שיעור

מדדי מרכז

מדדי מרכז

מדדים סטטיסטיים המשקפים את : הגדרה

הנטייה המרכזית של ההתפלגות

מדדי מרכז

מרכז ההתפלגות

meanממוצע medianחציון modeשכיח

MODEשכיח

תכונות השכיח

הנקודה בה השכיחות –השכיח תמיד שיא העקומה

הגבוהה ביותר

יכול להיות שכיח אחד או יותר

יכול להיות מצב בו אין שכיח

הנתון בעל השכיחות הגבוהה ביותר: הגדרה

התפלגות חד שכיחית -תיאור השכיח בגרף

GROUP30

30.029.028.027.026.025.024.023.022.021.0

GROUP30

Fre

quency

20

10

0

Std. Dev = 2.21

Mean = 28.0

N = 46.00

שיא העקומה -השכיח

התפלגות חד שכיחית -תיאור השכיח בגרף

PEER30

29.50

29.00

28.50

28.00

27.50

27.00

26.50

26.00

25.50

25.00

PEER30

Fre

quency

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 1.32

Mean = 27.27

N = 46.00

TEACHE20

20.018.016.014.0

TEACHE20

Fre

quency

20

10

0

Std. Dev = 2.18

Mean = 17.9

N = 46.00

שיא העקומה -השכיח

התפלגות דו שכיחית -תיאור השכיח בגרף

assessment

assessment

grouppairsindiv idual

Fre

quency

20

10

0

שיא העקומה -השכיח

תכונות השכיח –המשך

השכיח לא נותן אינפורמציה על רוב האוכלוסייה

מתאים לכל הסולמות

חישובו מהיר מאד

אינו מושפע מסדר הנתונים והערכים שלהם

השכיח וסולמות המדידה

+ שמי

+ (מנה)רווחי

+ סודר

שכיח הסולם

תכונות החציון

הנתונים חייבים להיות מסודרים בסדר עולה, לחישוב החציון•

את הערך המדויק של החציון בהתפלגות אפשר למצוא רק על ידי • חישובו

חישובו מסובך•

מושפע מסדר הנתונים אך לא מהערכים שלהם•

יש רק חציון אחד בכל התפלגות•

החציון מחלק את השטח תחת העקומה לשני חלקים שווים בשטחם•

מתאים למשתנה מסולם סודר ומעלה•

medianחציון

מעליו %50 -מהנבדקים נמצאים מתחתיו ו %50 נתון אשר : הגדרה

GROUP30

30.029.028.027.026.025.024.023.022.021.0

GROUP30

Fre

quency

20

10

0

Std. Dev = 2.21

Mean = 28.0

N = 46.00

תיאור החציון בגרף

החציון מחלק את השטח לשני

חלקים שווים בגודלם

28.8= החציון

השכיח

PEER30

29.50

29.00

28.50

28.00

27.50

27.00

26.50

26.00

25.50

25.00

PEER30

Fre

quency

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 1.32

Mean = 27.27

N = 46.00

27.2= החציון

MEANממוצע

הנתון אשר סכום המרחקים של כל הנתונים ממנו : הגדרה

ידי סכום כל הנתונים חלקי -נקבע על, שווה לאפס

.מספרם

תכונות הממוצע

הממוצע הנו המדד היחידי שמבוסס גם על הערכים של •

הנתונים וגם על מספר הנבדקים

הממוצע הנו מדד שמרבים להשתמש בו•

הממוצע מושפע מהערכים של הנתונים אך לא מהסדר שלהם•

אך משתמשים בו , הממוצע מתאים לסולם רווחי רציף ומעלה•

בפועל לסולם רווחי בדיד וגם לסולם סודר

חישוב הממוצע

f – שכיחות כל נתון

x – ערכי הנתונים

n – גודל המדגם

3,4,5,6,7,8,9לשורת הנתונים הבאה : דוגמא

6( = 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9/)7: הממוצע יהיה

n

fxx

חישוב הממוצע בטבלת שכיחות

f*x הנתונים השכיחות אמצע המחלקה

4*14.5=58 14.5 4 10-19

8*24.5=196 24.5 8 20-29

15*34.5=517.5 34.5 15 30-39

8*44.5=356 44.5 8 40-49

4*54.5=218 54.5 4 50-59

סה"כ 39 1345.5

תיאור הממוצע בגרף

PEER30

29.50

29.00

28.50

28.00

27.50

27.00

26.50

26.00

25.50

25.00

PEER30

Fre

quency

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 1.32

Mean = 27.27

N = 46.00

GROUP30

30.029.028.027.026.025.024.023.022.021.0

GROUP30

Fre

quency

20

10

0

Std. Dev = 2.21

Mean = 28.0

N = 46.00

החציון

החציון

28.0= הממוצע 27.2= הממוצע

השכיח

הממוצע וסולמות המדידה , החציון, השכיח

יש יש יש (מנה)רווחי

אין יש יש סודר

אין אין יש שמי

ממוצע חציון שכיח הסולם

äéøåèñéä úéìâðà

72 68

85 80

90 92

70 62

80 72

68 70

84 78

76 86

80 72

70 70

ç éëù 70 72

ï åéöç 78 72

òöåî î 77.5 75

להדגמת השימוש בגיליון האלקטרוני לחצו לחיצה אחת

על הטבלה

ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הנו ממוצע הממוצעים של המדגמים

נוסחת הממוצע . והוא מתחשב בגודלם, השונים

:המשוקלל הנה

f

xnxמשוקלל

70 40

85 15

80 30

N הממוצע

: דוגמה לחישוב הממוצע המשוקלל

( 80*30+ 85*15+ 70*40/ ) 85= 76.18 :הממוצע המשוקלל הוא

טבלת סיכום תכונות מדדי המרכז

רווחי ומעלה סודר ומעלה שמי ומעלה התאמה לסולם

מומלץ לשימוש

בהתפלגות

סימטרית -א

שכיחית-חד

סימטרית סימטרית-א

שימוש

בסטטיסטיקות

מתקדמות

רב מועט מועט ביותר

השפעת ערכים

קיצוניים

גדולה קטנה קטנה

מחלקות

פתוחות

בלתי אפשרי אפשרי לחישוב אפשרי לחישוב

לחישוב

קשה בינוני קל קושי החישוב

ממוצע חציון שכיח תכונה

מדדי ההטיה

מדדי ההטיה משווים את התפלגות המשתנה •

להתפלגות נורמלית

ההשוואה נערכת בשני מישורים

kurtosisמידת התלילות skewness -מידת ההטיה

Sk -מידת ההטיה נקראת

:כאשר בחישוב מתקבל

Sk=0 התפלגות המשתנה סימטרית

Sk>0 (ערך חיובי )סימטרית חיובית -ההתפלגות א

זנב ימני

Sk<0 (ערך שלילי )סימטרית שלילית -ההתפלגות א

זנב שמאלי

Kur -מידת התלילות נקראת

:כאשר

Kur=0 התפלגות נורמליתה

Kur>0 (חיובי ערך) מרוכזת" ההתפלגות"

(גבוהה תקן סטיית בעלת) וצרה תלולה

Kur<0 (שלילי ערך) מפוזרת" ההתפלגות"

(נמוכה תקן סטיית בעלת) ורחבה שטוחה

מדדי המרכז וצורת , skewnessהמדד ההתפלגות

3התפלגות שכיח>חציון> ממוצע

זנב שמאלי

-

2התפלגות שכיח<חציון< ממוצע

זנב ימני

+

1התפלגות חציון=שכיח= ממוצע

סימטרית

0

skewness צורת התפלגות מדדי מרכז

שיעור מדדי פיזור

הגדרה

מדד סטטיסטי המשקף את מידת פיזורם של הציונים . בהתפלגות

מדד פיזור קובע את מידת ההומוגניות או ההטרוגניות של ההתפלגות

מדדי הפיזור

תחום/ טווח

range

טווח בין רבעוני

interquartile

range

שונות וסטיית תקן

Variance &

standard

deviation

מקבילות בין מדדי פיזור למדדי מרכז

מדדי פיזור מדדי מרכז

שכיח

תחום/טווח ציון אמצע הטווח

טווח בין רבעוני חציון

סטיית תקן ממוצע

הגדרה -תחום / טווח

מדד פיזור המשקף את המרחק בין הערך הגבוה ביותר לבין .הערך הנמוך ביותר בהתפלגות

הטווח מציין את הפער בין שני הערכים הללו .

תכונות הטווח

משמש לחישוב מהיר ונוח לערכי ההתפלגות

מושפע מערכים קיצוניים

אינו משמש לחישובים סטטיסטיים מתקדמים

לא מתחשב בהתפלגות הנבדקים

שימוש מסולם רווחי ומעלה

הגדרה -טווח בין רבעוני

לבין האחוזון ה 25 -משקף את המרחק שבין האחוזון ה- .בהתפלגות 75

האמצעיים בהתפלגות 50%טווח בין רבעוני מייצג את.

תכונות הטווח הבין רבעוני

לא מושפע מערכים קיצוניים

סימטריות-נוח לשימוש בהתפלגויות א

ניתן לחישוב גם כאשר המחלקות בקצה ההתפלגות פתוחות

לא משמש להסקה סטטיסטית

הטווח הבין רבעוני מצוי סביב לחציון.

הגדרה -סטיית תקן

מדד המשקף את ממוצע הפערים מן הממוצע

דוגמה :

:ציוני בחינה של סטודנטים 5נתונים

60,67,70,75,78

70ממוצע הציונים הנו

הפיזור של הציונים סביב הממוצע מחושב כדלקמן

טבלת פיזור ציוני הסטודנטים סביב הממוצע

X - X X הפער

10-= 70 – 60 60

3-= 70 – 67 67

= 0 70 – 70 70

= 5 70 - 75 75

= 8 70 - 78 78

סכום הפערים מן הממוצע תמיד שווה אפס

70 75 78 60 67

8-

5+

10-

3-

13- 13+

:הדגמה גרפית

(.A.D)סטייה מוחלטת

הפער

|X – X| X

|10- |= |70 - 60| 60

|3- |= |70 - 67| 67

= 0 |70 - 70| 70

= 5 |70 - 75| 75

= 8 |70 - 78| 78

0כדי לחשב ממוצע פערים מן הממוצע ולא לקבל

להתעלם מהסימנים המתמטיים ולחשב פערים מן : אפשרות א

:הממוצע בערך מוחלט בדוגמה

13+

13+

סטיית תקן

X (X – X) (D)הפער

100 60

9 (70 – 67) 67

0 (70 – 70) 70

25 (70 – 75) 75

64 (70 – 78) 78

0כדי לחשב ממוצע פערים מן הממוצע ולא לקבל

.להעלות בריבוע כל פער של ציון מהממוצע: אפשרות ב

(70 – 60)

2

2

2

2

2

2

שלבים בחישוב סטיית תקן

חישוב הממוצע. א

חישוב הפער של כל ציון לממוצע והעלאה בריבוע. ב

חישוב סכום הריבועים. ג

חלוקה למספר הנבדקים. ד

הוצאת שורש. ה

דוגמה לחישוב סטיית התקן

:חישוב הממוצע. 1

60+67+70+75+78=350

350/5=70

:חישוב הפער של כל ציון לממוצע והעלאה בריבוע. 2

(60 - 70) = 100

(67 – 70) = 9

(70 – 70) = 0

(75 – 70) = 25

(78 – 70) = 64

2

2

2

2

2

:חישוב סכום הריבועים. 3

100+9+0+25+64=198

:חלוקה למספר הנבדקים. 4

39.6 = 198/5

זו השונות

:הוצאת שורש. 5

39.6 = + _ 6.29

6.29 סטיית התקן שווה ל