上分数学机经 - shangfen.wang€¦ · 005 ps 平面几何 ... 010 ds 几何图形面积 ......

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1

上分数学机经

2019 年 2 月 15 日库

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2

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更新日志

20190215

更新 001-005 题

20190216

更新 006-010 题

20190217

更新 011-030 题

20190219

更新 031-051 题

20190220

更新 052-064 题

20190221

更新机经 065-075 题

20190222

更新机经 076-079 题

20190223



3

更新机经 080-085 题

20190224

更新机经 086-091 题

20190225

更新机经 092-100 题

20190227

更新机经 101-103 题

20190229

更新机经 104-105 题

20190302

更新机经 106-109 题

目录

001 PS 三角形边长 ..................................................................................................................... 9

002 PS 立体几何 ........................................................................................................................ 10

003 PS 整除 .................................................................................................................................11

004 PS 统计 ................................................................................................................................ 12

005 PS 平面几何 ........................................................................................................................ 13

006 PS 标准差 ............................................................................................................................ 14

007 PS 化简 ................................................................................................................................ 15

008 PS 韦恩图 ............................................................................................................................ 16

009 DS 代数 ................................................................................................................................ 17

010 DS 几何图形面积 ................................................................................................................ 18



4

011 DS 二次函数 ................................................................................................................. 19

012 PS 代数求值 ........................................................................................................................ 20

013 PS 连续整数 ......................................................................................................................... 21

014 PS 平面几何 ....................................................................................................................... 22

015 DS 解析几何 ....................................................................................................................... 23

016 PS 平面几何 ........................................................................................................................ 24

017 PS 代数计算 ........................................................................................................................ 25

018 PS 平面几何 ........................................................................................................................ 26

019 PS 圆柱体花瓶高度题（002 变题） ............................................................................. 27

020 PS 整数 ............................................................................................................................... 28

021 DS 平面几何 ....................................................................................................................... 29

022 PS 排列组合 ....................................................................................................................... 30

023 PS 排列组合 ........................................................................................................................ 31

024 DS 数轴............................................................................................................................... 32

025 DS 代数 ............................................................................................................................... 34

026 PS Distance Problem ....................................................................................................... 35

027 PS 中位数 ........................................................................................................................... 36

028 DS 倍数问题 ...................................................................................................................... 37

029 DS sets ................................................................................................................................. 38

030 PS rates ............................................................................................................................... 39

031 PS 方程运算 ........................................................................................................................ 40

032 PS 指数运算 ........................................................................................................................ 41



5

033 PS 事件概率 ............................................................................................................... 42

034 PS 代数运算 ....................................................................................................................... 43

035 PS 平面几何 ....................................................................................................................... 44

036 PS rate ................................................................................................................................. 45

037 DS 平面几何 ...................................................................................................................... 46

038 PS 几何图形面积............................................................................................................... 47

039 PS 代数 ............................................................................................................................... 48

040 PS 立体几何 ....................................................................................................................... 49

041 PS 时间题 ............................................................................................................................. 51

042 PS 代数 ............................................................................................................................... 52

043 PS 定义函数 ....................................................................................................................... 53

044 PS 应用题 ........................................................................................................................... 54

045 DS 解方程 .......................................................................................................................... 55

046 DS 平面几何 ...................................................................................................................... 56

047 PS 效率问题 ....................................................................................................................... 58

048 DS 代数............................................................................................................................... 59

049 PS 平面几何 ....................................................................................................................... 60

050 PS 余数 ................................................................................................................................ 61

051 PS 概率 ................................................................................................................................ 62

052 PS 几何体求体积............................................................................................................... 63

053 PS 平面几何 ....................................................................................................................... 64

054 PS 运算 ............................................................................................................................... 65



6

055 DS 余数 ....................................................................................................................... 66

056 PS 应用题 ........................................................................................................................... 67

057 DS 整数 ............................................................................................................................... 68

058 PS 整数 ............................................................................................................................... 69

059 PS 应用题 ........................................................................................................................... 70

060 PS 定义函数 ........................................................................................................................ 71

061 DS 余数 ............................................................................................................................... 72

062 PS 代数化简 ....................................................................................................................... 73

063 PS 函数化简 ....................................................................................................................... 74

064 DS 方程解的个数 .............................................................................................................. 75

065 DS 应用题 .......................................................................................................................... 76

066 PS 平面几何 ....................................................................................................................... 77

067 PS 平面几何 ....................................................................................................................... 78

068 DS 代数求解 ...................................................................................................................... 79

069 PS 比例 ............................................................................................................................... 80

070 DS 代数求解 ....................................................................................................................... 81

071 PS 应用题 ............................................................................................................................ 82

072 PS 概率 ............................................................................................................................... 83

073 PS 排列组合 ....................................................................................................................... 84

074 DS 代数求解 ...................................................................................................................... 85

075 PS 代数求解 ....................................................................................................................... 86

076 PS 代数计算 ....................................................................................................................... 87



7

077 PS 代数计算 ............................................................................................................... 88

078 DS 倍数 ............................................................................................................................... 89

079 DS 应用题........................................................................................................................... 90

080 DS 数论 ................................................................................................................................ 91

082 DS 众数 ............................................................................................................................... 92

083 PS 分解质因数 ................................................................................................................... 93

084 PS 几何题 ........................................................................................................................... 94

085 PS 概率 ............................................................................................................................... 95

086 DS 倍数问题 ...................................................................................................................... 96

087 PS 应用题 ........................................................................................................................... 97

088 PS 排列组合 ....................................................................................................................... 98

089 DS 平面几何 ...................................................................................................................... 99

090 DS 应用题 ........................................................................................................................ 100

091 DS 整除 .............................................................................................................................. 101

092 PS 概率 ............................................................................................................................. 102

093 PS 应用题 ......................................................................................................................... 104

094 DS sets ............................................................................................................................... 106

095 PS sets ............................................................................................................................... 108

096 DS 整数 ............................................................................................................................. 109

097 PS 排列组合 ...................................................................................................................... 110

098 PS 应用题 ........................................................................................................................... 111

099 PS 几何 .............................................................................................................................. 112



8

100 PS 概率 ....................................................................................................................... 113

101 DS 整数 ............................................................................................................................... 114

102 DS 整除 .............................................................................................................................. 115

103 PS 代数计算 ....................................................................................................................... 116

104 PS 概率 ............................................................................................................................... 117

105 DS 应用题 .......................................................................................................................... 118

106 PS 应用题 ........................................................................................................................... 119

107 PS 平面几何 ...................................................................................................................... 120

108 PS ......................................................................................................................................... 121

109 PS 化简 .............................................................................................................................. 122



9

001 PS 三角形边长

已知∠ABC，∠DCA，∠EDA 为直角三角形，且夹角为 30°，已知 AB

问：AE 是 AB 的多少倍 E

D

C

B A

解析：

设 BC 为 1，那么 AC=2；AB=√3；AD=2

√3× 2

∴ AE=4

√3

√3× 2

∴ AE 是 AB 的8

3

√3 倍

答：8

3

√3 倍



10

002 PS 立体几何

将 n 个半径为 r 的小球放入一个装有水的圆柱中，圆柱的半径为 4r，未放入小球时的水面

高度为 h1，放入后为 h2

问：用 n 和 r 表示 h2-h1

解析：

h2-h1 水位变化为放入的 n 个小球引起的体积变化

∴ 可得方程�̅�(4𝑟)2(h2 − h1)=𝑛 ×4𝜋

3𝑟3

∴ h2-h1=𝑛×

4𝜋

3𝑟3

𝜋16𝑟2 =𝑛𝑟

12

答：𝑛𝑟

12



11

003 PS 整除

问：0-99 之间有多少个正整数被 3 或者 7 整除

解析：

i）被 3 整除的数表示为 3k →3k≤99

∴ k≤33 →33 个

ii）被 7 整除的数表示为 7k →7k≤99

∴ k≤14.1 →14 个

iii）同时被 3 和 7 整除的数表示为 21k≤99

∴ k≤4.7 →4 个

∴ 一共 33+14-4=43 个

答：43



12

004 PS 统计

The standard deviation of four numbres a, b, c, and d is M, then the standard

deviation of which of the following MUST be M?

A. √𝑎2, √𝑏2, √𝑐2, √𝑑2

B. 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, 𝑑2

C. 2a, 2b, 2c, 2d

D. a+2, b+2, c+2, d+2

E. a+2, b-2. c+2, d-2

解析：

参考上分数学知识点大全

答案：D



13

005 PS 平面几何

ABCD 是一个正方形，EFGH 分别是四条边上的中点，阴影部分的三角形周长和面积相等。

问：正方形 ABCD 的边长是多少？

A

E F

B O D

H G

C

解析：

假设边长为 x ，AC=√2 𝑥

∵ S 三角形 AEO=𝑥

2 *

𝑥

2 *

1

2=

𝑥2

8

C 三角形 AEO=𝑥

2 +

𝑥

2+

√2𝑥

2= x+

√2𝑥

2

∴ x+√2𝑥

2=

𝑥2

8

∴ x=8+4√2

答案：8+4√2



14

006 PS 标准差

9 个 consecutive number range 是 r， standard deviation 是 d，然后 mean 是 m

问：以下哪个选项是正确的

1.d<r

2.8d>r

3. m+4d>largest number in series

A. 1 correct；B. 1and 3 correct；C. 1,2 and 3 correct

解析：

∵9 个 consecutive number

∴r=8,m=median,d=√20

3

∴ d<r, 8d>r 正确

m+4d>m+5, 3 也是正确的

答：C



15

007 PS 化简

X 为正，y,z 是负数，请问以下哪个与（|x| + |y| + |z|）2

相等？

A. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧

B. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧

C. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 + 2𝑥𝑦

D. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑥𝑦

E. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥 − 2𝑥𝑦

解析：

参考化简公式（见上分数学知识大全 2.1 ）：

（|x| + |y| + |z|）2

=𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥|𝑦| + 2𝑥|𝑧| + 2|𝑦||𝑧|

=𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧

答：A



16

008 PS 韦恩图

书店有 104 本书，一种是纸质书一种是中文，纸质 80 本中文 12 本，既不是纸质又不是中

文的是同时满足的 3 倍。

问：同时满足纸质和中文的书有多少本？

解析：

80-x+x+12-x+3x=104

X=6

答案：6

中文

12-x

纸质

80-x

X

3x



17

009 DS 代数

X<Y ？

条件 1：y>0

条件 2：𝑥2<XY

解析：

条件 1：y>0 无法判断 x 大小

条件 2：得到当 x≠0, x<y 但无法判断 x 是否不等于 0

结合条件 1 和条件 2：x(x-y)<0, 当 y>0 时，x 只能>0, 所以两边同除 x，可得 x<y

答案 C



18

010 DS 几何图形面积

一个圆，一条线过圆心，直线公式为 y=2x-2，

问：要知道圆面积需要什么条件？

条件 1：圆心坐标（5，8）

条件 2：P Q 两点间的 x 坐标之差为 2

解析：

条件 1：已知圆心，但不知道半径，无法求出面积。

条件 2：假设 P、Q 为圆和线的交点，则 PQ 为圆的直径，可以求出 PQ 长度，根据面积公

式 S=π𝑟2，可以求出面积大小。

答：B



19

011 DS 二次函数

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + ℎ)2 + 𝑘

问： a 值是多少

条件 1：𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + ℎ)2 + 𝑘=0 的解为-5 和 3

条件 2：已知（-1,4），且 f(x)≤4

解析：

条件 1：∵ 𝑓(−5) = 𝑓(3) ∴ 可以得出 h=1 但不确定 a 值。不充分

条件 2：∵f(x)≤4，所以 a＜0，且 k=4

又∵ 点（-1,4）在曲线上，

∴ 将点带入函数得到4 = 𝑎(−1 + ℎ)2 + 4 不充分

条件 1+2：∵ h=1，∴ 方程4 = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 4 代入（-5，0），得到 16a+4=0 求出 a=-1

4

答：C



20

012 PS 代数求值

求 p 范围 |p-n|=6.5，

以下哪个结论成立能推出 n 大于 10？

a. 3.5 < 𝑃 < 16.5

b. 𝑃 < 3.5 or 𝑃 > 16.5

c. 𝑃 > 10

d. 𝑃 > 16.5

e. 𝑃 < 16.5

解析：

∵|p-n|=6.5

∴p-n=6.5 或者 p-n=-6.5

∴n=p-6.5 或者 n=p+6.5

要使得 n>10,

当 p>16.5，可以保证 n=p-6.5>10, n=p+6.5>10

答案：D



21

013 PS 连续整数

S 是比 t 大的六个连续整数的和，P 是比 t+6 大的六个连续整数的和，

问：P-S？

解析：

S=sum(t+1+t+2…+t+6)=6t+21

P=sum(t+7+t+8…+t+12)=6t+57

P-S=57-21=36

答案：36



22

014 PS 平面几何

有一个正方形的画树垂直水平挂墙上，已知边长好像是 18inches；知道某一部分到达地面

是 5feet9inches，然后这部分占总面积的三分之一，

问：最底边到地面距离？

解析：1feet=12inches

解析：

∵ 阴影部分的面积占整个正方形的三分之一

∴ 小矩形的宽为三分之一的正方形边长=6inches

∴ 最底边到地面距离=一部分到达地面-小矩形宽=5*12+9-6=63inches

答：63inches

5feet9inches



23

015 DS 解析几何

有一个等边三角形里面内切圆，

问：两个图形的面积差？

条件 1：三角形的边长已知

条件 2：内切圆的半径已知

A

D

O

B E C

解析：

条件 1：∵ 正三角形边长已知 → 设边长为 a

∴ AD=𝑎

2 → r=

𝑎

2−

√3=

√3𝑎

6

∴ 图形面积差可求充分

条件 2：∵ 圆半径可知，∴可反推至条件 1 的正三角形边长充分

答：D



24

016 PS 平面几何

一条线上有两个点（5，y）（1，3），另一条线 x-2y=6

问：y 等于多少才能确保平行于第二条？

解析：

要求直线平行 → 得求出两直线斜率相等

∴ 可得等式 3−y

1−5=

1

2 → y=5

答：5



25

017 PS 代数计算

𝑥 +1

𝑥= 5

问：1

𝑥2 + 𝑥2

解析：

∵ (𝑥 +1

𝑥)

2= 𝑥2 +

1

𝑥2 + 2

∴ 1

𝑥2 + 𝑥2=(𝑥 +1

𝑥)

2− 2 = 23

答：23



26

018 PS 平面几何

正方形里面嵌了一个八边形（octagon），八边形的周长是 16，

问：正方形周长是多少

A E B

F

G

D C

解析：

∵ octagon 的周长是 16 → 边长 EF 为 2

∵ 正八边形的每个内角均为 135°

∴ △BEF 为等腰直角三角形 → BE=BF=√2

∴ BC=BF+FG+GC=2 + 2√2

∴ 周长=4BC=8 + 8√2

答：8 + 8√2



27

019 PS 圆柱体花瓶高度题（002 变题）

已知一个底边半径是 4r 的圆柱体花瓶，它瓶内初始的水位是ℎ1。

现在向花瓶中放一个半径是 r 的球体，水没有溢出花瓶，水位的高度是ℎ2 。

问：如何用 r 来表示 ℎ2－ ℎ1？

解析：

由题可得：水位变化的体积＝球体的体积。

水位变化的体积＝（ℎ2－ ℎ1）＊Π *(4𝑟)2

球的体积=4

3π𝑟3

∴（ℎ2－ ℎ1）＊π*(4𝑟)2=4

3π𝑟3

∴ （ℎ2－ ℎ1）=1

12r

答案：1

12r ＝ℎ2－ ℎ1



28

020 PS 整数

已知有 3 个正整数 a,b,c,它们都是奇数,并且满足正整数 n<a<b<c

问：以下哪一个选项可以表示 n+a+b+c？

A.3n+2 B.3n+3 C.3n+6 D.3n+9 E.3n-2

解析:

思路：因为 n<a<b<c，所以 n+a+b+c>n+n+n+c

因为 c 最小等于 7，所以 n+a+b+c>n+n+n+c=3n+c>3n+7。

所以满足条件的只有 3n+9

答案：D



29

021 DS 平面几何

已知有一条直线在坐标轴上，

问：以下条件能否判断直线经过第三象限?

条件 1：直线的斜率大于 0；

条件 2：直线经过点（-3， 2）

解析：

由条件 1 单独成立可以推出：

因为直线不是和 x 轴平行的，并且直线的斜率大于 0，所以直线一定会经过第三象限，条

件 1 单独成立就充分。


只知道直线经过点(-3,2)，无法确定直线经过第三象限，条件 2 单独成立不充分。

答案：A



30

022 PS 排列组合

有一个立方体每一边可以涂蓝，绿，红三种颜色中的一个。

问：要使每一个相邻的面都有不同颜色的涂法有几种？

解析：

先将这个立方体的 6 个面编号 1-6。

当＃1 涂上红色，那么＃2，＃3，＃4，＃5 都只能是绿色和蓝色的一种。

1）当＃2 是蓝色时，那么＃3 和＃5 只能是绿色 ➔ ＃4 只能是蓝色 ➔ ＃6 只能是红色。

2）当＃2 是绿色时，那么＃3 和＃5 只能时蓝色 ➔ ＃4 只能是绿色 ➔ ＃6 只能是红色。

所以当＃1 涂上红色时有 2 种涂法。

因为＃1 有 3 种不同的选择，所以总共不同的涂法＝ 2*3=6 种。

答案：6

1

2

3

4 5

6



31

023 PS 排列组合

已知现在有 6 人要分成 3 组做 3 种不同的小组项目，每组有 2 人。

问：一共有多少种不同的分法？

解析：

1）先在 6 人中挑 2 人的组合＝𝐶62 ＝ 15 种；

在剩下的 4 人中挑选 2 人的组合＝𝐶42＝ 6 种；

在剩下的 2 人中挑选 2 人的组合＝𝐶22 =1 种。

总的组合＝ 15*6*1=90 种。

但是这 3 组没有先后顺序。

假设这 6 人是 A， B， C， D， E， F。

(AB,CD,EF) 和 (AB,EF,CD) 和 (CD,AB,EF) 和 (CD,EF,AB) 和 (EF,AB,CD) 和 (EF,CD,AB)

共 𝑃33 =6 种是相同的。

所以总的分组＝ 90／ 6=15 种。

2）分组之后要分 3 种不同的项目给每个小组。

因为 3 个项目不同，所以再分给 3 个小组的不同组合＝𝑃33 ＝ 6 种。

所以最后要求的不同分法＝ 15*6=90 种。

答案：90



32

024 DS 数轴

已知数轴上有三个不同的点 x，y 和 z。

min（x，y）是代表 x 和 y 之间较小的数；

max（x，y）是代表 x 和 y 之间较大的数。

问：以下条件能否判断点 y 是否在 x 和 z 之间

条件 1：y 是 min(x，y)，min(z，y)，min(x，z)三个数中的最大值。

条件 2：y 是 max(x，y)，max(z，y)，max(x，z)三个数中的最小值。

解析：


假设 x<y<z，那么 min(x，y)，min(z，y)，min(x，z)分别是 x，y，x，此时 y 是(x，y，x)

三个数中的最大值，满足条件。此时 y 在 x 和 z 之间。

假设 z<y<x，那么 min(x，y)，min(z，y)，min(x，z)分别是 y，z，z，此时 y 是(y，z，z)

三个数中的最大值，满足条件。此时 y 在 x 和 z 之间。

假设 y<x<z，那么 min(x，y)，min(z，y)，min(x，z)分别是 y，y，x。此时要使得 y 是(y，

y，z)三个数中的最大值，那么 y＝z，和题设矛盾，不满足条件。

假设 x<z<y，那么 min(x，y)，min(z，y)，min(x，z)分别是 x，z，x。此时要使得 y 是(x，

z，x)三个数中的最大值，那么 y＝z，和题设矛盾，不满足条件。

所以 y 一定在 x 和 z 之间，条件 1 单独成立就充分。



33


假设 x<y<z，那么 max(x，y)，max(z，y)，max(x，z)分别是 y，z，z，此时 y 是(y，z，

z)三个数中的最小值，满足条件。此时 y 在 x 和 z 之间。

假设 z<y<x，那么 max(x，y)，max(z，y)，max(x，z)分别是 x，y，x，此时 y 是(x，y，

x)三个数中的最小值，满足条件。此时 y 在 x 和 z 之间。

假设 y<x<z，那么 max(x，y)，max(z，y)，max(x，z)分别是 x，z，z，此时要使得 y 是

(x，z，z)三个数中的最小值，那么 y＝x，和题设矛盾，不满足条件。

假设 x<z<y，那么 max(x，y)，max(z，y)，max(x，z)分别是 y，y，z，此时要使得 y 是

(y，y，z)三个数中的最小值，那么 y＝z，和题设矛盾，不满足条件。

所以 y 一定在 x 和 z 之间，条件 2 单独成立就充分。

答案：D



34

025 DS 代数

已知 x 和 y 是整数，

问：以下条件能否判断(𝑥+𝑦)2

4是偶数？

条件 1: 其中 x 是 y 的因数；

条件 2：其中 xy 是偶数

解析：

由条件 1 和 2 同时成立可以推出：

如果 x=1， y=2，满足两个条件，此时(𝑥+𝑦)2

4不是偶数。

如果 x=2， y=2，满足两个条件，此时(𝑥+𝑦)2

4是偶数。

无法确定 (𝑥+𝑦)2

4是否是偶数，条件 1 和 2 同时成立不充分

答案：E



35

026 PS Distance Problem

已知一辆小汽车的速度是 4m／s，火车的速度是 6m／s。

小汽车和火车同向行驶，火车从头到尾超过小汽车花了 1 分钟。

问：火车的长度是多少？

A.120 B.240 C.360 D.600

解析：

火车的长度＝火车在这一分钟行驶的距离－小汽车行驶的距离＝ 1min＊（6-4）＝ 60s*2

＝ 120

答案： A



36

027 PS 中位数

1、3、4、n、10 这五个数的平均数等于中位数，

问：n 是多少

解析：

假设 n>4,1+3+4+n+10=20，n=2,矛盾

若 3<n<4,1+3+n+4+10=5n,n=4.5，矛盾

若 n<3，1+n+3+4+10=15，n=-3

答：-3



37

028 DS 倍数问题

x+y 是 35 的倍数，

问：x=?

条件 1：x 除 5 余 1

条件 2：y 除 7 余 2

解析：

x=5a+1；y=7b+2,

若存在 a，b 使得 x+y 是 35 的倍数，

因为 x+y 是 35 的倍数，所以 5a+1+7b+2=5a+7b+3 是 35 的倍数。

5a+3 一定是 7 的倍数，那么 a 可以等于 5+7k，k 是任意整数。

所以 5a+3+7b=5(5+7k)+3+7b=25+35k+3+7b =28+7b+35k =7(4b+1)+35k

所以 4b+1 可以是 5，25，45 等等。

所以当 a=5，b=1 ➔ x=26，y=9 时，满足条件。

当 a=12，b=6 ➔ x=61，y=44 时，也满足条件。

无法确定 x 的值，条件 1 和 2 同时成立不充分

答：E



38

029 DS sets

说 X 代表所有的实数，B 代表所有>1 的实数，C 代表所有>4 的实数，D 代表所有<5 的实

数，A 代表所有>n 的实数，

问：是否可以求得 n 的值？

条件 1：B∩A=C

条件 2：D∪A=X

解析：

条件 1：可以得出 n=4，数值唯一

条件 2：有无数种解（n<5 就行）

答：A



39

030 PS rates

A 效率是 B 的三倍，A 干了 27 小时 and B 干了 8 小时才完成一项任务

问：b 单干需要小时？

解析：

设 B 的效率为 X

∴ 得到以下式子：（27*3x+8*x）=t*x

∴ t=89h

答：t=89h



40

031 PS 方程运算

𝑡4-38𝑡3+72𝑡2=0，下列哪个是 t 的根？

解析：

(𝑡2 − 2𝑡)(𝑡2 − 36𝑡) = 0

t(t-2)t(t-36)=0

得 t=0,2,36

答案：



41

032 PS 指数运算

𝑎 = 24，𝑏 = 𝑎4，2𝑥 = 𝑎𝑏，

问：x 是多少

解析：

𝑏 = 𝑎4 = 2𝟏𝟔

2𝑥 = 𝑎𝑏 = (24)2𝟏𝟔=24∗2𝟏𝟔

=22𝟏𝟖

X=2𝟏𝟖

答案：𝟐𝟏𝟖



42

033 PS 事件概率

事件 A 发生的可能性 X，事件 B 发生的可能性 Y，同时发生的可能性 Z，

问：至少有一个事件发生的可能性是多少？

事件 A 事件 B

X Z Y

解析：

至少发生一个的概率为阴影面积为：X+Y-Z

答：X+Y-Z



43

034 PS 代数运算

W=𝐾

𝑟2地球上的东西的重量和物体距离地心的公式，距离 r=4000 时 W=200，

问：R=5600 的时候 W 等于多少？

解析：

200=𝐾

40002 得到 K=200*40002

W=200∗40002

56002 =102

答案：102



44

035 PS 平面几何

长方形长 X 宽 Y，长 Increase by 20% 宽 increase by 30% ，

问：面积 increase by 多少？

解析：

S=X*Y

增长后 S=（X*1.2）*(Y*1.3)=X*Y*1.56

增长了 56%

答案：56%



45

036 PS rate

9：10 分 A 影片开始放，共 92 分钟；9：35 B 影片开始放，共 87 分钟；9：52 分 C 影片

开始放，共 117 分钟；这个电影院只要两个电影同时放映，就需要 3 个人卖爆米花，

问：9 点到 11 点之间，有多少 percent 的时间，是需要 3 个人卖爆米花的？

解析：

由题目可得这个电影院只要两个电影同时放映，就需要 3 个人卖爆米花，我们需要找出 9

点到 11 点之间 A 和 B 同时放映的时间+B 和 C 同时放映的时间。

B 片放映到 11 点 02，所以也就是 9：35-11 点符合条件

85

120=71%

答案：71%



46

037 DS 平面几何

一个正方形的一条边的两个点分别经过原点（0,0）和（a,b)

满足下列哪个条件，可以判定正方形落在第一象限的面积大于 10？

条件 1：a≥1, b=10

条件 2：a≥4 b≥4

（a,b）

解析：

条件 1：AB 边长≥√101 显然无法判断正方形落在第一象限的面积大于 10

条件 2：根据点（a，b）可以算出正方形最小的四分之一的面积为 8 → 即可推出在第一象

限的最小面积为正方形面积的一半=16 可以判断大于 10 充分

答：B

（a,b）



47

038 PS 几何图形面积

同心圆，里面圆的直径是 60 ，圆环宽 10，求圆环（阴影）面积比大圆面积？

60

10

解析：

大圆半径=（10+30）=40

大圆面积=402𝛱=1600 𝛱

阴影面积=大圆面积-小圆面积=（402 − 302)𝛱=700 𝛱

阴影面积

大圆面积=

700𝛱

1600𝛱=

7

16

答案：7

16



48

039 PS 代数

一个四位数，数字可相等也可不相等，没有特殊限制，即 abcd，

问：abcd 和 dcba 之间的最大差？

解析：

个位数字，最小是 0，最大是 9

∵这是四位数字，所以 a≠0，a 可以取 1-9

要求最大差，

∴ a=9,d=0（特别说明：这里题目没有说明 dcba 也是一个四位数字，所以 d 可以等于 0，

如果题目说明 dcba 也是一个四位数字，那么这里 d 取 1）b=9,c=0

∴ abcd=9900 dcba=99

∴abcd-dcba=9801

答案：9801



49

040 PS 立体几何

长方体的容器中装有水，水占容器的总体积 75%，现在把这个长方体容器中的水倒入一个

正方体容器中。

问：以下条件能否判断正方体容器的水面上升了多少？

条件 1：已知长方体的体积 a

条件 2：已知正方体的边长 b

解析：

思路：正方体容器水面上升的高度＝水的体积／正方体底面的面积

由条件 1 可以推出：

水的体积＝a＊75%，但是无法知道正方体的大小，也就无法判断正方体容器上升的高度，

条件 1 单独成立不充分。

由条件 2 可以推出：

正方体底面的面积＝b2，但是无法知道倒入水的体积有多少，也就无法判断正方体容器上



50

升的高度，条件 2 单独成立不充分。

由体积 1 和 2 同时成立可以推出：

正方体容器水面上升的高度＝水的体积／正方体底面的面积＝a＊75%／（b＊b）。条件 1

和 2 同时成立就充分。

答案：C

[版本 2]

长方体的容器中装有水，水占容器的总体积 75%，现在把一个正方体放入这个长方体容器

中。

问：以下条件能否判断长方体容器的水面上升了多少？

条件 1: 已知长方体的体积 a

条件 2: 已知正方体的边长 b

解析：

长方形容器水面上升的高度＝正方体的体积／长方体底面的面积

由条件 1 和 2 同时可以推出：

正方体的体积＝𝑏3

长方体的体积无法求出长方体底面的面积，所以条件 1 和 2 同时成立不充分。

答案：E



51

041 PS 时间题

已知有一个电子钟，电子钟的前 2 位是小时，后两位是分钟（例如 3:15pm=15:15）。

现在从电子钟的 00:00 开始工作，每个工作需要 14 分钟。

问：完成第 18 个工作之和的时间是几点？

解析：

完成 18 个工作的时间=14min*18=252min=4h12min。

所以电子钟的时间是 04:12

答案：04:12



52

042 PS 代数

已知关于 x 的方程是 3 ∗ 2（−𝑥） − 2(−𝑥) =1

4

问：x 等于多少

解析：

3 ∗ 2（−𝑥） − 2(−𝑥) =1

4➔ 2(−𝑥) ∗ 2=

1

4➔2(−𝑥)=

1

8➔ x=3

答案：3



53

043 PS 定义函数

已知函数 f（x，y）＝ 𝑥!

(𝑥−𝑦)!

问：使得 f（6，p）>20 成立的最小 p 的值是多少？

解析：

f（6，p）=6!

(6−𝑝)!

当 p=0，f（6，p）=6!

6!=1

当 p＝1 时，f（6，p）＝ 6!

(6−1)!＝6。

当 p＝2 时，f（6，p）=6!

(6−2)!＝30>20。

所以 p 是最小的值使得 f（6，p）>20 成立。

答案：2



54

044 PS 应用题

每箱橡皮擦有 9 个橡皮擦，每箱铅笔有 6 根铅笔。已知一个人一共有橡皮擦和铅笔的数目

是 48，其中铅笔的箱数少于 5 箱。

问：这个人一共有多少箱橡皮擦？

解析：

假设有 x 箱橡皮擦，y 箱铅笔，

那么根据题意可以列出方程：

9x＋6y＝48，其中 y<5。

当 y＝4 时，x 不是整数。

当 y＝3 时，x 不是整数。

当 y＝2 时，x＝4 成立。

所以这个人一共有 4 箱橡皮擦

答案：4



55

045 DS 解方程

已知关于 x 的方程：𝑥3＋𝑎𝑥2＋𝑏𝑥＋3 = 0

问：以下条件能否判断 x＝1 是以上方程的解？

条件 1：a＋b＝－4

条件 2：x＝5 是方程一个解

解析：

𝑥3＋𝑎𝑥2＋𝑏𝑥＋3 = 0 将 x＝1 代入，那么 1+a＋b＋3=0 ➔ a＋b＝－4。


因为 a＋b＝－4，所以 x＝1 是方程的解，条件 1 单独成立就充分。


x＝5 代入𝑥3＋𝑎𝑥2＋𝑏𝑥＋3 = 0 , 125+25a＋5b＋3=0，无法确定 a＋b＝－4。条件 2 单

独成立不充分。

答案：A



56

046 DS 平面几何

[版本 1]

已知 4 个小长方形的中间是一个正方形，其中小长方形的长和宽分别是 a 和 b。

问：以下条件能否判断中间正方形的面积？

条件 1：已知 a＋b＝7

条件 2：已知 b－a =3

A D

B C

解析：

中间正方形的边长＝b－a，那么中间正方形的面积＝(𝑏 − 𝑎)2

由条件 1 单独成立可以推出:

只知道 a＋b＝7，无法求出 b－a。也就无法正方形的面积。条件 1 单独成立不充分。


因为 b－a＝3，所以中间正方形的面积＝(𝑏 − 𝑎)2＝9，条件 2 单独成立就充分。

答案：B

b

a



57

[版本 2]

已知 4 个小长方形的中间是一个正方形，其中小长方形的长和宽分别是 a 和 b。

问：以下条件能否判断中间正方形的周长？

条件 1：已知 a＋b＝7

条件 2：已知 b－a =3

解析：

中间正方形的边长＝b－a，那么中间正方形的周长＝4（b－a）


只知道 a＋b＝7，无法求出 b－a。也就无法正方形的周长。条件 1 单独成立不充分。

由条件 2 单独成立可以推出，因为 b－a＝3，所以中间正方形的周长＝4（b－a）＝12，

条件 2 单独成立。

答案：B



58

047 PS 效率问题

已知有 A 和 B 两人，以下是他们的工作情况:

1）A 单独工作 1 小时可以做 1,000 个；

2）B 单独工作 1 小时可以做 700 个；

问：现在两人合作，8 小时做完 12,000 个，A 至少要工作多少时间？

解析：

要让 A 少做，那么 B 尽量多做。

B 工作 8 小时可以做的个数=700*8=5600 个。

那么 A 工作的时间=（12000−5600

1000）=6.4

答案：6.4 小时



59

048 DS 代数

已知 n 和 u 是实数，

问：以下条件能否判断 n=u？

条件 1：已知 𝑛2 + 𝑢2 = 0

条件 2：已知 𝑛2 − 𝑢2 = 0

解析：


𝑛2 + 𝑢2 = 0➔ n=u=0，条件 1 单独成立就充分。


𝑛2 − 𝑢2 ➔ n=u 或者 n=-u，无法确定 n=u 一定成立，条件 2 单独成立不充分。

答案：A



60

049 PS 平面几何

[版本 1]

已知两个完全相等的圆相交可以划分出 3 个区域，

问：两个完全相等的正方形相交最多能划分出多少个区域？

A.6 B.7 C.8 D.9 E.10

解析：如上图

答案：D

[版本 2]

已知两个完全相等的圆相交 2 个交点，

问：两个完全相等的正方形相交最多能有多少个交点？

解析：如上图，两个正方形相交最多有 8 个交点

答案：8 个



61

050 PS 余数

已知一个整数 n 除以 4 的余数是 1，除以 3 的余数是 2。

问： n 可以属于以下哪个范围？

解析：

这类数的规律＝4 和 3 的最小公倍数＊k＋满足条件的最小数，k 是任意整数。

所以 n＝12k＋5，k 是任意整数，

n 的可能值，那么只要满足 n＝12k＋5 的就是正确答案。

所以 n=65 时，满足条件，此时 n 属于 62.5-69.5 这个区域

答：[62.5，69.5]。



62

051 PS 概率

已知 1 到 10 中任意选择 2 个数，它们的和为 11。

问：这个概率是多少？

解析：

1 到 10 中任意选 2 个数，它们的组合有 𝐶102 = 45 种。

满足和为 11 的组合有（1,10）,（2,9）,（3,8），(4,7)，(5,6) 共 5 种。

所以概率=5

45=

1

9

答案：1

9



63

052 PS 几何体求体积

半径为 r 的半球容器，往里面倒水，当水的最深处为 r 米时，水的表面积是 1800，问水的高

度是 r/2 时，表面积是多少？

解析：

液体是个圆，面积＝𝜋𝑟2＝1800

液体下降到了第二条虚线之后圆的半径＝√𝑟2 − (𝑟

2)2=√

3

4𝑟

下降后面积=π(√3

4𝑟)2=1800*

3

4=1350

答案：1350



64

053 PS 平面几何

三角形，一个角大于 90 度，三条边为 9，40，x，问 x 等于多少？

A 30

B 33

C 39

D 40

E 41

解析：

三角形任意两边之和>第三条边

9+x>40 → x>31

钝角三角形中，两边的平方和小于最长边的平方。

1.假设，x 为最长边，92 + 402 < 𝑥2 → x>41

2.假设 40 为最长边，92 + 𝑥2 < 402 → x<38.9

综上，x=33

答案：B



65

054 PS 运算

0.8(−5)

0.4(−4)等于多少？

解析：

0.8(−5)

0.4(−4) =(0.4∗2)(−5)

0.4(−4) = 0.4(−4)(2(−5)∗0.4(−1))

0.4(−4) = 2(−5) ∗ 0.4(−1) =5

64

答案：5

64



66

055 DS 余数

能否确定一个正整数除以 8 的余数？

条件 1：除 2 余 1

条件 2：除 3 余 2

解析：

条件 1：x=2a+1,

e.g. x=3, 余数：3

x=9，余数：1 无法确定

条件 2：x=3b+2

e.g. x=5, 余数：5

x=11，余数：3 无法确定

条件 1+条件 2： 2a+1=3b+2 →2a-3b=1 a=2 b=1

通项：x=6m+5

e.g. x=11, 余数：3 x=17，余数：1，无法确定

答案：E



67

056 PS 应用题

一公司原来 560 个人，15%是经理，后来经理多了 10 个，非经理多了 24 个，现在经理占多

少？

解析：

经理

总人数=

560∗15%+10

560+10+24=16%

答案：16%



68

057 DS 整数

已知 x、y、 z 是是大于 1 的正整数，求 x+y+z=？

条件 1：x-y-z=1

条件 2：xyz=231

解析：

条件 1：x-y-z=1 情况很多，无法确定 x,y,z 具体值

条件 2：xyz=231=3*7*11 唯一情况

∴x+y=z=21

答案：B



69

058 PS 整数

已知 x、y、z 是连续正整数，xyz=1716，求 x+y+z=？

解析：

∵x、y、z 是连续正整数，xyz=1716

∴ xyz=1716=11*12*13

∴x+y+z=36

答案：36



70

059 PS 应用题

一个飞机离地 6000m，跟远处一个塔的连线跟水平线的夹角是 30°，问飞机离塔多远？

A

6000

解析：

C 30° B

AB=2AC=2*6000=12000

答案：12000



71

060 PS 定义函数

一个锦标赛，参赛队伍数量是 n，比赛场次是 g(n)，已知 g(2)=1,g(n+1)=g(n)+n,求 g(20)=？

解析：

∵g(n+1)=g(n)+n

∴g(20)=g(19)+19=g(18)+18+19=g(17)+17+18+19

=g(2)+2+3+……+19

=1+2+3+……+19

=190

答案：190



72

061 DS 余数

已知 n=p+(p+1)+(p+2)，n=s(s+1)(s+2)。

问：以下条件能否判断 n 被 5 除的余数是多少？

条件 1：p 被 5 除的余数是 1；

条件 2：s 被 5 除的余数是 1。

解析：

由条件 1 单独成立可以推出：整数 p=5k+1，k 是任意整数。

那么 n=3p+3=15k+3+3=15k+6=15k+5+1=5(3k+1)+1，所以 n 除以 5 的余数是 1。

条件 1 单独成立就充分。

由条件 2 单独成立可以推出：整数 s=5k+1，k 是任意整数。

那么 n=(5k+1)(5k+2)(5k+3)=(25𝑘2+ 15𝑘 + 2)(5𝑘 + 3) = 125𝑘3+ 75𝑘2+ + 75𝑘

2 + 45𝑘 + 10𝑘 +6，所以 n 除以 5 的余数还是 1，条件 2 单独成立就充分。

答案： D



73

062 PS 代数化简

已知 n=29∗26

26∗23

问: n 化简之后等于多少？

解析：

n=29∗26

26∗23=26

答案：26



74

063 PS 函数化简

已知函数 g（x）和 f（x）的情况如下：

1）g(x)=x+1；

2）f(x)=𝑥2 + 3

问：f(g(x))等于多少？

解析:

f(g(x))= (𝑥 + 1)2+ 3 =𝑥2 + 2𝑥 + 4。

答案：𝑥2+ 2𝑥 + 4



75

064 DS 方程解的个数

已知方程 y=𝑥𝑛 + 𝑚

问：以下条件能否判断 y=0 时，关于 x 的方程有多少个解？

条件 1: m=1；

条件 2: n>1

解析：


𝑥𝑛 + 1 = 0 ➔𝑥𝑛 = −1 ➔ 方程只有一个解 x=-1。条件 1 单独成立就充分。


只知道 n 的情况，无法判断 m 的正负情况，如果 m 是正的，那么 x 有两个解，条件 2

单独成立不充分.

答案：A



76

065 DS 应用题

有个商家卖橘子和苹果，苹果比橘子贵 0.1 元，问橘子的销售总额？

条件 1：卖橘子的数量比苹果多卖 5

条件 2：苹果的销售总额为 15

解析：

条件 1：不知道具体数字，无法求解。不充分。

条件 2：不知道橘子的情况，不充分。

条件 1+条件 2：𝑛𝑎 + 5 = 𝑛𝑜 𝑃𝑎 = 𝑃𝑜 + 0.1

𝑊𝑎 = 𝑛𝑎 ∗ 𝑃𝑎=15

𝑊𝑜 = 𝑛𝑜 ∗ 𝑃𝑜 = (𝑛𝑎 + 5) ∗ (𝑃𝑎 − 0.1) 无法求出结果。

答案：E



77

066 PS 平面几何

问一个 9 边形（nonagon）有几个对角线？

解析:

多边形对角线有公式 n 边形=𝑛(𝑛−3)

2

9 边形：9(9−3)

2= 27

答案：27



78

067 PS 平面几何

有个门，圆弧的面积是长方形的 1/3 ，问长方形的长与半圆的圆弧的比.

长 y

X 宽

解析：

圆弧面积

长方形面积=

𝛱(𝑥2

)2 ∗12

𝑥𝑦=

1

3

化简：xy=3Π𝑥2

8

∴y=3

8Πx

𝑦1

2∗2𝛱(

𝑥

2)=

3

4

答案：3

4



79

068 DS 代数求解

|x|−1

|x−1| 的值为？

条件 1：x<0

条件 2：|x|=-x

解析:

条件 1：x<0,所以|x|=-x

原式化简：|x|−1

|x−1|=

−𝑥−1

1−𝑥=

𝑥+1

𝑥−1

无法得到具体的值

条件 2：和条件 1 一样无法得到具体的值

答案：E



80

069 PS 比例

有个人去年投资相同的金额在三种产品 A , B，Ｃ，A 产品赚 15% ， B 产品赚 6%，C 产品

亏损 10%，问若全都投资在 A 产品上，那么去年的分投和这种全投 A 两者盈利的比是多

少？

解析：

假设每个产品投资相同金额 x

15%𝑥 + 6%𝑥 − 10%𝑥

15% ∗ 3𝑥=

11

45

答案：11

45



81

070 DS 代数求解

-1<x<1，问 y>𝑥2？

条件 1：y>0

条件 2：y>x

解析：

条件 1：y>0, 并不确定 y 和 1 的关系，不充分

条件 2：y>x, 无法确定 y 的具体范围，e.g: x=-0.7，y=0.3；x=0.5 , y=2

条件 1+条件 2：不充分，反例同上。

答案：E



82

071 PS 应用题

一个公司有 5500 名员工，总共持有 10%的股份，股份总额为 32.5 million ，

问：平均每个员工持有多少股份？

A 580

B 560

C 590

D 5800

E 5820

解析：

10% ∗ 32.5 ∗ 106

5500= 590

答案：C



83

072 PS 概率

x 取自数列 1，该数列为 1，2，3，4，5；y 取自数列 2，该数列也是 1，2，3，4，5，问 xy<4

的可能性多大？

解析：

X 取值第一种情况，从 1 开始，1

5∗

3

5，

第二钟情况，2，1

5∗

1

5

第三种情况，3，1

5∗

1

5

三次相加，5

25=

1

5

答案：1

5



84

073 PS 排列组合

一个公司，5 个师傅，5 个学徒，出去干活一个师傅搭配一个学徒，问多少种组合？

解析：

5*5=25

答案：25



85

074 DS 代数求解

a b c 都大于 1 的整数，abc=60，问 a+b+c =?

条件 1：a+b=8

条件 2：a, b odd

解析：

条件 1：

∵a+b=8，abc=60

∴a=2 b=6 c=5，a=3 b=5 c=4 不唯一，不充分

条件 2：

∵a b odd ， abc=60

∴a=3 b=5 唯一确定

答案：B



86

075 PS 代数求解

x+y=6t，xy=-7𝑡2，求(𝑥2+𝑦2)

𝑡2 =?

解析：

(𝑥2+𝑦2)

𝑡2=

(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦

𝑡2=

(6𝑡∗6t−2∗(−7𝑡2)

𝑡2=50

答案：50



87

076 PS 代数计算

(2.52-1.52)+( 4.52 − 3.52)+......+(100.52-99.52) =？

解析：

平方车公式化简为：

（2.5+1.5）×（2.5-1.5）+（3.5+4.5）×（3.5-4.5）+……+(100.5+99.5)(100.5-99.5)

=4+8+…+200=(200+4)*50÷2=5100

答：5100



88

077 PS 代数计算

(n-1)! (n+2)! 和( n +1)! 都是 120 的倍数，n 最小是几？

解析：

120=5*4*3*2*1=5！

n-1=5→n=6

答案：6



89

078 DS 倍数

n 和 A 正数都大于 2，问 A 是不是 20 的倍数？

条件 1：A 是五的倍数

条件 2：A=(n+2)!

条件 1：A=5a，A=5，不是 20 的倍数；A=20，是 20 的倍数，不充分

条件 2：A=（n+2）! N>2

A>4! A=5！……

5！=5*4*3*2*1 是 20 的倍数，所以 A 肯定是 20 的倍数

答案：B



90

079 DS 应用题

租了一辆车 5 天，一共开了 900miles，第一天开了 200miles，问能否求出第二天开了多少？

条件 1：第一天开的路程是 1-3 天的路程和的 40%

条件 2：1-3 天的路程和等于 3-5 天的路程和

解析：

条件 1：(𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3) ∗ 0.4 = 𝑆1 无法求出𝑆2

条件 2： 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 𝑆3 + 𝑆4 + 𝑆5

𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆4 + 𝑆5 无法求出𝑆2

条件 1+条件 2：可以求出𝑆3 = 100，得出𝑆2 = 200

答案：C



91

080 DS 数论

x 离最近的整数差多少？

条件 1：8x＝8n＋1

条件 2：8x＝16m＋1

（m，n 都是整数）

解析：

条件 1：x=n+0.125 整数差：0.125

条件 2：x=2m+0.125 整数差：0.125

答案：D



92

082 DS 众数

数列中 5 个正整数，1 是众数且是唯一一个众数。五个数的平均数是 2.4。问数列中最大值？

条件 1：2 是中位数

条件 2：数列中有四个不同数字

解析：

条件 1：数列中 5 个数，1 是众数且是唯一一个众数 2 是中位数，

数列为：1，1，2，a，b

∵4+a+b=2.4*5=12→a+b=8 只有 1 种组合，3 和 5

条件 2: 数列为：1，1，x，y，z

2+x+y+z=12→x+y+z=10 只有一种情况：x=2,y=3,z=5

答案：D



93

083 PS 分解质因数

571+572+573 是三个连续整数的乘积，问三个连续整数的和？

解析：

571+572+573=1716=11*12*13

11+12+13=36

答案：36



94

084 PS 几何题

三个圆半径相等为 r。上面的圆和上面的边相切且与下面两个圆相切。下面两个圆不相切

最近距离为 a。且分别与四边形相切。问 m 如何用 r 和 a 表示

r

A m

a B C

解析：

在三角形 ABC 中，AB=√(4𝑟2 − (𝑎

2+ 𝑟)

2=√3𝑟2 − 𝑟𝑎 −

𝑎2

4

∴m=2r+√3𝑟2 − 𝑟𝑎 −𝑎2

4

答案：2r+√3𝑟2 − 𝑟𝑎 −𝑎2

4



95

085 PS 概率

抛硬币正面和反面出现的几率相等。问抛两次硬币出现至少一次正面的概率？

解析：

P(正面)=P(反面)=1

2

P(至少一次正面)=1-P（两次都不是正面）=1-1

2∗

1

2=

3

4

答案：3

4



96

086 DS 倍数问题

x＋y 是否是 3 的倍数？

条件 1：x+z 是三的倍数

条件 2：y+z 是三的倍数

解析：

3 的倍数要满足，x+y 可以整除 3

条件 1：x+z 是 3 的倍数，但不知道 y 的情况，不充分

条件 2：y+z 是 3 的倍数，但不知道 x 的情况，不充分

条件 1+条件 2：e.g. x=2,z=1, y=2 z=1, x+y=2 不是 3 的倍数

e.g. x=3,z=6, y=6 z=6 x+y=9 是 3 的倍数

所以不充分

答案：E



97

087 PS 应用题

5 days from today is Tuesday, when is 100 days from today?

解析：

7 天一循环，today 是 Thursday

100/7=14……2

∴100 days from today is Saturday

答案：Saturday



98

088 PS 排列组合

5 男 4 女站成一列男女交替，有多少种站法？

解析：

男女相间，因此第 1，3，5，7，9 人为男，其余为女。男生之间共 5！＝120 种排法，女生

之间共 4！＝24 种排法。因此共 24×120＝2880 种排法。

答案：2880



99

089 DS 平面几何

在一个坐标内。一个圆的圆心是原点，半径为 r，另一个圆的圆心是（1，1）半径为 R，问两

个圆圆心的距离是不是 r+R？

条件 1：𝑟2 + 𝑅2=2（1-rR）

条件 2：𝑅2 − 𝑟2 =2r

解析：

问题问两个圆心间距是不是 r+R，也就是问我们两个圆是不是外切

条件 1：移项得到𝑟2 + 𝑅2 + 2𝑅𝑟 = 2 →𝑟 + 𝑅 = √2 =圆心距 →外切成立充分

条件 2：𝑅2 − 𝑟2 = 2r 没有办法求出 R 和 r 之间的关系不充分

答：A



100

090 DS 应用题

一个人可以买一篮子 n 个苹果一共花$6，或者买 n 个苹果$0.32 一个。问买一篮子是不是比

单个买贵？

条件 1：n<=20

条件 2：0.32 一个，花$7 可以买 n+4 个

解析:

条件 1：0.32n<6→n<18.75 条件 1 不正确

条件 2：4*0.32=1.28>(7-6)=1 →多$1 只能多出 3 个,另外多出的一个应该就是$6 一篮子

买不到的。

答案：B



101

091 DS 整除

2510𝑛∗ 𝑥102𝑛

可不可以被 3 整除？

条件 1：n=2

条件 2：x=17

解析:

条件 1： x 未知，不充分

条件 2: x=17，这里10𝑛 不影响是否被 3 整除，所以只要知道 25*17=425 是否可以，425

不可以被 3 整除

答案：B



102

092 PS 概率

已知 n 是 2-100 的整数，问：n=𝑎𝑏的概率是多少？（其中 b>1，a 和 b 都是整数）

A.0.16 B.0.15 C.0.14 D.0.13 E.0.12

解析：

2-100 中总共有 99 个数。

其中当 a=1，那么无论 b 等于多少，n=1。

当 a=2，那么 b 可以等于 2……6。n 共 5 种。

当 a=3，那么 b 可以等于 2，3 和 4。n 共 3 种。

当 a=4，那么 b 可以等于 2 和 3。但是 16 和 64 已经在之前出现过，所以 0 种。

当 a=5，那么 b 可以等于 2，n 共 1 种。



当 a=8 时，那么 b 可以等于 2，但是 64 已经在之前出现过，所以 0 种。

当 a=9 时，那么 b 可以等于 2，但是 81 已经在之前出现过，所以 0 种。

当 a=10 时，那么 b 可以等于 2，n 共 1 种。



103

所以满足条件的总共有 5+3+1*4=15 种。

所以概率=12/99≈ 0.12。

答案：E



104

093 PS 应用题

已知 xx 学校采购了 5 样东西：

1）4 根铅笔，总共花了 3 美元；

2）5 根钢笔，总共花了 3 美元；

3）2 块橡皮，总共花了 1 美元。

4）3 个 A，总共花了 3 美元；

5）3 个 B，总共花了 3 美元。

其中这 5 样产品的广告策略不一样，其中一个广告策略是买一个产品，买另外一个产品即

是半价。并且价格是整数。

问：哪个产品是用这样一个广告策略？

解析：

只有偶数个产品才能使用这个广告策略，

所以只有 4 根铅笔和 2 块橡皮才能采用这个广告策略。

对于 1）4 根铅笔，总共花了 3 美元：

那么假设每根铅笔的价格＝x，那么 x＋0.5x＋x＋0.5x＝3 ➔ x＝1。满足条件。

对于 3）2 块橡皮，总共花了 1 美元：



105

那么假设每块橡皮的价格＝y，那么 y＋0.5y＝1➔ y＝1÷1.5。不满足条件。

所以只有情况 1 才能采用这种广告策略。

答案：4 根铅笔



106

094 DS sets

已知一个群组有 100 人，有东西 A 的人数是 48 人，有东西 B 的人数是 63 人。

问：以下条件能否确定有 A 没有 B 的人有多少个？

条件 1). 有 B 没有 A 的人数是 20 个；

条件 2). 同时有 A 和 B 的人数是都没有的人数的 2 倍。

解析:

总人数＝有 A 的人数＋有 B 的人数－同时有 A 和 B 的人数＋都没有的人数。

有 A 没有 B 的人＝有 A 的人数－同时有 A 和 B 的人数。


有 B 没有 A 的人数＝有 B 的人数－同时有 A 和 B 的人数。

➔ 同时有 A 和 B 的人数＝有 B 的人数－有 B 没有 A 的人数＝63-20=43 个。

➔有 A 没有 B 的人＝有 A 的人数－同时有 A 和 B 的人数＝48-43=5 个。条件 1 单

独成立就充分。




107

假设都没有的人数是 x，那么同时有 A 和 B 的人数是 2x 人。

所以 100=48+63－2x＋x ➔ x＝11。

所以有 A 没有 B 的人＝有 A 的人数－同时有 A 和 B 的人数＝48-11=37 人，条件 2

单独成立就充分

答案：D



108

095 PS sets

已知在一群人中，会说英语的人占的比例是 60%，会说法语的人占的比例是 80%，两种语

言都不会的人占 10%。

问：两种语言都会的人占总数的比例是多少？

解析：

总人数＝两种都不会的人数＋会说英语的人数＋会说法语的人数－两种都会的人数所以

100％=10%＋60%＋80%－两种语言都会的人占总数的比例➔ 两种语言都会的人占总数

的比例＝50%

答案：50%



109

096 DS 整数

已知 m 是正整数，

问：以下条件能否判断√13𝑚是否是整数？

条件 1). 13m 是 xx 正整数的平方；

条件 2). 𝑚

13是 xx 正整数的平方。

解析：

思路：由条件 1 单独成立可以推出：

因为 13m＝𝑎2，a 是正整数，那么√13𝑚＝a 是正整数，条件 1 单独成立就充分。


因为𝑚

13＝𝑏2，b 是正整数，所以 m＝13𝑏2那么√13𝑚＝13b 是正整数，条件 2 单独成立就

充分。

答案：D



110

097 PS 排列组合

已知 xx 快餐店里的汉堡可以选择加入 3 种不同的调料。

问：可以组成多少种不同的汉堡？

解析：

1）不加调料，汉堡的种类＝1 种；

2）加 1 种调料，汉堡的种类＝3 种；

3）加 2 种调料，汉堡的种类＝𝐶32=3 种；

4）加 3 种调料，汉堡的种类＝1 种。

所以不同的汉堡种类＝1+3+3+1=8 种。

答： 8 种



111

098 PS 应用题

以下是一个人的锻炼速度情况：

1）周一跑步去锻炼，速度是 6mile/h；

2）周二自行车去锻炼，速度是 15mile/h。其中周二比周一多走 10miles，并且多用 16 分

钟。问：他周一跑步跑了多少时间？

解析：

假设周一跑了 x 小时，那么周二骑了 x+16

60小时。所以 6x+10=(x+

16

60)*15，所以

6x+10=15x+4 ➔ 9x=6 ➔ x=2

3，即他周一跑了 x*60=40 分钟

答案：40 分钟



112

099 PS 几何

大圆柱里放一个小圆柱的容器，

其中：

1）大圆柱的直径 D，高 c，

2）小圆柱的地面距离大圆柱地面的高 a，

3）小圆柱的外围分别距离大圆柱的值用字母 d 表示的。

问：小圆柱的体积是多少？用字母表示。

d

c

a

解析：

小圆柱底面的圆的半径 r＝（D－2d）／2

小圆柱的高 h＝c－a

所以小圆柱的体积＝𝜋𝑟2h＝𝜋 （𝐷−2𝑑

2）

2

(c－a）

答案：𝜋 （𝐷−2𝑑

2）

2

(c－a）



113

100 PS 概率

已知事件 A 发生的概率是 0.5，事件 B 发生的概率是 0.4。

问：事件 A 不发生并且事件 B 也不发生的概率是多少？

解析：

事件 A 不发生的概率＝1-0.5=0.5。

事件 B 不发生的概率＝1-0.4=0.6。

假定 A 和 B 是独立事件，那么事件 A 不发生并且事件 B 也不发生的概率＝

0.5*0.6=0.3

答案: 0.3



114

101 DS 整数

Is n the square of an integer?

条件 1：4n is the square of an integer

条件 2：n^3 is the square of an integer

解析：

条件 1：4n=𝑏2→n=𝑏2

4= (

𝑏

2)2 无法确定

𝑏

2是整数，不充分

条件 2：𝑛3 = 𝑎2 → 𝑛 = √𝑎23 →n=4，a=8

答案：B



115

102 DS 整除

求𝑥2 − 𝑦2是否能被 4 整除？

条件 1：x-y 能被 2 整除

条件 2：x+y 能被 2 整除

解析：

𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)

条件 1：无法已知 x+y 的情况，不充分

条件 2：无法已知 x-y 的情况，不充分

条件 1+条件 2：(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)是 4 的倍数，能被 4 整除，充分

答案：C



116

103 PS 代数计算

(0.0004875∗10𝑛)

19500<2*1010 ，n 最大是多少

解析：

0.0004875 ∗ 10𝑛 < 3.9 ∗ 1014

4.875 ∗ 10𝑛−4 < 3.9 ∗ 1014

∴n-4<14→n<18

∴n 最大为 17

答案：17



117

104 PS 概率

某个大学里 80%的硕士是 RA，80%的是 TA，随便找 2 个人，其中至少一个人至少有一个

身份的概率?

解析:

取反：1-20%*20%=96%

答案：96%



118

105 DS 应用题

A 完成一件工作需要 6 小时，若 A B 一起完成，用时是否小于 3 小时？

条件 1：B 效率是 A 的两倍

条件 2：B 完成的超过百分之五十

解析：

条件 1：1

(1

6+

1

6∗2)

=2<3 充分

条件 2：B 完成的超过百分之五十，但是不清楚 B 完成所用的时间，无法判断。

答案：A



119

106 PS 应用题

某人销售产品，可获得销售额的 5%作为佣金，超过 100000 时，可获得额外 2%作为佣金。

获得佣金 47000，销售额为多少？

解析:

(47000-100000*5%)/7%+100000=700000

答案：700000



120

107 PS 平面几何

菱形，且图上标示对角线互相垂直，菱形一边长 13，对角线长 10，可得另一对角线 24，给

出具体值，求菱形面积？

解析：

面积是 24X10X0.5=120

答案：120



121

108 PS 代数求解

已知小数 0.00068 的值在1

10(𝑛+1) 与 1

10𝑛之间，求 n？

解析：

0.001>0.00068>0.0001

∴N 等于 3

答案:3



122

109 PS 化简

2√3−2

√3−2的简化

解析:

2√3−2

√3−2=

(2√3−2)(√3+2)

(√3−2)(√3+2)=

2√3+2

−1=−2√3 − 2

答案：=−2√3 − 2

上分数学机经 - shangfen.wang€¦ · 005 ps 平面几何 ... 010 ds 几何图形面积 ......

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