого порядка характеристических соотношений: для q вблизи левой границы и для r вблизи правой.

В этом случае разностные уравнения (10.11) аппроксими-руют соответствующие дифференциальные уравнения для инва-




145

риантов со вторым порядком точности. Поэтому желательно, чтобы необходимые замыкающие соотношения обеспечивали ту

же точность. Приведем соответствую-

щий пример явной аппроксима-ции дифференциального урав-нения для q вблизи левой грани-цы.

На рис. 10 изображен фрагмент сеточной области вблизи левой границы ).0( x

Точка А является точкой пересечения c — характеристики, выпущенной из узла B с координатами ),0,( 01 xt p с преды-дущим слоем по времени.

Интегрируя характеристическое соотношение

Fcdt

dq

по отрезку AB, получим

.AB

AB dtFqq

Заменим интеграл, например, по формуле трапеций. Имеем:

).()( 32

OBAAB FFqq

Значение Aq определим по известным значениям q в узлах p-го слоя по времени с помощью интерполяционной формулы:

),O()( 3221

0 201201

h

qqq

h

qqpA

ppppphqq

здесь = a — расстояние точки A от левой границы. Подставляя выражение для Aq в предыдущую формулу, по-

лучаем одно из недостающих дополнительных соотношений:

201201 2

21

01

0 )(h

qqq

h

qqpB

pppppp

hqqq

C

A

x0

B

Рис. 10




146

).O()],()0,([ 3312 atFtF pp

Другое недостающее уравнение получим, аппроксимируя аналогичным образом характеристическое соотношение для ин-варианта r вблизи правой границы:

2

211 2211 )(

h

rrr

h

rrpM

pM

pM

pM

pM

pM

pM hrr

).O()]1,()1,([ 3312 atFtF pp

Расчет по схеме СХИ2. Из соотношений (10.13) находятся q и r во всех точках начального слоя. Затем в рамках стандарт-ного программного цикла (для p = 0, 1, 2, …, P – 1) осуществля-ется расчет данных на )1( p -м слое по времени. При этом:

1) из уравнений (10.11) находится ,1pmq а также 1p

mr для m = 1, 2, …, M – 1;

2) из уравнений (10.12) с использованием найденных из

дополнительных соотношений 10pq и 1p

Mr отыски-

ваются 10pr и .1p

Mq

Теперь рассмотрим примеры явных разностных схем непо-средственно для задачи (10.6).

Схема СХ1. В этой схеме используется шаблон

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*


,2

112111 2

22 h

uuuapmh

uupm

pm

pm

pm

pm

pm

pm Fa

vv

,2

11111 2

2

2

2 h

ah

uu pm

pm

pm

pm

pm

pm

pm a

vvvvv




147

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.14)

Аппроксимация краевых условий:

),()0,( 1 ttu ),()1,( 2 ttu

p = 1, 2, …, P – 1. (10.15)


),(10 mm xu ,00 mv m = 0, 1, …, M. (10.16)

Как и в случае схемы СХИ2 данная система соотношений пока не замкнута. Подходящий способ замыкания данной схемы обсуждается ниже. При разумном способе замыкания схема имеет первый порядок точности и устойчива, если выполнено условие Куранта: .1/Cu ha

Дополнительные соотношения для схемы СХ1. Недостаю-щие для вычисления значений в точках левой и правой границы соотношения можно получить, аппроксимируя, например, диф-ференциальное уравнение для v по тому или иному шаблону вблизи левой и правой границ. Возможны следующие варианты.

A) При m = 0: шаблон «явный правый уголок», уравнение

.00101

0

h

uu ppppa

vv

При m = M: шаблон «явный левый уголок», уравнение

.011

h

uu pM

pM

pM

pM a

vv

Дополнительные соотношения:

)( 0101

0pp

happ uu vv и ).( 1

1 pM

pMh

apM

pM uu

vv

B) При m = 0: шаблон «неявный левый уголок», уравнение

.01

01

101

0

h

uu ppppa

vv

При m = M: шаблон «явный правый уголок», уравнение




148

.011

11

h

uu pM

pM

pM

pM a

vv

Дополнительные соотношения:

),( 10

110

10

pphapp uuvv

).( 11

11

pM

pMh

apM

pM uuvv

Замечание 1. Возникают естественные вопросы: почему вы-брано дифференциальное уравнение для v при конструирова-нии дополнительных соотношений? Почему выбраны те или иные шаблоны? Точного ответа на первый вопрос нет. Что каса-ется шаблона, то тут руководствуемся тем, чтобы не ухудшить аппроксимацию и устойчивость схемы в целом. Вариант A), по-видимому, непригоден, так как аппроксимация уравнений (10.7) по таким шаблонам, вообще говоря, неустойчива.

Замечание 2. Данная схема является «близкой родственницей» схемы СХИ1 для инвариантов. В самом деле, уравнения группы (10.14) этой схемы являются линейной комбинацией (суммой и разностью) соответствующих уравнений схемы СХИ1. Тем са-мым проясняется вопрос о происхождении данной схемы.

Учитывая отмеченное обстоятельство, можно сделать вывод, что естественным способом замыкания данной схемы является привлечение в качестве дополнительных соотношений уравнений для q (при m = 0) и r (при m = M) из группы уравнений (10.14) схемы СХИ1. В этом случае, очевидно, рассматриваемая схема алгебраически эквивалентна схеме СХИ1 для инвариантов.

Схема СХ2. В этой схеме используется шаблон

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*




149

Разностные уравнения для внутренних узлов сетки пред-ставляют собой линейные комбинации (полусумму и полураз-ность) уравнений для q и r схемы СХИ2 для инвариантов:

h

uupm

pm

pm

pm a

211

1 vv

,)(2

11 222

h

uuupmt

pm

pm

pm

pmaFF

,)(2

2

221111

1

h

pmx

ah

uu pm

pm

pm

pm

pm

pm

pm aFa

vvvvv

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. (10.17) Краевые условия (10.15) и начальные данные (10.16) запи-

сываются так же как в схеме СХ1. Как и в случае схемы СХИ2 для инвариантов, данная сис-

тема соотношений пока не замкнута. Подходящий способ замы-кания обсуждается ниже. При соответствующем способе замы-кания схема имеет второй порядок точности и устойчива, если выполнено условие Куранта: .1/Cu ha

Дополнительные соотношения для схемы СХ2. Недостаю-щие для вычисления значений v в точках левой и правой грани-цы соотношения можно получить, как и для схемы СХ1, ап-проксимируя, например, дифференциальное уравнение для v по тому или иному шаблону вблизи левой и правой границ.

Способы, использованные для замыкания схемы СХ1, при-водят к погрешности аппроксимации первого порядка, в то вре-мя, как уравнения для внутренних узлов данной схемы обеспе-чивают второй порядок аппроксимации.

В качестве подходящего способа получения дополнитель-ных уравнений, не портящих второй порядок точности схемы в целом, применим аппроксимацию уравнения для v системы (10.6) вблизи левой и правой границы по прямоугольному шаблону.

При m = 0 имеем

.0011

01

111

101

0

h

uu

h

uu ppppppppaa

vvvv




150

Отсюда получаем дополнительную расчетную формулу, из ко-

торой находится .10pv

Аналогичным образом, при m = M получаем еще одну не-

достающую формулу (для 1pMv ).

Применительно к данной схеме справедливы замечания, сделанные при обсуждении способов замыкания схемы СХ1. Ес-тественным способом представляется привлечение характеристи-ческих соотношений. В частности, если использовать в качестве дополнительных уравнений аппроксимацию характеристических соотношений вблизи границ со вторым порядком точности, то данная схема будет алгебраически эквивалентна СХ1.

Расчет по схемам СХ1 и СХ2. Из соотношений (10.16) на-ходятся u и v во всех точках начального слоя. Затем осуществ-ляется расчет данных на (p + 1)-м слое по времени для значений p = 0, …, P – 1. При этом:

1) из уравнений (10.14) находятся величины 1pmu и 1p

mv для m = 1, 2, …, M – 1;

2) из (10.15) с использованием дополнительных соотноше-

ний отыскиваются ,10pu 1

0pv и ,1p

Mu .1pMv

10.10. Контрольные вопросы 1. Исследуйте на аппроксимацию и устойчивость разностные схемы, рассматриваемые в данной лабораторной работе:

1) схему «крест»; 2) неявную схему с шаблоном

**

*

**

3) неявную схему с шаблоном

***

**

**




151

4) явную схему с шаблоном

***

** 5) схему СХИ1 для инвариантов; 6) схему СХИ2 для инвариантов; 7) схему СХ1 для системы (10.6); 8) схему СХ2 для системы (10.6).

10.11. Порядок выполнения работы 1. Проследите, как воспроизводится по различным разностным схемам решение «эталонных» задач (с известным точным ре-шением). Замечание. Точное решение можно либо получить в аналити-ческой форме самостоятельно, либо можно посмотреть на гра-фическое его воспроизведение, выбрав нужную задачу по пунк-там меню: «Методы/Аналитическое решение», и осуществив за-тем пуск соответствующей программы визуализации из пакета меню «Запуск».

2. Объясните поведение численного решения «эталонной зада-чи» номер 2, полученного по разным схемам.

3. Подберите параметры исходной задачи так, чтобы решение представляло собой стоячую волну. Проследите, как это реше-ние воспроизводится по различным разностным схемам.

Под стоячей волной здесь подразумевается стационарное решение волнового уравнения. Например, для задачи

,sin2 xuu xxtt ,0),1(),0( tutu xxu sin)0,(

можно рассмотреть решение .sin),( xtxu

10.12. Библиографическая справка О простейших схемах для решения волнового уравнения мож-но прочитать в [1–4, 27, 36]. О сеточно-характеристических методах см. [35].





ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

11.1. Введение Эта работа знакомит с численными методами решения диффе-ренциальных уравнений в частных производных параболическо-го типа на примере одномерного линейного уравнения теплопро-водности. Рассматривается следующая краевая задача:

),,(2 xtfuau xxt ,0t , 21 xxx

,)(),0( xxu , 21 xxx

),(),( 11 txtu ,0t

),(),( 22 txtu .0t

На примерах рассматриваются особенности поведения чис-ленных решений этого уравнения в зависимости от входных данных задачи, выбора разностного метода, сеточных парамет-ров (шагов по времени и координате).

Реализованы следующие разностные схемы для численного решения одномерного уравнения теплопроводности:

1) шеститочечная параметрическая схема; 2) схема Франкела–Дюфорта; 3) схема Ричардсона; 4) явная центральная четырехточечная схема; 5) схема Алена–Чена; 6) нецентральная явная четырехточечная схема; 7) схема Саульева. Полученные приближенные (численные) решения однород-

ного уравнения можно сравнить с точными для нескольких тес-товых задач.




152

11.2. Дифференциальная краевая задача Как уже было отмечено, в работе рассматривается задача:

),,(2 xtfuau xxt ,0t , 21 xxx

,)(),0( xxu , 21 xxx

),(),( 11 txtu ,0t

),(),( 22 txtu .0t

11.3. Сеточная область Для рассмотренной задачи

)],,[(W mph xt p = 0, 1, ..., P, m = 0, 1, …, M,

],[ pmh uu p = 0, 1, ..., P, m = 0, 1, …, M,


),,( mp xt , pt p — шаг по времени, ,TP ,1 mhxxm

h — шаг по координате, .12 xxMh

11.4. Пример разностной задачи (разностной схемы) Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возмож-ных разностных схем имеет следующий вид:

,2

111 22 p

mh

uuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M; (11.1a)

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.




153

11.5. Шаблон разностной схемы

Рассмотренная разностная схема при заданных m и p связывает значения решения в четырех точках сетки, кото-рые образуют конфигурацию, называе-мую шаблоном схемы.

11.6. Спектральный признак устойчивости Для широкого класса эволюционных (зависящих от времени) за-дач исследование устойчивости можно осуществить с помощью спектрального признака, который в случае разностной задачи с постоянными коэффициентами, состоит в следующем.

Заменяем правую часть разностного уравнения в (11.1a) ну-лем, краевую задачу — задачей Коши, функцию m — гармо-

никой mie и ищем решение в виде

mippm eu

(для задач с одной пространственной переменной), — произ-вольное число, π.20

Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектр )( лежал в круге ,1|| c где c не зависит от .

Подставляя mippm eu в рассмотренное разностное уравне-

ние, получим:

,02221

h

ee mimia

или

.sin12

242

2

h

a

Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство ,1|| т. е. когда , h выбраны так, что .5,0/ 22 ha

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*




154

11.7. Шеститочечная параметрическая схема Сеточный шаблон:

* *p m p m p m+ 1, 1 + 1, + 1, + 1

**p m p m p m, 1 , , + 1* *


)2([ 1

111

12

21pm

pm

pmh

auuuuu

pm

pm

,)]2)(1( 2/111

p

mpm

pm

pm fuuu

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

где 10 — параметр схемы. = 0 — явная четырехточечная схема; = 1 — неявная четырехточечная схема; = 1/2 — схема Кранка–Николсона. Метод решения полученной системы линейных уравнений с

матрицей трехдиагональной структуры — прогонка. Порядок аппроксимации: = 1/2: ),O( 22 h

= 0; 1: ),O( 2h

= 1/6: ).O( 4h Введем обозначения

,2raK .2h

r

Схема устойчива при любых К, если 1/2; при 2/10 схема устойчива, если

.)21(2 2

2

a

h




155

11.8. Схема Франкела–Дюфорта


*p m p m, 1 , + 1

*p m+ 1,

**p m1,


,2

111

111 ][2

2p

mh

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

Значения функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточ-ной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях: p и p – 1.

Порядок аппроксимации: )./(O 2222 hh

Cхема устойчива при любых ,2raK ./ 2hr

11.9. Схема Ричардсона Сеточный шаблон:

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

**p m1,




156


,2

1111 22

2p

mh

uuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

Значения сеточной функции на втором слое по времени рас-считываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях p и p – 1.

Порядок аппроксимации: ).O( 22 h Cхема неустойчива при любых K.

11.10. Явная центральная четырехточечная схема Сеточный шаблон:

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*


,2

111 22 p

mh

uuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.




157

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p.

Порядок аппроксимации: ).O( 2h Cхема устойчива при .2/1K

11.11. Схема Алена–Чена Сеточный шаблон:

* *p m p m p m, 1 , , + 1

*p m+ 1,

*


,2

11

11 22 p

mh

uuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

Значения сеточной функции на верхнем временном слое нахо-дятся по ее значениям на нижнем слое, поскольку разностное

уравнение разрешается относительно .1pmu

Порядок аппроксимации: )./( O 22 hh Схема устойчива при любых K.

11.12. Нецентральная явная схема Сеточный шаблон:

* *

*p m+ 1,

*p m p m p m, 2 , 1 ,




158


,2

121 22 p

mh

uuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 1; m = 2, 3, …, M;

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p (значения сеточной функции в точках {m = 1; p = 1, 2, …, P} рассчитыва-ются по шеститочечной параметрической схеме при = 1).

Порядок аппроксимации: О( h ). Схема неустойчива при любых K.

11.13. Схема Саульева Сеточный шаблон:

* *p m p m, , + 1

* p m+ 1,*+ 1, 1p m

* *p m+ 1, 1p m+ 1,

* *p m+ 2, + 1

p m+ 2,


,2/1][22

111

11

p

mh

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

,2/32

][221

1211

12

p

mh

uuuuuufa

pm

pm

pm

pm

pm

pm

p = 0, 1, …, P – 2; m = 1, 2, …, M – 1;




159

начальные и граничные условия в такой схеме реализуют сле-дующим образом:

,0 mmu m = 0, 1, …, M;

,10ppu p = 1, 2, …, P;

,2pp

Mu p = 1, 2, …, P.

Алгоритм численного решения задачи — «бегущий счет»: слева направо — первый этап, справа налево — второй.

Порядок аппроксимации: )./O( 2222 hh Схема устойчива при любых K.

11.14. Точные решения тестовых краевых задач для одномерного линейного уравнения теплопроводности В дальнейшем мы будем сравнивать численные решения с точ-ными решениями следующих задач.

Задача 1:

,xxt uu ,0 Tt , 10 x

,0),0( xu , 10 x

,0)0,( tu ,0 Tt

,1)1,( tu .0 Tt

Точное решение:

.sin)()1(2),(1

1 22

n

tnn xnenxxtu

Задача 2:

,xxt uu ,0 Tt , 10 x

,sin),0( xxu , 10 x

,0)0,( tu ,0 Tt

,0)1,( tu .0 Tt




160


.sin),( 2 xextu t

Задача 3: ,xxt uu ,0 Tt , 10 x

,0),0( xu , 10 x

,0)0,( tu ,0 Tt

,0)1,( tu .0 Tt


.sin]1[),( 22

1 xextu t

11.15. Порядок выполнения работы 1. Исследуйте поведение численного решения линейного урав-нения теплопроводности при изменении параметра 22 / haK (начальные и краевые условия задачи 1).

Проведите расчеты по всем указанным в меню разностным схемам при следующих значениях параметров:

1) K = 0,5; N = 50; 2) K = 20; N = 50; 3) K = 1,01; N = 50.

Сравните полученные численные решения с аналитическим, ис-следуйте эти схемы на сходимость.

2. Исследуйте поведение численного решения линейного урав-нения теплопроводности при изменении шага интегрирования.

Проведите численные расчеты по устойчивым разностным схемам при следующих значениях параметров:

1) N = 6, K = 1; 2) N = 12, K = 1; 3) N = 60, K = 1;

(начальные и краевые условия задачи 1). Сравните полученные численные решения с аналитическим.

3. Получите численные решения задачи 2 при всех указанных в меню начальных условиях. Сравните численные решения, найден-ные по указанным в меню разностным схемам с точным решением




161

задачи 2; исследуйте расчетным путем сходимость численного решения (при измельчении расчетной сетки) к точному. 4. Получите с помощью любой из указанных разностных схем численное решение однородного уравнения теплопроводности при следующих начальных краевых условиях:

,0),0( xu ,0)0,( tu

,1)(sin)1,( ttu

при различных значениях (N = 50, 00010010 ). При каком значении решение существенно отличается от

нуля только вблизи границы? 5. Получите численные решения одномерного уравнения тепло-проводности при следующих правых частях:

1) cм. задачу 3; 2) ,1|1|),( xxtf ;55 x

3) ,1),( 3 xextf .10 x

6. Появление паразитных осцилляций в численных решениях. По-лучите численные решения уравнения теплопроводности при следующих параметрах задачи (K = 25):

a) ,1a ,0)1,()0,( tutu ;0),( xtf

.),0()}5,0(99{ch

1

x

xu

б) см. задачу 1. Используйте следующие разностные схемы:

1) шеститочечная параметрическая: = 0,5; 1; 0; 2) схема Франкела–Дюфорта; 3) схема Алена–Чена; 4) схема Саульева.

Какие из перечисленных разностных схем приводят к появлению паразитических осцилляций в численных решениях?

11.16. Библиографическая справка О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности см. в [1–4, 27, 31, 32, 35, 36]. Линейное уравнение теплопровод-ности — хорошая тестовая задача для рассмотрения устойчиво-сти разностных схем — как спектрального метода [1, 31, 39], так и энергетических методов [40–42].




162


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА


Простейшим уравнением в частных производных эллиптическо-го типа является уравнение Пуассона

).,(2

2

2

2yxu

y

u

x

u

(12.1)

Пусть задана некоторая область D на плоскости, а на ее гра-нице D поставлено краевое условие вида

),(sbaunu

(12.2)

где n

— производная в направлении внутренней нормали,

,0a ,0b 122 ba — некоторые числа, s — длина дуги, отсчитывается вдоль границы . Функции ),,( yx )(s счита-ются заданными. Требуется найти численное решение краевой задачи (12.1), (12.2). В случае a = 1, b = 0 возникающая задача называется первой краевой задачей или задачей Дирихле. В слу-чае ,0a 1b — это вторая краевая задача или задача Ней-мана. В случае ,0a 0b — это третья краевая задача.

Перечисленные краевые задачи являются основными для уравнения Пуассона. Наряду с уравнением Пуассона могут рас-сматриваться уравнения с переменными коэффициентами сле- В зарубежной литературе она иногда называется задачей Робена.




163

дующего вида:

),,( yxbayu

yxu

x

где ;0),( yxaa ;0),( yxbb для которых также ставится первая, вторая или третья краевая задача.

Эллиптические уравнения применяются для описания мно-гих стационарных состояний. Так, например, уравнение Пуассо-на может описывать потенциал электрического поля, потенциал скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, ус-тановившуюся температуру в однородном теплопроводном теле. Система уравнений упругости Ляме описывает смещения в на-ходящемся под действием стационарных сил твердом теле и т. д.

Численное решение краевых задач для эллиптических урав-нений во многих случаях осуществляется с помощью разностных схем. В простейших случаях, когда решение во всей рассматри-ваемой области меняется более или менее равномерно, а сама область не имеет узких «перешейков», можно использовать ре-гулярные сетки, а для получения разностных схем заменять про-изводные разностными отношениями.

В противном случае регулярная сетка становится практиче-ски непригодной, так как места быстрого изменения решения или места, где область D имеет узкие «горловины», диктуют слишком мелкую сетку. В случае нерегулярной сетки построение разностной схемы путем замены производных разностными со-отношениями становится сложной процедурой. В этом случае большое распространение получили так называемые вариацион-но-разностные и проекционно-разностные схемы. «Прикладни-ки» соответствующие схемы обычно называют методом конеч-ных элементов.

О схемах конечных элементов см. в [1, 11, 16, 32, 43].

12.2. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона (12.1) в квадратной области }1,0{D yx с границей . Совокуп-ность точек ),(),( nhmhyx сетки (где h = 1/M, M — целое), по-павших внутрь квадрата или на его границу, обозначим .Dh




164

Точки ,Dh лежащие строго внутри квадрата D, будем на-зывать внутренними точками сеточного квадрата .Dh Сово-

купность внутренних точек обозначим .D0h Совокупность точек

,Dh попавших на границу квадрата D, будем обозначать .h Рассмотрим разностную схему

,)()( hhh fuL (12.3)

здесь

.),(при

,D),(при 0

22

)(2

1,1,

2

,1,1

hnmmn

hnm

h

uuu

h

uuu

hh

yxu

yxuL

nmmnnmnmmnnm

(12.4)

Правая часть )(hf разностной схемы (12.3) принимает вид

.),(при)(,D),(при),( 0

)(hnmmnhnmnmh

yxsyxyxf (12.5)

где )( mns — значение функции )(s в точке ),,( mm yx при-надлежащей границе .h

Обозначим через hu][ проекцию точного решения задачи на пространство сеточных функций. Например, это может быть се-точная функция, численно совпадающая с решением задачи в уз-лах сетки. Определим

.||max||max||||),(),(

)(0 mn

nhmhmn

Dnhmhh

hh

f

Можно показать, что норма невязки ||,|| )(hf возникающая при подстановке hu][ в левую часть разностной схемы (12.3) со-

ставляет ).( 2hO Таким образом, разностная краевая задача (12.3) аппрокси-




165

мирует задачу Дирихле со вторым порядком относительно h. Определим норму в пространстве hU функций, заданных

на сетке ,Dh положив

.||max||||D),(

U)( mnnhmh

h uuh

h

Перейдем к исследованию устойчивости. Это исследование опирается на следующий факт, представляющий самостоятель-ный интерес.

Теорема 1. (Принцип максимума). Каждое решение раз-ностного уравнения

,0),(

)( nhmh

hh v ,D),( 0hnhmh

21,1,

2,1,1 22

),()(

hhnhmhhh

nmmnnmnmmnnm

vvvvvvv

достигает своих наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках .h

Теорема 2. Задача (12.3) однозначно разрешима при произ-вольной правой части ,)(hf причем это свойство не зависит от выбора нормы, и разностная схема (12.3) устойчива, т. е. выполнена оценка вида

,|||||||| F)(U)(hh

hh fcu

где c не зависит ни от h, ни от .)(hf

В случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами

),,( yxbayu

yxu

x

(x, y)D,

),(su

где ;0),( yxaa 0),( yxbb — положительные в прямо-угольнике D гладкие функции, разностную схему можно постро-ить аналогично.

На практике при решении конкретных задач обычно огра-




166

ничиваются обоснованиями принципиального характера на мо-дельных задачах типа приведенной выше. Конкретные рассуж-дения о погрешности получаются, как правило, не из теоретиче-ских оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов, выполненных на сетках с различными значениями шага h.

После того, как разностная краевая задача, аппроксими-рующая дифференциальную, построена, нужно указать не слиш-ком трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом h задача (12.3) представляет собой систему скалярных уравнений очень высокого порядка.

Численные методы решения систем линейных уравнений большой размерности делятся на две группы: прямые и итера-ционные. В прямых методах точное решение находится за конеч-ное число арифметических действий. Примерами прямых мето-дов являются метод дискретного преобразования Фурье и метод сопряженных градиентов.

Каждый итерационный метод состоит в том, что при реше-нии системы уравнений указывается рекуррентное соотношение, которое по заданному произвольно «нулевому» приближению 0u решения u позволяет вычислить первое, второе, p-е, p = 1, 2, 3, … приближение pu решения u.

В работе для итерационных методов дается наглядная ил-люстрация изменения «невязки» решения в зависимости от ите-рации. Эффективность различных методов (в том числе прямых) можно сравнить по затратам машинного времени (необходимая информация выводится на экране) для достижения заданной точности. В случае итерационных методов вычисления прово-дятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка

.|||| puu

Здесь u — вектор точного решения, pu — решение, полученное на p-й итерации, — наперед заданное число.

Задача отыскания точного решения не диктуется, как пра-вило, запросами приложений. В приложениях обычно допустимо использование приближенного решения, известного с достаточ-ной точностью. Поэтому во многих случаях для вычисления ре-шения точным методам целесообразно предпочесть тот или иной итерационный метод. Итерационный процесс должен быть по-строен так, чтобы последовательность приближений pu стреми-




167

лась к решению u. Тогда для любого 0 существует номер )( nn такой, что .|||| nuu . Задавая 0 достаточно ма-

лым, можно воспользоваться n-м приближением u. В работе рассматриваются следующие методы: 1) дискретного преобразования Фурье; 2) сопряженных градиентов; 3) простых итераций; 4) трехслойный итерационный метод Чебышева; 5) спектрально эквивалентных операторов.

Предусмотрены возможности сравнения методов по затратам времени ЭВМ и проведения расчетов на различных разност-ных сетках.

12.3. Обусловленность систем линейных уравнений Общие сведения об обусловленности линейных систем см. в справке к работе 4, п. 4.2.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения (12.1) в квадрате }1,0{D yx с однородными граничными условиями. Обо-

значим через i собственные значения оператора hh LL (см. (12.3)–(12.4)) при однородных граничных условиях. Тогда можно показать, что имеет место следующая оценка для :i

,maxmin i

где ,sin2

28min 2

h

h

.cos

228

max 2h

h

Легко видеть, что оператор hL в (12.3) при малых h облада-ет плохой обусловленностью:

.~tg)(22

42

2h

hhL

12.4. Метод дискретного преобразования Фурье Пусть решается задача Дирихле для уравнения Пуассона в еди-ничном квадрате с однородными граничными условиями.

Рассмотрим следующую одномерную задачу на собствен-




168

ные функции и собственные значения:

),(2

)1()(2)1( nh

nnn

n = 1, 2, 3, …, M – 1, ;1h

M

.00 N

Задача имеет следующие решения:

,sin2)( knhnk

,sin2

242

kh

hk

k, n = 1, 2, 3, …, M – 1, .1

hM

Зафиксируем m ( Mm 0 ) в (12.3)–(12.5). Тогда можно раз-ложить mnu и mn по собственным функциям :)(nk

,)()(1

1

M

kkkmn nmcu

1

1),()(

M

kkkmn nmf n = 1, 2, …, M – 1,

где

,)()(1

1

M

jkmjk jhmf

а относительно )(mck получаем систему разностных уравнений второго порядка с трехдиагональной матрицей

),()(2

)1()(2)1( mfmc kkkh

mcmcmc kkk

),()0( Mcc kk k = 1, 2, …, M – 1,

решаемую методом прогонки. Алгоритм реализации метода Фурье требует )(O 3M ариф-

метических операций. Это число для больших nM 2 (n — на-туральное число) можно значительно сократить до ),ln(O 2 MM если применить алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Недостатком изложенного метода является ограниченность




169

области его применимости, предполагающая знание собственных функций и собственных значений одномерной задачи.

В данной работе решается задача Дирихле в прямоугольни-ке, и решение, полученное методом дискретного преобразования Фурье принимается за точное.

12.5. Метод сопряженных градиентов См. лабораторную работу 4, п. 4.4.

12.6. Метод простых итераций См. лабораторную работу 4, п. 4.5.

12.7. Метод с оптимальным параметром См. лабораторную работу 4, п. 4.7.

12.7.1. Переход к лучше обусловленной системе с помощью энергетически эквивалентного оператора. См. лабораторную работу 4, п. 4.6.1.

12.7.2. Масштабирование как средство улучшения числа обу-словленности. См. лабораторную работу 4, п. 4.6.2.

12.8. Трехслойный метод Чебышева См. лабораторную работу 4, п. 4.8.

12.9. Метод спектрально-эквивалентных операторов Для решения системы bAx рассмотрим итерационный про-цесс вида

,)(1 bAxBxBx nnn

где матрица .EB Пусть A, B > 0 и матрица A обладает плохой обусловленно-

стью. Тогда, если удается найти такую матрицу B, что система уравнений cBx может быть легко решена, и величина

),(

),(

),(

),(

inf

sup

xBx

xAx

x

xBx

xAx

x




170

много меньше, чем число обусловленности матрицы A, то такой итерационный процесс сходится значительно быстрее, чем метод простой итерации.

Так, например, можно при численном решении уравнения эллиптического типа с переменными коэффициентами в качестве матрицы B выбрать матрицу, соответствующую оператору, воз-никающему при аппроксимации оператора Лапласа. В этом слу-чае матрицу можно обращать, например, методом преобразова-ния Фурье.

12.10. Контрольные вопросы

1. Доказать, что, если во внутренних точках области hD функ-

ция )(hu удовлетворяет уравнению

,0),(

)( nhmh

hhuL m, n = 1, 2, …, M – 1, Mh = 1,

то, либо )(hu принимает всюду на hD одинаковые значения,

либо наибольшее и наименьшее значения функции )(hu не дос-тигаются ни в одной внутренней точке сетки hD (усиленный принцип максимума).

2. Если во внутренних точках области hD выполнено условие

,0)( hhuL причем хотя бы в одной точке неравенство строгое,

то )(hu не достигнет своего наибольшего значения ни в одной внутренней точке.

3. Рассмотрим разностную схему )()( hhh fuL вида

.1,,1),,(

;,0,),(

;),(

),,(

2

1

0

4

)(

,0,1

21,,11,,1

Mnhn

MnMmsu

Dnhmh

nhmhuL

uL

h

uumnmn

h

h

uuuuuh

hh

nn

mnnmnmnmnm




171

Эта разностная схема аппроксимирует задачу

),,(2

2

2

2yx

y

u

x

u

(x, y)D;

),(),( 1 syxu x = 1, y = 0; 1;

),(2 sxu

x = 0.

а) Доказать, что при любых ),,( nhmh ),(1 mns )(2 mns

задача )()( hhh fuL имеет единственное решение. б) Доказать, что если ),( nhmh неотрицательно, а ),(1 mns

)(2 mns не положительны, то )(hu не положительно. в) Доказать, что при любых ),,( nhmh ),(1 mns )(2 mns

имеет место оценка вида

||max||max

0D),(D),(mn

nhmhmn

nhmh hhCu

,|)(|max|)(|max 021,

n

nmn

nmss

C — некоторая постоянная, не зависящая от величины ша-га h. Найти C.

12.11. Порядок выполнения работы 1. Задайте правую часть уравнения, равную нулю. Получите чис-ленно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа всеми методами и проведите сравнение по их быстродействию.

2. Задавая различные правые части уравнения (12.1), сравните методы решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

12.12. Библиографическая справка О простейших схемах решения эллиптических уравнений см. в [1–4, 27, 32]. О других методах (расщепления, попеременно-треугольных и т. д.) см. книги [16, 17, 40–42, 44, 45]. Там же при-водится исследование устойчивости некоторых методов. О ва-риационно-разностных схемах — в [1, 11, 16, 32, 43].




172


МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

13.1. Введение Метод разностных потенциалов (МРП) предназначен для чис-ленного решения дифференциальных и разностных краевых за-дач. Теоретические основы МРП изложены в [1, гл. 13]. Рас-смотрим основные конструкции МРП и сформулируем задания, которые можно выполнить на компьютере самостоятельно, об-ращаясь к заготовленным в этой работе подпрограммам.

Для определенности и краткости изложим вариант МРП, ориентированный на вычисление решения внутренней задачи:

,0 uuu yyxx ,D),( yx

),(u ,D= +

где D — ограниченная область с гладкой границей , заданной параметрически:

,cos)()( x ;sin)()( y

),( — полярные координаты, )( — заданная функция, а па-раметр уравнения 0 — заданное число.

Рассмотрим также вариант МРП для вычисления решения следующей задачи (будем называть ее внешней):


),(u ,00 Du

определенной в области ,D\DD 0 где 0D — квадрат, со-

держащий область D строго внутри.




173

При больших размерах этого квадрата последняя задача ап-проксимирует внешнюю задачу:


),(u 0),( yxu при .22 yx

13.2. Форма области и сетка

В этой работе для определенности используется область ,D ограниченная кривой вида

,cos2,08,0)( k

где k — параметр границы. При k = 0 кривая является единичной окружностью.

Квадрат

},,{D0 LyxL

где L — размер квадрата, содержит область D строго внутри, а область D определяется как разность:

.D\DD 0

13.3. Сеточные множества

Пятиточечный шаблон mN с центром в точке ),( 21 hmhmm представляет совокупность пяти точек квадрат-ной сетки: ),,)1(( 21 hmhm ))1(,( 21 hmhm и ).,( 21 hmhm Введем

}D),(:{M 0210 hmhmm

— множество точек квадратной сетки, которые попали внутрь квадрата .D0 Разобьем его на два подмножества:

}D),(:{M 21 hmhmm

* **

**




174

— подмножество точек, попавших внутрь области ,D и M\MM 0 — подмножество точек, попавших внутрь облас-

ти D и на кривую .

,NN0 m 0Mm

— множество точек квадратной сетки, которые заметаются пяти-точечным шаблоном mN при пробегании его центра по множе-ству .M0

Множества N и N строят-ся аналогично множеству :N0

,NN m ;Mm

,NN m .Mm

Сеточная граница определя-ется как пересечение NN и распадается на два отдельных слоя: M — внутренний

слой и M — внешний слой.

13.4. Разностная вспомогательная задача Разностная вспомогательная задача (РВЗ) имеет вид:

,mNn

nmn fuam

,M0m

,0nu ,\ 00 MNn

коэффициенты суммирования

.,

,,

2

21

4

mn

mna

h

hmn

o oo oo oo oo oo o

ooo o

o oo o

o oo o o oo o o oo o o oo o o o

o o ooo o




175

Эта задача имеет единственное решение при произвольном зада-нии правой части ,mf .M0m Решение вычисляется методом разделения переменных.

13.5. Разностный потенциал Разностный потенциал vNN Pu )( NN vPu с плот-

ностью v есть сеточная функция, определенная на множестве N )N( и равная решению РВЗ с правой частью mf )( mf

следующего вида:

,,

,,0

NMmaMm

f

mnnmnm v

,,0

,,N

Mm

Mmaf mn

nmnm

v

где

.,0,,

nn

nv

v

Если сеточная функция Nv )( Nv является решением однородного разностного уравнения

,0N

mn

nmna v Mm ),M(

то разностный потенциал Nu )( Nu c плотностью

)( NN vvv

равен функции Nv ).( Nv

13.6. Граничный проектор

Граничный проектор P )(

P сопоставляет сеточной функции v

некоторую другую функцию vPu ),(

vP совпадающую со

следом разностного потенциала Nu )( Nu с плотностью .v Основные свойства граничного проектора:

PP 2)( и .)( 2

PP




176

Сеточную функцию v можно доопределить на всем множе-

стве N )N( до решения однородного разностного уравнения

,0N

mn

nmna v Mm )M(

(удовлетворяющего условию 000 M\N v ) в том и только том

случае, когда vvP ).(

vvP

13.7. Решение краевой задачи

Ограничимся решением уравнения Лапласа 0 yyxx uuu

внутри или вне единичной окружности. В методических целях краевые условия будем задавать такие, для которых решение зара-нее известно и оно совпадает с одной из следующих гармониче-ских функций (последние две гармоничны вне точки (0, 0)):

,)1( xu

,22)2( yxu

,3 23)3( xyxu

,22

)4(yx

yu

.222 )(

)5(yx

xyu

В зависимости от выбора в меню «Данные» точного реше-ния ),( yxu будем решать внутреннюю или внешнюю задачу. Решение разностной задачи представим в виде разностного по-тенциала с некоторой неизвестной плотностью. В идеале жела-тельно найти такую плотность, которая совпадала бы со следом

точного решения .),( yxuv Такое задание плотности в рабо-

те предусмотрено и реализуется выбором в меню «Данные» пункта «Сеточная плотность». Если же выбран пункт «Данные




177

Коши», то известной считается вектор-функция

)),(),((,

n

uuu

где )),(),(()( yxu

,))(),(())(),(()( xyxuyyxu yx

а плотность находится с помощью оператора вычисления плот-ности по формуле:

. uv

И, наконец, когда выбран пункт меню «Данные Дирихле», нам известна функция ),(u нужно вычислить решение за-дачи Дирихле. Для этого применим алгоритм МРП вычисления нормальной производной

),(

nu

а затем вычислим плотность . uv ),( 0yx

13.8. Оператор вычисления плотности

Оператор по известным данным Коши функции ),( yxu

))(),((,

n

uuu

вычисляет значение плотности . uv

1. Чтобы посчитать значение плот-ности в точке (x, y), нужно на кривой выбрать точку ),( 0 yx или ),,( 0yx из которой будет перено-ситься значение (см. рис. 11).

Рис. 11




178

2. В выбранной точке записывается система пяти линей-ных уравнений относительно неизвестных значений ,xu ,yu а

также xxu и :yyu

,0 yyxx uu

, yuxu yx

,)( xuyu yx

,2 22 yuxuyuyxuxu yxyyxyxx

,)()( 22 xuyuyxuyxuu yxxyyyxx

из которой находится значение производных ,xu ,yu xxu и

yyu в этой точке.

3. Значение плотности вычисляется по одной из формул разложения в ряд Тейлора:

),,()(),()(),( 02021000),( yxuxxyxuxxyxu xxxyx v

).,()(),()(),( 02021000),( yxuyyyxuyyyxu yyyyx v

13.9. Вычисление нормальной производной При решении внутренней задачи для вычисления нормальной

производной )(

nu

используем равенство ,0 vP ко-

торому должна удовлетворять плотность )).(),(( v

1. На кривой зададим N опорных узлов в точках

,2 kNk

(1 k N, 6 N 60).

Представим функцию )( через значения в узлах ),( kk используя кусочно-кубическую интерполяцию

.)()(1

N

k

kk




179

2. Преобразуем равенство ,0 vP в левую часть которого

неявно входят ,k в систему линейных уравнений:

,1

faN

kkk

где )),(,0(

kk Pa ).0),(( Pf

3. Число уравнений этой системы, равное количеству точек сеточной границы, вообще говоря, превышает число неизвест-ных, которое равно количеству опорных узлов. Поэтому реше-ние системы будем понимать в смысле метода наименьших квадратов, т. е. как набор чисел ,k придающих наименьшее значение сумме

.2

1

nn

N

kkkn fa

13.10. Кусочно-кубическая интерполяция Значение функции )( интерполируется кубическим многочле-ном по значениям k в четырех ближайших к точках:

,)()(1

N

k

kk

где

,)())()((

))()((

123

123

kkkkk

kkk

kk ,12 kk

,)())()((

))()((

112

112

kkkkkk

kkkk ,1 kk

,)())()((

))()((

211

211

kkkkkk

kkkk ,1 kk

,)())()((

))()((

321

321

kkkkkk

kkkk ,21 kk

,0)( k если 2 k или .2+k




180

13.11. Порядок выполнения работы 1. «Сеточные множества». Изменяя значения параметров h, L и k, а также задавая в меню «Данные» различные сеточные множе-ства, четко уясните, каким образом строятся эти множества.

2. «Разностные потенциалы» 2.1. Задайте в меню «Данные» функцию ),( yxf которая опре-делит сеточную плотность ),,( 21 hnhnfnv n.

Вычислите с помощью меню «Вычисления» разностные по-тенциалы

vNN Pu и vNN Pu

с этой плотностью и просуммируйте их. Обратите внимание на то, что на сеточной границе выполняется равенство

.NN vuu

Случайно ли это? Докажите, что это всегда так.

2.2. Выберите в меню «Данные/След потенциала Nu », т. е. ре-

зультат действия граничного проектора P на плотность .v

Тем смым задается другая сеточная плотность . vPw Вы-

числите разностные потенциалы с этой плотностью:

wPu NN и wPu NN

и объясните, почему выполняются равенства

wuN и .0N u

2.3. Теперь вернитесь к старой плотности ,v выбрав в меню

«Данные» пункт « ),( yxf » и вычислите разностный потен-циал Nu с этой плотностью .NN vPu

Выберите в меню «Данные/След потенциала Nu », задав

тем самым новую сеточную плотность . vPw Вычислите

разностные потенциалы с этой плотностью

wPu NN и wPu NN




181

и объясните, почему теперь ,N wu а .0N u

2.4. Все это можно проделать с различными значениями пара-метра границы k и параметра уравнения , изменяя их в меню «Параметры». Как влияет на потенциалы Nu и Nu увеличе-

ние параметра ?

3. «Краевая задача» 3.1. Выберите в меню «Данные/Сеточная плотность» и посчи-тайте для всех функций ),()( yxu j разностные потенциалы.

В окне «Информация» будет выводиться значение )( j максимума модуля отклонения потенциала от точного решения в процентах.

Покажите, что независимо от параметров сетки h и L, значе-ния .0)3()2()1( Как влияют h и L на )4( и ?(5)

3.2. Выберите пункт «Данные Коши». Посчитайте сеточную плотность и разностный потенциал для каждой ).,()( yxu j

Докажите, что и в этом случае 0)2()1( при любых h и L, однако теперь ,0)3( но уменьшается при уменьшении h, а от L не зависит. Почему это так?

3.3. И наконец, выберите пункт «Данные Дирихле» и для любой из функций ),()( yxu j вычислите сеточную плотность. В левом нижнем окне синим цветом будет изображаться точная нормаль-ная производная, а красным — вычисленная. Как изменяется значение )( j в зависимости от числа опорных узлов?

13.12. Библиографическая справка О методе разностных потенциалов см. учебник [1, гл. 13] и биб-лиографию в нем, а также монографию [12].




182

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА К РАБОТАМ 9–12

Разностные методы

Пусть

fLu (П.1)

— краткое символьное обозначение исходной дифференциаль-ной задачи.

Пусть, далее, в рассмотрение введена сеточная область hW и пространство hU сеточных функций .hu

hhh fuL (П.1a)

— соответствующее символьное обозначение разностной задачи (cхемы), которой заменяется задача (П.1). Решение задачи (П.1a) может быть вычислено с помощью ЭВМ.

Замечание 1. Разностная задача (схема) может быть получена из дифференциальной посредством замены производных раз-ностными соотношениями. Это довольно распространенный спо-соб конструирования задачи (П.1a) и в общем случае.

Замечание 2. Узлы сетки, значения компонент сеточной функ-ции в которых использованы при записи соотношения (П.1a), за-меняющего дифференциальное уравнение (П.1), образуют кон-фигурацию, которую называют шаблоном схемы (П.1a).

Замечание 3. Индекс h в записи сеточной задачи (П.1а) обозна-чает в общем случае совокупность сеточных параметров, а не только пространственный шаг сетки, для которого далее исполь-зовано то же обозначение.




183

Решение (П.1a) рассматривается в качестве приближенного решения задачи (П.1) в узлах сетки. Ошибка этого приближения определяется как сеточная функция

,][ hhh uuu

где hu][ — значения точного решения в узлах сетки. Введем в пространстве сеточных функций какую-либо нор-

му || . ||. Погрешностью метода численного решения задачи (П.1) в смысле выбранной нормы принято называть величину

.|||| hu

Если выполнено условие ),O( ph то говорят, что схема имеет р-й порядок сходимости.

Введем в пространстве hF правых частей hf норму. (Ин-декс hF далее будем иногда опускать). Имеем

.|||||||| Fhhh ff

Известно, что величина имеет тот же порядок, что и по-грешность аппроксимации ,|||| hf где

.][ hhhh fuLf

Другими словами, hf — невязка, характеризующая на-сколько не удовлетворяется задача (П.1а) при подстановке в нее решения исходной задачи (П.1).

Замечание 4. Теорема о том, что погрешность , т. е. погреш-ность метода (П.1а) для задачи (П.1), имеет тот же порядок, что и погрешность аппроксимации ,|||| hf справедлива в предполо-жении, что разностная задача (П.1а) устойчива, т. е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от возмущений входных данных равномерно по h.

Для линейных задач последнее требование означает, что существует ,constC не зависящая от параметра h, такая, что для любых hf

.|||||||| hh fCu




184

Таким образом, вопрос о сходимости метода (П.1а) сводит-ся к исследованию разностной схемы (П.1а) на аппроксимацию и устойчивость.

Спектральный признак устойчивости для эволюционных уравнений

Для широкого класса эволюционных (зависящих от времени) за-дач исследование устойчивости можно осуществить с помощью спектрального признака, который в случае разностной задачи с постоянными коэффициентами, состоит в следующем. Заменяем правую часть разностного уравнения нулем, краевую задачу — задачей Коши, функцию m — гармоникой mie и ищем реше-ние в следующем виде

mippm eu (П.2)

(для задач с одной пространственной переменной), где — про-извольное число, .20

Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектр )( лежал в круге ,1|| c где с не зависит от шага интегрирования по времени .

Рассматривается линейное уравнение эволюционного типа

,Autu

(П.3)

где A — дифференциальный оператор с постоянными коэффици-ентами. Для (П.3) решается задача Коши: при 0t задается

)(0 xu и ищется решение ),,( xtu .0t Пусть ),( kt — преобразование Фурье функции ),,( xtu

)(k — частотная характеристика оператора A. Беря преобра-зование Фурье от правой и левой частей (П.3), получим урав-нение вида

,)(

k

t (П.4)




185

решение которого есть

),(),( 0)( kekt tk

).,0()(0 kk

Переход от начальных условий )(0 xu к решению задачи (П.3) осуществляется по формуле

),()(),( 00)( xuFdkkextu tikxtk

где tF — оператор (типа свертки) с частотной характеристи-

кой .)( )( tket Задача Коши для (П.3) будет поставлена корректно в том и только том случае, когда (t) ограничено при всех .0t

Заменим теперь (П.3) его разностной аппроксимацией:

,)(1

m

nmn mhxuqu (П.5)

где суммирование ведется по шаблону разностной схемы. Коэф-фициенты mq зависят от шагов разностной сетки и h.

Пусть, кроме того,

mmq ||

(что почти всегда выполняется в силу аппроксимации на реше-нии уравнения (П.3)).

Соотношение (П.5) задает разностный оператор послойного перехода:

.1 nn Guu (П.6) В силу (П.5) имеем

.||)(||||||)(|||||| 1

m

nmm

nmn mhxuqmhxuqu (П.7)

Из этого равенства следует ограниченность разностного опера-тора G. Но для функции )(xu n можно написать

).()( 0 xuGxu nn




186

Поскольку ,|||||||| nn GG то оператор, переводящий )(0 xu

в ,nu ограничен. Однако для устойчивости разностной задачи необходимо, чтобы метод «выдерживал» счет со сколь угодно малыми шагами сетки, т. е. при .0, h

При 0 величина /Tn стремится к бесконечности. Если при этом норма nG неограниченно возрастает, то сколь угодно малые ошибки в задании )(0 xu могут привести к сколь

угодно большим возмущениям функции ),(xun т. е. возникает вычислительная неустойчивость.

Устойчивость задачи Коши означает, что непрерывная зави-симость )(xun от )(0 xu равномерна по , h.

Считаем, что фиксирована некоторая функция ),( hh та-кая, что выполняется следующее условие:

.0)(lim0

h

Тогда mq зависят лишь от , а . GG Положим ./ Tn Разностное уравнение (П.5) или (П.6) устойчиво, если

,|||| MGn

где M не зависит от n (но может зависеть от T). Достаточное условие устойчивости (Неймана) есть

,1|||| cG где c не зависит от сеточных параметров. Действительно, тогда

.1)1(|||||||| cTn

nTnnn eccGG

Более сильное требование

1|||| G (П.8)

иногда называют условием строгой устойчивости. Строго устойчивые схемы могут существовать лишь для

дифференциальных уравнений, решения которых подчиняются принципу максимума:

.||)(||||),(|| 0 xuxtu (П.9)




187

В пространстве 2L вычисление нормы оператора основано на равенстве

,|)(|max|||| kG

где — частотная характеристика оператора. Она ищется сле-дующим образом. Подставляем ikxn exu )( в правую часть

(П.5), тогда .)()(1 ikxn ekxu Из (П.5) сразу получаем

.)( m

imhkm eqk (П.10)

Обозначив ,hk получаем следующие условия устойчи-вости, основанные на вычислении спектра оператора послойно-го перехода:

ceqm

imm 1||

для всех значений , 20 (условие Неймана) или

.1||

m

imm eq

Подробнее о спектральном признаке устойчивости см. [1–4, 31, 39]. В иностранной литературе он иногда называется признаком фон Неймана [36].




188

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИ РАБОТЕ С СИСТЕМОЙ ОВМ

Редактирование

Ваша функция может содержать: 1. Числа, переменные, константу Pi = 3.1415926. 2. Алгебраические действия:

+ плюс, – минус, * умножить, / разделить, ^ возведение в степень.

3. Математические функции: abs модуль, acos арккосинус, asin арксинус, atan арктангенс, cos косинус, cosh косинус гиперболический, exp экспонента, log логарифм натуральный, lg10 логарифм десятичный, sin синус, sinh синус гиперболический, sqrt корень квадратный, tan тангенс, tanh тангенс гиперболический.

Например: ))1(10(lgabs)*(cos/4e5.1),( yxPiyxF




189

Программа использует следующие клавиши

«F1» вызывается окно помощь; «F2» контекстная помощь по пункту; «F3» вызов предыдущего окна помощи «F4» список тем по алфавиту; «F5» учебный маршрут; «Esc» выход из текущего окна, выход из редактора

без сохранения; «Пробел» редактирование строки, где это возможно «Enter» начало счета, вход в окно нижнего уровня,

фиксация выбранного условия или метода, по-ставить/убрать звездочку (*) в пункте, выход из редактора с сохранением строки;

«Alt» + «x» выход из программы. Для перемещения по окнам, пунктам меню и редактируемой

строке используйте кнопки со стрелками « », « », « », « » и мышь. Использовать выделенные красным цветом буквы можно следующим образом:

1) загрузите знакогенератор русского алфавита; 2) переключитесь на русский алфавит; 3) если буква заглавная, то нажмите «Shift».

Вывод списка графиков на экран в лабораторных работах 9–11

Для того, чтобы вывести одновременно несколько графиков на экран необходимо проделать следующие операции: 1. Установить метод решения задачи и все необходимые пара-

метры для вывода 1-го графика. 2. Добавить график к списку графиков, используя меню «Ок-

на»/«Список графиков»/«Добавить график», или же ис-пользуйте для этой цели, находясь в данном подменю, кла-вишу «Ins».

3. Для каждого следующего графика повторить последователь-ность действий, описанную в пунктах 1 и 2.

4. Для того, чтобы вывести на экран все графики, занесенные в список, следует использовать пункт «Перевывод списка гра-фиков» в меню «Запуск».




190

Если Вы находитесь в меню «Окна»/«Список графиков», Вам предоставляются следующие возможности:

добавление в список графиков текущей задачи, вывод информации о графике с помощью подменю «Неви-димость», «Удаление», «Цвет».

«Невидимость» означает, что график будет игнорироваться при выводе списка графиков. «Удаление» предоставляет возмож-ность удалить график из списка, а «Цвет» позволяет выбирать цвет графика.




191

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. С. Рябенький. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука – Физматлит, 2000. — 296 с.

2. Р. П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. — М.: Изд-во МФТИ, 1994. — 528 с.

3. В. И. Косарев. 12 лекций по вычислительной математике. — М.: Изд-во МФТИ, 2000. — 224 с.

4. В. М. Пасконов, В. И. Полежаев, Л. А. Чудов. Численное мо-делирование процессов тепло- и массообмена. — М.: Наука, 1984.

5. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и про-граммное обеспечение. — М.: Мир, 1998. — 575 с.

6. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с.

7. Высшая математика для инженерных специальностей: Учеб. пособие для ВУЗов. — М.: РосНИИС, 1997. — кн. 3. — 125 с; кн. 4. — 98 с.

8. Сборник задач по методам вычислений / Под ред. П. И. Мо-настырского. — М.: Наука–Физматлит, 1994. — 320 с.

9. К. И. Бабенко. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986. — 528 с.

10. О. В. Локуциевский, М. Б. Гавриков. Начала численного ана-лиза. — М.: ТОО Янус, 1995. — 581 с.

11. Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608 с.

12. В. С. Рябенький. Метод разностных потенциалов и его при-ложения. — М.: Физматлит, 2002. — 496 с.

13. Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

14. Ю. С. Завьялов, В. А. Леус, В. А. Скороспелов. Сплайны в ин-женерной геометрии. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.




192

15. В. В. Вершинин, Ю. С. Завьялов, Н. Н. Павлов. Экстремаль-ные свойства сплайнов и задача сглаживания. — Новоси-бирск: Наука, 1988. — 102 с.

16. Д. Ши. Математическое моделирование задач тепло- и мас-сообмена. — М.: Мир, 1988. — 544 с.

17. А. А. Самарский, Е. С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 592 с.

18. В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.

19. Вычислительные процессы и системы. вып. 1. / Под ред. Г. И. Марчука. — М.: Наука, 1988. — 320 с.

20. Х. Д. Икрамов. Численные методы для симметричных ли-нейных систем. — М.: Наука, 1988. — 160 с.

21. Х. Д. Икрамов. Несимметричная проблема собственных зна-чений. — М.: Наука, 1991. — 160 с.

22. В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. Вычисли-тельные методы. Т. 1. — М.: Наука, 1976. — 304 с.

23. В. М. Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. — М.: Высшая школа, 2000. — 266 с.

24. Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Са-марский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. — М.: Наука, 1992. — 544 с.

25. Х. – О. Пайтген, П. Х. Рихтер. Красота фракталов. — М.: Мир, 1993. — 176 с.

26. А. Н. Шарковский, Ю. А. Майстренко, Е. Ю. Романенко. Раз-ностные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова дум-ка, 1986. — 279 с.

27. Н. Н. Калиткин. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 521 с.

28. К. Деккер, Я. Вервер. Устойчивость методов Рунге–Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.

29. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.




193

30. Э. Хайрер, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференци-альных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические системы. — М.: Мир, 1999. — 685 с.

31. С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. — 439 с.

32. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. Л. Кобельков. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 600 с.

33. А. А. Самарский, Ю. П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

34. С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. Численное решение многомерных задач га-зовой динамики. — М.: Наука, 1976. — 400 с.

35. М. – К. М. Магомедов, А.С. Холодов. Сеточно-характеристи-ческие сеточные методы. — М.: Наука, 1984. — 320 с.

36. Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. — М.: Мир, 1990. — 728 с.

37. Э. Оран, Дж. Борис. Численное моделирование реагирую-щих потоков. — М.: Мир, 1990. — 528 с.

38. У. Г. Пирумов, Г. С. Росляков. Численные методы газовой динамики. — М.: Высшая школа, 1987. — 232 с.

39. А. И. Жуков. Метод Фурье в вычислительной математике. — М.: Наука, 1992. — 176 с.

40. А. А. Самарский. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1994. — 616 с.

41. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973. — 240 с.

42. А. А. Самарский. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1987. — 288 с.

43. К. Ректорис. Вариационные методы в математической фи-зике и технике. — М.: Мир, 1985. — 590 с.

44. А. А. Самарский, В. Б. Андреев. Разностные методы для эллип-тических уравнений. — М.: Наука, 1976. — 352 с.

45. А. А. Самарский, Р. Д. Лазоров, В.Л. Макаров. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. — М.: Высшая школа, 1987. — 296 с.




mipt€¦ · 3 СОДЕРЖАНИЕ...

Documents