mot so ki nanggiaipt luong giac

5/9/2018 Mot So Ki NanggiaiPT Luong Giac - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mot-so-ki-nanggiaipt-luong-giac 1/4

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882

1

MỘT SỐ K Ĩ NĂNG GIẢI PHƯƠ NG TRÌNH LƯỢ NG GIÁCTrong các đề thi đại học nhữ ng năm gần đây , đa số các bài toán về giải phươ ng trình lượ ng giác đềurơ i vào một trong hai dạng :phươ ng trình đư a về dạng tích và phươ ng trình chứ a ẩn ở mẫu . Nhằmgiúp các bạn ôn thi có k ết quả tốt , bài viết này tôi xin giớ i thiệu một số k ĩ năng quan trọng của dạng

toán đóI.PHƯƠ NG TRÌNH ĐƯ A VỀ DẠNG TÍCH 1, Phươ ng trình sử d ụng các công thứ c biế n đổ i l ượ ng giác : công thứ c biế n tích thành t ổ ng, t ổ ng thành tích

, công thứ c hạ bậc ,…Bài 1. Giải phươ ng trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)Giải

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin 3x 0

7x 5x x 3x 7x 3x2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0

2 2 2 2 2 2

k27xxsin 0

723x k2

cos 0 x ;k Z2 3 3

2cosx+1 0 2x k2

3

⇔ + + + + + =

⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ + + = ⇔ =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦

π⎡⎡==

⎢⎢ ⎢⎢π π⎢⎢⇔ = ⇔ = + ∈

⎢⎢⎢⎢ = π⎢⎢ = ± + π

⎢ ⎢⎣ ⎣

*Lư u ý : Khi ghép cặ p để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệucác góc bằng nhau

Bài 2 . Giải phươ ng trình : 3 3 2 3 2cos3xcos x sin3xsin x

8

−− = (2)

Giải

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 3 22 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x

2 2 8

2 3 2 2 3 2cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x

4 4

2 k 4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z

2 16 2

−⇔ + − − =

− −⇔ + + − = ⇔ + =

π π⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈

*Lư u ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh đượ c việc sử dụng côngthức nhân 3

Bài 3 . Giải phươ ng trình : 2 22cos 2x 3cos4x 4cos x 14

π⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3)

Giải




2

( ) ( )2 23 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin 4x 3cos4x 2 2cos x 12

x k 1 3 12sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x ,k Z

k 2 2 6x

36 3

π⎛ ⎞⇔ + − + = − ⇔ + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

π⎡= + π⎢π⎛ ⎞

⇔ + = ⇔ − = ⇔ ∈⎢⎜ ⎟ π π⎝ ⎠ ⎢ = +

⎢⎣

2,Phươ ng trình sử d ụng một số biế n đổ i khácViệc đưa phươ ng trình về dạng tích điều quan tr ọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử

chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm đượ c điều đó( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

2 2

2

2

sin x 1 cos x 1 cos x , cos x 1 sin x 1 sin x

cos2x cos x sin x cos x sin x1 cos 2x sin 2x 2cos x(sin x cos x)

1 sin 2x sin x cos x1 cos 2x sin 2x 2sin x(sin x cos x)

1 sin 2x sin x cos x

sin x cos x1 tan x cosx

2 sin x

⊕ = − + = − +

= − ++ + = +

⊕ + = +− + = +

− = −

+⊕ + =

⊕ sin x cos x4

π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Bài 4 . Giải phươ ng trình : 2 sin x (1 cos2x) sin 2 x 1 2 cos x+ + = + (4)GiảiCách 1 : ( ) ( ) ( )24 2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin x cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − =

1cosx

2sin 2x 1

⎡= −⎢⇔

⎢=⎣

phần còn lại dành cho bạn đọc

Cách 2 : ( )4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0⇔ − − − − =

( ) ( ) ( ) ( )2

2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x 0⇔ − + − − − − =

( ) ( )2cos x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 2 0⇔ − + − + − =

( ) ( )2cos x sin x 2sin x cos x 2cos x cos x sin x 0⇔ − − − + = phần còn lại dành cho bạn đọc

Bài 5 .Giải phươ ng trình : cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3+ + − = (5)Giải

( ) 25 (6sin x cos x 3cos x) (2sin x 5sin x 2) 0

3cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0

(2sin x 1)(3cos x sin x 2) 0

⇔ − − − + =

⇔ − − − − =

⇔ − − + =

Phươ ng trình này tươ ng đươ ng vớ i 2 phươ ng trình cơ bản ( dành cho bạn đọc )II. PHƯƠ NG TRÌNH CHỨ A ẨN Ở MẪUVớ i loại phươ ng trình này khi giải r ất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan tr ọng nhất của dạng nàlà đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thườ ng ta hay dùng đườ ng tròn lượ ng giác để loạinghiệm.




3

Ngoài ra , ta cũng gặ p nhiều phươ ng trình chứa tan , cot . Khi đó , có thể sử dụng một số công thức( ) ( )

( ) ( )

sin a b sin b atan a tan b cota cotb=

cos a cos b cosa cos bcos a b cos a b

tan a cot b tana-cotb=cos a sin b cosa sin b

2tan a cot a csin2a

± ±⊕ ± = ⊕ ±

− − +⊕ + = ⊕

⊕ + = ⊕

( ) ( )

ot a tan a 2cot 2a

cos a b cos a b1 tan a tan b 1 tan a tan b

cosa cos b cos a cos b

− =

− − +⊕ + = ⊕ − =

Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức

Bài 6 . Giải phươ ng trình :2cos4x

cot x tan xsin2x

= + (6)

Giải .

ĐK :

sin x 0

k cos x 0 sin 2x 0 x ,k Z2sin 2x 0

≠⎧

π⎪ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈⎨⎪ ≠⎩

( )x l

2cos4x 2cos 2x 2cos4x6 cot x tan x cos4x cos2x , l Zl

sin 2x sin 2x sin 2x x3

= π⎡⎢⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈π⎢ =⎣

Kiểm tra điều kiện ta đượ c x l , l Z3

π= ± + π ∈

Bài 7 . Giải phươ ng trình :( ) ( )3 2

2

4cos x 2cos x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x0

2sin x 1

+ − − − +=

−(7)

Giải .

ĐK : 2 k 2sin x 1 0 cos2x 0 x ,k Z

4 2

π π− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

27 4cos x sin x cos x 2cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0

x m4

2 sin x cos x cos x 1 2cos x 1 0 x m2 ,m Z

2x m2

3

⇔ + − + − + =

π⎡= − + π⎢

⎢⇔ + − + = ⇔ = π ∈⎢

⎢ π= ± + π⎢

⎣

Kiểm tra điều kiện ta đượ c nghiệm m2x ,m Z3

π= ∈

Bài 8. Giải phươ ng trình :2

3tan 3x cot 2x 2 tan xsin4x

+ = + (8)

Giải




4

ĐK :

cos3x 0 k xsin2x 0 6 3 , k Z

cos x 0 k x

4sin 4x 0

≠⎧ π π⎧≠ +⎪ ⎪≠⎪ ⎪

⇔ ∈⎨ ⎨≠ π⎪ ⎪ ≠

⎪⎪ ⎩≠⎩

(*)

( ) ( ) ( )

( )

2 2sin 2x cos x 2

8 2 tan 3x tan x tan 3x cot 2x sin 4x cos3x cos x cos3x sin 2x sin 4x4sin 4x sin x 2cos2x cos x 2cos3x 4sin 4x sin x cos3x cos x 2cos3x

4 sin 4x sin x cos3x cos x 8sin 2xcos2x sin x 2 sin 2x sin x do (*)

cos2x

⇔ − + + = ⇔ + =⇔ + = ⇔ + + =

⇔ = − ⇔ = −

⇔ =1 1 1

x arccos m ,m Z4 2 4

−⎛ ⎞− ⇔ = ± + π ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

nghiệm này thoả mãn ĐK BÀI TẬP TỰ LUYỆ N

2

3

1,cos3x cos2x cos x 1 0

2, 2 2 sin x cos x 112

3,(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x

1 14,sin 2x sin x 2cot 2x

sin 2x 2sin x5,sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0

x6, tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan

2

7,2 2cos x 3cos x si4

+ − − =

π⎛ ⎞− =

⎜ ⎟⎝ ⎠− + = +

+ − − =

+ + − − =

⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

π⎛ ⎞− − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

3 3

2 2

2

n x 0

2 cos x sin x18,

tan x cot 2x cot x 11

9,cos x cos2xcos3x sin x sin 2xsin 3x2

10,sin x cos x cos2x tan x tan x4 4

11, tan x tan 2x sin 3x cos 2x

x 712,sin x cos 4x sin 2x 4 sin

4 2 2

x x13,sin sin x cos sin

2 2

=

−=

+ −

+ =

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = −

π⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

−

( )

2

22 3 3 2

xx 1 2cos

4 2

14,2sin x cot x 2sin 2x 1

sin 3x15,sin x cos3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x

3sin4x

π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ = +

+ + =

mot so ki nanggiaipt luong giac

Documents