những bài toán chọn lọc và phương pháp giải hình học giải tích trong mặt...

8/20/2019 Những Bài Toán Chọn Lọc Và Phương Pháp Giải Hình Học Giải Tích Trong Mặt Phẳng - Hồ Sĩ Vinh

1/156

HÒ SI VINH(Khoa Toán trường ĐH S ư ph ạm Hà N ội II)

NHỮNGBÀI ĨIẨNCHỌNLỌC& PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Hình học giải tíchTRONG MẶT PHẲNG

Đanh choHS íồp 11; 12 chựtíng trình Cdban ;̂Phanban;vaNangcao

V Kiến thức cơ bán.Y Phương pháp giái từng loại bài tập.■/ Các dạng bài tập điển hình hay và đa dạng ỵ Bám sát chuẩn kiến thức v àk r năng. s Giới thiệu các đê thi hình học giái tích của

các trường và Bộ GD&ĐT.

ĐLni ' _ %NHÀ KOÂĨ BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


2/156

Cùng tác giả:

NBiNo CỬỌA' c

..... .... - r *4-ỉ





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


3/156





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


4/156

LỜI GIỚI THlệU*

Cuốn sách. "Những bài ỉoán chọn lọc & phương pháp giải Hình

học giải tích trong mặt phẳng" được biên soạn dựa vào chương trình phổthông hiện hành, nhằm giúp cho học sinh: ôn tập, hệ thông toàn bộ kiếnthức về hình học giải tích trong mặt phang; đồng thòi cuốn sách là tàiliệu rấ t tốt giúp cho học sinh ÔX1tập để chuẩn bị thi vào các trường đạihọc vă cao đẳng. Với mục đích đó, cuốn sách được trình bày thành 6

phần:* Phần th ứ nh ất s: Đường thẳng* Phần th ứ hai : Đưòng tròn* Phần th ứ ba : Đưòng Elíp

* Phần th ứ tư : Đường Hypecbon* Phần thứ năm : Đường Parabon* Phần th ứ sáu : Phần phụ lục: gồm các đề thi tuyển sinh vào

đại học từ năm 2002 đến năm 2010 (phần hình học giải tích trong mặt phẳng).

Trong mỗi phần, tác giả đã trình bày phần lí thuyết cơ bản. Cácloại bãi tập - Phương pháp giải từng loại bài tập và Bài tập tự luyện tập.Tác giả đã cố gắng chọn lọc các bài tập điển hình, các lời giải hay và lòigiải các đề thi tuyển sinh đại học về phương pháp tọa độ trong mặt

phang. Khi sử dụng cuốn sách này. độc giả nên sử dụng theo thứ tự đã

được trình bày: từ lí thuyết ~phương pháp giải từng loại bài tập và bàitập tự luyện. Tác giả hi vọng cuốn sách sẽ giúp ích nhiều cho các em ôntập chuẩn bị thi vào các trường Đại học và Cao đẳng và làm tốt phần:đường thẳng, đường tròn, các đường cô-níc trong mặt phẳng.

Trong quá trình thực hiện, cho dù đã có nhiều cố gắng, cuốn sáchnày chắc chắn vẫn không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả rấtmong được độc giả đóng góp ý kiến xây dựng.

Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:- Trung tâm Sách giáo dục Anpha

225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp. HCM-- Công tĩ TNHH An pha VN50 Nguyễn Văn Săng, Q. Tân Phú, Tp. HCM.ĐT: 08. 62676463, 38547464 .

Email: [email protected] chân thành cám ơn!

Tác giả





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


5/156





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


6/156

MỘT SỐ KIẾN THÚC c o BẢN

A. VÉC Td - CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC Tơ TRONG MẶT PHANGTrong mặt phẳng tọa độ cho 2 véc tơ: ã = (ạt, aj), b = (bj,

1) ã = b o ai =bi

2̂ = 2̂2) ã ± b - (at ±bl,a.2 ± b2) ■ . . ■"■■■' ■ị^lặỊị;V'

õ = (0; 0), ã + õ = ã, ã + (-ã) = õChứ ý: Sử dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành để cộng yẻc tơ 3) kã = (ka,; ka2)

+) k > 0 thì kã và ã cùng hướng+) k < 0 thì k ã và ã ngược hướng

+)k = 0 th ìkã = õ V •Ta có: * (k.l) ã = k(Iã) - l(kã ) : ' / -V °-* (k± l)ã - kã ± lã :* k(ã ± b) = kã ±k b

4) Độ đài véc tơ: ã : Iă I = ìịaị + dị

r2a =[aj -a r + a;

5) Tích vô hướng của 2 véc tơ là ỉ số thựcã .b = ajb2 + a2b2, (.ă. b = Iã LI b Lcos( ã , b ))

Tính chất:+ ã . b = b.ã+ k(ã -b ) = (k ã) b = ã (kb)+ ă(b + c)= ã.b ± ã C

6) Góc giữa 2 véc tơ ã và b :

cos(ã, b) =

íc tơ ã và b :

ã.b -f a0b2

|ãỊ.jb| 7 aỉ + a 2-Vb? + b 2

,b = 0 ajbj + a ^ - O7) ã _L b ã .b = 0 ajbj + â ữ2 = 08) Véctơ ã và b cùng phương khi ỵà ctó fchi a -k b

a, b,aj = kb:; a2= kb2hoặc ' - 0

■a29) A(Xj, B(x2, y2)

AB = N/(x2- x 1)2+(y2 - y 1)ĩ

5





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


7/156

M là trung điểm đoạn AB: <*M=

X-, +X, _ 1

yM=

B. MỘT SỐ KIẾN THỨC cơ BẢN KHÁC

I. ĐỐI VỚI TAM GIÁC ABC

1. Công thức tính diện tích tam giác ABC

s= —ah* =—bhb = —chc = -absiĩiC =—acsinB = ịb csinA2 2 2 c 2 2 2

abc= * pr = V p ( p - a)(p - b)(p - c)4R

(p = -a + —+c. ; R: bán kính đường tròn ngoại tiếp; r: Bán kính đường tròn2nội tiếp).

2. Trọng tâm tam giác ABC: điểm G là giao điểm 3 đường trung tuyến

a) GÃ + GB + GC = Õ,01àđiểmbấtkìthì ÕG = Ỉ(ÕÃ + ÕB + ÕC)

Tọa độ trọng tâm G:XG = f(XA+XB+XC>

y a = |(y A +yB + yc)

Hoặc: Nếu AM là trung tuyến, G là trọng tâm AABC khi: AG = 2 GM

b) Độ dài đường trung tuyến:

4m^ = 2b2+ 2c2- a 2;

4m* = 2a2 ~2c2 - b 2;

4m* = 2a2 + 2b2 - c2

3. Trực tâm H của tam giác ABC ĩà giao điểm của 3 đường cao , ^ ^ tr c'u; ÍÃH.BỌ-0+ Tìm điem H giải hộ phương trình:


8/156

4' Tâm I của đường trốn ngoại tiếp tam giác ABC ỉà giao điểm 3 đườngtrung ỉrực của tam giác+ Tìm điểm I: Giải phương trình: IA. = EB = IC hoặc tìm giao điểm của 2

„ A _ , * -ĩ- ÍĨM-ÃB = 0 w XT xđường trung trực cúa tam giác ABC; hoặc giải hệ


9/156

PHẨN I. ĐƯỜNG THẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGa) Véc tơ pháp tuyến của'đường thẳng A, viết tắt VTPT đọc là véctơ pháp

tuyêV*

* Véctơ n í õ được gọi là VTPT của đường thẵng AKhi véctơ íi có giá vuông góc với đường thẳng A* Nếu n * õ là VTPT của đường thẳng A thì k n ^ õ(k * 0) cũng Ịà một VTPT của đường thẳng A.

b í Véctơ ũ * õ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng À (viết tắt làVTCP) khi véctơ ũ có giá song song hoặc trùng vái đường thẳng A.

Nếu ủ * õ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A thì lũ (1 ̂ 0)cũng là một véctơ chl phương của đường thẳng A.* n là 1 VTPT của A, ũ ià một VTCP của A thì ũ . n = 0.

A. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng A _______ I Ax + By+ c = 0 vởi A2 + Bz> 0

Chủ ý: + A có VTPT ià n = (A; B) ^ ồ+ Một VTCP của A là ũ = (-B; A), hoặc là V = (B; A)+ Để lập phương trình đường thẳng A dưới dạng tổng quát thì A phải điqua điểm M(x0; y0) và A có ỉ VTPT: n = (A; B)

A: A(x - Xo) + B(y - y0) = 0+ Muốn tìm một điểm M nằm trên A ta cho Xmột giá tritùy ý, thay vào phương ưình Á để tìm y. Hoặc cho ỵ một giá trị tùyý thay vào A để tìmX. Ta được M(x, y) € A. .

Ví du 1: Cho đường thẳng A: 3x - 2y + 6 = 0a) Tìm 1VTCP, 1 VTPT của A;

Bài giải* Một VTPT của A là: n = (3; -2) 5* Một VTCP của A là: ũ = (2; 3)

b) Tìm điểm M nằm trên A; điểm N(l; -1) có nằm trên A không? Bài giải

* Trong phương trình A cho X= 0 ta được y = 3Vậy M(0; 3) e A (hay A đi qua điểm M) _ fx = l

* Thay ị vào A ta đươc: 3 + 2 + 6 = 0sai vây N Ể Aly = - l '





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


10/156

Chú V: Điểm M(x0, y0) e A: Ax + By + c = 0 khi và chỉ khi đẳng thứcAXfì + Byn+ c = 0 đứng, nêái đẳng thức AXf) + Byn+c = 0 sai thi M g A.

Ví du 2: Cho đường thẳng A: mx + (m - 3)y + 2 = 0 (m là tham số)a) Tìm m để A đi qua điểm M(l; 1).

b) Tìm những điểm cố định mà A luôn đi qua với mọi giá trị của m.c) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà A không đi qua dù .m nhận

bất kì giá tri nào.____________________________________________ Bài giảia) Đường thẳng A đi qua điểm M(l; 1) khi:

m + m - 3 + 2 = 0 m = Ạ2

b) Gọi điểm M(x0, y0) là điểm cố định mà A luôn đi qua với mọi giá trị củam. Khi đó phương trình: mXo + my0 - 3y0+ 2 = 0 nghiệm đúng Vmo- m(x0+ y0) = 3y0 ~ 2 (1)Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá in của m khi và chỉ khi:

í" =- i Jx0+y0 =0 x° ’ 3[3y0-2 = O 2

° ~ 3» ( 2 2ÌVậy vói mọi giá tậ của m, A luôn đi qua một điểm cố định là Ml j .

c) Gọi N(x1;y1) là điểm mà A không bao giờ đi qua khi đó phương trình

(1), vô nghiệm (đối vói m)

y0 0

y° #3(1) Vô nghiêm khi và chỉ khi | x° +y°

|3y0-2^0

Kết luận: Với mọi giá trị của m đường thẳng A không bao giờ đi qua

những điểm nằm trên đường thẳng y = -X trừ j

Ví du 3: Lập phương trình đường thẳng A đi qua điểm M(2; -3) và A nhậnn = (2; —1) làm một véctơ pháp tuyến. _______________ _______

Bời giải Phương trình đường thẳng A đi qua điểm M và nhận n = (2; -1) làm mộtvéctơ pháp tuyến có phương trình ỉà:

2 (x -2 ) - l (ỵ + 3) = 0 < ^ 2 x -ỵ -7 = 0Mỏt số dang đăc bỉềt của phương trình tổng quát của đưòng thẵngà) Phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ: Ax + By = ọ . r .

b) Phương trinh đưcfng thằng: song song hoặc ừùng voí Ox

9





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


11/156

r i - ì ' By 4- c = 0 (B ̂ 0) , vc). Phương trình đườrig thẳng song song hồặc trùng với Oy: Ax + C - 0d)Ị$ương trình đựờng thẳng đi qua A(a; 0) •€ Ox và B(0; b) e Oy với ab * 0

—+—= 1 là đường thẳng lập theo đoạn chấna b '

e). Phương trình đường thẳng A theo hệ số góc: y = kx + m: Với k là hộ số góc của đường thẳng À£ - tana: a góc hợp bcấ đường thẳng ủ và chiều đương của trục hoành

Hệ số góc của đựờng thẳng đi qua 2 điểm M, N: k = — ~yN (xM* XN)

Ví du 4: Cho điểm M(2; 3) lập phương trình đường thẳng A đi qua điểm Mvà A cắt 2 trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho M và trung điểm củađoạn AB______________ _ ______ , ____ ______ ____

B ài giải .Gọi A(a; 0), jB(0; b) yới a, b ̂0

V X VPhương trình đường thắng A qua A, B: —+ —=1a b

*M là trung điểm của đoạn AB khi:f2xM=xA+ xB ^ Í4==a + 0 fa = 4

l2yM=yA+yB (6 =0+b [b = 6

Vây A có phương trình: “ + —= 1 0 _ OA=Ịaị = a

OB - |b| = bDiện tích AOAB = —OA.OB

s = —ab2

Vì a, b dương nên áp dụng BĐT Côsi ta được:

a b Va b Vab

10





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


12/156

Vãb > 2V2 ab > 8 s ——ab > 42

a - 4Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉ khi:

b = 2la b

ía =4MinS = 4 đat được khi ị

Vậy phương trình đường thẳng A có dạng:

— + L - ! 2x + 4y = 8 X4- 2y - 4 = 0.4 2

2. Phương trình tham số của đường thẳng A

Đường thẳng À đi qua điểm M(Xo, y0) và nhận ũ = (a, b) * 0 làm rriột

véctơ chỉ phương có phương ưình tham số:

Ví du 6: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điem

Ta có MN = (5; 1) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng qua MN:

, ■> íx = —2 + 5tPhương trình tham số của đường thắng MN có dạng: < (te í()[y - 1 + t

Chá ý: Muốn lập phương trình tham số của đường thẳng phải chỉ ra đượcmột VTCP của đường thẳng và một điểm e đường thẳng đó.

Ví du 6: Cho phương trình tham số của đường thẳng A:

a) Lấy điểm M € A. b) Chỉ ra một VTCP của Á.c) Điểm A(2; 3) có nằm trên A không?

Bài giảia) Muốn tìm một điểm nằm trên A trong phương trình tham số của A tùy V

chọn í giá trị của t thay vào phương trình A ta lấy được điểm M ẽ A.

M(-2; 1) và N(3; 2). Bài giải

11





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


13/156

fx = 2Chang han cho t = 0 ta đươc < đươc M(2; -1) 6 A.

■ [y = - i1>) Một véctơ chỉ phương của A là ã =(-1:1).

[x = 2c) Thay tọa độ của điểm A: { vào phương trình À ta được:

[y = 3

Ví du 7: Lập phương trình tham số của đường trung trực của đoạn AB:J ______________________ A(3; -1), B(l; 3). _________

Bài giảiTa có BA = (2; —4) chọn ủ = (1; -2) là một VTCP của đường thẳng quaAB; gọi 1(2; 1) là trung điểm của đoạn ABĐường thẳng A là trung trực của đoạn AB thì A đi qua điểm I và nhận véctơ ũ

là VTPT của A nên nhận vécíơ V _Lũ , V = (2; 1) là một véctơ chỉ phương

f x —2 4"2t (í 6 R)y = l + t

3. Phuơng trình chính tắc của đường thẳngĐường ĩhẳng A đi qua điểm M(x0; y0) và nhận véctơ ũ - (a^ Ậ õ lấm

1 - ía, ^ 0 , '■ ■một véctơ chỉ phương với điều kiên: \ có phương trình chính tẵc :là:

(a2*0 -

A: x - x 0 _ y - yơ| Ì'_____%______ a2

Chú ý: Muốn lập phương trình chính tắc của A phậi tìm được một véctơ chĩ phương của A: ũ —(aj5%) với aj và ạ> phải khác 0 và tìm đựợc một điểmM(xn;y0)eA . ■ị

Ví du 8: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng À đi qua 2 điểm A(-l; 2)và B(2; 1). _________________________________________________

Bài giãi

Lập AB = (3; -1) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng A qua A, B

Phương trình chính tắc của A: = - ~ 2 ________ ĩ _____________________ 3 -1 ___________________________

, X +1 y - 1Ví du 9: Đường thắng A có phương trình chính tăc A: —-— =-----

2 1a) Tìm điểm M; N e A. b) Điểm A(2; 3) có thuộc A không?c) Chỉ ra 2 véctơ chi phương của A. ________________________________

2 = 2 —t ft = 0ì hê vô nghiêm. Vây A Ể A.

3 = - l + t t = 4

12





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


14/156

Bài giảia) Cho Xtùy ý vào A, tìm y

Chẳng hạn cho X = -1 thay vào A tađuợc y = 1 nên M(—1; 1) € AV — 1 t

Cho X = 1 thay vào A ta được -——= 1 y = 0 được điểm N(l; 0) e A.

b) Thay Jx = ̂ vào A ta đươc: —= -2 đẳng thức saily = 3 v 2Vậy: A ể A.

c) 2 véctơ chỉ phương của A là ũ = (2; -1) và V = (-2; 1).

4. Sự chuyển đổỉ dạng phương trình của đường4hẳnga) Cho phương trình tong quát của đường thẳng A Hãy ỉập phương trình

tham số, phương trình chính tắc cua Â

Ví du 10: Cho đường thẳng A: 3x —4y + 8 = 0

Hãy lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của A Bài giải

* Lập phươĩig trình tham số của ACách 1: Trong phương trình A, tùy ý đặt Xhoặc y bằng kt, giải phươngtrình tìm hoặc Xtheo t, ta được phương trình tham số À:Chẳng hạn đặt X= 4t thay vào À ta được phương trình:

4.3t -4 y + 8 = 0y = 3t + 2f X = 4t

Phương trình tham số của A:


15/156

4 3b) Cho phương trình chính tắc của đường thẳng A, lập phương trình tham

số, phương trình tổng quất ____________ _________________

Ví du 11: Cho đườns thẳng A: K + ̂-= ——- 0 5 2 - 1

Hãy lập phương trĩnh tổng quát, phương trình tham số của A. Bài giải

* Lập phương trình tổng quát của A. Từ phượng trình chính tắc của A tađược: -x -l= 2 y -4 < ^ > x + 2 y -3 = 0.

X+ 1 y —2* Lập phương trình tham số A: Đặt — ■— = t thì —— = t

Ta đươc Jx = * (t e R) là phương trình tham số của A[y = 2 - 1 :

Hoặc A có 1VTCP là ũ = (2; -1) và A đi qua điểm M(—1; 2) nên phươngV, , •>* fx = - l + 2t 'trmh tham sô của A: ( te R).

Ịy = 2 - 1

B. MỘT SỐ BÀ! TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG Bài toán 1: Lập phương trinh đường ỉhẳng đì qua 2 điểm

Cho điểm M(x l; Y j), N(x2; y2), lặp phương trình đường thẳng A đi qua 2điểm M,N.Trong mọi trường hợp lập phương trình tham số của A thì A qua M, N cóVTCP: MN = (x2 - X,; y2- }\)

« p h u o n g t t ì ^ = ̂ § - ^ ‘ ( , eR )Ịy = yi+(y2-yi )t :

Lập phương trình tổng quát chính tác của đường thẳng A qua M, NTrường hop 1: Nếu 1 2 thỉ không có phương trình chính tắc của A

Ưi=y2* Nếu X j = x 2 (y! ̂ phương trình tổng quát của A ià X = X1 (hoặc X = X2)

Ví du: Cho đường thẳng A có phương trình: X = 2X-2 = G

* Nếu Yi = y, (Xj * x2) phương trình đường thẳng A có dạng: y = Vj





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


16/156

- Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M(2; -3 ) và N(-l; -3)A: y = -3 y + 3 = 0

Trường hợp 2: ị•1>71*y 2

a) Lập phương trình đường thẳng A dưới dạng chính í ắc:

^ x - X ị y - y ,Có dạng:----- — = ■■ 1x2- x 1 y2 -Yi

* A đi qua điểm M hoặc là điém N* VTCP của A ỉà MN hoặc NM

b) Lập phương trình đường thẳng A theo hệ số góc:

Hệ số góc cùa đường thẳng A: K = — x 2 - X j

Phương ưình đưòng thẳng A: y = k(x - Xj) + yj

c) Đường thẳng A có phương trình: y = ax + b cho A lần lượt đi qua M, Nđược hệ phương trình có 2 ẩn a, b giải hệ phương trình tìm a, b lập đuực phương trình A.

Ví du 12: Cho tam giác ABC với A(4; - ỉ), B(-3; 2), C(l; 6)Lập phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắccủa các đường thẳng AB, AC, BC, ______________________________

Bài giảia) Phương trình canh AB: AB = (~7; 3)

íx - 4 - 7t,

* Phương trình tham sô cạnh AB: ị (tj € R)[y = -1 +3tj

* Phương trình chính tắc của AB: - —— ồ -7 3

* Phương trình tổng quát của AB: 3x + 7y - 5 = 0Cách khác lập phương trình tổng quát của AB:

Hệ số góc đường thẳng AB: k = -yB~ yA _ _3_ XB - X A ~7

_ 3Phương trình AB: y = - —(x - 4) - 1 3x + 7y - 5 = 0

Hoặc đường thẳng y = ax + b đi qua A, B ta được hệ phương trình:

íÍ4a + b = - l j a 7ị-3a + b = 2 I 5

l 73 5

Vậy đường thẳng AB có phương trình: y - --X + - 3x + 7y - 5 = 0

15





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


17/156

b) Phương trình canh ACLập tương íự như phương trình cạnh AB:

_ , fx = 4~3to+ Phương trình tham sô AC: < (t2 € R)

[ y = - 1 + 7 t 2

+ Phương trình chính tắc AC: X—^-3 7

+ Phương trình tổng quái AC: 7x + 3y - 25 = 0c) Phương trình canh EC, I"X = - 3 + 1,

+ Phương trình tham số: < (t3e R)|y=2+tg -

+ Phương trình chính tắc: ——- =1 1

+ Phương trình tổng quát: X- y - 5 = 0.

Bài toán 2: Lập phương trình đưòng thẳng A đi qua điểm M(Xo; y0) và

biết phương của đường thẳng A _______ ___ '... ,. • ______ _ a) Lập phương trình đường thẳng A đi qua điểm y0) và Ạ vuông góc vối

đưòng thẳng A’ ________________________ _ Chứ Ý:

* Đường thẳng A: ax + by + c = 0A': a’x 4- b’y + c' = 0Acó 1 VTPT: n J= (a; b), A' có 1VTPT: n 2= (a'; b') Á J_ A o n I 2“ 0* A _!_A’khi và chỉ khi VTCP cùa A là VTPT của A' và ngược lại* A:y = a,x + bjA': y = a2x + b2A; _!_A2a,.a2= -1.

Ví du 13: Cho đường thẳng À': 3x - 4y + i = 0 và điểm M(l; 1), lập phươngtrình đường thẳng A đi qua điếm M và A _LA' _________________ _____

Bài giảiCách 1: Đường thẳng A’ có 1 VTCP ỉà ã = (4; 3) vì Á ± A' nên A nhận ã

làm 1VTPT:

Phương trình tổng quát của A: 4(x - 1) + 3(y “ l) = 04x + 3y -7 = 03 1Cách 2: Đường thẳng A': y ~ —X+ — 4 4

3Hệ số góc của A' là kj = —. Gọi hệ số góc của A là k2.

4. 4

Để A1 Ạ' thì k].k2~ -1 ta được k2=3

]6





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


18/156

4A có phương trình: y = —- (x - 1) + 1 4x + 3y - 7 = 0.

______ 3 ___________ b) Lập phương trình đường thẳng À đi qua điểm M(Xo', y0) yà A song song với

đường thắng A'Chủ ý:

* A: y = ajX + bj

A’: y = a-,x + b2íai = a 2A//A’o!>1 * 2

* A: y = âịX + bjy + CL- 0A': y = a2x +'bjy + c2= 0 ■’ ’ ,

A // A’— = — — a 2 ^ 2 c 2

Thông thường chọn aj = a2; ồ! - b2 và Cj ̂c2

Ví du 14: Cho đường thẳng d: 2x -5- 3y + 1 = 0 và điểm M(l; -1). Lập phương trình đường thẳng d' đì qua điểm M và d' /Ị.á. _______________

Bài giảiCách X: Đường thẳng d'//d nên d’ có phương trình: 2x - 3y + c = 0 (c &1)Cho đường thẳng d' đì qua điểm M ta được: 5 + c = 0c = - 5 ^ 1Vậy d' có phương trình là: 2x - 3y - 5 = 0.

2 1 ,Cách 2: d có phương trình: y = —X+ —nên hệ số góc của đường thăng d

3 32 •> 2

là = —- Goi hêsố góc của đường thẳng d’là k2. Để d'//đ thì kj = k2 = — 3 32 0Vậy d' có phương trình: y = —X+ b, cho d'đi qua điếm M ta được:3

b=3 3

2 5Vây d' có phương trình: y = —X—■—// d.

3 3Chứ ý: Hai bài toán ỉập phương trình đường thẳng rất quan trọng trong quátrình giải toán về đường thẳng trong mặt phẳng.

17





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


19/156

BÀI TẬP VỂ LẬP PHƯONG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho 2 điểm A(l; -4), B(3; 2). Lập phương trình tổng quát củađường thẳng AB.Đáp số’: x-+'3y+1 = 0

Bải 2: Lập phương trình đưồng thẳng qua 2 điểm A(2; -1), B(2; 5) dướidạng tổng quát.

Đáp số: X- 2 = 0Bài 3: Lập phương trinh tổng quát cửa đường thẳng qua 2 điểm

A(3;-7), B (l ;-7).Đáp sổ: y + 7 = 0

Bải 4: Lập phương trình tông quát của đường thẳng đi qua 2 điểm:A(0; -5), B(3; 0).Đáp sô': 5x - 3y - 15 “ 0

Bải 5: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểmA(3; -1) và B(l; 5).Đáp số: 3x + y ~ 8 = 0

Bài 6: Lập phương trình chính tắc của đưòng thẳng đi qua 2 điểm:A(5; 6), B(-3; 2).

V x -5 y -6Đáp so: —-— =----- -2 1

Bài 7: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm:A(3; -1) va B(l; 5).

Đáp số: j x = 3 +1 (t € R)Ịy = - l -3 t

Bài 8: Lập phương trình tham sô" của đưòng thẳng đi qua 2 điểm;A(2;-1), B(2; 5).í X= 2

Đáp số: (t e R)[y = t

Bai_9: Lập phương trình .tham sô" của đương thẳng đi qua 2 điểm:M(3;-7),N(l;-7).

{X —t

(t € R)

y = -7

Bài 10: Lâp phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trìnhtổng quát của đường thẳng qua 2 điểm: A(3; 0) và B(0; -5). _x, fx = 3 + 3t X y

Đáp sô: ị I ; —- —= 1; 5x - 3y - 15 = 0[y - 5t 3 5

Bải 11: Lập phương trình tham sô" của đưòng thẳng đi qua điểm (1; -2)và song song với đường thẳng: 5x - 13y -3 1 = 0.Đáp số: Không có đường thẳng nào

18





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


20/156

Bài 12: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (-1; 2)và vuông gốc vâi đưdng thẳng: 2x - y + 4 = 0.

Bài 13: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(l; })

"và song song với đưòng thẳng (y/2 - l)x + y+ l = 0.Đáp sô": (y/2 -1 ) X+ y - \Ỉ2 = 0Bài 14: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (-1; 2)

và vuông góc với đường thẳng: 2x - y + 4 = 0.Đáp số: X + 2y - 3 = 0

Bài 15: Lập phương trình đưòng trung tuyến đi qua điểm A của tam giacABC biết A(l; 1), B(0; -2), C(4; 2).Đáp sô': X+ y - 2 = 0

Bài 16: Cho tam giác ABC vói A(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Lập phương

trình đường cao đi qua điểm A của tam giác ABC. Đáp số: 7x + 3y - 11 = 0Bài 17: Lập đưòng thẳng đi qua điểm A(3; -2) và vuông góc với đường

Đáp sô': 2x - 3y - 12 = 0"Bài 18: Viết phương trình tham số’, phương trình chính tắc (nếu có)

Phương trình tổng quát của đưòng thẳng đi qua điểm C(2; 1) vàvuông góc vối đường thẳng d :5x-7y + 2 = 0-

Íx _ 2 I- ̂'Ị'

(t e R)

. ™ V I . - ^ X - 2 y - 1* Phương trinh chính tăc:----- =------õ -7

* Phương trình tổng quát: 7x + 5y - 19 = 0Bài 19: Cho đường thẳng A: X - y + 2 - 0, tìm điểm M nằm trên Acách

đều 2 điểm E(0; 4) và F(4; -9).

Bài 20: Cho 2 điểm p(4; 0), Q(0; -2)a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua điểm A(3; 2) và

song song với PQ.Đáp số: X - 2y + 1 = 0

b) Viết phương trình đường trung trực của PQ vối dạng tổng quát.Đáp số: 2x + y - 3 - 0

ʹ 19





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


21/156

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THANG1. Cách nhận biết: Cho 2 đường thẳng:

At: AỵX + Bjy + Q = 0 (Aj + Bj >0)

Và A2: A2x + + c 2= 0 (Aị +Bị > 0)

Giữa 2 đường thẳng Aỵ và A2có 3 vị trí:

a) At cắt A, khi và chì khi:

- nếiỉ fij = (A2;B j ) là VTPT của A1

A B* Dấu hiêu 1; —- * — nếu A.,B, ^ 0

A2 b 2

* Dấu hiêu 2: Ta có:

n Jvà n 2 không cùng phương

n2=(A2;B2)là VTPT của A2

'Ax B,A2 b 2

(Hoặc là 2 VTCP của Aj và A2không cùng phữơng)* Dấu hiéu 3: Chuyển Aj và A2 về dạng phương trình theo hệ số góc

Al:y = kjX + b1A2: y = k2x + b2Aị cắt A2o kj * k2

b) Đường thảng Ai song song vứi đường thẳng A,

* Dấu hiêu 1: A.//A, o = (A,. B,. c * Gì — — 1 2 a 2 b 2 • C2 * 2 ■

* Dấu hiẽu 2: A,//A2fi1= kfi2 tức A, BJ

b 2Ị= 0

điểmM bấtkỳe AxthiMỂ à2

* Dâu hỉêu 3: Aj: y = k,x + bjA2: y = k2x + b?

fk, - k2Àị// A2 ì V ,

1.1 - 2c)Hai đường thẳng trùng nhàu

* Dấu hiẻu X: A,= A2 = — = — (nếu A2, 1*2, Q *0)A2 B2 C2

^ ^ íri. = kn0* Dấu hiẽu 2: A,= A , <

[M batkỳe A1thìM e Aị J:

* Dấu hiẽu 3: Ị ^ 1\ h l = \

20





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


22/156

Ví du ì : Cho 2 đuờng thẳng dji —- —= 1 và d2: 3x - y - 4 = 02 3

Xét VI trí tương đối của 2 đường thẳng d, và d7. ________ _ Bài giải

Cách 1: Đường thẳng dj có phương trình: 3x - 2y - 6 = 0

Do — = —= 1 — = —nên dj cắt đ2A2 3 B2 2

Cách 2: d, có 1 VTPTlà ỏ , = (3; -2)d2có l VTPTlà n 2= (3 ;-l )

3 -2Do

3 -1= -3 + 6 = 3*0 nên n jkhong cùng phương với n 2vậyd, cắtd*

Cách 3: d j.- y = — X - 3 c ó h ệ s ố g ó c k j = — 2 2

d2: y = 3x - 4 có hê số góc k2= 3

Do k, & nên d, cất á7 Ví du 2: Xác định vị trí tương đối cùa 2 đường thẳng

Aj: 5x + 2y - 14 = 0 và d2: ]x = 4 + 2t (t € R).ly = l - 5 t

Bài giảiA,: Có 1 VTCP là ũ = (2; -5), A2 có VTCP là V = (2; -5) và Aj đi qua

, í ũ = lvđiểm M(4; i) vì ^

Ị M e A ^ à M ể A !

Nên A, // A? (bài này chỉ trình bày 1 cách đơn giần nhất) ______ Ví du 3,-Xác đinh vị trí tương đối của 2 đường thẳng:, íx “ -3 + 4t , „ . fx = l - 2 t ' '

d.: < ( te R O v à đ ^ í Ể R .1 |y = 10 -6 t ^ }y = 4 + 3t' _______ _____

Bài giảiĐưòng thẳng d,: Có 1 VTCP là ã = (4; -ố), đường thẳng d2 có 1 VTCP là b =(-2 ;3 )Ta có ã = -2 b : ã và b cùng phương; lấy điểm M(l; 4) € d2 thayfx=i ,ị vào phương trình của đưdng thăng dj ta được hệ phương trình[y = 4

= -3 + 4t _ , -ị « t = l[4=10 - 6t

Vậy đt đi qua điểm MTut là dj va d2 có 2 VTCP cùng phương và điểm M € ỏ thì đỉểm M e đinên dj = d2.

21





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


23/156

■

' i ì J U S . n

> , : ■ , i Ã i s ì ; .

„ í x i i

i ' Ị i í 1 r l M

Ì É BÍ Ì ẳ ắ ỉ > Ì ì i f í í l í f í M

ẳ f t t l M

i i i l | -

I

2. Tim tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng Aj. và À2Cho 2 đường thẳng: Ayi AjX + Bxy + C, = 0 (1)

À2: A2x + + Q = 0 (2)Tọa độ giao điểm của Aj và A2 ỉà nghiệm của hệ phương trình (1), (2).Giải hệ (1), (2) có các trường hợp sau:

Trường hop 1: Hệ (1), (2) có một nghiệm duy nhất (x0; y0). Như vậy, Aj cắtA2tại 1 điểm M(Xo; y0) duy nhất.Trưởng horp 2: Hộ (1), (2) yố nghiệm, chứng tỏ A ị r\ A2 = tức là Aj//A2Trường hơp 3: Hệ (1), (2) có vô số nghiệm, chứng tỏ A! = A2

Ví du 4: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng dp 4x - 3y - 26 = 0 vàd,: 3x + 4y - 7 = 0.

Bài giảiTọa độ giao điểm của d, và d2là nghiêm của hệ phương trình:

;4x-3y = 26(l)13x + 4y = 7 (2)

25x = 125Giải hệ (1), (2): Hệ (1), (2)

Kết luận: d, cắt d> tại 1 điểm M(5; -2) duy nhất.T , . - « . , - , [ x = 8 - ( m + l ) tVI du 5: Tìm những giá trị của m đê 2 đường tháng đ,: <

[y = 10 + t

d?: mx + 2y - 14 —Qsong song vói nhau. _______

và

Bài giảiBài này có thể nêu điều kiện để dj//d2, rồi giải điều kiện đó, để tìm m; Ởđây ta giải như sau:Tọa độ giao điểm của d] và d2là nghiệm của hệ phương trình:

rx = 8 - (m + l)t (1)y = 10 +1 (2) thế (1) và (2) vào (3) ta được phương trình:mx + 2 y -1 4 -0 (3)

(m2+ m - 2)t = 8m + 6 (4)Để dj//d2 thì hệ (1), (2), (3) phải vô nghiệm, điều đó tương đương vói

phương trình (4) vô nghiệm, phương trình (4) vô nghiệm khi và chỉ khi:m + m —2 = 0 _

- oỊ8m + 6 ^ 0Đáp số: m = 1; m = -2

m = 1m = -2

Ví du 6: Tìm m đổ 2 đường thẳng dị! 3x + 4y - 1= 0và d,: (2m - l)x + rrì̂ y +1 = 0 trùn" nhau. _____

22





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


24/156

đj trùng với CỈ2 khi và chỉ khi:

' 2 m - l

■2 = - l o '3 4

2m - 1 m= -1

m

T

= -1

2m -1 = -3

m2= -4hệ vô nghiệm

Vậy: Không có giá trị nào cùa m để d( = d2.

3. Biện luận Sự tượng giao của 2 đường thẳngCÓ thể đùng cách giải tìm giao điểm của đi và d2Dùng phương phẩp thế, cộng đại số biến đổi tương đương để biộn luận sựtương giao của dj và dj. Dưới đây giới thiệu cách biện luận hệ theo đinhthức, chuyển đl5d2về đạng phượng trình đường thẳng ax + by = c. Biệnluận sự tương giao của dj và d2là biện ỉuận hệ phương trình:

'a ^ + bjy = Ci

[a2x + b2y = c2 b’ _ K

— âjb2Tính D =

D.=

—â|C2 ÍÌ2C]

Trưởng hơp 1: Nếu D 0 hệ (1), (2) có nghiệm duy nhấtXộ = — , y0 = khi đó dj n đ2= M(x0; y0) duy nhất

Trường hơp 2: a)

ÍD - 0 b) « hoâc

Đ = 0Dx =0 hộ (1), (2) có vô số nghiệm khi đó dj = đ2

D , - 0

D = 0DysO

hệ (1), (2) vô nghiệm nên d, // â2

Chủ ý: Khi D = 0 tìm tham số m. Thay vào dj, d-, dùng dấu hiệu dị r\ d2dj//d2, d1= d2 để kết luận.

Ví du 7: Biộn luận sự tương giao của 2 đường thẳng:'dj: (m - 2)x + (m - 6)y + m - 1 = 0 vàd2: (m - 4)x + (2m - 3)y + m - 5 = 0tùy theo các giá trị của tham số m. ___________

23





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


25/156

Bài giảiTọa độ giao điểm của d] và d2là nghiêm của hệ phương trình

!(m - 2)x + (m - 6)y - 1 - m (1)[(m - 4)x 4- (2m - 3)y = 5 - m (2)

Vì trong 4 hộ số của Xvà y không đồng thời bằng 0m -2 ra "6 , „

- m + 3m - 18 = (m + 6)(m - 3)Tính D =

Dt =

m -4 2m -31-m m -65 - m 2m - 3;

m-2 1-m;m - 4 5 - m

= “(m + 9)(m - 3)

Trường hop 1:

D„ m + 9

= 2(m - 3)

m ̂ 3hộ (1), (2) có I nghiệm duy nhất

Xn =■DD„

y0=- D m + 6

Trưcmg hơp 2. D = 0m = - 6

m = 3

Với m = 3 thì D = Dx= Dy = 0 hệ (1), (2) có vô số nghiệmVới m = -6 thì Dx ̂0 (Dy ĩ* 0) hệ (1), (2) vô nghiệm

m &-6 m ̂ 3

* m = 3, d) = d2* m = -6, d[ //d2

Kết luân:

Ví du 8: Cho 3 đường thẳng: d[ : 2x + 5y - 3 - 0

d3: X- 5y + ố = 0d3: X- my - 1 + m2= 0

Tìm ra để 3 đường thẳng dj, đ,f d3đồng quy. Bài giải

* Tìm giao điểm của d| và d2. Tọa độ giao điểm d, và đ2là nghiệm của hộ„ , f2x + 5y -3 = 0 (x = - l

phương trình: / r [X -õ y + 6 = 0 [y = 1

d2n d2= M(—1; 1)Để 3 đường thẳng dị, d2, đ5đồng quy thì d3phải đi qua điểm M.

24





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


26/156

Khi - 1 - m —l + m2= 0m2- m - 2 = 0

Đáp số: m = -1; ĨĨ1 = 2

m = -1m = 2

Ví du 8: Cho 2 đường thẳng dji kx - y + k = 0 và


27/156

1 -a = 0 b -1 = 0 «

(b - 1)2 - 4ac = 0

a = 1 (th.ốa mãn a * 0) b = 1c = 0

Vậy Vm e R dmluôn luồn tiếp xúc vợi một parabol cố định có phưomgtrình: y = X2+ X

Ví du 10; Cho đường thẳng đ(a): cos2d.x + sin2ay + 4cos2a + 5 = 0Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, đường thẳng d(a) luôn luôn tiếpxức với một đường tròn cố định.

Bài giaiGọi đường tròn (C): (x - Xf,)2+ (y - y0)2- R2có tâm ià I(x0; y0), bán kínhR luôn luôn tiếp xúc với d(a) với mọi giá trị của a. Khi đó d(I, d(a)) = R với mọi giá trị a. Khi và chỉ khỉ

Ịx0 COS 2 a + y0s in 2cc + 2(1 + COS 2 a ) - 5Ỉ _ — ---------- , ■■ . ----------- - = R Va

Vcos22a + sin22a |(x0- 2) cos 2a + y0 sin 2a - 3| = R Va

'xn=2Khi và chỉ khi

xo- 2 = 0

yo=0

y0

Với X —2

0 thì R = 3 không đổi Vay0 =0

Do đó Va: d(a) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định có phươngtrình: (x - 2)2+ y2= 3.

BÀI TẬP VỂ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THANG

Bải 1: Xác định vị trí tương đối cùa các cặp đường thẳng sau đây:

a) d,X = 3 + —t

2, 4

y = - l + —t3

và d.X = — + 9t’

2

y = —+ 8.t’3

b) Aị X= 2 + 5ty = 3 -6 t

và A,x = 7 + 5t'y = -3 + 6t'

c) (a )3 x -4 ỵ + 5 = 0và (a') —= —.J 4 3Đáp số: a) dj s dj; b) Aj cắt A2: c) a Ị Ị a ’

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng:

d, | x = 22 + 2 t ; d2: 2x + 3y - 19 = 0.[y = 55 + 5t

Đáp số: (2; 5)Bài 3: Cho 4 điểm A(-3; 1), B(-9; -3), C(-6; 0), D(-2; 4).

26





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


28/156

Tun tọa độ giao điểm của AB và CD.Đáp số: AB n CD tại B(—9; -3)

Bài 4: Cho 4 điểm A(l; 2), B(4; 0), C(1; -3), D(7; -7). Xét vị ứí của AB và CD.Đáp số: AB // CD

Bài 5: Tìm m để 2 đường thẳng d,: 2x + (m2+ l)y - 3 = 0; d2: X + my - 100 = 0song song vớí nhau.

Đáp số: m = 1Bải 6: Xác định m, n để 2 đường thẳng:dj: (3 + n)x - 5y + 4 = 0; d2: 5x - (4 - m)y - 5 = 0 trùng nhau

/ _ H - ị k s(n = - 7; m = - ị )

Bài 7: Cho điểm A(-5; 2) và đường thẳng A: = —+ -

Hãy viết phương trình cùa đường thẳng:a) Đi qua điểm A và song song với A.

b) Đi qua điểm A và vuông góc với A.

b) X - 2y + 9 = 0Bài 8: Cho a2+ b2> 0 và 2 đường thẳng dj, d2có phương trình:

dj: (a -b )x + y = 1í^; (a2- b2)x + ay = ba) Xácđịnh tọa độ giao điểm của d, và d2. b) Tìm điều kiên đối với a. b để giao điểm đó nằm trên Ox.

_ , í a b ,, _J 1 a N|Đáp so: a) < d, n d, = M nếu a = bF ' \b * 0 I b bj

đj n d2tại điểm M € đường thẳng y = 1

ra . KHOẢNG CÁCH1* Khoảng cách từ 1 điểm M(x0; y0) đến đường thẳng

•À: Ax + By 4- c = 0 (A24- B2> 0)

Kí hiệu d(M; A) là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A; được tínhtheo công thóc:





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


29/156

khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Ví du 1: Cho điểm M(l; -1) và đường thẳng A có phương trình là:3x - 4y - 17 = 0

Tính khoảng cách từ điểm M đến dường thẳng A. ______ Bài giải

d(M, A) = = — = 2V9 + 16 5

Đáp số: d(M, A) - 2 (ávdd). __________ Ví du 2: Tính khoảng cách ĩừđiểm M(2; 1) đến đưòng thẳng A:

rx = 1+ 3t(t e R).

[y = 2 + 4t ________________________

Bài giải

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A: 4x —3y + 2 = 0|8 -3 + 2| 7

d(M, A) = - — =4 = —(đvđd)V l 6 + 9 5

(Chú ý: Khi viết d(M, A) = a thì đơn vị của a ỉà đơn vị độ dài, viết tắt là:d-V.d.d) ______________________________________ _______________

Ví du 3: Cho tam giác ABC với A(l; 2), B(0; 3), C(4; 0)a) Tính độ dài đường cao của ĩam giác ABC ứng với canh BC. b) Tính diện tích của tam giác ABC. _____________________________

Bài giảia) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua BC đường thẳng BC lập:

theo đoạn chắn của phương trình: —+ —= 1 -t>3x + 4y -1 2 = 0 (A)

Độ dài đường cao AA' bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng A:

AA' = d(A; BC) = l3 ~l3- = ~ ■V9 + 16 5

b) Diện tích tam giác ABC = s, BC = 5

s = - AA'.BC = ỉ ì .5 = 0,5 (đvđt).

__________. , 2 2 5 _________ _____________________________________Ví du 4: Trong mặt phẳng íọa độ Oxy cho các đường thẳngd,: X+ y + 3 = 0, = X- y - 4 = 0, đ3: X- 2y = 0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ Mđến đường thẳng dj bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.

__________ ____________________________(Để thi ĐH 2 0 0 6 -Khối A)

28





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


30/156

Bài giảiGọi điểm M e đường thẳng d3: M(2y0; y0)Tim điểm M để d(M~ d,) = 2d(M; dị) _ l2y0 + y 0 + 3 |_ 2 | 2y0 - y 0 -4 |

s V2

4‐1 =l9v _ Q |^ [ 3yo+3=2yo-S ry0= - l l« |3y0+3| = |2y0-8 | o + 3 = 8 _°2y; ~ £ =xVới y0 = 1ta được điểm Mj(2; 1)Với y0= -11 ta được điểm M2(-22; -11).Đáp số: Tìm được 2 điểm M có tọa độ là: Mj(2; 1), M2(-22; -11)

Ví du 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(I; 1), B(4; -3)Tìm điểm c thuộc đường thẳng X- 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ cđến đường thẳng AB bằng 6 (ĐH 2004 - khối A) _________

* Lập phương trình đường thẳng AB:

Bồi giải

X - 1_ y-1 4x + 3y - 7 = 0 (A)

_ •> fx = 2t +1 ,* Goi đường thẳng d: -Ị (ĩ e R) lấy điểm C(2t + 1; t) e d

b ^[y = t* Tim điểm c để d(C; A) = ố

li t -3 = 30l i t -3 = -30

t = 3

t - 2 ĩ 11

Ỉ4(2t + 1) + 3t-7Ỉ I I< -̂----- , ===■ ----- —= 6 ĩ lt —3 =30

>/16 + 9 1 1

Với t = 3 ta được điểm C[(7; 3)Với í - ta được điểm C2í_ lâ -„ ^ z 'ì .

11 { 11’ 11 yĐáp số: Tìm được 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán có tọạ độ Cj(7; 3);

Cj f - — ì.\ 11 11 ) _____________ , ___________________________

Ví du 6: Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm A(3; 5) đến họ đường thẳng Á: (m - 3)x + (1 + 2m)y + 14 = 0. _________ _______________

Bài giải

* Tìm điểm cố định mà A luôn luôn đi quaGọi M(x0; y0) là điểm cố định mấ A luôn dí qua dù m nhận bất kì giá trinàọ, khi đó phương trình:mx0- 3xo + y0 + 2y0m + 1 4 -0 nghiệm đúng Vm € Rm(Xo + 2y0) = 3xo-yo-14(l).Phưcmg trình (1) nghiệm đúng Vm € R khi và chi khi

29





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


31/156

|x 0+2y0=0 fx 0=4

|3x0-y0-14sO |y0=-2

Vậy: Vm - Vt € R

, 3 -

Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉ khi t = -5Vây t = Ệ thì Im E + MFỈ đat giá tri nhỏ nhất. Khi đó ía đươc điểm M

5 I I

phải tìm có tọa độ M|15 5

Ví du 8: Chứns minh rằns: J X2 + XV +y2 + V r + yz + 22 >Vx2+XZ + 22 (1)dứng Vx, y, z e R. __________ __ ______________________________

Ta có vế trái của (ì) bằng:

Bài giải

VT(1)= J y + | j + ■~Í3 Ỵ lí zY ( S S1- T x ! +\ị[y +ĩ) +| T 2

VP(1)=. | | S & ìZ+ - —XV2 . 2\ /

X2 + X 2 + z 2

30





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


32/156

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) đạt A| ỵ + — XỊ, điểm B

Vx, y, z € R

Ta được: OA = ^Ịy + - |j + - ~ xj

/■ -\2 r I2

y +2 ’ 2

- *1 •OB =J y +ĩ l +

AB= .11— 1 + Y (z+X = ^/x2 4- xy + z2

Áp dụng BĐT: OA + OB > AB. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉA, B thẳng hàng, BĐT (1) được chứng minh.

2. Khoảng-.cách giữa 2 đường thẳng Àt và A2A.-1C3.t Ao »N-wA

thì d(At, A2) = 0

khi o,

a) Nếu

Ai —An b) Nếu Aị//A2. Trên ALlấy điểm M bất kì: d(A;, A2) = d(M, A2)

(Hoặc lấy điểm N bất kì thuộc A2; d(Aị, A2) = d(N, Aj))

Ví du 9: Cho 2 đường thẳng A;: 2x - 3y + 1 = 0; A2: 2x ~ 3y + 4 = 0Tính khoảng cách giữa A, và A?- _________________________

Bài giải A B c X

Do 2 đường thẳng Aj và A2 có —- = —i = = — C2 4

nên AJ/A2, trên A, lấy điểm M(l; 1)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng Aj và A2:

d(A„A2) = d(M,A2) = l ^ i =M I .

Ví du 10: Cho tam giác ABC với A(2; -ỉ), B(l; 2), C(2; -4). Tỉm tập hợpnhững điểm cách đều 3 đình của tam giác ABC. ____________________

Bài giảiA

Chú ý nhận xét sau đây: M, N lần lượr là ĩrung điểm của AB và AC, đườngthẳng qua M, N song song với BC và A nên d(B; A) = đ(C; A) = BH2= CH,Tam giác vuông AMHj = tam giác vuỏng BMH2(g.c.g)

31





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


33/156

nên AH, = d(A. A) = BH2Do đó khoảng cách từ 3 đỉnh của AABC đến A là bằng nhauDo đó: A là đường thẳng cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC

Như vậy: tập hợp những điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC làđường trung bình của íam giác ABCLập phương trình của đường thẳng qua MN là Aịi

V * m ( | ; I ) , n (2 ;- | )

_ ỄPhương trình A,: ---- \ ~ - - X— = — 12x + 2y - 18 = 0

9 3 _ 5 _ 1 1 - 6

, 2 2 2

Tương tự: đường thẳng qua N, p với p là trung điểm của BC

P p ; - l j là A2: ốx + 2y —7 = 0

3Phương trình đường thẳng qua MP ỉà A-,: X= — 2x - 3 = 0.2

Đáp sô: Tập hợp những điểm cách đều 3 điểm A, E, c là 3 đường thẳng:A,: 12x + 2 y - 18 = 0

A2: 6x + 2y - 7 = 0 ___ Aý 2x - 3 = 0 _ _ _ _ _

Ví du 11: Cho 2 điểm A(l; ]), B(2; 3). Lập phưcfng írình đưòng thẳng A sao __ cho A cách A một khoảng bằng 2 và A cách B một khoảng bằng 4- ______

Bài giảiĐường thẳng A,: X = m/Oy mà d(A; Aj) = 2 thì d(B; A2) * 4 nghĩa là Ajkhông thỏa mãn.Xét V đường thẳng A*Ai?A:y = ax + b o a x - y - f - b = 0

Ịà -1 + bị

_ . /d(A,A) = 2 _ Tim a, b đế < _ <

}d(B,A) = 4

a2+1= 2

|2a - 3 + bị= 4

c=> {

J s l +1

|a + b - lỊ = 2-Js2 +1 Í2ịa + b - l | =Ị2a + b -3 ị|2a + b - 3| = Wa^ + l Ịja + b - 1| = 2 - J s F + i

32





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


34/156

í 2a + 2u — £1 —A

Truờng hợp này được 2 đường thẳng A có phương trình:

Giải hệ (II) <

, 5 - 4a b = -------. 3

[2 - aj = 6-v/a2 +1

a = 0, b = -1a = - —,b = -1

3 y = - l4x + 3y + 3 = 0

5-4a

(*)35a2+ 4a + 32 = 0

Phương trình (*) vô nghiệm nên hệ (IE) vô nghiệmĐáp số: Có hai đường thẳng phải lập thỏa mãn yêu cầu bài toán có

[y + l= 0 phương trình ỉà:* 4x + 3y + 3 = 0

3. Một Số bài toán về khoảng cách

Bài toán ĩ: Tim hình chiếu của mòt điểm lẽn mòt đường thẩng

Cho một điểm M và một đường thẳng À, tìm điểm H là hình chiếu vuônggóc của M trên A* NếuM ẾA thìH = M* Nếu M ỀA

Cách 1:4- Bước 1: Lập phương trình đường thẳng

A' đi qua điểm M và A' J_ Á. Như vậy Á' điqua điểm M và nhận VTCP của A làm VTĨ•+ Bưổc 2: Tìm H = A n A' thì H là hĩnh chiếu của M trên A

Cách 2:+ Bước 1: Chuyển A về dạng tham số và ừên A lấy điểm N (phụ thuộc' vào t)

+ Bưởc 2: Lập véc tơ MN

+ Bưức 3: Tìm điểm N sao cho MN .;u —G

Trong đó ũ là VTCP của A. KKi đó điểm N = H

"I \ AH N

33





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


35/156

Cách 3:+ Bade 1: Viết phương trình tham số của A, lấý điểm N di động trên A(phụ thuộc t)+ Bước 2: Tinh MN2= f(t)+ Bước 3: Tìm t để f(t) nhỏ nhất khi đó thì điểm N = H.

Ví du 12: Cho đường thẳng A: X - y - 2 = 0 và điểm M(l; 1)Tim điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng A.

Bài giảiCách 1: Lập phương trình A’ đi qua điểm M, A' X A, như vậy A đi quaM(l; 1) và nhận VTCP của A là ã = (1; 1) ỉàm VTPTPhương trình A': X+ y = 2A J. A tại điểm H: tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:|x + y = 2 íx = 2ị x - y = 2 ịỵ = 0

íx = tCách 2: Phương trình tham số của A < (t e R)

" [y = t - 2

+ Trên À lấy điểm N(t; t - 2) (t e R)+ Lập véctơ MN = (t - 1; r - 3)+ Tim điểm N sao cho MN ± ũVới ũ =(1; 1) là VTCP của A

MN-Ũ = 0t -l + t-3=0t = 2Với t = 2 ta được điểm N(2; 0) e A vầN = H ỉà hình chiếu cùa điểm Mtrên ACách 3: Lấy điểm N(t; t - 2) e ATính MN2- (t - l)2+ (t - 3) - 2t2- 8t + 10 = 2(t2- 4t + 4) + 2

= 2(1 - 2)2+ 2 > 2 Ví e RMN >42 Vt e R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 khi đó đoạnMN ngắn nhất nên điểm N(2; 0) s H là hình chiếu của M trên A.Chủ ý: Khi tìm được điểm H ỉà hình chiếu của M trên A thì độ dài đoạn MH

là ngắn nhất trong tất cả các điểm H nằm trên A: ta được d(M, A) = MH2) Tìm điểm M* đối xứng vdi điểm M qua đường thẳng A M

Phương pháp tìm điểm M':

H

M*'





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


36/156

Bước 1: Tim diem H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên A (Bài toán 1mục 1)

Bước 2: Gọi M' là điém đối xứng của M qua A,như vậy: H là trung điểm của

đoan MM’. Tìm toa đô của điểm M’: I Xm ~~ M|yM-=2yH-yM

Ví du 13: Cho đường thẳng A: 2x + y - 2 = 0 và điểm M(l; 1). Tìm điểm M'đối xứng với điểm M qua dường thằng A,___________ _ ____ Bài giải

* Lập phương trình đường thẳng A' đi qua điểm M, A’_LAA' có phương trình là: X- 2y + 1 = 0* A _LA' = H: tọa độ điểm H là nghiệm của hộ phương trình:

í --y ^ o i 5 vây Hị — ] là hình chiếu vuông góc của A

x -2 y = -1 4 ■ u ỗ )

[ 5trên đường thẳng A* Gọi M' đối xứng với M qua A. Như vậy H là trung điểm của đoạn MM\

Ta được tọa độ của điểm M’:

Đáp số: M' í —

XM. - 2 x h XM - - 1 - ^

yM'=2y H - y M = | - 1 = |

Bài toán 2: Xác đinh vỉ Ẻrí của môt điểm. 2 điểm đối vởi môt đườngthẳng

. Gho điểm A(xa; yA) và điểm B(x b; Yh), đường thẳng A: ax + by + c = ũGọi F = ax + bỵ + cThay tọa đô điểm A vào F ta được FA= axA+ byA+ cThay tọa độ điểm B vào F ta được FB= axB+ byB+ c+ Nếu Fa.F b > 0 thì 2 điểm A, B nằm về một phía của mặt phẳng có bờ lit A.+ Nếu Fa F b < 0 thì 2 điểm A, B nằm về 2 phía của đường thẳng A.

Ví du 14: Tìm giá tri của tham số m để đường thẳng A: \ x mly = i - t

cắt đoạn AB vói A(l; 2) và B(-3; 4)._____________________________ Bài giải

* Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A: X + 2y - m - 2 = 0* Gọi F = x + 2y —m -2 . Thay ‘tọa độ điểm A và B vào F ta được và I;j,* Đoạn AB cắt A khi và chỉ khi FA.FB< 0

35





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


37/156

(1 + 4 - m - 2)(-3 + 8 - m - 2 ) < 0(3 - m)(3 - m) < 0 (m - 3)2< 0 BPT vô nghiệmVậy không có giá trị nào của m để A cắt đoạn AB.

Bài toán 3: Láp phương trình đường phân giác(Ị) Láp phương trình 2 đường phản giác của góc hơp bởi 2 đường thẳn

Aị và At cầt nhau

Cho 2 đường thẳng A,và Aị cắt nhau có phương trình:Aj! a,x + bjy 4- = 0; A2: a2x + b2y + c2= 0

Gọi tập hợp những điểm M(x, y) sao cho đ(M; Ar) = d(M; A2)Ịa-tX+ bxy + 0 ̂ |a2x-i-b2y + c2Ị

Phương trình 2 đường thẳng dj và dọ chính là phương trình 2 đường phâgiác của góc hợp bởi dj và d2.

2) Láp phương trình đường phàn giác của góc nhon hơp bởi 2 điĩờnthẳng A, và A-, cắt nhauLàm lại mục 1của bài 3: được 2 đường thẳng d[ và đ2Để xác định d, hay d2là đường phân giác của góc nhọn của góc hợp bởA, và A2. Có nhiều cách làm, ở đây có thể thực hành như sau

+ Vẽ 2 đường thẳng Aị, A2trên mặt phẳng tọa độ Oxỵ+ Trong 2 đường thẳng d{ và d2chọn một đường dj hay d2đờn giản dễ vChẳng hạn vẽ nếu thấy dj là phân giác của góc nhọn hay góc tù để kluận: nếu dj là phân giác của góc tù thì đ2 là đường phải lập còn dj

phân giác của góc nhọn thì d.j là đường phải lập.---- -------- -------------------------------------------- 1-------------------------------Ví du 15: Cho 2 đường th ng: A,: 2x + ỵ + 3 = 0 và A2: X+ 2y —1 = 0a) Lập phương trình đường phân giác của góc hợp bởi d] và d2. b) Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn cùa góc hợp bởi 2 đườn

thẳng d] và d?. _________________________________ ___________

aix+ biy +ci a2x + b2y +c2 _ Q (d )

a1x + b1y + c1 + a2x + b2ỵ + c2 (d ^

Bài giải Nhận xét: dj cắtd2

a) Gọi M(x, y) e đường phân giác của góc hợp bởi Aj và A;





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


38/156

d, và d2ỉà phương trình của đường phân giác của góc hợp bởi Aj và A2 b) Để xét xem d, và d2ỉà phân giác của góc nhọn hợp bởi d, và d2

- Vẽ đường thẳng Aj- Vẽ đường thẳng A2- Vẽ đường thẳng d2Ta được đ2là phân giác của góc nhọn của góc hợp bởi 2 đường thẳng: Àj

Cách thứ nhất:+ Viết phương trình đường thẳng AB:

AB =; -1 j chọn VTGP của AB là ũ = (3; 4)

Phương trình AB: — = « 4 x - 3 y + 2 = 0

Tương tự phương trình đường thẳng AC: y - 3 = 0+ Lập phương trĩnh đưòng phàn giác của góc AGọi M(x, y) e đường phân giác góc A ta được:

37





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


39/156

' |4x - 3y + 2l , ịđ(M, AB) = d(M, AC) i = y - 3|

54x —3y + 2 = 5y-15 ^ ị~4x —8y + 17 = 0(dj)

■O^ ’4 x-3 y + 2 = 15 -5y [_4x + 2y-13 = 0(đ2)

+ Xét đường thẳng đ2: Gọi F - 4x + 2y - 13

Thay tọa độ điểm B vào F ta được Fg = 4 + 4 —13 =-5 0 vậy 2 điểm B, c nằm về một phíacủa đường thẳng CỈ2 nên CỈ2 là phân giác ngoài của góc A. Do đó đườngthẳng d, có phương trình là: 4x - 8y + 17 = 0 là phân giác trong của góc A.Cách thử hai: Gọi AD ỉà phân giác trong của góc A ta được:

DB _ AB ADC AC

* Tính ÀB = —; AC = — 4 4

* Ta được: = = - — 23DB =5CDDC 23

[23-23x^=5x0+20 < <

146 - 23yD-5 y D-15

3 61Ta được tọa độ điểm Dị — -

X n =

Phương trình ÁD: 4x - Sy + 17 = 02 1

Do đó phương trình phân giác trong góc A: 4x - 8y + 17 = 0

Cách thứ ba: Nhân xét AC > AB. AB = — ------i-Síl------ . 4Tìm điểm B' € AC sao cho AB' vàAC cùng phương tức AAB'B cânđỉnh A

5+ Tìm điểm B' cách A môt khoảng bằng — 4

38





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


40/156

Tọa độ điểm B' là tọa độ giao điểm của đường thẳng AB: y - 3 = 0 với

đường tròn tâm A bán kính — 4Tọa độ B' là nghiêm của hệ phương trình:

1 c o I I o

0 0 I I > >

Ihỉĩ=erix = 3;y = 3

X = —;y = 32

Được 2 điểm: B’(3; 3), B'̂ —;3^

Với B'(3; 3): = ngược huớng với AC=Ị^-— ;oỊ nên điểm

B'(3; 3) không thỏa mãn

Với B'^“ ;3j thì AABB' cân đỉnh A.

+ Gọi I là trung điểm của BB', 1^— j

+ AABB' cân đỉnh A, AI là trung tuyến của tam giác cân đỉnh A nêri AIcũng là đường phân giác của góc BAB’ cũng chính là phân giác trongcủa góc A của AABC:

+ Lập phương trình đường thẳng của AI: IA = ̂ 1;—j

Chọn VTCP của AI ỉà ã (2; 1) 7X — - _ 2

Phương trình đường thẳng qua A ĩ:---- —- —— 4x-8y+17 = 02 X

Phương trình phân giác trong của góc A của tam giác ABC: __________________________ 4x - 8y + 17 =Q- ______________________ Ví du 17: Cho 2 điểm A(l; 6); B(~3; -4) và đường thẳng A: 2x - y - I = 0a) Tìm tọa độ của điểm M nầm trên A sao cho (MP + MQ) đạt giá trị nhỏ

nhất.

b) Tìm tọa độ điểm N nằm trên A để ịNP - NQỊ đạt giá trị lớn nhất.

a)

Bài giảiGọi F = 2x - y - 1 thay tọa độ áiểm A và B vào F ta được:

Fa.F b = (2 - 6 - l)(-6 + 4 - 1 ) = (-5X-3) - 15 > 0 AChứng tỏ A và B nằm về một phía của A.* Tìm điểm A!đối xứng với điểm A qua A N* A’B cắt A tại điểm M* Chứng minh: M ỉà điểm phải tìm:

M M’





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


41/156

Gọi M' * M, M' € A ta có:M'A + M'B = MB + M'A' > A’B

= A’M + MB = MA + MB Như vậy: MA + MB là nhỏ nhất trong tất cả các điểm M nằm trên A-Cách tìm điểm M:

, , (X —t

- Phương trình tham sô của A:


42/156

\ Ví du \fr. Qvo ĩ ávẳm MV. VY.TO/.OY.Cữ.Viết phưong trình đưòng thằng đi qua điểm A và cách đêu 2 diem B, c

Bài giải* Xét đường thẳng A] đi qua điểm A và A, song song với Oy:

Aj! X- 1 = 0 khi đó d(B; Aị) = 1d(C; Aj) = 2, B và c không cách đều Aj

* Mọi đưòng thẳng À ̂ Aj, A đi qua điểm A và A có hệ số góc k có phươngtrình: y = k (x - l ) + l o k x - y + l - k = 0

* Tìm k để d(B; A) = d(C; A)

|k + l| ị2k-3ị [2 k -3 = k + 1 k = 4 Ị -------- ĩ 1— L Ị o 9

V P T Ĩ [2 k-3 = - k - l k = |

Thay k vào A được 2 đường thẳng A phải lập có phương trình:4x - y - 3 = 0

2x - 3y + 1 - 0 *Ví du 19: Cho 2 đường thẳng Aj: 2x - y + 5 = 0 và A2: 3x + 6y - 1 = 0 và

điểm M(2; -1). Viết phương trình đường thẳng A đi qua điểm M và tạovới 2 đường thẳng Ai, A2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của A( và

___ ếii ____________________ ' _____________ _ ____________________

Nhân xét: Bài giải

* Aj cắt A7 * Điểm M Ể Aj và M Ể A2- Giả sử A..Jr\ A2- A- Gọỉ 2 đường phân giác củagóc hợp

những bài toán chọn lọc và phương pháp giải hình học giải tích trong mặt...

Documents