제 7 장 전기역학

7.1 기전력 7.1.1 옴 법칙

7.1.2 기전력

7.1.3 운동 기전력

7.2 전자기 유도 7.2.1 패러데이 법칙 실험 1.

실험 2.

실험 3.

7.2.2 유도된 전기장

7.2.3 인덕턴스

7.2.4 자기장 속의 에너지

7.3 맥스웰의 방정식 7.3.1 맥스웰 이전의 전기역학

7.3.2 맥스웰이 앙페르의 법칙을 고친 방법

7.3.3 맥스웰의 방정식과 자하

7.3.4 자하

7.3.5 물질 속의 맥스웰 방정식

7.3.6 경계조건들

표 7.1 비저항(⋅(1기압, 에서의 값)

7.1 기전력

7.1.1 옴 법칙

※전류 = 전하의 흐름

[금속: 자유전자, 반도체: 자유전자 또는 양공(hole), 전해질: 음/양이온, 플라스마: 자유전자 및 양이온]

- 전류밀도

정의: J ≡ v전자기장과의 관계: ≈ ● 옴 법칙(Ohm's law)

- 전도도와 비저항

: 전도도(conductivity)

: 비저항(specific resistivity)

※ 비저항 값에 따라 물질을 셋으로 나눔

- 도체

- 반도체

- 절연체(유전체)

물음: §2.5.1 도체 속에서는 ?

예제 7.1: 원통꼴 도체 전도도

단면적

길이 인

양끝의 전위차

전류 ?

풀이 전류 J⋅a

E⋅a

E⋅a (옴 법칙)

전기장 도선 속에 고르게 퍼져 있고, 방향은 도선의 축방향, 크기는

E⋅a

⋅

따라서

⋅

예제 7.2: 두 원통이 포개져 있고, 사이에 전도도 인 금속이 차 있음

반지름 ; 길이 ; 전위차

전류 ?

풀이1 전류 두 원통 사이에 든, 반지름 , 길이 인 원통면 에 대해 전류밀도를 적분한 값

J⋅a

E⋅a (옴 법칙)

[1] 전기장 ?

(: 안쪽 원통에 있는 단위길이당의 전하)

따라서 ⋅

⋅

?: 전위차 와 전기장

⋅ln

⇒ ln

⋅

그러므로 ⋅ln

⋅

풀이 2. 라플라스 방정식을 푸는 문제와 연결

[2] 라플라스 방정식 ∇ ,

원통좌표계(회전대칭꼴): ∇

따라서

,

⇒

⇒

⇒ ln

경계조건 ln ⇒ ln

따라서 ln

ln ⇒

ln

그러므로 ⋅ ⋅ln

⋅ln

⋅

- 옴 법칙(다른 꼴) ● (※ 현상론적 경험법칙 - 어긋날 때가 있다.)

: 저항(resistance) [ = volt/ampere]

- 주울 가열 법칙 [전하는 저항을 지나면서 이온과 부딪쳐 이온을 진동시키고,

에너지를 잃음(열에너지)]

- 전도도가 고른 도체에 정상전류가 흐를 때도, 알짜 전하는 도체 표면에만 있음

⇒ ∇ (라플라스 방정식)

예제 7.3 전도도가 고른 원통꼴 도선 속의 전기장(따라서 전류도)은 균일함

풀이 라플라스/푸아송 방정식?

원통 속에 알짜 전하가 없으므로 ∇ (라플라스 방정식)

경계조건

원통의 양끝의 전위는 일정: ,

원통의 옆면(둥근면): 전류가 흘러나가지 않음 J⋅n ⇒ E⋅n ⇒

방정식의 해

∇ ⇒

⇒

⇒ E ∇

z (균일)

7.1.2 기전력

- 회로에서 전류를 몰아대는 힘과 그것의 원천

※ 보기: 화학력, 역학적 압력, 온도차, 빛 등등..

- 기전력(electromotive force: emf) (※ 이것은 힘이 아니고 전위차[단위: 볼트])

- 전극이 도선으로 연결되지 않은 상태의 전원:

전하가 받는 알짜 힘은 ⇒ ⇒

전원의 기능: 전위차를 만들고 유지하는 것

7.1.3 운동 기전력

- 전원의 보기 전지(battery): 화학에너지를 써서 기전력을 유지

발전기(generator) 운동에너지를 써서 기전력을 유지

- 발전기의 작동원리: 운동기전력

가 받는 힘=자기력: 수직방향,

기전력: B

추가(305-306쪽의 내용 정리)

- 움직이는 고리에 생기는 기전력에 관한 표현

자기장 B의 선속

고리의 운동에 따른 선속의 변화율: ⇒

선속규칙(flux rule): 고리에 생기는 기전력과 선속의 변화율 사이의 관계

시각 와 사이의 고리 를 지나는 선속의 변화

띠의 넓이요소:

⇒

도선과 전하의 속도 사이의 관계: 도선의 속도 , 전하가 도선을 따라 움직이는 속도 (// )

전하의 속도 ⇒ =

⇒

⇒

7.2 전자기 유도

7.2.1 패러데이 법칙

페러데이의 세가지 실험: 모두 회로에 전류가 흐름

물음 1. 고리가 움직일 때(a) 전하가 받는 힘은 자기력이지만,

움직이지 않을 때(b,c) 받는 힘은 자기력이 될 수 없고, 따라서 전기력이어야 한다(?).

패러데이의 결론: 변화하는 자기장은 전기장을 만들어낸다: (보편적 선속 규칙)

왼쪽: 오른쪽:

패러데이 법칙

(적분꼴)

● (미분꼴)

예제 7.5 원통자석을 지나가는 둥근 도선고리에 생기는 기전력

풀이 기전력을 셈하려면 고리의 선속을 알아야 함

자기장: 자석 속에서는 이고, 양쪽 끝 근처에서는 퍼짐.

고리의 선속: 자석에서 아주 멀리 있으면 0

자석을 끼고 있는 동안은 최대값

자석을 빠져 나오면 다시 0

- 렌츠 법칙 (Lentz's law)

기전력의 방향을 결정하는 법clr

자연은 선속의 변화를 싫어한다.

⇒ 유도전류가 만드는 선속은 기전력을 만들어내는 선속의 변화를 지운다.

예제 7.6 “튀는 고리” 실험

코일에 전류를 흘리면 쇠고리가 위로 수십 센티미터 튀어 오르는 까닭?

풀이 코일에 전류가 흐르면 쇠고리에 선속이 생겨나므로

기전력이 유도되어 전류가 흐름

렌츠법칙: 유도전류가 만드는 자기장은 코일의 전류에 의한 선속을 지움

⇒ 쇠고리에 흐르는 전류는 코일의 전류와 반대방향

⇒ 서로 반대쪽으로 흐르는 전류는 밀어냄

⇒ 쇠고리가 위로 튀어오름

7.2.2 유도된 전기장

- 전기장은 두 가지: E E쿨롱 E패러데이1) 전하가 만드는 전기장 (쿨롱 장): ∇⋅E쿨롱

(발산형)

∇×E쿨롱

2) 자기장의 변화가 만드는 전기장 (패러데이 [유도] 장): ∇⋅E패러데이

∇×E패러데이 tB

(회전형)

따라서 ∇⋅E

∇×E t

B

예제 7.7 동그란 영역의 자기장 가 변할 때 유도되는 전기장?

풀이 반지름 인 앙페르 고리에 대한 패러데이 법칙

⇒

예제 7.8 자유로이 돌 수 있는 바퀴 (반지름 , 선전하 밀도 ) + 고른 자기장 B [반지름 ]

자기장을 없애면 어떻게 되나?

풀이 패러데이 법칙 ⇒ 전기장 ⇒ 바퀴가 돌아감 (도는 방향, 속도?)

도는 방향?

렌츠 법칙: 자기 선속을 회복시키는 방향 ⇒ 반시계방향

도는 속도?

자기장을 없애는 동안, 바퀴는 회전력을 받아 회전운동을 함

따라서 회전운동량을 셈하면 됨

1) 힘(전기장): 패러데이 법칙

2) 회전력

길이 l인 토막이 받는 회전력 N r×F

바퀴 전체가 받는 회전력

3) 회전 운동량

(자기장의 변화율과 무관!)

예제 7.9 아주 긴 도선에 흐르는 전류 가 천천히 변할 때,

유도전기장 E?

풀이 패러데이 법칙 + 준정적(quasi-static) 근사

⇒ (는 상수)

물음: 가 커지면 가 한없이 커짐?

근원은 준정적 근사의 조건 에 있고, 이것을 벗어나면 맞지 않게 됨

⇐

7.2.3 인덕턴스

- 고리 2를 지나는 자기력 선속

- 상호 인덕턴스(mutual inductance)

1. 노이만 공식

● [헨리: Henry = V․s/A]

2. 특성

1) 기하학적인 양: 두 고리의 크기, 모양, 상대적 위치에 따라 결정

2) 대칭성: ≡

3. 물리적 내용

⇒ 고리 1의 전류가 변화하면, 고리 2에 전류가 유도된다

- 자체 인덕턴스(self inductance)

1. 정의

⇒

※2. 노이만 공식꼴: ≡

r r′l⋅l′

예제 7.12 RL 회로의 스위칭 특성?

풀이 방정식: 옴 법칙

+ 초기조건:

일반해:

⇐ 초기조건

시간상수: ≡

⇐

7.2.4 자기장 속의 에너지

- 물음: 회로에 전류를 흘려 보낼 때 쓰이는 에너지는 얼마나 되고, 어디로 가는가?

대답 일부는 저항에서 열에너지로 바뀐다 [주울 가열(Joule heating): ]

일부는 자기유도로 생기는 역기전력을 거슬러 전류를 흘려보내는데 쓰이며, 회로 속에 있다.

(얼마나, 어디에?)

- 역기전력에 거슬러 해준 일 에너지는 얼마나 되며, 어디로 가는가?

1. 인 상태에서 가 될 때까지 역기전력에 거슬러 해준 일 에너지

⋅

2.

?

⇒

● 에너지는 자기장 속에 저장되고, 그 밀도는

※ 전기 에너지와 자기 에너지에 관한 공식의 비슷함 (2.43, 2.45; 7.31, 7.34)

예제 7.13 전류 가 흐르는 동축도선에 저장된 에너지와 자기유도

풀이 두 원통 사이의 공간의 자기장 (앙페르 법칙)

에너지 밀도

반지름 , 두께 , 길이 원통 속에 담긴 에너지

두 원통 사이의 공간에 담긴 에너지

자체유도 (7.29)

7.3 맥스웰 방정식

7.3.1 맥스웰 이전의 전기역학

- 지금까지 나온 전자기장에 관한 법칙

∇⋅E

(전기장에 관한 가우스 법칙) ∇⋅E정

정

∇×E

B(패러데이 법칙) ∇×E정

∇⋅B정 (자기장에 관한 가우스 법칙)

∇×B정 J정 (앙페르 법칙)

- 문제: 앙페르 법칙이 벡터 항등식 “회전의 발산은 0”에 어긋남

∇⋅J 은 정상전류에서만 성립 ⇒ 앙페르 법칙은 정자기학의 조건에서만 성립

- 보기: 앙페르 법칙이 어긋나는 상황 - 축전기에 충전하는 상황

⇐ 비오-사바르 법칙

안

면이도선을 품을때 면이축전기의두극판사이에있을때

7.3.2 맥스웰이 앙페르의 법칙을 고친 방법

- 전류밀도의 발산값?

⇐ 연속방정식 + 가우스 법칙

⇒ ● 자기장은 전류 또는 변화하는 전기장이 만들어낸다.

(적분꼴)

- 대체전류(displacement current)

1. 정의:

2. 축전기의 충전과정에서의 값

전극판 사이의 전기장 및 그 변화율: ⇒

(i) ∇⋅E

(전기장에 관한 가우스 법칙)

(ii) ∇×E

B (패러데이 법칙)

(iii) ∇⋅B (자기장에 관한 가우스 법칙)

(iv) ∇×B J

E(앙페르-맥스웰 법칙)

7.3.3 맥스웰 방정식

+ (로렌츠 힘 법칙)

※ 전하보존법칙: 전기역학법칙(맥스웰 방정식)의 결과 ⇐ 앙페르-맥스웰 법칙 + 가우스 법칙(전기장)

앙페르-맥스웰 법칙의 발산: ∇⋅J

∇⋅E ⇐ 전기장에 관한 가우스 법칙

∇⋅J

●

※ 맥스웰 방정식의 내용

(i) 전하는 발산성 전기장을 만든다.

(ii) 시간변화 자기장은 회전성 전기장을 만든다.

(iii) 발산성 자기장은 없다. (발산성 자기장을 만드는 것은 없다.)

(iv) 전류와 시간변화 전기장은 회전성 자기장을 만든다.

7.3.4 자하 - 생략

7.3.5 물질 속의 맥스웰 방정식

- 전하와 전류의 종류?

1) 자유전하, 전류

2) 속박전하, 전류: 편극밀도와 자화밀도의 공간적 분포가 고르지 않아 생김

3) 편극전류: 편극밀도의 시간적 변화를 가져옴

⇒

※ 편극전류에 대응되는 전하밀도?

연속방정식:

● 정리

⇒

⇒

- 맥스웰 방정식의 변형

1) 전기장에 관한 가우스 법칙

,

2) 앙페르-맥스웰 법칙

,

- 자유전하와 자유전류를 써서 정리한 맥스웰 방정식

+ 물성 관계식

7.3.6 경계조건들

- 경계면과 직교하는 성분

- 경계면과 나란한 성분

- 요약