有限要素法による電磁界シミュレーション入門～導 …...no. 3 tokyo institute...

No. 1

March 29, 2017

有限要素法による電磁界解析の実際～ポート励振の理論とCOMSOLにおける実際～

東京工業大学環境・社会理工学院

平野拓一 E-mail: [email protected]

COMSOLセミナー (2017/3/29)

No. 2

Tokyo Institute of Technology T. Hirano

これまでのセミナー

基礎（ベクトル基底関数）

(2016/1/14)

プログラム例（導波路モード解析）

(2016/1/26)

平面波入射・ビーム入射の励振モデル化

(2016/9/29)

給電部の励振モデル化（集中定数ポート、導波路モードのポート）

(2016/11/24)

有限要素法による電磁界シミュレーション入門

http://www.takuichi.net/em_analysis/fem/fem_j.html



No. 3


電磁界シミュレーションの基礎

有限要素法の原理

励振方法の種類

• 集中ポート

• ポート（導波路モード励振）

• 平面波入射

各励振モデルの規範問題

～ COMSOLによる解析例～

発表の流れ

No. 4


～マクスウェルの方程式～

t

t

DiH

BE

SSC

SC

dt

dd

dt

d

SDSilH

SBlE

微分形積分形

E

H E

H

No. 5


マクスウェルの方程式と電磁界シミュレータの役割

t

t

EiH

HE

ファラデーの法則

アンペアの法則

V S

n̂

J

電磁界シミュレータの目的は、上のマクスウェルの方程式を速く、精度良く、なるべく一般の構造を解くこと。境界条件を指定する必要がある（→微分方程式論の境界値問題）。

マクスウェルの方程式

内部: Maxwellの方程式

周囲境界: 境界条件

解くために必要な条件（解析の前準備）

1. 構造および媒質(, , s)

2. 境界条件

3. 励振波源

上をまとめて「解析モデル」と呼ぶ

No. 6


静電界/静磁界/準静電界/準静磁界

(ファラデーの法則)

(アンペアの法則)


iH

E

0 (静電界)

(静磁界)

0

t

t

t

EiH

HE

静電界／静磁界

独立

iH

HE

t

0

t逆起電力は無視できない(: 大)

コイル・モーター等の解析 (Current)

(Voltage)

CdI

dV

lH

lE

0

t

t

EiH

E

0

逆起電力

変位電流

変位電流は無視できない (: 大)

準静磁界

準静電界

時間変化なし

No. 7


時間領域と周波数領域

jt

EiH

HE

j

j

時間領域

周波数領域

境界値問題（空間）

＋初期値問題（時間）

FDTD

境界値問題（空間）

MoM, FEM, FDFD

フーリエ変換

t

t

EiH

HE

調和振動


No. 8


波動方程式(EまたはHのみの式)

0 HE j

iEH j


iEE

00

2

0

jkk r

r

ヘルムホルツの波動方程式

Hを消去してEの方程式を導く

同様に、Eを消去してHの方程式を導くこともできる

00 HE rj

00

HE

jr

00

H

E

j

r

iEE

j

j r0

1

H を消去

場所の関数

（有限要素法の基礎方程式）

No. 9


励振問題と非励振問題

x

y

z

SC

励振波源なし

励振波源あり

2-D構造

3-D構造

)(/ jz

導波路, モードの解析

iEE

00

2

0

jkk r

r

共振器

どの周波数でどのような形で共振するのか?

02

0

E

Er

r

k

02

0

tr

r

ttt k E

E

xx A

bx A行列方程式

固有値問題

を含む項

未知ベクトル（固有ベクトル）

未知スカラー（固有値）

未知ベクトル

既知ベクトル（励振）

伝搬定数:

i

(a) 励振問題

(b) 導波路モード解析

(c) 共振モード解析

ヘルムホルツの方程式

No. 10





• 集中ポート


• 平面波入射



発表の流れ

No. 11

有限要素法(FEM)の原理

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

No. 12


有限要素法の概要（文章）

① 電界のヘルムホルツの方程式を使う

② 空間をメッシュに切り、各セル内部の電界を基底関数（既知の電界分布）の線形結合で表現する（線形結合の重み係数が未知数の問題となる）。

③ 重み付き残差法を用いて連立一次方程式を作成

④ 行列方程式を解いて重み係数を決定（これで電界分布が求まった）

No. 13


有限要素法の概要（数式 [1/3]）

iEE

00

2

0

jkk r

r

ヘルムホルツの方程式

N

j

jja1

EE

0][ bEL

][][][ baba bLaLbaL EEEE

線形演算子（線形性）

0][1

bEN

j

jj La

線形演算子（線形性）

r

r

kL

2

0

1

ib 00jk線形演算子

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

No. 14



0][1

bEEN

j

jji La

Eiとの内積をとる

そして、Eiの定義領域で積分

0][1

iV

N

j

jji La bEE

0][1

N

jVV

iVV

jij dVdVLajiji

bEEE

ijK iF

No. 15



NNNNNN

N

N

F

F

F

a

a

a

KKK

KKK

KKK

2

1

2

1

21

22221

11211

N

j

jja1

EE

aiが決定される

j

EH

No. 16





• 集中ポート


• 平面波入射



発表の流れ

No. 17


Z0

V0

Z0I0or

V

S

u

uuB )()(

1 EEE

1/4波長以上ポート

ポート

Ex

Hy

吸収境界条件(Absorbing

boundary condition;

ABC)

PMLなど

(a) 集中ポート

(b) 導波路ポート

(c) 平面波入射

000 / IVZ

V

dV lE0

IC

dI lH0

入射モード反射モード

重み

1/2波長以上

1/2波長以上散乱体

No. 18


励振の設定・種類

導波路モード励振 (Wave Port,

Waveguide Port)

集中ポート (Lumped Port, Lump Port)

平面波入射 (散乱の解析)

励振部モデル化／境界条件の設定は解析の要

（空間内部のモデル化は誰がやっても同じ

→上手い・下手はない）

No. 19


励振方法1: 集中ポート

V

S

n̂電圧・電流源励振は波長に比して微小（集中定数）であることが基本である。

微小なので、集中ポートでは印加電磁界分布の形状にはほとんど依存しない。

通常、内部インピーダンスを指定する。つまり、電圧（電界）と電流（磁界）の比を指定する。

電磁界解析では、実際には表面インピーダンス上に電界あるいは磁界を印加する。

000 / IVZ

V

dV lE0

I

dI lH0

Z0

V0

Z0I0or

No. 20


励振方法2: ポート（導波路モード励振）

V

S

n̂

u

uuB )()(

1 EEE

導波路モード励振は境界にて行う。

導波路モード給電では、導波路部分は少なくとも1/2波長以上はモデル

化する。（不連続部で発生した高次モードが十分減衰するように）

単一モード条件であるかどうか確認する。多モードならば、それらも考慮して解析する。

開放型線路の場合には電磁界モードが端で十分減衰する程度に広い面積でポートを定義する。

1/4波長以上ポート

Mode1 Mode2

Mode3 Mode4

x

y

z

ab

OC

S

No. 21


導波路問題(2次元問題, TE波, TM波) (1/3)


x

y

z

SC

AAA VVV

CBABCACBA

(A)

(B)

(A)の下

(B)の下 (C)

(一様媒質でしか下の変形は通用しない）

No. 22



BAABBA

z^.(A)の下

z^.(B)の下

(C) CBABCACBA

(C)を使う

Ez, Hzは独立にヘルムホルツの方程式を満たす

カットオフ(遮断)波数

222 kkc

)( k

No. 23



No. 24


TEM波, TE波, TM波の分類

Ez Hz

0 0 TEM(Transverse electric and

magnetic)波

0 Exist TE(Transverse electric)波, H波

Exist 0 TM(Transverse megnatic)波, E波

Exist Exist ハイブリッド波

No. 25


ヘルツ・ベクトルによる表現

hj ΠE

ej ΠH ej ΠA

hj ΠF

ヘルツ・ベクトルはヘルツが微小ダイポールの放射界の計算で初めて導入し、導波管解析にも便利なのでよく用いられる。

磁気型ヘルツベクトル

電気型ヘルツベクトル

hh zˆΠ

ee zˆΠ

導波路の電磁界は導波管軸成分しか持たない次のヘルツベクトルで表現可能である。

htetet zjz ˆˆ2

E

hthtet zzj 2

ˆˆH

)/(ˆ)/(ˆ yyxxt

)/)(/1(ˆ)/(ˆ t

022

hcht k

022

ecet k

これはEz, Hzによる表現と等価

No. 26


モード関数の求め方

TEモード(H波) TMモード(E波)

02

2

2

2

2

zc

zz Hky

H

x

H0

2

2

2

2

2

zc

zz Eky

E

x

E

断面の境界値問題を解く。固有値問題なので、無数の固有値(kc^2)と固有ベクトル（固有関数）の組み合わせが得られる。

HzまたはEzが得られれば、それに対応して伝搬する電磁波の分布（モード）

も決定される（励振状態を決定していないので振幅・位相には任意性がある）。

さらに、固有値問題でkc、つまり、そのモードのカットオフ波数も決定されている。⇒周波数がどの程度になると伝搬するかがわかる。

22 ckj

x

y

z

SC

No. 27


モード関数の表現

u

uuuu BA )()(EEE

u

uuuu BA )()(HHH

u: モードの番号(TEM, TEmn, TMmn)

x

y

z

SC

t: transversal (断面方向) … xy成分

l: longitudinal (軸方向) … z成分

導波路内の電磁界はモードの和で表現できる

モード関数は導波路問題の固有値問題を解いて得られる。つまり、非励振の問題の解である。

モード解析によって、モードの分布とそのモードの伝搬定数が得られる。

モード関数モード分布伝搬定数

)exp()()()( zutuu rerE

)exp()()()()( zuutuu rhrhrH

モード関数の直交性

z

uvS

vuvued)()()(

SHE

z

uvS

vuvued)()()(

SHE

)(0),(1 vuvuuv

No. 28


伝搬定数（減衰定数、位相定数）

)exp()()()( zutuu rerE

)exp()exp(

))(exp()exp(

zjz

zjz

±z方向に進むモードuの正規化電界モード関数

)cos()exp(

])sin()cos()Re[exp(

))](exp()Re[exp(

])exp()exp()Re[exp(

tzz

tzjtzz

tzjz

tjzjz

瞬時値表現

)exp( z

)exp( z

)cos( tz

z

j伝搬定数:

減衰定数位相定数

22 ckj

2k

No. 29


ヘルツベクトルによるTEモード, TMモードの表現

電界の正規

化モード関

数

)exp()()()( zuhtuhu rerE

磁界の正規

化モード関

数

)exp()()()()( zuuhhtuhu rhrhrH

断面成分 )(1

)( rrh huthu

cu

htu Yk

)(ˆ)( rhre htuhuhtu zZ

管軸成分 )(ˆ)( rrh huhu

u

cuuh Y

kz

ヘルツ・ポ

テンシャ

ル

)(rhu : 断面構造で決まる(固有関数)

カットオフ

波数 cuk : 断面構造で決まる(固有値)

伝搬定数 2

0

22kk rrcuu

特性インピ

ーダンス u

r

hu

hu

kj

YZ

001

管内波長 ug /2 , 22

0 curru kk

電界の正規

化モード関

数

)exp()()()()( zuueetueu rererE

磁界の正規

化モード関

数

)exp()()()( zuetueu rhrH

断面成分 )(1

)( rre euteu

cu

etu Zk

)(ˆ)( rerh etueuetu zY

管軸成分 )(ˆ)( rre eueu

u

cuue Z

kz

ヘルツ・ポ

テンシャ

ル

)(reu : 断面構造で決まる(固有関数)

カットオフ

波数

2

cuk : 断面構造で決まる(固有値)

伝搬定数 2

0

22kk rrcuu

特性インピ

ーダンス 0

01

kjYZ

r

u

eu

eu

管内波長 ug /2 ,

22

0 curru kk

TEモード(H波) TMモード(E波)

z longitudinal(進行方向成分)

transversal(断面成分) htue

H波

インデックスの意味

transversal成分

u番目のモード

No. 30


速度（位相速度と群速度）

位相速度

22

cuu

pu

kkv

エネルギー伝送速度

V

uV

u dvdvW22

2

1

2

1HE

W

Pveu

群速度

gv

2cvv gp

No. 31


伝送電力

電力

]2

1Re[ *

S

dP SHE

][2

1

]2

1Re[

2

)(*)(

WA

dAAP

u

u

Su

tuu

u

tuu

SHE

直交性

No. 32


様々な伝送線路

(a) 自由空間 (b) 平行二本線路（レッヘル線路）

E

H

(c) 同軸線路

PEC(金属) PEC

PEC

(d) 方形導波管

PEC

(e) 円形導波管

PEC

PEC誘電体

(f) マイクロストリップ線路

PEC 誘電体

(g) ストリップ線路（トリプレート線路）

PEC 誘電体

(h) スロット線路

スロット

(i) コプレナガイド

PEC誘電体

(j) 光ファイバ

誘電体2

誘電体1

k波数ベクトル

No. 33


方形導波管のTEモード(H波)の例

変数分離法

)()(),( yYxXyxh

011 2

2

2

2

2

ck

y

Y

Yx

X

X

222

yxc kkk

0,02

2

22

2

2

Yk

y

YXk

x

Xcc

)sin()cos(

)sin()cos(

ykDykCY

xkBxkAX

yy

xx

)0(00

よりxyEB

)0(00

よりyxED

)0(/ よりaxyx Eamk

)0(/ よりbyxy Ebnk

境界条件

x

y

a

b

電界の正規

化モード関

数

)exp()()()( zuhtuhu rerE

磁界の正規

化モード関

数

)exp()()()()( zuuhhtuhu rhrhrH

断面成分 )(1

)( rrh huthu

cu

htu Yk

)(ˆ)( rhre htuhuhtu zZ

管軸成分 )(ˆ)( rrh huhu

u

cuuh Y

kz

22

22

2

22

b

n

a

mc

kkcckc

f yxc

c

c

カットオフ波数

カットオフ周波数

No. 34


方形導波管の断面内のモード関数分布

TEmnモード

TMmnモード

(実線: 電気力線, 点線: 磁力線)

No. 35


方形導波管の管軸方向界分布

No. 36


方形導波管のTEモードのFEM解析

Mode1 Mode2

Mode3 Mode4

(1,0): 2.58

(0,1): 5.15

(2,0): 5.16

(1,1): 5.76

Mode1: 2.58

Mode2: 5.13

Mode3: 5.30

Mode4: 5.92

fcu (GHz)

FEM Analytic

x

y

z

ab

OC

S

カットオフ周波数

高次モードではより多くのメッシュ分割が必要

No. 37


同軸ケーブル(TEMモード)

Q

-Q

r

a

b

,

a

bV

QC

log

2

Cの計算

VS

dVd SD ガウスの法則

QrEr 2

r

QEr

2

a

bQr

QdrEV

b

a

b

ar log

2log

2

Lの計算

SSC

ddt

ddd S

DSilH アンペアの法則

IrH 2r

IH

2

a

bIdrH

b

alog

2

a

b

IL log

2

2

loga

b

C

LZ

a

b

H

E

J

I -I

特性インピーダンス

No. 38


マイクロストリップ線路の設計

http://www.takuichi.net/hobby/edu/em/mw_circuit/transmission_lines/

reffg /0

g /2



No. 39


導波路モードの考え方

回路線路回路

アンテナ等

線路は各ブロックの信号伝送に用いられる。

不連続部では電磁界の境界条件を満たすように高次モードが発生する。減衰モードはその場所を離れると指数関数的に減衰する。

線路は普通、シングルモード（単一モード）で用いる。同軸ケーブルも高周波になるほど細くなるのはこのため。マルチモード（多モード）では線路の曲げ方等によって特性は大きく変化するので安定動作しない。

線路は断面形状が無限に続くものとしてモードを計算しているので、不連続部やコーナー部では予期しない放射などが生じ得る。

線路の断面は理想的には2次元の無限に広い面を必要とするので（導波管のような閉構造は別）、線路を近づけると予期しない線路間の結合が起こる。

No. 40


有限要素法でのポートの組み込み (1/2)

)(E

)(E

)()( eeE BP

)()(

1

eeEE BaN

j

jj

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

反射係数

No. 41


有限要素法でのポートの組み込み (2/2)

******

*

*

*

*

2

1

2

1

21

22221

11211

NNNNNN

N

N

F

F

F

B

a

a

a

KKK

KKK

KKK

この方程式を生成するためには、モード関数との内積を取る )(

e

No. 42


励振方法3: 平面波入射

平面波入射の場合は、物体から吸収境界壁までの距離は1/2波長程度以上離す。

RCS (Radar Cross Section)解析に使われる。

>0/2

>0/2

吸収境界条件

(Absorbing

boundary condition;

ABC)

COMSOL: 散乱境界条件 or PML

HFSS: 放射境界 or PML

CST: Open Boundary or PML

No. 43





• 集中ポート


• 平面波入射



発表の流れ

No. 44



No. 45


エレクトロニクスシミュレーション研究会の規範問題

その他活動

→電磁界シミュレータの規範問題

http://www.ieice.org/es/est/activities/canonical_problems/

電子情報通信学会エレクトロニクスシミュレーション研究専門委員会



No. 46


集中ポートの例: ダイポールアンテナ

a

x

z

y

r

l

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 1 2 3 4 5 6 7

Reac

tance X

[O

hm

]

Resi

stan

ce R

[O

hm

]

Frequency [GHz]

Input Impedance of Dipole Antenna (h=30mm, a=0.5mm, d=0.5mm)

MoM (R)

MoM (X)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

MoM

Infinitesimal dipole

No. 47


COMSOL (Model)

No. 48


COMSOL (Mesh)

No. 49


集中ポートの例: 比較

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 1 2 3 4 5 6 7

Reac

tance X

[O

hm

]

Resi

stan

ce R

[O

hm

]

Frequency [GHz]

Input Impedance of Dipole Antenna (l=60.5mm, a=0.5mm, =0.5mm)

MoM (R)

COMSOL (R)

MoM (X)

COMSOL (X)

2a

l

No. 50


ポートの例: 導波管スロットアンテナ

(a) Bird's eye view

Infinite ground plane

TE10 incident wave

Port 1

Port 2

5 mm 37 mm

20 mm

Reference plane

(b) Top view

Port 2Port 1

WRI-40 (WRJ-4) (3.22-4.90 GHz)

58.1 mm x 29.1 mm

Thickness: 1.6 mm

Material: Copper (PEC in MoM)

-180

-120

-60

0

60

120

180

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Ph

ase

(d

eg)

Am

plit

ud

e (

dB

)

Frequency (GHz)

MoM (Amplitude)

MoM (Phase)

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Ph

ase

(d

eg)

Am

plit

ud

e (

dB

)

Frequency (GHz)

MoM (Amplitude)

MoM (Phase)

S11

S21

No. 51


COMSOL (Model)

No. 52


COMSOL (Port)

矩形数値・・・数値的に2D FEMで導波路モード関数を解析

No. 53


COMSOL (Mesh)

No. 54


-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

Am

pli

tud

e (d

B)

Frequency (GHz)

S11 (MoM)

S21 (MoM)

S11 (COMSOL: Rect.)

S21 (COMSOL: Rect.)

S11 (COMSOL: Num.)

S21 (COMSOL: Num.)

ポートの例: 比較

No. 55


平面波励振の例: 導体球による散乱

a

x

z

y

r

Ex

Hy

PEC

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180

RC

S (d

Bsw

)

Angle theta (deg)

E-plane (E_theta, phi=0 deg)

H-plane (E_phi, phi=90 deg)

][m4lim4lim 2

2

2

2

2

2

2

i

s

Ri

s

RRR

H

H

E

Es

s10log10

Radar Cross Section (RCS):

No. 56


COMSOL (Model)

No. 57


平面波励振の例: 比較

a

x

z

y

r

Ex

Hy

PEC

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180

RC

S (d

Bsw

)

Angle theta (deg)

E-plane (E_theta, phi=0 deg)

H-plane (E_phi, phi=90 deg)

E-plane (COMSOL)

H-plane (COMSOL)

No. 58

おわり

ご清聴どうもありがとうございました。

電磁界規範問題および市販シミュレータのファイル

http://www.takuichi.net/em_analysis/

電磁界解析

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有限要素法による電磁界シミュレーション入門 ～導 …...no. 3 tokyo institute...

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