斜面の安定解析法

斜面の安定解析とは？

• 軟弱地盤上に道路盛土を施工するときに、どのくらいの高さまで安全に施工できるのか？また、その傾斜で大丈夫か？

• 豪雨によって斜面が崩壊し、道路が塞がれたり、人家が押しつぶされたりといった災害が起きる可能性がある斜面なのか？

• このような疑問に答える方法が斜面の安定解析です。

斜面の安定性を調べるためには・・・

• すべり破壊に対し、どの程度の安全性を持っているか？ –安全率という言葉が登場します。

• 安全性を低下させる要素にはどんなものがあるのか？ –不安定化させる要因を考えます。

• すべり破壊が生じるときにはどこですべるのか？ – もっともすべりやすい場所を探します。

安全率 • 安全率はFsという記号を用います。（Safety Factor）

• 安全率は大きくなると安全、小さくなると不安定でることを表す数値です。

• 安全率が1（Fs=1）のときが、まさに、すべり出そうとういう状態を表します。

• 斜面の安定問題では、 – すべり面が直線である場合

– すべり面が円弧である場合

𝐹𝑆 =すべり面上のせん断抵抗力（滑動に抵抗する力）

すべり面上に作用するせん断力（滑動を起こそうとする力）

𝐹𝑆 =滑動に抵抗する力のモーメント

滑動を起こそうとする力のモーメント

例

70°

5m

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

すべり土塊を仮定する

70°

5m

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

45°

すべり土塊を仮定する

70°

5m

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

45°

すべり面上での力の釣り合い

■滑動を起こそうとする力

𝑊

𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃 = 45°

滑動を起こそうとする力 𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

■滑動に抵抗する力

𝜏 ∙ 𝑙

滑動に抵抗する力 𝜏 ∙ 𝑙

𝐹𝑆 =すべり面上のせん断抵抗力（滑動に抵抗する力）

すべり面上に作用するせん断力（滑動を起こそうとする力）

■滑動を起こそうとする力

𝑊 = 𝐴 ∙ 𝛾𝑡

70° 45°

5m

5m

1.8m

=1

2× 5 − 1.8 × 5 × 16 = 128 𝑘𝑁 𝑚

𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

= 128 × 𝑠𝑖𝑛45° = 91 𝑘𝑁 𝑚

■滑動に抵抗する力

𝜏 ∙ 𝑙

70°

45°

5m

l=7.1m

= 14 × 7.1 = 99 𝑘𝑁 𝑚

𝜏 ∙ 𝑙

𝜏 が応力（単位面積当たりの力） であることに注意！

𝐹𝑆 =𝜏∙𝑙 𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

=99

91= 1.08

したがって、安全率は、

となる。

すべり土塊を仮定する

70°

5m

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

45°

→仮定したすべり土塊に対する安全率を得る

すべり土塊を仮定する

70°

5m

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

45°

→仮定したすべり土塊に対する安全率を得る

70°

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

45°

2.187

1.551

1.255

1.101 1.023 0.999 1.023

1.101

1.255

1.551

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0 10 20 30 40 50 60

角度 安全率 10 2.187 15 1.551 20 1.255 25 1.101 30 1.023 35 0.999 40 1.023 45 1.101 50 1.255 55 1.551

すべり土塊をいくつか考えてみると

安全率が最も小さくなる すべり土塊の角度がある。

最も小さい安全率を与える すべり土塊が安全率が1.0を 超えていればＯＫ

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

4.500

10 20 30 40 50 60

安全率

すべり面の角度（°）

60°

70°

80°

60° 70° 80° すべり面の角度

安全率 安全率 安全率

10 2.279 2.187 2.112 15 1.656 1.551 1.469 20 1.379 1.255 1.164 25 1.250 1.101 0.996 30 1.212 1.023 0.900 35 1.250 0.999 0.850 40 1.379 1.023 0.834 45 1.656 1.101 0.850 50 2.279 1.255 0.900 55 4.246 1.551 0.996

γt=16kN/m3

f =0°

c =14kN/m2

■斜面の安定解析のポイントは・・・・

• すべり土塊を仮定する。

• すべり土塊に作用する力の釣り合いを考える。

– 滑動を起こそうとする力

– 滑動に抵抗する力

• クーロンの破壊基準

• 仮定したすべりに対する安全率を求める。

• 最も小さくなる安全率を求める。

繰り返す

■斜面の安定解析のポイントは・・・・

• すべり土塊を仮定する。

• すべり土塊に作用する力の釣り合いを考える。

– 滑動を起こそうとする力（あるいは、モーメント力）

– 滑動に抵抗する力（あるいは、モーメント力）

• クーロンの破壊基準

• 仮定したすべりに対する安全率を求める。

• 最も小さくなる安全率を求める。

繰り返す

直線すべり、 円弧すべりなど

■直線すべりによる斜面安定解析 ■滑動を起こそうとする力

𝑊

𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃

滑動を起こそうとする力 𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

■滑動に抵抗する力

𝜏 ∙ 𝑙

滑動に抵抗する力 𝜏 ∙ 𝑙

𝐹𝑆 =𝜏 ∙ 𝑙

𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

■直線すべりによる斜面安定解析

■滑動に抵抗する力

𝜏 ∙ 𝑙

滑動に抵抗する力 𝜏 ∙ 𝑙

𝐹𝑆 =𝜏 ∙ 𝑙

𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′𝑡𝑎𝑛𝜙′

𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜏 = 𝑐 + 𝜎𝑡𝑎𝑛𝜙′

σ =𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑙

有効応力で考える場合

全応力で考える場合（地下水が無い）

斜面の分類

• 自然斜面

• 人工斜面 • 土構造物単体、擁壁などの構造物を伴う場合もある。

–盛土

–切土

斜面安定解析法

• 無限長斜面

–無限に長い斜面という意味ではない。

–すべり土塊の長さに対して深さが小さいような表層すべりを対象とする。

–自然斜面など細長いすべりに対する安定性を検討するために、モデル化（理想化）された斜面。

–地下水面の位置により安定性が変化する。

• 地下水位の上昇に伴い不安定化

■無限長斜面の安定解析

■無限長斜面の安定解析

a

𝜏𝑅

𝜏𝐿

𝜎𝑅

𝜎𝐿

𝜎

𝜏

幅aの土塊に着目すると、

地下水面は深い c’=0

■無限長斜面の安定解析

1

𝜏𝑅

𝜏𝐿

𝜎𝑅

𝜎𝐿

𝜎

𝜏

幅aの土塊に着目すると、

■無限長斜面の安定解析

1・cosi

幅aの土塊に着目すると、

T

N

W

W

T

N

z

1

土塊の重量W

𝑊 = 𝛾 × (1 ∙ cos 𝑖) × 𝑧

すべり面に作用する垂直力

𝑁 = 𝑊 cos 𝑖 = 𝛾𝑧 cos2 𝑖 = 𝜎

すべり面に作用する抵抗力 （せん断抵抗）

𝑆 = 𝜎 tan𝜙′ = 𝛾𝑧 cos2 𝑖 tan𝜙′

土塊の滑動力

𝑇 = 𝑊 sin 𝑖 = 𝛾𝑧 cos 𝑖 sin 𝑖

■無限長斜面の安定解析

1・cosi

幅aの土塊に着目すると、

T

N

W

W

T

N

z

1 すべり面に作用する抵抗力 （せん断抵抗）

𝑆 = 𝜎 tan𝜙′ = 𝛾𝑧 cos2 𝑖 tan𝜙′

土塊の滑動力

𝑇 = 𝑊 sin 𝑖 = 𝛾𝑧 cos 𝑖 sin 𝑖

安全率

𝐹𝑆 =𝑆

𝑇=tan𝜙′

tan 𝑖

■無限長斜面の安定解析

安全率

𝐹𝑆 =𝑆

𝑇=tan𝜙′

tan 𝑖

すべり面に作用する抵抗力 （せん断抵抗）

土塊の滑動力

𝐹𝑆 =𝑆

𝑇=tan𝜙′

tan 𝑖> 1

1を上回るとき、安全

■無限長斜面の安定解析

1

𝜏𝑅

𝜏𝐿

𝜎𝑅

𝜎𝐿

𝜎

𝜏

地下水面が地表面 c’=0

安全率

𝐹𝑆 =𝑆

𝑇=γ′tan𝜙′

𝛾𝑠𝑎𝑡tan 𝑖

■無限長斜面の安定解析（ｃ’＝０）

地下水面が深い

地下水面が地表面

地下水面がすべり土塊内

𝐹𝑆 =𝛾′

𝛾𝑠𝑎𝑡

tan𝜙′

tan 𝑖

𝐹𝑆 =tan𝜙′

tan 𝑖

𝐹𝑆 =𝛾𝑡ℎ𝑤 + 𝛾′ 𝑧 − ℎ𝑤𝛾𝑡ℎ𝑤 + 𝛾𝑠𝑎𝑡 𝑧 − ℎ𝑤

tan𝜙′

tan 𝑖

ℎ𝑤

𝑧

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0246810

安全率

地下水(GL-m)

地下水位上昇に伴う安全率の変化

c’=0, φ’=25°,すべり面深さ10m

■無限長斜面の安定解析（ｃ’≠０）

地下水面が深い

地下水面が地表面

地下水面がすべり土塊内

𝐹𝑆 =𝑐′ + 𝛾′𝑧

𝛾𝑠𝑎𝑡𝑧

tan𝜙′

tan 𝑖

𝐹𝑆 =𝑐′ + 𝛾𝑡𝑧 tan𝜙′

𝛾𝑡𝑧tan 𝑖

𝐹𝑆 =𝑐′ + 𝛾𝑡ℎ𝑤 + 𝛾′ 𝑧 − ℎ𝑤𝛾𝑡ℎ𝑤 + 𝛾𝑠𝑎𝑡 𝑧 − ℎ𝑤

tan𝜙′

tan 𝑖

ℎ𝑤

𝑧

𝐹𝑆 =すべり面上のせん断抵抗力（滑動に抵抗する力）

すべり面上に作用するせん断力（滑動を起こそうとする力）

ここまでのまとめ 安全率

滑動を起こそうとする力は、自重や外力による

滑動に抵抗する力は、土のせん断強さによる→つまり、クーロンの摩擦則

𝜏𝑓 = 𝑐′ + 𝜎′𝑡𝑎𝑛𝜙′

土木技術者1級試験,2006

土木技術者1級試験,2008

O

地表面

地下水面

滑動モーメント

抵抗モーメント 𝑀𝑅

𝑀𝐷

𝐹𝑆 =𝑀𝑅𝑀𝐷

円弧すべりに対する安全率

斜面安定解析法 すべり面法：滑動土塊を仮定して、そのすべりに 対する安全率を用いて解析する。

O

1

2

i

N N-1

■分割法 すべり土塊をN個のスライスに分割し， スライス単位で滑動モーメントと抵抗モーメントを求め，総和を取る。

滑動モーメント

抵抗モーメント 𝑀𝑅𝑖

𝑀𝐷𝑖

円弧すべりに対する安全率

𝐹𝑆 =𝑀𝑅𝑀𝐷= 𝑀𝑅𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑀𝐷𝑖

𝑛

𝑖=1

地表面

地下水面

分割法

• 簡便法・スウェーデン法・フェレニウス法

• 修正フェレニウス法

• ビショップの簡便法

• ビショップ法

• ヤンブー法

• 複合すべり面法

O

1

2

i

N N-1

■分割法 すべり土塊をN個のスライスに分割し， スライス単位で滑動モーメントと抵抗モーメントを求め，総和を取る。

滑動モーメント

抵抗モーメント 𝑀𝑅𝑖

𝑀𝐷𝑖

円弧すべりに対する安全率

𝐹𝑆 =𝑀𝑅𝑀𝐷= 𝑀𝑅𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑀𝐷𝑖

𝑛

𝑖=1

地表面

地下水面

𝑊𝑖

𝑉𝑖−1

𝑉𝑖

𝐻𝑖−1

𝐻𝑖

𝑇𝑖

𝑁′𝑖

ℎ𝑖

ℎ𝑖−1

𝑈𝑖

𝐸𝑖−1

𝐸𝑖

𝑏𝑖

𝑙𝑖

𝛼𝑖

■スライスに作用する外力を書き出してみましょう。

記号 説明 未知・既知 個数

𝑊𝑖 スライスの重量 スライスの面積と土の単位体積重量で求められる。

既知 𝑁

𝑉𝑖 スライス側面に対し平行に作用する力 未知 𝑁− 1 𝐻𝑖 スライス側面に対し垂直に作用する力 未知 𝑁− 1 ℎ𝑖 スライス底面から𝐻𝑖作用点までの高さ 未知 𝑁− 1 𝐸𝑖 スライス側面に作用する間隙水圧の合力

地下水の流れにより決定される。

既知 𝑁− 1

𝑇𝑖 スライス底面（すべり面）に作用するせん断力 未知 𝑁

𝑁′𝑖 スライス底面（すべり面）に作用する有効垂直力 未知 𝑁

𝑈𝑖 スライス底面（すべり面）に作用する間隙水圧の合力 地下水の流れにより決定される。

既知 𝑁

𝐹𝑆 安全率 未知 1

表-1 変数の説明

未知数の総数は 5𝑁 − 2 個

記号 説明 未知・既知 個数

𝑊𝑖 スライスの重量 スライスの面積と土の単位体積重量で求められる。

既知 𝑁

𝑉𝑖 スライス側面に対し平行に作用する力 未知 𝑁− 1 𝐻𝑖 スライス側面に対し垂直に作用する力 未知 𝑁− 1 ℎ𝑖 スライス底面から𝐻𝑖作用点までの高さ 未知 𝑁− 1 𝐸𝑖 スライス側面に作用する間隙水圧の合力

地下水の流れにより決定される。

既知 𝑁− 1

𝑇𝑖 スライス底面（すべり面）に作用するせん断力 未知 𝑁

𝑁′𝑖 スライス底面（すべり面）に作用する有効垂直力 未知 𝑁

𝑈𝑖 スライス底面（すべり面）に作用する間隙水圧の合力 地下水の流れにより決定される。

既知 𝑁

𝐹𝑆 安全率 未知 1

表-1 変数の説明

未知数の総数は 5𝑁 − 2 個 力の釣り合い式2𝑁個 モーメントの釣り合い式𝑁個 クーロンの破壊規準式𝑁個

𝑁− 2 次の不静定問題

分割法 • 簡便法・スウェーデン法・フェレニウス法

• 修正フェレニウス法

• ビショップの簡便法

• ビショップ法

• ヤンブー法

• 複合すべり面法

𝑁 − 2 次の不静定問題

𝑊𝑖

𝑉𝑖−1

𝑉𝑖

𝐻𝑖−1

𝐻𝑖

𝑇𝑖

𝑁′𝑖

ℎ𝑖

ℎ𝑖−1

𝑈𝑖

𝐸𝑖−1

𝐸𝑖

𝑏𝑖

𝑙𝑖

𝛼𝑖

■簡便法・フェレニウス法・スウェーデン法

スライス側面に作用する 垂直力と水平力を無視

𝐹𝑆 = 𝑐′𝑖𝑙𝑖 + 𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 − 𝑈𝑖 𝑡𝑎𝑛𝜙′

𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖

𝐹𝑆 = 𝑐′𝑖𝑙𝑖 +𝑊𝑖 cos 𝛼𝑖 𝑡𝑎𝑛𝜙′

𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖

地下水面がある場合

地下水面が無い場合

■簡便法・スウェーデン法・フェレニウス法

■ビショップの簡便法（非線形方程式→繰り返し計算が必要）

𝐹𝑆 =

𝑐′𝑖 ∙ 𝑙𝑖 cos 𝛼𝑖 + 𝑊𝑖 − 𝑈𝑖 cos 𝛼𝑖 𝑡𝑎𝑛𝜙′

cos 𝛼𝑖 +sin𝛼𝑖 𝑡𝑎𝑛𝜙′𝐹𝑆

𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖 + ∆𝐸𝑖 cos 𝛼𝑖

地下水面がある場合

詳しい内容と例題

• 授業Webページに資料を置いておきます。勉強してください。

まとめ

斜面の安定解析とは？

• 軟弱地盤上に道路盛土を施工するときに、どのくらいの高さまで安全に施工できるのか？また、その傾斜で大丈夫か？

• 豪雨によって斜面が崩壊し、道路が塞がれたり、人家が押しつぶされたりといった災害が起きる可能性がある斜面なのか？

• このような疑問に答える方法が斜面の安定解析です。

斜面の安定性を調べるためには・・・

• すべり破壊に対し、どの程度の安全性を持っているか？ –安全率という言葉が登場します。

• 安全性を低下させる要素にはどんなものがあるのか？ –不安定化させる要因を考えます。

• すべり破壊が生じるときにはどこですべるのか？ – もっともすべりやすい場所を探します。

安全率 • 安全率はFsという記号を用います。（Safety Factor）

• 安全率は大きくなると安全、小さくなると不安定でることを表す数値です。

• 安全率が1（Fs=1）のときが、まさに、すべり出そうとういう状態を表します。

• 斜面の安定問題では、 – すべり面が直線である場合

– すべり面が円弧である場合

𝐹𝑆 =すべり面上のせん断抵抗力（滑動に抵抗する力）

すべり面上に作用するせん断力（滑動を起こそうとする力）

𝐹𝑆 =滑動に抵抗する力のモーメント

滑動を起こそうとする力のモーメント