nekomutativna fyzika

Nekomutatívna fyzika

Juraj Tekel

Katedra teoretickej fyziky a didaktitky fyzikyFMFI, UK

Smery fyzikalneho vyskumu4.5.2015

Krátke zhrnutie

Čo je nekomutatívna fyzika.Prečo chceme nekomutatívnu fyziku.Aké má nekomutatívnosť dôsledky.Na akých problémoch pracujú ľudia z našej fakulty.

Nekomutatívnosť

⇓

Netriviálna štruktúra na krátkych vzdialenostiach

Juraj Tekel Nekomutatívna fyzika

Funkcie na úsečke


Ako vyzerá kmitanie struny?

Harmonické frekvencie zodpovedajú rôznym módom kmitania struny.


Zakladný mód


Vyššia harmonická


Ako vyzerá kmitanie struny?

Výsledné kmitanie je zloženie takýchto kmitov

u(x, t) =

∞∑n=1

[(ak sin

nπt

L+ bk cos

nπt

L

)sin

nπx

L

]Pre nás budú dôležité „bázové“ funkcie

sinnπx

L

Každú funkciu na intervale môžeme vyjadriť ako lineárnu kombináciutýchto funkcií

f(x) =

∞∑n=1

ck sinnπx

L

Pre iné správanie na okrajoch iná sada bázových funkcií, všeobecne teda

f(x) =

∞∑n=1

ckΦk(x)


Napríklad


Všeobecný prípad

Takáto báza sa dá nájsť pre ľubovoľný priestor (s konečným objemom)

f(~x) =∑K

cKΦK(~x)

Takéto funckie tvoria algebru- dajú sasčítavaťnásobiť čislomnásobiť medzi sebou (f · g)(~x) = f(~x)g(~x)

V takejto algebre je zakódovaná celá informácia o pôvodnom priestoreDôležitý špeciálny prípad - dvojrozmerná sféra


Funkcie na sfére


Sférické harmoniky


Sférické harmoniky

Ľubovoľná funkcia na sfére sa dá napísať ako

f(θ, φ) =

∞∑l=0

l∑m=−l

clmYlm(θ, φ)

Analóg sínusov a kosínusov, tiež vlastné funkcie Laplaceovho operátora.A teraz príde nekomutativita! Aj keď zatiaľ trochu v prezlečení.


Nekomutatívna sféra

Budeme študovať inú algebru funkcií, ktoré sa dajú napísať ako

f(θ, φ) =

L∑l=0

l∑m=−l

clmYlm(θ, φ)

Tie isté sférické harmoniky, ale iná suma.Zaviedli sme obmedzenie na najvyššiu možnú hodnotu l. Kde je tunekomutativita? Pre takéto funkcie pobodový súčin nie je elementomalgebry fg sa nedá takto napísať. Aby sa dalo, musíme upraviť súčinbázových funkcií

(Ylm · Yl′m′)(θ, φ) = Ylm(θ, φ)Yl′m′(θ, φ)→ (Ylm ∗ Yl′m′)(θ, φ)

ktorý sa ukáže byť nekomutatívny

Ylm ∗ Yl′m′ 6= Yl′m′ ∗ Ylm

Toto sa spraví prevedením takejto algebry na maticovú algebru a„požičaním“ maticového násobenia.


Netriviálna štruktúra na krátkych vzdialenostiach

Veľmi dôležitý dôsledok.V takomto priestore neexistujú body. Nevieme povedať „Tu!“ . Intervalynevieme deliť na nekonečne malé kúsky.Body boli v pôvodnej algebre zakódované ako δ-funkcie, tj. funkcie ktorésú nenulové iba na veľmi malom kúsku.Funkcia Ylm má ∼ l2 maxím a miním, na lokalizovanie funkcie na priestoro ploche ∆x2 potrebujeme funkciu Ylm s

l ∼ 1/∆x

Keďže k dispozícií nemáme ľubovoľne veľké l, nevieme ísť s ∆xľubovoľne nízko.


Všeobecné nekomutatívne priestory

Všeobecný nekomutatívny priestor je zakódovaný v nekomutatívnejalgebre rovnako, ako je komutatívny priestor zakódovaný v komutatívnejalgebre.Nekomutatívna verzia daného komutatívneho priestoru vznikne z orezaniaalgebry funkcií.Videli sme, že v takýchto priestoroch vzniká štruktúra na krátkychvzdialenostiach, je rozmazaný.


Prečo chceme netriviálnu štruktúru?


Prečo chceme netriviálnu štruktúru?

Spojenie kvantovej mechaniky a všeobecnej relativity to predpovedá!Keď chceme odmerať čosi, čo má priestorový rozmer ∆x, musíme na toposlať časticu s vlnovou dĺžkou menšou ako táto hodnota. Podľa deBroglieoho to znamená poslať časticu s energiou

E ∼ 1

∆x

Avšak keď pôjdeme s ∆x nižšie a nižšie, vytvoríme takú koncentráciuenergie, že vznikne čierna diera. Výsledok takého experimentu budeukrytý za horizontom čiernej diery a túto informáciu nemôžme získať.Nie je prekvapením, že toto sa začne diať na Planckovych škálach.

RS =2GM

c2, E = Mc2 , E =

hc

λ⇒ L =

√2

√hG

c3︸︷︷︸lpl


Kvantová mechanika

Podobný argument ako v kvantovej mechanike, ktorý vedie k neurčitostimedzi meraním polohy a hybnosti. Tam má netriviálnu štruktúru(nevieme povedať „Tu!“) fázový priestor.Tu dostávame princíp neurčitosti medzi meraním polohy v rôznychsmeroch

∆xi∆xj ≥ čosi

Tu sa uzatvára kruh medzi nekomutatívnosťou a štruktúrou na krátkychvzdialenostiach. V kvantovej mechanike sme princíp neurčitosti dostali znekomutovania operátorov polohy a hybnosti. To znamená, že to istédosiahneme nekomutovaním operátorov súradníc

[xi, xj ] = iθij

Stláčanie častice v jednom smere nám ju roztiahne v inom smere.


Čo sa teda v nekomutatívnej fyzike naozaj robí?

Za konfiguračný priestor častice sa zoberie nekomutatívna verziapriestoru.Na takomto priestore sa napíše (kvantová) teória, ktorá ma zaujíma.Sledujú sa dôsledky.


Dôsledky nekomutatívnosti a experimentálnehranice


Zachovanie symetrie

Aj jednoduchá mriežka zavádza najmenšiu možnú vzdialenosť. Tá všakmá menšiu symetriu ako pôvodný priestor. Posunutia iba o mriežkovývektor, obmedzené otočenia.Nekomutatívny priestor má tie isté symetrie, ako pôvodný priestor.Najlepšie to vidno na nekomutatívnej sfére v reprezentácií cez funkcie

f(θ, φ) =

L∑l=0

l∑m=−l

clmYlm(θ, φ)

Každu z harmonických funkcií v tomto rozvoji viem ľubovoľne otočiť ateda viem otočiť aj výslednú funkciu f . A odpovede na otázky, ktoré súvo funkciách zakódované viem dostať aj otočené.Nekomutatívnosťou sme nestratili žiadnu symetriu.


Zachovanie symetrie


Zachovanie symetrie

Aj jednoduchá mriežka zavádza najmenšiu možnú vzdialenosť. Tá všakmá menšiu symetriu ako pôvodný priestor. Posunutia iba o mriežkovývektor, obmedzené otočenia.Nekomutatívny priestor má tie isté symetrie, ako pôvodný priestor.Najlepšie to vidno na nekomutatívnej sfére v reprezentácií cez funkcie

f(θ, φ) =

L∑l=0

l∑m=−l

clmYlm(θ, φ)

Každu z harmonických funkcií v tomto rozvoji viem ľubovoľne otočiť ateda viem otočiť aj výslednú funkciu f . A odpovede na otázky, ktoré súvo funkciách zakódované viem dostať aj otočené.Nekomutatívnosťou sme nestratili žiadnu symetriu.


Regulácia integrálov

Najmenšia možná vzdialenosť znamená najväčšiu možnú hybnosť (opäť deBroglie) a najväčšiu možnú energiu. V situáciách, kedy nevlastné integrálycez energie divergujú to prináša úľavu. Odpoveď na rozumné otázky jepotom často pomer dvoch takýchto integrálov a namiesto výrazov

∞∞

=???

dostávame výrazy

veľké ale konečné čísloveľké ale konečné číslo

= normálne slušné číslo


Regulácia integrálov

Kvantová teória poľa je plná takýchto výrazov a to bolo prvé miesto, kdesa vo fyzike nekomutativita objavila.Tu sa ale aj ukazuje veľmi netriviálny problém týchto teóriu, UV/IRmixing. Nekomutatívne teórie sú veľmi iné ako komutatívne.Procesy na malých škálach dávajú efekty aj na veľkých škálach. Keďpoviem že čosi sa stalo Tu! veľmi presne v jednom smere, neviem kdepresne sa to stalo v inom smere.Prehadzovanie veľmi lokalizovaných častíc.Tento rozdiel zostane aj v komutatívnej limite. V limite θ → 0 sa priestorvráti do pôvodnej podoby, ale teória na ňom si nekomutativitu pamätá.


Experimentálne hranice

Nekomitativitu priestoru a ani žiadnu štruktúru na krátkychvzdialenostiach sme ešte nevideli.Najprísnejšie ohraničenie je zo štúdia žiarenia kozmického pozadia, hronáhranica na jednotkovú bunku priestoru je

10−30m až 10−35m

Odhady ukázali, že bude asi ešte oveľa menej.


Nekomutatívny štandardný model časticovej fyziky

Problémom fyziky je nekonzistentnosť formalizmu gravitačnej sily aostatných interakcií.Gravitácia je geometrická, látka a interakcie sú časticové.Snaha je napísať gravitáciu ako časticovú teóriu, kvantovú teóriugravitácie.Môžeme sa ale pokúsiť aj o opak. Napísať časticovú teóriu akogeometrickú teóriu.Symetriou časopriestoru sú Lorentzove transformácie.Symetriou Štandardného modelu je grupa SU(3)× SU(2)× U(1).Idea je teda mať priestor, ktorého grupa symetrie je

SO(3, 1)× U(3)× SU(2)× U(1)

Tento priestor je nekomutatívny. Na tomto sa intenzívne pracuje, užexistujú aj predpovede modelu, napríklad hmotnosť Higgsovho bozónu jev ňom predpoveďou a veľmi uspokojivo sedí s nameranou hodnotou.


Efektívny popis systémov

Nekomutativita je dôležitá aj ako efektívny popis systémov.V takom prípade sa nikde nepovie, že čosi je „naozaj“ nekomutatívne.Avšak dynamika systému môže byť taká, že „komutatívne“ správaniesystému obmedzí a bude popísané nekomutatívnou matematikou.V tuhých látkach, napríklad Halov jav. Silné magnetické pole obmedzíživotný priestor elektrónov v kove tak, že budú efektívne nekomutatívne.


Nekomutativna fyzika na FMFI


Peter Prešnajder

Skupina okolo profesora Prešnajdera študuje trojrozmernú nekomutatívnukvantovú mechaniku.Z akéhosi dôvodu je trojrozmernosť problematická, ale podarilo sa imnejak to naformulovať.Našli nekomutatívne opravy k energií atómu vodíka, hrubou silou ajveľmi elegantne algebricky. Explicitne našli horné ohraničenie na energiuvoľnej častice.Aktuálne študujú detailnejšie správanie voľných častíc, riešia harmonickýoscilátor a začínajú sa venovať čiernym dieram v nekomutatívnompriestore.


JT

Ja sa venujem nekomutatívnej teórií poľa. Častice = vlny v poli.Študujem fázovú štruktúru a fázové prechody vo veľmi zjednodušenomsystéme. Veľa netriviálnych otázok a problémov.Cieľom je lepšie pochopiť problém UV/IR mixingu, najmä spôsobu akopísať teórie, ktoré ho nemajú a ktoré v komutatívnej limite dajúpožadovanú teóriu.


Vďaka za pozornosť!


nekomutativna fyzika

Science