MODUL X

TRANSFORMASI DAN DISTRIBUSI SAMPLING

A. TRANSFORMASI

Distribusi empirik yaitu berupa histogram, batang daun, dan boxplot, yang akan

memberikan gambaran aantara lain tentang kesimetrisan, kecondongan, pemusatan,

penyebaran dari data pengamatan.

Salah satu sifat penting dari distribusi normal yaitu kesimetrisan. Distribusi

normal ini sangat penting karena banyak metode statistik yang dipakai (uji hipotesis

dan uji selang kepercayaan) dengan anggapan distribusi empirik data menghampiri

distribusi normal. Bagaimana jika data tersebut tidak menghampiri distribusi

normal, dengan kata lain tidak simetri. Transformasi adalah salah satu cara untuk

mengatasi masalah tersebut, dan ada cara lainnya (akan tetapi tidak selalu berhasil).

Transformasi data dilakukan pada data-data yang memiliki bentuk distribusi

empirik tidak simetri sehingga diperoleh bentuk yang simetri atau mendekati

simetri.

Contoh bentuk-bentuk distribusi empirik adalah

Tinggi

x x xx xx xxx

x xx xxxxx xxxxxxxx xxx xxx

xx xxxxx xx xxxxxx x x

xx xx xxx x xxxx

xxx xxxxxxxx

xxxx xxx x x

Rendah

1. Menjurai ke atas, 2. Simetri, 3. Menjurai ke bawah, 4.Hampir simetri berpuncak tunggal berpuncak tunggal berpuncak tunggal berpuncak ganda

Salah satu teknik transformasi pengsimetrisan, adalah dengan :

, , log x, , , , dll.

Tukey menyimpulkannya dengan apa yang dinamakan Tangga Transformasi :

transformasi utk simetri transformasi utkmenjurai ke atas menjurai ke bawah

log x x antilog x

kuat sedang tak berubah sedang kuat

Contoh 1

Distribusi empirik di bawah bersifat tidak empirik karena data yang bernilai kecil

mengumpul (dapat juga dikatakan menjurai ke atas).

Data : N = 60

0.0 sebanyak 10 baris

0.5 sebanyak 19 baris

1.0 sebanyak 14 baris

1.5 sebanyak 3 baris

2.0 sebanyak 5 baris

2.5 sebanyak 2 baris

3.0 sebanyak 4 baris

3.5 sebanyak 1 baris

4.0 sebanyak 1 baris

4.5 sebanyak 0 baris

5.0 sebanyak 0 baris

5.5 sebanyak 1 baris

Langkah-langkah pengerjaan melalui program Minitab:

- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 60) di kolom C1

- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK

- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK

- Didapat plot Histogram of C1

70

Gambar 10.1 Histogram dari Distribusi Empirik

Jika dibuat transformasi Z = log C2, maka pengerjaan pada program Minitab:

1. Pilih Calc > calculator.

2. Pada kotak dialog calculator seperti pada gambar, masukkan C2 pada kotak

store result in variable.

3. Masukkan fungsi LogT(C1) pada expression, yang artinya C2 =Logten (C1),

lalu OK.

Gambar 10.2 Kotak Dialog Kalkulator

4. Plih Graph > Histogram > simple > OK.

5. Pada kotak dialog histogram masukkan variabel C2 pada kotak graph variable

> OK

Output histogram C2 akan ditunjukkan seperti gambar dibawah.

71

Gambar 10.3 Grafik histogram dari C2 dengan fungsi transformasi y = log (x)

Jika dibuat transformasi y = , maka perintah pada program Minitab sama dengan

diatas, tetapi fungsi yang digunakan C3 = SQRT (C1). Kemudian setelah itu dibuat

histogram dari C3 yang menghasilkan grafik seperti dibawah.

Gambar 10.4 Grafik Histogram dari C3 dengan fungsi transformasi y =

6. Pilih Graph > steam and Leaf

7. Masukkan C3 pada kotak graph variable. > OK

Stem-and-Leaf Display: C3

Stem-and-leaf of C3 N = 60Leaf Unit = 0.10

10 0 0000000000 10 0 10 0 29 0 7777777777777777777 29 0(14) 1 00000000000000 17 1 222 14 1 4444455 7 1 7777 3 1 8 2 2 0 1 2 3

72

Analisa

Pada plot pertama terlihat data sangat jauh dari normal (dikatakan menjurai ke atas).

Lalu dicoba transformasi Z = log x, dan diperoleh plot kedua yang ternyata

membuat data menjadi menjurai ke bawah. Dicoba lagi dengan transformasi y = ,

dan diperoleh plot yang lebih mendekati normal, walaupun dari histogram masih

belum simetri.

Pencarian transformasi yang cocok masih terus dapat dilakukan sehingga dihasilkan

histogram yang simetri (atau mendekati simetri) dan plot normal yang mendekati

garis lurus.

Contoh 2

Jika peubah acak diubah dengan mengalikan atau menambahkan suatu nilai skalar

maka mean juga berubah dengan mengalikan atau menambahkan scalar tersebut.

Untuk variansi, jika peubah acak dikalikan dengan scalar maka variansinya juga

dikalikan dengan kuadrat skalar. Tapi jika ditambahkan dengan skalar maka

variansinya tetap. Ini dikarenakan plot hanya bergeser sejauh pergeseran mean. Jadi,

hanya mean yang berubah.

Langkah yang dilakukan pada Minitab antara lain:

1. Pilih Calc > Random Data > Normal

2. Pada kotak Generate, masukkan 60 data dan mean = 0.4, lalu OK.

3. Pilih Calc > Calculator

4. Pada kotak dialog, masukan fungsi 3*C1 pada kotak expression > OK.

5. Pilih Stat > Basic Statistic > Display Descriptive Statistics

6. Pilih Varibel C1 dan C2 > Statistics

7. Cek Mean,Median,TrMean,Stdev,Semean, Min dan Max. > OK.

Descriptive Statistics: C1, C2

Variable CumN Mean SE Mean TrMean StDev Minimum Median MaximumC1 60 0.427 0.120 0.391 0.932 -1.233 0.299 3.336C2 60 1.280 0.361 1.172 2.795 -3.698 0.897 10.009

B. DISTRIBUSI SAMPLING

73

Misalkan akan diambil kesimpulan mengenai proporsi orang Indonesia yang

merokok. Tentunya tidak mungkin menanyai semua penduduk Indonesia. Karena itu

ada yang dinamakan sample acak, yaitu beberapa data dari populasi diambil secara

acak, dan kemudian dihitung proporsi orang yang merokok (populasi adalah

keseluruhan pengamatan yang akan diteliti). Percobaan ini dilakukan beberapa kali.

Suatu nilai yang dihitung dari sample dinamakan statistik. Karena banyak sampel

maka kita dapatkan banyak nilai statistik yang berbeda dari sampel ke sampel.

Karena itu statistik adalah suatu peubah acak juga. Dalam modul ini, akan dibahas

mengenai distribusi beberapa statistik, khususnya rataan sampel dan variansi

sampel.

Misalkan diambil sampel berukuran n dari suatu populasi, dan diulangi sebanyak k

kali, kemudian dari tiap sampel diambil rataannya, maka rataan sampel itu

mempunyai distribusi, dan disebut distribusi sampling dari rataan. Jika yang diamati

variansinya untuk tiap sampel, maka variansi sampel itu mempunyai distribusi dan

dinamakan distribusi sampling dari variansi.

Misalkan X ~ F sembarang, dengan rataan dan variansi , maka

.

, (karena bebas)

.

Bila populasi yang tidak diketahui distribusinya (berhingga atau tidak), diambil

sampelnya, maka distribusi sampel rataannya akan berdistribusi hampir normal

dengan rataan dan variansinya , asalkan ukuran sampel besar dan ekspetasi dari

sampel acak dan berhingga.

Contoh program simulasi distribusi rataan untuk normal dan binomial.

1. Distribusi rataan untuk N(0,4)

MTB > random 15 C1 – C60MTB > normal 0 2MTB > copy C1 – C60 m1MTB > transpose m1 m2MTB > copy m2 C1 – C15MTB > rmean C1 – C15 C16

74

MTB > histogram C16Histogram of C16 N = 60Midpoint Count

-1.2 3 * * *-0.8 9 * * * * * * * * *-0.4 10 * * * * * * * * * * 0.0 17 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0.4 15 * * * * * * * * * * * * * * * 0.8 5 * * * * * 1.2 1 *

MTB > nscore C16 C17MTB > plot C17 C16

MTB > describe C16 N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN

C16 60 -0.0332 0.0429 -0.0258 0.5636 0.0728

MIN MAX 01 03C16 -1.3268 1.3702 -0.4820 0.4704

MTB > boxplot C16

Untuk distribusi rataan dari binomial, gunakan program yang sama, hanya random normal diganti random binomial.

N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN C1 100 -0.169 -0.472 -0.219 3.960 0.396

MIN MAX 01 03C1 -8.905 10.585 -3.042 2.460

Contoh 3Data : N = 100

-8 sebanyak 2

-6 sebanyak 11

-4 sebanyak 13

-2 sebanyak 19

0 sebanyak 16

2 sebanyak 17

75

4 sebanyak 11

6 sebanyak 8

8 sebanyak 2

10 sebanyak 1

Minitab

- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 100) di kolom C1

- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK

- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK

- Didapat plot Histogram of C1

- Pilih menu Graph > Stem-and-Leaf

- Pilih C1 sebagai Graph variables

- Diperoleh

Stem-and-leaf of C1 N = 100Leaf Unit = 1.0

2 -0 88 13 -0 66666666666 26 -0 4444444444444 45 -0 2222222222222222222(8) -0 00000000 47 0 00000000 39 0 22222222222222222 22 0 44444444444 11 0 66666666 3 0 88 1 1 0

76

- Pilih menu Graph > Boxplot

- Pilih Simple, lalu OK

- Diperoleh

- Pilih menu Calc > Calculator

- Store result in variables C2

- Expression pilih Normal score(C1), lalu OK

- Diperoleh data normal score nya di C2

- Pilih menu Graph > Scatterplot

- Pilih Simple, lalu OK

- Pilih C2 sebagai Y variable dan C1 sebagai X variable, lalu OK

- Diperoleh Scatterplot of C2 vs C1

77

C. LATIHAN

1. Data di bawah ini menyajikan penduduk ke-22 wilayah metropolitan terbesar di

AS pada tahun 1970. Petugas sensus mencoba mendefinisikan wilayah ini sehingga

merupakan satuan populasi yang berarti.

- Diagramkanlah data mentahnya

- Bagaimana bentuk disribusinya (jelaskan)

- Buat juga boxplotnya

- Transformasi apa yang dipakai agar bentuk distribusinya menjadi berbentuk

hampir normal

1420 1390 2071 2754 6979 1385 2064 1556 4200 1985

7032 1404 1814 11529 1857 1359 4818 2401 2363 3110

1422 2861

2. Gunakan data no.1. Bandingkanlah transformasi manakah yang lebih baik antara

akar dua dengan versi kebalikan negatif. Jelaskan!

3. Simulasi sebanyak 20 pengamatan dan diletakkan di 5 kolom, dari N(0,4).

Lakukan percobaan ini sebanyak 3 kali, dan perhatikan histogram dan normal

plotnya. Bagaimana analisa anda!

4. Buat program untuk menset 80 buah rataan (terhadap C1-C30) dari B(x ; 10, 0.2)

dan N(0, 16). Apa yang dapat anda jelaskan dari outputnya!

5. Di bawah ini adalah produk kosmetik bruto per kapita negara belahan bumi barat

tertentu (1971), dla US$, yang diambil dari buku Memahami Data (Erickson dan

Nosanchuk).

Argentina 1260 Jamaica 740Bolivia 219 Meksiko 712Brazil 452 Nikaragua 471Kanada 4317 Panama 782Costa Rica 586 Peru 356Ekuador 306 Uruguay 836Guatemala 371 Amerika Serikat 5121Haiti 110 Venezuela 1151

78

Buat histogram, batang daun, dan normal plotnya. Kemudian ambil log-nya, dan

buat kembali histogram, batang daun, dan normal plotnya. Bandingkan!

Analisalah!

79