제4장 행렬식

4.1 행렬식 및 여인수 전개

2×2와 3×3 행렬의 행렬식

- 3.2절에서 2×2행렬의 행렬식

→ det(A)=ad-bc

- 3 3행렬 A의 행렬식은 3 3 행렬식

- 공식 (3)과 (4)는 그림 4.1.1을 이용

[예제1] 행렬식의 계산

기본곱

- 행렬식의 정의를 일반 행렬로 확장

- 행렬식의 기본곱의 부호

1. 첫 번째 첨자를 두 번째 또는 세 번째 첨자와 교환하여

1을 첫 번째 자리에 놓는다.

2. 새로운 두 번째 첨자를 세 번째 첨자와 교환하여 2를

두 번째 자리에 놓는다.

[개념문제] 정수 의 순열 { , , , }을 자

연순서로 교환하는 최소교환수를 얻는 일반적

인 과정을 생각해보라. 의 순열

{ , , , }에 이 과정을 확장해 보라.

일반행렬식

- 일반적인 행렬의 행렬식을 정의

→ 행렬 의 기본곱은 서로 다른 행과 열에

서 정확히 하나씩 개 원소를 택하여 곱한 것

- 일때 각각의 기본곱은

→ 열 첨자는 부터 까지 정수의 순열 { , , ,

}, 행 첨자는 자연순서

→ 순열 { , , , }이 우순열이면 + 부호, 기순

열이면 - 부호

<정의 4.1.1> 정방행렬 의 행렬식은 의 모든 부호가

붙은 기본곱들의 합으로 정의하고 로 표시한다.

- 행렬식 또는 차 행렬식

고차행렬식의 값을 구할 때 어려운 점

- 행렬식의 부호가 붙은 기본곱의 개수가

주의 : 그림 4.1.1에서 보여준 방법과 예제1에서 사용한

방법은 또는 더 고차원의 행렬식을 계산할

때는 사용할 수 없다.

<정리 4.1.2> 행렬 가 0으로 구성된 행 또는 열을 갖고

있는 정방행렬이면 이다.

<정리 4.1.3> 행렬 가 삼각행렬이면 는 주대각

선 원소들의 곱과 같다.

[예제 2] 삼각행렬의 행렬식

소행렬식과 여인수

<정의 4.1.4> 정방행렬 에서 제 행과 제 열을 삭제

해서 얻은 행렬의 행렬식을 성분 의 소행렬식(또는

의 번째 소행렬식)이라 하고 이것을 로 나타낸다.

를 의 여인수(또는 의 번째

여인수)라고 한다.

[예제 3] 소행렬식과 여인수

일때 원소 의 소행렬식은

이고 대응하는 여인수는

참고 : 정의 4.1.4에 의하면 소행렬식과 그에 대응하는 여

인수

→ 부호는 로서 또는

→ 부호만 배열

여인수 전개

- 행렬식을 행렬식들로 표현할 수 있는지를 설명

- 행렬식은

- 의 여인수 전개(cofactor expansion)

[예제 4] 행렬식의 여인수 전개

예제1의 행렬식을 첫 번째 열에 관한 여인수전개

두 번째 열에 관한 여인수전개

<정리 4.1.5> 행렬의 행렬식은 어느 한 행 또는 열의

원소에 그에 대응하는 여인수들의 곱을 합하여 계산된다.

모든 과 에 대하여 는

( j번째 열에 관한 여인수 전개 )

( i번째 행에 관한 여인수 전개 )

[예제 5] 행렬식의 여인수 전개

4.2 행렬식의 성질

의 행렬식

-

<정리 4.2.1> 가 정방행렬이면

기본행 연산이 행렬식에 미치는 영향

<정리 4.2.2> 를 행렬

(a) 행렬 의 한 행(열)에 상수 를 곱하여 얻은 행렬을

⇒

(b) 행렬 의 두 행(열)을 교환하여 얻은 행렬을 ⇒

(c) 행렬 의 한 행(열)에 다른 한 행(열)의 상수배를

더한 행렬을 ⇒

[예제 1] 행렬식에서 기본행 연산의 영향

<정리 4.2.3> 를 행렬

(a) 의 두 행 또는 두 열이 같으면,

(b) 의 두 행 또는 두 열이 비례이면,

(c)

[예제 4] 행 연산을 이용한 여인수 전개의 간소화

[예제 5] Gauss 소거에 의한 행렬식 계산

<정리 4.2.4> 정방행렬 가 가역행렬일 필요충분조건은

<정리 4.2.5> 와 가 같은 크기의 정방행렬이라면,

(1)

- (n은 인수)

[예제 6] 정리 4.2.5의 설명

(풀이)

, , .

.

LU-분해를 이용한 행렬식 구하기

- 행렬식 는 로 표현

→ L과 U는 삼각행렬

- 를 구하는 거의 대부분의 계산은 LU-분해를 얻

는 것

- 오늘날의 컴퓨터는 행렬식을 계산하는데, 30!개

의 부호 붙은 기본곱을 계산하는데 필요한 대략 년

에 비해서 LU-분해를 이용하면 1/1000초 이하의 시간

<정리 4.2.6> 가 가역행렬이면,

[예제 7] 행렬에 정리 4.2.6을 확인하기

이 가역행렬이면,

정리 4.2.3 (c)로부터

<정리 4.2.7> 가 행렬이면, 다음 문장들은 동치이

다

(a) 의 행사다리꼴은 이다.

(b) 는 기본 행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

(c) 는 가역행렬이다.

(d) 는 자명한 해만 가진다.

(e) 는 의 모든 에 대해 해가 존재한다.

(f) 는 의 모든 에 대해 유일한 해를 갖는다.

(g) 의 열 벡터들은 일차독립이다.

(h) 의 행 벡터들은 일차독립이다.

(i) .

4.3 Cramer의 규칙과 에 대한 공식 및 행렬식

의 응용

행렬의 딸림행렬

- 여인수 전개 : 여인수들과 의 어떤 행 또는 열의 성

분를 곱하고 그 결과를 더하여 를 계산

<정리 4.3.1> 정방행렬의 어떠한 행(열)의 성분과 다른 행(열)의 성분의 여인수들을 곱하면, 그 합은 0

<정리 4.3.2> 가 행렬이고 는 의 여인수이

면, 다음 행렬을 의 여인수 행렬

이 행렬의 전치행렬을 의 딸림행렬(adjoint, 때로는

adjuate)이라 부르고 로 표기

[예제 1] 주어진 행렬의 여인수들은 다음과 같다.

여인수행렬과 딸림행렬은 각각 다음과 같다.

역행렬에 대한 공식

<정리 4.3.3> 가 가역행렬이라면

[예제 2] 역행렬을 계산하기 위해 딸림행렬 공식 이용

어떻게 역행렬 공식이 사용되는가

- 공식(2)의 의미는 계산의 관점이 아니라 이론적인 분석

Cramer의 규칙

- 두 개의 미지수와 두 개의 방정식으로 이루어진

로 시작

[예제 4] 2개의 미지수와 2개의 방정식에 대한 Cramer의

규칙

풀이 (4)로부터,

<정리 4.3.4> (Cramer의 규칙) 가 개의 미지수

와 개의 방정식으로 이루어진 선형계일 때, 선형계가 유

일한 해를 가질 필요충분조건은 이며, 이 경우

해는

여기서 는 의 번째 열이 로 바뀐 행렬

[예제 6] 다음 선형계를 풀어라.

(풀이)

그러므로 해는 다음과 같다.

행렬식의 기하학적 설명

<정리 4.3.5>

(a) 가 행렬이면, 는 의 2개 열벡터

가 시점이 같을 때 2개 열벡터로 이루어지는 평행사변형의 면적을 표현

(b) 가 행렬이면, 는 의 3개 열벡터

가 시점이 같을 때 3개 열벡터로 이루어지는 평행육면체의 부피를 표현

[예제 7] 행렬식을 사용한 평형사변형의 면적

꼭지점들 P1(-1, 2), P2(1, 7), P3(7, 8), 그리고 P4(5, 3)

로 이루어진 평형사변형의 면적을 구하라.

그림으로부터

벡터 = (2,5)

그리고 = (6, 1)

<정리 4.3.6> xy 평면에서 꼭지점이 ,

로 주어진 삼각형, 삼각형은 에서 , 까

지 시계 반대방향으로 그려지는 것. 삼각형의 면적은

[개념문제] 가 원점이면, 정리 4.3.6 에서 삼각형

의 면적은 행렬식으로 표현.

[예제 8] 행렬식을 사용한 삼각형의 면적

꼭지점 A(-5, 4), B(3, 2), C(-1, -3) 삼각형의 면적

다항식 보간법과 Vandermonde 행렬식

- 개의 점들이

→ 보간 다항식이 2.3절의 (18)에서 주어진 방정식 형태

→ 다항식에서의 계수는 다음을 만족

- <정리 4.2.7>은 선형계가 유일한 해를 가질 필요충분조

건

→ 방정식의 왼쪽부분의 행렬은 프랑스 수학자

Alexandre Théophile Vandermonde(1735-1796)

이후에 Vandermonde determinant으로 명명

- 에서 Vandermonde 행렬식

- Vandermonde 행렬식의 계산은 형태

( )의 모든 가능한 요소들의 곱으로 표현

외적

- 회전의 축이 u와 v를 포함하는 평면

에 수직이므로, u와 v로 이루어진 평

면에 직각인 0이 아닌 벡터 w는 회

전축의 방향

<정의 4.3.7> u = 와 v = 가

의 벡터, u × v로 표시되는 u와 v의 외적은

[예제 9] 외적 계산

u = (1, 2, -2)와 v = (3. 0, 1)일 때

(a) u × v (b) v × u (c) u × u

(풀이 a)

(풀이 b)

(풀이 c)

<정리 4.3.8> u, v, w가 의 벡터들이고 가 스칼라

<정리 4.3.9> u와 v가 의 벡터들이면

[u×v는 u에 직각이다]

[u×v는 v에 직각이다]

- 표준 단위 벡터들 i, j, k의 여섯 개의 가능한 외적

<정리 4.3.10 > u와 v를 의 0이 아닌 벡터라 하고, θ를 이 벡터들의 사이각

(a) θ

(b) u와 v가 인접한 모서리인 평행사변형 A의 면적은

[예제 10] 3차원에서 삼각형의 면적

에서 꼭지점이 , 와 으로

주어진 삼각형의 면적을 구하라.

= (-3, -2, 2), = (-2, 2, 3)

그러므로,

4.4 고유값과 고유벡터 소개

고정점

- 행렬 의 고정점은

- 모든 정방행렬 는 라는 고정점

→ 의 자명한 고정점

- 행렬 의 고정점을 찾기 위한 일반적인 방법은 등식

를

<정리 4.4.1> 가 행렬, 다음 명제는 동일하다.

(a) 는 자명하지 않은 고정점을 가진다.

(b) 는 특이행렬이다.

(c)

[예제 1] 행렬의 고정점

행렬이 자명하지 않은 고정점을 가지는지를 결정하라: 갖

는다면 -좌표계에 고정점의 부분공간을 그래프

(풀이 a) 행렬은 오직 자명한 고정점을 가진다.

(풀이 b) 행렬은 자명하지 않은 고정점을 가진다.

이 선형계의 일반해는

선

고유값과 고유벡터

<문제 4.4.2> 스칼라 λ의 어떤 값에 대해서 행

렬이, λ 를 만족하는 의 0이 아닌 벡터가 존재

하는가?

<정의 4.4.3> 가 행렬일 때, λ 인 0이 아

닌 벡터 가 존재하면 스칼라 λ를 의 고유값이라 한

다. λ가 의 고유값이면, λ 인 0이 아닌 모든 벡

터는 λ에 대응하는 의 고유벡터

- 행렬 의 고유값을 구하는 가장 직접적인 방법

λ 또는 (4)

- 선형계 (4) 가 자명하지 않은 해를 갖는 λ값을 찾는 것

- (4)는 계수행렬 λ 가 특이행렬일 때에만 자명하지

않은 해를 가지므로

(5)

- 식(5)를 A의 특성방정식

- λ가 의 고유값이면, (4)는 0이 아닌 해공간을 갖게

되고, 이를 λ에 대응하는 의 고유공간

<정리 4.4.4> 가 행렬이고 λ가 스칼라이면, 다음

의 명제는 동일하다.

(a) λ는 의 고유값이다.

(b) λ는 방정식 λ 의 해가 된다.

(c) 선형계 λ 는 자명하지 않은 해를 가진다.

[예제 2]

(a) 행렬 의 고유값과 대응하는 고유벡터

(b) -좌표계에서 의 고유공간을 그래프화

(풀이 a)

특성방정식 λ

의 고유값은 λ 과 λ

Case λ

λ 에 대응하는 고유벡터

Case λ

λ 에 대응하는 고유벡터들

(풀이 b)

[예제 3] 행렬의 고유값

(풀이)

삼각 행렬의 고유값

- A가 대각 원소가 와 로 주어진 삼

각 행렬

- A의 특성다항식

<정리 4.4.5> 가 삼각 행렬 (상부삼각, 하부삼각, 또는

대각)이면, 의 고유값은 의 주대각성분들이다.

[예제 4] 삼각행렬의 고유값

특성 다항식은

의 서로 다른 고유값은

행렬의 거듭제곱의 고유값

λ가 의 고유값이고 가 대응하는 고유벡터

λ 은 의 고유값이고 는 대응하는 고유벡터

<정리 4.4.6> λ가 행렬 의 고유값이고 가 대응하는

고유벡터이고 가 양의 정수이면, λ 는 의 고유값이

고 는 대응하는 고유벡터이다.

통합 정리

<정리 4.4.7> 가 행렬이라면 아래의 서술들은

동등하다.

(a) 의 행사다리꼴은 I이다.

(b) 는 기본 행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

(c) 는 가역행렬이다.

(d) 은 자명한 해만 가진다.

(e) 는 의 모든 에 대해 해가 존재한다.

(f) 는 의 모든 에 대해 유일한 해를 갖는다.

(g) 의 열 벡터들은 일차 독립이다.

(h) 의 행 벡터들은 일차 독립이다.

(i)

(j) λ 은 의 고유값이 아니다.

복소고유값

→

- 특성방정식의 근들은 허수인 λ 와 λ

대수적 중복도

- λ 은 다음과 같은 형태를 갖는다.

- 의 특성다항식

- 특성다항식을 인수분해 할 때 세 가지 중 하나가 발생

1. 실수들만 가지고 서로 다른 선형 인수들로 다항식을 완

전하게 인수분해 할 수 있는 경우다. 예를 들면

2. 실수들만 가지고 서로 다른 선형 인수들로 다항식을 완

전하게 인수분해 할 수 있지만 어떤 인수들은 중복되는

경우, 예를 들면

3. 실수들만 가지고 다항식을 1차와 2차 인수들로 완전히

인수분해 할 수 있지만, 허수들을 사용하지 않고는 2차

인수들(그런 2차 인수들은 실수로 약분되지 않는다고

한다)을 1차 인수들로 분해 할 수 없는 경우 예를 들면

→ 여기서 λ 은 실수들로 약분되지 않는다.

- 허수 고유값들이 허용된다면, 행렬 의 특성다항식이

다음과 같이 인수분해

(18)

→ 특성다항식의 완전일차인수분해

- (18)에서 일부 인수들이 중복된다면

→ 지수 는 고유값 λ 의 대수적 중복도

- 고유값들의 대수적 중복도의 합은 특성다항식의 차수가

이기 때문에 반드시

- 행렬 의 특성다항식이 다음과 같으면,

→ 서로 다른 고유값들은 λ λ , λ

→ 고유값들의 대수적 중복도는 각각 3, 2, 1이며 합

은 6

<정리 4.4.8> 가 행렬이면, 의 특성 다항식은

λ λ 와 λ 는 서로 다른 의 고유값이고

행렬의 고유값 분석

행렬의 특성다항식

- 의 대각합과 행렬식을 이용하여 표현

- 의 특성방정식

- 이 실수 계수를 가지는 2차 방정식

[두개의 서로 다른 실수근]

[하나의 중복된 실수근]

[두개의 켤레 허수근]

<정리 4.4.9> 가 실수 성분들을 가지는 행렬이라

면 의 특성방정식은 다음과 같고,

다음이 성립한다.

(a) , 는 두 개의 서로 다른 실수 고유값을 가진다.

(b) , 는 하나의 중복된 실수 고유값

(c) , 는 두 개의 켤레 허수 고유값

[예제 5] 행렬의 고유값들

(22) 공식을 이용하여 고유값들

(풀이 a) 과 , 의 특성방정식은

, 인수분해는 , 의 고유

값들은 λ 와 λ

(풀이 b) 와 , 의 특성방정식은

, 인수분해는 , 만이 의

고유값이다. 대수적 중복도가 2

(풀이 c) 와 , 의 특성방정식은

, 근의 공식으로

의 고유값들은 λ 와 λ 이다.

대칭행렬의 고유값 분석

<정리4.4.10> 실수성분들을 가지는 대칭행렬은 실수

고유값들을 가진다. 또한 가 다음과 같은 형태를 가질

때, 하나뿐인 λ 인 중복된 고유값을 가지며,

그렇지 않을 때는 두 개의 서로 다른 고유값들을 가진다.

<정리 4.4.11>

(a) 실수성분들을 가지는 대칭행렬이 하나의 중복된

고유값을 가진다면, 그 고유값에 대응되는 고유공간은

이다.

(b) 실수 성분들을 가지는 대칭행렬이 두 개의 서로

다른 고유값들을 가진다면, 이런 고유값들에 대응되는

고유공간들은 의 원점을 지나는 수직되는 직선들이다.

[예제 6] 대칭행렬의 고유공간들

-좌표계에서 다음 대칭행렬의 고유공간들을 그래프

(풀이) 의 특성다항식

λ 인 경우

λ 인 경우

<정리 4.4.12> 가 고유값 λ , λ , ... ,과 λ (중복도

에 따라서 중복됨)을 가지는 행렬이라면,