Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной …€¦ ·...

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”

Кафедра “Высшая математика”

Математический анализМодуль 2. Пределы и непрерывность

функций одной переменной

Лекция 2.3

к.ф.-м.н. Семакин А.Н.

Сравнение функций

Пусть◦U (a) - некоторая проколотая

окрестность точки a.

ОпределениеФункция f (x) называется ограниченной посравнению с функцией g(x) в

◦U (a), если

∃c > 0 ∀x ∈◦U (a): |f (x)| ≤ c · |g(x)|.

Обозначение: f (x) = O(g(x)), x → a.Произношение: f - это “О”-большое от g .

МА, Модуль 2, Лекция 2.3 2 / 27





◦U (a), если

∃c > 0 ∀x ∈◦U (a): |f (x)| ≤ c · |g(x)|.

Обозначение: f (x) = O(g(x)), x → a.

Произношение: f - это “О”-большое от g .






◦U (a), если

∃c > 0 ∀x ∈◦U (a): |f (x)| ≤ c · |g(x)|.

Обозначение: f (x) = O(g(x)), x → a.Произношение: f - это “О”-большое от g .



Пример:



ОпределениеЕсли функции f (x) и g(x) таковы, чтоf (x) = O(g(x)) и g(x) = O(f (x)) при x → a,то они называются функциями одногопорядка при x → a.

Обозначение: f (x) � g(x), x → a.



ОпределениеПусть f (x) 6= 0 и g(x) 6= 0 ∀x ∈

◦U (a). Тогда

функции f (x) и g(x) называютсяэквивалентными при x → a, если

limx→a

f (x)

g(x)= 1.

Обозначение: f (x) ∼ g(x), x → a.



Свойства эквивалентных функций

1) если f ∼ g , x → a, то g ∼ f , x → a

2) если f ∼ g и g ∼ h, x → a, то f ∼ h, x → a



Свойства эквивалентных функций1) если f ∼ g , x → a, то g ∼ f , x → a

2) если f ∼ g и g ∼ h, x → a, то f ∼ h, x → a



ОпределениеПусть f (x) 6= 0 ∀x ∈

◦U (a). Тогда функция

g(x) называется бесконечно малой посравнению с функцией f (x) при x → a, если

limx→a

g(x)

f (x)= 0.

Обозначение: g(x) = ◦(f (x)), x → a.Произношение: g - это “о”-малое от f приx → a.






limx→a

g(x)

f (x)= 0.

Обозначение: g(x) = ◦(f (x)), x → a.

Произношение: g - это “о”-малое от f приx → a.






limx→a

g(x)

f (x)= 0.

Обозначение: g(x) = ◦(f (x)), x → a.Произношение: g - это “о”-малое от f приx → a.



Если f (x) является бесконечно малойфункцией при x → a, то говорят, что g(x)

является бесконечно малой более высокогопорядка, чем f (x).



Пример:



Здесь обе функции f и g стремятся к нулюпри x → +∞, только функция g убываетбыстрее, чем функция f .



Свойства “о”-малое

1) ◦(f ) + ◦(f ) = ◦(f )2) ◦(cf ) = ◦(f ), c 6= 0

3) c · ◦(f ) = ◦(f ), c 6= 0

4) ◦(◦(f )) = ◦(f )5) ◦(f + ◦(f )) = ◦(f )6) ◦(f n) · ◦(f m) = ◦(f n+m)

7) (◦(f ))n = ◦(f n)



Свойства “о”-малое1) ◦(f ) + ◦(f ) = ◦(f )2) ◦(cf ) = ◦(f ), c 6= 0

3) c · ◦(f ) = ◦(f ), c 6= 0

4) ◦(◦(f )) = ◦(f )5) ◦(f + ◦(f )) = ◦(f )6) ◦(f n) · ◦(f m) = ◦(f n+m)

7) (◦(f ))n = ◦(f n)



Теорема (о связи эквивалентности и“о”-малое)*

Для того, чтобы функции f (x) и g(x) былиэквивалентны при x → a необходимо идостаточно, чтобы при x → a выполнялосьусловие

f (x) = g(x) + ◦(g(x)).



Теорема (о связи эквивалентности и“о”-малое)*Для того, чтобы функции f (x) и g(x) былиэквивалентны при x → a необходимо идостаточно, чтобы при x → a выполнялосьусловие

f (x) = g(x) + ◦(g(x)).



Доказательство

1) необходимостьДано: f (x) ∼ g(x), x → a.Доказать: f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



Доказательство1) необходимость

Дано: f (x) ∼ g(x), x → a.Доказать: f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



Доказательство1) необходимостьДано: f (x) ∼ g(x), x → a.Доказать: f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



Введем функцию ϕ(x) =f (x)

g(x).

Так как f (x) ∼ g(x), x → a, то

limx→a

ϕ(x) = limx→a

f (x)

g(x)= 1.

f (x)−g(x) = ϕ(x)g(x)−g(x) = (ϕ(x)−1)g(x).




g(x).


limx→a

ϕ(x) =

limx→a

f (x)

g(x)= 1.

f (x)−g(x) = ϕ(x)g(x)−g(x) = (ϕ(x)−1)g(x).




g(x).


limx→a

ϕ(x) = limx→a

f (x)

g(x)=

1.

f (x)−g(x) = ϕ(x)g(x)−g(x) = (ϕ(x)−1)g(x).




g(x).


limx→a

ϕ(x) = limx→a

f (x)

g(x)= 1.

f (x)−g(x) = ϕ(x)g(x)−g(x) = (ϕ(x)−1)g(x).




g(x).


limx→a

ϕ(x) = limx→a

f (x)

g(x)= 1.

f (x)−g(x) =

ϕ(x)g(x)−g(x) = (ϕ(x)−1)g(x).




g(x).


limx→a

ϕ(x) = limx→a

f (x)

g(x)= 1.

f (x)−g(x) = ϕ(x)g(x)−g(x) =

(ϕ(x)−1)g(x).




g(x).


limx→a

ϕ(x) = limx→a

f (x)

g(x)= 1.

f (x)−g(x) = ϕ(x)g(x)−g(x) = (ϕ(x)−1)g(x).



limx→a

f (x)− g(x)

g(x)=

limx→a

(ϕ(x)− 1)g(x)

g(x)=

= limx→a

(ϕ(x)− 1) = 1− 1 = 0.

⇒ f (x)− g(x) = ◦(g(x)), x → a.

⇒ f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



limx→a

f (x)− g(x)

g(x)= lim

x→a

(ϕ(x)− 1)g(x)

g(x)=

= limx→a

(ϕ(x)− 1) = 1− 1 = 0.

⇒ f (x)− g(x) = ◦(g(x)), x → a.

⇒ f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



limx→a

f (x)− g(x)

g(x)= lim

x→a

(ϕ(x)− 1)g(x)

g(x)=

= limx→a

(ϕ(x)− 1) =

1− 1 = 0.

⇒ f (x)− g(x) = ◦(g(x)), x → a.

⇒ f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



limx→a

f (x)− g(x)

g(x)= lim

x→a

(ϕ(x)− 1)g(x)

g(x)=

= limx→a

(ϕ(x)− 1) = 1− 1 = 0.

⇒ f (x)− g(x) = ◦(g(x)), x → a.

⇒ f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.



2) достаточность

Дано: f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.Доказать: f (x) ∼ g(x), x → a.



2) достаточностьДано: f (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a.Доказать: f (x) ∼ g(x), x → a.



limx→a

f (x)

g(x)=

limx→a

g(x) + ◦(g(x))g(x)

=

= limx→a

(1 +◦(g(x))g(x)

) = 1 + limx→a

◦(g(x))g(x)

=

= 1 + 0 = 1.

⇒ f (x) ∼ g(x), x → a. �



limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

g(x) + ◦(g(x))g(x)

=

= limx→a

(1 +◦(g(x))g(x)

) = 1 + limx→a

◦(g(x))g(x)

=

= 1 + 0 = 1.

⇒ f (x) ∼ g(x), x → a. �



limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

g(x) + ◦(g(x))g(x)

=

= limx→a

(1 +◦(g(x))g(x)

) =

1 + limx→a

◦(g(x))g(x)

=

= 1 + 0 = 1.

⇒ f (x) ∼ g(x), x → a. �



limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

g(x) + ◦(g(x))g(x)

=

= limx→a

(1 +◦(g(x))g(x)

) = 1 + limx→a

◦(g(x))g(x)

=

= 1 + 0 = 1.

⇒ f (x) ∼ g(x), x → a. �



Теорема (о пределах эквивалентныхфункций)*

Пусть f (x) ∼ f1(x) и g(x) ∼ g1(x) при x → a.Тогда если существует lim

x→af1(x)/g1(x), то

существует и limx→a

f (x)/g(x), причем

limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

f1(x)

g1(x).



Теорема (о пределах эквивалентныхфункций)*Пусть f (x) ∼ f1(x) и g(x) ∼ g1(x) при x → a.Тогда если существует lim

x→af1(x)/g1(x), то

существует и limx→a

f (x)/g(x), причем

limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

f1(x)

g1(x).




limx→a

f

g= lim

x→a

f · f1 · g1f1 · g1 · g

=

= limx→a

f

f1· limx→a

f1g1· limx→a

g1g

= limx→a

f1g1. �




limx→a

f

g=

limx→a

f · f1 · g1f1 · g1 · g

=

= limx→a

f

f1· limx→a

f1g1· limx→a

g1g

= limx→a

f1g1. �




limx→a

f

g= lim

x→a

f · f1 · g1f1 · g1 · g

=

= limx→a

f

f1· limx→a

f1g1· limx→a

g1g

= limx→a

f1g1. �




limx→a

f

g= lim

x→a

f · f1 · g1f1 · g1 · g

=

= limx→a

f

f1· limx→a

f1g1· limx→a

g1g

=

limx→a

f1g1. �




limx→a

f

g= lim

x→a

f · f1 · g1f1 · g1 · g

=

= limx→a

f

f1· limx→a

f1g1· limx→a

g1g

= limx→a

f1g1. �



Для применения этой теоремы необходимознать таблицу эквивалентных функций.



Таблица эквивалентных бесконечно малыхфункций

1) sin x ∼ x , x → 0

2) tg x ∼ x , x → 0

3) arcsin x ∼ x , x → 0

4) arctg x ∼ x , x → 0

5) 1− cos x ∼ x2/2, x → 0



Таблица эквивалентных бесконечно малыхфункций1) sin x ∼ x , x → 0

2) tg x ∼ x , x → 0

3) arcsin x ∼ x , x → 0

4) arctg x ∼ x , x → 0

5) 1− cos x ∼ x2/2, x → 0



Таблица эквивалентных бесконечно малыхфункций6) ln(1 + x) ∼ x , x → 0

7) ex − 1 ∼ x , x → 0,8) ax − 1 ∼ x ln a, x → 0

9) (1 + x)m − 1 ∼ mx , x → 0



Используя теорему о замене переменнойможно показать, что в данной таблицеотношение эквивалентности сохранится, еслипеременную x заменить на какую-либофункцию u.



Примеры:

1) sin u ∼ u, u → 0

2) tg u ∼ u, u → 0

3) eu − 1 ∼ u, u → 0

Здесь u = u(x) - некоторая функция, котораядолжна стремиться к нулю: u → 0.



Примеры:1) sin u ∼ u, u → 0

2) tg u ∼ u, u → 0

3) eu − 1 ∼ u, u → 0

Здесь u = u(x) - некоторая функция, котораядолжна стремиться к нулю: u → 0.



ОпределениеФункция f (x) называется бесконечномалой порядка r относительно функцииg(x), если существует не равный нулюконечный предел

limx→a

f (x)

(g(x))r.



ОпределениеЕсли функция f (x) представима в видеf (x) = g(x) + ◦(g(x)), x → a, то функция g(x)

называется главной частью функции f (x).



Теорема

Если функция f (x) обладает при x → a

главной частью вида A(x − a)k , где A и k -постоянные числа, то среди всех главныхчастей такого вида она определяетсяединственным образом.



ТеоремаЕсли функция f (x) обладает при x → a

главной частью вида A(x − a)k , где A и k -постоянные числа, то среди всех главныхчастей такого вида она определяетсяединственным образом.


Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной …€¦ ·...

Documents