제 7강. 유전체 1

4 장 유전체4-1 성질

- 절연체에 외부전계를 받았을 때 원자구조에 약간의 변위를 일으켜 절연체의 양단에 전하가 생성

되는 분극현상이 발생되어, 전기쌍극자를 형성하므로 새로운 전계가 발생(전기작용)

- 유전체: 절연체에 전기작용이 일어나는 현상, 동일한 전위차에 대하여 두 전극자에 절연체를 넣

었을 때 극양단에 전하가 축적되어 정전용량이 증가되도록 유도하는 물질, 절연체의 종류에 따

라 정전용량의 증감이 결정

(a) (b)

4-1 진공과 유전체

- 4-1과 같이 절연물을 넣었을 때의 정전용량을 C, 진공일때의 정전용량을 C0라 하면,

······ (4-1) - 전극간에 절연물을 넣음으로써 전극판에 축적되어있는 전하 Q와 반대부호의 전하 q가 절연물의 양단에 유도 - 비유전율의 정의

······ (4-2)

- 절연물이 삽입되었을 때의 전하량과 진공중일 때 전하량은 같음

······ (4-3)

- 따라서, 전위차는

······ (4-4)

절연물일 때의 전위차는 진공일 때의 전위차의 1/

- 진공중일 때와 절연물이 삽일되었을 때, 전위차와 전계 사이의 관계는

······ (4-5)

- 따라서,

······ (4-6)

절연물일 때의 전계는 진공일 때의 전계의 1/

- 절연물 중에서의 쿨롱의 법칙 및 점전하에 의한 전계의 세기는 진공 일때의 1/

······ (4-7)

······ (4-8)

- 진공일 때의 유전율과 비유전율의 곱

······ (4-9)

- 유전율을 이용하여 식(4-7)과 식(4-8)을 나타내면,

······ (4-10)

······ (4-11)

- 한편, 그림 4-1에서 전극판의 면적을 S[m2]라 하면, 진공일 때와 절연체가 있을 때의 정전용량은

······ (4-12)

εs=100인 유전체중에 10[μC]의 점전하에서 1[cm] 떨어진

점 P의 전계의 세기를 구하라.

[풀이] 식(4-11)에 의해서 전계의 세기 E는

×

×

×

×

4.1

4-2

(1) 분극

- 외부의 전계 작용에 의해 양자와 전자는 속박된 채로 정, 부의 전하가 극히 미소한 거리만큼 변위하여 전기쌍극자를 가지며 쌍극자 모멘트가 형성

→ 유전체 내의 이웃한 전하는 상쇄되나 유전체 양단의 전하는 상쇄되지 않으므로 전하가 나타남 - 전기분극: 유전체 양단에 전하 Q가 생성되는 현상, 로 표시

(a) (b)

4-2 분극현상

- 모멘트

M =Q 'δ[C·m]

- 분극도는 단위면적에 대한 분극전하량 또는 단위체적당의 전기쌍극자 모멘트

또는 ······ (4-13)

여기서 V: 체적

(2) 분극의 종류 (P. 143 참조)

1) 전자분극

2) 이온분극

3) 배향분극

4-3 전계의 관계

- 전계 중에서 유전체가 존재할 때, 균일한 분극이 생겨 분극전하는 유전체의 표면에만 생성

4-3 평행 전극간의 유전체

- 양극판 사이의 전계는 외관상 전하밀도에 따라 정해짐

′

······ (4-14)

- 한편 유전체 내의 전계의 세기는 진공 일때의 1/

는 ······ (4-15)

- (4-15)를 식 (4-14)에 대입하면,

······ (4-16)

- 분극의 세기

······ (4-17) - 여기서 x를 물질의 분극율이라 함

······ (4-18)

εs=5인 등방유전체의 한 점에서 전계의 세기가 E=10⁴[V/m]

일 때 이 점의 분극율 χ[F/m2]는?

[풀이] 등방유전체라함은 방향에 따라서 P가 같은 물질이다. 결정체에서는 방향에 따라서 P가 다른데, 이런 물질을 이방성 유전체라고 한다. 정의에 의해서

․분극의 세기

×

×

[C/m2]

․분극율

[F/m2]

4.2

4-4 전속밀도의 관계

- 평행전극사이에 유전체가 부분적으로 삽입되어 있을 때 양극판의 진전하는 ±와 유전체에 나타나는 분극전하를 ±′라 하면, 이 때 유전체 내의 전계의 세기

4-3 평행 전극간의 유전체

′ 이고, ′ ······ (4-19)

- 평등전계에서 이고, 분극 전하밀도는 분극 P와 같으므로( ′),

······ (4-20)

- (4-20)을 식 (4-17)에 대입하면, 식 (4-17) :

······ (4-21)

- 진공중일 때, 전속밀도

······ (4-22)

- 전속밀도는 어떠한 물질에 관계없이 진전하밀도와 같다. ( )

5인 운모 중의 전속 밀도가 4.3×10-6[C/m2]일 때 분극의 세기[C/m2]를 계산하시오.

[풀이] 식(4-21)을 이용하면 에서

×

×

4.3

4-4와 같은 간격 d=1[cm]인 평행판 콘덴서에 단위 면적당 ±8.854×10-8[C]의 전하를 주고

유전체로써 마일라(εs=3.2)를 넣었다. 단, 극판 면적 S≫d 라 한다.

(a) 마일라를 넣기 전과 후의 단위 면적당 정전 용량을 구하여라.

4-4 평행판 콘덴서

(b) 마일라를 넣기 전과 후의 전위 관계를 구하여라.

(c) 전속 밀도 D 및 분극 P를 구하여라.

[풀이] (a) 마일라를 넣기 전

×

마일라를 넣은 후

×

4.4

(b) Q =C V 마일라를 넣기 전의 전위

×

×

따라서, 전계 E 0는

다음에 마일러 삽입 후의 전위차 V 는

V (

로도 문제 풀이 가능)

따라서, 전계 E는

E

× (

로도 문제 풀이 가능)

(즉, 유전체 중의 전위는 전계 같이 진공중에 비해 1/εs배 작게 된다.)

(c) (4-22)에 의해 마일라를 넣기 전은

×× ×

마일라를 넣은 후는

× ×××

×

식(4-21)에 의해

××

××

×

4-5 정전계

(1) 쿨롱(Coulomb)의 법칙

- 유전체 중의 전계는 진공 중에 비해 1/εs배 작으므로, 점전하에 의한 유전체 중의 전계는

······ (4-23)

- 따라서 유전체 내의 쿨롱법칙은

······ (4-24)

(2) 가우스(Gauss)의 법칙

- 유전체 중의 전하 Q[C]에서 발산되는 전기력선(N)의 총수는 진공 중에 비해 1/εs배 작으므로,

⋅

······ (4-25)

- 식(4-21)을 적용하면( ), 전속의 총수

⋅ ······ (4-26)

- 만일 폐곡면 S내에 진전하()가 없다면,

⋅ ····· (4-27)

전속선에 대한 연속방정식 (유전체에 대한 Gauss 법칙)

- 식(4-25)~식(4-27)을 각각 미분형태로 나타내면,

⋅

또는 ∇⋅ ······ (4-28)

di v ······ (4-29)

εs=10인 유전체에 전속밀도 D=x 2i+y 2j+z 2k [c/m2]를 발생시키는 점(2, 1, 2)[m]에서의

공간 전하밀도 ρ[c/m3]을 구하여라.

[풀이] 전속밀도 D는 유전체와 관계없으므로 식(4-28)에 의해서

÷

××× Cm

4.5

4-6 종류의 유전체 경계 조건

(1) 전속밀도의 경계조건

- 유전율이 각각 다른 유전체가 서로 경계면에 접하고 있을 때 전속선은 경계면에서 굴절

4-5 전속밀도의 경계조건

- 경계면에 유출입하는 전속밀도를 Gauss법칙에 의해 계산하면

․ ······ (4-30)

······ (4-31)

- 유전체에서 자유전하가 없기 때문에 이므로,

cos cos ······ (4-32)

cos cos 두 유전체의 경계면에 진전하가 존재하지 않을 때, 경계면에 대한 전속밀도의 법선성분은 서로 같고 연속

(2) 전계의 경계조건

4-6 전계의 경계조건

- 전계를 구하기 위해서는 그림 4-6(a)와 같이 단위 정전하를 경계면에 접하도록 일주시켜 일을 구함

- 전계의 보전적인 성질에 의하여

․ or ․ ······ (4-33)

- 단위 정전하가 경로 AC, BD를 통과할 때의 일은 그 경로가 극히 짧으므로 수직성분인 AC, BD를 무시

․ ≒

․

⋅ ······ (4-34)

- 전계의 보전적 성질에 의하여

sin sin ······ (4-35)

두 유전체의 경계면에 진전하가 존재하지 않을 때, 경계면에 대한 전계의 세기의 접선성분은 서로 같고 연속

(3) 경계면의 굴절 관계

- 굴절관계는 전속밀도와 전계의 경계조건을 이용

sin sin ······ (4-36)

cos coscos cos ······ (4-37)

- 식(4-36)을 식(4-37)로 나누어주면

cos

sincos

sin

tan

tan

tan

tan

······ (4-38) ; 경계면에서의 굴절각

- 따라서 면 이고,

＜ 및 ＞ ······ (4-39)

4-7과 같이 공기 중의 전계 E1=10[kv/m]가 30°의 입사각으로 기름의 경계면에 닿았을 때

① 굴절각θ2, ② 기름 중의 전계 E2, ③ 전속밀도 D2를 구하여라. 단, 기름의 비유전율은 3이다.

4-7 유전체의 굴절각

[풀이] ① 굴절각 θ2는 식(4-38)로부터

tan

tan

tan tan tan ×

∴ °

4.6

E 2는 식(4-35)으로부터

sin

sin ×

×

×

③ D 2는 식(4-32)으로부터

cos

cos

D 1의 값이 주어지지 않았으므로 D 1을 계산한 뒤, D 2를 계산하면

× ××

×

∴

××

×

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사