modulo no 6 situaciones

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Módulo Situaciones de Aprendizaje

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Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticasen la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia

Módulo 6Situaciones de Aprendizaje

Gobernación de AntioquiaSecretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

Universidad de Antioquia, Facultad de Educación

Serie DiDÁCTiCA De LAS MATeMÁTiCAS

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Módulo 6Situaciones de Aprendizaje

© De esta edición: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

Tiraje: 3.100 ejemplares

Primera edición, 2007.

Gobernación de Antioquia.Secretaría de Educación para la Cultura de AntioquiaDirección de Fomento a la Educación con Calidad. www.seduca.gov.coEmail: [email protected]

Diseño, diagramación e impresión:Editorial Artes y Letras Ltda.

Medellín, Colombia 2007

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Aníbal Gaviria CorreaGobernador de antioquia

Claudia Patricia Restrepo Montoya Secretaria de Educación para la Cultura de Antioquia

Juan Bertulfo Correa MejíaDirector de Fomento a la Educación con Calidad

AutoresOlga Emilia Botero HernándezGloria Elena Velásquez Vélez

Myriam Yolanda Moreno ArbeláezMaría Isabel Valencia AlzateAstrid Elena Pineda Muriel

Nidia Mirley Montoya V.Diana Patricia Londoño HerreraAngélica Liliana Molano Zárate

Diana Marcela RodriguezSor Maria Nelly Vasquez Ech.

Nilda Valencia JaramilloMarleny Rodriguez

COMITÉ ACADÉMICO Oscar Fernando Gallo MesaJesús María Gutiérrez MesaCarlos Mario Jaramillo López

Orlando Monsalve PosadaJohn Jairo Múnera Córdoba

Gilberto Obando ZapataFabián Posada Balvín

Guillermo Silva RestrepoMaría Denis Vanegas Vasco

Convenio interadministrativo de la Gobernación de Antioquia, Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia con la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia

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Agradecimientos

LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA y la FACUL-TAD DE EDUCACIÓN DE LA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA, agradecen la labor de coordinación del Diplomado: DESARROLLO DE COMPETENCIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia a su Equipo Académico, a todos los docentes que participaron de él, y en particular, a las siguientes personas e instituciones educativas que hicieron posible llevarlo a feliz término:

• Rectores de las Instituciones Educativas donde laboran los docentes integran-tes de la Mesa Departamental de Matemáticas.

• A los docentes del DIPLOMADO EN DESARROLLO DE COMPETENCIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA DEL DEPARTAMENTO DE ANTIOQUIA por la lectura y sugerencias.

• Al comité académico DEL DIPLOMADO EN DESARROLLO DE COMPETEN-CIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA DEL DEPARTAMENTO DE ANTIOQUIA por el trabajo realizado en pro de esta obra.

• A la FACULTAD DE EDUCACIÓN DE LA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA, a través de sus programas de educación matemáticas por apoyar la consolida-ción del grupo académico que desarrolla el Diplomado.

• Un agradecimiento muy especial a todos los docentes de matemática de los diferentes municipios, por sus contribuciones en la construcción total de este módulo, como fruto de sus años de experiencia educativa y la participación activa en el diploma.

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Contenido

Presentación ........................................................................................................................................... 4

Unidad No.1PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS ................................................ 5

1. Midiendo y comparando ..................................................................................................................... 6

1.1Marco conceptual ................................................................................................................................... 6

1.2Diagnóstico de la población intervenida ............................................................................................. 7

1.3Estándares .............................................................................................................................................. 9

1.4Logros / indicadores de logro ............................................................................................................. 10

Evaluación .................................................................................................................................................. 23

Resultados ................................................................................................................................................. 24

Conclusiones.............................................................................................................................................. 27

Bibliografía ................................................................................................................................................. 27

Construyendo el concepto de fracción a partir de la relación parte todo en el grado sexto ............ 29

Introducción ............................................................................................................................................... 29

Referentes teóricos.................................................................................................................................... 29

Descripción de la experiencia .................................................................................................................. 31

Actividades propuestas: ........................................................................................................................... 33

Conclusiones.............................................................................................................................................. 43

Referencias bibliograficas ........................................................................................................................ 47

Pensamiento métrico y sistemas de medidas. ....................................................................................... 48

Introducción ............................................................................................................................................... 49

El pintor ...................................................................................................................................................... 50

Las situaciones de aprendizaje ............................................................................................................... 51

Bibliografía ................................................................................................................................................. 62

Las tortugas: curiosos personajes de nuestra fauna ............................................................................. 63

Marco conceptual ...................................................................................................................................... 65

Las aplicaciones del arte y su relación con las transformaciones geométricas ................................. 72

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos. ........................................................................................ 131

Las variables climaticas en el desarrollo .............................................................................................. 132

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Presentación

En el marco del Diploma en Competencias Básicas en Matemáticas para la Educación Básica y Media realizado en convenio entre la Gobernación de Antioquia - Secretaría de Educación para la Cultura y la Universidad de Antioquia – Facultad de Educación, desarrollado en el año 2007 y que tiene, entre otros, como objetivo central el promover, a través de acciones de investigación e innovación, la reflexión sistemática sobre la práctica pedagógica y didáctica de los docentes, en relación con los problemas que plantea la construcción de conocimientos matemáticos en contextos escolares; se presenta esté módulo, donde se recopilan algunos de los resultados de la experiencias significativas elaboradas por los docentes participantes del Diploma, en relación con las actividades didácticas propuestas y con base en los objetos matemáticos tratados.

En el desarrollo del Diploma, y como uno de los criterios de evaluación del mismo, se imple-mentaron y acompañaron una serie de propuestas de intervención en el aula de clase, a través de un proyecto que da cuenta de los cambios, las dificultades y los logros alcanzados durante la aplicación de los conceptos y didácticas tratadas en presentadas en el Diploma, como un proceso de construcción progresiva a lo largo del desarrollo del programa.

Las experiencias significativas que se presentan en el módulo dan cuenta de tres pensamientos matemáticos: Pensamiento Numérico, con las experiencias MIDIENDO Y COMPARANDO, y CONSTRUYENDO EL CONCEPTO DE FRACCIÓN A PARTIR DE LA RELACIÓN PARTE TODO EN EL GRADO SEXTO; en el Pensamiento Métrico con las experiencias EL PINTOR, LAS TOR-TUGAS, y LAS RELACIONES DEL ARTE Y SU RELACIÓN CON LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS y en el Pensamiento Aleatorio con la experiencia LAS VARIABLES CLIMÁTI-CAS EN EL DESARROLLO. Las experiencias fueron seleccionadas por el Comité Académico de un grupo de más de quinientas y son sensibles a ser reelaboradas por los lectores, que están llamados a hacer sugerencias y modificaciones que permitan mejorar las propuestas e implementarlas en otros grados o áreas.

Con estás situaciones de aprendizaje se busca construir conocimiento matemático desde la expe-riencia, y diseñar y sistematizar actividades a partir de lo que se conoce, evidenciando la necesidad de crear, descubrir y, tal vez, chocar con algunas ideas preconcebidas. Se pretende desarrollar una discusión agradable y seria, en la que se avance en el nivel de abstracción hasta formalizar conceptos matemáticos. El quehacer en el aula de clase está fundamentada en preguntas, res-puestas, contrapreguntas y reformulación de respuestas en una construcción colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan, argumentan, ejemplifican, proponen contraejemplos, establecen acuerdos, generalizan, abstraen y, en general, se simula un ambiente científico.

El Comité Académico del Diploma revisó los proyectos antes de publicarlos y, con pequeños cambios desde la redacción y la presentación, pone a consideración los resultados de los maestros tratando de mantener la propuesta original, tal como los autores las entregaron. Agradecemos a todos los docentes autores por sus aportes en la construcción del conocimiento matemático, por permitir publicar sus resultados y por su colaboración en la sistematización y revisión de sus experiencias significativas.

Comité Académico

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1.1. Midiendo y comparando

Marco conceptual

La noción inicial de fracción se aborda en el grado tercero, siguiendo un orden establecido por los textos escolares y por la tradición docente en el cual se inicia con la partición en partes de igual tamaño algunas figuras geométricas u objetos como frutas, hojas de papel o chocolatinas, llevando a los estudiantes a contar la cantidad total de partes en las que fue dividido el objeto en cuestión y a indicarles que una o varias de esas partes se nombran utilizando dos números separados por un vínculo (una rayita horizontal), de los cuales el que se escribe debajo es el que indica la cantidad total de partes y el que se escribe arriba indica las partes que se tomaron o colorearon del todo. Pasando luego a representar mediante gráficas este proceso de partición y coloreado, sin tener la precaución de dibujar las unida-des del mismo tamaño sino que por el contrario se dibuja la unidad con un número total de cuadritos acorde a la cantidad en que debe dividirse la unidad, después de esto se propone la realización de adiciones con fracciones homogéneas y la resolución de problemas en los que se interactúe con ellas.

Para el grado cuarto se inicia la unidad de fracciones explicando el procedimiento conven-cional para hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de varios números y luego presentando la adición y sustracción de fracciones heterogéneas, indicando que es necesario encontrar el mcm de los denominadores para llevar a cabo el algoritmo.

Esta forma de presentar a los niños las fracciones hace que se memorice la definición de términos como numerador, denominador, fracciones homogéneas y fracciones heterogéneas entre otros, enfatizando en la representación gráfica en la cual prima la acción de partir en partes iguales y contar las que se requiere sombrear de esas partes, pero dejando de lado la relación existente entre una parte y el todo en los que la fracción expresa dicha relación.

Es importante resaltar que esta presentación secuencial y desarticulada de la fracciones hace que el estudiante no construya la relación entre los diferentes conceptos asociados a las fracciones.

Se propone un trabajo orientado a partir de actividades de medición, en las que tenga sentido hablar de la relación que hay entre determinada parte de un todo con ese todo luego de haber

Unidad No.1

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Olga Emilia Botero Hernández

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sido medido por ella. Lo fundamental en este trabajo no es el dibujo de figuras divididas en partes iguales, sino el conteo de las veces que una parte cabe en un todo.

Se pretende abordar conceptos como el de fracción heterogénea y número mixto con senti-do, a partir de actividades en las que sea apropiado emplear varias fracciones unitarias y totalizarlas obteniendo una cantidad mayor que la unidad, se busca además permitir a los estudiantes relacionarse con diferentes representaciones de las fracciones, diferentes al gráfico como único medio para visualizarlas.

Diagnóstico de la Población Intervenida

La intervención se realizó con los 3 grupos del grado tercero del colegio Calasanz de la ciudad de Medellín, el cual está ubicado en el barrio Calasanz y atiende estudiantes pertenecientes a los estratos 4 y 5 principalmente.

Los alumnos que participaron del proceso habían accedido a la conceptualización de la multiplicación en el grado segundo y al momento de la intervención se había desarrollado durante la primera mitad del año escolar un trabajo encaminado a afianzar las relaciones multiplicativas abordadas previamente el año anterior, ampliando la realización del algoritmo de la división a operaciones con dos o más cifras en el divisor.

En cuanto a los conceptos de las estructuras aditivas se evidenciaba una adecuada comprensión de los mismos ya que ante situaciones correspondientes a estas estructuras lograban identificar la operación a realizar y empleaban varios medios para resolverlas, uno de los cuales es el algo-ritmo, el cual era desarrollado acertadamente.

Con relación a las estructuras multiplicativas, como ya se mencionó, si bien su conceptualización había comenzado en el grado segundo, estaban apenas afianzando la capacidad para establecer algunas de las diferentes relaciones involucradas en dicha forma de pensar. El trabajo encaminado a su afianzamiento consistió en plantear diferentes situaciones y actividades que implicaran la realización de conteos con unidades compuestas y la organización de la información en tablas que permitieran establecer las relaciones al interior de cada uno de los diferentes espacios de medida involucrados en toda multiplicación y al mismo tiempo la relación existente entre un espacio de medida y el otro.

Con relación a las fracciones reconocían algunas expresiones verbales asociadas a ellas como la mitad y algunos niños la cuarta parte de algo, pero no había una comprensión de las relaciones que estaban presentes en dicha cantidad.

En la siguiente imagen se observa como el estudiante divide ambas figuras en cuatro partes, para luego tomar del círculo tres de esas partes y con relación al cuadrado se ve en la necesidad de partir una de esas partes grandes en dos más pequeñas para obtener las cinco que necesita y tomar dos de ellas, sin tener en cuenta que deben ser del mismo tamaño.

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También puede observarse que para problemas relacionados con fracciones empleaban las estrategias hasta el momento conocidas por ellos, como es el caso de la multiplicación.

Es notorio que para estos estudiantes el numerador y el denominador carecen de sentido, pues los interpretan como uno de los datos que se les plantean en el problema, pero no logran identificar la relación a la que se refiere la fracción y menos aún emplearla significativamente en la resolución del mismo.

La siguiente imagen ilustra como el estudiante comprende la cantidad total de canicas, pero interpreta el cinco que aparece en el denominador como “formar grupos de a 5” y el tres del numerador como “tomar 3 canicas del grupo de 5 que formó”.


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Otros estudiantes emplean indistintamente el término cuarto(s) para designar las fracciones, sin atender a que dicha cantidad constituya efectivamente la cuarta parte.

Es el caso del siguiente estudiante quien interpreta un medio como un cuarto.

También el mismo estudiante, en la siguiente imagen, interpreta ambos denominadores como cuartos y adiciona los numeradores entre sí.

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ESTÁNDARES

Los estándares relacionados con el desarrollo conceptual de las fracciones son:

Logros / indicadores de logro

Los logros y los indicadores de logro propuestos, de acuerdo a los estándares fueron:

Pensamiento numérico

1. Reconocer significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros).

2. Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones.

3. Describir situaciones que requieren el uso de medidas relativas.

4. Describir situaciones de medición utilizando fracciones comunes.

11. Identificar, si a la luz de los datos de un problema, los re-sultados obtenidos son o no razonables.

Pensamiento métrico

1.Reconocer atributos medibles de los objetos y eventos (longitud, superficie, capacidad, masa y tiempo) en diversas situaciones.

2. Comparar y ordenar objetos respecto a atributos medi-bles.

3.Realizar y describir procesos de medición con patrones arbi-trarios y algunos estandarizados de acuerdo al contexto.

Pensamiento variacional

2. Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráfica.

4. Reconocer y generar equivalencias entre expresiones nu-méricas.

Logro Indicador

Establecimiento de la relación existente entre la parte y el todo, a partir de procesos de medición.

Identifica una parte de la unidad y establece la relación que ésta tiene con dicha unidad a partir de la relación “cabe tantas veces”

Ordenación de fracciones. Ordena y clasifica fracciones a partir del tamaño relativo de éstas con respecto a la unidad.

Adición y sustracción de fracciones Halla fracciones equivalentes y las emplea en la realización de adiciones y sustracciones.

Comprensión del significado de las fraccio-nes propias e impropias.

Interpreta y resuelve con sentido situaciones en las que intervienen unidades completas y fracciones impropias cuando son descritas en términos de estas últimas.


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Narración de los procedimientos llevados a cabo en el aula

El siguiente conjunto de actividades se diseñó y desarrolló con el propósito de llevar a los estudiantes a la conceptualización de nociones relativa a las fracciones, a partir de procesos de medición que favorezcan la habilidad para establecer las relaciones de las partes con el todo, más allá de los tradicionales procesos de partir figuras en partes iguales y contar algunas de esas partes para ser coloreadas.

Se contemplaron cinco momentos:

Primer momento: juguemos con arena.Segundo momento: juguemos y midamos con el tangram.Tercer momento: creemos nuestro tangram.Cuarto momento: construyamos nuestra bandera.Quinto momento: midamos y comparemos las tortas.

Primer momento: juguemos con arena.

Pretende confrontar al alumno con la noción de una cantidad que puede ser cuantificada en términos de otra, esto se logra cundo los alumnos llenan un vaso de mayor tamaño con otro cuyo contenido cabe dos veces en el primero y luego deben llenar el pequeño con parte del vaso más grande, expresando la parte del vaso grande que llena el vaso más pequeño.

La actividad se desarrolla en el arenero, a cada pareja de estudiantes se les entrega una guía con preguntas y cuatro vasos de diferentes tamaños, nombrados así: vaso A, vaso B, vaso C y vaso D, donde el de menor capacidad es el A y el de mayor capacidad es el D.

La guía es la siguiente:

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Frente a las preguntas en las que se requiere medir un vaso pequeño con otro más grande (expresando las veces que cabe el vaso C y D en los más pequeños), se obtienen respuestas como:

“No cabe”, “cabe un poquito”, “es una parte del más grande”, “es la segunda parte”, “es medio del grande”, “le cabe la mitad porque este (el grande) se llena con dos pequeños”.

Cuando alguno de ellos deducía el nombre a partir de las veces que el pequeño cabía en el grande, los compañeros identificaban la relación y expresaban:

“Ah, es la segunda parte porque este cabe dos veces”

A partir de esta actividad pudo observarse que los estudiantes relacionaron las expresiones mitad, tercera y cuarta con situaciones en las que estas partes cabían respectivamente dos, tres y cuatro veces en un todo.

Algunas de las actividades propuestas a partir de este trabajo con los vasos fueron las si-guientes:

Se observa como la estudiante identifica las tres terceras partes que conforman el vaso completo, pero al dar la explicación utiliza la palabra “mitades” para referirse a las partes que conforman el vaso F.


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En esta imagen se ilustra como la estudiante logra dar cuenta de los procesos que realiza para resolver las preguntas que se le plantean, establece que el vaso T es la sexta parte del vaso X a partir de la representación gráfica que hace de la instrucción que se le ofrece, de igual forma logra determinar que tres vasos T corresponden a medio vaso X y utiliza esta in-formación para averiguar la cantidad de vasos X que corresponden a 15 vasos T, con relación a la cuarta pregunta en la que se hace necesario realizar una adición y luego una sustracción emplea la gráfica como instrumento para obtener la respuesta, dibujando espontáneamente los vasos T que conforman el vaso x.

Segundo momento: juguemos y midamos con el tangram.

Pretende emplear varias partes de un todo (de diferentes tamaños), para medirlo y determinar las veces que están contenidas en él, utilizando posteriormente esta relación para averiguar qué parte del área total es el área de cada figura.

Se les hizo entrega de una copia del tangram, para que ellos lo construyeran sobre material rígido.

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Posteriormente se les entregó una guía de trabajo con preguntas relacionadas con el tan-gram, en las que se solicitaba dibujar cada una de las piezas que co0nforman el todo, medir la superficie completa utilizando cada una de ellas y a partir de allí determinar qué parte era esa pieza de la unidad completa.

Algunas de las respuestas obtenidas por los estudiantes fueron las siguientes:

Se observa que este estudiante (imagen anterior) comienza a utilizar la notación fracciona-ria, aunque aún no logra escribir de forma adecuada el numerador y el denominador, pero argumenta el nombre de la parte desde la cantidad de veces que ésta está contenida en el tangram completo.


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Otros estudiantes ya utilizan la notación convencional para las fracciones como es el caso del niño que realizó el siguiente dibujo:

En la siguiente ilustración se evidencia que el estudiante ya comienza a establecer equiva-lencias entre fracciones, pues logra determinar a cuántas de la otras partes es equivalente una cuarta parte:

De igual forma se evidencia a continuación como los estudiantes deducen las diferentes frac-ciones a las que equivale una mitad, a partir de la división secuencial de cada parte mayor en su correspondiente mitad.

Tercer momento: creemos nuestro tangram.

Esta actividad pretende trascender más allá de las relaciones mitad, cuarta, octava y diecisei-sava y llevar a los alumnos a realizar otras mediciones en las que se involucren terceras, sextas, novenas y dieciochoavas partes.

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Se pidió a los niños que construyeran su propio tangram, pero ahora utilizando relaciones a partir de los múltiplos de tres. Ante la variedad de formas y tamaños que surgieron, y por tanto ante la imposibilidad de realizar confrontaciones entre grupos, pues no era posible superponer las diferentes piezas entre ellas, se les sugirió hacerlo a partir de un modelo ofrecido por la profesora:

A partir de este se les propuso la realización de una guía de trabajo que relacionara las dife-rentes partes obtenidas a partir de la medición de este nuevo “tangram”.

Pudo observarse que los niños lograban construir figuras combinando piezas de este nuevo “tangram” y determinar a qué parte del mismo correspondía la figura formada.


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A continuación se presenta la ilustración de la figura formada por 4/9 y 2/18, en la cual se observa como el estudiante dibuja al interior de cada novena parte dos dieciochoavas partes para luego contabilizar la cantidad total de dieciochoavas partes que hay en la figura inicial, de igual forma se aprecia como cambia los cuatro novenos por su fracción equivalente ocho dieciochoavos, indicando tal cambio al tachar la fracción inicial.

De la misma forma se observa a continuación como el estudiante utiliza diferentes partes en la figura que construye y luego elige la treintaiseisava parte para medir las partes de mayor tamaño, encontrando las fracciones equivalentes para cada una de ellas.

Es posible observar hasta el momento que los estudiantes utilizan de forma efectiva la medición de las partes mayores o del todo, con las partes menores para dar cuenta de la

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cantidad de veces que una figura está contenida en otra y a partir de ahí establecer la rela-ción entre dicha figura y el todo en la cual se encuentra contenida.

También es posible identificar como los estudiantes hallan fracciones equivalentes a partir de procesos de medición y no simplemente de multiplicar o dividir ambos términos de la fracción por un mismo número.

Cuarto momento: construyamos nuestra bandera.

El propósito de esta actividad era confrontar a los niños con el uso de las fracciones en un contexto de medición en el que el resultado mismo de la actividad les permitirá validar las acciones puestas en juego por ellos para resolver la situación.

Consistió en indagar con los niños las relaciones entre las diferentes partes de la bandera de Colombia, al constatar que todos reconocían el amarillo como la mitad, y el azul y el rojo como la cuarta parte cada uno, se prosiguió a entregarles varias hojas de papel iris en estos tres co-lores y a pedirles que elaboraran una bandera de Colombia, haciendo explícita la forma como habían determinado la cantidad de papel azul y rojo que emplearon con relación al amarillo.

Se observa como el niño utiliza el término “media” para referirse a la relación existente entre la parte azul y la amarilla, al igual que entre la parte roja y la amarilla.

Quinto momento: midamos y comparemos las tortas.

Este momento pretende cambiar la forma de representar las fracciones utilizando círculos partidos en diferentes tamaños, con el propósito de ampliar las nociones que han establecido los estu-diantes hasta el momento y permitirles la identificación de nuevas relaciones de equivalencia.

Se les entregaron varios juegos de tortas fraccionarias y la siguiente guía de trabajo a través de la cual se posibilitaba la exploración del material y se pedía realizar procesos de medición de la unidad con las diferentes partes que conformaban las tortas restantes.

La forma circular de las tortas fue asociada por los niños a la forma de las pizzas, permi-tiendo así proponer las siguientes actividades, en las cuales se presentaban las porciones de pizza que habían comido varios niños y se pedía componer nuevamente las diferentes pizzas según los sabores.


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Se observa como los estudiantes logran formar varias unidades completas a partir de la adición de sus respectivas partes, es así como en la imagen donde aparecen las preguntas relacionadas con las pizzas el estudiante logra identificar que las trece octavas partes que se comieron entre Carlos y Sara forman una pizza completa (la unidad) y cinco octavos adi-cionales. Este es un acercamiento que hacen los niños a la noción de número mixto, pero sin abordar aún la notación convencional de esta representación. A partir de este ejercicio se observa también como los estudiantes interpretan información presentada en tablas y logran organizarla y “traducirla” a otros sistemas de representación como son las gráficas y el lenguaje verbal.

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Al finalizar este momento se observa en los estudiantes un avance en su conceptualización de las fracciones y en su capacidad de relacionar las partes con el todo, a partir de esta-blecer las veces que cada una de las partes caben en el todo. Para ellos tienen sentido las fracciones impropias pues surgieron de forma natural al adicionar varias partes y observar que la cantidad que se obtiene es mayor que el todo, ya que para ellos es posible “comerse más de una pizza, pero de a pedazos”.

Evaluación

La evaluación se desarrolló de forma continua, teniendo en cuenta para ella tres aspectos, el primero de los cuales fue la observación de la actitud del estudiante durante la realización de las diferentes actividades, el segundo, lo constituyó la socialización de los procedimientos y estrategias empleadas por ellos en puestas en común, salidas al tablero e intercambio de integrantes de los diferentes equipos, por último se tuvo en cuenta la realización semanal de


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una evaluación corta que contemplara como ítems fundamentales preguntas relacionadas con las actividades desarrolladas durante la semana, diseñadas con base en los parámetros que la institución tiene para las evaluaciones.

Algunas de estas pruebas cortas son las siguientes:

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Resultados

Al final del proceso se presentaron nuevamente a los alumnos algunos de los problemas iniciales y pudo constatarse una evolución en su conceptualización acerca de la noción de fracción.

En primera instancia se observa una evolución en la forma de representar gráficamente las fracciones, pues para ellos al final del proceso es importante que el tamaño de las partes realmente quepa en la unidad, tal como se muestra a continuación, ya que el estudiante al representar las dos quintos, dibuja cinco trozos de igual tamaño y resalta dos de ellos col-oreándolos.

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De igual forma se observa como al final emplean convenientemente la representación gráfica para dar cuenta del procedimiento realizado por ellos, es el caso de este estudiante que utiliza un color diferente para representar las pizzas que se comió cada uno de los amigos y logra identificar que las dos pizzas sobrantes las puede partir en tres partes cada una y darle a cada amigo dos tercios de pizza adicional a las dos completas repartidas inicialmente.

La siguiente gráfica muestra como la estudiante compone un todo con las ocho pizzas (es de aclarar que comprendió la palabra pizza como la porción de pizza completa) y luego asigna a cada amigo de a dos trozos de pizza y logra determinar que los dos trozos restantes también los debe partir en tres para darle a cada uno la tercera parte de éstas, así obtiene la cantidad de 2 pizzas y dos tercios para cada amigo. Se observa como hay una adecuada comprensión de lo que significa un número mixto, aunque aún no se presente en su notación convencional.

Otro avance significativo lo constituye la realización de adiciones entre fracciones, sin importar si son de igual o de diferente denominador, pues lo importante es identificar una parte que pueda medir simultáneamente a las dos que se presentan y “convertir” éstas a su equivalente y así sumarlas. Se observa en la imagen siguiente como la estudiante plantea la adición de un medio más dos tercios y luego la cambia por su equivalente en sextos, es decir, tres sextos más cuatro sextos, lo que le da un total de siete sextos.


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Otro avance significativo lo constituye el que los niños sean capaces de interpretar y resolver situaciones que involucran cantidades discretas como las canicas, pues como se ve a con-tinuación, el estudiante logra determinar la cantidad de canicas que constituyen la quinta parte, luego formar la cantidad de grupos que indica el denominador y tomar de ellos los que indica el numerador, es decir, las tres quintas partes del total de canicas.

Por último es importante destacar como estas actividades permitieron dotar de sentido ex-presiones fraccionarias y a su vez favorecer procesos de pensamiento relacionados con las estructuras multiplicativas pues como se observa en la siguiente ilustración, la estudiante mantiene la relación entre el espacio de medida constituido por los postres y el espacio cor-respondiente a las manzanas, logra obtener la mitad de las cantidades iniciales, luego la mitad de las resultantes y por último adiciona los tres postres con los 6 postres obteniendo los nuevo de la pregunta y de la misma forma adiciona las nueve manzanas con las cuatro y media, obteniendo un total de trece manzanas y media.

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Conclusiones

La secuencia de actividades llevadas a cabo por los estudiantes favorecieron un acercamiento a la noción de fracción desde la relación parte todo, a partir de procesos de medición, en los que lo fundamental no era partir determinada figura en partes iguales, sino determinar la cantidad de veces que una de las partes estaba contenida en el todo y a partir de allí esta-blecer su relación con la unidad.

Estas actividades permitieron abordar de una forma integrada y con sentido, varios concep-tos relacionados con las fracciones que usualmente son aplazados para años posteriores, generando así un aprendizaje desarticulado, como es el caso de la adición de fracciones heterogéneas, la equivalencia de fracciones, la noción de número mixto y el trabajo con cantidades discretas.

Las actividades implementadas posibilitaron en los niños afianzar procesos encaminados a desarrollar la capacidad de argumentación, si bien esta competencia no es posible lograrla en niños de 8 ó 9 años con todo el rigor que la matemática formal exige, si pudo observarse como se generó en ellos el hábito de dar cuenta de los procedimientos que realizan y, de cierta forma, explicar las razones por las cuales los implementan, de igual forma es notorio el interés por parte de los niños de comunicar sus estrategias a los demás.

Este proceso se puede complementar con una serie de actividades en las cuales se enfatice el proceso de notación convencional y se pueda acceder con sentido a la construcción de los algoritmos formales de operaciones entre fracciones.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento numérico y sistemas numéricos

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BOTERO, Olga. Conceptualización del pensamiento multiplicativo en niños de segundo y ter-cero de educación básica a partir del estudio de la variación. Tesis de grado aprobada para optar al título de Magíster. Facultad de Educación. Universidad de Antioquia. 2006.

CHAMORRO, María del Carmen. Didáctica de las Matemáticas para primaria. Pearson Editores.

2003. Madrid. P. 368. Capítulo VII.

OBANDO, Gilberto y otros autores. Módulo 1. Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Sec-retaría de Educación para la cultura de Antioquia. 2006. Medellín. P. 137. Unidad número 3.

POSADA, María Eugenia y otros autores. Interpretación e implementación de los estándares bási-cos de matemáticas. Secretaría de Educación para la cultura de Antioquia. 2005. Medellín.

Bibliografía

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CURRÍCULO DEL GRADO TERCERO DEL COLEGIO CALASANZ

El plan de área de matemáticas del Colegio Calasanz propone para el grado tercero una lista de temas que deben ser abordados durante el año. Este listado aparece organizado en forma de cuadro que se denomina “Estándares curriculares para el grado tercero” (ver cuadro página siguiente). Allí se plantea que la educación matemática en el colegio tiene como propósito estructurar el pensamiento matemático, utilizando para ello un currículo diseñado a partir de los cinco pensamientos matemáticos planteados por los lineamientos curriculares (numérico, espacial, métrico, variacional y aleatorio), con el fin de desarrollar las competencias interpretativa, argumentativa y propositiva, las cuales se evidencian en la consecución de los cuatro logros cognitivos que se evalúan en el área: destreza operativa, manejo de conceptos, dibujo de gráficas y solución de problemas.

Si bien se da el nombre de “estándares”, es necesario aclarar que lo que aparece reflejado allí no son conceptos, ni redes conceptuales que permitan el desarrollo flexible del currículo, sino más bien constituye la lista de temas que deben ser abordados en el grado tercero.

Con relación a la planeación de las diferentes unidades temáticas se ha hecho un esfuerzo significativo por organizarlas con cierta flexibilidad, haciendo explícitos los momentos del año en los cuales se aborda cada una de ellas y las diferentes competencias que se preten-den desarrollar, sin embargo, el currículo desarrollado durante el año 2006, da cuenta de que sólo fue posible abordar conceptos relacionados con el pensamiento numérico, dejando tres semanas para el trabajo del pensamiento métrico. Los demás pensamientos, si bien aparecen especificados en la planeación de las unidades a lo largo del año, no se abordaron realmente ni se generaron otras situaciones que permitieran integrarlos significativamente.

Se sugiere a la institución rediseñar el cuadro que presenta los contenidos cambiándolo por cinco redes conceptuales que hagan explícitas las relaciones entre los diferentes conceptos de cada uno de los cinco pensamientos, haciendo referencia además de dichos conceptos, a las estrategias y procedimientos que se encuentran implícitos en ellos.

Con relación a la tabla que organiza el desarrollo de los contenidos a lo largo del año escolar, se propone no separar los períodos abordando un pensamiento específico para cada uno de el-los, sino desarrollar situaciones que relacionen conceptos de los diferentes pensamientos.


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Unidad No.2

Resumen:

El trabajo que se reporta en este documento es una experiencia realizada con estudiantes de grado 6° de la Institución Educativa San Luís Gonzaga. Este es un producto del Diploma en desarrollo de Competencias Básicas en matemáticas en la Educación Básica y Media del departamento de Antioquia., con la asesoría del profesor: Jhony Alexánder Villa Ochoa.

Construyendo El concepto de Fracción a partir de la relación parte todo en el grado Sexto

Gloria Elena Velásquez VélezInstitución Educativa Sam Luis GonzagaSanta Fe de Antioquia

Introducción

Esta experiencia se viene realizando con estudiantes de la Institución Educativa San Luis Gon-zaga del municipio de Santa Fe de Antioquia cuyas edades oscilan entre los 11 y 15 años.

La inspiración para este trabajo surge de mi experiencia como docente del área de matemáti-cas y de la experiencia de muchos de mis compañeros frente a un tema que, si bien es cono-cido y trabajado en el currículo de matemáticas, también ha sido fuente de muchos fracasos por parte de los estudiantes causando desmotivación para su aprendizaje, tanto para ellos mismos como para el docente. Algunas de las causas radican en la forma en cómo este concepto es abordado en el aula de clase, pues en algunos casos, se pretende introducir en concepto con la manipulación y “partición de objetos concretos” y en otros se busca el desarrollo de habilidades de tipo procedimental, descuidando incluso, los procesos en favor de la compresión conceptual. Las dificultades que este tipo de tratamiento han producido en los estudiantes ya han sido reportados por diversos investigadores.

Con el presente trabajo se pretende entonces implementar procesos que favorezcan la com-prensión conceptual de las fracciones teniendo en cuenta la relación parte todo. Se espera de igual manera producir un impacto en los estudiantes de tal manera que puedan estar en capacidad de resolver diferentes tipos de problemas, y por ende, mejorar a mediano plazo su desempeño en las pruebas censales como: Pruebas Saber e Icfes.

Referentes Teóricos

El concepto de fracción ha sido ampliamente trabajado por diversos investigadores. Al respecto Payne (1976) citado por Linares (1998), afirma que en las investigaciones relativas a la enseñanza de las fracciones realizadas en la década de los sesenta y setenta se pueden distinguir dos periodos:

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Uno, en analizar las dificultades en la enseñanza de los algoritmos y otro en qué es lo que los niños aprenden cuando las secuencias de enseñanza son desarrolladas minuciosamente.

Por otro lado, Linares cita a Goutard (1964) para atribuir las dificultades con las fracciones a la falta de experiencia con las mismas y defiende las regletas de Cuisinaire para la intro-ducción de ellas. Seguidamente se puede considerar a Gattegno como el precursor de la idea de las fracciones como razones; y Dienes defiende su teoría sobre las fracciones como operadores. Otros autores centran su interés más en la equivalencia de las fracciones que conducen al número racional.

En la actualidad se considera que es necesario proporcionar al niño una adecuada experiencia con las muchas posibles interpretaciones de las fracciones de tal manera que posibiliten una comprensión amplia del concepto. Kieren (1976) y Streefland (1978) en palabras de Linares (1998) afirman que además se deben incluir aspectos que potencian el papel de las fraccio-nes como razón, como transformación, como cociente de números naturales en situaciones de reparto, su vinculación con los decimales, etc.

El éxito de solucionar situaciones problemáticas donde se aplique el concepto de fracción en sus diversas interpretaciones dependerá de la comprensión o significado que se logre en ellas, por lo que debemos dar a los alumnos un conocimiento intuitivo profundo de las fracciones, presentando al niño contextos significativos tanto para el concepto como para su campo de aplicación, y buscando conexiones conceptuales con decimales, porcentajes, razones, etc.

Siendo conscientes de la necesidad de elegir correctamente el punto de partida para el inicio de trabajo, se toma la interpretación parte-todo, que es de alguna manera el origen de las demás interpretaciones.

Según Piaget, (1960) citado por Castro (2005)1, la habilidad de manejar la relación parte-todo se apoya en la capacidad que tienen los niños de sostener ciertos atributos o habilidades, ellos son:

1. Un todo esta compuesto por elementos separables.

2. El “todo” se puede dividir en el número de partes pedido.

3. Las subdivisiones cubren el todo.

4. El número de partes no coincide con el número de cortes.

5. Las partes tienen que ser congruentes.

6. Las partes también se pueden considerar como totalidad.

1 Documentotomadodehttp://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-110372_archivo.pdfconsultadoel12deOctubrede2006

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7. El todo se conserva.

Payne (1976) amplio estos atributos.

8. El manejo de símbolos relacionados con las fracciones.

9. Las relaciones parte-todo en contextos continuas y discretas.

10. Las fracciones mayores que la unidad.

11. Subdivisiones equivalentes.

Por ello, las actividades a desarrollar en un primer momento deben estar dirigidas a que los niños adquieran el manejo de estos atributos. El contexto continuo (modelo área) puede considerarse el mas natural para realizar la introducción de estas ideas, posteriormente integran actividades en contextos discretos.

Además se debe tener en cuenta la “representación” de las ideas, desde el plano intuitivo al plano simbólico pasando por la utilización de diagramas y formas verbales y escritas.

La fracción como la relación parte-todo ha sido propuesta como un nuevo enfoque para la enseñanza de este concepto la cual es definida como :

[...] una “nueva cantidad”que expresa la relación cuantitativa entre una cierta can-tidad de magnitud tomada como unidad (todo) y otra cantidad de magnitud to-mada como parte. Las magnitudes involucradas pueden ser continuas o discretas, y por consiguiente, las unidades (el todo) simples o compuestas relativamente. ..Pensar la fracción en el sentido antes mencionado implica, fundamentalmente, la realización de procesos de medición para establecer la cuantificación de la parte y del todo, y por consiguiente establecer la relación cuantitativa entre ambos. Obando et. al (2006, p.61)

Descripción de la experiencia

En la experiencia se desarrollo con un total de 200 estudiantes del grado sexto pertenecientes a la Institución Educativa San Luis Gonzaga de Santa Fe de Antioquia,.

El nivel socioeconómico de un gran porcentaje de las familias de los estudiantes se ve afectado por los bajos niveles de escolaridad de los padres, dado que la mayoría de ellos solo culminaron sus estudios primarios, lo que los sitúa en los estratos 1 y 2.

Con base en el supuesto de que durante el recorrido de los estudiantes por los grados de la Educación Básica Primaria han alcanzado a trabajar determinados tipos de situaciones referidas a los números fraccionarios, se diseñó y aplicó al iniciar el segundo semestre del año escolar 2006 una prueba a los estudiantes sobre fracciones donde se les solicitaba que hagan el dibujo para representar la situación, dado que desde los grados cuarto y quinto de la básica primaria trabajaron operaciones básicas con ellas; el 80% de los alumnos no recordaban como se trabajaban. En las ilustraciones 1 y 2 se pueden observar las produccio-nes de algunos niños a cuestiones que pretendían dar cuenta de una interpretación, desde el punto de vista gráfico, de la suma de fracciones.


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Se puede observar como las operaciones entre fracciones se realizan como si se tratara de números naturales “3/4 + 3/2 = 6/6”, es decir se piensa en la fracción como dos números separados por una rayita.

También se observa que al representar las fracciones lo hacen de las siguientes formas:

• El numerador como la cantidad de unidades y el denominador como las partes que com-ponen cada una de ellas “5/2 cinco cuadrados divididos cada uno en mitades”. Por otro lado toman una unidad dividida en partes no iguales, tomando algunas de ellas “5/4 una unidad dividida en cinco partes no iguales, coloreando cuatro de ellas”.

• Otros acomodan la representación de la fracción 3/2 a una paleta la cual la dividen a la mitad y una de las mitades en tres pedazos, coloreando la mitad restante.

• Algunos saben que significan cuartos y medios al representar, pero al sumar toman los pedazos (cuartos y medios) como si fueran de igual tamaño.

Según las respuestas de los estudiantes se puede afirmar que los estudiantes tienen algu-nas concepciones muy limitadas de los números fraccionarios, incluso algunos de ellos no han llegado a comprenderlos como números sino que aun los siguen observando como “un

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par de números naturales separados por una rayita”; muestra de ello es posible observar en la ilustración 1 (derecha) en la cual los transfieren las propiedades de la suma de los números naturales a la suma de números fraccionarios.

Con base en los resultados anteriores se formuló una propuesta didáctica para la ense-ñanza de los números fraccionarios. Los siguientes ítem ilustran la intencionalidad de la propuesta.

Logros con su respectivos indicadores de logro a alcanzar y estándares asociados

Logros:

1. Comprender los diversos significados de los números fraccionarios, sus interpretaciones y representaciones.

2.Formular y resolver problemas en diferentes contextos utilizando los números fraccionarios y las operaciones entre ellos.

Indicadores:

Establecer relaciones entre los diferentes significados de los números fraccionarios y entre estos y los números naturales.

Identifica la fracción como parte de un todo y como razón entre cantidades de la misma magnitud.

Reconoce la fracción como un operador que actúa sobre una cantidad.

Relaciona materiales físicos, imágenes y diagramas con concepto sobre números fracciona-rios, sus operaciones y relaciones.

Explica los procesos que se siguen para llegar a conclusiones sobre los números fracciona-rios, sus significados, relaciones y operaciones.

Estándar asociado:

Utilizar números racionales en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.

Narración de los procedimientos llevados acabo en el aula:

Diseño metodológico:

La experiencia se desarrolla en un ambiente de Aula-taller donde los estudiantes trabajan en equipos pequeños, reciben las diferentes situaciones, las analizan, proponen estrategias de


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solución, resuelven y socializan ante todo el grupo argumentando el por qué de su solución; finalmente después de que todos participan, el grupo encuentra errores, dificultades, pre-gunta a los compañeros lo no comprendido para terminar entre todos dando las soluciones correctas.

De esta manera los estudiantes caen en la cuenta de replantear sus soluciones no por la palabra del maestro, sino por la validez de los argumentos dados entre los compañeros y así mejorar su comprensión; aprenden a comunicar sus ideas, a argumentar sobre bases sólidas y a reconocer también el estar equivocados.

Por otro lado se ingenian métodos de representaciones para dar solución a los problemas y finalmente terminar formulando sus propios problemas.

Actividades propuestas:

Actividad 1: Midiendo figuras.

Número de participantes: 2

Materiales: Trama de puntos cuadrada, figuras, lápiz.

Ilustración 1: gráfica de la actividad propuesta a los estudiantes

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Que Hacer:• Mida cada figura utilizando el cuadrado como unidad de medida.

Ahora contesta:

• ¿ Cuántas unidades hay en cada figura?.

• Escribe tus respuestas como fracciones.

• ¿Cuántos medios hay en cada figura?.

• Escribe tus respuestas como fracciones.

• Representa mediante figuras en la trama de puntos: 3/2, 5/2, 7/2

Actividad 2: Midiendo y comparando medidas2


Materiales: Dibujo “La Llave y el pájaro”, lápiz, regla.

Qué hacer:

• Mida la superficie S1 (la llave), utilizando el cuadrado U1 como unidad de medida.

• Mida la superficie S2 (El pájaro), utilizando el triángulo U2 como unidad de medida.

• Compare las unidades U1 y U2. Si se mediera S1, utilizando U2, como unidad de medida, ¿Cuál sería el resultado?

• Si se midiera S2 Utilizando U1, como unidad de medida, ¿Cuál sería el resultado?

• Qué parte es U2 de U1?

2 EstaactividadfuetomadaconligerasmodificacionesdeObandoetal(2006,p.78)

Ilustración 2 Gráfica de la situación propuesta a los estudiantes


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Actividad 3: el tangram


Materiales: Tangram hecho en cartulina, lápiz, tijeras, colbón.

Qué hacer:

• Recortar las siete (7) piezas del tangram y armar con ellas un cuadrado y pegarlo en una hoja.

• Recortar de nuevo las siete (7) piezas del tangram dadas en una trama de puntos.

• Medir con las piezas E, F y G todas las demás.

Ilustración 5. Gráfica de la situación propuesta a estudiantes

Ahora contesta:

• ¿Qué parte es la pieza (E) de cada una de las demás?

• ¿Qué parte es la pieza (F) de cada una de las demás?

• ¿Qué parte es la pieza (G) de cada una de las demás?

• ¿Cuántas veces cabe la pieza (F) en todo el cuadrado?

• ¿Qué parte es la pieza (F) de todo el cuadrado?

• ¿Cuántas veces cabe la pieza (G) en todo el cuadrado?

• ¿Qué parte es la pieza (G) de todo el cuadrado?

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Actividad 4: fraccionando cuadrados


Materiales: Papel de color, hojas blancas, papel cuadricula, regla, lápiz, tijeras, colbón.

Qué hacer:

Trabajo 4.1

• Recorta cinco (5) cuadrados de 4cm x 4cm en el papel cuadriculado, pégalos en la hoja de color; recorta nuevamente, ahora saca 7/2, pégalos de tal manera que no se desarme cada cuadrado y el que no tomes pégalo por el lado blanco.

• Recorta de nuevo 2 cuadrados de 4cm x 4cm pero de otro color y saca 5/4, pégalos de igual forma que en el paso anterior.

• Recorta finalmente 1 cuadrado de 4cm x 4cm de color diferente a los anteriores y saca 3/8 pégalos de igual forma.

Trabajo 4.2

• Recorta de nuevo todos los cuadrados de 4cm x 4cm de cada uno de los colores anteri-ores.

• Los 7/2 conviértelos a octavos.

• Los 5/4 conviértelos a octavos.

• Los 3/8 déjalos como están.

• ¿Cuántos octavos hay por todos?

• Platea la operación.

Trabajo 4.3

Con todos los octavos arma los cuadrados de 4cm x 4cm que puedas, pégalos y muestra si hay número mixto.

Actividad 5: sumando fracciones

Número de participantes: 3 ó 4

Materiales: Lápiz, colores, regla, hojas.


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Qué hacer:

• Representar gráficamente cada fracción.

• Resolver la situación planteada mediante el gráfico.

• Expresar el resultado como fracción y como número mixto si lo hay.

Actividad 6: trabajando con rectángulos. (en contextos continuos)


Materiales: Papel cuadricula, lápiz, colores, regla.

Qué hacer:

• Cada participante representa cada fracción de la operación en un rectángulo mediante un color diferente como si fueran baldosines que se van a decorar.

• Luego utilizando los rectángulos necesarios se llenan con las porciones que representan las fracciones individuales hasta terminar.

• El resultado de cómo quedan los rectángulos que recogieron las fracciones, se expresa en fracción y si se puede en número mixto.

Actividad 7: trabajando con rectágulos. (en contextos discretos)

Si la unidad no es un rectángulo, sino una cantidad de objetos o personas, animales o dinero

cómo solucionar las siguientes situaciones:

Situación 7.1

En un grupo de 30 estudiantes que practican deportes, se encontró que:

• La sexta parte juegan voleibol.

• Las dos quintas partes juegan baloncesto.

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• La tercera parte juega fútbol.

¿Cuántos de los muchachos juegan cada uno de los deportes mencionados?

¿Cuántos juegan otros deportes?

Situación 7.2

Martha compra 25 bombones y le regala la mitad de las dos quintas partes a su amigo Juan. De los que le quedaron se come la cuarta parte. ¿Cuántos bombones regaló a su amigo Juan? ¿Cuántos se comió Martha?, Finalmente ¿ Cuántos le quedaron de los 25 que tenía?

Actividad 8: Los niños formulan sus propios problemas.

Qué hacer:

Deja volar tu imaginación e inventa problemas donde se aplique el concepto de fracción. Representa gráficamente como quieras hacerlo y explica tus respuestas.

Actividad 9: Regletas de cousiner.

Número de participantes: 4Materiales: Regletas, colores, lápiz, hoja cuadricula.Qué hacer:

Trabajo 9.1

• Organizar las regletas de acuerdo a su tamaño en orden ascendente.• Dibujarlas en el papel cuadriculado, coloreándolas.• Medir cada una tomando como unidad la blanca.

Ahora llena el siguiente cuadro:


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Trabajo 9.2

• Buscar la regleta que corresponde a las siguientes fracciones:

• Representar cada una mediante el dibujo según las regletas organizadas.

• Explicar con palabras lo sucedido.

• Si es posible sacar a cada una fracciones equivalentes.

• Si es posible sacar el número mixto y explicar el proceso mediante dibujo.

Las anteriores actividades fueron orientadas por la profesora Gloria Elena Velásquez Vélez.

El proceso evaluativo se efectúa en el transcurso del desarrollo de cada actividad, desde el trabajo en equipo, su socialización, las preguntas a sus compañeros, la argumentación de las diferentes soluciones, la formulación de problemas por ellos mismos hasta las preguntas del educador en forma individual; además hay una permanente retroalimentación por que se buscan muy variadas actividades para cada situación.

Análisis de resultados soportados con evidencias

Cada una de las actividades fueron implementadas con los estudiantes arrojando resultados que sugerían continuar fortaleciendo el tema con las demás secuencias de actividades. Para efectos de este documento solo se presentarán los resultados de las actividades N° 6, 7 y 8 debido, por una parte a que las demás actividades pueden resultar mas familiares al lector debido a que se encuentran en los textos utilizados en el transcurso del diploma y por otra lado debido a que evidencian en gran parte los avances de los estudiantes en cuanto a la construcción del concepto de fracción.

En la actividad N° 6 “TRABAJANDO CON RECTÁNGULOS (En contextos continuos)” los estudiantes pudieron interiorizar y abstraer algunas técnicas para la representación de problemas con fracciones que ya habían explorado en la actividades previas. En la figura siguiente (N° ***) se presentan las producciones de dos de los estudiantes:

Estudiante: Kelly Tatiana Holguín

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Ilustración 4. Producciones de dos estudiantes en la situación N° 6

Estudiante: Sara Marcela Orrego

Estos, son solo dos ejemplos de las producciones de los estudiantes en la cual construyeron un modelo gráfico para analizar y solucionar las situaciones, de las situaciones. De igual manera se puede ver como los estudiantes la situación pudo convertirse en una herramienta para que los estudiantes exploraran el concepto de fracciones equivalentes y surgiera la necesidad de encontrar algunas “reglas” para simplificar la suma de fracciones con denominadores diferentes. Con base en ello se les motivo para que utilizando el concepto de fracciones equivalentes pudieran descubrir la reducción a común denominador como estrategia para simplificar fracciones de este tipo. Por otro lado la situación permite confrontar y aplicar el concepto de número mixto.

En la actividad N° 7 “Trabajando con rectángulos” se fortalece aun mas la idea que los estu-diantes adoptaron como modelo gráfico los rectángulos para solucionar problemas, en este caso en contextos discretos. En las figuras N° ** **, se puede observar las producciones de otros dos estudiantes


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Esta descripción de las situaciones mediante la utilización de rectángulos fue creada por el estudiante quien explicó a sus compañeros de grupo dicha estrategia quienes en su mayoría la adoptaron argumentando que así les era mas fácil organizar los datos de los problemas. Al generalizarse la estrategia de representación bajo rectángulos, los estudiantes pudieron construir y resolver problemas con números fraccionarios dde una manera mas propia argumentada. Los problemas formulados se encuentran inscritos en la actividad N° 8 y se muestran en la siguiente grafica:

Ilustración 5. Solución de la actividad N° 7 por parte de Yeison Andrés Panesso

ALUMNO 1

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ALUMNO 2:

Como se puede observar en los trabajos de estos niños, además de la estrategia de los rectángulos utilizada por una mayoría, otros buscan sus propias estrategias para dar so-lución a problemas inventados por ellos mismos, evidenciando así la una comprensión de los números fraccionarios que va mas allá de la simple idea de partición sino como relación entre la parte y el todo.


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Conclusiones

Con la implementación de esta propuesta didáctica se pudo validar algunas idas que deben ser tenidas en cuenta en la enseñanza de los números fraccionarios, a saber:

a. Comprensión: El conjunto de actividades implementadas en esta propuesta didáctica permitió el desarrollo de estructuras conceptuales en los niños y la introducción a la con-strucción de esquemas mas complejos como el procedimental. Esto en contraposición la idea generalizada en muchos docentes que afirman que el carácter procedimental y algorítmico antecede y prevalece en toda enseñanza la enseñanza de las matemáticas.

b. Motivación: Cada una de las actividades por tener cierto grado de construcción y de lúdica, permitió ver las matemáticas como un área en construcción y no como un área ter-minada y sobre todo como la repetición arbitraria de conceptos y definiciones inventadas por otros. De esta manera, los ánimos se aumentaban en el desarrollo de cada una de las actividades.

c. Solución de problemas: Como es sabido la resolución de problemas es una actividad intrínseca en toda actividad matemática. En este sentido los estudiantes pudieron afron-tar satisfactoriamente la resolución de diversos problemas en los cuales intervienen los números fraccionarios.

d. Creatividad: con en desarrollo de esta propuesta didáctica los estudiantes pudieron colocar a prueba su creatividad mediante el diseño de estrategias para la solución de problemas, la “invención” de formas alternativas de representación del concepto trabajado y sobre todo la creación de nuevos problemas en los cuales se aplicara en concepto construido.

Una de las mayores motivaciones de los niños se observó cuando se les informó que la propuesta didáctica hacia parte de un proyecto de la Universidad de Antioquia. Además otro factor que influyó en la motivación para el trabajo fue el apoyo de la Coordinadora Luz Elena Brand mediante la designación de un espacio en el periódico del colegio y de un es-pacio físico para que los estudiantes mediante un dos carteleras mural pudieran exponer sus trabajos a resto de la institución educativa. En la figura siguiente puede observar una fotografía de dicho mural.

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Un argumento adicional que ratifica los alcances de esta propuesta puede observarse en la participación que un grupo de niños tuvo en el encuentro del 30 de septiembre se 2006 en el diploma. Allí mostraron sus trabajos pudieron responder a muchas de las preguntas que hicieron los profesor del Diploma y el profesor de la Universidad de Antioquia Jhony Alexander Villa que pretendía evaluar sus estrategias en la solución de problmas con frac-cionaros. De este encuentro fue grabado en un video el cual contribuyó a ratificar las ventajas de la propuesta que fueron expuestas anteriormente. y ellos salieron muy contentos porque demostraron comprensión en el concepto de fracción.

Finalmente vale la pena mencionar otra de las acciones que cimientan aun mas la idea so-bre la influencia que la propuesta tuvo en la creatividad de los estudiantes. Varios de los estudiantes participantes de este proyecto basado en su motivación hacia en área crearon “escuelitas” en sus hogares donde se convierten en profesores de matemáticas y les ayudan a sus compañeritos a superar algunas dificultades o a realizar ejercicios de práctica en equipo. En la siguiente figura tres de los niños de grado sexto cuentan sus historias, ellos son: Daniel Robledo Franco de 6-02

Melisa Quiroz de 6-03

Laura Ospina de 6-04


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Retos trazados

• Diseñar situaciones que integren lo que debe aprender el estudiante para continuar con-struyendo y aplicando el concepto de fracción en sus diversas interpretaciones.

• Continuar despertando la motivación de los estudiantes frente al área de matemáticas.

• Propiciar en los estudiantes conocimientos significativos.

CASTRO (2005) consultado el 12 de Octubre, 2006 de http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-110372_archivo.pdf

OBANDO G.; VANEGAS, D.; VASQUEZ, N. (2006). Pensamiento numérico y sistemas nu-méricos. Gobernación de Antioquia, editorial Artes y letras. Medellín

LINARES, S.; SÁNCHEZ, M.(1998) Fracciones la relación parte todo. Síntesis. Madrid

Bibliografía

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Unidad No.3

Introducción

El pensamiento métrico y el pensamiento espacial son quizás, los dos componentes del currículo escolar que en relación con las matemáticas ofrece las mejores oportunidades para contextualizar los conceptos que los estructuran. Son una oportunidad para que el maestro contextualice los saberes y permita una relación más estrecha entre las matemáticas escolares y la realidad.

La situación que se presenta a continuación es un ejemplo de cómo podemos enriquecer nuestras prácticas educativas mediante la estructuración de situaciones de aprendizaje, coherentes y bien estructuradas que dan cuenta de esa relación entre lo que las matemáticas en las aulas deben permitir (comprensión de los conceptos matemáticos) y la relación con situaciones de la cotidianidad que le dan sentido.

En el marco del diplomado hemos invitado a los docentes, de un lado, a pensar muy seriamente en los elementos de carácter conceptual que estructuran los ejes conceptuales de los lineamientos curriculares de matemáticas, (hay que saber de matemáticas) pero de otro lado a buscar alternativas de situaciones de aprendizaje que permitan movilizar en contextos propios dichos conceptos.

En la situación titulada el PINTOR se entretejen elementos del pensamiento espacial y elementos del pensamiento métrico, lo cual también es una muestra de que no podemos hacer situaciones de carácter particular para movilizar un solo concepto, lo que si es claro es que en algunas de las actividades se pondrá más énfasis en relación con algún concepto en particular, pero por lo general una situación no permite poner en juego muchos concepto

Pensamiento Métrico y Sistemas de Medidas

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EL PINTOR

Myrian Yolanda Moreno Arbeláez María Isabel Valencia AlzateProfesor Orientador Martha Cecilia Quintero Marín

El pintor1

Las situaciones de aprendizaje

A continuación se presentan los criterios que permitieron diseñar, ejecutar y analizar las situaciones de aprendizaje, ellas son:

1. Título del trabajo “frase”.

2. Breve marco conceptual: elementos teóricos de orden pedagógico, didáctico, cognitivo, evaluativo que orientan la propuesta.

3. Diagnóstico de la población intervenida:- condiciones –contexto- saber previo.

4. Logros e indicadores de logro: previstos en las situaciones a movilizar.

5. Narración de los procedimientos llevados a cabo en el aula:

• Desarrollo conceptual y procedimental.

�EstaexperienciasedesarrollóenelmunicipiodeElCarmendeViboralenelmesdeoctubredelaño2

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• Presentación de los materiales (medios) formas de implementarlos.• Aspectos evaluativos.• Presentación de las situaciones (incluir estándares relacionados).

6. Levantamiento de memorias en cada intervención.

Tiene en cuenta:• Formas de proceder e interactuar del estudiante.• Reacciones frente a las formas de organizarlas.• Tipo de preguntas que hacen.• Niveles de respuestas a los planteamientos realizados por el profesor.

7. Análisis de resultados soportados como evidencia como:

• Grabaciones• Entrevistas • Videos• Registros• Escritos del trabajo de los estudiantes• Organización de tablas• Documentos entrevistas

¿Para qué?

• Respaldar y documentar los resultados.• Generar niveles de validación ante pares.• Iniciar procesos de construcción de conocimiento.

8. Conclusiones.

• Impacto generado• Retos trazados

9. Referencias bibliográficas: Recolección de información básica relacionada con referentes históricos y epistemológicos del saber disciplinar, objeto de la intervención de aspectos cognitivos, didácticos y pedagógicos.


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EL PINTOR:

1. CONSTRUYENDO ÁREAS Y PERÍMETROS CON EL GEOPLANO.

2. MARCO CONCEPTUAL.

El geoplano un recurso manipulable para la comprensión de la geometría

En el libro “La enseñanza de las matemáticas”, 1961, la primera publicación colectiva de la Comisión Internacional para el estudio y mejoramiento de la enseñanza de las matemáti-cas, que contiene textos de Jean Piaget (sicólogo), Ewart W. Beth (lógico matemático), Jean Dieudonné (matemático), André Lichnerowicz (matemático),Gustave Choquet (matemático geómetra) y Caleb Gattegno (pedagogo de las matemáticas), el profesor Gattegno presenta, quizás por primera vez, aparece el geoplano como instrumento pedagógico:

Mientras que La aprehensión algebraica ha sido independizada de todo material y se ha concebido su dinamismo como algo que descansa solamente en las relaciones abstractas de las situaciones aritméticas, la aprehensión geométrica lo es de relaciones asociadas a la dinámica perceptiva y activa.

El punto clave de la problemática de la educación geométrica radica en el hecho que el cono-cimiento geométrico y espacial emerge de las imágenes mentales. Así la complejidad de la educación geométrica a diferencia de otras ramas de la educación matemática radica en la omnipotente e inevitable dialéctica entre la conceptualización y visualización, dicho de otro modo, entre la experimentación y la demostración. De esta manera, la geometría puede ser considerada como una búsqueda de modelos guiada, tanto por el “ojo visual” como por el “ojo de la mente”. En la interacción de estos dos modos es que realmente radica su pedagogía.

“El geoplano permite explorar el espacio bi-dimensional (construir figuras geométricas) y la relación área-perímetro, estimar áreas y perímetros, encontrar regularidades y seguir instruc-ciones. Es además un excelente facilitador para el aprendizaje del lenguaje logo (lenguaje del computador). El geoplano es un instrumento de trabajo de una vasta riqueza, porque permite que el estudiante construya distintas posibilidades con mayor facilidad que cuando trabaja con lápiz y papel, dado que para ‘trazar’ figuras y modificarlas basta poner y quitar ligas.

La base del conocimiento espacial se va formando desde el nacimiento hasta la adolescencia, pero no es posible su estudio mientras no exista la experiencia suficiente y el espíritu no se dedique con exclusividad a la extensión de esta experiencia. Esta es una de las razones que explican que el sentido de la geometría se desarrolle tan tarde en la vida y que el interés por su estudio sea tan poco común. No obstante, si el adolescente está bien conducido y orientado puede adelantar notablemente y con rapidez...La enseñanza geométrica consiste en conseguir organizar un tipo de experiencia particular de tal modo que se pueda convertir en una rama de la actividad intelectual del alumno.

El geoplano puede proporcionar experiencias geométricas a los niños desde cinco años propo-niendo problemas de forma, de dimensión, de simetría, de semejanza, de teoría de grupos, de geometría proyectiva y métrica que sirven como fecundos instrumentos de trabajo, cualquiera que sea el nivel de enseñanza”. (p.101)

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2.1. GeoGebra

Es un software de matemática para educación en escuelas media (secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.

Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la potencia de manejar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; per-mite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como Raíces o Extremos.

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa

Diagnóstico de la población intervenida

Para el desarrollo de la experiencia se seleccuinó un grupo de 17 estudiantes de los grados cuarto y quinto de básica primaria del Centro Educativo Rural “La Sonadora”, El Carmen de Viboral, sus edades oscilan entre los 10 y 13 años.

El nivel socio-económico de la mayoría de sus familias es bajo. Los padres trabajan en flo-risterías, agricultura o mayordomos de finca, las madres amas de casa; muchos de ellos no alcanzaron a terminar la primaria y aunque las vivencias giran en torno al aprendizaje práctico es poco el aporte cognitivo que éstos pueden ofrecer a sus hijos, debido a su nivel académico.

3. LOGROS E INDICADORES DE LOGRO A ALCANZAR Y ESTÁNDARES ASOCIADOS

3.1 LOGRO: Solución de diversas situaciones, aplicando conceptos geométricos. • INDICADOR: Calcula el perímetro de figuras planas.

3.2 LOGRO: Organización de la información de un evento en una tabla de datos.

• INDICADOR: Haya las frecuencias en un sistema de datos y las representa en tablas y gráficas.

• Interpreta las situaciones con la información dada en una tabla de datos.

3.3 LOGRO: Conversión de medidas de longitud y área para la solución de problemas.

• INDICADOR: Resuelve problemas aplicando las medidas de longitud y área.


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4 ESTÁNDARES ASOCIADOS

•Pensamiento numérico: Proporcionalidad directa e inversa

• Pensamiento métrico: ÁREA: Medidas arbitrarias.

• Pensamiento geométrico: Perímetro Generalizado Problemas con áreas.

• Pensamiento lógico: Recolección, tabulación y representación de datos Manejo de la información

• Pensamiento estadístico: Análisis de datos. Hallar promedios en un conjunto de datos.

5 NARRACIÓN DE LOS PROCEDIMIENTOS LLEVADOS A CABO EN EL AULA ( DISEÑO METODOLÓGICO )

Mercedes y Javier deciden pintar su casa, solicitan a tres pintores la cotización de la misma, a cada uno le entregan el plano de la casa, teniendo en cuenta que el área de cada lugar( baño, habitación, cocina…) es cuatro veces el área del piso

Cada pintor presentó a Mercedes y Javier la cotización así:

Pintor N° 1: Pinto un metro cuadrado en 10 minutos y su valor es de $2.000.

Pintor N° 2: Pinto 2 metros cuadrados en 25 minutos y cobro $.2500.

Habitación 1 Habitación 1 Habitación 1 Baño 1 Baño 1 patio patio

Habitación 1 Habitación 1 Habitación 1 Habitación2 Habitción 2 patio patio

Habitación 1 Habitación 1 Habitación 1 Habitación 2 Habitación 2 cocina cocina

Sala sala pasillo pasillo Pasillo cocina cocina

sala sala Habitación 3 Habitación3 Habitación 3 Comedor Comedor

Sala sala Habitación 3 Habitación3 Habitación 3 Baño 2 Baño 2

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Pintor N° 3: Pinto 3 metros cuadrados en 45 minutos y cobro $2.000.

Mercedes y Javier organizan las cotizaciones de cada pintor en una tabla, que les permite hacer comparaciones, responder una serie de interrogantes, analizar y tomar una decisión.

TABLA DE REGISTRO

Juan el hijo de Mercedes y Javier Llevó está situación al Centro Educativo, para analizarla con su profesora y sus compañeros de los grados cuarto y quinto. Uno de ellos propuso construir el plano de la casa en el geoplano y de está manera analizar las cuatro cotizaciones.

A los alumnos del grado cuarto y quinto del Centro Educativo “La Sonadora” se les presentó la situación, con las siguientes actividades.

CONSTRUCCIÓN DEL GEOPLANOS

Los geoplanos que usaremos en este taller consisten básicamente en tablas cuadradas de madera de triplex de 30 o 40 cm de lado y de 7 o 9 mm de espesor, clavos y bandas elásticas. La actividad tiene como objetivo construir figuras geométricas para estimar áreas y perímet-ros experimentando y operando con el mediador.

Pintor Parte de la casa Tiempo Salario devengado

1 habitación 12 habitación 13 habitación 11 habitación 22 habitación 23 habitación 21 habitación 32 habitación 33 habitación 31 cocina2 cocina3 cocina1 comedor2 comedor3 comedor1 sala2 sala3 sala1 baño12 baño13 baño11 patio2 patio3 patio1 pasillo2 pasillo3 pasillo


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Completa la tabla teniendo en cuenta los datos de cada pintor, utilizando el mediador (geo-plano)

• Calcula el área y el perímetro de cada una de las partes de la casa.• Encuentra el área de toda la casa• ¿Cuánto tiempo tarda el pintor 1 en pintar toda la casa?• ¿Cuál es la diferencia en tiempo entre el pintor 1 y el pintor 3 para pintar toda la casa?• En 50 minutos, ¿Cuánto dinero ha ganado el pintor 2?• Inventa una situación similar.

Cada niño halla el área y el perímetro de cada pintor, estableciendo la diferencia entre el área (todo el espacio de adentro) y el perímetro (el contorno ) aumentando los minutos proporcio-nalmente con los metros, los niños comunican lo que observan, frente a lo que cambia, y a lo que se conserva. Inicialmente cuando representaron en el geoplano el área de una parte de la casa, para encontrar el patrón se asombraban de cómo se conservaba el área pero variaba la forma, esto ayudó a hacer conjeturas y algunas hipótesis.

En uno de los momentos de socialización se escuchó a un alumno, expresar: “si en 10 minu-tos el pintor 1 pinta 1 metro cuadrado en 50 minutos pinta 5, y así lo hizo y compara con los demás compañeros, lo que permitió construir la siguiente tabla.

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REGISTRA EN LA TABLA LOS DATOS QUE FALTAN DE CADA PINTOR

El plano de la casa fue de gran utilidad para resolver lo anterior, ya que comparaban el tiempo con el área.

PINTOR 1TIEMPO METROS CUADRADOS10 MINUTOS 1 m20 MINUTOS30 MINUTOS 3m60 MINUTOS



Habitación 1

Habitación 1

Habitación 1

Baño 1 Baño 1 Patio patio

Habitación 1

Habitación 1

Habitación 1

Habitación 2

Habitación 2

patio patio

Habitación 1

Habitación 1

Habitación 1

Habitación 2

Habitación 2

cocina cocina

Sala sala pasillo pasillo pasillo cocina cocina

sala sala Habitación 3

Habitación 3

Habitación 3

Comedor Comedor

Sala Sala Habitación 3

Habitación 3

Habitación 3

Baño 2 Baño 2


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RESPONDE

1. En 60 minutos cuántos metros cuadrados ha pintado el pintor 1?2. Y en 120 minutos? _______ Y en 180 minutos?_____3. Si el pintor 2 ha pintado 8 m cuánto tiempo se demoró? 4. Y en 12 m? ______ Y en 16 m?_______5. El pintor 3 pintó en 180 minutos 4 m, en 360 minutos cuántos m pinta?6. ¿Quién pinta en menos tiempo?7. ¿Quién se demora más?8. Si todos los pintores inician al mismo tiempo en el minuto 120 ¿cuántos m ha pintado el

pintor 1? ______ Y el pintor 2?________ ¿Quién ha pintado más?_______9. Si el pintor 2 y 3 llevan 45 minutos pintado:a. ¿Cuántos metros cuadrados ha pintado el pintor 2? b. Y el pintor 3? 10. ¿Quién ha pintado más?

Los niños después de está actividad verbalizan con más seguridad cada relación, también la comparan y argumentan sus respuestas.

Juan maneja muy bien el gogebra, entonces le propone a la profesora ir a la sala de cómputo, ya que el software es muy preciso en las respuestas de área y perímetro, lo que puede con-firmar el trabajo realizado y poder recomendar a sus padres la mejor cotización.

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La formación de conceptos partiendo de la construcción del geoplano y la utilización de éste en el estudio de la geometría en especial el área y el perímetro, permiten concluir que el aprendizaje significativo, es eficaz a la hora de enseñar.

6 RESULTADOS

El desarrollo de la actividad permitió movilizar habilidades en el estudiante como las de ver, decir y registrar, descubriendo el patrón, donde lo fundamental es permitir en el grupo de estudiantes la reflexión frente a lo que cambia , frente a lo que se conserva, y por ende a las relaciones invariantes estructurales, pero fundamente permitirles que comuniquen lo que observan y que expliciten dichas relaciones, que las transformen , que la expresen de diversas formas, que hagan conjeturas y por tanto que formulen hipótesis sobre la situación que analizan.

Al realizar las actividades y comparar los resultados los estudiantes, encontraban diferencias que los dejaban inquietos, ya que decían: “deberían ser los mismos”, al revisar encontraron que algunos geoplanos no quedaron con medidas exactas entre clavo y clavo , lo que dificultó un poco el calcular el área y el perímetro de algunas figuras, y hacer comparaciones.

Se asombraron al descubrir que la cocina no tenía forma cuadrada, pero que el patrón si, (metros cuadrados) y que con él se podía cubrir los espacios hasta completar el área, así tuviese forma rectangular se expresaba en metros cuadrados, concluyendo que los metros cuadrados no tienen que formar figuras cuadradas.

Esto permite poner de manifiesto diferentes procesos matemáticos, tales como el razon-amiento, la comunicación y la resolución de problemas.

Los patrones y regularidades existen y aparecen de manera natural en las otras áreas del saber. Estos pueden ser reconocidos, ampliados y generalizados mediante la construcción de situaciones que involucren como en éste caso variación y cambio. Es decir un mismo patrón se puede encontrar de diferentes formas, esta situación lo hace desde lo geométrico.

El razonamiento formal se observó en un 35% de los niños, poniendo de manifiesto además los aspectos numéricos y cuantitativos de cada alumno, así como la capacidad lingüística para expresar con buenos argumentos sus respuestas.

Para el niño desarrollar la actividad no fue necesario conocer el algoritmo que le permitiera calcular el área y el perímetro, el mismo aprovecha sus análisis, producto de la construcción significativa para concluir y comprender dicha fórmula. Cada niño construyó el plano de la casa en el geoplano, y determinaba el espacio interior como área y el perímetro contando los clavos del contorno.

Por último el trabajo en el computador permitió evaluar la actividad puesto que este plantea niveles de complejidad diferentes. Observamos que a los niños les quedó claro el concepto de área y perímetro y que sus niveles de representación permiten concluir con las gener-alizaciones, hablan de que el área se encuentra multiplicando lado por lado y el perímetro sumando sus lados.


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7 CONCLUSIONES

Esta situación describe como se va modificando la forma de razonar de los individuos en geometría, desde la visión más simplista, global de conceptos geométricos, hasta el empleo del razonamiento formal. Según ésta el pensamiento geométrico se desarrolla a través de una secuencia, de cinco niveles distinguidos no solamente por la adquisición de conocimiento geométrico sino también por las características del proceso de pensamiento envuelto.

La motivación con relación al área de matemáticas cambia, ya que el aprendizaje significativo les permite vislumbrar la materia desde otras perspectivas.

La situación problema desarrollada permitió construir el concepto de área y perímetro, a través de la medida diferenciando patrón de medida y unidad de medida, así como otros que están intrínsicamente en la actividad, que se logran en cada uno de los diferentes momentos.

El estudiante reflexionó sobre el dilema de las unidades cuadradas y llegó a comprender que a todos los polígonos se les puede hallar dicha área, “comprendiendo que la unidad cuadrada no es siempre un cuadrado”.

Sin tener que dar algoritmos los alumnos llegaron a la construcción de éstos, gracias al pro-ceso de la situación problema.

Las herramientas computacionales son instrumentos mediadores para potenciar el desar-rollo de competencias argumentativas y propositivas para llegar a la generalización en los estudiantes y mejorar sus formas de comunicar ideas matemáticas.

La situación es fuente de una gran motivación, lo que lleva a que cada estudiante exprese sus ideas, progresando así en su autonomía intelectual.

Es evidente que el niño aprende significativamente cuando él mismo construye el concepto, interactúa con el material y hace real la actividad. El tema fue elegido por la necesidad de aportar a la geometría de la básica primaria conceptos como el área y el perímetro, poco trabajados hasta el momento, quedándose sólo en la definición y las fórmulas o algoritmos. El geoplano es un mediador que nos permite explorar y resolver situaciones para un apre-ndizaje significativo.

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL, COLOMBIA. (1998). Lineamientos curriculares de matemáticas. Bogotá. Ed. Magisterio.

ROBLEDO ORTEGA, Miguel Ángel. Área Y Perímetro

SECRETARIA DE EDUCACION PARA LA CULTURA, GOBERNACION DE ANTIOQUIA. (2005). Implementación e Interpretación de los Estándares Básicos de Matemáticas..

www.geogebra.at


Bibliografía

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Unidad No.4

Las tortugas: curiosos personajes de nuestra fauna

POR:

Astrid Elena Pineda MurielNidia Mirley Montoya

Institución Educativa: Nuestra Señora de la LuzMunicipio de Copacabana

Presentación

El trabajo titulado, Las Tortugas: Curiosos Personajes de nuestra Fauna, llevado a cabo a través del proyecto de aula, Embelleciendo nuestro Entorno; centra la atención en la inte-gración de contenidos del currículo escolar buscando mejores significados para los conceptos y destrezas movilizados.

La autoras aprovechan como contexto las tortugas de su institución para desarrollar una serie de actividades que les permita integrar diferentes aprendizajes para sus estudiantes, eso priorizando, el desarrollo de tareas relacionadas con el pensamiento métrico. Es decir, priorizan desde la propuesta de los Lineamientos Curriculares, aspectos de medición a través de atributos mensurables en objetos físicos, el establecimiento de relaciones entre unidades de magnitudes y la resolución de problemas en los que interviene el tratamiento de magnitudes.

La forma de intervenir, tal como lo han propuesto varios investigadores del pensamiento mé-trico, entre ellos Carmen Chamorro, tiene que ver con el aprovechamiento de la experiencia y la práctica cotidiana como punto de partida de la construcción de la magnitud y procesos de medición, evitando reducir estos a la mecanización del sistema métrico decimal a partil del cual las actividades se reducen a ejercicios de conversión de unidades.

Diagnóstico de la población

Las estudiantes de los grados 5-A y 5-B, de la Institución Educativa Rural Nuestra Señora de la Luz, se encuentran en edades de 10 a 13 años; en su mayoría pertenecen a los estratos

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socioeconómicos 1 y 2; 14 de las 45 niñas están internas en la institución, ya que se encuen-tran en un alto riesgo de maltrato o abandono por parte de sus padres y el plantel ofrece esta posibilidad. Las demás pertenecen a las veredas aledañas al municipio de Copacabana, con un carácter de externas. Los niveles socioeconómicos y de escolaridad de los grupos familiares son bajos, pues la mayoría cuenta con un salario mínimo para subsistir. La Institución tiene amplias zonas verdes, apropiados sitios de recreación, hermosa vege-tación y suficientes espacios para realizar las actividades pedagógicas, lo cual favoreció significativamente el desarrollo de esta experiencia.

Justificación El estudio de las magnitudes en el contexto escolar, especialmente en los grados cuarto y quinto, había sido de gran dificultad para las estudiantes, dado que esta temática se orientaba siempre a partir de la simple transmisión de los conceptos utilizando sólo la tiza, el tablero y algunos textos guías para la ejercitación. Este método de trabajo no arrojaba logros significativos con respecto a los logros que se pretendían alcanzar desde este campo conceptual del currículo, porque obviamente no se contextualizaba, ni se partía de los inte-reses y motivaciones de las estudiantes, no se relacionaba con otros pensamientos y no se aprovechaban los recursos que la institución ofrecía.

La metodología de Proyectos de Aula, implementada por la institución a partir del año 2006, permitió diagnosticar las necesidades e intereses de las estudiantes con respeto al desarrollo del pensamiento métrico y sistemas de medidas, realizando una propuesta de aprendizaje significativo para abordar estas temáticas a través de un Proyecto de aula denominado “EM-

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BELLECIENDO NUESTRO ENTORNO, el cual se enriqueció con otras áreas del conocimiento, favoreciendo la integración curricular, tal como lo muestra el siguiente esquema:

Marco conceptual

La experiencia significativa que aquí proponemos se fundamenta teóricamente en el pensam-iento métrico y sistemas de medidas como eje trasversal y articulador de otros pensamientos y de otras áreas del conocimiento, entre ellas: Humanidades (lengua castellana e inglés), sociales, ciencias Naturales e informática. El pensamiento métrico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes, su cuantificación y uso con sentido y significado para la comprensión de situaciones en contextos determinados (Lineamientos curricularares, MEN, 1998) Acercarse al concepto de magnitud y a los procesos de medición, exigió que las estudiantes se vieran en la necesidad de comparar, interpretar, comunicar, argumentar, construir y modelar situaciones concretas del aula de clase. Al proponer como énfasis el pensamiento métrico, se hace posible establecer fuentes muy interesantes con los otros pensamientos: espacial y sistemas geométricos, aleatorio y sistema de datos, y el pensamiento numérico y sistemas numéricos. Esta experiencia tuvo en cuenta los tres grandes ejes articuladores del currículo de matemáti-cas desarrollados ampliamente en los lineamientos curriculares: Procesos Generales

Los cuales tienen que ver con el razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas y la comunicación. Conocimientos Básicos

Que se relacionan con los conocimientos específicos que desarrollan: pensamiento numérico, espacial, aleatorio, métrico y variacional. Para el presente trabajo los conocimientos básicos tienen que ver con unidades de masa y peso, unidades de longitud, organización y repre-sentación de datos, expresiones decimales, fracciones, porcentajes, polígonos, conversión de unidades en el sistema métrico decimal.

El ContextoSe hace especial referencia al ambiente natural que tiene nuestra Institución Educativa, gozando por lo tanto de una gran riqueza de flora y fauna.

A través del estudio de las tortugas las estudiantes pudieron conocer y diferenciar atributos mensurables en ellas, tales como: peso, talla, diámetro de su caparazón. Se hace necesa-rio partir de un referente histórico que permitió a las estudiantes comprender el proceso de medir y el concepto de magnitud como un suceso que ha tenido sus trasformaciones a través de la historia.


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Logros, indicadores de logros y estándares asociados

Logros

• Fomentar en las estudiantes el cuidado y preservación de nuestra fauna• Realizar y escribir proceso de medición con patrones arbitrarios y algunos estandariza

dos.• Identificar procesos asociados al cálculo con unidades de medida, la estimación de me-

didas y la resolución de problemas asociados con la medición.

Indicadores de Logros

• Elabora gráficas comparativas con diferentes variables.• Describe y argumenta relaciones entre la longitud, la masa y el peso de las tortugas.• Reconoce y usa la proporcionalidad para resolver problemas de medición,• Manifiesta argumentos válidos al sustentar la obtención de una respuesta.• Organiza datos con secuencia lógica y saca conclusiones.

Estándares Asociados

• Diferenciar atributos mensurables de los objetos y eventos (Longitud, superficie, volumen, capacidad, masa-peso, tiempo y amplitud angular) en diversas situaciones.

• Seleccionar unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para dife-rentes mediciones.

• Representar datos usando tablas y gráficas (de barras, diagrama de líneas, diagramas circulares).

• Comparar diferentes representaciones del mismo conjunto de datos.

• Comparar y describir atributos de un conjunto de datos.

Narración de los procesos desarrollados en el aula

El proyecto de aula “EMBELLECIENDO NUESTRO ENTORNO”, motivó a las estudiantes a seleccionar las tortugas de la Institución para tener un mejor acercamiento a ellas y apr-ovecharlas como contexto para construir conceptos y relaciones asociadas a la medición de magnitudes.

Fase 1

Se investiga sobre las tortugas respondiendo a una pregunta inicial: ¿Qué es una tortuga? Se recopila información aportada de diferentes fuentes; socializamos la información hallada y concluimos sobre los aspectos más fundamentales para el trabajo a seguir. En esta fase

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se afianza con las estudiantes el desarrollo de habilidades para fortalecer la competencia lectora y escritural a través de las notas de clase y los resúmenes; además, la capacidad para exponer en forma oral con lógica y coherencia las consultas realizadas.

Fase 2 Buscamos las tortugas, que por lo general se encuentran ocultas en la zona verde de la in-stitución, especialmente en una reserva ecológica llamada “La Selva”. Luego, las llevamos a un lugar seguro para medirlas, pesarlas y clasificarlas por sexo.

Esto fue posible gracias a las consultas realizadas, pues el macho se diferencia de la hembra porque la parte inferior de su caparazón es cóncava, para facilitar la copulación. Encontramos 14 tortugas, 5 machos y 9 hembras. Cuatro de ellas están domesticadas y viven dentro de la casa (entendiendo por casa la Institución Educativa, ya que para ser un hogar para niñas internas recibe esta denominación).

Cada estudiante sistematizó los datos hallados por medio de una tabla, y una vez recopilada la información necesaria, las tortugas fueron devueltas a su lugar.

Fase 3

Las estudiantes empiezan a generar diferentes preguntas que sirvieron de hilo conductor para desarrollar las diferentes temáticas trabajadas, a la vez que iban sistematizando sus producciones en una cartilla individual, que tuvo un toque personal de acuerdo a su ingenio y creatividad.

La metodología empleada para el desarrollo de las actividades fue tipo taller, lo cual permitía una fundamentación teórica y una vivencia práctica.


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¿Cuánto pesa una tortuga?, ¿Cuál unidad de medida utilizamos para calcular el peso de las tortugas?, ¿cómo son nuestras tortugas?, ¿Cómo podemos representar los datos que encontramos?, ¿Qué es el Sistema Internacional de Medidas?, ¿Cómo es la caparazón de las tortugas?

Fase 4

Socializamos las diferentes cartillas, las cuales tuvieron como anexos las producciones lit-erarias de las estudiantes, tales como: poesías, canciones, rondas, juegos, adivinanzas, etc. Evaluamos el trabajo a partir de las conclusiones que ellas consignaron en las cartillas.

Canción a la tortuga

Coro:Voy a cantar a las tortuguita,son bonitas y llamativas,ellas están listas para todoson elegantes y muy exclusivas.

Estrofa 1:Ellas comen hiervas y bananos,Legumbres y también verduras;Yo las quiero porque son chiquitas.

Estrofa 2:Hay tortugas de diferente especiePro ejemplo:Acuáticas, terrestres, quejíles y,También Galápagos.

Brigith Angheli Calchado - Grado 5°A

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Resultados

Como resultado de este trabajo quedan las producciones creativas y llamativas de las estu-diantes, materializadas en sus cartillas. Se pudo abordar las temáticas referidas a las medidas de una manera muy significativa e interesante. Las niñas se concientizaron de la necesidad de mantener el equilibrio en la naturaleza a partir de la preservación del medio ambiente. Se logró una integración curricular de aprendizaje, desde el área de las matemáticas. Lo más importante para nuestra experiencia es que las estudiantes siempre mantuvieron su interés y motivación. Se propició un ambiente de aprendizaje cooperativo porque, a pesar de que la producción fue individual, siempre se realizó el trabajo en equipos. Se favoreció el desarrollo de las competencias matemáticas a través del afianzamiento de la capacidad de dar significado, interpretar, comunicar, argumentar, construir, modelar y usar el conocimiento matemático en su propio contexto.

Conclusiones

Este trabajo permitió que las estudiantes afianzaran el desarrollo de:

• Habilidades básicas como la lectura, la redacción, la expresión y la capacidad de es-cuchar.

• Aptitudes Analíticas: Pensar creativamente a través de la solución de problemas propu-estos desde los diferentes pensamientos, procesar y organizar elementos visuales y otro tipo de información; saber aprender y razonar.

• Cualidades Personales: Responsabilidad y autoestima, sociabilidad, gestión personal, integridad y honestidad.

Estos aspectos son indispensables a la hora de hablar de Formación Integral.


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• VERDE, landa. Geometría del Espacio.

• MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos Curriculares de Matemáticas, 1998

• SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA. Interpretación e implementación de los estándares básicos de matemáticas, 1995

• MALDONADO, Miguel A. Las competencias, una opción de vida. metodología para el diseño curricular, 2002

• TOSÓN, Sergio. formación basada en competencias. pensamiento complejo, diseño cur-ricular y didáctica.

Bibliografía

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Unidad No.5

Las aplicaciones del Arte y su relación con las Transformaciones Geométricas

Profesoras

Diana Patricia Londoño HerreraAngélica Liliana Molano Zárate

Diagnostico

El Municipio de la Estrella se encuentra geográficamente ubicado en la zona sur de Valle del Aburra, a una distancia de 16 kilómetros de Medellín, a los 6º09·30” de latitud Norte y 75º38·24” de longitud al Oeste de Greewich.

Los habitantes reciben el apelativo de siderenses, tiene una población aproximada según datos del DANE de 55.746 habitantes; de los cuales el 8.8 % es población rural y el 91.2 % zona urbana.

En el aspecto Socio-Económico de la gran mayoría de estudiantes de la institución se en-cuentra, que las familias de los mismos tienen un nivel económico bajo.

Se encontró un porcentaje alto de los padres se dedican a las labores de obreros ocasionales; viven de un jornal que les debe alcanzar para alimentación y vestido; no alcanza para la salud y en mínima parte para el estudio, aunque algunas familias manejan otras prioridades como por ejemplo el mercantilismo, alcoholismo y drogadicción.

En las mismas condiciones se encuentran otro porcentaje considerable de la familia cuyos padres se dedican a otros oficios.

En una situación un poco mejor, abarcando un porcentaje bajo se encuentran las familias cuyos padres están trabajando como conductores, mecánicos, carniceros o carpinteros. Encontramos alumnos con un poco mas de solvencia económica; son los hijos de maestros, empleados y comerciantes.

Se presenta un problema, es la ausencia de la figura paternal en las familias, esta ausencia es por muerte, por separación o porque nunca han conocido a su padre.

Además a pesar de las dificultades económicas en que se encuentran las familias, las madres, ya sea por falta de preparación, por falta de oportunidades de trabajo o por tradición, no

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aporta económicamente a la familia; se dedican a las labores de la casa o a empleos ocasio-nales, presentándose así la carencia afectiva y de acompañamiento a sus hijos.

Se detecta que un porcentaje de los estudiantes provienen de familias de escasos recursos, y a muchos de ellos les es imposible traer refrigerio (algo).

Atendiendo a esta necesidad, una de las actividades complementarias de la institución, es el Refrigerio-Almuerzo, que proporciona el Instituto de Bienestar Familiar y el Municipio de la Estrella (comité PAN), a 100 alumnos de nuestra sección de lunes a viernes.

En la Institución Educativa Concejo Municipal de la Estrella, Sección SANTA MARIA GORE-TTI; se observa que en el área de MATEMÁTICAS en el grado cuarto, el rendimiento aca-démico de los alumnos puede ser considerado en la mayoría como regular.

GRAFICA N 1

En la grafica N 1 podemos observar que los alumnos si reconocen la figura, también su nombre pero les queda muy difícil describir las características de cada uno de ellas, ade-más confunden mucho: Semicircunferencia, circunferencia y circulo, las clases de triángu-los según sus lados, no dibujan bien paralelogramo y no reconocen polígonos.

GRAFICA N 2

En la grafica N 2 analizamos que de los tres aspectos que representamos, la mayoría esta muy mal ya que de 35 alumnos solo 8 ubiquen bien en el plano – 7 identifican ángulos – 3 trazan líneas a figuras para poder construir simetrías.

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GRAFICA N 3

En la grafica N 3 En esta grafica notamos que no reconocen las transformaciones geométricas como la de trasladar, rotar, reflejar y realizar homotecia.

Los resultados fueron los siguientes: 12 identificaron la figura trasladada, 15 cuando se rota, 15 cuando se refleja, 15 cuando se realiza una homotecia sin embargo estos la reconocen como hacerla mas grande o mas pequeña pero no con la palabra “homotecia” .

En general nos damos cuenta que nos debemos centrar en todas estas falencias que detec-tamos con estas actividades realizadas.1

Marco teórico

La enseñanza de las matemáticas en Colombia y en el mundo ha tenido un cambio evidente respecto a lo que se espera que aprenda el estudiante; en tres ejes importantes:

• Lo Cognitivo• Lo Pedagógico• Lo Didáctico

En la actualidad, solamente escuchamos la frase “siempre se cambia todo cuando ya tenemos todo organizado” por parte de el maestro. Pero en realidad tendríamos que mirar este cambio desde el punto de vista de evolución de la educación colombiana a partir de los lineamientos curriculares y la importancia de este cambio como parte del desarrollo social, económico y cultural.

“Los lineamientos que han de generar procesos de Reflexión, análisis crítico y ajustes progresivos por parte De los maestros, las comunidades educativas y los Investigadores educativos, hacen posible iniciar un Cambio profundo hacia nuevas realidades en donde las “utopías” y la imaginación de nue-vos modelos de Sociedad estimulen entre nosotros un hombre nuevo con Una actitud mental nueva, consciente de que no hay Realidades por imitar sino futuros por construir, y en el Cual las mejores condiciones de vida que se vayan Alcanzando exigirán no tanto tener más sino ser más, Pues ésta es la verdadera condición del progreso Humano”.

Jaime Niño Díez - Ministro de Educación Nacional

1Veranexosdeevaluacióndeconceptosprevios.Anexo�


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Los lineamientos plantean la idea de ver las matemáticas desde un punto de vista activo donde no se busca que el estudiante solamente llegue a la respuesta de unos algoritmos planteados, sino a la solución de unas situaciones particulares del entorno donde él puede visualizar en los fenómenos mismos de su vida cotidiana la correspondencia matemática que los explica y los modela.

Podemos ver en la historia del Currículo de Matemáticas como este cambio de visión y de enseñanza no es nuevo, es algo que viene desde la Renovación Curricular que se comenzó a aplicar en el año 1984, por supuesto con algunos cambios, como los efectuados por medio de la ley 115 de 1994 donde se estableció la autonomía curricular para las instituciones edu-cativas, colocando en este momento al maestro como principal constructor del currículo.

“La renovación curricular propuso acercarse a las distintas regiones de las matemáticas, los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la misma lógica y los conjuntos desde una perspectiva sistémica que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus elementos, sus operaciones y sus relaciones”.2

Luego en 1998 se expidieron los lineamientos curriculares, los cuales para algunos fueron un golpe a la autonomía propuesta anteriormente, pero que dándole un buen funcionamiento son una guía para poder desarrollar esos currículos institucionales.Y por último, aparecen los estándares en el año 2003, luego de haberse planteado en el año 2002 y derogados para convertirse en lo que hoy en día nos da cuenta de lo que verdadera-mente significa enseñar matemáticas.

Los estándares están organizados en cinco tipos de pensamiento matemático:

1. Pensamiento numérico y sistemas numéricos.

Comprensión del número, su representación, las relaciones que existen entre ellos y las operaciones que con ellos se efectúan en cada uno de los sistemas numéricos. Se debe aprovechar el concepto intuitivo de los números que el niño adquiere desde antes de iniciar su proceso escolar en el momento en que empieza a contar, y a partir del conteo iniciarlo en la comprensión de las operaciones matemáticas, de la proporcionalidad y de las fracciones. Mostrar diferentes estrategias y maneras de obtener un mismo resultado. Cálculo mental. Logaritmos. Uso de los números en estimaciones y aproximaciones.

2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos.

Examen y análisis de las propiedades de los espacios en dos y en tres dimensiones, y las formas y figuras que éstos contienen. Herramientas como las transformaciones, traslaciones y simetrías; las relaciones de congruencia y semejanza entre formas y figuras, y las nociones de perímetro, área y volumen. Aplicación en otras áreas de estudio.

� SacadodeloslineamientoscurricularesquesepuedenencontrarenlapáginaWebdelMinisteriodeEducaciónNacional: http://www.mineducacion.gov.co/1621/propertyvalue–31539.html

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3. Pensamiento métrico y sistemas de medidas.

Comprensión de las características mensurables de los objetos tangibles y de otros intangi-bles como el tiempo; de las unidades y patrones que permiten hacer las mediciones y de los instrumentos utilizados para hacerlas. Es importante incluir en este punto el cálculo aproxi-mado o estimación para casos en los que no se dispone de los instrumentos necesarios para hacer una medición exacta. Margen de error. Relación de la matemática con otras ciencias.

4. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.

Situaciones susceptibles de análisis a través de recolección sistemática y organizada de datos. Ordenación y presentación de la información.

Gráficos y su interpretación. Métodos estadísticos de análisis. Nociones de probabilidad. Relación de la aleatoriedad con el azar y noción del azar como opuesto a lo deducible, como un patrón que explica los sucesos que no son predecibles o de los que no se conoce la causa. Ejemplos en situaciones reales. Tendencias, predicciones, conjeturas.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

Procesos de cambio. Concepto de variable. El álgebra como sistema de representación y descripción de fenómenos de variación y cambio.

Relaciones y funciones con sus correspondientes propiedades y representaciones gráficas. Modelos matemáticos.

De estos cinco pensamientos el central para nuestro proyecto es el pensamiento espacial.3

El pensamiento espacial habla de la geometría en todas sus dimensiones, las relaciones intra e inter figúrales y las propiedades de las mismas.

Una de las propiedades de los cuerpos o figuras geométricas es la de transformarse, y es la que nos compete en el marco de este proyecto.

Desde los tiempos más remotos la geometría ha sido una herramienta para sistematizar algunas experiencias del hombre.

“La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo bo-raban cotinuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras”

Las transformaciones son un concepto trabajado en la geometría no hace mucho desde el punto de vista de la historia de la matemática, pero que se viene utilizando desde los inicios del hombre en el arte, en la arquitectura y otras actividades del mismo.

3 Losotrospensamientossevanadesarrollar,peroelpensamientoespacialeselcentral


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“Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.

Geometría descriptiva y proyectiva:

Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto “Géometrie descriptive”. En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a con-tinuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.

El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyec-ción constituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría”.4

Las transformaciones geométricas han sido una constante en la práctica totalidad de nuestras culturas desde los tiempos remotos hasta la actualidad.

La pintadera (símbolo de la cultura aborigen canaria), a partir de uno de los triángulos rec-tángulos se puede construir toda la figura:

a. trasladándolo verticalmente y horizontalmente.

b. y girando 180º el triángulo inicial con respecto al centro de la hipotenusa obtenemos el otro triángulo (este tipo de transformación se llama simetría central -respecto al punto medio de la hipotenusa-). Luego trasladando este nuevo triángulo concluimos la pintadera.

Observemos ahora el banco que se encuentra situado en la Plaza de Los Patos en S/C de Tenerife, se ven motivos que trasladándose van construyendo toda la figura, además si ob-servas el suelo son losetas cuadradas trasladándose.

� Informaciónsobrelahistoriadelageometríaenhttp:almez.pntic.mec.es/~agos0000/geometria.html.

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Si nos acercamos a uno de los motivos de la cerámica que tapizan el banco, vemos que una loseta se obtiene de otra realizando un giro de 90º respecto del centro de un cuadrado for-mado por cuatro losetas.

Este tipo de transformaciones es muy común en elementos de nuestro entorno:

a. Naturaleza:

Cada pétalo de la flor se podría obtener girando otro 72º (360:5).

La hoja de palmera presenta una simetría respecto a un eje (simetría axial)


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Módulo Situaciones de AprendizajeDesde los conceptos y los procesos

b. En la arquitectura:

Observa la fachada del edificio del Círculo de la amistad XII de enero (en S/C de Tenerife), que presenta simetría axial respecto a un eje que iría desde la base del edificio hasta la ca-beza del ángel en la parte más alta.

Observa también como se forma el friso (elemento decorativo en forma de faja muy alargada y seguida) por traslación de un motivo (que también presenta simetría axial). Además parte de la fachada es un ángel que se traslada.

El auditorio de S/C de Tenerife también presenta una simetría axial, parece como si la zona de la derecha de la imagen se superpusiera sobre la zona de la izquierda, si doblamos la figura sobre la recta. La recta dada es el eje de simetría.

c. Esculturas:

Escultura que se encuentra frente al edificio de la oficina principal de Caja Canarias en S/C de Tenerife. Cada tira de peces se puede obtener trasladando uno de ellos verticalmente.Escultura que la encontramos en la plaza del auditorio de S/C de Tenerife presenta simetría axial respecto de un eje vertical.

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d. Rejas, logotipos, llantas, etc.

La siguiente puerta de una casa en la Rambla de General Franco de S/C de Tenerife se ob-servan varias transformaciones que conservan las formas y el tamaño. Mirando la puerta globalmente las hojas de la puerta presentan simetría axial (¿cuál es el eje?). Si observamos el detalle de la derecha se observa que unos de los motivos presenta un giro de 180º respecto al punto donde se tocan (simetría central). Otros motivos se trasladan.

Si observamos el logotipo de la Mercedes, cada aspa presenta simetría... Además girando un aspa ... ... grados respecto al centro del círculo obtendríamos otra.

Estas son todas las transformaciones geométricas vistas hasta ahora:

Simetría

Simetría, disposición de las distintas partes de un todo de forma ordenada y con mutua cor-respondencia, que genera una forma proporcionada y equilibrada. El principio de la simetría es de gran importancia en biología, mineralogía, física y geometría.

En biología, la distribución regular de las distintas partes del cuerpo de un animal en dos lados opuestos de un plano de simetría o plano mediano, se conoce como simetría bilateral. La organización proporcional de partes semejantes de un cuerpo alrededor de un eje de simetría, como en el caso de las medusas y las estrellas de mar, se denomina simetría radial. Los cuerpos de los protozoos como los de los radiolarios, que tienen una forma redondeada alrededor de una zona central o núcleo, se dice que tienen simetría esférica.

En mineralogía, las leyes de simetría se cumplen en la estructura angular de los cristales. Todos los distintos tipos de cristales se pueden dividir en seis sistemas, basados en la lon-gitud de sus ejes y otros detalles de su simetría.


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En física, se dice que un sistema presenta simetría si se mantiene inalterado después de ciertas operaciones, como la inversión especular, inversión en la dirección del tiempo y traslación espacio-tiempo. Muchos de los sistemas físicos cumplen estas simetrías, que están también relacionadas con las leyes de conservación de la física. Esta relación es de particular interés en el estudio de las partículas elementales.

En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de una figura.

Tipos de simetría

Una simetría central de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’ tal que O es el punto medio del segmento PP’.

Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.

Una simetría axial de eje e es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’ tal que la recta e es mediatriz del segmento PP’.

Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara.

Figuras simétricas

Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría trans-forma a la figura en ella misma.

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Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado c uatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).

Se suele decir que una figura tiene simetría central o simetría radial cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante varios giros. Sin embargo, la expresión no es matemáti-camente correcta (véase Giro: Centro de giro de orden n).

Traslación

Traslación, de vector t , es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P

, tal que PP ,= t.

Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector t.

Rotación

Rotación, movimiento que obliga a todos los puntos de un sólido rígido a describir arcos de igual amplitud pertenecientes a circunferencias cuyos centros se hallan en una misma recta o eje de giro, que puede ocupar cualquier posición en el espacio.

Para estudiar la dinámica de los cuerpos en rotación se introduce el concepto de sólido rígido o cuerpo formado por un conjunto de puntos materiales cuyas distancias mutuas perman-ecen invariables. Un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación cuando se mueve ligado a dos puntos fijos que pueden ser interiores o exteriores a él. La línea que une dichos puntos fijos es el eje de giro, y los puntos de un sólido en su movimiento describen circunferencias en un plano perpendicular al eje de giro y cuyos centros se encuentran sobre dicho eje.


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Los principios fundamentales de la dinámica de rotación pueden resumirse así:

1. Para que se produzca una rotación tiene que actuar un par de fuerzas. Éste está consti-tuido por dos fuerzas iguales, paralelas y de sentidos opuestos, cuyos puntos de aplicación están separados una distancia r, llamada brazo del par. La magnitud que caracteriza un par de fuerzas es el momento del par de fuerzas, M, que es un vector perpendicular al plano del par, de módulo igual al producto de la magnitud común de las fuerzas por la distancia r, y cuyo sentido está ligado al sentido de rotación del par.

Un par de fuerzas puede equilibrarse por otro par que tenga momento de igual módulo, pero de sentido opuesto al del primero. Nunca una fuerza única puede sustituir, ni equilibrar, a un par de fuerzas.

La relación que existe entre el momento del par de fuerzas aplicado al cuerpo, M, y la aceler-ación angular que le produce, , recibe el nombre de momento de inercia, I, de dicho cuerpo respecto al eje de giro considerado:

M = I·

Los ejes principales de inercia son aquellos ejes que tienen la propiedad de que cuando un sólido rota alrededor de alguno de ellos, su momento angular correspondiente está dirigido según ese eje. En todo sólido existen al menos tres ejes principales de inercia perpendiculares mutuamente.5

Este tipo de transformaciones geométricas se llaman MOVIMIENTOS o ISOMETRÍAS.

Translaciones

Giros

Simetría Central

(giro de 180º)

Simetría axial

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Hay otro tipo de transformaciones geométricas que conservan la forma pero no el tamaño, piensa en la proyección de una figura a través de un retroproyector, o de un cañón que pro-yecta una imagen de ordenador, o de la proyección de una diapositiva. Este tipo de trans-formación que ya conoces del curso anterior se llama homotecias o semejanzas. Observa las dos figuras de la imagen que son semejantes u homotéticas:

Homotecia

Homotecia, de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una transfor-mación geométrica que hace corresponder a cada punto P , otro punto P , tal que OP ,= k .OP (el vector OP , es igual al resultado de multiplicar el vector OP por el número k). Si k es positivo, P , está en la semirrecta de origen O que pasa por P:

Si k es negativo, P y P , están en semirrectas opuestas de origen O:

Una homotecia de razón k transforma cada figura en otra semejante a ella con razón de semejanza |k| (véase Semejanza). Por tanto, las homotecias mantienen las formas de las figuras.

Podemos considerar otro tipo de transformaciones que no conservan ni la forma ni el tamaño:

a. Sombras proyectadas por el Sol. Se observa en la reja de la foto que no se conservan los tamaños y tampoco las formas (un cuadrado no se tiene que transformar en un cuadrado). Lo que si ocurre es que rectas se transforman en rectas y rectas paralelas en rectas paralelas. Además dos segmentos en la misma recta iguales entre sí en el original se transforman en dos segmentos de longitud distinta a los originales pero también iguales entre sí. Este tipo de transformaciones se denominan: transformaciones afines


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b. Sombras proyectadas por focos. Como se observa en la foto, no se conserva la forma ni el tamaño. Lo que si ocurre es que una recta se transforma en una recta, pero rectas paralelas no tienen porque transformarse en rectas paralelas. A este tipo de transformaciones se de-nominan proyectivas.6

Se puede evidenciar que las transformaciones son parte esencial en la práctica del hombre en sus diferentes labores diarias, es por eso que nosotros le queremos dar importancia a este proceso de utilización de las transformaciones. Para esto nos centraremos en los niveles de pensamiento de los esposos Van Hiele para la enseñanza de la geometría, teniendo en cuenta la importancia que se merece la observación del estudiante de su ambiente y la relación que hace con su representación geométrica.

El modelo educativo de Van Hiele

En los últimos años la enseñanza de las matemáticas ha sufrido grandes cambios. Debido a los esfuerzos que a nivel internacional hacen los expertos en la didáctica, vivimos actu-almente situaciones de experimentación y cambio. El movimiento que impulsó lo que se llamó la “matemática moderna” trajo consigo grandes cambios en la Educación Matemática: se enfatizaron estructuras abstractas en distintas áreas, especialmente en el álgebra y en el análisis, se pretendió profundizar en el rigor lógico, lo que condujo al detrimento de la geometría elemental y la intuición espacial.

La educación matemática es una disciplina relativamente joven que ha tomado mucho auge en los últimos años, debido principalmente a la masificación de la educación y a la introduc-ción de nuevas tecnologías en el aula de clase, que están siendo utilizadas para ayudar a los estudiantes en los procesos de aprendizaje y a los educadores a enriquecer los procesos de enseñanza- aprendizaje.

En el campo de la geometría surgió el modelo educativo de Van Hiele, el cual proporciona una descripción de los procesos de pensamiento que no se identifican con destrezas de cómputo o con el progreso en el nivel académico. También, el modelo postula la existencia de niveles de razonamiento que no se identifican con el desarrollo biológico del individuo, sin embargo, las experiencias de aprendizaje que se tengan previamente son un factor determinante para acceder a estos niveles.

6 http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/Geometria/Actividades/Transformaciones/introduccion_transformaciones_geometricas.htm

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En la aplicación del Modelo a un concepto matemático se requiere determinar una serie de descriptores para cada uno de los niveles estudiados, que ponen en evidencia la detección de éstos. Para obtener esos descriptores y comprobar que se ajustan a las exigencias, se usa como procedimiento fundamental la entrevista semi - estructurada para la cual se diseña previamente un guión.

En los aspectos metodológicos, la aplicación del modelo tiene grandes repercusiones en la enseñanza de la matemática, puesto que postula que cada nivel de razonamiento supone una forma de comprensión y un modo de pensamiento particular, de manera que un estudiante solo pueda comprender y razonar sobre los conceptos matemáticos adecuados a su nivel de razonamiento, por lo tanto el proceso de enseñanza debe adecuarse al nivel de razonamiento del estudiante. Una enseñanza que transcurra en un nivel superior al de los estudiantes no será comprendida. El proceso de enseñanza debe orientarse a facilitar el progreso en el nivel de razonamiento, de modo que ese progreso se haga de un modo rápido y eficaz. 7

Como profesores de secundaria en Holanda, Pierre Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof tuvieron problemas por la manera cómo sus estudiantes se desempeñaban en geometría.

Ocurrió que mientras estudiaba algunos de los trabajos de Jean Piaget, Pierre Van Hiele formuló su sistema de niveles de pensamiento en geometría. Él notó, como es evidente en algunas de las entrevistas de Piaget, que los problemas o tareas que se les presentan a los niños con frecuencia requieren de un conocimiento del vocabulario o propiedades que está fuera del alcance de su nivel de pensamiento. Si la enseñanza transcurre en un nivel superior al del estudiante, el material no es asimilado apropiadamente en la memoria por un periodo largo de tiempo.

En las palabras de Freudenthal: En tanto que el niño no sea capaz de reflexionar sobre su propia actividad, el nivel alto se mantiene - inaccesible. El nivel alto de operación puede en-tonces, pensarse como un algoritmo, aunque con una consecuencia de poca duración. Esto ha sido probado debido al fracaso en la enseñanza de fracciones.

En 1957, los Van Hiele, presentaron sus respectivas memorias doctorales en la Universi-dad de Utrecht. Sus disertaciones las acompañaron con el desarrollo de una estructura y el experimento con niveles de pensamiento, con el propósito de ayudar a los estudiantes a desarrollar la percepción en la geometría. Pierre van Hiele (1957) formuló el esquema y los principios psicológicos. Dana van Hiele Geldof (1957) enfocó sus experimentos didácticos con el propósito de elevar los niveles de pensamiento de los estudiantes.

La siguiente cita muestra el interés de los van Hiele por ideas que puedan mejorar el nivel de razonamiento de los alumnos.

“Había parte de la materia en cuestión que yo podía explicar y explicar y aun así los alumnos no entendían. Podía ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenían éxito. Especialmente al co-mienzo de la geometría, cuando había que demostrar cosas muy simples, podía ver que ellos daban el máximo de sí, pero la materia parecía ser demasiado difícil. Pero debido a que yo era un profesor inexperto, también tenía que considerar la posibilidad de que yo fuera un mal profesor.


7 JARAMILLOLÓPEZ,CarlosMano,DUARTEPEDRO,VicenteEsteban.ElModeloEducativodeVanHiele,4deoctubrede2002.

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Y esta última y desagradable posibilidad se afirmaba por lo que ocurrió posteriormente: de pronto parecía

que comprendían la materia en cuestión. Podían hablar de ella con bastante sentido a menudo decían: “no es tan difícil, pero ¿por qué nos los explicó usted de forma tan complicada?”. En los años que siguieron cambié mi explicación muchas veces, pero las dificultades se mantenían. Parecía como siempre estuviera hablando en una lengua distinta. Y considerando esta idea descubrí la solución, los diferentes niveles del pensamiento”(Van Hiele, 1986).

El mismo Van Hiele describe la formulación primitiva de su modelo de la siguiente manera (van Hiele 1955)

“Primero presenté mi descubrimiento de la siguiente forma: puede decirse que alguien ha alcanzado un nivel superior de pensamiento cuando un nuevo orden de pensamiento le permite, con respecto a ciertas operaciones, aplicar estas operaciones a nuevos objetos. El alcance del nuevo nivel no se puede conseguir por enseñanza pero, aún así, mediante una adecuada elección de ejercicios, el profesor puede crear una situación favorable para que el alumno alcance un nivel superior de pensamiento.

Se puede ver mi intento por librarme a mí mismo de no ser capaz de dar suficiente instrucción; también se puede ver la solución: una adecuada serie de ejercicios. En realidad, se ha puesto de manifiesto que al cambiar los libros de texto todas las dificultades podían desaparecer. Así que mi introducción a los niveles no era sólo una afirmación sino también un programa”.

Las cuestiones alrededor de la geometría fueron populares en Holanda en los años de 1950 (Freudenthal 1958), y lo van Hiele estuvieron activamente involucrados. Los delineamientos de los niveles de pensamiento del artículo de P. van Hiele y las fases de aprendizaje atrajeron la atención inmediata de los sicólogos de la Unión Soviética.

Propósito

La idea es desarrollar una investigación que permita validar una estrategia docente donde el alumno pueda progresar en los niveles de pensamiento con el fin de mejorar su proceso de aprendizaje.

El modelo educativo de Van Hiele analiza el aprendizaje y enseñanza de la Geometría, como también la relación entre ellas dos. La teoría tiene tres componentes: La percepción (insight, los niveles de pensamiento, y las fases de aprendizaje. Los Van Hiele definen percepción de la manera siguiente: una persona muestra insight si (a) es capaz de actuar en una situación no familiar; (b) ejecuta de forma, competente (correctamente y adecuadamente) las acciones requeridas por la situación; y (c) emplea intencionalmente (deliberada y conscientemente) un método que resuelve la situación. Para tener insight, los estudiantes comprenden lo que hacen, por qué lo hacen y cuando hacerlo. Ellos pueden aplicar su conocimiento con el propósito de resolver problemas.

En un tratado de 1986, Structure and Insight: Una teoría de la educación en matemáticas; Van Hiele condujo sus metas en términos de su teoría. Estas metas son: que los estudiantes aprendan a pensar con respecto a la matemática; (es decir, adquirir algún conocimiento matemático) y, más importante que los estudiantes aprendan a pensar matemáticamente.

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Primero, disertó sobre la adquisición del conocimiento, él cree que es alcanzado a través del aprendizaje de estructuras. Segundo, él disertó sobre el desarrollo de la habilidad para pensar matemáticamente, es decir, adquirir conocimiento a través de la aplicación de pensamiento puro, de percibir una estructura matemática, de desarrollar insight.

Hans Freudenthal, asesor de la disertación de los Van Hiele, Comenta sobre el origen de la teoría:

“Cuando los Van Hiele empezaron a enseñar no estaban preparados como sucede con muchos otros profesores; nadie les había contado como hacerlo. Por supuesto, ellos pasivamente experi-mentaron enseñar, quizás porque observaron a sus maestros hacerlo, pero esto no era suficiente. En tanto el tiempo transcurrió, tuvieron la oportunidad de discutir su forma de enseñar con unos y otros. Ellos sometieron sus propias acciones a la reflexión. Ellos se observaron a sí mismos cuando enseñaban, recordaron lo que habían hecho y lo analizaron. De hecho el pensamiento es una actividad continua, pero existen niveles relativos a esta actividad. En el nivel más alto, la acción del nivel mas bajo se convierte en objeto de análisis. Eso fue lo que los van Hieles reconocieron como característica sobresaliente de un proceso de aprendizaje, nombrándolo de la manera como ellos lo aprendieron enseñando. Ellos transfirieron esta característica del proceso de aprendizaje, que era la meta de su enseñanza, al proceso de aprendizaje de los alumnos quienes estaban aprendiendo matemáticas. Allí, ellos descubrieron niveles similares. Para mí, esto se parece a un descubrimiento importante” (Freudenthal, 1973, pg. 121).

Surge, así, el esquema de los niveles de Van Hiele, como también la semilla para poderlo extender, posiblemente, a distintas áreas de las matemáticas.

Postulados del modelo

El modelo de Van Hiele puede enunciase de la siguiente manera:

1. Existen distintos niveles razonamiento de los estudiantes, referidos a las Matemáticas.

2. Cada nivel supone una forma de comprensión, un modelo de pensamiento particular, de manera que un estudiante sólo puede comprender y razonar sobre conceptos matemáticos adecuados a su nivel de razonamiento.

3. Por tanto, el proceso de enseñanza debe adecuarse al nivel de razonamiento del es-tudiante. Una enseñanza que transcurra a un nivel superior al de los estudiantes no será comprendida.

4. El proceso de enseñanza debe orientarse a facilitar el progreso en nivel de razonamiento, de forma que ese progreso se haga de un modelo rápido y eficaz.

Descripción del modelo de Van Hiele

El modelo de Van Hiele proporciona una descripción del proceso de aprendizaje que postula la existencia de niveles de pensamiento, que no se identifican con niveles de habilidad computa-


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cional, y que podríamos clasificar como: Nivel 0 (predescriptivo). Nivel I (de reconocimiento visual), Nivel II (de análisis), Nivel III (de clasificación y relación) y Nivel IV (de reducción formal); aunque sobre éste ultimo, se tiene la propia afirmación de los Van Hiele como difícil-mente detectable y sólo de interés teórico. Así la aplicación de este tipo de modelo a una materia concreta necesita del establecimiento de una serie de descriptores para cada uno de los niveles estudiados que permita la detección de los mismos, por lo que parece razonable asignar un conjunto de condiciones a los niveles diseñados para que puedan ser considera-dos dentro de ese modelo: 1. Los niveles deben de ser jerárquicos, recursivos y secuenciales. 2. Deben ser formulados detectando un progreso del entendimiento como resultado de un proceso gradual. 3. Los tests (de cualquier tipo) que se diseñen para su detección deben de recoger la relación existente entre niveles y lenguaje empleando en cada uno de ellos y 4. El diseño debe tener como objetivo primordial la detección de niveles de pensamiento, sin confundirlos con niveles de habilidad computacional o conocimientos previos.

Niveles de pensamiento:

Niveles de pensamiento, en los cuales las personas pueden ser clasificadas. Los objetos para cada uno de estos niveles son los siguientes:

NIVEL 0. Predescriptivo. Los objetos son los elementos básicos del estudio. En este nivel, los alumnos reconocen los elementos básicos de estudio para el concepto tratado. Estos elementos pueden variar entre distintos conceptos.

NIVEL 1. De reconocimiento visual. Los objetos son propiedades que analizan los elementos básicos de estudio. Reconocen los elementos básicos de estudio en distintas situaciones y aprenden vocabulario relacionado con el concepto y a distintas relaciones entre los elemen-tos básicos.

NIVEL 2. De análisis. Los objetos son proposiciones que relacionan las propiedades. Analizan las relaciones entre los elementos básicos de estudio.

NIVEL 3. De clasificación, de relación. Los objetos son las ordenaciones parciales (sucesiones) de las proposiciones. Relacionan los elementos básicos de estudio y analizan sus propiedades llegando a dar definiciones verbales del concepto tratado.

NIVEL 4. De deducción formal. Los objetos son las propiedades que analizan las ordenacio-nes. Analizan el concepto en distintas situaciones y pueden llegar a hacer demostraciones formales.

Insight (Perspicacia, comprensión, penetración, entendimiento, “bombillazo”)

Los van Hiele se interesaron en la forma de encontrar y desarrollar los insight en su estudi-antes. (Se especifica en la página Número 17)

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Fases De Aprendizaje

Para promover un estudiante de un nivel de pensamiento al siguiente dentro de una materia (concepto), los van Hiele propusieron una secuencia de cinco fases de aprendizaje, a pre-scripción par la organización de la instrucción. Estas fases permiten seguir continuamente la manera en las cuales las ideas son generadas, refinadas, y extendidas.

Las fases son las siguientes:

1. Inquiry (Averiguar, indagar)El profesor interactúa con los estudiantes (en doble vía) conversando acerca de los objetos de estudio. Él profesor comprende cómo los estudiantes interpretan las palabras y dan alguna explicación de los tópicos a ser estudiados. Las preguntas se contestan y se hacen observaciones usando el vocabulario y objetos del tópico y de los objetos de estudio.

2. Directed orientación (Orientación directa)El profesor diseña cuidadosamente secuencias de actividades para la exploración de tópicos por parte de los estudiantes, los cuales comienzan a mirar qué dirección está tomando el estudio y como ellos llegan a familiarizarse con la característica de la estruc-tura. Muchas de las actividades en esta fase son tareas paso a paso que producen una respuesta específica.

3. Expliciting (Explicitación)Los estudiantes construyen el concepto desde experiencias previas refinando el uso de su vocabulario y expresando sus opiniones acerca de la estructura interna de estudio. Durante esta fase, los estudiantes comienzan a formar las relaciones del sistema de es-tudio, es esencial que los estudiantes hagan explícitamente las observaciones más que recibir explicaciones del profesor.

4. Free orientation (Orientación libre)Los estudiantes, ahora encuentran tareas multipaso, o tareas que puedan ser completa-das de diferentes maneras. .Ellos ganan experiencia encontrando sus propias maneras de resolver las tareas. Por la orientación a si mismos en el campo de investigación, muchas de las relaciones entre los objetos de estudio llegan a ser explícitas a los estudiantes.

5. Integration (Integración)Los estudiantes, ahora realizan los métodos de su ordenación y se forman una idea general (tienen’ un vistazo general). Los objetos y relaciones son unificados e interiorizados den-tro de un nuevo dominio de pensamiento. El profesor ayuda, en este proceso proveyendo unos recuerdos generales de lo que los estudiantes conocen, siendo cuidadosos de no presentar nuevas o discordantes ideas.

El objetivo, al término de estas cinco fases, es que el nuevo nivel de pensamiento sea al-canzado.


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Descriptores De Los Niveles De Razonamiento

Entendemos por descriptores, de los niveles de van Hiele, las principales características que permiten reconocer cada uno de esos niveles de razonamiento matemático, a partir de la actividad de los estudiantes. Otros descriptores de los niveles se pueden encontrarse en Burger y Shaughnessy (1986), Crowley (1987) o Fuys, Geddles, Tischler (1985), Gutiérrez y Jaime (1990) además de los trabajos ya citados de los Van Hiele.

Destaquemos, que precisamente, el enunciado y justificación de descriptores de los niveles para otras materias distintas de la geometría podemos considerarlo, en general, un problema abierto. Algunos trabajos de investigación que toman su basé directamente del modelo son confirmaciones de las ideas del modelo que, aplicadas a una materia concreta, han pro-ducido los resultados previstos, es decir, se han podido diferenciar y describir los niveles de pensamiento en los términos que hemos señalado. Otros trabajos de investigación han hecho aportaciones mas recientes porque han extendido el modelo a ámbitos diferentes de la geometría y han obtenido descriptores de niveles de los conceptos matemáticos tratados en cada una de sus investigaciones. Entre estas investigaciones desarrolladas destacamos las siguientes: J. 1and, (Universidad de Boston, 1991), J. L. Llorens (Universidad Politécnica de Valencia, 1994), P. Campillo (Universidad Politécnica de Valencia, 1999), A. de la. Torre, C. M. Jaramillo y P. V. Esteban (Universidad Politécnica. de Valencia, 2000), M. A. Navarro (Universidad de Sevilla, 2002).

Presentamos a continuación algunos ejemplos de descriptores cuyo enunciado se hace con referencia a aspectos geométricos.

Niveles de pensamiento aplicados a la geometría

Nivel 0 (predescriptivo)

Nivel I (de reconocimiento visual)

Los estudiantes reconocen las figuras geométricas por su apariencia global, Perciben las figuras como objetos individuales, sin abstraer sus propiedades para relacionarlas con otras del mimo tipo.

Pueden aprender cierto vocabulario para identificar las figuras geométricas (tal como cuadrado, rectángulo, etc.,).

Describen las figuras geométricas por semejanza con otros objetos que no necesariamente son figuras geométricas ni del tipo de las que están describiendo. Identifican la forma de la figura o la propia figura como un todo, sin distinguir partes que la forman, ni las propiedades matemáticas que la caracterizan.

Ilustremos con el siguiente ejemplo: si se le pregunta a un niño si una figura es un rectángulo, será capaz de identificarla correctamente. Sin embargo, es muy posible que la diferencie

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de un cuadrado, sin ver este último como una clase de rectángulo; menos aun, el niño no será capaz de explicar propiedades relativas a los lados del rectángulo, a sus ángulos, etc. Incluso dos rectángulos pueden ser identificados como figuras diferentes. Este nivel, es el que necesariamente debe de pasar cualquier concepto en cualquier nivel educativo, pero no sería correcto asociar este nivel con el nivel educativo más elemental, tampoco debemos de suponer que todos los alumnos alcanzan este nivel; ya que hay casos de alumnos que no están en este nivel al comenzar un concepto, sino que se encuentran en un nivel inferior, que denominamos Nivel 0 (predescriptivo). La separación de los alumnos que se encuentran en el Nivel 0 y que no han alcanzado el Nivel 1, se podrá determinar cuando el alumno no sabe distinguir un rectángulo en el ámbito geométrico del ejemplo.

Nivel II (de análisis)

Los estudiantes analizan las partes o elementos que componen una figura geométrica y sus propiedades.

Por la observación de esas partes, puede deducir otras propiedades de las figuras, general-izándolas a las figuras de una determinada clase.

No relacionan las distintas propiedades de las figuras geométricas, por lo que no pueden hacer clasificaciones de esas figuras basándose en sus propiedades.

Las deducciones y extensión de propiedades tienen un carácter informal.

Continuando con el ejemplo anterior, un rectángulo es visto ahora como una figura que tiene sus diagonales iguales, o el alumno puede percibir que 1 mt cuadrado también es un rectángulo. Un estudiante en este nivel sería capaz de describir un rectángulo enumerando las propiedades que percibe, pero no explicaría porque las diagonales de un cuadrado se cortan formando ángulos rectos. Sin embargo, puede reconocer y explicar esa propiedad, notando su carácter general para cualquier cuadrado, independientemente de su forma, cali-dad de dibujo, color, etc. Por tanto, en el Nivel II aparecen características que identificamos como el pensamiento matemático propiamente dicho, pues a partir de la observación o de la manipulación se abstraen propiedades y se generalizan. No obstante, esa capacidad es limitada, lo que puede manifestarse en clasificaciones incorrectas, ya que las propiedades aparecen como una lista, sin ninguna relación entre ellas.

Nivel III (de clasificación, de relación)

Los estudiantes relacionan las figuras y sus propiedades. Reconocen que unas propiedades se deducen de otras y son capaces de desarrollar secuencias de proposiciones para deducir que una propiedad se deriva de otra.

Sin embargo, no reconocen la necesidad del rigor ni la relación entre lo que han aprendido con otros sistemas deductivos que pueden ser semejantes.

Pueden seguir una demostración formal, pero generalmente no son capaces de reproducirla.


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El tipo de argumentación es informal (aunque correcta) y, frecuentemente, recurren a argu-mentos manipulativos.

Sin embargo, pueden clasificar lógicamente y aprender relaciones entre distintas clases de figuras. Pero, no comprenden la necesidad de la formalización (demostraciones con número) ni las estructuras axiomáticas.

Observemos que en resumen, podemos decir que la capacidad de hacer demostraciones, deducciones, marca la frontera entre los Niveles I-II y lII-IV. Así, un estudiante que razone en este nivel podrá hacer demostraciones relativas a propiedades de los ángulos de un rectángulo a partir de otras propiedades referidas a sus lados; sin embargo, no es capaz de distinguir la necesidad de esas propiedades, de fijar las condiciones mínimas para obtenerlas. Las definiciones y la clasificación serán correctas, pero no siempre responderán a la formal-ización propia del pensamiento matemático avanzado, en la relación de unas materias con otras, en las que determinadas propiedades que pueden representar papeles equivalentes, en la formulación de un sistema axiomático formal, es cuando se revela ese nivel superior que identificamos con el Nivel IV. Otra manifestación de ese nivel puede ser la comprensión de las técnicas que se utilizan en algunas demostraciones que, para el estudiante en el Nivel III tiene un sentido meramente casual, ya que en ese nivel las demostraciones pueden ser correctas, pero no responden al formalismo del rigor.

Frecuentemente, no se percibe la necesidad de ese rigor o de esa formalización que se ven como innecesarios desde ese Nivel III.

Nivel IV (de deducción formal)

Los estudiantes pueden analizar varios sistemas deductivos y los relacionan. Conocen propie-dades de un sistema deductivo tales como la conciencia la independencia y la completitud de sus postulados.

Los estudiantes conocen y valoran la importancia de la precisión al tratar con los fundamentos y con las interrelaciones de estructuras axiomáticas o formales. Una consecuencia práctica que se deduce de esos descriptores es que un estudiante, en este nivel superior, es capaz de llegar a plantear distintas demostraciones de algunas propiedades o de percibir que dos definiciones de un mismo concepto pueden ser equivalentes. Al mismo tiempo, relacionan distintos conceptos y propiedades dentro de un área de conocimiento o de un tema más general que lo englobe, captando qué son manifestaciones diferentes de un mismo hecho matemático. Recordemos que para este Nivel IV, van Hiele señalaba que presenta dificultades su discernimiento y que sola-mente tiene un interés teórico, (van Hiele, 1986; pp 47, 51)1). Luego, según esta referencia. No se podrá discernir sobre este Nivel, por ello, lo.” trabajos realizados hasta el momento se centrarán en encontrar los descriptos con relación al concepto estudiado, de los Niveles I, II Y III.

Propiedades de los niveles

Para que una clasificación en niveles pueda considerarse dentro del modelo de Van Hiele, es necesario que los descriptores de los niveles cumplan con unas propiedades específicas que

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enunciaremos a. continuación. Es prudente advertir que la nomenclatura que utilizaremos es la dada por Usiskin (1982).

Propiedad 1: (Secuencialidad fija)Esta propiedad la dio como hipótesis; van Hiele y fue validada por Usiskin (1982) y

Mayberry (1981): cada estudiante debe progresar a través de los niveles en una secuencialidad fija, esto es “Un estudiante no puede estar en un nivel n, de van Hiele sin haber superado el nivel n -1 (Usiskin 1982, pg. 5).

Propiedad 2: (Adyacencia)

El objeto de percepción del nivel n - 1 se convierte en el objeto de pensamiento del nivel n (Mayberry, 1981, pg. 1).

Podemos interpretar esta propiedad señalando que los niveles de van Hiele tienen una es-tructura recursiva puesto que en el nivel n hay determinadas cualidades del pensamiento que se utilizan implícitamente y cuyo uso explícito se manifiesta en el nivel n + 1. Desde este punto de vista, el proceso de enseñanza debe estar orientado a desarrollar la capacidad de razonamiento, debe centrarse en hacer consciente al estudiante de esa habilidad implícita. Para ello será necesario plantearse actividades en las que se requiera la utilización de dicha habilidad, ya que la prueba repetida y la experiencia son las que darán lugar al desarrollo de su forma de razonar. El papel de la experiencia en el aprendizaje es, por tanto, fundamental en el modelo de van Hiele.

Propiedad 3: (Distinción)

El nivel n requiere una reorganización o reinterpretación del conocimiento adquirido en el nivel n - 1, esto es la percepción de una nueva estructura.

Propiedad 4: (Separación)

Esta propiedad fue dada como hipótesis por Van Hiele y confirmada por: Mayberry en 1981, dos personas que razonen en diferentes niveles no podrán entenderse, en lo que se refiere al objeto de su razonamiento matemático. (Usiskin, 1982, pg. 5).

Propiedad 5: (Cada nivel tiene su propio lenguaje)

Hay una estrecha relación entre el lenguaje y los niveles hasta. El punto que cada nivel tiene un tipo de lenguaje especifico, de modo que las diferentes capacidades de razonamiento asociada a cada uno de los niveles de van Hiele no solo se reflejan en las formas de resolver problemas, sino que sobre todo, se manifiestan en la formas de expresarse y en el significado que se da o se puede dar al vocabulario especifico, a palabras como demostrar por ejem-plo. Esta palabra tiene significados típicamente diferentes según el nivel de razonamiento. Como ya señalamos, solo a partir del Nivel 111 “demostrar” tiene un significado semejante al que habitualmente le dan la mayoría de los matemáticos. Podemos hacer una precisión,


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porque el significado de la palabra o de la idea de demostración no siempre es la misma, ni siquiera entre los matemáticos, ni ha sido igual su significado en cada época histórica, Por ejemplo, en geometría. (Topología. Algebraica) se utilizan a. veces modos de demostrar que difícilmente serian aceptados por un especialista en Análisis matemático. A este respecto, puede ser interesante la referencia de Lakatos (1976).

Análogamente, demostraciones visuales no son consideradas demostraciones formales desde un punto de vista matemático riguroso. Estas demostraciones formales rigurosas solamente tendrán sentido en un Nivel IV. En un Nivel III pueden existir demostraciones que se entienden que están formadas por razonamientos lógicos, aunque los argumentos puedan ser informales. En el Nivel II “demostrar” tendría un significado consistente en comprobar que una afirmación se verifica en algunos casos o, incluso, sólo en el Nivel I. En este Nivel, el término aún tiene menos sentido matemático, porque el alumno lo interpretará en forma personal que puede ser impredecible. Todo lo anterior nos da un ejemplo de la dificultad para identificar los niveles, ya que como vemos un alumno puede demostrar en cualquier Nivel, aunque la expresión “demostrar” tenga un sentido totalmente distinto.

También es importante no confundir nivel con la habilidad de resolver algunos ejercicios o de contestar algunas preguntas. Un estudiante puede aparentar un nivel de razonamiento superior a.1 que realmente posee, si ha aprendido a. realizar rutinariamente actividades que podemos identificar como propias de un nivel superior. El caso típico es el que se deriva del aprendizaje memorístico de algunos estudiantes universitarios quienes saben hacer derivadas y limites, reproducir sus definiciones, pero no comprenden ninguno de los con-ceptos. De esta deficiencia tenemos la culpa los docentes, debido a los procesos de evalu-ación en los que prevalecen las habilidades rutinarias y la memoria, en vez de comprobar que se han entendido y asimilado los conceptos. La existencia de un lenguaje especifico de los niveles, como hemos puesto de manifiesto con la palabra demostración y que tiene significados distintos según el nivel de razonamiento, produce una incomunicación entre profesor y alumno cuando se habla para diferentes niveles de razonamiento, esto hace que el alumno no entienda las explicaciones del profesor, y también que el profesor no pueda entender las preguntas del alumno, que se sitúan en un nivel inferior de razonamiento, Disponer de instrumento relativamente sencillos, que permitan al profesor conocer el nivel de razonamiento de los alumno es por tanto, un objetivo importante cuando se pretende aplicar el modelo de van Hiele.

Propiedad 6 (Consecución)

El progreso de un nivel al siguiente se produce de forma gradual. Algunos investigadores (Hoffer, 1983, pg. 2H Y ss.; Fuys, Geddes, Tischler, 1985) han desglosado cada nivel de van Hiele en varias habilidades de razonamiento, de forma que solo se puede considerar adquirido un nivel cuando se manifiestan cada una de sus cualidades.

Estas cualidades no se adquieren todas de una forma simultánea, de modo que existe un periodo de transición en el que un estudiante puede manifestar simultáneamente habilidades de niveles contiguos. Algunos autores hablan de niveles intermedios que corresponderían los periodos de transición, cuando se manifiestan propiedades de un nivel y del siguiente, pero

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no se ha alcanzado todavía el nivel superior. Se han realizado algunos estudios que señalan el carácter regresivo que puede manifestarse en el nivel de razonamiento, sobre todo cuando todavía no se ha adquirido plenamente un nivel, o sea, que el alumno ante una pregunta se refugia para su contestación en el nivel de razonamiento anterior, que tiene plenamente adquirido; esto con el fin de manifestar una sensación de seguridad en sus respuestas.

El proceso de aprendizaje según el modelo de Van Hiele

Como señalábamos anteriormente, el modelo de Van Hiele no es solamente descriptivo, sino que es un modelo educativo completo por lo que propone un plan para favorecer el progreso en los niveles: “Estos niveles son inherentes a la elaboración del pensamiento; son inde-pendientes del método de enseñanza usado. Sin embargo, es posible que ciertas formas de enseñanza no permiten alcanzar los niveles superiores, pues los métodos del pensamiento usados en esos niveles permanecen inaccesibles a los estudiantes”. (Fuis Geddes, Tschler, 1984, pg. 246).

La idea central de Van Hiele, en lo que respecta a la relación entre la enseñanza de las matemáticas y el desarrollo de la capacidad de razonamiento, es que la adquisición por una persona de buenas habilidades de razonamiento es fruto de su propia experiencia. Él ter-mino experiencia se utiliza aquí no sólo en su acepción de experiencia de aprendizaje, sino en su sentido amplio, de modo que no Sólo se refiere a lo que se adquiere en las aulas, sino a todas las experiencias que pueden afectar la comprensión del concepto.

Van Hiele describe el paso de un estudiante de un nivel al siguiente como una función del aprendizaje: “La transición de un nivel al siguiente no es un proceso natural, tomando lugar bajo la influencia del programa de enseñanza aprendizaje”. (Van Hiele, 1984, pg. 50). El paso de un ‘nivel al siguiente sigue una acordada y especifica secuencia de fases de progreso.

Estas fases pueden ser comparadas con el “principio de fases consecutivas” de Polya, las de aprendizaje en ciclos de Dienes y la “dinámica del pensamiento matemático” de leone Burton (Burton, 1984, pg. 39). Con este punto de partida son posibles diferentes métodos de enseñanza que tengan como objetivo que el alumno realice determinadas experiencias Los métodos docentes que no serían adecuados, serán aquellos en los que el alumno tome una actitud pasiva.

“La maduración que lleva a un nivel superior tiene lugar de una forma especial. Se pueden revelar varias fases en ella (esta maduración debe considerarse, por encima de todo, como un proceso de aprendizaje y no como una maduración de tipo biológico). Por lo tanto es posible y deseable que el profesor ayude y acelere el proceso de aprendizaje. El objetivo del arte de enseñar es precisamente enfrentarse a la cuestión de saber cómo se pasa a través de estas fases y cómo se puede prestar ayuda al estudiante de forma eficaz”. (P. M. Van Hiele en Fuys, Geddes, Tichler, 1984, p, 246)

Las raíces de este modelo hay que buscarlas en la obra de Piaget, aunque con diferencias relevantes: admitiendo la existencia de varios niveles de razonamiento, Piaget piensa que el paso de un nivel a otro es función de desarrollo, Van Hiele del aprendizaje; la preocupación


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de Van Hiele estriba en cómo estimular el progreso de un nivel al siguiente. Piaget no ve la existencia de estructuras en un nivel superior como resultado del estudio del nivel inferior; en el modelo de Van Hiele se alcanza el nivel superior, si las reglas que gobiernan el nivel inferior han sido hechas explícitas y estudiadas, convirtiéndose así en una nueva estructura. Finalmente, sin ser lo último, Piaget no da importancia al lenguaje en el paso de un nivel al otro; en este modelo, cada nivel desarrolla su propio lenguaje característico de ese nivel.

Por lo tanto es importante tener en cuenta que para desarrollar este modelo, se debe tener un pensamiento y una visión constructivista, donde el maestro cumpla un papel de facilita-dor y mediador entre el conocimiento y el estudiante, permitiéndole espacios de reflexión a partir de situaciones relacionadas con el entorno.

e) El Constructivismo

Está muy relacionado con el Intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una creación de la mente humana, y que únicamente tienen existencia real aquellos obje-tos matemáticos que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas constructivistas van muy bien algunos planteamientos de Georg Cantor (1845-1918): “La esencia de las matemáticas es su libertad. Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis” (Davis, Hersh, 1988: 290).

El Constructivismo matemático es muy coherente con la Pedagogía Activa y se apoya en la Psicología Genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza la con-strucción de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede reemplazar.8

Entonces, es aquí donde se comienza a ver la importancia de adentrar al estudiante a un mundo donde las matemáticas y su medio no pueden separarse, por el contrario se debe ver una relación continúa de necesidad de explicar la una a través de la otra; es decir, los casos particulares de la vida explicarlos a través de una abstracción matemática convirtiendo lo concluido en algo general. Y las explicaciones matemáticas generales poderlas convertir en respuestas a casos particulares.

Todo este proceso de relacionar lo cotidiano con las matemáticas tiene un nombre simple “Las situaciones Problema” que en palabras de John Jairo Múnera Córdoba9, “Una situación problema la podemos interpretar como un espacio dotado de actividad matemática, en la cual, los estudiantes al intentar resolver los interrogantes interactúan con los conocimientos implícitos y dinamizan la actividad cognitiva, generando procesos de reflexión conducentes a la adquisición de nuevos conceptos. En el caso de las matemáticas, una situación problema

8 TomadodeldocumentodeLineamientosCurricularesdelMinisteriodeEducaciónNacional,página11.9 LicenciadoenEducación:MatemáticasyFísica,MagísterenEducación:Psicopedagogía(ÉnfasisenPensamientoLógicoMatemático).

DocenteeneláreadematemáticasdelaInstituciónEducativaPedroLuísÁlvarezCorreaydocentedecátedraenlafacultaddeeduca-cióndelaUniversidaddeAntioquia.

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la podemos entender, como un espacio para generar y movilizar procesos de pensamiento que permitan la construcción sistemática de conceptos matemáticos”10.

Este espacio permite que el estudiante interactué con otros compañeros convirtiendo el aula de clase en el lugar ideal para un buen aprendizaje a través de algunos procesos como el de comunicación, cohesión y estructura de un grupo.

“¿Y cómo se transmiten a los estudiantes los instrumentos de problematización e indagación? Hay una sola forma de hacerlo: emplearlos, transformando a los estudiantes de receptores pasivos en coautores de los resultados, logrando que utilicen, que se hagan cargo de sus potencialidades como seres humanos. En otros términos: hay que energizar o dinamizar las capacidades de los estudiantes, tanto como las del cuerpo docente”.José Bleger, “El juego en el proceso de Aprendizaje”, pág. 23

La comunicación: La principal cualidad del proceso de comunicación es que el estudiante desar-rolla un poder de interacción con el otro, y el maestro deja de ser el ser supremo que lo sabe todo para convertirse en otro interlocutor en el transcurso de la comunicación con sus alumnos.

La cohesión: En un grupo que interactúa constantemente se produce cierta cohesión haci-endo que logren a pesar de las diferencias llegar a una “consciencia común”, es decir, es el momento en que un conjunto de personas después de un proceso de comunicación logran acuerdos a pesar de las diferencias de pensamiento.

La estructura: En un grupo la estructura puede variar o puede conformarse a partir de subg-rupos con diferentes características que permiten el reconocimiento de algunos personajes. Estos subgrupos pueden determinar como elegir o no a una persona para pertenecer a su grupo según sus propios valores. En la educación participativa no es el maestro quien dis-tingue las cualidades de sus alumnos como un ser determinante y dueño de la verdad sino que son los mismos alumnos quienes se encargan de coordinar su grupo.

Desde este punto de vista de la actividad grupal, el maestro debe cumplir un papel impor-tante en el aula de clase y no debe ser ni el que cree que tiene la verdad en sus manos, ni el irresponsable que no se compromete en el proceso de aprendizaje de sus alumnos.

“Mencionamos a continuación algunos aspectos orientadores sobre las funciones esenciales del coordinador grupal, y de orientador sobre sus funciones esenciales.

a) Facilita la comunicación.

• Gesta un clima propicio para la libre expresión.• Trabaja para la liberación de la expresión en todos sus códigos como la vía regia para el desarrollo de la inteligencia sensible.• Propone actividades que estimulan el conocimiento entre los miembros del grupo.• Ayuda al grupo a desatar la curiosidad, incitando a la indagación y exploración posible de la realidad.


10 Artículoenprensa.RevistaFormándonosMaestros.InstituciónEducativaNormalSuperiordeEnvigado.Nº3,2006.

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b) Estimula la cohesión grupal.

• Establece consignas que promueven la aparición de la solidaridad y cooperatividad grupal.• Garantiza que la participación grupal contemple el protagonismo de todos.• Contiene diferentes criterios, tratando de no hacer alianzas con determinados sectores en detrimento de los restantes.• Indaga en el grupo sus costumbres, normas y valores con el propósito de respetar sus propios aprendizajes y no imponer los propios

c)Potencia la imaginación.

• Trabaja con la liberación y la decodificación de todas las comunicaciones (verbales y no verbales) ya que son la fuerza motivacional subyacente a todo aprendizaje significativo.

• Propone juegos lúdicos que eleven el pensamiento simbólico a niveles originales.• Fomenta la iniciativa y la autonomía, al correrse del lugar del saber y de la certeza del conocimiento.

d) Protege la tarea o meta del grupo.

• Clarifica la meta de trabajo y emite consignas precisas para la tarea que el grupo debe realizar.• Centraliza el esfuerzo en vincular la tarea de los participantes con el objetivo o meta del grupo.• Valoriza el carácter complementario de cada una de las exposiciones o acciones real-izadas.• Favorece en el grupo el análisis de las dificultades y la elaboración de propuestas que orienten la búsqueda de soluciones.• Está atento a las reiteraciones que aparezcan en el grupo detectando si éstas marcan el límite de la producción grupal o la aparición de los obstáculos.

e) Incentiva la capacidad crítica o de evaluación en el grupo

• Respeta y permite la aparición de críticas que faciliten la profundización de la tarea.• Estimula la relación entre las experiencias grupales y los objetivos planteados en el grupo.• Ejercita la evaluación durante todo el proceso de aprendizaje con el propósito de recti-ficar el rumbo de la misma.• Se incluye desde su rol de coordinador como una función, también a evaluar por los miembros del grupo.”11

Tratando de estimular este trabajo en grupo y teniendo en cuenta que necesitamos conver-tir el aula de clase en un lugar creativo donde el estudiante pueda responder a la pregunta diaria de “¿para qué me sirven las matemáticas?”, hemos pensado en ejecutar el proyecto teniendo en cuenta que las transformaciones geométricas tienen aplicación desde las siguientes actividades:

11 Tomadodellibro“Eljuegoenelprocesodeaprendizaje–CapacitaciónyPerfeccionamientodocente,pág.30-31.

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1. Carpintería y ebanistería:

En este oficio le daremos importancia a la “simetría” de las formas para ensamblar algu-nas piezas con otras y la talla de la madera como utilización de la geometría. Asimismo es importante destacar la importancia de la medición en este proceso y su relación con lo geométrico.

Carpintería

Los trabajos de carpintería incluyen la realización de piezas para la construcción, como arma-zones, puertas, ventanas y suelos, y la elaboración de todo tipo de mobiliario en madera común. El arte y la técnica de cortar, trabajar y ensamblar madera para hacer estructuras es una de las labores más antiguas del carpintero. Antes de la utilización generalizada del acero y del hormigón en la construcción, el carpintero era el responsable de construir la estructura de los edificios. En los últimos tiempos, la función del carpintero en este terreno se ha centrado en la construcción de casas pequeñas y en el montaje de armazones para fraguar el hormigón.

Las nuevas técnicas de ensamblaje, perfeccionadas en las últimas décadas, han multiplicado las aplicaciones de la madera y el trabajo de los carpinteros. La utilización de estructuras y componentes prefabricados o por módulos, en vez de productos en bruto, sigue aumentando. En la construcción por módulos, se realizan secciones enteras en las fábricas y se colocan más tarde en la obra.

Ebanistería

Los ebanistas trabajan en el diseño y la elaboración de muebles, generalmente con maderas de calidad; ajustan las piezas con gran precisión, aplicando al mismo tiempo sus conocimien-tos sobre las características y propiedades de cada variedad de madera.

La elaboración de las ensambladuras es una de las labores más importantes en el oficio del ebanista y del carpintero. Los muebles antiguos más valiosos se ensamblaron de tal forma que han mantenido su belleza y su utilidad hasta el presente.

Tipos de ensambladuras

Hay muchos tipos de ensambladuras para asegurar piezas de madera. La elección de la ens-ambladura depende de la calidad de la madera, de las tensiones a las que va a estar sometida y de los gustos del artesano. Los carpinteros experimentados suelen elegir la ensambladura menos elaborada entre las adecuadas para el trabajo que se va a realizar. Muchas ensam-bladuras necesitan un ajuste muy preciso y el uso de cola o pegamento; otras se aseguran con cuñas o con puntas y clavos.


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La ensambladura más sencilla y más familiar es la que se utiliza para hacer cajas. Las dos piezas de madera se colocan en ángulo recto y se aseguran con clavos, tornillos o cola. El machihembrado es una de las más antiguas, y se utiliza sobre todo en la instalación de par-qués o tarimas. Este tipo de junta se realiza actualmente en la serrería, y el carpintero sólo se encarga de acoplar las piezas.

de forma que los cortes de las piezas coinciden en la misma línea o en ángulo recto. Se llama inglete al corte en ángulo de 45°. Los cortes para la ensambladura en inglete suelen hacerse a mano serrando la madera en la ingletadora, que es una caja con unas ranuras que guían el corte recto o a inglete.

La ensambladura de dado o por incisión, muy utilizada en estanterías, libreros, baldas y cajones, se realiza cortando un surco en la pieza con una fresa. El borde de la otra pieza se encaja y encola, y a veces también se clava.

La ensambladura de ranura es similar, sólo que el surco se realiza en un extremo de una de las piezas y tiene un lado abierto.

La ensambladura a media madera es una de las más versátiles. Hay varios tipos: en cruz, que se suele utilizar en construcción, en esquina y en T, que se utilizan para elaborar muebles.

La ensambladura a cola de milano y la de muesca se emplean en la fabricación de muebles de calidad. La de cola de milano se utiliza para unir con fuerza dos piezas en ángulo recto. En algunos casos los carpinteros hacen taladros e insertan unas clavijas pequeñas de madera para hacer ensamblajes ocultos.

La ensambladura a espiga y mortaja se utiliza para unir dos piezas perpendicularmente. Una de las piezas se corta para que tenga una prolongación rectangular en un extremo, la espiga. Esta prolongación se introduce y ajusta en un hueco vaciado en la otra pieza, que es la mortaja. Hay variaciones en este tipo de ensambladura, sobre todo en la profundidad del corte y si se utilizan clavijas y cuñas para fortalecer la unión.12

1� Microsoft®Encarta®2006.©1993-2005MicrosoftCorporation.Reservadostodoslosderechos.

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La talla geométrica. Estilo románico.

La talla geométrica es la ideal para iniciarse en este arte. Es sencilla, ya que no precisa va-ciados ni modelados y es exigente, pues realizarla con precisión proporciona resultados muy vistosos, mientras que los defectos se detectan muy fácilmente. Vamos a conocer alguna de las posibles variedades de la talla geométrica y cómo iniciarnos en el diseño de nuevas formas para luego tallarlas.

El kerbschnitt. La talla con cuchillas.

El kerbschnitt es una variedad de talla geométrica que se practica con unas cuchillas especia-les. Realmente podemos utilizar nuestras gubias para conseguir los mismos efectos, aunque la forma de trabajar sobre la madera es diferente ya que estos cuchillos se usan con una sola mano, de una forma similar a cuando practicamos incisiones en un palo con una navaja.

El románico.

Es un poco impropio llamar a este tipo de talla geométrica como “románico”, ya que este movimiento se extiende, sobre todo en la arquitectura, en temática mucho más compleja y variada; Además, muchas de las formas que podremos meter en este “saco”, no son típica-mente románicas, sino prerrománicas, es decir, anteriores a este estilo. Diremos entonces que nos extendemos históricamente desde la caída del imperio romano, año 476 d.C. (este arte fue introducido en el occidente de Europa por los pueblos llamados “bárbaros”), en lo que se conoce como el “prerrománico”, hasta comienzos del segundo milenio, en el que llega a su apogeo el “románico” propiamente dicho y se extiende hasta el 1200 aprox., fecha del inicio del estilo gótico.


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Cáncel del iconostasio de Santa Cristina de Lena (Asturias-España

Después de esta breve ubicación histórica, pasaremos a ver las características que va a tener esta decoración: No usaremos los relieves “hacia afuera”. Toda la talla parte de una forma inicial, plana o curva, y se dirige hacia el interior, con cortes más o menos profundos. Los motivos los conseguiremos produciendo hendiduras y/o planos de corte con una con-figuración geométrica regular y habitualmente repetida para conseguir motivos muy ricos y complejos.13

Cáncel del iconostasio de Santa Cristina de Lena (Asturias-España)

El Arte a partir de las obras de Escher:

A partir de las obras de Escher podemos encontrar una relación entre la geometría y el arte, podemos ver la aplicación de las transformaciones en sus trabajos al realizar algunas “tes-elaciones” se utilizan simetrías, rotaciones, translaciones y homotecias.

MAURITS CORNELIS ESCHER (1898-1972) Nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda) y ya desde pequeño se intuían sus especiales dotes para el arte a pesar de no destacar en el colegio. Comenzó los estudios de Arquitectura pero acabó especializándose en técnicas gráficas y trabajo sobre madera (disciplina que ya le había sido inculcada por su padre G.A. Escher) en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de la ciudad de Haarlem donde tuvo como profesor a S. Jesserum de Mezquita.

Escher viajó por diversos países de Europa, sobre todo por Italia donde acabó establecién-dose durante 10 años en la ciudad de Roma (1924-1934). Además de de Italia conoció el Sur

13 Sacadodelapágina:http://cursosgratis.emagister.com/frame.cfm?id_user=4895302590284876119047867702714&id_centro=43204110021466565570676950524550&id_curso=32470070041967656954535669704555&url_frame=http://www.asturtalla.cjb.net

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de Francia y España. Precisamente en nuestro país encontró una de sus mayores fuentes de inspiración: la Alambra. Los precisos e intrincados detalles ornamentales fueron la viva imagen de los esquemas geométricos que tanto le entusiasmaban. Se puede decir que a raíz de su visita a la Alambra y a la mezquita de Córdoba la obra de Escher, que se había basado en la representación de paisajes hasta entonces, varió su rumbo hacia los dibujos matemáticos que tan famoso lo han hecho. Tras su larga estancia en la capital transalpina se trasladó a Suiza, luego a Bruselas (1937-1941) y más tarde a Baarn, en su país natal, donde residiría hasta su muerte el 27 de Marzo de 1972.

Su prodigiosa visión abstracta nos legó una interesante y extensa obra en la que se con-jugan el arte y las matemáticas de una manera asombrosa. Precisamente fue eso lo que le cerró las puertas de los círculos artísticos de la época, aunque por otra parte despertara gran devoción entre matemáticos, físicos y cristalógrafos. Escher escribió: ‘ Con frecuencia me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas’. Su trabajo fue co-brando reconocimiento, sobre todo, durante los últimos años de su vida y actualmente ha adquirido tal fama que incluso se venden posters, puzzles, camisetas y corbatas con sus dibujos como tema.

Mosaicos y teselaciones

Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc. El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de distintas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales....

Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.


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Módulo Situaciones de AprendizajeEl azar y la probabilidad

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.

Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equi-láteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

2. La arquitectura:

Encontramos en la realización de los planos y maquetas la utilización de transformaciones geométricas al realizar proyecciones o al utilizar la “perspectiva” como técnica.

Perspectiva

Es la representación grafica de un objeto, en la cual se proyecta su forma y sus detalles de una manera correcta tal como aparece.

La palabra perspectiva proviene de la palabra italiana prospectiva que significa polígono de trazos.

La perspectiva es la base fundamental del dibujo. Sin el conocimiento de sus más elemen-tales reglas no es posible dibujar una figura u objeto de manera correcta y en justa relación con cuanto lo rodea, los objetos se pintan no como son sino como se ven.

La perspectiva es el único medio importante y principal, para crear la sensación de espacio, y para representar a las personas y cosas sobre el plano superficial de un cuadro con su aspecto natural.

La perspectiva que es un medio pero no un fin en el arte, debe ser utilizada como guía pero nunca como un fundamento único que anule la gracia, la soltura y establezca una rigidez muy mecánica.

Teselación de Triángulos

Teselación de Cuadrados

Teselación de Hexágonos

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Gracias a la perspectiva que se desarrolla sobre una superficie plana, generalmente se comprende o se aprecia mejor que cualquier otro tipo de dibujo; ya que representa la re-alidad de la forma en tres dimensiones largo, ancho y profundidad, tal como se percibe naturalmente.

La perspectiva también es muy utilizada en la arquitectura en el momento de la elaboración de los planos son la representación gráfica y exhaustiva de todos los elementos que plantea un proyecto. Constituyen, los planos, la geometría plana de las obras proyectadas de forma que las defina completamente en sus tres dimensiones.

Los planos nos muestran cotas, dimensiones lineales superficiales y volumétricas de todas construcciones y acciones que comportan los trabajos los desarrollados por el proyectista.

Los planos definen las obras que ha de desarrollar el Contratista y componen el documento del proyecto más utilizado a pie de obra.

Procedimiento y normas de ejecución.

Los planos son los documentos más utilizados de los que constituyen el proyecto y por ello han de ser completos, suficientes y concisos, es decir, incluir toda la información necesaria para poder ejecutar la obra objeto del proyecto en la forma más concreta posible y sin dar información inútil o innecesaria.

Los planos han de contener todos los detalles necesarios para la completa y eficaz represen-tación de las obras. Los planos deben ser lo suficiente descriptivos para la exacta realización de las obras, a cuyos efectos deberán poder deducirse de ellos los planos auxiliares de obra o taller y las mediciones que sirvan de base para las valoraciones pertinentes.

Las dimensiones en todos los planos, generalmente, se acotarán en metros y con dos cifras decimales. Como excepción, los diámetros de armaduras, tuberías, etc. se expresarán en milímetros, colocando detrás del símbolo la cifra que corresponda.

En los planos de taller, mobiliario, maquinaria, etc. las dimensiones se suelen acotar en mm. Deberá poder efectuarse, salvo en casos especiales, las mediciones de todos los elementos sin utilizar más dimensiones que las acotadas.

En particular, de no incluirse despiece detallado, deberá poderse deducir directamente de los planos, todas las dimensiones geométricas de los mismos, mediante las oportunas notas o especificaciones complementarias que las definan inequívocamente.

En cuanto a las estructuras se refiere, contendrán, en su caso: Detalles de los dispositivos especiales,tales como apoyo o de enlace. Igualmente se harán indicaciones sobre las contra flechas que convenga establecer en los encontrados y procesos de ejecución.


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En cada plano deberá figurar en la zona inferior derecha del mismo, un cuadro con las car-acterísticas resistentes del hormigón, y de los aceros empleados en los elementos que este plano define, así como los niveles de control previstos

Tipos de planos y sus características

Los planos pueden ser generales y de detallé tanto para la ejecución de obra en campo como de los equipos en taller.

Su número no debe prefijarse y habrá que realizar tantos planos como sean necesarios, te-niendo en cuenta su uso casi exclusivo en la obra y a todos los niveles.

Planos de situación y emplazamiento.

Los planos de situación y emplazamiento son aquellos planos que muestran la ubicación de las obras que define el proyecto en relación con su entorno a escala altamente reducida.

Aunque no podemos establecer diferencia semántica entre los conceptos de situación y emplaza-miento es habitual y la costumbre avala el denominar plano de situación al de ubicación puntual de las obras del proyecto y emplazamiento al plano de escala algo mayor donde se sitúan las obras de forma apreciable y en él queda constancia de su orientación y distribución general.

En el plano de situación se ha de mostrar con claridad la situación de las obras dentro de un municipio, comarca, isla, provincia o incluso nación. En los planos de situación debe quedar constancia del cercano y lejano entorno con los accesos por carretera, los municipios próximos, las ciudades distantes más importantes, puertos, aeropuertos, fábricas, y demás temas de posible interés a efectos de proyecto y de obra.

En los planos de emplazamiento se esquematizarán los límites de la zona del proyecto de forma que se distingan en planta sus formas e interrelaciones locales con su entorno próximo.

Planos de planta general

En el plano de planta general se indican a escala reducida todos los elementos del proyecto que nos permiten situar sus partes dentro de un todo. La planta general viene a ser una vista aérea del conjunto.

Las escalas a utilizar para la planta general varían en función de las magnitudes de la obra proyectada.

Planos de planta.

La planta, como proyección vertical, es indispensable para la definición geométrica de las obras proyectadas. El número de planos de planta de un proyecto puede ser numeroso y será

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tal que permita conocer con precisión y exactitud todo aquello que pretendemos ejecutar.En un proyecto de edificación las distintas plantas a dibujar serían, por ejemplo:

•Plano de excavación.•Plano de cimentación.•Plano de planta 1º.•Plano de planta 2º.•Plano de cubierta.

En los planos de planta deben situarse los servicios complementarios (agua, electricidad, gas, teléfono, desagües, etc.), no obstante cuando la inclusión de estos servicios pueda confundir o complicar un plano de planta se repetirá su dibujo solo para aquellos cometidos, apareciendo de esta forma los planos que denominamos, planos de instalaciones:

Alzados

Los alzados de una figura geométrica representan la proyección o vista horizontal de esa figura en sentido normal a sus distintos ejes.

El número de planos de alzado será función de las caras de la figura y de sus ejes de simetría. En una edificación, por ejemplo, habrá que dibujar tantos alzados como fachadas disponga. La escala a utilizar para los alzados debe ser análoga a las utilizadas para las plantas.

Secciones.

Las secciones tanto longitudinales como transversales son indispensables para conocer el interior de las piezas diseñadas y por tanto poder ejecutarlas. Las plantas y alzados por si solas no pueden definir un volumen irregular, para la dimensión tridimensional de una figura geométrica es preciso recurrir a las secciones.

Las escalas a utilizar en las secciones serán análogas a las utilizadas en las plantas y en éstas además se debe indicar el lugar por donde se secciona.

Esquemas

En la mayoría de los proyectos es necesario desarrollar esquemas de las diferentes redes de distribución interior (electricidad, agua, gas, aire comprimido, etc.) para el dibujo de estos esquemas no se utiliza escala alguna. Los esquemas nos sirven también para representar procesos químicos, cadena de producción de una distribución en planta, etc.

Para las redes de distribución interior en las edificaciones podemos utilizar el código de colores normalizado según UNE 1063. Es conveniente siempre utilizar en los esquemas la simbología normalizada, o en su defecto, la adoptada por las firmas especializadas.


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Definiciones geométricas

En algunos proyectos habrá formas en las que no serán suficientes las plantas, los alzados y secci-ones para su completo conocimiento y definición. En estos casos será preciso recurrir a las teorías de la geometría y a los sistemas de representación para establecer de forma idónea tanto la defin-ición del dimensionado como los métodos constructivos a emplear en las futuras obras a ejecutar. Hemos de recurrir a estas definiciones geométricas, por ejemplo, para dibujar una cubierta en forma de hiperboloide o paraboloide.

Detalles

En un proyecto no debe quedar ningún elemento por definir. Los detalles los podemos dibu-jar en el propio plano donde aparece el elemento a detallar o en un conjunto de planos que denominaremos planos de detalles, o bien combinando ambas soluciones.

Son numerosos los elementos a definir en estos planos: detalle de forjado, detalle de ar-queta, detalle de sumidero, detalle toma de tierra, etc. Todos estos detalles pueden ir incluidos en los planos de planta, sección o alzado. No obstante es preciso en ocasiones realizar planos concretos de detalle, tales como: detalles de carpintería: puertas y ventanas, Las escalas utilizadas en los detalles son altas y varían entre 1:50 y 1:2

Perspectivas y maquetas

En los proyectos de edificación es costumbre dibujar una perspectiva del conjunto de las obras proyectadas, plano éste que sólo tiene carácter informativo.

Las maquetas, como representación tridimensional de las obras proyectadas, pueden ser útiles no solamente a efectos informativos sino que pueden también resolver algún problema plant-eado en el proyecto o descubrir que algunas de las soluciones aportadas no son viables.

Es aconsejable elaborar maquetas en proyectos de gran envergadura y cuando se plantean en base a un concurso público ya que no siempre el Tribunal encargado de su selección está compuesto en su totalidad por especialistas.

Para las maquetas se deben escoger aquellas escalas que permitan visualizar las obras proyectadas de forma satisfactoria.

Escalas.

Escala es la relación entre la longitud del segmento dibujado y la longitud por él represen-tada.

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Reducciones.

Las escalas que normalmente se utilizarán para las reducciones, son las indicadas en la norma y se deducen todas a partir de:1:11:21:2,51:5

Ampliaciones.

Para las ampliaciones se utilizarán normalmente las escalas indicadas en la norma: 2:15:110:1

Tamaño natural es la escala 1:1. Todas las escalas empleadas se indicarán en la carátula del plano, destacando la principal con caracteres de mayor tamaño. Las escalas secundarias se indicarán también en las partes correspondiente del dibujo.

En general, todo será dibujado a escala, Las cotas de las partes fuera de escala serán sub-rayadas.

• LOGROS CON SUS RESPECTIVOS INDICADORES DE LOGRO A ALCANZAR Y ESTANDARES ASOCIADOS

ESTÁNDARES

Pensamiento numérico

• Resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones.• Identificar, en el contexto de una situación, la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos.

Pensamiento espacial

• Comparar y clasificar figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos, vértices) y características• Identificar relaciones de congruencia y semejanza entre figuras• Construir objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura. • Identificar el ángulo como giros, aberturas, inclinaciones en situaciones estáticas y dinámicas.


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• Hacer conjeturas y verificar los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños.

Pensamiento métrico

• Diferenciar atributos mensurables de los objetos y eventos (longitud, superficie, volumen, capacidad, masa – peso, tiempo y amplitud angular) en diversas situaciones.• Utilizar y justificar el uso de la estimación en situaciones de la vida social, económica y en las ciencias.• Reconocer y usar la proporcionalidad para resolver problemas de medición (de alturas, cálculo de tamaños de grupos grandes).

Pensamiento variacional

• Representar y relacionar patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

Logros

• Utiliza las relaciones y propiedades de los números Naturales en la solución de problemas relacionados con las transformaciones geométricas.• Encuentra soluciones numéricas razonables a situaciones del contexto afines con las transformaciones geométricas.• Clasifica figuras bidimensionales según sus propiedades y características.• Construye diseños que relacionen lo bidimensional con lo tridimensional.• Identifica las posibles aplicaciones del concepto de ángulo en las transformaciones geométricas.• Realiza hipótesis sobre la aplicación de las transformaciones geométricas a diseños plasmados en el plano.• Reconoce atributos mensurables de los objetos.

• Realiza estimaciones sobre los cambios en las medidas de las figuras al aplicarle una transformación.

• Reconoce la proporcionalidad entre figuras al ejecutar alguna transformación geométrica• Reconoce patrones numéricos en las relaciones entre figuras.• Reconoce las propiedades de las transformaciones en situaciones de la vida cotidiana.

Indicadores de logro:

• Reconoce las transformaciones en diferentes oficios como los de arquitecto, artista y car-pintero.• Encuentra solución numérica a situaciones relacionadas con la traslación.• Encuentra solución numérica a situaciones relacionadas con la rotación.• Encuentra solución numérica a situaciones relacionadas con la homotecia.

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• Encuentra solución numérica a situaciones relacionadas con la simetría.• Clasifica las transformaciones según sus propiedades.• Identifica propiedades de figuras bidimensionales en diseños arquitectónicos, artísticos y de carpintería.• Identifica el ángulo como giro en la rotación de objetos.• Identifica el ángulo como abertura en situaciones de la vida cotidiana.• Identifica el ángulo como inclinación en algunas actividades laborales.• Plantea hipótesis de cómo construir un diseño a través de la aplicación de transformacio-nes geométricas.• Realiza estimaciones sobre las posibles transformaciones aplicadas en un diseño.• Realiza mediciones para justificar sus resultados.• Encuentra proporcionalidad entre una figura y otra.• Analiza patrones en las propiedades de dos figuras semejantes.

Metodologia

•En un nivel inicial se hará una introducción a algunas actividades comunes del hombre como: la del carpintero, artista y arquitecto, que se pueden relacionar con las transfor-maciones geométricas. El estudiante debe realizar un reconocimiento de ciertos objetos que se pueden relacionar con el tema a tratar y hacer una comparación entre los distintos lugares visitados.

Este primer nivel se desarrollara a partir de una actividad donde se realizaran visitas a cada uno de los lugares donde se desempeñan algunas personas en los oficios antes men-cionados contestando preguntas diseñadas anteriormente por el maestro.

Se entregaran guías donde se harán preguntas de descripción y reconocimiento visual, se realizara el trabajo en subgrupos de 3 personas.

El maestro debe cumplir un papel de orientador en la búsqueda de respuestas y el estu-diante de investigador.

• En el segundo nivel los estudiantes analizan que propiedades geométricas encontraron en las dos actividades anteriores, clasificando las propiedades comunes a los oficios ana-lizados.

Este segundo nivel se desarrollara a través de una socialización de respuestas a las pre-guntas problematizadoras planteadas en la guía.

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5Tiempo 8 horas 4 horas 4 horas 16 horas 8 horas


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El maestro debe ser un moderador a la hora de participar en la socialización, no debe dar respuestas, sino confrontar las respuestas de los estudiantes.

• En un tercer nivel el estudiante debe realizar representaciones de las relaciones entre los oficios estudiados y la posible aplicación de la geometría en ellos.(tablas o gráficos)

Este nivel organiza el análisis hecho anteriormente para que el estudiante llegue a dar una definición verbal de las relaciones encontradas.

• En un cuarto nivel el estudiante debe realizar un diseño en alguno de los oficios es-tudiados y debe demostrarle matemáticamente a los compañeros la relación de la función escogida con las transformaciones geométricas. Se permitirá que el estudiante escoja en que labor hacer su diseño y se organizaran grupos de 3 estudiantes para desarrollarlo.

En este nivel se puede pretender que el estudiante llegue una deducción formal del concepto manejado y lo pueda aplicar en distintas situaciones próximas.

En estos dos últimos niveles el maestro debe cumplir un papel de asesor en su pro-ceso de construcción.

Al finalizar el proceso se realizara una sesión de confrontación de lo presentado por ellos y el concepto como tal.

Esta confrontación se hará a través de recursos tecnológicos y ayudas de páginas de Internet sobre este tema.

El maestro aquí, cumple el papel de mediador entre lo real y lo abstracto del conocimiento del estudiante, pero se convierte en el que entrega todas las herramientas para la búsqueda de respuestas.

Este proceso se desarrollará aproximadamente en un período de tres meses posiblemente dividido de la siguiente forma:

Guía de identificación

1. Cuales profesiones utilizan las siguientes herramientas:

2. Describe cada una de las anteriores profesiones:

3. De estas profesiones conoces a alguien que lo sea, ¿Cuál de ellas y porque la ejerce?

4. Te gustaría ejercer alguna de estas profesiones, ¿Cuál y por qué?

a. Martillo b. Pincel c. Papel para planos d. Serrucho

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5. Di de quien se esta tratando en los siguientes enunciados:

a. Persona dotada de la virtud y disposición necesarias para alguna de las bellas artes.

b. Persona con técnicas de trabajar y dar forma a la madera para crear, restaurar o reparar objetos funcionales o decorativos.

c. Persona que utiliza método gráfico capaz de representar el espacio tridimensional sobre una superficie plana.

SITUACIÓN N 1: OBSERVACION DE OFICIOS EN MI ENTORNO

Actividad N 1: visita a la carpintería

Se hará una visita a un carpintero en su carpintería.

En la cual tendrían la oportunidad de ver las herramientas, pueden preguntar sobre las téc-nicas, y el proceso de construcción de un mueble cualquiera.

Luego ellos complementaran la siguiente guía:

GUÍA Nº 1:

1. Describe cuales son las herramientas, técnicas y formas que tiene un carpintero para construir un mueble (cama, silla, mesa, etc.).

2. Contesta las siguientes preguntas a partir de lo observado:

a. ¿Cómo fue el proceso para construir el mueble?

b. ¿Qué importancia tenían las medidas en la construcción del mueble?

c. ¿Qué propiedades debían cumplir las piezas para que encajaran correctamente?

d. Un carpintero necesita construir una cama de 1,20 mtrs. de ancho por 2,00 mtrs. de largo pero inicialmente tenia un modelo de 0,6 mtrs. de ancho por 1 mtrs. de largo. Haz un dibujo mostrando la diferencia entre las dos camas.


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Actividad N 2: visita de un arquitecto

Se buscara que un arquitecto o delineante de arquitectura visite el aula de clase y les pro-porcione la información necesaria a los alumnos sobre la aplicación de las transformaciones a la realización de planos arquitectónicos.

En el momento del encuentro con el arquitecto los alumnos tendrán la oportunidad de pre-guntarle sobre el plano y realizar la siguiente guía.

GUÍA N 2:Contesta las siguientes preguntas según lo observado en la visita:

• ¿Los muros por que se dibuja con dos líneas paralelas y gruesas?

• ¿Cómo se dibujan las ventanas?

• ¿Cómo se identifica el espesor del vidrio, el de los marcos y además el espesor del muro?

• ¿Por qué se debe detallar las columnas cuando se dibujan estas en perspectiva, en facha o en alzado?

• ¿Cómo se representa el giro que hace la puerta?

• ¿En cuáles perspectivas se subdivide la perspectiva lineal?

• ¿Por qué se dice que algo esta dibujado en perspectiva matemática?

• ¿Cómo hacen para entender las medidas del plano con respecto a la realidad?

•¿Qué es lo que nos permite saber el ángulo visual en perspectiva?

Pregúntale al arquitecto ¿Qué propiedades deben cumplir los cables para que la forma de la estructura no cambie? ¿Si quiero agregar otro forjado que condiciones debe cumplir para no dañar la estructura diseñada?

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Analizar una maqueta de un edificio donde 4 personas están ubicadas en las cuatro esqui-nas y cada uno de ellos observa desde diferentes puntos. Dibujar la parte que crees que observa cada una de esas personas:

Actividad N 3: visita a un museo

Se decorara un salón antes de la visita de los alumnos con las obras de Escher sobre tese-laciones en el plano y se les pedirá que respondan las siguientes preguntas a partir de lo observado.

GUIA Nº 3:

A partir de las obras vistas en la exposición contesta las siguientes preguntas:

• ¿Qué figuras observas en cada una de las obras?

Obra 1 Obra 2 Obra 3


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• ¿En la obra Nº 1 en que posiciones se encuentra el pez rojo y que punto tienen en co-mún?

• ¿Qué movimiento hace el lagarto verde de la obra Nº 1?

• ¿Cuántas figuras observas en la obra Nº 2, cuáles son?

•Las imágenes encontradas en la obra Nº 2. ¿Siempre se encuentran en un mismo punto y de la misma forma? Justifica tu respuesta.

• ¿En la obra Nº 3 que cambios vez en la imagen del unicornio mirando de abajo hacia arri-ba?

• ¿Qué cambios vez en la imagen del unicornio de la obra Nº 3, mirando de izquierda a de-recha?

•ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LOS PROYECTOS

Carpintero:

Se le pedirá al estudiante que realice un diseño para una talla en madera de una estrella de 4 puntas.

Las instrucciones para realizarla serán las siguientes:

Para trazarla, (primero en papel, que es más fácil), realizaremos un cuadrado de 3x3 cm. aproximadamente y trazaremos las diagonales. A continuación marcaremos el incentro (punto donde se cortan las bisectrices) en cada uno de los cuatro triángulos que tenemos. ¿Qué? ¿Qué es eso del incentro y las bisectrices?

INCISO GEOMÉTRICO: Trazado de las bisectrices de un triángulo y del punto donde se cortan (incentro).

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Dado un triángulo cualquiera (1), haciendo centro en uno de sus vértices, por ejemplo en “A”, trazamos un arco cualquiera con el compás que corte a los dos lados en dos puntos, (en el dibujo “m” y “n”). Usando estos dos puntos como centro, trazamos sendos arcos, que se cortarán en un punto “o” (2). La línea que une el vértice “A” con “o” y su prolongación forman la bisectriz del ángulo “A”, por lo que aprovechamos para definir la bisectriz como la línea recta que pasando por el vértice de un ángulo, lo divide en dos partes iguales. En el dibujo (3) hemos hecho lo mismo con el ángulo “B”, calculando su bisectriz y por último, en (4) repetimos la operación para el “C”. El punto donde se cortan dos cualesquiera bisec-trices de un triángulo (y por lo tanto también las tres), es el punto “i”, llamado “incentro” del triángulo y tiene la característica de ser el punto que equidista de los lados, por lo que podemos trazar la circunferencia “inscrita” al triángulo, utilizando el incentro como centro y la distancia desde él a los lados como radio.

Si has hecho todos los pasos hasta ahora deberías tener algo así:

¿Hay diferencias? Pues no debería haber muchas. Yo he incluido en el gráfico alguna cosa más, pero es para seguir con la explicación. Bien, he representado las bisectrices con trazo discontinuo y no las he prolongado más allá del incentro. Si nos fijamos un poco en el resul-tado, vemos que no es necesario realizar todas las bisectrices para conseguir los puntos. De hecho, dado que los triángulos que estamos formando son isósceles, las bisectrices que parten de los ángulos centrales de cada uno de los triángulos, son horizontales o verticales y con el cálculo de una sola de las bisectrices, las otras se pueden calcular fácilmente con el compás.


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Es importante marcar bien los puntos de confluencia de las bisectrices (los incentros), ya que van a determinar las aristas de la estrella cuando la tallemos. En este gráfico he añadido el dibujo de la veta de la madera y unas flechas. Representan la dirección que debemos seguir a la hora de tallar. Para que te hagas una idea, las líneas de trazo continuo representan las aristas que van a quedar “arriba”, es decir a la altura del plano de la tabla y las de trazo discontinuo son las que van profundizando hasta el incentro, el punto más bajo de la talla.

La manera de tallar esto es marcar con el cincel de esquina desde los vértices, y siguiendo las líneas discontinuas, hasta el incentro, profundizando de menos a más. Cuando completemos las 3 marcas en cada triángulo, ya podemos coger el formón para terminar la estrella. Las flechas nos indican la dirección de avance del formón, o sea, el ataque de la madera. Sí, ya se que hay un par de cosillas raras. En dos lados tenemos flecha doble y en otros dos no hay flecha. Pues bien, no es ningún error. Donde tenemos flecha doble significa que es indiferente el sentido que llevemos, ya que estamos cortando totalmente perpendicular a la veta, con lo que el corte será perfecto siempre (si la herramienta está bien afilada, claro). Donde no hay flecha es un poco más compleja. Depende de pequeñas variaciones en la posición de la fibra de la veta. Realmente estamos cortando muy paralelos a la dirección de la veta, por lo que en algunos casos será necesario ir de derecha a izquierda y en otros, al contrario. No lo sabremos hasta que metamos la herramienta e intentemos cortar. Si el corte es fácil y limpio, estamos en la dirección correcta; si se atasca y arranca la madera, debemos parar y cambiar de dirección.

En este ejemplo, he hecho 4 estrellas de cuatro puntas juntas, aunque lo ideal es que em-pecéis sólo con una. La razón de que hiciera cuatro en vez de una, es para que comprobéis cómo un elemento tan sencillo de tallar, puede crear conjuntos muy agradables cuando se combina repetidas veces.

Elabora nuevos diseños inventados por ti y realiza un análisis de que tipo de transformacio-nes geométricas se pueden aplicar en este procedimiento.

Artista:Se le pedirá al estudiante que realice un diseño de acuerdo a los parámetros de Escher, así:

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¡Hagamos mosaicos!

Una forma sencilla de conseguir mosaicos consiste en deformar los polígonos de un mosaico regular - formado por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares - como en el ejemplo. El fundamento de la técnica es simple: eliminar una parte de un lado del polígono para añadirla en otro. Repetiremos este par de acciones siguiendo siempre el mismo criterio hasta que obtengamos la figura que deseemos que encajará con el resto en virtud del proceso de construcción que hemos seguido.

Luego realiza tu propio mosaico o teselación y realiza un análisis de que tipo de transfor-maciones geométricas se pueden aplicar en este procedimiento.

Arquitecto:Se le pedirá al estudiante realizar un plano de la escuela con las convenciones de diseño.

Dibujo del espacio en un plano

El saber interpretar un plano, que es un dibujo bidimensional, se puede llevar a un dibujo tridimensional, (a la perspectiva), con mucha más facilidad.

En un plano se encuentran muchos elementos arquitectónicos fijos, los cuales tienen sím-bolos predeterminados como son:

Muros, ventanas, columnas, puertas, closet. En un plano arquitectónico también se pueden ubicar elementos decorativos y sus diseños pueden variar como lo son: sillas, mesas, sofás, muebles de cocina, camas, mesas de noche, aparatos sanitarios, armario, etc.


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Muros

Al dibujar un muro se debe hacer siempre con dos líneas paralelas, gruesas, puesto que al verlo desde arriba este se encuentran cerca del observador. Los muros por lo general oscilan entre 0.12 m, 0.15 m, y 0.20m de espesor, siendo él más usual el de 0.15m.Ventanas

Para dibujar ventanas se hace con línea delgada, porque al verlas en planta (desde arriba) están mas lejos del observador, aquí se deben mostrar el espesor del vidrio, el de los marcos y además el espesor del muro en línea delgada.

Columnas

Las columnas se dibujan en línea gruesa, representando los ejes de las mismas con líneas delgadas y punteadas en el centro de la columna. Cabe anotar que por lo general las columnas no llevan ningún tipo de decoración cuando se dibujan en planta, pero si se debe detallar más cuando se dibujan estas en perspectiva, en fachada o en alzado.

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Puertas

Como se puede apreciar en el siguiente gráfico, las puertas al igual que las ventanas se dibujan en línea delgada, en las puertas sencillas y las puertas dobles además de delgadas deben dibujarse en forma continua.

En el caso de las puertas de vaivén, se observa que para representar el giro que hace la puerta, se utiliza líneas delgadas y punteadas.

ClosetComo se ilustra en el siguiente gráfico, son estas las formas más comunes de dibujar closet en planta, siendo el de las líneas horizontales a cada 0.5m la más usual, especialmente cuando se dibujan planos arquitectónicos, constructivos y demás planos que no requieren mucha decoración. En planos de decoraciones emplea frecuentemente el otro tipo de closet, el cual semeja los ganchos de la ropa colgados en su respectivo sitio. Se puede también utilizar en el dibujo de planos decorativos el primer tipo de closet.


Ejemplo:

Teniendo en cuenta las anteriores convenciones, realiza un plano de tu escuela y a partir de ella, construye una maqueta analizando que tipo de transformaciones geométricas se pueden aplicar en este procedimiento.

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Evaluación

La evaluación será de los procesos llevados a cabo en el aula de clase de la siguiente forma:

La resolución y el planteamiento de problemasDesde la búsqueda de respuestas a la relación de diferentes actividades diarias y las transfor-maciones geométricas el niño debe plantearse incógnitas sobre cuales son las características que hacen que surja la necesidad de utilizar las matemáticas en lo cotidiano.

Es a través de la investigación y el planteamiento de hipótesis donde se puede hacer una evaluación continúa al proceso del estudiante.

El razonamientoPara que el estudiante demuestre que su proceso de razonamiento está latente debe mostrar señales de:

• Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.• Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.• l- Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.• Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.• Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.

La comunicaciónEn varias de nuestras actividades propuestas lo esencial es que se realice una socialización de las respuestas a las preguntas planteadas, las posibles hipótesis planteadas y la argu-mentación de las mismas. Es entonces, cuando debemos estar pendientes de las respuestas lógicas de los estudiantes y de la capacidad para argumentar sus ideas.

La modelaciónLa forma de describir ese juego o interrelación entre el mundo real y las matemáticas es la modelación.

Los estudiantes por medio de los oficios comunes de carpintería, arquitectura y arte podrán encontrar regularidades que permitan ver la utilidad de las matemáticas en la vida y tendrán que demostrar de qué forma están relacionados.

La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientosEn este proceso cumplen un papel importante las operaciones, la medición correcta, el uso de la calculadora, etc.

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Al elaborar conjeturas, los estudiantes deben demostrar que los resultados a partir de ellas tienen un apoyo en un cálculo correcto.

Las conclusiones como una visión

Este proyecto no se pudo aplicar debido a que las autoras de él no ejercen en la básica secundaria, el diagnóstico si se efectuó con la ayuda de un amigo colega y esperamos en el próximo año poder aplicarlo con la ayuda del mismo.

Aún así pensamos que al realizarlo podemos visionar lo que queremos lograr con el mismo:

Este trabajo permitirá que:

• Los alumnos reconozcan todas las transformaciones geométricas desde su contexto y sobre todo en los oficios tal como la de arquitecto, artista y carpintero.

• Noten la importancia de los procesos matemáticos en todo nuestro quehacer.

• Logren comparar y clasificar figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos, vértices) y características.

• Alcancen a identificar relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.

• Construyan objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura.

• Identifiquen el ángulo como giros, aberturas, inclinaciones en situaciones estáticas y dinámicas.

• Hagan conjeturas y verifiquen los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños.


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Rodríguez de Villamaría Rodríguez Gilma, Estructuras Matemáticas.

Secretaria de Educación para la Cultura de Antioquia, Interpretación e Implementación de los Estándares Básicos de Matemáticas.

JARAMILLO LOPEZ Carlos Mario, DUARTE PEDRO Vicente Esteban, El Modelo Educativo de Van Hiele, 4 de Octubre de 2002.

Ministerio de Educación Nacional, Lineamientos Curriculares del área de matemáticas, Edición. Magisterio, Santa fe de Bogota, D. C., 1998.

Odette D. Jalil N., La perspectiva como expresión en el dibujo, julio del 2001.

Gandulfo de Granato Maria Azucena, Taulamet de Rotelli, Lafont Batista, Martha Raquel, El juego en el proceso de aprendizaje, Buenos Aires, Editorial Humanitas.

http://www.mineducacion.gov.co/1621/propertyvalue – 31539.html

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/geometria.html

Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.

http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/Geometria/Actividades/Transformaciones/in-troduccion_transformaciones_geometricas.htm

Artículo en prensa. Revista Formándonos Maestros. Institución Educativa Normal Superior de Envigado. Nº 3, 2006.

http://cursosgratis.emagister.com/frame.cfm?id_user=4895302590284876119047867702714&id_centro=43204110021466565570676950524550&id_curso=32470070041967656954535669704555&url_frame=http://www.asturtalla.cjb.net

http://www.uv.es/%7Ebuso/escher/index_es.html

http://usuarios.lycos.es/eschermania/bio.html

http://mosaic.uoc.edu/practicas/Matematicas/igarciamanu_pec1/pec1.swf

Bibliografía

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Anexos

ANEXO 1

Evaluación de conocimientos previos

NOMBRE:

INSTITUCION:

1. Dibuja las siguientes figuras y describe sus características:

CARACTERISTICAS FIGURA

Triángulo equilátero

Triangulo Isósceles

Triangulo Escaleno

Triangulo Rectángulo

Cuadrado

Rombo

Rectángulo

Trapecio

Paralelogramo

Polígono de más de 4 lados

Semicírculo


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2. Escribe dentro de cada figura, el número o los números correspondientes a su nombre:

1 Cuadrado.

2. Circunferencia

3. Triángulo rectángulo

4. Trapecio

5. Rectángulo

6. Hexágono

7. Pentágono.

8. Circulo

9. Triangulo isósceles

10. Triangulo escaleno

3. ¿Qué debe hacerse con la figura para que ocupe la posición punteada?:

Circunferencia

Circulo

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4. Para ti que es un ángulo

5. Mide con el transportador los siguientes ángulos, e indica cuales de ellos son iguales:

6. Dibuja dos ángulos opuesto por el vértice:

7. Ubica en el plano cartesiano las siguientes parejas ordenadas y descubre cual es la figura oculta:

A. (2,1) B. (4,1) C. (6,1) D. (6, 4) E. (7, 4)

F. ( 6, 6) G. ( 3, 6) H.( 1, 4) I. ( 2, 4)

8. En las siguientes figuras trázale una línea y descubre cual queda en dos partes iguales:


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Diana Marcela RodriguezSor Maria Nelly Vasquez Ech.Nilda Valencia JaramilloMarleny Rodriguez

Jardin, Noviembre de 2006

Unidad No.6

Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos.

Las variables climaticas en el desarrollo del pensamiento estadístico o estocastico en forma experimental

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En vista que se tiene la estación meteorológica en la Institución Educativa Miguel Valencia se busca multiplicar esta herramientas en los centros Educativos David L. Crozzier y Rai-mundo Rojas con el fin de propiciar un encuentro de reflexión científica donde se desarrollen habilidades creativas, comunicativas e investigativas.

A partir de una metodología constructivista basada en el análisis de datos recolectados mediante instrumentos como pluviómetro, anemómetro y rosa de los vientos.

Con la puesta en práctica de este proyecto pretendemos proponer nuevas estrategias de enseñanza de las matemáticas, donde los estudiantes sientan agrado por aprender haci-endo; utilizando conocimientos no solo en el aula de clases sino también en el entorno donde comparten su diario vivir, propiciando espacios y prácticas que les ayuden a adquirir un aprendizaje significativo.

“LAS VARIABLES CLIMÁTICAS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO O ESTOCÁSTICO EN FORMA EXPERIMENTAL”, es una situación pensada y diseñada por un grupo de maestros del municipio de Jardín, en el marco del diploma “DESARROLLO DE COMPETENCIAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA DEL DEPARTAMENTO DE ANTIOQUIA”.

Las docentes Diana Marcela Rodríguez, Sor María Nelly Vásquez E, Nilda Valencia J, Marleny Rodríguez, pretenden aprovechar la estación meteorológica que se encuentra en la Institución Educativa Miguel Valencia, para potenciar procesos hacia el desarrollo del pensamiento matemático. En este caso elaboraron una situación relacionada con el pensamiento estocástico y con el pensamiento métrico, la cual se desarrolló con los estudiantes de los grados tercero y quinto de la Institución Educativa Miguel Valencia y los centros educativos David L. Croizzier y Raimundo Rojas.

Las actividades que se llevaron a cabo, dan cuenta de procesos de exploración, medición y manipulación de instrumentos propios de la estación, los que permiten analizar situaciones de aleatoriedad, organizar y clasificar datos, plantear y responder preguntas en el campo científico, interpretar cualitativa y cuantitativamente datos, identificar regularidades, entre otras, relacionadas con los estándares de matemáticas para la los grados 1 a 5.

El desarrollo de la situación permitió evidenciar el interés de los estudiantes cuando se les pone en contextos de otras ciencias y de la vida cotidiana, para analizar y comprender con-ceptos matemáticos. Además no se centró en el juego por el juego, ni en el manejo simple de materiales concretos, sino en el desarrollo de conceptos propios de la estadística, a través de la observación, la medición y análisis de datos; teniendo en cuenta que conceptos como el azar y la probabilidad pueden aprenderse, como en este caso, en la predicción del tiempo.

Presentación

Introducción

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PREGUNTA PROBLEMATIZADORA

¿Cómo utilizar las estaciones meteorológicas y la base de datos de la Institución Edu-cativa Miguel Valencia y cómo proyectarla a los centros Educativos David L. Crozzier y Raimundo Rojas en el desarrollo del pensamiento estadístico o estocástico en los grados tercero y quinto.

•ESTANDARES RELACIONADOS AL PENSAMIENTO ALEATORIO EN LOS GRADOS 1º A 3 º

Organización de datos

1. Clasificar y organizar datos (relativos a objetos reales o eventos escolares) de acuerdo con las cualidades o atributos.

4. Representar datos relativos a su entorno usando objetos concretos, pictogramas y dia-gramas de barras.

8. Resolver y formular preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo.

Medidas de posición y variabilidad

2. Interpretar cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar.

3. Describir situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos.

5. Identificar regularidades y tendencias en un conjunto de datos.

Probabilidad e inferencia

6. Explicar desde su experiencia la posibilidad e imposibilidad de ocurrencia de datos co-tidianos.

7. Predecir si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro.

ESTANDARES RELACIONADOS AL PENSAMIENTO ALEATORIO EN LOS GRADOS 4º Y 5 º

Organización de datos

Introducción


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1. Interpretar información representada en tablas y gráficas (de barras, diagramas de líneas y diagramas curriculares).

2. Comparar diferentes representaciones del mismo conjunto de datos

Medidas de posición y variabilidad

3. Interpretar información representada en tablas y gráficas (de barras, diagramas de líneas y diagramas circulares).

5. Comparar y describir la distribución de un conjunto de datos.

6. Usar e interpretar la media (promedio).

Probabilidad e inferencia

4. Hacer conjeturas y poner a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos.

MARCO CONCEPTUAL

A través de los años podemos comprobar una constante variación en las condiciones climáticas asociadas a las distintas estaciones del año, que golpean a nuestro pueblo por las continuas lluvias o largas sequías y conlleva a la perdida de cultivos o inversiones para el sector productivo.

Muchas personas en nuestro país se hacen grandes interrogantes sobre los fenómenos que se presentan durante el año. El campesino es quien más sufre las consecuencias climáti-cas, por ende lo lleva a encontrar alternativas en sus prácticas tradicionales como lo es el calendario agrícola, según las fases de la luna, entre otras.

Las respuestas o cuestionamientos son dados según las diferentes culturas que se manejan en nuestro entorno.

Mediante la construcción participativa de los lineamientos curriculares de matemáticas (MEN 1998) se enriquece la perspectiva respecto a la naturaleza e importancia de contribuir al desarrollo del pensamiento aleatorio, esta es la finalidad de los currículos de matemáticas.

El pensamiento aleatorio ha estado presente a lo largo de este siglo, en la ciencia, en la cultura y en la forma cotidiana de pensar.

Las estaciones meteorológicas son instrumentos que nos permiten calcular los diferentes estados del tiempo, donde los estudiantes se plantean interrogantes acerca de la variedad del clima y adquieren compromisos para aplicar los saberes en el entorno donde interactúan.

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Además comprender la variedad del clima; como el tiempo atmosférico y la influencia de éste en el desarrollo de las actividades de las personas.

Se hace necesario el aprovechamiento de las estaciones meteorológicas de la Institución educativa Miguel Valencia, las cuales se conciben como un elemento dinámico que conl-leva a aprendizajes científicos y que involucran todos los sentidos, el uso de la razón y la experiencia. Con el fin de explorar e interpretar los datos, relacionarlos con otros, conjeturar, buscar configuraciones cualitativas, tendencias, oscilaciones, tipos de crecimiento, buscar distintas correlaciones de causalidad y calcular, reinterpretar datos, criticarlos, leer entre líneas, hacer simulaciones, saber que hay riesgos en las decisiones basadas en inferencias, contribuyendo así, al desarrollo del pensamiento aleatorio y al aprendizaje significativo.

DIAGNOSTICO

Los estudiantes del grado 3º y 5º de la Institución Educativa Miguel Valencia y los centros educativos David L. Crozzier y Raimundo Rojas (ver fotografía 1) oscilan entre los 7 y 14 años.

Proceden de las veredas, Floresta, Macanas, Tapado, Casiana, Gibraltar, la Arboleda, Jardín y Verdún.

Fotografía 1

La población beneficiada es un total de 67 estudiantes. Sus condiciones económicas son en promedio nivel 1 y 2, vienen de hogares en su gran mayoría constituidos por papá, mamá, y aproximadamente de dos a tres hijos, y el nivel educativo de los padres es bajo. El 90% de los padres son agricultores y las madres son amas de casa.

Los estudiantes son colaboradores, espontáneos e inquietos por la investigación, interactúan y comparten con sus compañeros y familias saberes y experiencias que les permiten adquirir habilidades y destrezas para contribuir al desarrollo del pensamiento.


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En la institución educativa Miguel Valencia se cuenta con estaciones meteorológicas y aún no se conocen, pues el trabajo con ellas solo se da en la secundaria, además los estudiantes de otros centros educativos se inquietan por conocerlas y saber cual es su funcionalidad, presentan inquietudes frente al qué, cómo, y con qué realizar la medición de las variables climáticas.

LOGROS E INDICADORES DE LOGRO

Logro

Fomentar en los estudiantes del grado 3º y 5º de los centros educativos David L. Crozzier, Raimundo Rojas e Institución Educativa Miguel Valencia espíritu investigativo creando y aprovechando herramientas meteorológicas que les permitan adquirir conocimientos rela-cionados con el pensamiento aleatorio y variacional de manera práctica y creativa.

Indicadores de logro

• Utilizo datos para analizar el estado del tiempo y su variación.• Práctico el conocimiento estadístico en mi entorno con el fin de mejorar la capacidad de

análisis y observación • Deduzco y aplico conceptos estadísticos en el análisis climático.• Desarrollo la creatividad y participación en los procesos de aprendizajes, en las diferentes

áreas del conocimiento.• Describo cualitativamente soluciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural,

dibujos y gráficos.

•NARRACIÓN DE LOS PROCEDIMIENTOS LLEVADOS A CABO EN EL AULA

•SITUACIÓN 1: CARRUSEL DE RECONOCIMENTO DE LAS TRES ESTACIONES METEOROLOGICAS DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA MIGUEL VALENCIA

OBJETIVO

Sensibilizar a los estudiantes acerca de la importancia de las herramientas meteorológicas y su utilidad dentro del entorno.

Momento 1

Los 31 estudiantes se dividieron en 3 grupos, cada uno acompañado por un docente, en cada estación un estudiante del grado 11 de la I.E. Miguel Valencia daba las explicaciones acerca del funcionamiento y aplicabilidad de los instrumentos meteorológicos: pluviómetro, que es un instrumento que sirve para medir la cantidad de agua que cae sobre la superficie del suelo, por ende la que ha caído en la región, se mide en milímetros.

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En la primera estación encontramos un sistema electrónico donde se observaron algunos instru-mentos como el pluviómetro, anemómetro y la veleta, se dio la explicación de cada uno de ellos; la temperatura, la dirección y velocidad del viento, además la cantidad de agua que cae.

A través de una pantalla se observan los datos que los estudiantes registran para enviar a la NASA.

En el recorrido surgieron inquietudes como: María Isabel preguntó ¿por qué el pluviómetro deber estar alto?, Cristian, le respondió por qué si no estuviera alto algún perro lo tumbaría y regaría el agua y no sería fácil tomar los datos.

Sebastián se paró en frente de la rosa de los vientos y 3 compañeros con él, cada uno iba diciendo en que dirección estaba ubicado cada niño.

Posteriormente ellos decían, pero faltan otros niños para que se ubiquen en los puntos donde la flecha se para.

Momento 2

Observación del funcionamiento de la estación meteorológica de SENICAFÉ que consta de: heliógrafo, hidrómetro, pluviógrafo, termómetro de máxima y mínima. Se les explicó la importancia que tiene ésta para la región.

Los alumnos formularon preguntas como: ¿por qué se quema el papel en el heliógrafo?, ¿por qué la aguja del pluviógrafo no se mueve en este momento?; se aclararon las dudas con la ayuda de los estudiantes del colegio, lo que hizo que ellos se motivaran y sintieran interés por construir los instrumentos y explorar lo aprendido a través de la práctica.

Momento 3

Visitamos la estación manual que consta de pluviómetro, rosa de los vientos y termómetro. Aquí se recoge la información y se compara con la tomada en la estación electrónica.

Victor preguntó ¿deben coincidir los datos al ser comparados? ¿qué pasa sino son iguales? Se le explicó que lo más lógico es que sean los mismos por eso cuando se toman los datos debe hacerse con mucha precisión, por que de lo contrario debe volverse a realizar todo el proceso.

También se les explicó que a través de la observación de las nubes se puede hacer un diag-nóstico del estado del tiempo, y las probabilidades que existen de caer o no lluvia sobre la superficie y que intensidad pueden tener éstas.

Momento 4

Nos dirigimos con los estudiantes al aula taller, allí se les explicó como se construyen los instrumentos observado en el carrusel, también se les explicó que es la NASA y que relación tiene con la institución.


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Se hizo un ejercicio de cómo se saca la velocidad del viento, se le dijo a un niño que soplara el anemómetro y otro cronometrara el tiempo y se les explicó que se cuentan las vueltas y se divide por el tiempo que tarda en parar y el resultado es la velocidad del viento. (ver fotografía 2)

Fotografía 2

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Motivación y concientización de la importancia y utilidad de las estaciones meteorológicas en su entorno.

Integración de los centros educativos David L. Crozzier, Raimundo Rojas e Institución edu-cativa Miguel Valencia y retroalimentación del aprendizaje mediante experiencias signifi-cativas.

Los estudiantes lograron resolver las inquietudes mediante la observación y comparación de las diferentes estaciones meteorológicas, lo cual sirve para adquirir conocimientos de una manera experimental a través de un aprendizaje significativo.

•SITUACIÓN 2: MUESTRA INTERACTIVA Y TOMA DE LAS MEDICIONES UTILIZANDO INSTRUMENTOS DE LAS ESTACIONES METEOROLOGICAS

Se considera que la búsqueda de respuesta a preguntas que sobre el mundo físico hacen los niños es una actividad rica y llena de sentido, si se hace a través de recolección y análisis de datos.

Teniendo en cuenta la toma de datos, análisis y comparación que le permiten al estudiante explorar, investigar y observar; a través de esto se realiza la toma de datos como dirección del viento, cantidad de lluvia que cae sobre la tierra y velocidad del viento

OBJETIVO

Interactuar con los instrumentos meteorológicos de la estación mediante experimentación, con el fin de desarrollar el pensamiento aleatorio.

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Momento 1

En esta situación los estudiantes partieron desde el salón a la estación meteorológica man-ual, donde ya se había hecho la inducción sobre los instrumentos meteorológicos que allí se manejan. Se les recordó el concepto de cada instrumento y su funcionalidad y observaron muy bien cada uno de ellos.

Momento 2

Al comenzar la observación de los instrumentos el pluviómetro estaba en un lugar inasequible a los estudiantes, bajamos para que ellos midieran la cantidad de agua llovida, posterior-mente comenzaron a contar milímetros hasta donde llegaba el agua.

Todos los estudiantes pasaron observando y midiendo, luego para concretar los resultados recolectados por cada uno hicimos una mesa redonda donde expresaban los datos que habían tomado, a unos niños les dio 6, a doce estudiantes les dio 7 y al resto les dio 8; siendo ésta la medida más precisa en el pluviómetro.

Luego algunos estudiantes que obtuvieron como resultado 7 decían: me falto contar bien. Posteriormente plasmaron el concepto de la veleta, luego cada uno hizo la descripción de la dirección del viento, girándola para todos los lados, cada vez en distinta posición y ellos expresaban la dirección en los cuatro puntos cardinales, con los intermedios de este y oeste. Se notó interés para estar atentos y responsables en las actividades, aunque a unos les dio dificultad y decían: me costaba decir este y oeste y decían oriente y occidente al encontrar una ubicación, donde debían decir suroeste y sureste, por lo tanto se quedaban en el sur y el norte sin los otros puntos (este y oeste). (ver fotográfia 3)

Fotografía 3


• Se despertó el interés por la utilidad de cada uno de estos instrumentos en la estación meteorológica.

• Algunos estudiantes construyeron su propio anemómetro en sus casas para observar la velocidad del viento allí.


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• Tener la oportunidad de manipular los instrumentos meteorológicos de la estación manual como: pluviómetro, anemómetro y veleta.

• Cada estudiante realizó toma de datos contando los milímetros en el pluviómetro para sa-ber la cantidad de lluvia caída y las vueltas en el anemómetro para encontrar la velocidad del viento.

• Por medio de la observación los estudiantes realizaron una descripción de los instrumentos y lograron sacar sus propias conclusiones.

•SITUACIÓN 3: CONSTRUCCIÒN MANUAL DE INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN, PLU-VIOSIDAD, VELOCIDAD Y DIRECCIÓN DEL VIENTO.

OBJETIVO

Construir algunos instrumentos de medición que le permitan al estudiante desarrollar su creatividad y análisis e ir más allá de la percepción, adquiriendo un aprendizaje significativo, siendo el estudiante el protagonista de su propio conocimiento.

Momento 1

En el primer momento se hizo una socialización de presaberes de los estudiantes de con el fin de indagar sobre sus conocimientos.

Los y las estudiantes dieron sus opiniones acerca de los instrumentos como anemómetro, pluviómetro, rosa de los vientos y veleta.

Momento 2

Los estudiantes observaron los instrumentos de medición y los manipularon, siguieron las instrucciones para tomar algunos datos con ellos. Los estudiantes del grado 3º y 5º es-tuvieron muy motivados con la actividad, y se organizaron por equipos para construir los instrumentos de medición.

Momento 3

Los estudiantes atendieron a las instrucciones dadas para comenzar las actividades. (ver fotografía 4)

El grado 5º tenía algunas inquietudes acerca de la elaboración de los instrumentos y pre-guntaron ¿qué es un balín? ¿Para qué le sirve?

Posteriormente en la construcción del anemómetro se pudo observar que este daba vuelta con más facilidad con el balín que sin él.

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Muchas inquietudes surgieron y ellos mismos fueron dando respuestas en el desarrollo de todas las actividades, las cuales implicaban medición, análisis y comparación.

El papel del docente en esta actividad pasa a ser el de guía, con el fin de que los cono-cimientos nazcan de las mismas experiencias de cada uno, enriquecidas con las del equipo de trabajo.

Fotografía 4


• Reconocimiento de algunos instrumentos de medición del clima.

• Construcción y utilización de los instrumentos elaborados con materiales de desecho y con mucha creatividad.

• Trabajo en equipo donde compartieron ideas e inquietudes

• Proyección de algunos instrumentos de la estación meteorológica de la I.E. Miguel Valencia en los CER. David L. Crozzier y Raimundo rojas.

Finalmente los estudiantes utilizaron los instrumentos de medición, adquiriendo así apren-dizajes colectivos que les permiten desarrollar muchas competencias y valorar el trabajado en equipo, donde se fomenta el liderazgo, la tolerancia y la autonomía.

Además algunos estudiantes que en el aula no demuestran interés por las actividades se mo-tivaron mucho en el trabajo, adquiriendo conocimientos sobre los instrumentos meteorológicos como el pluviómetro donde manejaban la medición, el análisis y la comparación de datos.

•SITUACIÓN 4: TOMA DE DATOS UTILIZANDO INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

OBJETIVOS

Tomar datos de pluviosidad utilizando los instrumentos meteorológicos, durante el mes de octubre, con los estudiantes del grado 3º y 5º.


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Momento 1

Los estudiantes tomaron sus pluviómetros construidos con anterioridad y se dirigieron a colocarlos en el patio de la escuela bien asegurados con el fin de tomar los datos de lluvia de todo el mes de octubre.

Momento 2

Durante el mes se tomaron los datos de lluvia y se hicieron comparaciones de unos con otros para observar los que variaban continuamente y los que coincidían en su medida. Cada dato se anotaba diariamente en una tabla como la siguiente:

Lluvia del mes de octubre (tabla 1) (cambar por escaneado, tabla de un estudiante)

Día Cantidad de agua llovida en mm

1 82 113 34 176 0,37 0,58 09 310 011 4.812 213 5414 50 15 5016 1517 5018 1519 0,320 0,121 022 0,123 17824 0 25 13 26 18527 20 28 4529 27 30 25 31 0

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Durante el proceso, los niños y niñas tenían mucha curiosidad de saber cuanta agua había llovido en todo el mes y hacían cálculos de los días que faltaban para saber los resultados completos, además construyeron las tablas de sus propios registros (ver tabla 2)

Jonatan preguntó ¿hoy es martes 24 de octubre entonces faltan siete día para que se acabe el mes?

María Alejandra ¿qué pasaría si olvido tomar el dato de la lluvia un solo día?.

Alexandra le contestó, pues otro día de no haberlo tomado podría llenarse tu pluviómetro o te quedaría mal tomado el dato.

Y así sacaban conclusiones, hacían conjeturas y respondían a sus inquietudes.


Resolvieron sus inquietudes a partir de experiencias en el transcurso del trabajo.

Se responsabilizaron de sus compromisos con la toma de datos

Se observó una actitud positiva frente al trabajo durante todo el mes donde se tuvieron en cuenta los valores como la responsabilidad, trabajo en grupo y amor por el trabajo que ellos mismos realizaron.

•SITUACIÓN 5: DEDUCCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE LA ESTADÍSTICA UTILIZANDO LOS DATOS TOMADOS Y PARTE DE LA BASE DE DATOS

OBJETIVO

Deducir el concepto de algunos elementos de la estadística como la población, muestra, características, media, mediana, moda y rango; mediante actividades que conlleven a des-cubrir estos conceptos.

Es de mucha importancia que el estudiante descubra poco a poco los conceptos, y la experi-mentación hasta llegar al conocimiento, por esto las actividades realizadas buscan involu-crarlo en su propio proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los conceptos que los estudiantes dedujeron al realizar la ejercitación y analizarla son: po-blación, muestra, características, media, mediana, moda y rango.

Momento 1

Los estudiantes se organizaron por equipos y comenzaron a observar sus datos, algunos hacían preguntas como: “este número es tres veces más grande que este otro dato”, o “este


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dato es igual a este otro”, luego comenzamos por observar cual era el que más se repetía.Las niñas y los niños del grado 3º y 5º concluyeron que el que más se repetía era el número tres.

Juan Daniel dijo “así como en el salón se repite mucho el uniforme”.

Luisa aportó “que en la calle lo que más se ponía la gente eran yines.

Finalmente, concluyeron que algunos accesorios se veían mucho en la calle por ser moda, entonces entre sonrisas llegaron a la deducción de que el número 3 era el que estaba de moda. Entonces todos comenzaron a decir:

Daniela, entonces si yo me pongo 3 hebillas estoy a la moda.

Felipe, profe en el salón los niños que tienen doce años son más que los que tienen once. ¿entonces será que la moda es estar de doce?.

Al final era el número 3mm de lluvia el que estaba de moda, este era el dato que más se repetía en nuestros apuntes.

Momento 3

Posteriormente hablamos de todos los datos que estaban en nuestra hoja y lo comparamos con todas las personas que conformaban la vereda, luego empezamos a formar grupos dentro de la vereda como los mayores de edad, los adultos mayores, los jóvenes, las amas de casa, los agricultores, los niños, etc., con el fin de concluir el concepto de población y muestra. Ellos opinaban que si en una vereda se hacia una encuesta deberían hacerla con todos sus habitantes, pero que como algunas casas quedaban muy lejos no se podía hacer en todas las familias, y empezamos a nombrar múltiples inconvenientes, no solo con una vereda sino con todo un país al hacer una encuesta.

Algunos de ellos proponían: entonces que se la hagan a unos pocos, Alexandra dijo: si lo van a hacer para fomentar el deporte que pasaría con las personas que no se tomen en cuenta ¿sino les preguntan a los niños por ejemplo?.

Eliana, le daba la solución y dijo “es que se pueden tomar de los distintos grupos como 13 niños, 24 jóvenes, 10 mayores, 5 hombres, 13 abuelos y 7 mujeres”.

La respuesta de Eliana la convenció, de ahí se concluyó que al hacer un análisis de datos la información podía recolectarse de una pequeña parte de las cosas, o sea la muestra de una gran población. Entonces en este caso la lluvia de todo el año era la población y la del mes de octubre la muestra.

Momento 4

Luego niñas y niños se pusieron de pie y se les dijo que por favor se organizaran en hilera en distinto orden de estatura, sin importar la secuencia, ellos lo hicieron, luego comenzamos a

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decirles que un animal iba a pasar por allí y si picaba al niño de una de las puntas, el de la otra punta debería de huir pues su compañero de la esquina había quedado contagiado y lo quería picar, luego regresaba el animal y se repetía la actividad hasta que quedará uno, el de la mitad.

Luego les preguntamos qué les había parecido la actividad y ellos dijeron que habían dis-frutado el juego y al jugador que quedó sin parejas lo llamamos mediana.

Todos cogieron su hoja de datos de lluvia del mes de octubre y los organizaron en forma horizontal e iban tachando los números de las esquinas hasta que quedó el de la mitad y a este lo llamaron mediana.

Sara preguntó: ¿qué hubiese pasado si en vez de un número hubieran quedado dos? Y le re-spondimos a su inquietud con un ejemplo. Si en tu casa trabajan 2 personas y deben aportar igual cantidad de dinero para gastos como: agua y luz; que hacen si su pago no es el mismo, pues el padre gana 5.000 diarios y el hermano mayor 7.000? Sara dijo se pueden sumar y se dividen entre dos. Entonces dijimos ¡claro! así lo deben hacer cuando al averiguar la mediana quedan dos números en el centro.

Entonces ya sabemos como se averigua la mediana y la mediana de nuestros datos de lluvia es 15.

Momento 4

Para concluir trabajamos sobre el promedio, mediante un ejemplo de las notas por área. Para ello se les colocó en el tablero un ejemplo de cómo el profesor sacaba la nota de un período.

Ejemplo, si su amigo Juan saca en el período notas como: 8.0+6.5+7.5+9.0+10+5.00= 6,1

Entonces cada uno de ellos propuso averiguar el resultado de la nota final tomando sus datos de evaluaciones, trabajos, talleres, participación entre otros, lo hicieron y algunos decían:

Sara Cristina “en este período me fue mejor que en el anterior”. Daniel “No, rebajé en mis notas”

Para concluir, ellos sumaron todos los datos de la lluviosidad y los dividieron entre el número de datos tomados en la I.E. Miguel Valencia y de allí sacaron el promedio de lluviosidad del mes de octubre del año 2006.

Finalmente quedaron muy motivados para encontrar promedios utilizando datos como; ve-locidad del viento.


• A través de actividades dinámicas partiendo de la realidad se logró que los estudiantes dedujeran los conceptos, sin necesidad de que los memorizaran y copiaran, pues de la manera tan práctica que lo hicieron comprendieron muy bien cada uno de ellos.


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• Despertaron la curiosidad y se interesaron por experimentar con otros datos.

• Interesarse por el tema, ya que fue muy lúdica la manera como se llegó al concepto.

• Iniciarse en el proceso investigativo mediante la observación, formulación de hipótesis y deducción de conclusiones.

Conclusiones

Con la realización de este proyecto se evidencia el interés de los estudiantes por interactuar con nuevos instrumentos de medición que les permitan observar, analizar, dudar, clasificar e interpretar datos por medio del trabajo práctico generando procesos investigativos que lo llevan a descubrir nuevos conceptos.

El trabajo se multiplicó a los centros educativos David Crozzier, Raimundo Rojas y a la básica primaria de la Institución Educativa Miguel Valencia, dando como resultado estudiantes que se interesan por explorar nuevas formas de aprendizaje.

Se propuso una forma prácitca de estudio donde a través del trabajo con instrumentos como el pluviómetro y el anemómetro los estudiantes iniciaron el proceso de comprensión de al-gunos conceptos relativos al pensamiento métrico y a la estadística.

Esta propuesta integra diferentes áreas del conocimiento despertando en los estudiantes la capacidad de asombro e interés permitiéndoles acceder al conocimiento de manera práctica partiendo de su entorno.

Organizados para

Estructurar Pensamiento

Pensamientos Pensamiento Numérico

Estándares Curriculares para

Grado 3

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Bibliografía


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Módulo Situaciones de AprendizajeConstrucciones Básicas del Doblado de Papel

modulo no 6 situaciones

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