제 5강. 도체계와 정전용량 1

3 장 도체계와 정전용량3-1 콘덴서

- 절연된 도체에 전하 Q를 주면 그 도체의 전위는 이전의 전위보다 V만큼 증가

⟶ 대전된 도체의 전하량이 증가할수록 도체의 전위는 높아지는데, 이는 도체의 형상, 크기,

배치상태, 매질의 종류에 따라 결정

- 한 개의 고립된 도체에 전하 Q[C]를 주었을 때의 전위를 V[V]라 하면 Q와 V는 비례하여

또는

······ (3-1)

- 이 비례상수 C를 정전용량이라고 함. 정전용량이란 일정한 전위 V를 주었을 때, 전하 Q를 저장하는 능력

- 정전용량의 단위

1[μF] (microfarad) = 10-6[F]

1[pF] (picofarad) = 10-12[F]

- 개의 도체에서 도체 A에 +Q[C], 도체 B에 –Q[C]가 주어졌을 때, 도체간의 전위차를 VAB라 하면, 두 도체간의

정전용량은

······ (3-2)

- 이와 같은 정전용량 C에 축적되는 정전에너지

······ (3-3)

3-2 연결

(1) 콘덴서의 종류와 용도

- 콘덴서는 재질에 따라 공기 콘덴서, 기름 콘덴서, 운모 콘덴서, 종이 콘덴서 등이 있음

- 반원형의 엷은 갈색인 세라믹콘덴서, 짙은 녹색의 사각형 모양인 마일러 콘덴서, 원통이고 극성이 있는

전해 콘덴서가 많이 쓰임

콘덴서의 형 콘덴서의 용량[μF] 동작전압[VDC] 용 도

종이콘덴서

종이콘덴서

유입콘덴서

전해콘덴서

전해콘덴서

전해콘덴서

운모콘덴서

세라믹콘덴서

가변콘덴서

0.001～1

1～10

0.05～15

2～40

5～500

500～4,000

0.005～0.01

0.5×106≈0.47

15～350

200～2,000

200～2,000

600～5,000

150～450

25～100

12～25

12～10,000

12～10,000

150～3,000피크[V]

저주파결합용

필터용

필터용

필터용

바이어스용

저전압필터용

저주파, 고주파결합용

저주파, 고주파결합용

고주파 동조형

3-1 콘덴서의 종류와 용도

- 3-1은 콘덴서의 기호이고, 그림 3-2는 주요 콘덴서의 겉모양이다.

가변콘덴서

그림 3-1 콘덴서의 기호

세라믹 콘덴서 마일러 콘덴서 전해 콘덴서

그림 3-2 주요 콘덴서의 겉모양

(2) 연결

1) 병렬연결

3-3 콘덴서의 병렬연결

- 각 콘덴서에 충전되는 전하

, , ······ (3-4)

- 전하의 합계는

······ (3-5)

- 병렬연결 시 합성용량은 저항의 직렬연결과 같다

······ (3-6)

- 각각의 콘덴서에 흐르는 전하량

······ (3-7)

0.01[μF] 200[pF]의 콘덴서를 병렬 접속하여 1000[V]의 전원에 접속할

때, 합성정전용량과 각 콘덴서에 흐르는 전하량을 구하여라.

[풀이] 0.01[μF]을 C 1, 전하량을 Q 1, 200[pF]을 C 2, 전하량을 Q 2라 하고 합성정전용량을 CP라 하면

식(3-6), 식(3-7)에 의해서

FpF F

× ×

C

× × ×C

3.1

2)

3-4 콘덴서의 직렬연결

- 각 단자사이의 전압

,

,

······ (3-8)

- 전체 전압은 각각의 콘덴서에 인가된 전압의 합과 같으므로,

······ (3-9)

- (3-8)을 (3-9)에 대입하면,

······ (3-10)

- 콘덴서의 합성용량

······ (3-11)

- 콘덴서의 직렬연결 시 합성용량은 저항의 병렬연결과 같다

······ (3-12)

······ (3-13)

- 각 콘덴서에 걸리는 전위차

,

,

······ (3-14)

3-4에서 C 1=1[μF], C 2=2[μF], C 3=3[μF]인 3개의 콘덴서를 직렬 접속하여 600[V]의 전압을

가할 때 C 1 양단 사이에 걸리는 전압[V]은 얼마인가?

[풀이] 그림에서 C 1, C 2, C 3에 분배되는 전압은 V 1, V 2, V 3라 하고 C 1, C 2, C 3가 직렬접속일 때

합성 정전용량 C 를 구한 후 V 1=

V [V]식에서 구한다.

합성용량 C 는

∴

∴

×

3.2

3-3 계산 예

(1) 도체구의 정전용량

3-5 도체구

- 진공중에 고립되어 존재하는 도체구에 반경이 a[m]이고, 전하 Q[C]를 주었을 때 전계의 세기 E는 가우스 법칙에

의해

⋅ ⋅

······ (3-15)

- 표면에 있어서의 전위 V

⋅

∞

∞

······ (3-16)

- 따라서 정전용량

······ (3-17)

1[μF]의 정전용량을 가진 구의 반지름[km]은 얼마인가?

[풀이] 식(3-17)에 의해 ×

식에서 a를 구한다.

×× × ×× ×

3.3

(2) 개의 동심구 도체의 정전용량

3-6 동심구

- 두 개의 동심구에서 내부 도체에 Q[C]의 전하를 주면 반지름 b인 외부도체의 안쪽면에 –Q[C]의 전하가 유도

- 이 때 내부 도체의 중심점 O에서 r[m]만큼 떨어진 점에서의 전계의 세기

······ (3-18)

⋅

····· (3-19)

- ·

······ (3-20)

동심 구형 콘덴서의 내구와 외구의 반지름을 각각 6배로 증가시켰을 때 정전 용량은

몇 배로 되는가?

[풀이] 식(3-20)로부터

서 ′

× 배

3.4

(3) 도체의 정전용량

- 내원통의 반지름 a, 외원통의 반지름이 b인 무한히 긴 동축 원통도체의 단위길이당 정전용량

3-7 무한히 긴 동축원통

- 긴 동축원통에 있어서 내부원통에 단위길이당 전하를 [C/m], 외부원통의 단위길이당 전하가 [C/m]이면,

동축원통 사이의 임의의 P점의 전계의 세기

······ (3-21)

- 전위차

⋅

ln

······ (3-22)

- 단위길이당 정전용량

ln

log

××

log

×

······ (3-23)

- 진공 중에서 원통의 길이가 일 때,

ln

······ (3-24)

- 정전용량

ln

······ (3-25)

3-7과 같이 내원통의 반지름 10[m], 외원통의 반지름 20[m]인 동축 원통도체의

정전용량을 구하여라.

[풀이] 내외 도체의 반지름이 각각 a , b [m]인 동축원통 도체의 단위길이당 정전용량 C 는

ln

log

×

log

×

log×

3.5

- 같이 동축 원통 사이에 유전체 ε1, ε2가 채워져 있을 때 (복합유전체), 동축 원통의 단위 길이당 정전용량

그림 3-8 복합유전체의 동축 원통 - 각 유전체의 전계는

······ (3-26)

······ (3-27)

- 내외 원통도체 사이의 전위차는

⋅

⋅

······ (3-28)

- 동축원통의 단위길이당 정전용량 C 는

······ (3-29)

아래 그림과 같이 ε1, ε2를 갖는 두 유전체로 절연하고자 한다. 이 경우 (a) ε1을 내측

도체 가까이 채운 경우와, (b) ε2를 내측 도체 가까이 채운 경우의 이 케이블의 최대 사용전압을

구하여라.

단, ε1은 5.0, 허용전위경도()는 40[kv/m]이고, ε2은 3.0, 허용전위경도는 50[kv/m](), a=1[cm],

b =[2cm], c=3[cm]이다.

[풀이] (a)의 경우 (ε1을 내측 도체 가까이 채운 경우)

내외 원통도체 사이의 전위차는 식(3-28)에 의해

⋅

⋅

3.6

⋅

⋅

λ ( 전하)를 구해야 하므로 식(3-26)에서

E ․․․에서

××××

×cm

∴

×

×

V

(b) 경우 (ε2를 내측 도체 가까이 채운 경우)

⋅

⋅

⋅

⋅

λ를 구해야 하므로 식(3-27)에서

E ․․․ ××××

×cm

×

× ⋯

×

V

유전율이 큰 유전체를 내측 도체에 가까이 채우면((a)의 경우), 더 높은 전압(8,000[v])을 가할 수 있음

(4) 개의 평행판 도체의 정전용량

- 무한히 넓은 평명판 A, B가 극판거리를 d라 하고, 각각 단위 면적당 전하를 라 하면, 평면판 사이의

점 P의 전계 E는 균일하게 형성

3-9 두 개의 평행 도체판

······ (3-30)

⋅

······ (3-31)

- 면적당 정전용량

······ (3-32)

- 진공중에서, 도체판의 면적이 일 때의 정전용량

⋅

××

······ (3-33)

- 두 도체간에 절연물을 넣으면 정전용량이 커짐, 이 때 는 비유전율(진공 중 유전율 대비 절연물의 유전율)

또는

······ (3-34)

물 질 비유전율 물 질 비유전율

진공

공기

변압기유

물

파라핀

고무

황

건조한 나무

1.000000

1.000586

2.2～2.4

80

2.1～2.5

2.5～3.5

3.6～4.2

1.5～4

종이

베이클라이트

운모

금강산

자기류

산화티탄(TiO2)자기

티탄산염(BaTiO3)자기

합성수지

2.0～2.6

4.5～5.5

5.5～6.6

16.5

6～7

100

1000～5000

2～3

3-2 비유전율 ζs의 값

1 5[cm]인 정사각형 전극을 가진 평행판 콘덴서가 있다. 이 극판 간격을 5[mm]로 할 때

정전 용량은 얼마인가? 단, ε0=8.854×10-12[F/m]이다.

[풀이] 평행한 평판사이의 정전 용랑

식에서 평판 면적 S=(5×10-2)2[m2],

극판 간격 d =5×10-3[m]를 대입하면 구한다.

× ××

×

3.7

(5) 개의 평행한 도선사이의 정전용량

- 반경 a인 원통형 도선 A, B가 중심축 사이의 거리 d로 매우 길게 평행으로 놓여 있는 경우 정전용량

3-10 두 개의 평행 도선

- 도체 A와 B에 각각 의 전하를 주면, 양 도체의 중심을 연결하는 선상의 점 P의 전계

······ (3-37)

- P의 합성전계 는 전계의 방향을 고려하면,

······ (3-38)

- 도체 A, B 사이의 전위차

⋅

ln ln

······ (3-39)

- 단위길이당 정전용량

ln

······ (3-40)

- 특히 ≫ 일 때는

ln

≒ln

ln

log

××

log

×

······ (3-41)

- 길이 일 때 정전용량은

⋅ ln

⋅ ······ (3-42)

반지름 1.5[mm]의 두 전선이 0.5[m]의 간격으로 가설되어 있다.

이 때 1[km]당 정전용량을 구하여라.

[풀이] 식(3-41)에서 길이 1[km]당 정전용량은

ln

×

log

× ×

log

× ×

×

3.8

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사