Statisztika I.GZM, EE, TV szakok(nappali tagozat)

2012-2013-as tanév I. félév

Oktató:Dr. Csáfor Hajnalkatanszékvezető főiskolai docensRegionális és Környezetgazdaságtan Tsz.E-mail: hcsafor@ektf.hu

Té kö ökTémakörökStatisztikai alapfogalmakStatisztikai elemzések viszonyszámokkalStatisztikai adatok és információk grafikus megjelenítéseM i é i i é i ti l é ( á ít tt éMennyiségi ismérv szerinti elemzés (számított és helyzeti középértékek, szóródás mutatói, aszimmetria))Indexszámítás (érték-, ár- és volumenindexek, területi indexek és indexsorok)Sztochasztikus kapcsolatok vizsgálata (asszociáció és vegyes kapcsolat)

(Részletesen a tantárgyi programban, ami a GTI honlapján érhető el.)

Köt l ő é já l tt i d l kKötelező és ajánlott irodalmakKötelező irodalom:

Dr. Illyésné dr. Molnár Emese: Statisztikai feladatgyűjtemény I Perfekt Kiadó 2009I. Perfekt Kiadó 2009.Továbbá a zárthelyi dolgozatok anyagát képezik az előadásokon és szemináriumokon elhangzottak.előadásokon és szemináriumokon elhangzottak.

Ajánlott irodalom:Korpás Attiláné dr.: Általános statisztika I. NemzetiKorpás Attiláné dr.: Általános statisztika I. Nemzeti Tankönyvkiadó 2005.Hunyadi László – Vita László: Statisztika I. BA tankönyv AULA Kiadó Bp. 2009.Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr.: Általános statisztika példatár I Nemzeti Tankönyvkiadó 2005példatár I. Nemzeti Tankönyvkiadó 2005.

Számonkérés és értékelésA gyakorlatokon való részvétel kötelező, a félév során – igazolástól függetlenül –legfeljebb 3 alkalommal lehet a gyakorlaton való részvételt elmulasztani.

A félév folyamán két – egyenként 50 pontos – dolgozat megírására kerül sor. A félév végi harmadik, gyakorlati jegy pótló dolgozat egy 100 pontos – az egész félév anyagát felölelő – dolgozat. A k l t k ló á ké é k á t ábbi t k h tőkA gyakorlatokon való számonkérések során további pontok szerezhetők.

A két zárthelyi dolgozat – vagy azok sikertelensége esetén a pótló dolgozat – és a szemináriumokon esetlegesen szerzett pontok alapján a félévesszemináriumokon esetlegesen szerzett pontok alapján a féléves teljesítményértékelés a következőképpen történik:

88-100 pont 5 (jeles) 1 ZH: október 1788 100 pont 5 (jeles)75-87 pont 4 (jó)62-74 pont 3 (közepes)50-61 pont 2 (elégséges)

1. ZH: október 17.

2. ZH: december 5.Pót ZH: december 12.

50 pont alatt 1 (elégtelen)Pót ZH: december 12.

StatisztikaiStatisztikai alapfogalmakp g(2012. szeptember 12. 10.00-11.30)

Statisztikai alapfogalmak

Statisztika fogalma, tárgya és szerepeSt ti tik i k á é i éStatisztikai sokaság és ismérvMérési szintekStatisztikai adat és mutatószámStatisztikai sorokStatisztikai táblák Adatfelvétel, adatszerzési módokAdatfelvétel, adatszerzési módokKérdőívszerkesztésA statisztikai adatok pontosságaA statisztikai adatok pontossága

Statisztika fogalma

Tömegesen előforduló jelenségek egyedeiretk ó ( l él ti é k l ti) t ék évonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:

adatgyűjtés – gyakorlati tevékenységadatgyűjtés gyakorlati tevékenységadatfeldolgozás

d t k l é tudományos módszertanadatok elemzése

a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése.

y

a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése.Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.),i ál ti ód k ki ál tá ( l )vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)

Statisztika fogalmaA statisztika tárgyát képező tömeges jelenségek között találunk a hétköznapi életben előforduló és a társadalmi-gazdasági jelenségeket is, ami alapján megkülönböztetünk:

Általános statisztikát ésSzakstatisztikákat (gazdaság-, népesség-, ágazati-, társadalomstatisztika, stb.

A jelenségeket le lehet írni egyszerűbb eszközökkel és bonyolultabb matematikai-statisztikai módszerekkel. Ennek megfelelően megkülönböztetünk:

Leíró statisztikát ésStatisztikai következtetést

Statisztika fogalma

Egyidős az állammal…Mo on a XVIII sz az első összeírás”Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírásXIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer központikialakul az intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József)Központi Statisztikai Hivatal (KSH,1867)p ( , )1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról pRegionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)

Statisztikai sokaság és ismérvStatisztikai sokaság:A megfigyelés tárgyát képező egyedekA megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.)

Egyedek, egységek: a sokaság legkisebb részeiSokaság fajtái:

diszkrét – folytonos (elkülönült egységek önkényes elkülönítés)diszkrét – folytonos (elkülönült egységek – önkényes elkülönítés)álló – mozgó (időpont – időtartam)véges – végtelen (véges sok elem – végtelen sok elem)

Statisztikai sokaság és ismérv

Statisztikai ismérvek:Statisztikai ismérvek:Olyan vizsgálati szempontok, amelyek l já k á é i j ll h őkalapján a sokaság egységei jellemezhetők

és – megkülönböztető ismérvek esetén –gegymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetségesadott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat (előfordulási lehetőségeit) az ismérv változatainak nevezzükaz ismérv változatainak nevezzük.

Statisztikai sokaság és ismérv

Ismérvek fajtái (tulajdonság fajtája):1) Időbeli ismérvek1) Időbeli ismérvek2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek3) Mennyiségi ismérvek4) Minőségi ismérvek Tárgyi ismérvek

- Alternatív ismérvek- több változattal rendelkező ismérvektöbb változattal rendelkező ismérvek

- Közös ismérvekMegkülönbö tető ismér ek- Megkülönböztető ismérvek

Mérési szintekCsak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellettszámadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatókszámértékké alakíthatók.

Mérés:Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgokhozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoztulajdonságaihoz.

Mérési szintek

4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg:

Né l / i áli é é i iNévleges/nominális mérési szintSorrendi/ordinális mérési szintSorrendi/ordinális mérési szintKülönbségi/intervallum mérési szintArányskálán történő mérés

Mérési szintek

Névleges/nominális mérési szint:Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez.Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják. gy g j(azonosság és különbözőség)Közük semmilyen reláció nem áll fenn és velükKözük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető.

Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma

Mérési szintekSorrendi/ordinális mérési szint:A sokaság egyedeihez – bizonyos közösA sokaság egyedeihez bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát.Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjétszempontból vett sorrendjét.A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), ( g ),csak azoknak a rendje.

Pl: hallgatók osztályzatai áruk minőség szerintiPl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása, katonai rendfokozat, stb.

Mérési szintekKülönbségi/intervallum mérési szint:Kezdőpontja önkényesen választottKezdőpontja önkényesen választott. A skálaértékek sorrendje és különbségei is i f á iót h d k k áinformációt hordoznak a sokaság egyes egyedeiről.A skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető.

Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség C fugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti

különbség.

Mérési szintekArányskálán történő mérés:A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpontA legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya is gy y ymeghatározhatóvá válik. Adatain minden matematikai művelet végezhető. Az értékek különbségei bizonyos esetekben csak arányskálával egyetemben értelmezhetők:

800 1.000 (200 emelkedés) 10.000 10.200

Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága , , j gy g(amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)

Feladat/1.

Sokaság Egy konkrét

Ismérv Ismérv-változat

Ismérvfajta/Mérésikonkrét

egységváltozat Mérési

skálaA magyar Kiss Réka Születési 1976 Időbeli/A magyar népesség

2007.

Kiss Réka Születési idő

1976 Időbeli/intervallum

Lakóhely Budapest Területi/január elsején

Lakóhely Budapest Területi/nominális

Nem Nő Minőségi/Nem Nő Minőségi/nominális

Életkor 29 Mennyiségi/y garány

Feladat/2.

Adottak az alábbi sokaságok:Magyarország népessége 2006. jan.1-jén 10 076 581 fő.A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején.BCE oktatói 2006 szept 4 énBCE oktatói 2006. szept. 4-én.Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián.

Feladat:Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!

Feladat/3.Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e! g

Nem (férfi, nő)Él tkÉletkorMagasságTestsúlyTestsúly Családi állapotIskolai végzettség g gFoglalkozásBruttó havi fizetés

Statisztikai adat és mutatószámStatisztikai adat:Az egyedekről

Statisztikai mutatószám:Valamilyen statisztikai

szerezhető információ.(szám, vagy

ymódszerrel a rendelkezésre álló

számszerű jellemző)fogalmi jegy

adatokból számított származtatott statisztikai

időbeli azonosítótérbeli azonosítószámérték

mérőszám.számértékmértékegység(mérés vagy számlálás) Például:

194.000(Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó Ft/fő/hó

Statisztikai sorokStatisztikai sorokA sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése.j

Sorkészítés célja szerint:Csoportosító sorÖsszehasonlító sor

Valódi statisztikai sorok(azonos fajtájú adatokból)

Leíró sor Nem valódi statisztikai sor(különböző fajtájú adatokból)

Ismérvfajtáknak megfelelően:Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok

Sorok készítése: ismérvváltozatok számszerű értékek

Statisztikai sorok

Csoportosító t ti tik i

Ismérv-ált t k

Egységek számastatisztikai sor:

A sokaság belső változatok száma

C1C2

f1f2összefüggéseit fejezi

ki, csoportosítás

C2..

f2..

céljából készül, adatai összegezhetők.

Ci.

fi.

(időbeli, területi, minőségi, mennyiségi)

Ck fk

Összesen: N

Statisztikai sorok

Például: Hajszín Hallgatók száma/főA teremben ülő hallgatók

hajszín szerint.száma/fő

barnaszőke

2312

minőségi csoportosító

szőkefeketevörös

1242

statisztikai sor őszegyéb

21

Összesen: 44

Statisztikai sorok

Összehasonlító t ti tik i

Ismérv- Számérték/ statisztikai sor:Összehasonlító

d t k t ti tik i

változat mértékegység

C1 adatadatok statisztikai sorba rendezve, összehasonlítási

C2.

adat.

összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők

.Ci.

.adat

.összegezhetők.(idősor, területi) Ck adat

Statisztikai sorok

Például: egy f l ő kt tá i É

Havi átlagos ösztöndíjfelsőoktatási

intézmény nappali tagozatos

Év ösztöndíj(Ft/hallgató)

tagozatos hallgatóinak átlagos havi ösztöndíja 2004

20042005

12.600 Ft13.200 Fthavi ösztöndíja 2004

és 2010 között 200620072008

13.800 Ft14.100 Ft14 000 Ft

Összehasonlító időbeli sor

200820092010

14.000 Ft14.200 Ft15.000 Ftidőbeli sor

Statisztikai sorokStatisztika sorok kellékei:

Cím (sokaság pontos megnevezése a közösCím (sokaság pontos megnevezése, a közös ismérvek felsorolása)T l jd á k i é ált t k f l láTulajdonságok, ismérvváltozatok felsorolásaIsmérvváltozatoknak megfelelő gyakoriságok felsorolásaÖsszesen rovat (csak a csoportosító sor ( pestében)A forrás megnevezéseA forrás megnevezése

Statisztikai táblákStatisztikai táblákStatisztikai sorok összefüggő rendszere.gg

Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok)Nincs csoportosító sora egy adata egy statisztikai sorNincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.

Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlítóCsoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok)Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egyEgyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja.

Kombinációs tábla (csoportosító sorok)Kombinációs tábla (csoportosító sorok)Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.

Statisztikai táblák

Egyszerű statisztikai tábla

Egy városban az orvosellátottság alakulása:

Év Orvosok száma (fő)

Lakosok száma (fő)

Egy orvosra jutó lakosok száma

gy g

(fő) (fő) lakosok száma1990 240 80 000 333,3

1999 360 100 000 277,8

Statisztikai táblák

Csoportosító statisztikai tábla

Búzatermelés adatai 1991-ben:

Körzet Termés (ezer tonna)

Termésátlag (t/ha)(ezer tonna) (t/ha)

Dunántúl 2000 5,2Alföld 3000 5 31Alföld 3000 5,31Észak 705 4,71

Összesen 5705 …

Statisztikai táblák

Kombinációs statisztikai tábla

Osztályzat A B C Összesen

Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév:

Osztályzat A B C Összesenkar hallgatóinak megoszlása

5 19 23 19 614 32 49 40 1213 24 36 56 1163 24 36 56 1162 20 36 82 1381 1 2 18 211 1 2 18 21

Összesen 96 146 215 457

Statisztikai táblák

A statisztikai táblák részei:Oszlop (a táblázat egy oszlopa)Sor (a táblázat egy sora)Rovat (sor és oszlop találkozása)Fejrovat (a táblázat első sora, mely szövegesen tartalmazza az egyik ismérv változatait)Oszloprovat (a táblázat első oszlopa, mely szövegesen tartalmazza a másik szerinti ismérvváltozatokat)Összegrovat (a sorok és oszlopok összességét t t l )tartalmazza)

Statisztikai táblákDimenziószám:Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztikai adataAzt mutatja, hogy a tábla egy statisztikai adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja.

Tábl ké íté bál iTáblakészítés szabályai:Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb.)Old l t k (f j t é l t) éOldalrovatok (fejrovat és oszloprovat) megnevezéseEgy rovat sem üres (--, ●(●); … , 0,0)Megjegyzés (ha valamely rovatában lévő adat eltérőMegjegyzés (ha valamely rovatában lévő adat eltérő mértékegységű)Forrásmegjelölés (!)o ás egje ö és ( )

Adatszerzési módok

Teljes körű Részleges felvételTeljes körű felvétel

Részleges felvétel

Monográfia Reprezentatív Egyéb részleges g pmegfigyelések adatfelvétel

Véletlenen Nem véletlenVé et e ealapuló

Ne vé et e(kontrolált)

Kérdőívszerkesztés

Alapos szakmai hozzáértésTömör egyértelmű könnyen megválaszolható kérdésekTömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdésekFőleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő választ igénylő)j g y )Ne legyen túl hosszúAjánlott az anonim adatfelvételjKompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzükVé l í é lő ób l ké d éVéglegesítés előtt: próbalekérdezésHa nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány

Adatok pontossága

aA ± α a=aA ±

d b l hib k l

αA

=

l hib k lSzignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthetőMért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát

g j gy pszámjegyek

h l10ˆk

≤Például Mo. népessége (90-ben):

l l ó kií i ifiká á j h l é ék

ahol,2

ˆ ≤a

k10

10.277 ezer ± 500 fő

: a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke k10

Feladatok (stat alapfogalmak)Feladatok (stat. alapfogalmak)

P f kt St ti tik I éld táPerfekt Statisztika I. példatár:57/4, 58/7, 59/9, 60/11, 60/13, 61/14,57/4, 58/7, 59/9, 60/11, 60/13, 61/14, 61/15, 61/16, 63/20, 63/21, 64/23, 64/26

További gyakorló feladatok az általános statisztika I (zöld) példatárból:statisztika I. (zöld) példatárból:

11/2, 12/3 (sokaság fajtája)12/4 13/5 13/6 13/7 14/8 14/9 14/1012/4, 13/5, 13/6,13/7, 14/8, 14/9, 14/10, 15/11 (sokaság és ismérvfajták)15/13 (százalék és százalékpont)

Statisztikai elem ésekelemzések viszonyszámokkalviszonyszámokkal(2012. szeptember 19. 10.00-11.30)

Viszonyszámok

Viszonyszám fogalmay gViszonyszámok fajtáiM lá i é k di á ióMegoszlási és koordinációs viszonyszámokDinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggésekViszonyszámok közötti összefüggésekIntenzitási viszonyszámoky

Viszonyszámok

Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló y , gy pstatisztikai adat hányadosa (V)

h l A i ítá táAV , ahol A: a viszonyítás tárgya(viszonyítandó adat)B

AV =

B: a viszonyítás alapja

Azonos adatokból (% v. együtthatós) – Különböző fajta adatokból (int.)

Viszonyszámok fajtáiCsoportosító sorokból:

Megoszlási viszonyszámok (Vm)Megoszlási viszonyszámok (Vm)Koordinációs viszonyszámok (Vk)

Összehasonlító sorokból:Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb)F l d t é t lj ít é t tó (Vf é Vt)Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt)Területi összehasonlító (Vö)

Leíró sorokból:Intenzitási viszonyszámok (Vi)Intenzitási viszonyszámok (Vi)

Viszonyszámok fajtái

Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi kiy y jKoordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítjaDinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados

d )ká idő(Aadata)időszakbázis(aBadata)aktárgyidősz(aAV=

Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévő-gy g gy psokaság adataiból számított viszonyszám

Viszonyszámok fajtái

Megoszlási viszonyszám:

adat)vonatkozóegészéresokaság(aBrészadata)egy sokaság(aAVm=

Pl. 26 fiú és 32 lány jár a csoportba, összesen 58 hallgató (100%).

adat)vonatkozóegészéresokaság(aB

Pl. 26 fiú és 32 lány jár a csoportba, összesen 58 hallgató (100%).

45026Vm == 45 % a fiúk aránya45,058

Vm ==

32

45 % a fiúk aránya

Összesen: 100%

55,05832Vm == 55% a lányok arány

Viszonyszámok fajtái

Koordinációs viszonyszám:

részadat)szolgalapjáulsviszonyítá(aBrészadat)ott (viszonyítAVk =

részadat)szolg. alapjáulsviszonyítá(aB

Pl. mozilátogató nők: 1942 fő, mozilátogató férfiak: 1876 g , g

035,118761942Vk == 1000 mozilátogató ffi-ra 1035 mozilátogató nő jut1876

96601876Vk 966,01942

Vk == 1000 mozilátogató nőre 966 mozilátogató ffi jut

Viszonyszámok fajtái

Koordinációs viszonyszámokból az eredeti d t k i t élkül i á íth tókadatok ismerete nélkül is számíthatók

megoszlási viszonyszámok.

1000 966A férfiak aránya:

14,4910351000

1000Vm =+

= 14,499661000

966Vm =+

=

85501035Vm == 1000A nők aránya:

85,5010351000

Vm =+

= 86,509661000

1000Vm =+

=

Dinamikus viszonyszámok

Bá i i á tybdb /Bázisviszonyszám: b

t

yybVdb =/

Lá i á / iylVdlLáncviszonyszám: 1

/−

=i

i

ylVdl

Feladat/1.Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók:

ÉvMagyarországra

érkező külföldiekKülföldre utazó

magyarokElemezze bázis- és láncviszonyszámokkal a

ezer fő ezer fő

2000 31 141 11 065

láncviszonyszámokkal a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának2000 31 141 11 065

2001 30 679 11 167

2002 31 739 12 966

utazó magyarok számának alakulását!

2002 31 739 12 966

2003 31 412 14 283

2004 36 635 17 5582004 36 635 17 558

2005 38 555 18 622

Megoldás

Megoldás

Di ik i á kDinamikus viszonyszámokViszonyszámok közötti összefüggések:Viszonyszámok közötti összefüggések:1. Az első (azaz nulladik) időszakra nem tudunk láncviszonyszámot

számolni2. Az állandó bázisul választott időszakban a bázisviszonyszám értéke 1,

azaz 100%3. Az állandó és a bázisul választott időszak után következő időszakban

k

a bázis és a láncviszonyszám megegyezik4. Láncból bázis: adott időszak bázisviszonyszáma kiszámolható az

adott időszak és az azt megelőző időszakok láncviszonyszámainak

ii

k

ikk blbl...ll =→=⋅⋅ ∏

232

szorzataként:

b

i=25. Bázisból lánc: adott időszak láncviszonyszáma kiszámítható az adott

időszak és az azt megelőző időszak bázisviszonyszámának há d ké t

ii

i lbb

=−1

hányadosaként:

Viszonyszámok közötti összefüggések

Magyarországra érkező külföldiek esetén:

2002b 1,0192l 1 0345Pl : 20022002

2001

,l 1,0345b 0,9852

= = =Pl.:

Külföldre utazó magyarok esetén:

2003 2001 2002 2003b l l l 1,0092 1,1611 1,1016 1,2908= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =Pl.:

Viszonyszámok fajtáiViszonyszámok fajtáiPl. bázisévben (tavaly) 100 autót szereltem össze, erre az évre 120-at

Feladatmutató viszonyszám:terveztem, de csak 110 lett belőle

dBá i idadata tervezettTárgyid.Vf = 2,1

100120Vf ==

Teljesítménymutató viszonyszám:

adataBázisid.,

100

Teljesítménymutató viszonyszám:

adataténylegesTárgyid 110énye teljesítm tervezettTárgyid.

adataténylegesTárgyid.Vt = 66,91120110Vt ==

Viszonyszámok fajtái

Területi összehasonlító viszonyszám:

adata terület szolg.alapjáulsViszonyítáadata terület ndóViszonyítaVö=

Pl Heves megye és BAZ megye népességének

gpjy

Pl. Heves megye és BAZ megye népességének összehasonlítása:

4437,0739143328000

népességemegyeBAZnépessége megye HevesVö ===

p ggy

Intenzitási viszonyszámIntenzitási viszonyszámVi = A/B megmutatja hogy a vizsgált jelenség milyenVi = A/B, megmutatja, hogy a vizsgált jelenség milyen intenzitással fordul elő valamely más jelenség környezetébenkörnyezetében.

Sűrűségmutatók:Pl: népsűrűség, 1 négyzetkilométerre jutó lakos szám

Ellátottságot kifejező mutatók:Pl l ló llát tt áPl: orvossal való ellátottság

Színvonalmutatók:Pl: 1 főre jutó átlagkereset 1 dolgozóra jutóPl: 1 főre jutó átlagkereset, 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP

Arányszámok:Arányszámok:Pl: 100 főre jutó születések száma, halálozási arányszám

Intenzitási viszonyszám

Egyenes intenzitási viszonyszám:A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. viszonyszám növekedésével.yPl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)(1000 lakosra jutó orvosok száma)( j )

Fordított intenzitási viszonyszám:Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken.Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma (1 orvosra jutó lakosok száma)

Intenzitási viszonyszám

Nyers intenzitási viszonyszám:(a teljes sokasághoz viszonyítunk)Pl: tejhozam / tehenek száma

dolgozók / hallgatók

Tisztított intenzitási viszonyszám:(csak a jelenséggel szorosan kapcsolatban álló részhez viszonyítunk)Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma

oktatók / hallgatók

Viszonyszámok gyakorlásaViszonyszámok gyakorlásaA következő adatok az 1998. évi statisztikai évkönyvből származnak:

A fő j tó GDP 1998 b 4694 USD lt i lő ő é i élAz egy főre jutó GDP 1998-ban 4694 USD volt, ami az előző évinél 5,1%-kal volt több.Az építőiparban a 100 fizikaira jutó szellemi foglalkozásúak számaAz építőiparban a 100 fizikaira jutó szellemi foglalkozásúak száma 29 fő, a fizikaiak aránya pedig 77, 4% volt 1998-ban.1998-ban az 1000 lakosra jutó születések száma 9,6 volt.A felsőoktatásban egy oktatóra 12,1 hallgató jutott 1998-ban.A PSZF-en 1998-ban oklevelet szerzett hallgatók 61,9%-a nő volt.Budapest népessége 1990-ről 1999-re (január 1-jei adatok alapján 8,8%-kal csökkent.1998 b fő j tó é i átl ü öl f tá 62 6 k1998-ban az egy főre jutó évi átlagos gyümölcsfogyasztás 62,6 kg volt.

Feladat: Nevezze meg a felsorolt viszonyszámok fajtáit és jelölje meg kiszámításuk módját! (Zöld példatár 19/22)

Feladatok (viszonyszámok)Feladatok (viszonyszámok) Perfekt Statisztika I példatár:Perfekt Statisztika I. példatár:

72/39, 73/41, 73/43, 76/4866/28, 67/30, 68/32, 69/33, 75/47, 78/52, 78/53 , 79/54, 80/5678/53 , 79/54, 80/56

További gyakorló feladatok az általános gystatisztika (zöld) példatárból:

16/15, 17/18, 18/20, 19/2316/15, 17/18, 18/20, 19/2315/13 (százalék és százalékpont), 43/81 43/82 41/77 41/78 42/79 42/8043/81, 43/82, 41/77, 41/78, 42/79, 42/80 (viszonyszámok és összefüggéseik)

Népességstatisztikai p gdefiníciók

Definíciók

Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező és másuttlakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek valamint az ugyanezenszemélyek, valamint az ugyanezen területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma.y gy

Természetes szaporodás (fogyás): azTermészetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.különbözete.

DefiníciókTényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a á d lá i (b lföldi é tkö i) külö bö tvándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet

(+,–) összege.Gyermeknépesség eltartottsági rátája: aGyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában.gIdős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékábanszázalékában.Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a(0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

DefiníciókÖregedési index: az idős népesség (65–X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves)X éves) a gyermeknépesség (0 14 éves) százalékában.Házasságkötés: a hivatalosan eljáróHázasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság.j gVálás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. gy y gJogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ll ábbi j l k h l iellen további jogorvoslatnak helye nincs.

DefiníciókÉÉlveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az él t k l il j lét ( i t lé ééletnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés, illetőleg köldökzsinór-pulzáció) adja tekintet nélkül arra hogypulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig éltmennyi ideig élt.Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki hogy az adott év kor szerintifejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életetfolyamán hány gyermeknek adna életet.

Definíciók

Halálozás: az élet minden jelének végleges j g gelmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utáni megszűnése a feléledés képessége nélkülutáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül.

Halálok: mindazon betegség kóros állapot vagyHalálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint j ( )olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.

DefiníciókVárható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak.Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett gyhalálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem j g gycsecsemőhalott.

Csecsemőhalálozási arányszám: ezerCsecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.

G fik áb á láGrafikus ábrázolás

Grafikus ábrázolásGrafikus ábrázolásAz adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában (megérteni és készíteni is fontos)formában. (megérteni és készíteni is fontos)

Alapelvei:Alapelvei:Áttekinthetőség (csak azt mutassa, amire szolgál)Célorientáltság és homogenitásCélorientáltság és homogenitásEgyszerűségRekonstruálhatóságRekonstruálhatóságOptikailag semleges méretezésCím egyértelmű jelmagyarázatokCím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks.

G fik áb á láGrafikus ábrázolásBi l é i kö ökhö biBizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak.Ált láb ft kk l ( iáli j lóÁltalában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.

A grafikus ábrák fajtái:A grafikus ábrák fajtái:1. Koordináta-rendszeren alapuló ábrák2. Nem koordináta-rendszeren alapuló

ábrák

Grafikus ábrázolás

Koordináta-rendszeren alapuló ábrák:PontdiagramBot ábraBot-ábraVonaldiagramOszlopdiagram (hisztogram)SzalagdiagramSzalagdiagram Sugárdiagramg g

Grafikus ábrázolás

Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolásamennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben. (idő és menny. sorok)

Grafikus ábrázolás

Bot ábra: gyakorisági soroknál, ha kevés és diszkrét a mennyiségi ismérv

Grafikus ábrázolásGrafikus ábrázolásVonaldiagram: idősorok adatainak o a d ag a dőso o ada a akoordinátarendszerben való ábrázolása.G akorisági soroknál poligonnak ne e ükGyakorisági soroknál poligonnak nevezzük.

Grafikus ábrázolás

Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok á á l (ö h lítá )magasságával. (összehasonlítás)

Grafikus ábrázolásO t tt l di t ító kOsztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó

l b lül lá t ül t áoszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása.

Grafikus ábrázolás

Hisztogram:Mennyiségi sor esetén az oszlopok között nincs hézag

Grafikus ábrázolás

Szalagdiagram: AAz oszlopdiagram az X és Y tengelyeinektengelyeinek felcserélésével kapjukkapjuk.

Grafikus ábrázolásGrafikus ábrázolásKorfa:A szalagdiagram speciálisspeciális alkalmazása a korfa, amely egy összetettamely egy összetett szalagdiagram.

Grafikus ábrázolás

Sugárdiagram: poláris koordináta rendszerenkoordináta rendszeren alapul, önmagában visszatérő ciklikus ss até ő c usfolyamatok esetében célszerű alkalmazni, vagy ha szerkezeti változásokat szeretnénk kiemelniszeretnénk kiemelni.

A magyar népességA magyar népességkorösszetételének változása

G fik áb á láGrafikus ábrázolásNéhá k di át dNéhány nem koordináta-rendszeren alapuló ábra:

KördiagramK tKartogramKartodiagramgPonttérképPikt (fi áli áb á lá )Piktogram (figurális ábrázolás)Box & whiskers ábra (kvartilis eloszlás)o & s e s áb a ( a s e os ás)

Grafikus ábrázolásKördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkekKördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. Mind szerkezetet, mind pedig abszolút nagyságot tud jellemezni (megoszlások, gy g j ( g ,összehasonlítás)

Grafikus ábrázolás

Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, é iók lté ő í i l é ék lt tiaz egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a

köztük lévő különbséget.

Grafikus ábrázolás

Kartodiagram: t ül ti kterületi sorok esetén

lk l h tóalkalmazható, az egyes földrajzi

é k d t itegységek adatait a térképen

lh l ttelhelyezett diagrammal áb á ljábrázolja.

Grafikus ábrázolás

Ponttérkép: a t ül ti kterületi sorok szemléltetésére h álh tóhasználható, a pontok ű ű ésűrűsége az

adott területhez t t ó d ttartozó adat nagyságára

t lutal.

Grafikus ábrázolásPiktogram: figurálisfigurális ábrázolás, mely a jelenségeta jelenséget megtestesítő különbözőkülönböző nagyságú figurák alapjánfigurák alapján fejezi ki a nagyságrendinagyságrendi relációt.

Grafikus ábrázolás

i Me xQQx max31min Me xQQx

Box & whiskers ábra: a kvartilis eloszlás (az (adatok nevezetes osztópontjainak, jelen esetben negyedelő pontjainak a helyzetét) gy p j y )szemlélteti.

Mennyiségi ismérvMennyiségi ismérv szerinti elemzés (1)( )(2012. szeptember 26. 10.00-11.30)

LEÍRÓ statisztikaLEÍRÓ statisztikaA leíró statisztika: olyan módszerek és mutatószámok, amelyek segítségével akár egy nagyobb sokaságot, akár egy mintát viszonylag könnyen és jól lehet valamilyen mennyiségi ismérv szerint tömören egy mutatószámmalmennyiségi ismérv szerint tömören, egy mutatószámmal jellemezni.

A sokaság (vagy minta) tömör jellemzése alapvetően 3 szempont szerint történhet:

Kö é é ték k k á / i t j ll ő é téké k é1. Középértékek: a sokaság/minta jellemző értékének és értékeinek meghatározása

2 Szóródás: adatok különbözőségének vizsgálata2. Szóródás: adatok különbözőségének vizsgálata3. Alakmutatók: a gyakorisági görbe alakjának a vizsgálata4 További elemzési módszerek: koncentráció idősorok4. További elemzési módszerek: koncentráció, idősorok

elemzése átlagokkal

G k i á i kGyakorisági sorokA mennyiségi ismérv szerint csoportosító sorokat gyakorisági soroknak nevezzük.A gyakorisági sorok fajtái:

Rangsor: ha kevés számú diszkrét mennyiségiRangsor: ha kevés számú diszkrét mennyiségi ismérv szerint csoportosítjuk a sokaságot. (amikor az összes ismérvváltozat felsorolható a(amikor az összes ismérvváltozat felsorolható a gyakoriságokkal.)Osztályközös gyakorisági sor: folytonosOsztályközös gyakorisági sor: folytonos, illetve sok változattal rendelkező diszkrét ismérv szerinti csoportosításkor a csoportokatszerinti csoportosításkor, a csoportokat osztályközökkel (intervallumokkal) adjuk meg.

Ha egyedi értékek k l 3 b á őGyakorisági sorok vannak, pl. 3 barátnő

statisztika dolgozatának átlaga:

E d é ik 1 5 3Példa rangsorra:

Eredményeik: 1, 5, 3Átlag=9:3= 3

Érdemjegy Hallgatók száma/fő

Egy 20 fős szemináriumi csoport érdemjegyei statisztikából

(x) (f)

5 3

4 8

x: átlagolandó érték

f k i á4 8

3 6

2 2

f: gyakoriság

2 2

1 1

Összesen 20

G k i á i kGyakorisági sorokPélda osztályközös gyakorisági sorra:

Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakásokEgy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban):

Lakások értéke (millió Ft)(x)

Lakások száma (db)(f)

3 0 4 5 123,0 – 4, 5 124,5 – 6,0 206,0 – 7,5 306,0 7,5 307,5 – 10,0 27

10, 0 – 13,0 11Összesen 100

G k i á i kGyakorisági sorokPélda osztályközös gyakorisági sorra:

Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakásokEgy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban):

Osztályközepek(x)!

Lakások értéke (millió Ft)(x)

Lakások száma (db)(f)

3,75 3,0 – 4, 5 12, , ,5,25 4,5 – 6,0 206,75 6,0 – 7,5 308,75 7,5 – 10,0 2711,50 10, 0 – 13,0 11

Öss esen 100Összesen 100

Gyakorisági sorokOszt.közép

Lakásár(m Ft)

Lakásokszáma

f’ f” g(f%)

g’ g” s(fx)

s’ s’’ z(s%)

z’ z”

(x)! (x) (db)(f)

( ) (fx) (s%)

3,75 3,0 – 4,5 12 12 120 10,0 10,0 100,0 45,00 45,00 945,25 4,8 4,8 100.03,75 3,0 4,5 12 12 120 10,0 10,0 100,0 45,00 45,00 945,25 4,8 4,8 100.0

5,25 4,5 – 6,0 20 32 108 16,5 26,5 90,0 105,00 150,00 900,25 11,1 15,9 95,2

6 75 6 0 7 5 30 62 88 25 0 51 5 73 5 202 50 352 5 795 25 21 4 37 3 84 16,75 6,0 – 7,5 30 62 88 25,0 51,5 73,5 202,50 352,5 795,25 21,4 37,3 84,1

8,75 7,5 – 10,0 27 89 58 22,5 74,0 48,5 236,25 588,75 592,75 25,0 62,3 62,7

11,50 10,0 – 13,0 31 120 31 26,0 100,0 26,0 356,50 945,25 356,50 37,7 100.0 37,7

Összesen 120 - - 100,0 - - 945,25 - - 100.0 - -

1) Középértékek

Számított HelyzetiSzámított középértékek

(átlagok)

Helyzeti középértékek:módusz(átlagok)

számtani átlagharmonikus átlag

móduszmediánkvartilisekharmonikus átlag

mértani átlagnégyzetes átlag

kvartilisek

négyzetes átlag

Középértékekkel szembeni követelményekkövetelmények

i xKx << maxmin xKx <<

1. közepes helyet foglaljon el az értékek között2. tipikus érték legyen: álljon közel az előforduló

értékek zöméhez3. legyen pontosan definiálva4. könnyen értelmezhető legyen5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen

ÁÁtlagok

Súlyozatlan/egyszerű átlagot számítunk:Súlyozatlan/egyszerű átlagot számítunk: ha az értékek csak egyszer fordulnak elő ( di é ték k) i(egyedi értékek) vagy ugyanannyiszor

Súlyozott átlagot számítunk: ha az értékek többször fordulnak elő és nem ugyanannyiszor)gy y )

Egyszerű átlag

Az értékek egyszer fordulnak elő: Az értékek többször, de ugyanannyiszor fordulnak elő:

Érdemjegy(x)

Hallgatókszáma/fő

(f)

Érdemjegy(x)

Hallgatókszáma/fő

(f)

gy y

(f)5 1

4 1

(f)5 2

4 23 1

2 13 2

2 21 1

Összesen 51 2

Összesen 10

Súlyozott átlag

Az értékek többször, de nem ugyanannyiszor fordulnak elő:

Érdemjegy(x)

Hallgatók száma/fő(f)

ugyanannyiszor fordulnak elő:

( ) ( )

5 3

4 8

3 6

2 2

1 1

Összesen 20

Átl kÁtlagok

Súlyozatlan SúlyozottSzámtani

nx

x i∑=n

xfx ii∑=

x

Harmonikus∑

=nx 1

n n

∑∑=

i

i

ff

x

Mértani

∑ix ∑

ix

∏ n fi∏

hx

Négyzetes

nixx ∏= n f

iixx ∏=

x∑ 2 ∑ xf 2

gx

Négyzetesnx

x i∑= ∑∑=

i

ii

fxf

xqx

Ugyanazon pozitív értékekből számítottUgyanazon pozitív értékekből számított átlagok nagyságrendje

≤≤≤≤≤ maxmin xxxxxx qgh ≤≤≤≤≤

hx gxés érzékeny a kiugróan alacsony értékekre

x xés érzékeny a kiugróan magas értékekrex qxés érzékeny a kiugróan magas értékekre

Példa/1: (egyszerű/súlyozatlan átlagok – az értékek ( gy y gcsak egyszer fordulnak elő (egyedi értékek) vagy ugyanannyiszor)

Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8 – az értékek egyszer fordulnak elő

(vagy: 3, 3, 4 ,4, 5, 5, 8, 8 – az értékek többször, de ugyanannyiszor fordulnak elő)

Feladata) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a

négyzetes átlagot! égy etes át agotb) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból számolt átlagok

sorrendjét!jd) Amennyiben az átlagolandó értékek között szerepelne még

egy kiugróan alacsony érték (pl. 1), akkor mely átlagok reagálnának rá érzékenyen?

e) Mely átlagok értékét befolyásolja jobban, ha az átlagolandó értékek között még egy kiugróan magas érték (pl. 32) is található?

Megoldás

Számtani átlag: Mértani átlag:

54

8543=

+++=x 681.485434 =⋅⋅⋅=gx

4Harmonikus átlag: Négyzetes átlag:

404.41111

4=

+++=hx 2 2 2 2

q3 4 5 8 114x 28,5 5.339

4 4+ + +

= = = =8543

+++ 4 4

Példa/2 ( úl tt átl é ték k több öPélda/2: (súlyozott átlag – az értékek többször fordulnak elő és nem ugyanannyiszor)

Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok:

( ) adatok: 3, 4, 5, 8ix( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1

i

if

Feladat:) S á í ki á i h ika) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a

mértani és a négyzetes átlagot!

Megoldás

Mértani átlag:Számtani átlag

1.481514434=

⋅+⋅+⋅+⋅=x 907.3854310 1144 =⋅⋅⋅=x

g

10907.38543gx

76231010===x 81514434 2222 ⋅+⋅+⋅+⋅

Harmonikus átlag: Négyzetes átlag:

762.3658.2

81

51

44

34

==+++

=hx 347.410

81514434=

+++=qx

A számtani átlag néhány tulajdonsága1 az átlagtól vett eltérések( )∑1. az átlagtól vett eltérések

(előjeles hibák) összege nulla( ) 0=−∑ xx i

2. négyzetes minimum tulajdonság:minimum , ha A=( ) =−∑ 2Axi x,

3. az átlagolandó értékek additív transzformációjával (ha minden átlagolandó értékhez hozzáadunk egy konstans

( )∑ i

minden átlagolandó értékhez hozzáadunk egy konstans értéket) az átlag is a transzformációnak megfelelően nő vagy csökken

4. az átlagolandó értékek multiplikatív transzformációjával (ha minden átlagolandó értéket megszorzunk egy k t l l) átl i t f á ió kkonstans elemmel) az átlag is a transzformációnak megfelelően változik

Számtani átlag előnyei

Számítása egyszerű, tömör, világosMinden adathalmazból kiszámítható, és csak egy van belőleUgyanazon típusú számszerű jellemzők összehasonlítását teszi lehetővé sokaság vagy g gyminta eseténKiszámításához nem szükséges az egyediKiszámításához nem szükséges az egyedi értékek számszerű ismerete, elegendő azok összegét tudniösszegét tudni.

Számtani átlag hátrányaiKiugróan magas, vagy kiugróan alacsony egyedi értékek (outlier-ek) esetén az átlag „torz” lehet, és

j ll i jól k á t i d t knem jellemzi jól a sokaságot , ugyanis az adatok többségétől eltérO ál kö ö k i ál d kOsztályközös gyakori sornál nem tudunk pontos átlagot számolni, az így kiszámított (osztályközepek felhasználásával) érték csak becslés/közelítésfelhasználásával) érték csak becslés/közelítés.Nyitott osztályközök esetén (amikor az osztályköz h ú á át kk á k t ki tjük i t l óhosszúságát akkorának tekintjük, mint az alsó vagy a felső szomszédos osztályköz) az általunk meghatározott alsó vagy felső határnál kisebb vagymeghatározott alsó vagy felső határnál kisebb vagy nagyobb értékeket figyelmen kívül hagyjuk.

MediánMediánaz az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvértékfele kisebb, fele nagyobb. (rangsorba rendezett adatok közül a középső elemhez tartozó ismérvérték)a) meghatározása egyedi értékekből (amiket először

rangsorolni kell): páratlan tagszám esetén az edik1+nrangsorolni kell): páratlan tagszám esetén az -edik érték, páros tagszám esetén (amikor a sorszám két érték közé esik), akkor az érintett 2 érték ( -dik és az -dik

21+n

2n

21+n

tagok) számtani átlaga.b) Meghatározása diszkrét mennyiségi ismérvek gyakorisági

rangsorából: az -dik taghoz tartozó ismérvérték

2 2

1+nrangsorából: az -dik taghoz tartozó ismérvérték (páratlan tagszám esetén), páros tagszám esetén a két középső taghoz tartozó ismérvértékek számtani átlaga.

2

c) becslése osztályközös gyakorisági sorból:osztópont:

aholme

hfn

xMe−

+=−

'122

n

, ahol: a medián osztályközének a gyakorisága,

meme

me hf

xMe ⋅+= 0

mef1' −mef : a medián osztályközét megelőző osztályköz kumulált gyakorisága

Medián előnyei

Egyértelműen meghatározható, minden d th l k lét ik diá j é kadathalmaznak létezik mediánja, és csak egy

van belőle.A medián rangsorba rendezett minőségi ismérvekből is megállapíthatóA medián értéke független a szélső értékektől. Kiugróan magas vagy alacsony értékek esetén g g gy y(amelyekre nem érzékeny) jobban jellemzi a sokaságot mint a számtani átlag.g g

Medián hátrányai

Csak rangsorba rendezett értékekből állapítható megHa egy minta alapján akarunk következtetni a teljes sokaságra, akkor a számtani átlag matematikai-statisztikai szempontból alkalmasabb mutatószám.

Móduszrangsor (diszkrét ismérv) esetén:rangsor (diszkrét ismérv) esetén: a leggyakrabban előforduló értékf l t i é téfolytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték

A módusza kiugró, extrém értékekre érzéketlennem mindig létezik (például, ha minden érték g (p ,egyforma valószínűséggel fordul elő)Ha több különböző érték azonos gyakorisággal fordul elő, akkor több módusz is lehet.

Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból

hkxMo ⋅+= 10 , ahol

0x

momo hkk

xMo+

+21

0

: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa

,

0mox

ffk11 −−= momo ffk

12 +−= momo ffkmoh : a móduszt tartalmazó osztályköz hossza

Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámítottk i á k l já tö té ikgyakoriságok alapján történik.

Módusz előnyei és hátrányai

Előnyök:Mennyiségi jellemzők esetén is használhatóHasonlóan a mediánhoz, nem érzékeny a szélső,Hasonlóan a mediánhoz, nem érzékeny a szélső, kiugró értékekre

Hátrányok:Sok esetben nem alkalmas a sokaság gjellemzésére, mert nem minden esetben létezik, és van hogy több is van belőle.gy

Példa/1 ( di é ték k)Példa/1. (egyedi értékek)

Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás l ká k t l jd it h i lt lő ő h ilakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft-ban:

75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70

Feladat:Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző haviJellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel! (átlag, módusz, medián)ö épé té e e (át ag, ódus , ed á )

Megoldás

75 ... 70X 74+ += =

Számtani átlag: A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74 ezer Ft.X 74

14

Rangsor készítése: 64 65 69 70 72 73 75 75 75 76 77 79 80 86

Medián: Me=75 ezer Ft A lakástulajdonosok

64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86

5,72

152

1==

+nMe=75 ezer Ft A lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nál kevesebb (a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezer Ft-nál nagyobb) volt az előző havi rezsiköltsége.

Módusz:Mo=75 ezer Ft

A legtöbb lakástulajdonos előző havi rezsije 75 ezer Ft.

Példa/2. (egyenlő osztályközök)

Egy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt:

Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma 10 – 19 1020 – 29 2830 – 39 4240 49 1540 – 49 1550 – 59 5

Összesen 100Összesen 100

Feladat:Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!

Megoldás

Értékesített benzin mennyisége (liter)

Gépkocsik száma

Osztály-közép

Kumulált gyakoriság

10 – 19 10 15 1020 – 29 28 25 3830 – 39 42 35 8040 – 49 15 45 9550 59 5 55 10050 –59 5 55 100

Összesen 100 --- ---

+++∑ 55525281510xf=

⋅++⋅+⋅==

∑∑

100555...25281510

i

ii

fxf

x

A gépkocsik átlagosan 32 7 litert tankoltak a benzinkútnál

32,7 liter

A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon.

Megoldás

50100==

n Mef →≥ 50'

Medián:sme= és a 3 osztályközben van22 Mef →≥ 50

me

hfn

xMe1

'

02

−−+= =⋅

−+= 10

42385030

me és a 3. osztályközben van

32,86 literme

meme h

fxMe 0, + 42

A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt,

,

a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon.

Módusz: 3. osztályközben van

momo hkk

kxMo ⋅+

+=21

10, =⋅

−+−−

+= 10)1542()2842(

)2842(30 33,41 liter

Módusz: 3. osztályközben van

21 )()(A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiségettankolt az adott napon.

Példa/3. (nem egyenlő osztályközök)1999 b átl k t k l k lá áll l t ál1999-ben az átlagkeresetek alakulása egy vállalatnál

Keresetek (ezer Ft) Létszám 40 – 50 1250 – 60 2060 – 80 3480 – 100 32

100 150 14100 – 150 14150 – 200 3Összesen 115Összesen 115

Feladat:S á ít ki é é t l átl t!Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Becsülje meg a mediánt, a móduszt és a kvartiliseket és írja le jelentésüket!

MegoldásCsak a

MÓDUSZHOZ!gKeresetek(ezer Ft)

Létszám(f)

Osztály-közép

Kumulált gyakoriság

f* (új oszt.köz= 20e Ft)(ezer Ft)

(x)(f) közép

(x)gyakoriság

(f’)20e Ft)

40 – 50 12 45 12 2450 – 60 (Q1),(Mo) 20 55 32 4060 – 80 (Me) 34 70 66 3480 – 100 (Q3) 32 90 98 32

100 – 150 14 125 112 5,6150 200 3 175 115 1 2150 – 200 3 175 115 1,2

Összesen 115 --- --- ---

eFtfxf

xi

ii 1,75115

3175...20551245=

⋅++⋅+⋅==

∑∑ ..

..det* hközosztúj

hközosztieregyakoriságf ⋅=

A vállalatnál a dolgozók átlagosan 75,1 ezer Ft-ot keresnek.

Megoldás

5,57115==

nMedián:

sme= (A Me 3. osztályközben van.),22

me

hfn

xMe1

'

02

−−+= =⋅

−+= 20

34325,5760

me ( y )

75 ezer Ftme

meme h

fxMe 0, + 34

A dolgozók fele 75 ezer Ft-nál kevesebbet keresett,(a másik fele pedig ennél többet) az adott évben.

Alsó kvartilis: 75,284

1154

==n (A Q1 a 2. osztályközben van.)

1

11

0,11

'4

q

q

q hf

fn

xQ ⋅−

+=− =⋅

−+= 10

201275,2850 58,375 ezer Ft

44

1, q

qq f 20

A dolgozók negyede 58,4 ezer Ft-nál kevesebbet keresett,(három negyede pedig ennél többet) az adott évben.

Megoldás

25,8611533=

⋅=

nFelső kvartilis:

sq3= (A Q3 4. osztályközben van.),44

3

13'

0334

3q

hfn

xQ−−

⋅

+= eFt65,922032

6625,8680 =⋅−

+=

q3 ( y )

33

0,33 qq

q hf

xQ + ,32

A dolgozók negyede 92,65 ezer Ft-nál többet keresett,(a három negyede pedig ennél kevesebbet) az adott évben(a három negyede pedig ennél kevesebbet) az adott évben.

Módusz: (A Mo a 2. osztályközben van.)

momo hkk

kxMo ⋅+

+=21

10, eFt27,5710

)3440()2440()2440(50 =⋅−+−

−+=

21

A dolgozók legtöbbje 57,27 ezer Ft-ot keresett az adott évben.

Mennyiségi ismérvMennyiségi ismérv szerinti elemzés (2)( )(2012. október 3. 10.00-11.30)

2) S ó ódá2) SzóródásAz értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzükAz értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak.Az értékek különbözősége egyrészt az értékek egymástól való külö bö ő é é á é t l l kö é é téktől lókülönbözőségén, másrészt valamely középértéktől való eltérésében fejezhető ki.

Szóródási mérőszámok

A legfontosabb szóródási mérőszámok:1. Terjedelem, R (vagy IQR)2 Átlagos eltérés δ2. Átlagos eltérés, δ3. Szórás, б (vagy s – minta esetén)4. Relatív szórás, V5 (Átlagos különbség G)5. (Átlagos különbség, G)

Szóródási mérőszámok

1) Terjedelem:annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek.y

minmax xxR −=

Interkvartilis terjedelem: k i t ll k h át f j ki l bannak az intervallumnak a hosszát fejez ki, amelyben az

ismérvértékek középső 50%-át találjuk.

13 QQIQR −=

Szóródási mérőszámok2) Átlagos eltérés: az átlagtól vett eltérések számtani átlaga.Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével, számítása:

Egyszerű: Súlyozott:

dn

∑ ∑ ⋅ i

k

i dfdi

i∑== 1δ ∑

∑== k

i

ii

i

f

df1δ

n ∑=i

if1xxd ii −=

Szóródási mérőszámok3) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.

Egyszerű: Súlyozott:

∑ 2)( ∑ f 2)(

nxxi∑ −

=2)(

σ ∑∑ −

=i

ii

fxxf 2)(

σn ∑ if

xxd ii −=

Szóródási mérőszámokSzórás minta esetén (s): jelentése szintén az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga, de ezt a f lát i tából tö té ő é k áformulát a mintából történő – az egész sokaságra vonatkozó – következtetés esetén használjuk. (Bővebben a mintából történő következtetések(Bővebben a mintából történő következtetések témakörben kerül rá sor a Statisztika II. kurzus során )során.)

Egyszerű: Súlyozott:

1)( 2−

= ∑ xxs i

∑∑ −

=1

)( 2ii

fxxf

s1−n ∑ −1if

xxd ii −=

A szórás néhány tulajdonsága

A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlőminden ismérvérték egyenlő.Az xi ismérvértékek additív transzformációja után a szórás nem változikután a szórás nem változik.Az xi ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás atranszformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik.

Szóródási mérőszámok

4) Relatív szórás)különböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. gMértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg.százalékos formában adják meg.

10 ≤≤ nVV σ= 10 −≤≤ nV

xV =

Szóródási mérőszámok

5) Átlagos különbség, G (Gini-féle mutató)az ismérvértékek egymástól mért abszolútaz ismérvértékek egymástól mért abszolút eltéréseinek a számtani átlaga. (Leginkább a koncentráció vizsgálatánál alkalmazható )koncentráció vizsgálatánál alkalmazható.)

∑∑n n

G 1 ∑∑= =

−=j i

ji xxn

G1 1

2 .

jij

k k

i xxffG −⋅⋅= ∑∑2 .1jij

j iin ∑∑

= =1 12

Empirikus peloszlások típusai

Egy móduszú eloszlás

Több módoszú eloszlás

i ikSzimmetrikus Aszimmetrikus

Mérsékelten Erősen

Bal oldali Jobb oldali J alakú Fordított J alakú

S i t ik l láSzimmetrikus eloszlás

Aszimmetrikus eloszlások

Bal oldali aszimmetria Jobb oldali aszimmetria

xMeMo << x M e M o< <

Erősen aszimmetrikus eloszlások

J alakú Fordított J alakú

A i t ik l lá kAszimmetrikus eloszlások

3) Alakmutatók

arra szolgálnak, hogy tömör számszerű formában jellemezzék, hogy milyen tekintetben és milyen mértékben tér el az adott eloszlás a normális eloszlás gyakorisági görbéjéből.

Mértékegység nélküli mutatók.

Aszimmetria mutatók

A-mutatóPearson féle

F- mutató (kvartiliseken alapul)Pearson-féle

mutatószám:

M )()( 13 QMeMeQF

−−−

( p )

σMoxA −

= )()()()(

13

1325,0 QMeMeQ

QQF

−+−=

-1≤ F ≤1A abszolút értékének nincs korlátja, de ritkán vesz fel 1-nél nagyobb értéket.

Ha +, bal oldali aszimmetria- jobb oldali aszimmetria- , jobb oldali aszimmetria0 , szimmetrikus az eloszlás

4) További elemzési módszerekKoncentrációIdősorok elemzése átlagokkal

KoncentrációGazdasági életben: erőforrások tömörülése,

összpontosulásap

Statisztikailag: egy sokaság mennyiségiStatisztikailag: egy sokaság mennyiségi ismérv szerinti vizsgálata

Koncentráció: az értékösszeg jelentős része a sokaságjelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul

Koncentráció

A koncentráció a relatív gyakoriságok ( ) ig

és a relatív értékösszegek ( ) összehasonlításával elemezhető. Ha az

iz

egyes osztályközökhöz tartozó és értékek azonosak az a koncentráció

ig izértékek azonosak, az a koncentráció hiányaként értelmezhető, eltérésük viszont a koncentrációt jelzia koncentrációt jelzi.

Lorenz görbeLorenz-görbeEgységoldalúEgységoldalú négyzetben elhelyezett ábra,elhelyezett ábra,amely a kumulált relatív értékösszegeket értékeket a kumulált relatíva kumulált relatív gyakoriságok értékeinek é té e efüggvényében ábrázolja.

Lorenz-görbeKoncentráció hiánya esetén a görbe egybeesik az átlóval.Minél távolabb esik a görbe az átlótól, annál nagyobb fokú a koncentráció.

Felhasználása:Felhasználása: relatív koncentráció szemléltetéseinterpolációtöbb ismérv koncentrációjának egybevetéseadott ismérv koncentrációjának időbeli vagy térbeli egybevetéseegybevetése

Koncentrációs együttható

A Lorenz-görbe és az átló által bezárt területet koncentrációs területnek nevezzük. Ha koncentrációs területet a háromszög területéhez viszonyítjuk, akkor e hányados alapján következtetni tudunk a koncentráció mértékére. A koncentrációs terület arányát a koncentrációs együtthatóval mérjük.

G (ahol G: az átlagos különbség (Gini-féle mérőszám))

xGK2

=(ahol G: az átlagos különbség (Gini-féle mérőszám))

K értéke [0,1] intervallumban mozoghat, koncentráció hiány esetén K=0 és a K minél közelebb van 1-hezhiány esetén K 0, és a K minél közelebb van 1 hez, annál erősebb a koncentráció.

Koncentráció

Abszolút koncentráció: az értékösszeg kevés egységére összpontosul (pl.: energiaiparban, gépkocsigyártásban)

Relatív koncentráció: az értékösszeg relatívRelatív koncentráció: az értékösszeg relatív értelemben kevés egységnél összpontosul (pl : személyi jövedelemben)(pl.: személyi jövedelemben)

KoncentrációÉ É Ö Á

tőke, vagyon, termelés, gazdasági szervezetek

ÉRTÉKÖSSZEG (s) SOKASÁG (n)

, gy , ,forgalom, eredmény

g g

export, import országok,p , p g ,termékek,gazdasági szervezetek

mezőgazdasági földterület, eszközállomány,áll táll á

gazdasági szervezetek,tulajdonosok

állatállománylakossági jövedelem, vagyon

lakosság,háztartásokvagyon háztartások

Idősorok elemzése átlagokkal

Tapasztalati idősor:

időtényező:

ni tttt ,... , ,... , , 21

megfigyelt érték:y y y yi n1 2, , ... , ... , ,

Idősorok elemzése átlagokkal

Idősorelemzés egyszerű eszközei:dinamikus viszonyszámok(bázis-, és láncviszonyszámok): ( , y )idősor adataiból számított hányadosokgrafikus ábrázolásgrafikus ábrázolás

átlagok

Idősorok elemzése átlagokkalIdősorok elemzése átlagokkal

Időegységre számítottIdőegységre számított átlagok

Stock típusú idősor esetén:(s ámtani átlag)

Flow típusú idősor esetén: (kronologikus átlag)(számtani átlag) (kronologikus átlag)

y

y i∑= 2...

2 121 ++++

=−

yyyy

yn

n

ny

1

−ny

(tartam-idősor) (állapot-idősor)

Idősorok elemzése átlagokkalIdősorok elemzése átlagokkal

Változások átlaga

Átlagos abszolút változás Átlagos relatív változás

∑ aholn

yyn

dd ni ,

111

−−

=−

= ∑d y y= −

aholyyll n nn

i ,1

1

1 −− == ∏ l yyi

i

i

=1d y yi i i= −1

y1 yi−1

Feladatok (mennyiségi ismérv szerinti elemzés)Feladatok (mennyiségi ismérv szerinti elemzés)

Perfekt Statisztika I. példatár:128/1, 128/2, 130/5, 131/8, 134/12, 134/13, 137/17, 138/19, 138/20, 139/23, 141/25, 145/32, 148/36,149/38

További gyakorló feladatok az általános statisztika gyI. (zöld) példatár:

24/38, 24/39 (egyedi értékekből – súlyozatlan), ( gy y )25/42 (rangsorból – súlyozott)26/45, 27/46, 29/51 (osztályközös gyakorisági sorok –26/45, 27/46, 29/51 (osztályközös gyakorisági sorok egyenlő osztályköz esetén)26/44, 27/47, 28/48, 28/49, 29/50, 29/52, 32/56 (nem , (egyenlő osztályközök)35/65 (koncentráció)

Mennyiségi ismérvMennyiségi ismérv szerinti elemzés (3)( )(2012. október 10. 10.00-11.30)

K l k ló f l d t k ldáKomplex gyakorló feladatok megoldása

Középértékek, szóródási mutatók és alakmutatók számítása:

Egyedi értékekbőlRangsorbólRangsorbólOsztályközös gyakorisági sorból (egyenlő

tál kö ök té )osztályközök esetén)Osztályközös gyakorisági sorból (nem egyenlő osztályközök esetén)Koncentráció mértékének meghatározása g(grafikusan)

Zárthelyi dolgozatZárthelyi dolgozat (ZH1)( )

(2012. október 17. 10.00-11.30)

I d á ítá (1)Indexszámítás (1)(2012. október 24. 10.00–11.30)( 0 o tóbe 0 00 30)

Időbeli összehasonlításIdőbeli összehasonlítás viszonyszámokkal

Bauxittermelés adatai (ezer tonna)

HónapBauxittermelés (ezer tonna)

Vd1991 19921991 1992

Január 150 100 66,7

Február 200 150 75,0

Március 250 230 92,0,

Összesen 600 480 80,0

Indexszámításde s á tásAz indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű (különböző mértékegységű), közvetlenül nemkülönnemű (különböző mértékegységű), közvetlenül nem összesíthető javak összességére (aggregált sokaság) vonatkozóan a mennyiségek (q - quantity), az árak (p - price) és az értékadatok (v - value) időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgálnak.Egy jószág(csoport) értékét a mennyisége és az egységáraEgy jószág(csoport) értékét a mennyisége és az egységára határozza meg:A nem összegezhető (különböző mértékegységű) termékek az

pqv ⋅=A nem összegezhető (különböző mértékegységű) termékek az értékösszegük alapján elemezhetők. Az összetartozó de különnemű termékekből álló (heterogén) termékcsoport összértékét aggregátumnak (A) nevezzük: ∑∑

==

==n

iiii

n

i

vpqA11

Indexek: termékek azonos körére vonatkozó két időben (vagy térben területi indexek) különböző aggregátum hányadosai.

Aggregát értékadatok

Az indexszámításban négyféle aggregátumot*Az indexszámításban négyféle aggregátumothasználunk fel:

00pq∑ 10 pq∑1. 3. valós

aggregátumfiktív

aggregátum

01pq∑ 11 pq∑2. valós

aggregátumfiktív

aggregátum

*Aggregálás: egy heterogén jószágcsoport értékben való összegzése. A tárgyidőszaki aggregát értéket (aggregátumot) folyóáras értékadatnak nevezzük.

IndexszámításHáztartások egy főre jutó élelmiszerfogyasztása

Fogy. menny. Egységár/FtMegnev. Mérték-

egység

gy y gy g

1980 1988 1980 1988

S té hú k 20 21 75 50 144 40Sertéshús kg 20 21 75,50 144,40

Tojás db 230 234 2,20 3,30

Tej l 89 105 6,00 10,50

Étolaj l 3 5 28,50 38,40

.

.

Egyedi indexek (egy jószágcsoportra egyfajtaEgyedi indexek (egy jószágcsoportra – egyfajta termékre – vonatkozó indexek, tkp. viszonyszámok)

ahol:Egyedi árindex: ahol:p1: tárgyidőszak egységárap : bázisidőszak egységára1p p0: bázisidőszak egységára

0

1

pp

i p =

piEgyedi volumenindex: ahol:

q1: tárgyidőszaki mennyiségq

p

q1 gy y gq0: bázisidőszak mennyiség

0

1

qq

iq =

iiiEgyedi értékindex: ahol:

v1: tárgyidőszaki termékértékpqv

pqv iii ⋅=

v0: bázisidőszaki termékérték00

11

0

1

pqpq

vviv ==

Indexszámítás

Megnev.Mért.egys.

Fogy. menny. Egységár Egyedi indexek

1980 1988 1980 1988 ii1980 1988 1980 1988

Sertéshús kg 20 21 75,50 144,40 105,0 191,3 200,86piqi vi

Tojás db 230 234 2,20 3,30 101,7 150,0 152,55

Tej l 89 105 6,00 10,50 118,0 175,0 206,50

Étolaj l 3 5 28,50 38,40 166,7 134,7 224,54

.

.

Többféle termékre – heterogén gjószágcsoportra – vonatkozó indexek

együttes indexek aggregát formái- együttes indexek aggregát formái 111 pqvI ∑

=∑

=Értékindex:

10pqv III ⋅=

000 pqvIv ∑

=∑

=Értékindex:01pqv III ⋅=

∑∑=

00

100

pqpq

Ip01

111

pqpqIp ∑

∑=1

pqpqI s

p ∑∑

=Árindex:(a mennyiségek

d t k áll dók) ∑ 00 pq 01pq∑

010 pq∑ 111 pq∑

0pqs∑

spqI 1∑

q adatok állandók)

Volumenindex:

00

010

pqpqIq ∑

∑=

10

111

pqpqIq ∑

∑=

s

sq pq

pqI0

1

∑=Volumenindex:

(az árak, p adatok állandók)

I d á ítáIndexszámításMért. Fogy. menny. Egységár Egyedi indexek

Megnev. egys.gy y gy g gy

1980 1988 1980 1988

Sertéshús kg 20 21 75 50 144 40 105 0 191 3 200 86piqi vi

Sertéshús kg 20 21 75,50 144,40 105,0 191,3 200,86

Tojás db 230 234 2,20 3,30 101,7 150,0 152,55

T j l 89 105 6 00 10 50 118 0 175 0 206 50Tej l 89 105 6,00 10,50 118,0 175,0 206,50

Étolaj l 3 5 28,50 38,40 166,7 134,7 224,54

.

.

∑11 pqI ∑

=∑∑=

00

100

pqpq

I p

∑00

010

pqpqI q ∑

∑=

10F III ⋅= 10F III ⋅=00 pq

I v ∑=

01

111

pqpqI p ∑

∑=

10

111

pqpqI q ∑

∑=

ppp III = qqq III =

I d á ítá (2)Indexszámítás (2)(2012. november 7. 10.00–11.30)( 0 o e be 0 00 30)

Értékindex-számításAz értékindex a termékek bizonyos körére nézve az érték változását mutatja meg. (pl. árbevétel változás)

111 pqvI ∑=

∑=

változás)

000 pqvIv ∑∑

Az értékindex átlagformái:Az értékindex átlagformái:ahol a súlyok a valós aggregátumok/értékadatok és az egyedi értékindexek az átlagolandó értékek:

000

viv

pqipqI vv

v ∑⋅∑

=∑

⋅∑= v v

vpqpqI

1

1

11

11

∑

∑=

∑

∑=

000 vpq ∑∑vv ii

pq 111 ∑∑

Árindex-számításAz árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja

∑

Az árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan.

0

1

pqpqI

s

sp ∑

∑=Súlyozott, alapformulájú

árindexek:

∑∑=

00

100

pqpq

I pLaspeyres árindex(bázisidőszaki súlyozású) : ∑ 00 pq

111 pqI ∑=

( y )

Paashe árindex

01pqIp ∑=(tárgyidőszaki súlyozású) :

10pp

Fp III ⋅=Fisher árindex:

A á i d á l f ái (á i dAz árindex átlagformái (árindex-számítás egyedi árindexekből)számítás egyedi árindexekből) ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi árindexek:egyedi árindexek:

ivipq ⋅∑⋅∑ pqI 100 ∑

0

0

00

000

viv

pqipq

I ppp ∑

∑=

∑

∑= p

ipqI

10

10

∑=

∑∑ ∑

pi

p vv

pqpqI

1

1

11

111

∑

∑=

∑

∑=

01

011 .pq

ipqI p

p ∑

∑=

pp ii∑∑ 01 pq

Volumenindex-számításA volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóanA volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan a mennyiségek változását méri.

s

sq pq

pqI0

1

∑∑

=Súlyozott alapformájú volumenindex:

Laspeyres volumenindex(bázisidőszaki súlyozású) : 00

010

pqpqI q ∑

∑=

111 pqI ∑=

(bázisidőszaki súlyozású) :

Paashe volumenindex( á idő ki úl á ú)

00 pq∑

10 pqIq ∑(tárgyidőszaki súlyozású) :

10FFisher volumenindex: 10qq

Fq III ⋅=

A volumenindex átlagformái (volumenindexA volumenindex átlagformái (volumenindex-számítás egyedi volumenindexekből)ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi volumenindexek:

0000 ivipqI qq ⋅∑

=⋅∑

= q pqpqI

01

010

∑

∑=

000 vpqIq ∑∑

qipq 01∑

vpqI 1111 ∑=

∑= 101 ipq

I q⋅∑=

qq

q

iv

ipqI

111 ∑=

∑=

10 pqIq ∑=

qq

Feladat:

Egy bolt három termékének forgalmára vonatkozó adatok láthatók az alábbi táblázatban:láthatók az alábbi táblázatban:

Értékesítés Egységár (Ft)Termék Mértékegység mennyisége Egységár (Ft)

2004 2005 2004 20052004 2005 2004 2005

I. vaj db 4500 5400 220 235

II. kenyér kg 2875 3335 90 90

III. tej l 2125 1870 140 175j

Feladat:

Számítsa ki az egyedi volumen-, ár-, és értékindexeket! Hogyan változott a bolt összbevétele? (Iv)Hogyan változott a bolt összbevétele? (Iv)Hogyan változott az értékesített termékek á í l ? (I )árszínvonala? (Ip)Számítsa ki az együttes volumenváltozást!Számítsa ki az együttes volumenváltozást! (Iq)

E di i d kEgyedi indexek

A át kAggregátumok

Értékindex

a megfelelő aggregátumok hányadosaként

%6,122226,115462501896400

00

11 →==∑∑

=pqpqI v

112975001612587502821990000∑ i

az egyedi értékindexek súlyozott számtani átlagaként:

%6,122226,11546250

1,129750016,1258750282,1990000

0

0 →=⋅+⋅+⋅

=∑

⋅∑=

viv

I vv

az egyedi értékindexek súlyozott harmonikus átlagaként:

%6,122226,118964001 →==∑

=vvI

az egyedi értékindexek súlyozott harmonikus átlagaként:

%6,122226,1

1,1327250

16,1300150

282,112690001

→++∑

v

v

iv

I

Laspeyres-féle árindex

1688125∑ %7,109097,115462501688125

00

100 →==∑∑

=pqpqI p

%7109097125,129750012587500682,199000000 →=⋅+⋅+⋅

=⋅∑

=iv

I p %7,109097,115462500

→==∑

=v

I p

Paashe-féle árindex

%310808311896400111 →∑ pqI %3,108083,1

174995001

11 →==∑

=pqpqIp

%3,108083,132725030015012690001896400

11

111 →==∑

=∑

p pqpqI

25,1327250

1300150

0682,1126900011 ++∑

pipq

Fisher-féle árindex

A Laspeyres-és a Paashe index súlyozatlan mértani átlaga

%04,1090904,10837,109715,110 →=⋅=⋅= ppFp III ppp

Volumenindexek

1749950∑ pq %2,113132,115462501749950

00

010 →==∑∑

=pqpqIq

%3,112123,116881251896400111 →==

∑∑

=pqpqI q 168812510∑ pq

%7411212741123411317110 →=⋅=⋅=F III %74,1121274,11234,11317,1 →=⋅=⋅= qqq III

Az érték volumen és árindexAz érték-, volumen- és árindex közötti összefüggés

iii pqv iii ⋅=

10 10pqv III ⋅=

01pqv III ⋅=

Fp

Fqv III ⋅=

Különbségfelbontás

K ∑∑ K ∑∑0011 pqpqKv ∑−∑=

0 pqpqK ∑−∑=

0011 pqpqK v ∑−∑=

1K pqpq ∑−∑0001 pqpqK q ∑−∑=

01111 pqpqK p ∑−∑=

=qK 1011 pqpq ∑∑

=0pK 0010 pqpq ∑−∑0111 pqpqp p 0010 pqpq

Összefüggések:

=vK 0110pqpq KKKK +=+

Összefüggések:

pqpq

Feladatok (indexszámítás)Feladatok (indexszámítás)

Perfekt Statisztika I. példatár:207/1(x), 217/1, 218/3, 219/5, 219/6, 220/7, 220/8, 221/10, 222/12, 223/14, 224/17220/8, 221/10, 222/12, 223/14, 224/17

További gyakorló feladatok az általános gystatisztika (zöld) példatárból:

88/201 88/202 89/203 89/204 89/20588/201, 88/202, 89/203, 89/204, 89/205, 90/207, 91/210, 91/211, 92/213

I d á ítá (3)Indexszámítás (3)(2012. november 14. 10.00–11.30)( 0 o e be 0 00 30)

Indexszámok gyakorlati alkalmazása

Cserearány-mutatók: a gazdálkodó szervezetek által eladott termékeka gazdálkodó szervezetek által eladott termékek árindexét viszonyítjuk a vásárolt termékek árindexéhezárindexéhez.

Cserearány-index (terms of trade):y ( )az adott ország által exportált és az általa importált termékek árindexeinek a hányadosa. Egységnyi y gy g yexportért, hányszor többet, vagy kevesebbet tudunk importálni a tárgyidőszakban a bázisidőszakhoz képest.

I d á k k l ti lk l áIndexszámok gyakorlati alkalmazása

Árolló: azt mutatja meg, hogy valamilyen bevételt biztosító termékek bázisidőszakival azonos volumenéért a tárgyidőszakban mennyivel nagyobb vagy kisebbtárgyidőszakban mennyivel nagyobb vagy kisebb volumenű másféle termék kapható cserébe.

Agrárolló:ő d á i lőiá i d j ka mezőgazdasági termelőiár-indexet osztjuk a

mezőgazdasági ráfordítások árindexével.

A fogyasztói árindex (CPI)

A fogyasztói árszínvonal változását méri.

Azt mutatja meg, hogy a lakosság által f tá i él á á lt t ék k éfogyasztási célra vásárolt termékek és szolgáltatások árai átlagosan hogyan változtak

ik idő k ól á ikaz egyik időszakról a másikra.

Az infláció mérőeszközeként is használják, de ez nem jelent fogalmi azonosítást.

A hazai fogyasztói árindex számítás főA hazai fogyasztói árindex-számítás fő jellemzői (Consumer Price Index – CPI)

a teljes lakosságra vonatkozika vásárolt fogyasztás (fogyasztói kosár) árváltozását gy ( gy )tükrözimintavételes módszerrel készülkínálati árakra épül (reprezentáns árak)havonta készülLaspeyres-típusú (bázisidőszaki súlyozású)a globális árindex mellett különböző termék-csoportokra és lakossági rétegekre is készül indexa közzététel meghatározott szabályozás szerint g ytörténik

Az indexszámítás adatforrásai

Két alappillér:

1. 900 reprezentánsra vonatkozó ármegfigyelés

2. az indexszámításhoz tartozó súlyok2. az indexszámításhoz tartozó súlyok meghatározásaA 160 árucsoporthoz, az ún. alapsorokhoz tartozó súlyarányok a fogyasztás szerkezetét képviselik.

A fogyasztói árindex számításA fogyasztói árindex-számítás harmonizációja az EU országokbanA harmonizálás célja:

Az egyes országok fogyasztói árindexeinekAz egyes országok fogyasztói árindexeinek összehasonlításaA térségekre, országcsoportokra számított g , g pglobális indexhez olyan alapadatok biztosítása, melyek egységesen kezelhetőkAz egyes országok fogyasztói árindexAz egyes országok fogyasztói árindex-számításának módszertani javításaA CPI gyakorlatias és alacsony költségigényű gy y g g ymeghatározása

ÁHICP:Harmonizált Fogyasztói Árindex

IndexsorokIndexsorokKettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozataKettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata

Indexsorok fajtái:de so o ajtáa) Tartalma szerint

- értékindexsorá i d- árindexsor

- volumenindexsorb) Viszonyítás rendje szerintb) Viszonyítás rendje szerint

- bázisindexsor- láncindexsor

c) Súlyozás módja szerint- állandó súlyozású indexsor

változó súlyozású indexsor (B T)- változó súlyozású indexsor (B,T)

IndexsorokIndexsorok Értékindexsorok: BázisLánc

Volumenindexsorok:Bázis

Árindexsorok:BázisBázis

Állandó súlyozásúVált ó úl á ú (B T)

BázisÁllandó súlyozásúVált ó úl á ú (B T)Változó súlyozású (B,T)

LáncÁll dó úl á ú

Változó súlyozású (B,T)

LáncÁll dó úl á úÁllandó súlyozású

Változó súlyozású (B,T)

Állandó súlyozásúVáltozó súlyozású (B,T)

I d kIndexsorok

É

Bázis-értékindexsor (0 év a bázis)

Értékindexsorok:

Bázis-értékindexsor (0. év a bázis)

pqpqpq nn221100 ∑∑∑∑ pq

pqpq

, ... ,pqpq

,pqpq

,00

nn

00

22

00

11

00

00

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

pqpq

(100%)

Lánc-értékindexsor(100%)

pqpq

, ... ,pqpq

, , nn2211

∑∑

∑∑

∑∑−

pqpq

pqpq 1-n1-n1100 ∑∑∑ pq

IndexsorokIndexsorokBázis volumenindexsorok:

Állandó súlyozású bázis-volumenindexsor: (bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak ára)

pqpq

, ... ,pqpq

,pqpq

%,10000

0n

00

02

00

01

∑∑

∑∑

∑∑

Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (B)

∑∑∑

∑∑∑

Vált ó úl á ú bá i l i d (bá i 0 é ) (T)

pqpq

, ... ,pqpq

, %,1001-n0

1-nn

10

12

00

01

∑∑

∑∑

∑∑

pqpq

Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (T)

pqpq%100 nn2211 ∑∑∑ pq

pq

, ... ,pq

, %,100n02010 ∑∑∑ pq

IndexsorokIndexsorokLánc volumenindexsorok:

Állandó súlyozású lánc-volumenindexsor: (állandó súly: a 0. időszak ára)

pqpq

, ... ,pqpq

,pqpq

,01-n

0n

01

02

00

01

∑∑

∑∑

∑∑−

Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (B)

∑∑∑

∑∑∑

Vált ó úl á ú lá l i d (T)

pqpq

, ... ,pqpq

, ,1-n1-n

1-nn

11

12

00

01

∑∑

∑∑

∑∑−

pqpq

Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (T)

pqpq nn2211 ∑∑∑−pq

pq

, ... ,pq

, ,n1-n2110 ∑∑∑ pq

IndexsorokIndexsorokBázis árindexsorok:

Állandó súlyozású bázis-árindexsor: (bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak menny.)

pqpq

, ... ,pqpq

,pqpq

%,10000

n0

00

20

00

10

∑∑

∑∑

∑∑

Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (B)

∑∑∑

∑∑∑

Vált ó úl á ú bá i á i d (bá i 0 é ) (T)

pqpq

, ... ,pqpq

, %,10001-n

n1-n

01

21

00

10

∑∑

∑∑

∑∑

pqpq

Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (T)

pqpq%100 nn2211 ∑∑∑ pq

pq

, ... ,pq

, %,1000n0201 ∑∑∑ pq

IndexsorokIndexsorokLánc árindexindexsorok:

Állandó súlyozású lánc-árindexsor: (állandó súly: a 0. időszak ára)

pqpq

, ... ,pqpq

,pqpq

,1-n0

n0

10

20

00

10

∑∑

∑∑

∑∑−

Változó súlyozású lánc-árindexsor - (B)

∑∑∑

∑∑∑

Vált ó úl á ú lá á i d (T)

pqpq

, ... ,pqpq

, ,1-n1-n

n1-n

11

21

00

10

∑∑

∑∑

∑∑−

pqpq

Változó súlyozású lánc-árindexsor - (T)

pqpq nn2211 ∑∑∑−pq

pq

, ... ,pq

, ,1-nn1201 ∑∑∑ pq

T ül ti i d kTerületi indexekForgalom-, vagy termelésadatok térbeli összehasonlításának g , gyeredményeként jönnek létreAz eddig alkalmazott 0 (bázisidőszak) és 1 (tárgyidőszak) jelölések A-ra és B re módosulnak (A és B a két terület jelölik)B-re módosulnak (A és B a két terület jelölik)Az értékindexet területi összehasonlítás esetén nem értelmezzük!Az összehasonlításnak nincs egyértelmű sorrendje: felcserélhető aAz összehasonlításnak nincs egyértelmű sorrendje: felcserélhető a viszonyítandó és a viszonyítás alapjául szolgáló terület: A/B és B/A relációjú (területi) ár- és volumenindexeket is számolhatunkElté ő l tájú á k té á i d á lálój é őjEltérő valutájú országok esetén az árindex számlálója és a nevezője nem azonos mértékegységű, ezért nem %-os értékként értelmezzük A/B relációjú index esetén jelentése: B ország 1 valutaegysége A ország há l t é é l é tékű B/A lá iójú i d té A áhány valutaegységével egyenértékű. B/A relációjú index esetén A ország egy valutaegysége B ország hány valutaegységével egyenértékű.A területi összehasonlításnál (eltérő valuták) a különböző súlyozású ( ) yindexek közötti eltérés jóval nagyobb lehet, mint az időbeli összehasonlításnál, ezért a Fisher-formula használata kötelező.

T ül ti l i dTerületi volumenindexLegfontosabb alkalmazási területe a nemzetközi

T ül ti l i d t f j i ki h ö h lít dó

Legfontosabb alkalmazási területe a nemzetközi összehasonlítás

Területi volumenindex azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó területen a termelés (értékesítés) mennyisége hányszorosa az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének pj g(értékesítésének).

∑∑ AApqI ∑ABApqI ∑B

AB

AA

BB

BABA pq

pqpqpqIq

∑∑⋅

∑∑

=Fisher/ AB

AABA pq

pqIq∑∑

=A/

BB

BABA pq

pqIq∑∑

=B/

ABBBAB

pqpqIq∑∑⋅

∑∑

=Fisher/

ABBB pqpq ∑∑

BBpqI ∑B ABpq∑AAABA

AB pqpqq

∑∑/

BA

BBAB pq

pqIq∑∑

=B/

AA

ABAB pq

pqIq∑∑

=A/

ü áTerületi árindexAzonos valutájú országok esetén a területi árindexAzonos valutájú országok esetén a területi árindex árszínvonal összehasonlítást jelent.

Eltérő valutájú országok esetén a területi árindex a vásárlóerőEltérő valutájú országok esetén a területi árindex a vásárlóerő paritást fejezi ki.

Vásárlóerő paritás (PPP): azt mutatja meg hogy egy adott országVásárlóerő paritás (PPP): azt mutatja meg, hogy egy adott ország egységnyi valutája a másik ország hány egységnyi valutájával egyenértékű a vizsgált termékek körében.

AAAB pqpqIp ∑⋅

∑=Fisher

A ország egységnyi valutája B ország ennyi egységnyi valutájával egyenértékű.

BABB pqpqIp ∑∑=Fisher

BABBBA pqpq

Ip∑∑

=/y gy g y j gy

AAABAB pqpq

Ip∑⋅

∑=/B ország egységnyi valutája A ország

ennyi egységnyi valutájával egyenértékű.

Feladatok (területi indexek, ( ,indexsorok)

Perfekt Statisztika I. példatár:212/2, 217/2 (területi indexek)

230/28 230/29 (indexsorok)230/28, 230/29 (indexsorok)

További gyakorló feladatok az általánosTovábbi gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból:

101/239, 102/240 (területi indexek)

97/230, 98/231, 98/232, 99/234 (indexsorok)97/230, 98/231, 98/232, 99/234 (indexsorok)

StochasztikusStochasztikus kapcsolatok (1)p ( )(2012. november 21. 10.00–11.30)

Ismérvek közötti kapcsolatokS i ik i i é kStatisztikai ismérvek:

Minőségi ismérvekMennyiségi ismérvekIdőbeli ismérvekTerületi ismérvekTerületi ismérvek

Eddig a sokaságokat egy ismérv szerint elemeztük, most a g g gy ,sokaságokat egyszerre két – egymással valamilyen kapcsolatban álló – megkülönböztető ismérv szerinti

t ítá b k bi á ió tábláb dcsoportosításban, azaz kombinációs táblába rendezve vizsgáljuk. A vizsgálat célja pedig az, hogy van-e és ha van, akkor milyen erősségű/jellegű a kapcsolat a vizsgált kétakkor milyen erősségű/jellegű a kapcsolat a vizsgált két ismérv között.

I é k kö ötti k l t kIsmérvek közötti kapcsolatoka két ismérv (x és y) független egymástól ha x ismérva két ismérv (x és y) független egymástól, ha x ismérv

szerinti hovatartozás nem ad semmiféle többletinformációt az y szerinti hovatartozásról. (ezekkel nem kell foglalkoznunk)

a két ismérv között sztochasztikus összefüggés van, ha az egyik ismérvváltozathoz való tartozásból tendenciaszerűenaz egyik ismérvváltozathoz való tartozásból tendenciaszerűen, valószínűségi jelleggel következtethetünk a másik ismérv szerinti hovatartozásra. Statisztikaszerinti hovatartozásra. Statisztika

a két ismérv függvényszerű kapcsolatban áll egymással, ha a vizsgált egységek x szerinti hovatartozásának ismeretében teljesen egyértelműen megmondható azok y szerinti hovatartozása is (ezt a matematika vizsgálja)szerinti hovatartozása is. (ezt a matematika vizsgálja)

Sztochasztikus kapcsolatok

Különböző okozati jellege lehet az egyes ismérveknek:ismérveknek:x ismérv: ok (magyarázó változó)

é ( )y ismérv: okozat (eredményváltozó)(pl. jövedelemnagyság és húsfogyasztás)

Vannak olyan esetek, amikor az ismérvek ykölcsönösen hatnak egymásra, vagyis az ok-okozati viszony nem egyértelmű, az okság y gy gkölcsönös. (pl. ár és kereslet)

Ismérvek közötti kapcsolatokIsmérvek közötti kapcsolatokA két ismérv jellege szerint a következőA két ismérv jellege szerint a következő sztochasztikus kapcsolatokat különböztethetjük meg:

asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatbanasszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (pl.: nem (férfi,nő) – dohányzás)

k l t ik i ált i é t ül tivegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi vagy minőségi ismérv, a másik mennyiségi (pl.: iskolai végzettség -1 főre jutó bruttó havi jövedelem)korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (pl.: 1 főre jutó bruttó havi jövedelem-1 főre jutó élelmiszerfogyasztás)jövedelem 1 főre jutó élelmiszerfogyasztás) egyszerre több ismérv között vizsgálható a sztochasztikus kapcsolat (II. félév anyaga)rangkorreláció: mindkét ismérv ordinális mérési szintűrangkorreláció: mindkét ismérv ordinális mérési szintű, vagyis sorrendi skálán mérhető.

Ismérvek közötti kapcsolatokIsmérvek közötti kapcsolatok

Az asszociáció és a vegyes kapcsolat esetén egyszerre csak két ismérv közötti kapcsolatot vizsgálhatjuk.

Arra keressük a választ, hogy a két ismérv között:van-e kapcsolat?h k l t kk il ő ?ha van kapcsolat, akkor az milyen erős?

A korrelációs kapcsolat (mennyiségi ismérvek kapcsolatának a vizsgálata) több elemzési lehetőséget biztosít hiszen itt azt is meg tudjuk vizsgálni hogy az egyikbiztosít, hiszen itt azt is meg tudjuk vizsgálni, hogy az egyik ismérv milyen számszerű hatással van a másik (vagy több) ismérv alakulására.

Kontingencia tábla

X/Y

Kontingencia tábla

=ijf együttes gyakoriságok, tényleges gyakoriság a kontingenciatábla i sorában és j oszlopábanj p

peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságaiA ismér álto attal rendelke ő elemek s áma=if Az x ismérvváltozattal rendelkező elemek száma.if

=f peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságai=jf. p gy g , gy gaz y ismérvváltozattal rendelkező elemek száma

n = a sokaság elemeinek a száma

Asszociációs kapcsolat szorosságának méréseAsszociációs kapcsolat szorosságának mérése

1) Alternatív ismérvek esetén:1) Alternatív ismérvek esetén:2 x 2 kontingencia tábla:

/ ÖX/Y y1 y2 Összesenx1 f11 f12 f1.

x2 f21 f22 f2.

Összesen f f n

1211 ff=A két ismérv függetlensége esetén

Összesen f.1 f.2 n

12212211 ffffY

−=

2221 ff=

12212211 ffffY

+= 11 ≤≤− YYule –együttható (Y):

Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése

A Yule-mutató tulajdonságai:

10 ≤≤ Y

0=Y Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya

10 << Y Sztochasztikus kapcsolat

1=Y Függvényszerű kapcsolat

Asszociációs kapcsolat szorosságának méréseAsszociációs kapcsolat szorosságának mérése

2) Általánosan alkalmazható mutatószám (alternatív )és két ismérvváltozatnál több változattal rendelkező ismérvek esetén egyaránt): (ahol s az egyik ismérv változatainak, míg t a másik ismérv változatainak a számát jelenti):

Csuprov-mutató (T):

változatainak a számát jelenti):

)1()1(nT

2

=ts

χ ( )ijij

fff

*

2*2 −

∑∑=χ,ahol)1()1(n −⋅−⋅ ts ijji f

ffn

fff ji

ij..* ⋅

=,aholn

=ijf * függetlenség esetén feltételezett gyakoriság akontingencia tábla i sorában és j oszlopában

4

110

−−

⟨⟨tsT

Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése

A Csuprov-mutató tulajdonságai:

10 ≤≤ T ha s=t10 ≤≤ T

ts < esetén a Cramer-mutatót (C) használjuk:

10 ≤≤ C 4max 1

1,C −==

sTaholT

T10 ≤≤ C max

max 1−tT

2== ts Esetén Y és T mutatók is alkalmazhatók, a T mutató alakja ebben az esetben:

⋅−⋅ ffff

⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅−⋅=

2121

21122211

ffffffff

T

Feladatok (asszociáció)Feladatok (asszociáció) P f kt St ti tik I éld táPerfekt Statisztika I. példatár:

240/2, 241/3, 248/1, 248/2, 249/3, 250/5,240/2, 241/3, 248/1, 248/2, 249/3, 250/5, 250/6 , 252/10, 254/13 255/14 255/15 257/17 257/18255/14, 255/15, 257/17, 257/18, (ezeknél csak a kapcsolat szorosságát jelző mutatókat kell kiszámolni)

További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból:statisztika (zöld) példatárból:

60/127, 60/128, 60/130, 60/132

StochasztikusStochasztikus kapcsolatok (2)p ( )(2012. november 28. 10.00–11.30)

Vegyes kapcsolat

Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi i ő é i i é ( i é i i é )vagy minőségi ismérv (azaz nem mennyiségi ismérv),

a másik mennyiségi ismérv (pl.: iskolai végzettség - 1 fő j tó b ttó h i jö d l )főre jutó bruttó havi jövedelem)

A vegyes kapcsolat elemzése során azt vizsgáljukA vegyes kapcsolat elemzése során azt vizsgáljuk, hogy a mennyiségi ismérv szóródását mennyiben befolyásolja a minőségi vagy a területi ismérv szerintibefolyásolja a minőségi vagy a területi ismérv szerinti csoportosítás.

Heterogén sokaságok

összetett, minőségileg különböző részekből állnak.Heterogén sokaság átlaga a részsokaságokraHeterogén sokaság átlaga a részsokaságokra számított átlagok súlyozott átlaga.

Jelölések:: j-edik csoport átlaga m

∑jx: j-edik csoport tagszáma

: a csoportok számaj

m

jmj

jj

xwxn

x v∑∑= == 1

jnmj , . . . ,1=

: súlyarány

jj

jm

jjn

∑∑ =

=

1

1jj w

nn

=

: a teljes sokaságra számított átlagx

Heterogén sokaságok

Jelölések:= a sokaság tagszáma= a csoportok száma

nm = a csoportok száma

= a j-edik sokaság tagszámax

mjn

= a j-edik csoport átlaga= a sokaság átlaga (főátlag)

jxx g g ( g)

= a j-edik sokaság i-edik elemeijx

Csoportok Elemszám Csoportátlag Csoportonkéntiszórásjn jx jσ

1C 1n 1x 1σ1

2C 2n2x

2σ… … … …

kC kn kx kσ… … … …

k

C

k k k

ÖsszesenmC mn

njx

xmσ

σσ

Például:Egy vidéki nagyváros ingatlanügynökségén értékesítésre váró ingatlanok:g

Eladási ár (m Ft)

Panellakásokszáma

Nem panelből készült lakások száma

Összes lakás (db)

6,1 – 8,0 8 2 10

8,1 – 10,0 15 5 20

10,0 – 15,0 34 12 46

15,0 – 20,0 24 14 38

20,1 – 25,0 7 19 26

25,1 – 30,0 2 8 10

Összesen 90 60 150

A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a számításokat táblázatba foglalhatjuk:

Építőanyag Ingatlanok Csoportátlag Csoportonkénti

számításokat táblázatba foglalhatjuk:

p y g gszáma

p g(eladási ár m Ft)

pszórás

Panel 90 13,872 4,72

jx jσjn

Nem panel 60 18,358 5,93

Összesen 150 15,670 5,68x σn x σn

Jelölések

= teljes eltérés ( )xxij − ijdj ( )= belső eltérés ( )= külső eltérés ( )

ij)( jij xx −

)(

ij

ijBK= külső eltérés ( ))( xx j −

2

jK

= teljes szórásnégyzet

= belső szórásnégyzet

2σ2σ = belső szórásnégyzet

= külső szórásnégyzet

Bσ2Kσ gyKσ

Szórásnégyzetek kiszámítása

S t lj lté éSxx

jn

ij

m

−∑∑ 2)(S: teljes eltérés-

négyzetösszegnS

ni

jj ==

∑∑= =1 12σ

SB: belső eltérés-Snxx BjjjijB ==

−= ∑∑∑ 22

2 )( σσ

négyzetösszegnnnB

S∑ 2)(SK: külső eltérés-

négyzetösszegnS

nxxn Kjj

K =−

= ∑2

2 )(σ

négyzetösszeg

ÖsszefüggésekÖsszefüggésekjijij KBd +=

xxij − )()( xxxx jjij −+−=jjj

Teljes eltérés Belső eltérés Külső eltérés

222KB σσσ +=

Teljes szórásnégyzet Belső szórásnégyzet Külső szórásnégyzet

KB SSS +=Teljes eltérés

négyzet összegBelső eltérés

négyzet összegKülső eltérés

négyzet összeg

Feladat:

Egy főiskolán 4 szakon folyik bachelor képzés. Az alábbi táblázatban a hallgatók napi tanulásra fordított idejére

tk ó d t k t lálh tókvonatkozó adatok találhatók:Szak Napi tanulásra fordított idő (óra) Hallgatók

% os%-os megoszlása

átlaga szórása

Emberi erőforrás 1,5 1,2 24Gazdálkodás menedzsment 2,25 0,8 26Nemzetközi gazdálkodás 1,75 1,5 20Pénzügy-számvitel 2,75 1,3 30

Számítsa ki a σσσ ,, KB mérőszámokat és értelmezze azokat!

Megoldás

12,275,23,075,12,025,226,05,124,0 =⋅+⋅+⋅+⋅=x

2431,0)12,275,2(3,0...)12,25,1(24,0 222 =−⋅++−⋅=Kσ49,0=kσ

22222

212,1469,13,13,05,12,08,026,02,124,0 22222

==⋅+⋅+⋅+⋅=

B

B

σσ

,Bσ

222 += σσσ KB

308,17121,12431,0469,12 =→=+= σσKB

A k l t t tó á iA vegyes kapcsolat mutatószámai

Szórásnégyzet-hányados: megmutatja, hogy a minőségi vagy területi ismérv szerinti csoportosítás hány %-ban befolyásolja a mennyiségi ismérv szóródását

SSH BKBK 1122

2 σσismérv szóródását.

SSH BKBK −==−== 11 22

2

σσSzóráshányados: a szórásnégyzet-hányados négyzetgyöke, amely megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat a nem mennyiségi (csoportosító) és a mennyiségi ismérv között(csoportosító) és a mennyiségi ismérv között.

SSHH BKBKK 1122

2 σσσSS

HH BKBKK −==−==== 11 22 σσσ

A vegyes kapcsolat mutatóinak értelmezése

10 << HSztochasztikus kapcsolat10 2 << H

02HH 02 == HH Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya

12 == HH Függvényszerű, determinisztikus kapcsolat

Feladatok (vegyes kapcsolat)Feladatok (vegyes kapcsolat) P f kt St ti tik I éld táPerfekt Statisztika I. példatár:

264/1, 267/2, 273/1, 273/2, 274/3, 274/5,264/1, 267/2, 273/1, 273/2, 274/3, 274/5, 275/6, 275/7, 279/14, 280/15, 280/16, 281/18 (a 18 as feladat b) részének a megoldása hátul281/18 (a 18-as feladat b) részének a megoldása hátul nem jó!)

További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból:statisztika (zöld) példatárból:

63/137, 65/140, 66/141, 66/143, 67/144

Zárthelyi dolgozatZárthelyi dolgozat (ZH2)( )

(2012. december 5. 10.00–11.30)

Zárthelyi dolgozatZárthelyi dolgozat (Pót ZH)( )

(2012. december 12. 10.00–11.30)