1

И.С.Антонов, К.Ц.Грозданов, С.И.Антонов

МЕХАНИКА НА ФЛУИДИТЕ

ИЗБРАНИ ЛЕКЦИИ

2016 г.

2

All rights reserved. Всички права са запазени! Нито една част от тази публикация не може да бъде възпроизвеждана (ксерокопирана, фотокопирана или чрез други електронни или механични средства) под каквато и да е форма без изричното писмено съгласие на авторите. © И. С. Антонов, автор © К. Ц. Грозданов, автор © С. И. Антонов, автор Рецензент: ПРОФ. Д-Р ГЕНЧО ПОПОВ Авторите благодарят на рецензента проф. д-р Г. Попов за дискусията по дадения в книгата материал, което подобри нейното качество. Първо издание, юли, 2016 г. Тираж: 100 бр. Коректор: Мая Накова Предпечатна подготовка: Наталия Накова Издателство: „Александра Бакиев“ ЕООД ISBN: 978-954-92423-3-1

3

В книгата са изложени някои въпроси от механиката на флуидите. Разгледани са в малко по-

друг ракурс. На първо място е изводът на основните уравнения в механиката на флуидите, на уравненията на Карман и на Рейнолдс.

Хидростатиката е разширена с въпроси за взаимодействие с ограничаващите точността повърхности, плаване на телата и устойчивост при

плаване. Подробно са изложени решаването на прости и

сложни тръбопроводи. Разгледан е подробно въпросът за извода на

интегралното условие на Карман. В книгата се дават изводи на уравненията за движение на турбулентен флуид в тръбопроводи. При последните е представено

съвременното виждане при пресмятането им с използване на анализи на първия и втория закон на Кирхоф.

Дадена е подробна информация за разпръскване на течни (водни) струи.

Материалът в настоящата книга се явява

допълнение към много добре написания учебник на проф. В. Маджирски по „Механика на флуидите“, като ни най-малко няма претенции към цялостно обхващане на всички въпроси от курса.

Книгата може да се използва от студентите в машинните и енергетичните специалности на техническите университети в страната, от студентите

със специалност ПБЗН и водоснабдяване и канализация.

Авторите ще приемат с благодарност всички

забележки и препоръки по настоящия цикъл от лекции.

55

ГЛАВА ПЕТА ПРОСТИ И СЛОЖНИ ТРЪБОПРОВОДИ

5.1. ПРОСТИ ТРЪБОПРОВОДИ

Прости се наричат тръбопроводите без разклонения, при което при тях се запазва

първоначалния дебит. Те могат да се състоят от много последователни участъци с различни диаметри и дължини. В най-общия случай простият тръбопровод съединява два резервоара с различни нива и различни

или еднакви налягания (Фиг. 5.1) или представлява смукателния и нагнетателния участък на вентилационна уредба без разклонения.

Фиг. 5.1

Ако броят на отделните линейни участъци се

отбележи с n , които имат диаметри и дължини

съответно id , il , където ( 1 до ni ), за пълното

съпротивление на такъв прост тръбопровод може да се запише [5]:

(5.1)

2

31 1 2

i

n mmi

jii ji

ulp ,

d

(5.2)

2

1

31 2

i

m

i еквjinmj

ii j

l lu

p ,d

като се отчете, че в него са включени m… на брой местни съпротивления.

Уравнения (5.1) и (5.2) могат да се запишат в

дименсия [m] (във форма на напор)

56

(5.3)

2

31 1

h2

i

n mmi

ji ji

ulm ,

d g

(5.4)

2

1

41

h2

i

m

i еквjnmj

ii j

l lu

m ,d g

където: iеквji i

i

l d

е еквивалентната дължина на

местните съпротивления; 2

mu – средната по напречното

сечение скорост в дадения участък.

Чрез формулата за дебита 2

4

j

mj

dQ u

се определя

средната за даден диаметър (за дадено сечение)

скорост.

(5.5) 2

4im

i

Qu ,

d

което, заместено в уравнения (5.1)÷ (5.4), води до израза:

(5.6 а) 23 2 5 4

1 1

8 1h mi

i jii ji i

lp Q , Pa.

d d

Респективно, след преработване се получава:

(5.6)

2

3 5 41 1

10 81

n mi

i ji ji i

lP , Q , Pa

d d

(5.7) 1 2

3 51

0 81

m

i еквjinj

ii i

l l

P , Q , Pad

и във форми на напор с дименсия [m]:

(5.8) 2

3 5 41 1

0 81 1n mi

j jii ji i

l,h Q , m

g d d

57

(5.9) 1 2

3 51

0 81

m

i еквjinj

ii i

l l,

h Q , m .g d

Като се има предвид, че в горните уравнения членовете, записани преди дебита Q, за даден

тръбопровод са постоянни ( = const.), то уравнения

(5.6÷5.9) могат да се представят във вида:

(5.10) 2

3p kQ ,

(5.11) 3 1 1h k Q .

Изразите (5.10) и (5.11) представляват съпротивителна характеристика на тръбопровод.

Постоянната за даден тръбопровод k и 1k имат

съответно стойност:

(5.12)

5 41 1

1

51

1 5 41 1

1

1 51

10 81

0 81

10 0826

0 0826

n mi

i jii ji i

m

i еквjinj

ii i

n mi

i ji ji i

m

i jinj

ii i

lk , ,

d d

l l

k , ,d

lk , ,

d d

l l

k , .d

където константата в изразите за 1k приема стойност

0 81

0 0826,

,g

.

Характеристиката на тръбопровода е необходима за установяване на взаимодействието (съвместната работа) между течението в тръбопровода и включената към него хидравлична машина. Тя дава възможност да се прави подходящ избор на споменатия вид машина за

58

проектираната тръбопроводна система. Нека например с кривата 1 на Фиг. 5.2 се изрази зависимостта

вp f Q , т.е. характеристиката на вентилатора,

където вp , aP е пълното налягане на вентилатора

(специфичната му енергия, отнесена за единица обем

от флуида), а с кривата 2 – зависимостта об.с.p f Q

, т.е. съпротивителната характеристика на тръбопровода, към който е монтиран вентилаторът.

Тогава точката на пресичане A на двете криви

определя параметрите на съвместната работа на вентилатора с тръбопровода. Тя показва, че вентилаторът може да транспортира през тръбопровода

само дебита *Q , тъй като загубите в пълното

съпротивление на тръбопровода при този дебит е равно на налягането (специфичната енергия) на вентилатора, съответстваща на същия дебит. В

практиката обикновено дебитът *Q е предварително

зададен и следователно въз основа на характеристиката на проектирания тръбопровод (крива 2) се търси вентилатор, който да може да преодолява пълното съпротивление на тръбопровода при този дебит, т.е. характеристиката му да се пресича с кривата 2 в точка, чиято абсциса е зададеният дебит *Q .

При помпите например трябва да се държи сметка и за потенциалната енергия, която транспортираният флуид (течност) трябва да преодолее.

Съгласно показаното на Фиг. 5.2, цялото налягане, респективно напор, се изразходва за покриване на загубите от хидравличните съпротивления в тръбопровода. Най-често обаче например при помпи е необходим остатъчен напор, който да бъде използван за определени цели.

В този случай характеристиката на тръбопровода

крива 2 трябва да започва от зададено h (Фиг. 5.3). В същия мащаб се нанася и характеристиката на

59

помпата (крива 1), като пресечените им точка определя дебита и налягането, с които ще работи системата помпа–тръбопровод.

Фиг. 5.2

Съпротивленията на тръбопроводите водят до загуба на хидравлична енергия. Ако за даден

тръбопровод

3 3

pH gh е общата загуба на

специфична енергия за всеки килограм маса от флуида за преодоляване на съпротивлението, се изразходва

Рв, Ра

Рс

роб. с. = р

Hn, m

60

енергия 3H J / kg . Механичната енергия за поддържане

на течение с масов дебит q kg / s е необходима

мощност 3 3 3,N qH Qp W .

Ако това например се отнася за тръбопровод с включена в него водна турбина, използваемата

хидравлична мощност на последната става с 3N по-

малка от разполагаемата. При помпена или

вентилационна уредба енергийните загуби се покриват от двигателя. Вижда се следователно, че намаляването на съпротивленията на тръбопроводите

представлява важна технико-икономическа задача. Това се постига в най-общия случай чрез намаляване на съпротивленията в правите участъци и на местните

съпротивления. В правите участъци на тръбопроводите, чиято

дължина е известна, съпротивленията в тях може да

се намаляват чрез намаляване на коефициента или

чрез увеличаване на диаметъра на тръбопровода d . Намаляването на коефициента на линейно

съпротивление може да стане за сметка на намаляване на грапавините на стените, т.е. с увеличаване на относителната гладкост.

Предвид обаче на експлоатационните условия, които променят (обикновено увеличават) грапавостта, това средство не се е оказало надеждно. Много по-

ефективно средство за намаляване на съпротивлението от триене е увеличаването на диаметъра, тъй като при иначе еднакви други условия загубите са

пропорционални на петата степен на диаметъра. Що се отнася до намаляването на местните съпротивления, за тях трябва да се вземат под внимание съответните им специфични особености.

В случаите, когато на дадена система не достигат дебит или налягане (напор), се прибягва към паралелна или последователна работа на няколко

помпи. За определяне на режима на работа на системата следва предварително да се построи

61

сумарната характеристика на помпите. Работната точка на системата се определя, като при горните случаи и

представляват пресечната точка на сумарната характеристика на помпите със съпротивителната характеристика на тръбопровода.

При построяването на сумарните характеристики на помпите в случая на паралелното им свързване е необходимо сумирането на характеристиките на

помпите да се прави по абсцисата (по дебита), а последователно съединение – по ординатата (по напор).

На Фиг. 5.3 е дадена схемата на паралелна работа

на центробежните помпи при прост тръбопровод, като е дадено вдясно графичното решение на задачата.

Фиг. 5.3

На Фиг. 5.4 се разглежда последователната работа на помпи, работещи съвместно с прост тръбопровод. На същата фигура е дадено и графичното оформление

на решението.

62

Фиг. 5.4

5.2. СЛОЖНИ ТРЪБОПОРОВОДИ

Сложните тръбопроводи са с разклонения. При тях от един или повече източници на дебит флуидът попада в система от тръбопроводи, достигайки до съответните

консуматори. В зависимост от вида на разклоненията на

участъците при сложните тръбопроводи могат да се

формират следните три основни схеми: 1) С лъчеобразно разклонени участъци между

източника на флуида (помпа, вентилатор, компресор) и консуматора, които условно ще се нарекат „лъчеви“ (лъчева схема).

2) Със затворени контури от тръбопроводи. 3) С непрекъснато подаване на течност или

газ. Най-често в практиката се среща комбинация между

първите две задачи. При сложните тръбопроводи може да се формулира

следната основна група задачи:

63

1. Да се определят диаметрите на тръбите по зададен дебит и пределни загуби (допустими за съответния технологичен процес) от хидравлични съпротивления.

2. Определяне на пада на налягане (на напор) между източника и съответния консуматор.

3. Определяне на разпределението на дебита в съответните тръбопроводи за зададените размери на тръбите и известен (или зададен) пад на налягане (напор).

Задачите от първа група се отнасят за случаите за проектиране на нов тръбопровод или на участъци

от него. Вторите две групи задачи се използват за проверка на съществуващ тръбопровод с цел изясняване на условията на работа при него.

Отделните елементи на сложните тръбопроводи могат да се сведат към следното:

1. Клонове на тръбопровода са включените към него прости тръбопроводи.

2. Точките, в които се съединяват повече от два клона, се наричат възли.

3. Системата от клонове между източника и консуматора при лъчевата тръбна мрежа се наричат „лъчи“.

4. Системата затворени клонове образуват контур. При решаване на клоновете на системата за

определяне на съпротивленията в тръбопровода се прилага даденото в първата част на тази глава, отнасящо се до пресмятане на прости тръбопроводи.

Основните уравнения, които се прилагат при решение на сложните тръбни мрежи са уравненията за баланс на дебитите във всеки възел и за баланса на

загубите на налягане (напор) следствие на хидравличните съпротивления.

В сложните тръбопроводи може да се пренебрегнат относително малките загуби от местни съпротивления

във възлите на мрежата. Това в значителна степен опростява пресмятането, тъй като дава възможност да се приемат еднакви налягания на течението в

крайните сечения на тръбите, присъединени към даден

64

възел. Възприетият подход позволява в уравненията за съпротивленията, които са уравнения от типа на

Бернули, да се оперира с понятието налягане (напор) в даден възел.

Конкретният вид на системата уравнения и начинът

на решаването им се определят от типа на сложния тръбопровод и от характера на поставената задача.

За получаване на еднозначни решения на системата

уравнения за пресмятане на задачата е необходимо тя да е затворена, т.е. броят на неизвестните параметри да е равен на броя на уравненията. Желателно е броят на уравненията да е плюс едно,

което да се използва за проверка на решението.

5.3. ЛЪЧЕВИ И КОНТУРНИ СЛОЖНИ ТРЪБОПРОВОДИ

Тези тръбопроводи могат да се обобщят като тръбопроводи с крайни консуматори. Тъй като възловите точки на контурната тръбна мрежа имат

отклонения към съответния консуматор, то тя не би могло да се разглежда като „чисто“ контурна тръбна мрежа, а като комбинация между тях.

На Фиг. 5.5 и 5.6 са дадени принципните схеми на лъчева и контурна тръбна мрежа. С римски цифри са означени възлите на мрежата, а с арабски клоновете.

И в двата случая от един източник на флуид по системата клонове дебитът се разпределя към съответните консуматори, които на фигурите са

означени условно с кръгчета и е дадена номерацията им.

65

Фиг. 5.5 Фиг. 5.6

Теченията в сложните тръбопроводи се подчиняват

на закони, аналогични на законите на Кирхоф [8] за електрически вериги. И за двата разглеждани типа тръбопроводи за всеки възел сумата от входящите и

изходящите дебити е равен на нула:

(5.13)

1

0n

ii

Q ,

където n е броят на постъпващите във възела клонове

с дебит iQ .

Приема се, че дебитите, постъпващи във възела, са положителни, а напускащите са отрицателни.

За всеки затворен контур от тръбната мрежа

алгебричната сума от загубата на налягане от хидравлични съпротивления е равна на нула:

(5.14) j1 1

0 респ. 0m m

заг. j заг.j j

p h .

При това загубите от налягане, определени с дебити, движещи се по направление на часовата стрелка в контура, се приемат за положителни, а

тези в обратна на часовниковата стрелка посока за отрицателни. В (5.14) с m е означен броят на

клоновете в един контур, а с заг.p , респективно jзаг.h

66

– загубите от налягане (напор) за всеки клон, които се изчисляват по зависимостите, дадени в началото

на настоящия раздел. Всеки клон се разглежда като прост тръбопровод.

За лъчева тръбна мрежа, както и за контурна,

разгледана като цяло със съответните отклонения към консуматорите, уравнение (5.14) приема вида:

(5.15) j j1 1

V V

заг. заг.j j

p P , h H ,

където: k са клоновете от източника до съответния

консуматор 1j k на брой, като в него могат да се

съдържат и част от контури; p H е допустимата

сумарна загуба на налягане (напор) в дадено

направление от захранващ източник до крайната точка

на мрежата. Уравнение (5.15) дава изискването сумата от

загубите на налягане по един лъч от мрежата, лежащ

между захранващия източник и съответния консуматор, да са равни на допустимите по технологични съображения загуби от налягане. Това означава да се

реализира такава сложна тръбна мрежа, която да осигури на съответния консуматор на флуид (вода, газ, сгъстен въздух и пр.) необходимите за неговите

технологични цели параметри – налягане и дебит.

Към уравнения (5.13) ÷ (5.15) трябва да се добави още условието: дебитите във всички

консуматори да са равни на захранващите системата дебити, респективно дебит:

(5.16)

1

r

kk

q Q ,

където: kq е дебитът към съответния консуматор; r –

броят на консуматорите; Q – сумарният захранващ

системата дебит, като източниците на захранване могат да бъдат повече от един.

67

При проектиране на сложни тръбни системи се задават дебитите и наляганията, необходими за всеки

консуматор. Необходимото налягане определя допустимия пад на налягане между източника на дебита и даден консуматор.

За всеки клон (участък) от мрежата неизвестни са

загубите на налягане заг загp h , както и коефициентът

на характеристиката на тръбопровода k и дебитът Q.

При готова сложна тръбна мрежа съпротивленията във всички клонове и участъци са известни. Задачата се свежда до определяне на разпределението на дебитите и регулирането на налягането пред

съответния консуматор. С подобни изчисления се проверява работоспособността на дадена тръбна мрежа.

Фиг. 5.7

Тръбопровод с непрекъснато изтичане по дължината му (Фиг. 5.7)

При пресмятане и оразмеряване на тръбопроводи от

този вид се приема, че изтичането става непрекъснато и равномерно по цялата дължина на

участъка l с интензивност oQ , 3 /m s.m на един линеен

метър.

Следва, че 0 nQ Q l Q .

Загубите от линейни съпротивления на участъка с

дължина l се изчисляват по зависимостта:

68

(5.17)

2

3 50 81

3o

п o п

Qlp , Q Q Q .

d

В частния случай на изтичане, т.е. само през

дискретните отвори 0пQ , при което

oQ Q / l се

получава

(5.18) 2

3 50 81

3

l Qp , .

d

Този израз показва, че при непрекъснато изтичане

загубите от линейни съпротивления в участък с

дължина l са три пъти по-малки, отколкото при транзитното преминаване на същия през този участък. Ако през отворите флуидът изтича в камера или в

атмосферата, което се среща във вентилационната техника, към съпротивлението, получено по (5.17–5.18), трябва да се прибави като загуба и

динамичното налягане на изтичащата през отворите

струя. Тогава, ако od е диаметърът на отворите,

скоростта на изтичане през един отвор е:

0

2

4o

o

Q lu

n d

и следователно

3

2 2

2 4 2

Pa0 81

2 mo

o

u Qp , , ,

l d

откъдето:

(5.19) 2

3 5 2 4

10 81

3l

o

lp , Q .

d n d

Разбира се, това са само загубите от линейни

съпротивления на участъка с дължина l и загубеното динамично налягане (местното съпротивление) при изтичането. Към него трябва да се прибавя общото съпротивление на тръбопровода до разглеждания

участък, за да се намери по този начин общото съпротивление на цялата тръбопроводна система.

69

5.4. ТРЪБОПРОВОДИ С УСПОРЕДНИ ОТКЛОНЕНИЯ

Много често общ тръбопровод се разклонява в няколко тръбопровода (Фиг. 5.8), които се

съединяват отново или не се съединяват.

Фиг. 5.8

В този случай 1 2 n

Q Q Q ........Q и хидравличните

загуби са еднакви в отделните участъци, т.е.

1 2з з зnp p ...... p ,

където:

3

2

1 1 2i

n kmi

i ji ji

l up .

d

Съществуват два вида задачи. При зададен пад на налягане да се определи дебитът или при зададен

дебит да се определи падът. За целта се използва следната система от уравнения:

1 2 nQ Q Q ......Q ,

211 1 15

1

222 2 25

2

2

5

0 81

0 81

0 81

`

з

`

з

`

nзn n n

n

lp , Q ,

d

lp , Q ,

d

...,

lp , Q ,

d

70

` ` `

зоб з зi зпp p p p ,

където: ` `

i i ек , зl l l p са общите загуби в тръбопровода

до разклонението;зip – общите загуби в един от

успоредните клонове, и ` `

зобp – общите загуби в

изходящия тръбопровод. Системата може да се реши аналитично или

графично с последователни приближения. Коефициентът

на линейно съпротивление се подбира ориентировъчно, като се смята, че течението е в

квадратична област, където не зависи от Re.

5.5. ЗАДАЧА ЗА ТРИТЕ РЕЗЕРВОАРА

Това е една от класическите задачи за сложни тръбопроводи (Фиг. 5.9).

Особеностите на разглежданата схема е, че самата

система уравнения за пресмятане се различава в зависимост от направлението на течението в тръбата, която съединява възела А към средния резервоар.

Горният резервоар 1 е винаги захранващ системата и течността постъпва от него към възела. Най-долният резервоар 3 е винаги приемен, като течността от

възела А тече към него. Резервоарът 2 може да е захранващ или приемен.

Посоката на течението в тръбата 2 се определя от отношението между напора (налягането) y по

отношение на напора в средния резервоар 2H . В

зависимост от това отношение са възможни следните

три случая, описани с различни системи от уравнения.

71

Фиг. 5.9

1. Ако напорът във възела A е по-малък от

този в резервоар 2 2y H , то течността на

резервоарите 1 и 2 изтича в 3. Системата уравнения, решаващи задачата, в този случай имат вида:

(5.20) 211 1 15

1

0 0827`

lH y , Q ,

d

(5.21) 222 2 25

2

0 0827`

lH y , Q ,

d

(5.22) 23

3 3 35

3

0 0827`

ly H , Q ,

d

(5.23) 1 2 3Q Q Q .

2. Ако 2y H , течността от резервоара 1

изтича в 2 и 3. Уравненията, които описват разпределението на флуида, имат вида:

(5.24) 211 1 15

1

0 0827`

lH y , Q ,

d

А

Н2

Н1

1

2

L1, d

L3, d

3

Н3

y

72

(5.25) 222 2 25

2

0 0827`

ly H , Q ,

d

(5.26) 233 3 35

3

0 0827`

ly H , Q ,

d

(5.27) 1 2 3Q Q Q .

3. В случая, при който съществува равенство

между y и 2H

2y H , дебитът към резервоар 2 ще

бъде нула 2

0Q . От това следва, че:

(5.28) 1 3Q Q Q.

Цялата течност от резервоар 1 се излива в 3.

(5.29) 21

1 1 5

1

0 0827L

H h . Q ,d

(5.30) 23

2 3 3 5

3

0 0827L

H H , Q .d

Когато системата включва тръби, завършващи с

дюза или накрайник, изтичащ в атмосферата, то при съставяне на уравнение за баланса на напор (налягане) за тях трябва да се отчита динамичното

налягане на изхода от тръбите. Изборът на системата уравнения се прави в

зависимост от начина на постановка на задачата. Посоката на течението в тръба 2 може да бъде

предварително зададено условие на задачата. Когато е неизвестна посоката, трябва да се определя при самото решение. В случая, когато са известни

наляганията в резервоарите и размерите на всички тръби, неизвестни са разпределенията на дебитите. Решението се почва с определяне на посоката в тръба

2. Препоръчва се съгласно [4] да се използва

методът „Изключен клон“. Той се състои в следното:

Изчислява се налягането y във възела при изключена

тръба 2 2 1 3Q Q Q . Съставя се уравнението на

73

Бернули за тръби 1 и 3, които, решени относно y ,

дават:

(5.31)

1 31 5

2 2 15

1 1 2

1

H Hy H .

L d

L d

Ако в резултат на решението се получи 2

y H , то

при включване на тръба 2 в работата на сложния тръбопровод съответства на даденото в т. 1. За

решаването на задачата трябва да се използват уравнения (5.20) ÷ (5.23).

При 2

y H , при включена тръба 2, се използват

уравненията съгласно втория случай (уравнения (5.24) ÷ (5.27)).

Ако 2

y H , то 2

0Q , решението е, ако уравнения

(5.28) ÷ (5.30),имаме третия възможен случай на изтичане.