1

ºðºì²ÜÆ ÆÜüàðزîÆβÚÆ äºî²Î²Ü øàȺæ

²Ì²ÜòÚ²È

ºì Üð² ÎÆð²èàôÂÚàôÜܺðÀ

àôëáõÙݳٻÃá¹³Ï³Ý Ó»éݳñÏ

γ½Ù»ó` è.Ô³½³ñÛ³Ý

2015Ã.

2

3

Ածանցյալ

Դիտարկենք խնդիրներ, որոնք հագեցնում են ածանցյալի գաղափարին:

Ակնթարթային արագություն:

Դիցուք, նյութական կետը շարժվումէ OX-առանցքով ձախից աջ, և հայտնի է նրա

շարժման S(t) օրենքը, այսինքն՝ հայտնի է նրա կոորդինատը ժամանակի

ցանկացած t պահին :

Փորձենք պարզել, թե ինչ արագությամբ է շարժվում այդ մարմինը ժամանակի

պահին՝ -ն:

Կետը -ից ժամանակահատվածում անցնում է ճանապարհ:

Այդ ժամանակահատվածում նրա միջին արագությունը կլինի`

միջ

Որքան փոքր լինի ∆t ժամանակահատվածը, այնքան միջին արագությունը մոտ կլինի V(t0)

արագությանը, որն անվանում են t0 պահին ակնթարթային արագություն: Այսպիսով՝

միջ

Կորի շոշափող:

Ենթադրենք XOY կոորդինատային հարթությունում տրված է Γ անընդհատ կորը, որը

y անընդհատ ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Նկ. 1

4

Γ-կորի վրա վերցնենք A կետը և նրանից տարբեր B կետը: AB ուղիղը՝ S, կոչվում է կորի

հատող: Այժմ B կետը Γ կորի վրայով անվերջ մոտեցնենք A կետին: Այդ դեպքում S

հատողը պտտվում է A կետի շուրջը և հնարավոր է, որ այն գրավի որոշակի սահմանային

դիրք՝ T: Այդ T ուղիղը, եթե այն գոյություն ունի, կոչվում է Γ կորի շոշափող A կետում:

Եթե A կետի աբսցիսը x է, իսկ B կետի աբսցիսը` , ապա այդ կետերն ունեն A(x, f(x))

և B( կոորդինատները: OX առանցքի նկատմամբ S հատողի թեքման

անկյան տանգենսը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

Երբ ∆x-ը ձգտում է 0-ի, ∆f(x0)-ը նույնպես ձգտում է 0-ի, քանի որ f(x)-ը անընդհատ

ֆունկցիա է: Այդ դեպքում B կետը Γ կորի վրայով կձգտի A կետին: Եթե պարզվի, որ

ցանկացած ձևով ∆x-ը 0-ի ձգտելիս

հարաբերությունը ձգտում է միևնույն K սահմանին,

ապա β անկյունը կձգտի

-ից տարբեր α անկյան, որը կլինի T շոշափողի OX առանցքի

նկատմամբ թեքման անկյունը: Այսպիսով` շոշափողի անկյունային գործակիցը կարելի է

որոշել հետևյալ բանաձևով՝

Դիտարկված խնդիրները, չնայած նրանց տարբեր բնույթին, հանգեցնում են ինչ որ

ֆունկցիաների նկատմամբ միևնույն մաթեմատիկական գործողություններին:

Երկու դեպքում էլ պետք է հաշվել ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության

սահմանը, երբ արգումենտի աճը ձգտում է 0-ի: Այս գործողությանը մաթեմատիկայում

անվանում են դիֆերենցում կամ ածանցում:

Նկ. 2

5

Սահմանում: f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ (a, b) միջակայքի կետում կոչվում է այդ

կետում f(x) ֆունկցիայի աճի և արգումենտի համապատասխան աճի հարաբերության

սահմանը, երբ արգումենտի աճը կամայական ձևով ձգտում է 0-ի:

Ածանցյալը x0 կետում ընդունված է նշանակել f ′(x0) (կարդացվում է էֆ շտրիխ իքս զրո)

կամ

(կարդացվում է դե էֆ՝ ըստ դե իքսի), կամ

սիմվոլներով:

Այսպիսով` f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը x0 կետում սահմանվում է հետևյալ կերպ`

,իսկ կամայական x կետում`

x

)x(f)xx(flim)x('f

0x

Եթե f(x) ֆունկցիան (a, b) միջակայքի յուրաքանչյուր կետում ունի ածանցյալ, ապա այն

կոչվում է (a, b) միջակայքում ածանցելի կամ դիֆերենցելի:

Վերադառնալով դիտարկված խնդիրներին` կարող ենք ասել, որ

ա) t0 պահին շարժման V(t0) ակընթարթային արագությունը ճանապարհի ածանցյալն է

ըստ ժամանակի, այսինքն՝

բ)y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է նրա գրաֆիկի կետում

տարված շոշափողի և OX առանցքի դրական ուղղության հետ կազմած անկյան

տանգենսին՝

շոշ

հետևաբար կետում կորի շոշափողն ունի հետևյալ հավասարումը՝

Հաշվենք մի քանի ֆունկցիաների ածանցյալն ըստ ածանցյալի սահմանումի.

1. Դիտարկենք f(x)=C ֆունկցիան, որտեղ :

Ըստ սահմանումի գտնում ենք

:

Այսպիսով` հաստատունի ածանցյալը հավասար է 0-ի՝

C ′=0

2. Գտնենք f(x)=kx+b գծային ֆունկցիայի ածանցյալը ցանկացած կետում:

6

Նախ հաշվենք ֆունկցիայի ∆f(x) աճը`

Այնուհետև ըստ սահմանումի`

:

Օրինակ: (5x-4)′=5

Այստեղ k=5 և b=-4 :

Օրինակ: x′=1 (k=1, b=0):

3. Հաշվել f(x)=ax2 ֆունկցիայի ածանցյալը կետում:

Լուծում:

Հաշվենք ֆունկցիայի ∆f(x) աճը.

Ըստ ածանցյալի սահմանման.

:

Մասնավոր դեպքում, երբ a=1, ստանում ենք .

:

Ընդհանրապես ցանկացած իրական n-ի համար ճիշտ է հետևյալ կանոնը.

Կամ, մասնավոր դեպքում

Օրինակներ

1.

2.

3.

4. (√ ) (

)

√

5. (√ ) (

)

√

6. (

√ ) (

)

(

)

7. (

)

7

4. Դիցուք : Գտնենք նրա ածանցյալը կետում:

Ըստ սահմանումի՝

xxx

xx

x

x

xx

x

xxxx

coscos1)2

cos(lim

2

2sin

lim

)2

cos(2

sin2

lim)(sin000

:

Այստեղ օգտվեցինք

նշանավոր սահմանից և cosx ֆունկցիայի

անընդհատությունից:

Այսպիսով՝ :

Նույն կերպով ապացուցվում է, որ

:

5. Հաշվել ֆունկցիայի ածանցյալը կետում, որտեղ , a-ն

իրական թիվ է:

Գտնենք ֆունկցիայի աճը`

Ըստ սահմանումի`

Օգտվեցինք մեզ հայտնի 0h

lim

սահմանից :

Մասնավոր դեպքում, երբ a=e, ստանում ենք ՝

:

Կարելի է ցույց տալ, որ

8

Օրինակներ

1.

2.

3.

4.

6. Հաշվենք նաև f(x)=lnx ֆունկցիայի ածանցյալը կետում:

Լուծում:

Այսպիսով՝

:

Հեշտությամբ ստանում ենք

Թեորեմ:

Եթե f(x) ֆունկցիան ածանցելի է x կետում, ապա այն անընդհատ է այդ կետում:

Իսկապես, եթե գոյություն ունի

, ապա

, որտեղ , երբ : Այստեղից

ստանում ենք

Թեորեմն ապացուցված է :

Այսպիսով` ածանցյալի գոյության համար f(x) ֆունկցիայի անընդհատությունն

անհրաժեշտ պայման է, սակայն կարող է բավարար չլինել: Օրինակ, f(x)=|x| ֆունկցիան

x=0 կետում անընդհատ է, սակայն ածանցյալ չունի:

Իրոք՝

| | | |

| |

{

երբ

երբ :

9

Ուստի 0

limx

սահմանը գոյություն չունի, հետևաբար f(x)=|x| ֆունկցիայի ածանցյալը x=0

կետում գոյություն չունի:

Երկրաչափորեն սա նշանակում է, որ (0, 0) կետում y=|x| ֆունկցիան շոշափող չունի:

նկ. 3

Կան անընդհատ ֆունկցիաների օրինակներ, որոնք ոչ մի կետում ածանցյալ չունեն:

Վարժություններ

Օգտվելով ածանցյալի սահմանումից հաշվել հետևյալ ֆունկցիաների ածանցյալները:

Հաշվել ածանցյալները:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. √

17. √

18.

√

19.

√

20.

21.

√

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. √

x

y

0

y=|x|

10

Դիֆերենցման կանոնները

Թեորեմ: Եթե u(x) և v(x), , ֆունկցիաներն ունեն ածանցյալ (a, b) միջակայքի

բոլոր կետերում, ապա

1. ( ) կամ

2. ( ) կամ

3. ( ) կամ

Հետևանք`

4. եթե , ապա

(

)

կամ (

)

Ապացուցենք այս բանաձևերից առաջինը և 3)-ի հետևանքը:

Դիտարկենք f(x)=u(x)+v(x) ֆունկցիան: Ըստ ածանցյալի սահմանումի

Այժմ ապացուցենք հետևանքը.

( )

Բերենք ածացյալի հաշվման օրինակներ:

1.

2. (

√ √

)

(

)

√

√ :

3.

4.

:

5.

6. =20x4e3x+12x5e3x:

11

7.

:

8.

Եթե նշանակենք u=5sin4x և v=4x3, ապա

Ուստի

9. y=tgx

(

)

:

10. (

)

:

11.

Եթե և v=cost, ապա

:

:

12. Հաշվել

ֆունկցիայի ածանցյալը (0, 0) կետում:

(

)

(

)

:

12

Բարդ ֆունկցիա և նրա ածանցյալը

y=f(u(x)) տեսքի ֆունկցիան կոչվում է բարդ ֆունկցիա, կամ ֆունկցիայից ֆունկցիա, կամ

f և u ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա:

Oրինակ 1. ֆունկցիան , եթե նշանակենք u=2x+1, y=u5, բարդ ֆունկցիա է:

Օրինակ 2. ֆունկցիան բաղկացած է u=4x2-3 և y=cosu ֆունկցիաներից:

Թեորեմ: Եթե u=u(x) ֆունկցիան ածանցելի է որևէ x կետում, իսկ y=f(u) ֆունկցիան

որոշված է u ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում և ածանցելի է u=u(x) կետում, ապա

y=f(u(x)) բարդ ֆունկցիան տրված x կետում ունի ածանցյալ, որը որոշվում է՝

կամ

բանաձևով:

Օրինակ 1. Եթե y=(4x-3)5, ապա նշանակելով u=4x-3` կստանանք y=u5 :

Քանի որ

և

ուստի փոխարինելով u-ն 4x-3-ով` կստանանք

:

Օրինակ 2. Ածանցել y=4sin(2x3-5) ֆունկցիան:

Եթե u=2x3-5, ապա y=4sinu

Քանի որ

և

, ուստի

:

Օրինակ 3. Դիֆերենցել y=7cos(x2-3x) ֆունկցիան :

Ենթադրենք u=x2-3x և y=7cosu: Այդ դեպքում

և

:

Oգտագործելով բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնը` ստանում ենք՝

:

Օրինակ 4. √ : Գտնել ածանցյալը:

Նշանակենք u=x3+4x-3, √

:

Այս դեպքում

√ , իսկ

, ուստի

√

√ :

Օրինակ 5. Գտնել y=tg54x ֆունկցիայի ածանցյալը:

Եթե u=tg4x, ապա y=u5 :

Օրինակ 6. y=sin2x :

y=u2, որտեղ u=sinx, ուստի :

13

Օրինակ 7. Հաշվել ֆունկցիայի ածանցյալը:

y=4eu, որտեղ u=3x2, ուստի

:

Օրինակ 8.

:

Եթե , ապա

Օրինակ 9. y=ln(x2-5x+10) , y′=?

Ենթադրենք u=x2-5x+10, այդ դեպքում y=lnu:

Վարժություններ

Հաշվել տրված ֆունկցիաների ածանցյալները:

1. 2.

3. √

4. √

5. √

6. √ √

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

18. √

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

, y′(0)=?

29.

, y′(0)=?

30.

, y′(1)=?

31.

14

Հաշվել տրված բարդ ֆունկցիաների ածանցյալները:

1. 2.

3. √

4. √

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. y=2tg3x

15.

16.

17.

18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

28.

29. √ √ 30. 31.

32.

33.

34.

Հակադարձ ֆունկցիա

Դիցուք y=f(x) ֆունկցիան որոշված է [a, b] հատվածում, անընդհատ է և մոնոտոն աճում,

կամ նվազում է: Եթե նշանակենք f(a)=c, f(b)=d, ապա y=f(x) ֆունկցիան [a, b] հատվածը

փոխմիարժեք կարտապատկերի [c, d] հատվածի վրա: Սա նշանակում է, որ [c, d]

հատվածի յուրաքանչյուր 0y արժեքի համար [a, b] հատվածում կգտնվի միակ x0կետ

այնպես, որ 00 y)x(f :

նկ. 4

15

Եթե y-ը դիտարկենք որպես անկախ փոփոխական, որը փոխվում է [c, d]-ում, իսկ x-ը՝

կախյալ փոփոխական, որի արժեքների տիրույթը [a, b]-ն է, ապա կստանանք մի

ֆունկցիա, որը կոչվում է y=f(x)-ի համար հակադարձ ֆունկցիա: Պարզ է, որ -ի

համար y=f(x)-ը կլինի հակադարձ ֆունկցիա:

Այդ ֆունկցիաները կոչվում են փոխհակադարձ ֆունկցիաներ: Այդ ֆունկցիաների

գրաֆիկները նույնն են: Սակայն, եթե հակադարձ ֆունկցիայի արգումենտը նորից

ընտրենք x-ը, իսկ ֆունկցիան y-ը, ապա նրանց գրաֆիկները կլինեն y=x ուղղի

նկատմամբ համաչափ:

Օրինակ 1. y=ex ֆունկցիան որոշված է միջակայքում, արժեքներ է ընդունում

միջակայքից և մոնոտոն աճող է:

Նրա հակադարձը գտնելու համար լուծում ենք y=ex հավասարումը x-ի նկատմամբ

x=lny, որտեղ 0<y< :

Այնուհետև, փոխելով x և y-ի տեղերը՝ կստանանք y=lnx, 0<x< , ֆունկցիան, որը y=ex-ի

հակադարձն է:

Օրինակ 2. y=x2 ֆունկցիան նվազում է (- ] միջակայքումև աճում` [0, ) միջակայքում,

հետևաբար այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրում ունի հակադարձ ֆունկցիա:

Եթե , ապա √ : Փոխենք x և y փոփոխականների տեղերը՝

√ , : Եթե , ապա հակադարձ ֆունկցիան կլինի √

նկ. 5

16

Պետք է նշել, որ y=x2 ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա հակադարձ

չունի:

Օրինակ 3. y=sinx ֆունկցիան [

] միջակայքում մոնոտոն աճող է, ուստի ունի

հակադարձ` x=arcsiny, որտեղ -1≤y≤1: Փոխելով x և y փոփոխականների տեղերը

ստանում ենք y=arcsinx, ֆունցիան (նկ. 8):

Օրինակ 4. y=cosx ֆունկցիան [0, π] միջակայքում մոնոտոն նվազող է, հետևաբար ունի

հակադարձ, որը նշանակվում է y=arccosx, x[-1, 1](նկ. 9):

Նկ. 6 Նկ. 7

նկ. 8 նկ. 9

17

Օրինակ 5. y=tgx ֆունկցիան x

2,

2

միջակայքում մոնոտոն աճող է: Նրա

հակադարձ ֆունկցիան այդ միջակայքում նշանակվում է y=arctgx, որտեղ x ),( : Այդ

ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը

2,

2

միջակայքն է (նկ. 10)

օրինակ 6. y=ctgx ֆունկցիան x ),0( միջակայքում մոնոտոն նվազող է, ուստի այդ

միջակայքում ունի նույնպես մոնոտոն նվազող հակադարձ, որը նշանակվում է y=arcctgx,

),0()y();,(x (նկ. 11)

Դիտողություն: Այս օրինակները ցույց են տալիս , որ մոնոտոն և անընդհատ ֆունկցիայի

հակադարձը նույնպես մոնոտոն և անընդհատ է:

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը

Թեորեմ: Եթե y=f(x) ֆունկցիայի համար x = )(y ֆունկցիան հակադարձ է, որը y-կետում

ունի 0)( y ածանցյալ, ապա համապատասխան x-կետում y=f(x)ֆունկցիան ունի )(xf

ածանցյալ, որը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով.

նկ. 8 նկ. 8

նկ. 10 նկ. 11

18

)(xf =)(

1

y կամ xy =

yx

1:

Ապացույց: Եթե վերցնենք 0y աճը, ապա :)()( yyyx

Քանի որ մոնոտոն ֆունկցիայի հակադարձը նույնպես մոնոտոն ֆունկցիա է, ուստի

)()( yyy , այսինքն :0x Բայց անընդհատ ֆունկցիայի համար 0y

պայմանիցհետևումէ, որ 0x : Ուստիy

y

xx x

y

x

y

xx

yxf

1

lim

11limlim)(

0

00= :

)y(

1

Թեորեմն ապացուցված է:

Հաշվենք հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունցիաների ածանցյալները: Դիտարկենք

y=arcsinx ֆունկցիան x(-1, 1) միջակայքում: Տրված ֆունկցիան x=siny, y

2,

2

ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա է, ուստի x)(arcsinx =yy y cos

1

)(sin

1

:

Բայց |cosy|= 22 1sin1 xy :

Քանի որ - 2

arcsinx <

2

, իսկ cosy>0 այդ միջակայքում, ուստի |cosy|=cosy= 21 x :

Այսպիսով` ստանում ենք

)(arcsin x =21

1

x, -1<x<1:

Նույն ձևով ստանում ենք`

:11,1

1

cos1

1

sin

1

)(cos

1)(arccos

22

x

xyyyx

y

Այս բանաձևը կարելի է ստանալ նաև arcsinx+arccosx= 11,2

x

, հայտնի նույնությունից:

Իրոք ,1

1

1

10)(arcsin

2)arcsin

2()(arccos

22 xxxxx

երբ 11 x :

y=arctgx ֆունկցիայի համար x=tgy-ը հակադարձ է, ուստի

19

22

2

21

1

1

1cos

cos1

1

)(

11

xytgy

ytgyx

yy

x

:

Այսպիսով՝

,,1

1)(arctgx

2x

x:

Նույն ձևով ստանում ենք.

x,x1

1)(arcctgx

2 , :

Հաշվենք մի քանի ֆունկցիաների ածանցյալները:

օրինակ 1. y= arcsin3x, xy ?

Եթե նշանակենք u=3x, ապա 3)x3(u x , և օգտվելով բանաձևից կստանանք`

22 x91

33

)x3(1

1x3arcsin

;

օրինակ 2. y=arccos )1x( 2 , xy ?

Նշ. u= 1x 2 , կստանանք ,x2u x ուստի

24222x

2xx

x2x

x2

xx2

x2

)1x(1

x2u

u1

1)u(arccosy

;

օրինակ 3. y= arctg xy;x

1?

Տեղադրելով u=x

1, ստանում ենք y=arctgu բարդ ֆունկցիան: Քանի որ

2uu1

1y

և

,x

1

x

1u

2x

Ուստի ըստ (12) բանաձևի ստանում ենք՝1x

1

x

1

x

11

1u

u1

1

x

1arctg

2222

օրինակ 4. y= arcctg ;1x

1x

xy ?

Եթեu= ,1x

1x

ապա y=arcctgu: Քանի որ

2uu1

1)arcctgu(

, իսկ

20

222x)x1(

2

)x1(

1)x1()x1(1

)x1(

)x1)(x1()x1()x1(

x1

x1u

, ուստի

22222x2xuxx1

1

)x1()x1(

2

)x1(

2

x1

x11

1u

u1

1uyy

Ածանցման հիմնական բանաձևերի աղյուսակ

Նախորդ շարադրանքում ստացված ածանցման բոլոր կանոնները և բանաձևերը բերենք

մի աղյուսակի մեջ:

u, v, f, g տառերով կնշանակենք x-անկախ փոփոխականից ածանցելի ֆունկցիաները, իսկ

c, α, a տառերով՝ հաստատունները:

Ածանցման հիմնական կանոններն են.

1. 0c

2. vuvu

3. vuvuvu

4. uc)uc(

5. 2v

vuvu

v

u

6. uc)uc(

7. Եթե y=f(u), իսկ u= )x( , ապա )x()u(fy xux ( )uyy xux

:

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցման բանաձևերն են՝

1. 1x)x( ; x

1 uu))x(u(

Մասնավոր դեպքում՝

,x2

1x

xx u

u2

1u

21

,x

1

x

12

x2

x

uu

1

u

1

2. ,xcosxsin

xx uucosusin

3. ,xsinxcos

xx uusinucos

4. ,xcos

1tgx

2

x2x

uucos

1tgu

5. ,xsin

1ctgx

2

x2

x uusin

1ctgu

6. aaa xx ln

, 1a,0a;ualna)a( x

ux

u

7. ,eе xx

x

u

x

u uee

8. ;x

1xln

xx uu

u1

||ln

9. ;x

log

alnx

1xlog

e

aa

1a,0a;log

u

u

alnu

uulog e

axx

xa

10. ;x1

1xsinаrc

2

x2

x uu1

1uarcsin

11. ;x1

1 (arcosx)

2

x

2x u

u1

1)u(arccos

12. ;x1

1)arctgx(

2

x2x u

u1

1)arctgu(

13. ;x1

1)arcctgx(

2

x2x u

u1

1)arcctgu(

Լոգարիթմական դիֆերենցում

Եթե ֆունկցիան կազմված է մի քանի արտահայտությունների արտադրյալից, քանորդից

կամ աստիճաններից, ապա ավելի հեշտ է նախ այդ ֆունկցիան լոգարիթմել, ապա նոր

միայն ածանցել:

Ենթանդրենք տրված է y=f(x) ֆունկցիան, որն ընդունում է միայն դրական արժեքներ`

f(x) :0 Լոգարիթմենք`lny=lnf(x), և երկու կողմն էլ դիֆերենցենք, հաշվի առնելով, որ y-ը

ֆունկցիա է x –ից.

22

))x(f(lny

y

Այստեղից ստանում ենք բանաձև`

x)y(lnyy

օրինակ 1. y=)5x)(1x(

)2x)(1x(

: Հաշվել xy -ը:

Նախ հաշվենք ln|y|-ը`

ln|y|=ln|x-1|+ln|x+2|-ln|x+1|-ln|x+5|

Այժմ ածանցենք ըստ x-ի`

5x

1

1x

1

2x

1

1x

1)y(ln x

5x

1

1x

1

2x

1

1x

1

)5x)(1x(

)2x)(1x()y(lnyy xx :

օրինակ 2. y=

x3

x4

y,5x2x

x3sine? , x :

2

5

ա) Հաշվենք ln|y|-ը`

ln|y|=ln 2

13x4 5x2lnxlnx3sinlne

ln|y|= 4x+ln|sin3x|-3ln|x|- )5x2ln(2

1

բ) ածանցենք ըստ x-ի`

5x2

)5x2(

2

1

x

3

x3sin

)x3(sin4

y

y

5x2

1

x

3

x3sin

x3cos34

y

y

գ) Գտնենք xy ը` տեղադրելով y-ի արժեքը`

:5x2

1

x

3x3ctg34

5x2x

x3siney

3

x4

x

23

օրինակ 3. y= x

x2 y;)x1( ?

ա) lny=ln x2 )x1( =xln )x1( 2

բ) y

y= ))x1(ln(x)x1ln(x 22

y

y=ln( 2x1 )+

2

2

x1

x2

գ)

2

22x2

x1

x2)x1ln()x1(y

Վարժություններ: Հաշվել ածանցյալը, նախօրոք լոգարիթմելով:

1. f(x)=4

23

)3x)(4x(

)1x3()2x(

2. f(x)=3)2x()3x(

1x)1x3(

3. y=3

4x3

5x4

)3x2(e

4. y= xcosxsinx3 32

5. y= )1(y;x x ?

6. y= )0(y;)2x( 1x ?

7. y= 0x;x5 2x4

8. y= u(x) )x(v , որտեղ u=sinx, v=3x+1

x ,0 :

Անբացահայտ ֆունկցիայի դիֆերենցումը

Եթե ֆունկցիան տրված է y=f(x) տեսքով, ապա ասում ենք այն տրված է բացահայտ

տեսքով:

Օրինակ: y= x3sinxy,2x3x 2 կամ y=3x

1x2

և այլն:

Շատ դեպքերում x և y փոփոխականները կապված են լինում հավասարումով, որից

հնարավոր չէ գտնել y-ը x-ից կախված ինչ որ բանաձևով:

Օրինակ: ,yx2xysinx2y 23 կամ 0xyx3y 325 և այլն:

24

Սիմվոլիկ կարելի է գրել, որ x և y-ը բավարում են F(x, y)=0 հավասարմանը: Եթե y=f(x)

ֆունկցիան, որը որոշված է (a, b) միջակայքում, այդ հավասարման մեջ y-ի փոխարեն

տեղադրելիս այն դարձնում է x-ի նկատմամբ նույնություն, ապա ասում են, որ y=f(x)

ֆունկցիան այդ հավասարումով որոշվող անբացահայտ ֆունկցիա է:

Օրինակ: 0Ryx 222 հավասարումը անբացահայտ կերպով որոշում է y= 22 xR և

y= 22 xR , R;Rx ֆունկցիաները:

Իրոք`եթե այդ արժեքները տեղադրենք հավասարման մեջ, ապա կստանանք

0RxRxR)xR(x 222222222 նույնությունը:

Օրինակ: 014

y

9

x 22

հավասարումը [-3, 3] հատվածում անբացահայտ կերպով որոշում

է հետևյալ տարրական ֆունկցիաները՝ y= 2x93

2 ևy=- 2x9

3

2 :

Իրոք՝ :01x99

4

4

1

9

x 22

Անբացահայտ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար ածանցում ենք տվյալ

հավասարումն ըստ x-ի, հաշվի առնելով, որ y-ը ֆունկցիա է x-ից:

Օրինակ: Տրված է (0, 0) կենտրոնով և R=5 շառավղով շրջանագծի հավասարումը՝

25yx 22 : Գտնել xy -ի արժեքը, երբ x=4:

Լուծում: Դիֆերենցենք հավասարման երկու կողմերն ըստ x-ի

նկ. 12 նկ. 13

25

52yxx

222x+2y 0yx

Այստեղից ստանում ենք՝ xy =- y

x

Որպեսզի ստանանք ածանցյալի արժեքը x=4 աբսցիսով կետերում, պետք է ունենանք նաև

y-ի արժեքը: Շրջանագծի հավասարման մեջ տեղադրելով x=4 գտնում ենք` ,25y4 22

որտեղից՝ :3y

Այսպիսով` ստանում ենք՝ xy = 3

4

3

4

Նույն արդյունքը կստանայինք, եթե հավասարումից y-ը գտնեինք բացահայտ տեսքով՝

222

22222

x25

x

x252

x2

x252

x25x25yx25yx25y

:

Երբ :3

4

425

4y4x

2

Օրինակ: :02x3yy2 3 Գտնել xy -ը:

Դիֆերենցենք հավասարման երկու կողմերը ըստ x-ի

22x

2

x

x

2

xx

3

y61

3

1y6

3y

31y6y

003yyy6

02x3yy2

Օրինակ: ;1b

y

a

x2

2

2

2

xy =?

x

y

(4,3)

(4,-3)

0

նկ. 14

26

y

x

a

by

0b

yy2

a

x2

1b

y

a

x

2

2

x

22

2

2

2

2

Վարժություններ

Գտնել անբացահայտ ֆունկցիայի ածանցյալը

ysinx2x5.4

0x7xy2y5.3

0x5x2y2y3.2

01y6x5yx.1

42

22

334

22

0y4sinx3yx.8

5x;19

y

16

x.7

5x;9yx.6

0xycosyxy2.5

2

22

22

3

Բարձր կարգի ածանցյալներ

Դիցուք y=f(x) ֆունկցիան ածանցելի է (a, b) միջակայքում: Ֆունկցիայի )x(fy

ածանցյալը, ընդհանրապես ասած, նույնպես ֆունկցիա է x-ից և, եթե այդ ֆունկցիան

նույնպես ունի ածանցյալ, ապա այն կոչվում է f(x) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալ

կամ երկրորդ ածանցյալ և նշանակվում է )x(f,y կամ :dx

yd2

2

Այսպիսով՝

)x(f)x(f;yy կամ

dx

dy

dx

d

dx

yd2

2

:

Օրինակ, եթե , 6x5xy 24 , ապա :10x12y,x10x4y 23

Երկրորդ կարգի ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է երրորդ կարգի ածանցյալ կամ երրորդ

ածանցյալ: Ընդհանրապես, f(x) –ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալ կոչվում է նրա (n-1)-րդ

կարգի ածանցյալի առաջին կարգի ածանցյալը և նշանակվում է y(n) կամ f(n)(x) սիմվոլով`

:)x(fx;yy 1nn1nn

f

Նկատենք, որ ածանցյալի կարգը նշված է փակագծերի

մեջ, այն աստիճանի ցուցիչի հետ չշփոթելու համար: Ածանցյալի կարգը հռոմեական

թվանշաններով նշելիս փակագծերը չեն դրվում՝ vvv y,y,y և այլն:

27

Օրինակ 1: y= 4x : Գտնել n-րդ կարգի ածանցյալը:

Լուծում: y=4 :0....yy,24y,x24y,x12y,x 6vIV23

Օրինակ 2: y= x2e , գտնել y n -ը:

Լուծում: :e2y,e2y,e2y x23x22x2

Հեշտ է հասկանալ, որ y n:e2 x2n

Օրինակ 3: y=sin3x : Գտնել y n -ը:

Լուծում:

23x3sin3

22x3

22x3cos3

22x3sin3y

22x3sin3

2x3cos9

2x3sin3y

2x3sin3x3cos3y

322

2

Նկատում ենք, որ y n = :2

nx3sin3n

Օրինակ 4: y=x

1: Գտնելy n -ը:

Լուծում: Նախ ֆունկցիան ներկայացնենք y= 1x տեսքով:

1n

n

1nnn

4342

323

21

x

!n1x!n1y

..........................................

x!31x3!21y

x!21x21y

x1xy

Օրինակ5: 2x3x

1y

2 : Գտնելy n -ը:

Լուծում: Նախ ձևափոխենք տրված ֆունկցիան՝

2x3x

1y

2 =

:1x2x

1x

1

2x

1

1x2x

1 11

28

Այժմ օգտվելով օրինակ 4-ում ստացված արդյունքից, կարող ենք գրել՝

n1ynn !

:

1x

1

2x

11n1n

Ակնհայտ է, որ բարձր կարգի ածանցյալի համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

nnnvuvu և :uccu nn

Իսկ y=u v արտադրյալի համար տեղի ունի Լայբնիցի բանաձևը՝

:vu...vu21

1nnvnuvuvu n2n1nnn

Աջ կողմում Նյուտոնի երկանդամի բանաձևն է, որում u և v ֆունկցիաների աստիճանների

ցուցիչները փոխված են ածանցյալների կարգի ցուցիչներով ( vv,uu 00 ):

Օրինակ: y= :ex x32 Գտնել ny -ը:

Լուծում: 2x3 xv;eu

:)1n(n6nx6x93e

31nnx3n2x3e2e321

1nnx2e3ne3y

:3n,0ve3u

....................................

0ve27u

2ve9u

x2ve3u

22nx3

2n1n2nx3x32nx31nx3nn

nx3nn

x3

x3

x3

Գտնել n-րդ կարգի ածանցյալները.

x3cosxy.14x

1y.13

xcosxy.12x2sinxy.11

xsinxy.10xlnxy.9

xlny.8xy.7

2y.6x2cosy.5

xcosy.4xsiny.3

ey.2exy.1

2

2

2

x3

22

x3x2

29

3

2

x1y.183x2x

1y.17

4x

1y.16

1x

1y.15

2

22

0y;2xx

1y.19

2? 0y:xsinxy.20 42 =?

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը

Եթե y=f(x), )b,a(x ֆունկցիան դիֆերենցելի է (a, b) միջակայքում, ապա նրա ածանցյալը

որևէ )b,a(x0 կետում որոշվում է x

ylimxf

0x0

սահմանով:

Եթե 0xf -ն վերջավորէ, ապա xxfx

y0

, որտեղ 0x , երբ 0x :

Այստեղից ստանում ենք ֆունկցիայի աճի ներկայացումը հետևյալ տեսքով՝

:)x(xxxfy 0 (1)

Աջ մասի գումարելիներից առաջինը փոխվում է արգումենտի x -աճին համեմատական

կերպով, իսկ երկրորդ գումարելին ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր է x -ի նկատմամբ,

քանի որ

:0xlim

x

xxlim

0x0x

Հետևաբար առաջին գումարելին ֆունկցիայի աճի <<գլխավոր>> մասն է: Այն անվանում

են f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակում dy-ով կամ df(x)-ով:

Այսպիսով`եթե f(x) ֆունկցիան x կետում ունի xf ածանցյալ, ապա f ’(x) ածանցյալի և

արգումենտի x - աճի արտադրյալը կոչվում է ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակվում է

dy սիմվոլով՝dy= xf x :

Եթե y=x, ապա dy=dx= x x = x կամ dx= x , այսինքն` x անկախ փոփոխականի

դիֆերենցիալը համընկնում է իր x աճի հետ: Այսպիսով`դիֆերենցիալի հաշվման

բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով.

dy= xf dx:

30

Այստեղից՝ xf =dx

dy, այսինքն ֆունկցիայի ածանցյալը նրա դիֆերենցիալի և անկախ

փոփոխականի դիֆերենցիալի հարաբերությունն է:

Օրինակ: Գտնել f(x)= 2x ֆունկցիայի դիֆերենցիալը:

Քանի որ x2xxf 2

, ուստի d(x 2 )=2xdx:

Օրինակ: y=sin3x ; dy=?

dy= :xdx3cos3dxx3sin

dy=3cos3xdx:

Օրինակ: Գտնել y=f(u) բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը, որտեղ u=u(x):

,)( duufdxufdxufdy xux քանի որ dudxu : Ստացվեց, որ ֆունկցիայի

դիֆերենցիալի տեսքը անփոփոխ է, կախված չէ այն բանից արգումենտը փոփոխական է,

թե± ֆունկցիա է այլ փոփոխականից: Այս հատկությունը կոչվում է ֆունկցիայի

դիֆերենցիալի տեսքի ինվարիանտություն:

Վարժություններ: Գտնել y=f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը

1. 5x2xy 23

2. x2cosxy

3. n xy

4. 1xlny 2

5. tgxxy 3

6. 40xcosxxsiny

7. 2x1lnxarctgxy

8. xsiny 2

9. xarcsiny

10. x23exy

Դիֆերենցիալն ունի պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն: Դիտարկենք y=f(x)

ֆունկցիայի գրաֆիկը և նրա A կետում տարված շոշափողը:

Քանի որ tgxf , որտեղ α-նշոշափողիև OX-

առանցքիկազմածանկյուննէ, ուստի ADC -

իցստանումենքDC=AC dyx)x(fxtgtg :

y

x

A

D

B

0

x x

C

x+ x

31

Այսպիսով`ֆունկցիայի դիֆերենցիալը x կետում հավասար է կորի այդ աբսցիսով կետում

տարված շոշափողի օրդինատի աճին (CD), որը համապատասխանում է արգումենտի x

աճին:

Դիֆերենցիալի համար տեղի ունեն հետևյալ կանոնները՝

2v

udvvdu

v

ud.5

cducud.4

vduudvvud.3

dvduvud.2

0dc.1

Դիֆերենցիալը կարելի է կիրառել մոտավոր հաշվումներ կատարելիս: Եթե

xxdyy հավասարության մեջ անտեսենք xx գումարելին, որը x -ի

նկատմամբ բարձր կարգի անվերջ փոքր է, ապա փոքր x աճերի դեպքում կստանանք

բավականաչափ լավ մոտավորություն՝

dyy կամ :dxxfy

Բայց 00xxxfxxfy

0

, ուստի 00 xfxxf dxxf 0

, որտեղից ստանում ենք

մոտավոր հաշվման բանաձև՝ 00 xfxxf xxf 0

Օրինակ: Հաշվել 605.2 -ի մոտավոր արժեքը:

Դիտարկենք f(x)= 6x ֆունկցիան և ընդունենք 2x 0 , իսկ :05,0x Քանի որ 5x6xf և

192326262fxf 5

0 , ուստի ըստ բանաձևի ստանում ենք՝

6,736,96405,0192205,02 66

Ընդհանրապես, f(x)= nx ֆունկցիայի մոտավոր արժեքները հաշվելու համար ստանում ենք

հետևյալ բանաձևը՝

xxnxx 1n

0

n

0

n , որտեղ :xxx 0

Օրինակ : Հաշվելf(x)= 4x ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը x=2, 99 կետում:

Լուծում: Եթե ընդունենք 0x =3, ապա 01,0399.2x և

նկ. 15

32

92,7908,18101,0343)99,2( 344

Օրինակ: Հաշվել 3 25 -ի մոտավոր արժեքը:

Դիտարկենք f(x)= 3 x ֆունցիան և ընդունենք 27x 0 : Այդ դեպքում :22725x

3 2

3

x3

1xxf

և 27

1

273

1xf

3 20

Ըստ բանաձևի գտնում ենք՝

93,227

232

27

12725 33

Օրինակ: Հաշվել 5 05.1 արմատի մոտավոր արժեքը:

Դիտարկենք f(x)= 5 x ֆունկցիան և գտնենք նրա ածանցյալը՝ x5

x

x5

1xf

5

5 4

Եթե 05,1x և ,05,0x,1x 00 ապա ըստ բանաձևի ստանում ենք՝

:01,105,015

1105,01

555

Ընդհանրապես, n x -ի մոտավոր արժեքները գտնելու համար ստանում ենք հետևյալ

բանաձևը՝

xnx

xxx

0

n0n

0n կամ :

nx

x1xx

0

n0

n

Այս բանաձևը առավել պարզ տեսք է ստանում, երբ 1x 0 և x=1+ x

n

x1x1n

Օրինակ: 99,044,04

1104,0196,0 44

Վարժություններ: Գտնել մոտավոր արժեքները:

33

1125lg.15102lg.1411lg.13

1,1.1201,1.112,1.10

18.9130.826.7

02,4.6975,0.5005,1.4

02.3.395,2.208,1.1

100105

43

4420

535

Շոշափողի և նորմալի հավասարումները

Ինչպես արդեն նշել ենք ածանցյալը սահմանելիս, y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի ( ))x(f,x 00

կետում շոշափողն ունի հետևյալ հավասարումը՝

y-f 000 xx)x(f)x( , կամ :)xx)(x(f)x(fy 000

Այստեղ )x(f 0 -ն շոշափողի անկյունային գործակիցն է՝ kշոշ= :)x(f 0

Օրինակ: Գրել f(x)=x2 ֆունկցիայի գրաֆիկին x0=2 աբսցիսով կետում տարված շոշափողի

հավասարումը:

Լուծում: Քանի որ 422fxf 2

0 և ,4222fxfx2xxf 0

2

ուստի

շոշափողի հավասարումը կլինի՝ y=4+4(x-2) կամ y=4x-4:

Սահմանում: y=f(x) կորի նորմալ, նրա 00 xf,x կետում կոչվում է այդ կետում

շոշափողին տարված ուղղահայաց ուղիղը:

Ուղիղների ուղղահայացության պայմանից` 1

2K

1K , հետևում է, որ նորմալի

անկյունային գործակիցը կարելի է գտնել KÝáñÙ³É= 0x'f

1

K

1

ßáß.

բանաձևով:

Հետևաբար, եթե 0)x('f 0 , ապա y=f(x) կորի (x0, f(x0)) կետում նորմալի հավասարումն

ունի հետևյալ տեսքը` )xx()x('f

1)x(fy 0

0

0

կամ ` )xx()x('f

1)x(fy 0

0

0 : Իսկ եթե

0)x('f 0 , ապա` x=x0:

Օրինակ. Գրել y=x3 կորի M(2, 8) կետում շոշափողի և նորմալի հավասարումները:

Լուծում. Քանի որ y’=3x2, ապա` Kßáß.=y’(2)=3•22=12 ¨ KÝáñÙ.=12

1 :

34

Հետևաբար, շոշափողի հավասարումը կլինի ` y-8=12(x-2), կամ y=12x-16:

Նորմալի հավասարումը կլինի `

)2x(12

18y , կամ 12y+x-98=0

Օրինակ: Գրել 1b

y

a

x2

2

2

2

էլիպսի (x0, y0) կետում տարված շոշափողի հավասարումը:

Լուծում: Նախ նկատենք, որ 1b

y

a

x2

2

0

2

2

0 :

Այնուհետև ածանցենք հավասարման երկու կողմերն ըստ x-ի, նկատի ունենալով, որ y-ը

ֆունկցիա է x-ից`

0'22

22

b

yy

a

x =>

y

x

a

b'y

2

2

Հետևաբար, Kßáß.=0

0

2

2

y

x

a

b, իսկ նրա հավասարումը`

)xx(y

x

a

byy 0

0

0

2

2

0 : Այստեղից ստանում ենք

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

a

x

a

xx

b

y

b

yy , կամ

2

2

0

2

2

0

2

0

2

0

b

y

a

x

b

yy

a

xx => 1

b

yy

a

xx2

0

2

0

Եթե a=b, ապա էլիպսը դառնում է շրջանագիծ, հետևաբար շրջանագծի շոշափողը նրա

(x0, yo) կետում ունի xx0+yyo=a2 հավասարումը:

Նույնձևով 1b

y

a

x2

2

2

2

Հիպերբոլի շոշափողի համար ստացվում է բանաձև` 1b

yy

a

xx2

0

2

0 :

Օրինակ. 1) Գրել x2+y2=169 շրջանագծի (5;12) կետում շոշափողի հավասարումը:

35

Լուծում: Այստեղ x0=5 ¨ y0=12, ուստի `

5x+12y=169

Օրինակ 2: Տրված է 19

y

16

x 22

էլիպսը: Գրել նրա x0=2 աբսցիսով կետերում

շոշափողների հավասարումները:

Լուծում: Նախ գտնենք էլիպսի այն կետերը, որոնց աբսցիսը 2 է:

19

y

16

2 22

=>4

3

9

y2

4

27y2 =>

2

33y

Այդ կետերն են`

M1 (2; )2

33

և M2 (2;2

33 ): Հետևաբար, շոշափողների հավասարումները կլինեն`

,1y92

33

16

x2

կամ 1y

6

3

8

x :

Վարժություններ: Գրել շոշափողի և նորմալի հավասարումները.

1. f(x)=x2-3x+2, x0=1

2. f(x)=ex+2x, x0=0

3. f(x)=xsin2x, x0=

4. f(x)=x2ex+1, x0=-1

5. f(x)=3+lnx, x0=1

6. f(x)= )1x(4

arctgx2

, x=1

7. x2+y2=25, x0=-3 y0=4

8. 19

y

25

x 22

M )5

3,4(

Դիֆերենցիալ հաշվի մի քանի կարևորագույն թեորեմներ.

Սահմանում: f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներքին c կետը կոչվում է մաքսիմումի

կետ, եթե կգտնվի c կետի այնպիսի ( c;c ) շրջակայք, որ այդ շրջակայքի բոլոր cx

կետերում տեղի ունի )c(f)x(f անհավասարությունը:

36

Նույն կերպ սահմանվում է մինիմումի կետըª

Եթե 0 այնպես, որ )c;c(x ¨ cx => )c(f)x(f , ապա c-ն կոչվում է

մինիմումի կետ:

Մինիմումի և մաքսիմումի կետերը կոչվում են էքստրեմումի կետեր, իսկ ֆունկցիայի

արժեքները այդ կետերումª ֆունկցիայի էքստրեմումներ:

Պարզ է, որ f(x) ֆունկցիայի որոշման [a, b] տիրույթի x=a և x=b ծայրակետերը

էքստրեմումի կետեր լինել չեն կարող, քանի որ չունեն լրիվ շրջակայք այդ տիրույթից:

Նկ. (16)-ում x1 ¨ x3 կետերը մաքսիմումի, իսկ x2 և x4 կետերը մինիմումի կետեր են:

Ֆերմայի թեորեմը: Եթե c-ն f(x) ֆունկցիայի էքստրեմումի կետ է և այդ կետում ֆունկցիան

ունի f’(c) ածանցյալը, ապա f’(c)=0:

Ապացույց: Ենթադրենք c-ն մաքսիմումի կետ է: Ըստ ածանցյալի սահմանումիª

x

)c(f)xc(f)c('f lim

0x

Բայց, շատ փոքր x -երի համար )xc(f)c(f => :0)c(f)xc(f

Ուստի, եթե 0x , ապա ,0x

)c(f)xc(f

իսկ եթե 0x , ապա 0

x

)c(f)xc(f

:

Անցնելով սահմանի, երբ 0x ,ստանում ենք 0)0c('f ¨ 0)0c('f :

Բայց, քանի որ c կետում f(x)-ը ունի ածանցյալ, ուստի f’(c)=f’(c+0)=f’(c-0):

Իսկ դա հնարավոր է, եթե f’(c)=0:

Եթե c-ն մինիմումի կետ է, ապա ապացույցը համանման է տրվածին:

նկ. 16

b x30 a x1 x2 x4

x 0 a c1 c2 b x

նկ. 17

37

Այս թեորեմի երկրաչափական մեկնաբանությունը հետևյալն է`

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x=c աբսցիսով էքստրեմումի կետում ունի շոշափող,

ապա այդ շոշափողը զուգահեռ է աբսցիսների առանցքին (k2=tg=0=> )0 :

Նկար 17-ում c1և c2 կետերը մաքսիմումի և մինիմումի կետեր են և կորի

համապատասխան կետերում շոշափողները զուգահեռ են OX առանցքին:

Սահմանում: f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներքին այն կետերը, որտեղ ֆունկցիայի

ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի, կոչվում են առաջին սեռի կրիտիկական կետեր:

Նկ. 16-ում այդպիսին են x1, x2, x3, x4 կետերը: Ցանկացած էքստրեմումի կետ նաև

կրիտիկական կետ է: Սակայն ոչ բոլոր կրիտիկական կետերն են պարտադիր

էքստրեմումի կետ:

Օրինակ: y=x3 ֆունկցիայի համար x=0-ն կրիտիկական կետ է, քանի որ y’=3x2 ¨ y’(0)=0:

Սակայն, երբ x<0 => x3<0 և երբ x>0=>x3>0, այսինքն, չկա x0=0 կետի շրջակայք, որտեղ

x -Ç համար 0)x(y կամ 0)x(y

(նկար 18):

Օրինակ. 3 xy ֆունկցիայի ածանցյալը x0=0 կետում գոյություն չունի `

նկ. 18 նկ. 19

38

3 2

3

2

3

1

x3

1x

3

1)'x('y

x0=0 կետը կրիտիկական կետ է, բայց էքստրեմումի կետ չէ (նկ. 19):

Նկ. 16-ում x3-ը կրիտիկական կետ է, քանի որ այդ կետում y=f(x) ֆունկցիան չունի

վերջավոր ածանցյալ:

Բայց x=x3-ը էքստրեմումի կետ է (մաքսիմում): Այս խնդիրներին մենք դեռ

կանդրադառնանք:

Ռոլլի թեորեմը: Եթե f(x) ֆունկցիան անընդհատ է [a, b] հատվածում, դիֆերենցելի է (a, b)

միջակայքումև f(a)=f(b), ապա գոյություն ունի այնպիսի )b,a(c կետ, որտեղ f’(c)=0:

Ապացույց: Եթե f(x)-ը հաստատուն է [a, b]-ում, ապա f’(c)=0, )b,a(c :

Եթե f(x)-ը հաստատուն չէ, ապա այն, ըստ Վայերշտրասի թեորեմի, ընդունում է իր M

մեծագույն և m փոքրագույն արժեքները [a, b] հատվածում, այսինքն`

]b,a[x1 ¨ ]b,a[x

2 , այնպես, որ M=f(x1) ¨ m=f(x2):

x1 և x2 կետերը չեն կարող միաժամանակ համընկնել a և b կետերի հետ, քանի որ այդ

դեպքում կստացվեր M=m և ֆունկցիան կլիներ հաստատուն: Ենթադրենք x1-ը (a, b)

միջակայքի ներքին կետ է: Քանի որ f(x1)-ը ֆունկցիայի մեծագույն արժեքն է, ուստի

)x(f)xx(f11

, ինչպես ,0x այնպես էլ 0x դեպքում:

Սա նշանակում է, որ x1-Á մաքսիմումի կետ է: Հետևաբար, ըստ Ֆերմայի թեորեմի` f’(x1)=0

(x1-Á Ñ»Ýó c Ï»ïÝ ¿):

Թեորեմը ճիշտ է նաև այն դեպքում, երբ ֆունկցիան որոշված է (a, b)-ում, բայց

axax

lim

f(x)=bxbx

lim

f(x):

Թեորեմն ունի պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն. Եթե յուրաքանչյուր կետում

շոշափող ունեցող կորը a և b աբսցիս ունեցող կետերում ընդունում է հավասար

արժեքներ, ապա այդ կորի վրա կգտնվի գոնե մեկ a<c<b աբսցիս ունեցող կետ, որտեղ

կորի շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին (նկ. 20 և նկ. 21):

39

Օրինակ. 2x4)x(f ֆունկցիան[-2;2] հատվածի ծայրակետերում ընդունում է

f(-2)=f(2)=0 հավասար արժեքներ: Այն դիֆերենցելի է (-2;2) միջակայքում՝

2x4

x)x('f

:

Ինչպես տեսնում ենք՝ f'(0)=0 ևթեորեմի պնդումը ճիշտ է (c=0):

Սակայն, եթե թեորեմի պայմաններից որևէ մեկը տեղի չունի, ապա թեորեմը կարող է

ճիշտ չլինել:

Օրինակ: y=x2ֆունկցիան անընդհատ է և դիֆերենցելի բոլոր x-երի համար :Rx Բայց

[1, 2] հատվածի ծայրակետերում՝ )2(f)1(f և նրա ածանցալը` 2x-ը, այդ միջակայքում

զրո չի դառնում:

Օրինակ. 3 2x1y ֆունկցիան [-1;1] հատվածում անընդհատ է և f(1)=f(1)=0: Բայց նրա

ածանցյալը x=0 կետում վերջավոր չէ: Քանի որ 0x համար x3

2'y , ինչպես տեսնում

ենք ածանցյալը (-1;1) միջակայքում զրո չի դառնում (նկ. 22):

Օրինակ: f(x)=|x-2| ֆունկցիան [0, 4] միջակայքում անընդհատ է, f(0)=f(4)=2, բայց նրա

ածանցյալը )4,0(2x -ում գոյություն չունի (նկ. 23), այդ պատճառով թեորեմի պնդումը

ճիշտ չէ:

c b

y

a x 0

նկ.21

a 0 x c1 c2 c3

f(a)=f(b) y=f(x)

y

նկ.20

40

Վարժություններ: Պարզել Ռոլլի թեորեմը տեղի ունի, թե ոչ:

1. 3 2 ,)5x()x(f ]10;0[x

2. f(x)=x3-x2-x+1, ]1;1[x

3. f(x)=5sinx+4, ];0[x

4. f(x)=2cos3x+28, ]2

;2

[x

5. f(x)=3-|x-3|, ]6;0[x

6. f(x)=|sinx|, ]4

;4

[x

7. f(x)=x4-8x2+5 ]3;3[x

Ռոլլի թեորեմից հետևում է, որ դիֆերենցելի ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի հարևան

զրոների միջև առնվազն մեկ անգամ դառնում է զրո, այսինքն ունի գոնե մեկ արմատ:

Լագրանժի թեորեմը: Եթե f(x) ֆունկցիան անընդհատ է [a, b] հատվածում և դիֆերենցելի է

(a, b) միջակայքում, ապա կգտնվի այնպիսի )b,a(c կետ, որի համար տեղի ունի հետևյալ

հավասարությունը

f(b)-f(a)=f'(c)•(b-a)

Այս բանաձևը կոչվում է վերջավոր աճերի բանաձև:

Ապացույց: Եթե f(b)=f(a), ապա դա Ռոլլի թեորեմն է: Ենթադրենք :)a(f)b(f Նշանակենք

նկ. 22 նկ. 23

41

ab

)a(f)b(fQ

և կազմենք օժանդակ ֆունկցիա՝

F(x)=f(x)-f(a)-Q(x-a):

F(x) ֆունկցիան բավարարում է Ռոլլի թեորեմի բոլոր պայմաններին, իրոք՝

1. անընդհատ է, որպես անընդհատ ֆունկցիաների գումար

2. դիֆերենցելի է (a, b)-ում և F'(x)=f'(x)-Q

3. F(a)=0, F(b)=0, ուստի, ըստ Ռոլլի թեորեմի )b,a(c կետ, որտեղ F'(c)=0; =>f ′(c)-Q=0

=>

ab

)a(f)b(f)c('f f(b)-f(a)=f'(c)(b-a): Թեորեմն ապացուցված է:

f ′(c)-ն կորի շոշափողի անկյունային գործակիցն է c աբսցիսով կետում, իսկ

ab

)a(f)b(f

-ն՝կորի A(a, f(a)) և B(b;f(b)) կետերը միացնող լարի անկյունային գործակիցը:

Լագրանժի թեորեմը պնդում է, որ կորի վրա կա այնպիսի (c, f(c)) կետ, որտեղ կորի

շոշափողը զուգահեռ է AB լարին (նկ. 24):

BD=f(b)-f(a)

AD=b-a

KAB=tg =Q

Kշոշ.=f'(c),

իսկ զուգահեռության պայմանն է՝ f'(c)=Q:

Օրինակ. f(x)=x2կորիAB աղեղի վրա գտնել M կետ, որտեղ կորի շոշափողը զուգահեռ է

AB լարին, եթե A(1;1) և B(3;9):

Լուծում. Ըստ Լագրանժի թեորեմի՝

f(3)-f(1)=f’(c)(3-1)

Բայց f'(x)=(x2)'=2x, f'(c)=2c,

f(3)=32=9, f(1)=12=1: Այսպիսով՝ 9-1=2•c•2, որտեղից ստանում ենք. c=2, f(2)=22=4 և

որոնելի կետն է ՝M(2;4):

Օրինակներ: Գտնել M-ը, եթե

1. f(x)=x2-2x, ]4;1[x

A

x c

D

B f(b)

f(a)

a նկ. 24

y

0 b

b-a

42

2. f(x)=x3 ]3;0[x

3. f(x)=x3-3x ]4;1[x

4. 2x16)x(f A(0;4) և B(4;0):

Կոշիի թեորեմը: Եթե f(x) և g(x) ֆունկցիաները անընդհատ են [a, b] հատվածում,

դիֆերենցելի են (a, b) միջակայքում և g'(x) 0 (a, b)-ում, ապա կգտնվի այնպիսի )b,a(c

կետ, որտեղ

)c('g

)c('f

)a(g)b(g

)a(f)b(f

:

Ապացույց: Նկատենք, որ )a(g)b(g , քանի որ հակառակ դեպքում, ըստ Ռոլլի թեորեմի,

ինչ որ x0կետում g′(x0) =0, որը հակասում է թեորեմի 0)x('g պայմանին: Եթե

նշանակենք)a(g)b(g

)a(f)b(fQ

և կազմենք օժանդակ ֆունկցիա: F(x)=f(x)-f(a)-Q(g(x)-g(a)),

ապա հեշտ է տեսնել, որ F(a)=F(b)=0 և F'(x)=f'(x)-Q•q'(x):

Ռոլլի թեորեմի բոլոր պայմանները բավարարված են, ուստի )b,a(c , որտեղ F'(c)=0 =>

f'(c)-Qg'(c)=0 =>)c('g

)c('fQ : Թեորեմն ապացուցված է:

Անորոշությունների բացումը

Ենթադրենք, որ f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված են a կետի որոշ շրջակայքում,

բացի թերևս x=a կետի և limax f(x)= lim

axg(x)=0:

Այդ դեպքում ասում ենք, որ)x(g

)x(flim

ax

սահմանը հաշվելիս ունենք 0

0 տիպի անորոշություն:

Բացել այդ անորոշությունը նշանակում է հաշվել )(

)(lim

xg

xf

ax

սահմանը, եթե այն գոյություն

ունի:

Թեորեմ1 (Լոպիտալի կանոնը). Ենթադրենք f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված և

դիֆերենցելի են a կետի որոշ շրջակայքում, բացի թերևս a կետից: Ենթադրենք

43

)(lim xfax

= limaxg(x)=0, 0)x('g և 0)( xg այդ շրջակայքում: Այդ դեպքում, եթե գոյություն ունի

)x(g

)x(flim

ax

ածանցյալների հարաբերության սահմանը, ապա գոյություն ունի նաև )(

)(lim xg

xf

ax

սահմանը, ընդ որում՝ )x(g

)x(flim

ax

= )(

)(lim xg

xf

ax

:

Ապացույց: Ենթադրենք a-ն վերջավոր է, և սահմանափակվենք այն դեպքով, երբ

f(a)=g(a)=0: Այդ դեպքում f(x) և g(x) ֆունկցիաները անընդհատ են [a;x] հատվածում, որտեղ

ax և a կետի նշված շրջակայքից է:

Ըստ Կոշիի թեորեմի )x,a(c , այնպես, որ)a(g)x(g

)a(f)x(f

=)c('g

)c('f, կամ

)('

)('

)(

)(

cg

cf

xg

xf :

Եթե x a, ապա c a, ուստի :)c('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

acax Այստեղ c-ն կախված է x-ից, բայց, քանի որ ըստ

թեորեմի պայմանի` )x('g

)x('flim

ax , ուստի

)c('g

)x('flim

ac=

)x('g

)x('flim

ax : Այսպիսով`

)x(g

)x(flim

ax =

)x('g

)x('flim

ax :

Առանց ապացույցի նշենք, որ ճիշտ են նաև հետևյալ թեորեմները՝

Թեորեմ 2. (

): Եթեf(x) ևg(x) ֆունկցիաները որոշված և անընդհատ են x=a կետի որոշ

շրջակայքում և )x(flimax

= )x(glimax

= , ընդ որում 0)( xg և 0)(' xg այդշրջակայքում, ևեթե

)x('g

)x('flim

ax

, ապա )x(g

)x(flim

ax

և :)x('g

)x('f

)x(g

)x(flimlim

axax

Թեորեմ 1-ը և թեորեմ 2-ը ճիշտ են նաև a դեպքում: Իրոք` եթե a , ապա

փոխարինելով t

1x -ով, ստանում ենք`

:)('

)('

)1

('

)1

('

)1

()1

('

)'1

()1

('

)'1

()1

('

)'1

()1

('

))'1

((

))'1

((

)1

(

)1

(

)(

)(limlimlimlimlimlimlim

02

2

0000 xg

xf

tg

tf

ttg

ttf

ttg

ttf

tg

tf

tg

tf

xg

xf

xtttttax

Դիտողություն: Եթե)x('g

)x('flim

ax

սահմանը գոյություն չունի, դա դեռ չինշանակում, որ

)x(g

)x(flim

ax

սահմանը նույնպես գոյություն չունի: Օրինակ, եթե f(x)=x+sinx, g(x)=x, ապա

44

)x(g

)x(flim

x

=x

ssinxlim

x

= :1)x

xsin1(lim

x

Բայց :2

xcos2

1

xcos1

'x

)'xsinx( 2

Ածանցյալների հարաբերությունը, երբ x , սահման

չունի: Այն տատանվում է 0-ից 2 միջակայքում և չի ձգտում որևէ սահմանի (Եթե

դիտարկենք n,n2Xn հաջորդականությունը, ապա 2n22 )1((2ncos22

xcos2 և

,22lim2

xcos2lim

n

n2

n

իսկեթե ,n4xn ապա

:0)2

(coslim2)n22

(coslim2)2

n4(cos2lim

2

n

2

n

2

n

Լոպիտալի կանոնով հաշվել հետևյալ սահմանները.

Օրինակ. 31

x3cos3

)'x(

)'x3(sin)

0

0(

x

x3sinlimlimlim

0x0x0x

Օրինակ. 5

2

5cos

2cos

5

2

5cos5

2cos2

)'5(sin

)'2(sin

)'5(sin

)'2(sin)

0

0(

5sin

2sin

lim

limlimlimlimlim

0

0

0000

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

Օրինակ. :1x1

1lim

1

1x

1

lim'x

))'x1ln(lim)

0

0(

x

)x1ln(lim

0x0x0x0x

Օրինակ. lim)'x2(

)'1e(lim)

0

0(

x2

1elim

0x

x

0x

x

0x

2

1

2

ex

Օրինակ. 0x

1lim

1

x

1

lim'x

)'x(lnlim)(

x

xlnlim

xxxx

Օրինակ. a>1, Հաշվելx

2

x a

xlim

սահմանը:

)(a

xx

2

xlim limlim

xx

2

x )'a(

)'x(

alna

x2x

= 0)a(lna

2

)'alna(

)'x2()(

2xx

xx

limlim

:

Ընդհանրապես, և a>1 թվերիհամար

:0a

xx

xlim

Օրինակ. 32

3sin31

x3sin3

)'x2

(

)'x3(cos)

0

0(

x2

x3coslimlimlim

2x

2x

2x

Դիտողություն. Բացի դիտարկված 0

0և

դեպքերից, հանդիպում են նաև այլ տիպի

անորոշություններ՝ 0• , - , 00, 0, 1 : Այս անորոշությունները հանրահաշվական

ձևափոխություններով բերվում են 0

0 կամ

տեսքի անորոշությունների:

Օրինակ. 0• տեսքի անորոշություն ստացվում է, եթեf(x) 0 և g(x) , երբ :ax

45

f(x)•g(x)=f(x)• ),0

0(

)x(g

1

)x(f

)x(g

1

1

կամ f(x)•g(x)=

)x(f

1

)x(g)(

:

Օրինակ. Հաշվել սահմանը՝ :xlnxlim00x

Քանի որ ,xlnlim0x

ուստի ունենք 0.

տիպի անորոշություն:

2

0x0x0x0x

x

1x

1

)'x

1(

)'x(ln)(

x

1

xln:).0()xlnx( limlimlimlim

= lim0x

(-x)=0

Ընդհանրապես՝ 0xlnx0 lim0x

:0xlim1

x

x

1

lim)(x

xlnlim).0(xlnxlim

0x1

0x0x

a

0x

Օրինակ. (f(x))g(x) արտահայտությունը, որտեղ f(x)>0, ձևափոխում ենք fln*gg ef տեսքի: Եթե

,Kflnglimax

ապա Kg

ax

eflim

:

Հաշվենք, xsin

1

2

0x

2

)x1(lim

սահմանը:

Այստեղ f(x)=1+x2>0 և g(x)= :xsin

12

Ունենք 1 տիպի անորոշություն:

lim0x

g•lnf= )0

0(

xsin

)x1ln(lim 2

2

0x

=

1xcos

11

)'x(sin

'x

xcos)x1(

1

xsin

x

xcosxsin2

x1

x2

)'x(sin

))'x1(ln(limlimlimlimlimlim

0x0x2

0x0x

2

0x2

2

0x

Ուստի՝ :e)x1(lim xsin

1

2

0x

2

Օրինակ. Հաշվել x

0x

xlim

սահմանը:

Ունենք 00 տիպի անորոշություն.

:1eeelimxlim0

xlnxxlnx

0x

x

0x

lim0x

Եթե f և g , երբ ax , ապա f-g=

qf

qf

qf

11

11

1

1

1

1

, որը

0

0տեսքի է:

46

Լոպիտալի կանոնով հաշվել հետևյալ սահմանները.

1. 6x5x

9xlim 2

2

3x

2. 10x3x

8xlim 2

3

2x

3. 1x2x

4x5xlim 34

3

1x

4. 30x x

xsinxlim

5. 1x

1xlim 2

3

1x

6. xsin

eelim

xx

0x

7. x

34lim

xx

0x

8. 2x

2sinxsinlim

2x

9. 3

2x

0x x

2

xx1e

lim

10. 30x x

xsinxcosxlim

13. x

x a

xlnlim

, a>1

14. x

1

x

0x

)xe(lim

15. x2

x

exlim

16. 2x

2

0x

)x3(coslim

17. x3

1

x

)x5tg(lim

18. x2xctglim0x

19. )x1ln(

2

xtg

lim1x

20. )ctgxx

1(lim

0x

21. )xsin

1

x

1(lim 22

0x

22. )xe(lim2x

x

47

11. xsinx

x2eelim

xx

0x

12. xln

xlimx

23. x

1

0x

xlim

24. xcos

1

2x

)x(sinlim

Ֆունկցիաների վարքի հետազոտությունը

Թեորեմ. Եթե (a, b) միջակայքում ածանցելի f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը այդ միջակայքի

բոլոր կետերում զրո է, ապա ֆունկցիան (a, b)-ում հաստատուն է:

Ապացույց. Ենթադրենք x0 )`b,a( որևէ կետ է, իսկ x )`b,a( ցանկացած կետ:

Ըստ Լագրանժի թեորեմի`

f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0), որտեղ c (x0, x) ինչ որ կետ է, որը կախված է x և x0կետերից: Քանի որ

f'(x)=0 ),b,a(x ուստի f ′(c)=0: Հետևաբար՝

f(x)-f(x0)=0=>f(x)=f(x0)=Const:

Թեորեմ. Եթե (a, b) միջակայքում դիֆերենցելի ֆունկցիան մոնոտոն աճում է (նվազում է),

ապա նրա ածանցյալը այդ միջակայքում բացասական չէ (դրական չէ), այսինքն

f ′(x) 0 :)0)x('f(

Ապացույց. Ապացույցը տանք մոնոտոն աճող ֆունկցիայի համար.

Ենթ. )b,a(x և :)b,a()xx(

Կազմենք x

)x(f)xx(f

հարաբերությունը:

Եթե x >0, ապա 0)x(f)xx(f , եթե x <0, ապա f(x+ x )-f(x)<0:

Երկու դեպքում էլ 0x

)x(fxx(f

:

Հաշվելով այդ հարաբերության սահմանը ստանում ենք՝

:0x

)x(f)xx(flim)x('f

0x

48

Մոնոտոն նվազող ֆունկցիայի համար ապացույցը համանման է տրվածին:

Թեորեմ. Եթե [a, b] հատվածում որոշված և անընդհատ f(x) ֆունկցիան (a, b) միջակայքում

ունի դրական (բացասական) ածանցյալ, ապա նա [a, b] հատվածում մոնոտոն աճում է

(նվազում է):

Ապացույց: Եթե ]b,a[x,x 21 և x2>x1, ապա f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1):

Եթե f ′(c)>0 => f(x2)-f(x1)>0=>f(x2)>f(x1), այսինքն`f(x)-ըմոնոտոն աճում է:

Եթե f ′(c)<0 => f(x2)-f(x1)<0 => f(x2)<f(x1), այսինքն` f(x)-ը մոնոտոն նվազում է:

Մոնոտոն աճող ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած (x, f(x)) կետում շոշափողը OX

առանցքի հետ կազմում է սուր անկյուն, իսկ որոշ կետերում շոշափողը զուգահեռ է OX

առանցքին (նկ. 25): Եթե f(x) ֆունկցիան [a, b] հատվածում նվազում է, ապա այդ անկյունը

բութ է, կամ որոշ կետերում շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին (նկ. 26):

Օրինակ. Գտնել f(x)=x3-6x2 ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը.

Լուծում. f(x) ֆունկցիան որոշված և անընդհատ է ամբողջ իրական առանցքի վրա:

Հաշվենք նրա ածանցյալը՝ f '(x)=3x2-12x:

Գտնենք ածանցյալի զրոները՝

3x2-12x=0 => 3x(x-4)=0 => x=0 կամ x=4:

Որոշման տիրույթը այդ կետերով բաժանվում է միջակայքերի,որոնցից յուրաքանչյուրում

f′(x) ածանցյալը պահպանում է նշանըª

a b նկ. 25 նկ. 26

b a

x

նկ.27

- y'

y 0

+ +

4

49

Այսպիսով` f(x) ֆունկցիան աճում է (-∞;0] և [4;∞) միջակայքերում և նվազում է [0;4]-

հատվածում:

Օրինակ : Գտնել մոնոտոնության միջակայքերը:

Լուծում Գտնենք ´ ը`

Գտնենք ածանցյալի զրոները` կամ

Ֆունկցիան աճում է և միջակայքերից յուրաքանչյուրում և նվազում է

հատվածում:

Օրինակ: Գտնենք ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը:

Ֆունկցիայի ածանցյալն է`

Քանի որ և միջակայքերում f´(x)>0 և 0- կետում ֆունկցիան անընդհատ է,

հետևաբար ֆունկցիան աճում է ամբողջ իրական առանցքի վրա (նկ.29):

Օրինակ: | | ֆունկցիան անընդհատ է և x=3 կետում ածանցյալ չունի: Բայց

| | {

երբ

երբ

երբ {

երբ

երբ

Ինչպես տեսնում ենք և ը միակ կրիտիկական կետն է:

ֆունկցիան միջակայքում աճում է, իսկ միջակայքում` նվազում (նկ. 30):

Օրինակ | | | | ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

y'

y

+ - +

1 3

f'(x)

f(x)

+ +

x 0

նկ.28

նկ.29

երբ x≤1

երբ 1<x<5/2

երբ x≥5/2

50

f(x)=

,63

,4

,63

x

x

x

Ֆունկցիան և կետերում ածանցյալ չունի, իսկ մնացած կետերում`

{

երբ

երբ

երբ

և կրիտիկական կետերը միայն կետերն են: Իրական առանցքը այդ

կետերով տրոհենք մասերի և յուրաքանչյուր մասում որոշենք ածանցյալի նշանը`

Քանի որ կետում ֆունկցիան անընդհատ է, ուստի միջակայքւմ ֆունկցիան

նվազող է,իսկ –ում` աճող (նկ. 31):

Վարժություններ: Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը.

1. 2.

16. 17.

f'(x)

f(x)

- - + 1 5/2

նկ. 30 նկ. 31

51

Ֆունկ

ցիայի

Էքստր

եմում

ները

Ֆերմայի թեորեմը քննարկելիս մենք տեսանք,որc–կետում էքստրեմումի գոյության

համար անհրաժեշտ է,որc–ն լինի կրիտիկական կետ: Բայց ոչ բոլոր կրիտիկական կետերն

են էքստրեմումի կետեր: Էքստրեմումի գոյության բավարար պայման է տալիս հետևյալ

թեորեմը.

Թեորեմ: Դիցուք ֆունկցիան անընդհատ է 0 կրիտիկական կետում և

դիֆերենցելի է այդ կետն ընդգրկող որևէ միջակայքում բացի, թերևս X0– կետից:

1) Եթե x0 կետի վրայով ձախից աջ անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը պլյուսից

մինուսի,ապա X0–կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում:

2) Եթե 0կետի վրայով ձախից աջ անցնելիս ածանցյալը նշանը փոխում է մինուսից

պլյուսի, ապա ֆունկցիան X0–կետում ունի մինիմում:

3) Եթե 0կետի վրայով ձախից աջ անցնելիս ածանցյալը նշանը չի փոխում, ապա X0–

կետը էքստրեմումի կետ չէ:

Ապացույց: Ըստ Լագրանժի թեորեմի 0 0 ,որտեղ c– ն և 0 ի միջև

ընկած կետ է:

Ենթադրենք երբ 0և , երբ 0 : Այդ դեպքեւմ ,երբ

0 0 և 0 : Հետևաբար 0 0 Եթե

ապա և, քանի որ 0 և 0 Հետևաբար

0 0

Այսպիսով` 0 –կետին բավականաչափ մոտ x-ի բոլոր արժեքների համար 0),

այսինքն` –ն մաքսիմումի կետ է: Նույն կերպ ապացուցվում է թեորեմի երկրորդ մասը:

Իսկ երբ ածանցյալը նշանը չի փոխում (ենթադրենք ապա

0 0 երբ 0և 0 0 երբ 0:

Այստեղից ստանում ենք

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

18. | | 19. | | 20. | | | | 21. | | | | 22. 23. 24. 25. 26.

27. √

28. | |

29. | | 30. | |

52

) 0 երբ 0 և f 0 , երբ 0, այսինքն`x0- կետի շրջակայքում

ֆունկցիան ընդունում է 0 -ից և′ մեծ,և′ փոքր արժեքներ, հետևաբար 0–ն էքստրեմումի

կետ չէ:

Այսպիսով` կարելի է ձևակերպել էքստրեմումի հետազոտման հետևյալ կանոնը.

1. Գտնում ենք y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը, այսինքն ` f ′(x)-ը:

2. Գտնում ենք x արգումենտի կրիտիկական արժեքները, որոնց համար`

ա) Գտնում ենք f ′(x)=0 հավասարման արմատները:

բ) Գտնում ենքx–ի այն արժեքները, որոնց դեպքում f(x) ֆունկցիան որոշված է, բայց f ′(x)–ը

գոյություն չունի կամ անվերջ է:

3. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհում ենք միջակայքերի,

որոնցից յուրաքանչյուրում f′(x) –ը պահպանում է նշանը:

4. Որոշում ենք ածանցյալի նշանը,որի համար յուրաքանչյուր միջակայքից վերցնում ենք

մի որևէ X0-կետ և որոշում f ′(x0) -ի նշանը:

5. Եթե պարզվում է, որ կրիտիկական կետը մաքսիմումի կամ մինիմումի կետ է, հաշվում

ենք ֆունկցիայի արժեքը այդ կետում:

Օրինակ: Հետազոտել f(x)=x2-4x+9 ֆունկցիան ըստ էքստրեմումի:

Լուծում: 1.Գտնում ենք ածանցյալը` f ′(x)=2x-4

2.Գտնում ենք կրիտիկական կետերը`` f ′(x)=0 => 2x-4=0 => x=2:

3.Քանի որ ֆունկցիան և նրա ածանցյալը որոշված են x R-ում, և x=2-ը միակ

կրիտիկական կետն է,իրական թվային առանցքը տրոհվում է երկու միջակայքերի`(-∞;2) և

(2;∞)

նկ. 33

f (x)

f'(x) - +

2

=f(x0)

f′(x)<0 f'(x)>0 f'(x)>0

f′(x)>0

x0= x0=

ymin=f(x0) f'(x)>0

f'(x)<0

նկ. 32

53

4.Փորձնական կետերով որոշենք ածանցյալի նշանը այդ միջակայքերից

յուրաքանչյուրում`

=1 ,

=3 ,

5.Այսպիսով` x=2 կետը մինիմումի կետ է և fmin=f(Xmin)= 2 :

Դա մեզ քաջածանոթ պարաբոլն է (նկ. 34):

Օրինակ4: f(x)=x3+3x2-9x-17 : Հետազոտել ըստ էքստրեմումի:

1. Հաշվենք ածանցյալը՝

f ′(x)=3x2+6x-9

2. Լուծենք f ′(x)=0 հավասարումը՝x2+2x-3=0 => x1=-3 , x2=1:

Այլ կրիտիկական կետեր չկան:

3. Հետազոտենք կրիտիկական կետերը:

Նշենք թվային ուղղի վրա x=-3 և x=1 կետերը:

1

f '(x) -

+ +

f (x) -3

x

Նկ. 35

նկ. 34

54

4. Որոշենք ածանցյալի նշանները և միջակայքերում.

:

x=

Ըստ էքստրեմումի գոյության բավարարման պայմանի x=-3 կետը մաքսիմումի, իսկ x=1

կետը մինիմումի կետ է:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտավորապես ունի (նկ.36- ում նշված տեսքը):

Օրինակ:

Գտնել ֆունկցիայի էքստրեումի կետերը և էքստրեմումները:

Լուծում:

1.

2.

f' - + - +

-1 0 3 f

նկ. 38

նկ. 36

նկ. 37

նկ. 37

55

3.

4. և կետերը մինիմումի, իսկ –ն` մաքսիմումի կետեր են

(նկ.37):

Օրինակ:

Հետազոտել √ ֆունկցիան ըստ էքստրեմումների:

Լուծում:

Ֆունկցիան որոշված և անընդհատ է –ում

1. Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը`

√ (√

) √

√

√

2. Գտնենք կրիտիկական կետերը.

ա)

√

բ) կետում ածանցյալը խզվում է, բայց ֆունկցիան անընդհատ է: Հետևաբար -ն

կրիտիկական կետ է:

3. Թվային ուղիղը տրոհենք միջակայքերի` և

4. Որոշենք ածանցյալի նշանները.

երբ (

√ )

երբ (

√ )

երբ (

√ )

5. Ըստ թեորեմի պարզ է, որ

և

Հաշվենք ֆունկցիայի արժեքները այդ կետերում

√

√

√

f

)

f (x)

)

+ - +

0 2

Նկար 39-ում տրված է ֆունկցիայի

գրաֆիկի մոտավոր տեսքը

56

Վարժություններ: Գտնել ֆունկցիաների կրիտիկական կետերը և էքստրեմումները.

1) 2)

3)

4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) | | 14) | |

15)

16)

17)

18)

19) 20)

Դիտողություն: էքստրեմումի գոյության նշված բավարար պայմանը ամենևին էլ

անհրաժեշտ չէ:

Օրինակ: Դիտարկենք (

) երբ և ֆունկցիան: Պարզ է, որ

այսինքն -ն մաքսիմումի կետ է`

Բայց (

)

Երբ առաջին գումարելին ձգտում է 0- ի, իսկ

-

ը,տատանվում է [-1,1] – ում, հետևաբարx=0 կետի շրջակայքում ընդունում է և´ դրական, և´

բացասական արժեքներ:

Կորի ուռուցիկությունը: Շրջման կետ:

Դիտարկենք (a,b) միջակայքում անընդհատ և դիֆերենցելի y=f(x) ֆունկցիան: Նրա

գրաֆիկը մի կոր է, որը ցանկացած կետում ունի շոշափող:

Սահմանում 1. Կորը կոչվում է (a,b) միջակայքում ուռուցիկությամբ ուղղված դեպի վեր,

եթե կորի բոլոր կետերն ընկած են այդ միջակայքում նրա ցանկացած շոշափողից ներքև

(նկ. 40)

նկ.39

57

Սահմանում 2. Կորը կոչվում է (a,b) միջակայքում ուռուցիկությամբ ուղղված դեպի ներքև,

եթե կորի բոլոր կետերն ընկած են այդ միջակայքում նրա ցանկացած շոշափողից վերև (նկ.

41)

Առաջին դեպքում կասենք կորը (a,b)- ում ուռուցիկ է, իսկ երկրորդ դեպքում ` գոգավոր:

Սահմանում 3. Կորի ուռուցիկ մասը գոգավորից բաժանող կետը կոչվում է շրջման կետ

(նկ. 42- ում M0- կետը):

Պարզ է, որ շրջման կետում տարված շոշափողը, եթե այն գոյություն ունի, հատում է այդ

կորը:

Ինչպես նկատում ենք նկ. 40 և նկ. 41 – ից, ուռուցիկության միջակայքում ֆունկցիայի

ածանցյալը նվազում է (շոշափողի անկյունային գործակիցը փոքրանում է), իսկ գոգավորության

միջակայքում աճում Այսփաստն օգտագործենք ուռուցիկության հետևյալ բավարար պայմանն

ապացուցելու համար:

Թեորեմ: Եթե (a,b) միջակայքում կրկնակի ածանցելի ֆունկցիայի երկրորդ կարգի

ածանցյալը բացասական (դրական) է, այսինքն` ,ապա ֆունկցիայի

գրաֆիկն ուռուցիկ (գոգավոր) է:

Ապացույց: Քննարկենք այն դեպքը, երբ :

ֆունկցիայի - ածանցյալը նույնպես ֆունկցիա է, որի առաջին ածանցյալը` ( )

, ըստ պայմանի: Բայց դա նշանակում է, որ - ֆունկցիան միջակայքում

նվազում է, հետևաբար, նրա գրաֆիկն - ում ուռուցիկությամբ ուղղված է դեպի վեր:

Երբ -ը աճող է -ի գրաֆիկը գոգավոր է:

Դիտողություն: Ապացուցված թեորեմը ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության բավարար

պայման է, բայց անհրաժեշտ չէ: Օրինակ` - ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է, սակայն

նրա երկրորդ ածանցյալը` կետում դառնոմ է զրո`

Այն միջակայքերը, որոնցում ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ կամ գոգավոր է, կոչվում են

ուռուցիկության միջակայքեր: Պարզ է, որ այդ միջակայքերում - ը պահպանում է իր

նշանը:

Y=f(x)

x

y

0

b

a

նկ.40

y

x

Y=f(x)

նկ.42

x

Y=f(x)

a b

y

նկ.41

58

Բայց - ը իր նշանը փոխվում է միայն այն կետերում, որտեղ այն դառնում է զրո, կամ

գոյություն չունի: Ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներքին այդպիսի կետերը ընդունված է

անվանել երկրորդ սեռի կրիտիկական կետեր:

Ենթադրենք (a,b) ֆունկցիան ունի ածանցյալներ մինչև երկրորդ կարգը ներառյալ, բացի, թերևս,

վերջավոր թվով կետերից, և - ը (a,b) միջակայքում ունի վերջավոր թվով զրոներ:

Որպեսզի գտնենք –ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության միջակայքերը, հարկավոր է.

1. Գտնել (a,b) միջակայքում ֆունկցիայի երկրորդ սեռի կրիտիկական կետերը

այսինքն` այն կետերը, որտեղ կամ -ը գոյություն չունի:

2. Այդ կրիտիկական կետերով (a,b) միջակայքը բաժանել մասերի:

3. Ստացված յուրաքանչյուր միջակայքում որոշել -ի նշանը:

4. Որ միջակայքում , ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է, որտեղ , այնտեղ

գոգավոր է:

Օրինակ: 2 ֆունկցիան անընդհատ է ∞ ∞ և ունի ածանցյալներ մինչև

երկրորդ կարգը ներառյալ՝

′ 2 ′ և ′′ ′

Քանի որ f ′′ , ∞ ∞ ուստի ամբողջ թվային ուղղի վրա նրա գրաֆիկը

գոգավոր է: (նկ.43)

Օրինակ: Դիտարկենք, 3 ∞ ∞ ֆունկցիան, որն անընդհատ է և ունի

ածանցյալներ՝

2և

նկ. 43 նկ. 44

59

1. ′′ –ը որոշված է ∞ ∞ –ում, ուստի կրիտիկական (երկրորդ սեռի) կլինեն

միայն այն կետերը, որտեղ ′′

Տվյալ դեպքում ֆունկցիան ունի մեկ կրիտիկական կետ՝ :

2. x=0 կետով թվային ուղիղը բաժավում է ∞ և ∞ երկու միջակայքերի:

3. Փորձնական կետերի մեթոդով որոշենք երկրորդ ածանցյալի նշանը՝

x=-1 ∞ ′′

x=1 ∞ ′′

4. Քանի որ ,ուստի ֆունկցիայի գրաֆիկը (-

միջակայքում ուռուցիկ է: Ֆունկցիայի գրաֆիկը (0; –միջակայքում գոգավոր է, քանի որ

-ում նկ.44)

Օրինակ: f

-3 , x

1.Գտնենք ածանցյալը՝

և

Միակ երկրորդ սեռի կրիտիկական կետը x=3–ն է:

2. Հետևաբար –ում

ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է, իսկ (3; –ում` գոգավոր (նկ.46):

f ''

f

- +

0

նկ. 45

նկ.46

նկ.47

նկ.47

60

Օրինակ:

+6 -2, D(f)=

1. Գտնենք և ածանցյալները.

-9 և

2. Գտնենք երկրորդ սեռի կրիտիկական կետերը.

և =2

3. D(f)–ը բաժանենք միջակայքերի՝ (- (1;2) և (2;

4. Որոշենք –ի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում ՝

5. Ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է և միջակայքերում և ուռուցիկ

է՝ միջակայքում:

Այժմ ձևակերպենք շրջման կետի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանները:

Թեորեմ: Եթե կետը y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի շրջման կետ է, և կետում

գոյություն ունի f –երկրորդ կարգի ածանցյալը,ապա անհրաժեշտ է,որ այն հավասար

լինի զրոյի` x0 =0:

Սա նշանակում է, որ գործնականում շրջման կետի աբսցիսը պետք է փնտրել երկրորդ

սեռի կրիտիկական կետերի մեջ:

Թեորեմ (բավարար պայմանը): Եթե y=f(x) ֆունկցիան կրկնակի ածանցելի է (a,b)

միջակայքում, բացի, թերևս a,b)-կետի, և -կետի վրայով անցնելիս 0 երկրորդ

ածանցյալը փոխում է նշանը,ապա կորի 0 0 կետը շրջման կետ է:

Այս թեորեմների ապացույցը թողնում ենք ընթերցողին:

Վարժություններ:

Գտնել հետևյալ ֆունկցիաների գրաֆիկների ուռուցիկության միջակայքերը և շրջման

կետերը:

1. 2. 3. 4. 5.

10.

11.

12. 13.

+ - + y’’

y 2

61

6. 7. 8. 9.

14. Y=cosx

15. Y= -2

16. Y=6 -

Ասիմպտոտներ

Ուսումնասիրենք ֆունկցիայի վարքը և հետևաբար,նրա գրաֆիկի ձևը, երբ

գրաֆիկի վրայով կետը անվերջ հեռանում է կոորդինատների սկզբնակետից:

Առանձնապես հետաքրքիր է այն դեպքը, երբ կորի M -փոփոխական կետի

հեռավորությունը ինչ որ ուղղից անվերջ փոքրանում է: Նման ուղիղները կոչվում են կորի

ասիմպտոտներ: Ասիմպտոտները լինում են երկու տիպի՝ուղղաձիգ և թեք:

Սահմանում: ուղիղը կոչվում է անընդհատ ֆունկցիայի գրաֆիկի

ուղղաձիգ ասիմպտոտ, եթե

)x(flim0ax

կամ

)x(flim0ax

:

ՈՒղղաձիգ ասիմպտոտները փնտրելու համար պետք է գտնել -ի այն արժեքները, որոնց

մոտենալիս ֆունկցիան ձգտում է անվերջության: Այդ կետերը կարող են լինել

ֆունկցիայի երկրորդ սեռի խզման կետերը:

Օրինակ՝

ֆունկցիան x=0 կետում որոշված չէ: հաշվենք այդ կետում աջ և ձախ

սահմաները: x

1lim

00x և

x

1lim

00x,hետևաբար x=0 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է :

Օրինակ`

ֆունկցիան x= կետերում որոշված չէ: Հաշվենք այդ կետերում աջ և

ձախ սահմաները: 4x

1lim

202x,

4x

1lim

202xհետևաբար x=-2 ուղիղը ուղղաձիգ

ասիմպտոտ է: 4x

1lim

202xև

4x

1lim

202xx=2-ը նույնպես ուղղաձիգ

ասիմպտոտ է (նկ. 49):

62

Օրինակ:

ֆունկցիան նույնպես x=0 կետում խզվող է ( որոշված չէ):

Սակայն x=0 ուղիղը ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտ չէ, քանի որ 1x

xsinlim

0x

, (որը մեզ

լավ հայտնի առաջին նշանավոր սահմանն է):

Ենթադրենք y=f(x) ֆունկցիան որոշված է x>M(x<M) միջակայքում :

Սահմանում: y=kx+b ուղիղը կոչվում է f(x)–ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտ, երբ x-

> (x->- , եթե 0)bkx)x(f(lim)x(

x

:

Որոշենք k և b թվերը:

Եթե 0)bkx)x(f(limx

, ապա f(x)-kx-b= , որտեղ -ը անվերջ փոքր է,

երբ x->+ այսինքն՝ 0)x(limx

:

Այստեղից ստանում ենք՝

f(x)=kx+b+ :

xlim

=

xlim (

)=k

k-ն որոշելուց հետո գտնում ենք b-ն`

)kx)x(f(lim)x(lim)kx)x(f(lim))x(kx)x(f(limbxxxx

Նույն ձևով որոշում ենք y=kx+b ասիմպտոտը, երբ x : Այսպիսով` թեք ասիմպտոտի

համար ստանում ենք k և b թվերը որոշելու հետևյալ բանաձևերը`

x

)x(flimk

)x(x

և )kx)x(f(limb)x(

x

:

Երբ k=0, ապա ասիմպտոտի հավասարումը կընդունի y=b տեսքը: Այդպիսի

ասիմպտոտները կոչվում են հորիզոնական ասիմպտոտներ:

Օրինակ: Գտնել1x

1x2y

2

2

ֆունկցիայի ասիմպտոտները:

Այս Ֆունկցիան անընդհատ է իրական թվային առանցքի վրա, հետևաբար նրա գրաֆիկը

ուղղաձիգ ասիմպտոտներ չունի: Գտնենք թեք ասիմպտոտները:

06

4lim

)13(

)4(lim

13

4lim

)(

)12(lim

)1(

12lim

)(lim

223

2

2

2

xx

x

x

x

xx

x

xx

x

x

xfk

xxxxxx:

նկ.49 նկ.48

63

2x2

x4lim

)1x(

)1x2(limx0

1x

1x2lim)kx)x(f(limb

x2

2

x2

2

xx

Այսպիսով`ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ` y=2 (նկ. 50):

Օրինակ: Գտնել 2x

x)x(f

2

կորի ասիմպտոտները:

Լուծում: Նախ գտնենք ուղղաձիգ ասիմպտոտները: Ֆունկցիան x=2 կետում որոշված չէ:

Հաշվենք ֆունկցիայի աջակողմյան և ձախակողմյան սահմաները այդ կետում.

2x

xlim

2

02x և

2x

xlim

2

02x:

Այսպիսով` x=2 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է: Գտնենք թեք ասիմպտոտները:

Հաշվենք`

12x

xlim

)2x(x

xlim

x

)x(flimk

x

2

xx

21

2lim

)2x(

)x2(lim

2x

x2limx

2x

xlim)kx)x(f(limb

xxx

2

xx

:

Այսպիսով` y=x+2 ուղիղը տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտն է, երբ x

(նկ. 51):

Օրինակx

xsinxy , x ≠ 0: Գտնել թեք ասիմպտոտները:

Լուծում: Ենթադրենք y=kx+b-ն թեք ասիմպտոտ է: Գտնենք`

1x

xsin1lim

x

x

xsinx

limx

)x(flimk

2xxx

0x

xsinlim)kx)x(f(limbxx

:

Այսպիսով` y=xուղիղը թեք ասիմպտոտ է (նկ. 52):

նկ. 50 նկ. 51

64

Օրինակ: Գտնել

xy ֆունկցիայի ասիմպտոտները:

Լուծում: 0x

1lim

x

xlimk

xx

:

xlim)x0x(limbxx

:

Քանի որ b=∞, ուստի xy ֆունկցիան թեք ասիմպտոտներ չունի: Ակնհայտ է, որ

ուղղաձիգ ասիմպտոտներ նույնպես չունի:

Օրինակ: Գտնել x

ey

x

ֆունկցիայի ասիմպտոտները:

Լուծում: 1) Որոնենք ուղղաձիգ ասիմպտոտները.

x

elim

x

00x և

x

elim

x

00x:

x=0 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է:

2) Այժմ որոնենք թեք ասիմպտոտները.

2

elim

)x2(

)e(lim

x2

elim

)x(

)e(lim

x

elim

x

)x(flimk

x

x

x

x

x

x2

x

x2

x

xx

Երբ x , ուղիղը թեք ասիմպտոտ չունի:

0lim2

x

ek

x

x, քանի որ 0ex , երբ x

0x

elim)kx)x(f(limb

x

xx

:

Այսպիսով` y=0 ուղիղը հորիզոնական ասիմպտոտ է, երբ x (նկ. 53):

Վարժություններ:

Գտնել տրված ֆունկցիաների ասիմպտոտները.

1. x

1xy 2.

1x

xy

2

3. 1x

4x3x2y

2

4.

4x

xy

2

3

նկ. 52 նկ. 53

65

5. 2x

3x2xy

2

6.

5x2

1xy

2

7. x

1xy 8. xxey

9. arctgxxy 10. 2x

3x2y

Ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման ընդհանուր սխեման

Ֆունկցիայի գրաֆիկի մասին մոտավոր պատկերացում կազմելու համար

առաջարկվում են հետևյալ ցուցումները.

1. Գտնել ֆունկցիայի որոշման բնական տիրույթը:

2. Գտնել ֆունկցիայի խզման կետերը և, եթե այդպիսի կետեր կան, պարզել խզման

բնույթը: Դրա համար հաշվել այդ կետերում աջակողմյան և ձախակողմյան

սահմանները:

3. Գտնել Ֆուկցիայի աճման և նվազման միջակայքերը, որի համար գտնել առաջին

սեռի կրիտակական կետերը:

4. Գտնել մաքսիմումի և մինումումի կետերը և այդ կետերում ֆունկցիայի արժեքները:

5. Գտնել գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը և շրջման կետեը:

6. Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտները:

7. Գտնել կոորդինատային առանցքների հետ գրաֆիկի հատման կետերը (եթե

հնարավոր է) և պարզել ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը:

Կատարված հետազոտությունների հիման վրա կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Դիտողություն: Երբեմն օգտակար է պարզել ֆունկցիայի զույգ, կենտ, կամ պարբերական

լինելը: Այսպես, օրինակ, եթե ֆունկցիան զույգ է`f(-x)=f(x), ապա գրաֆիկը կարելի է

կառուցել x>0 արժեքների համար, այնուհետև x<0 արժեքների դեպքում օգտվել oy-

առանցքի նկատմամբ զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկի համաչափությունից: Կենտ ֆունկցիայի

գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ: Պարբերական

ֆունկցիայի դեպքում ուսումնասիրությունը կատարվում է մեկ պարբերության մեջ և

կառուցված գրաֆիկը պարբերաբար կրկնվում է:

Նշենք նաև, որը ցուցումների նշված հաջորդականությունը և քանակը պահպանելը

պարտադիր չէ:

Օրինակ. Կառուցել 4x

x)x(f

2

3

ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Լուծում: 1) Տրված ֆունկցիան որոշված է ամբողջ թվային ուղղի վրա, բացի x=-2 և x=2

կետերից, որոնք խզման կետեր են:

66

2) Ֆունկցիան կենտ է` )x(f4x

x

4)x(

)x()x(f

2

3

2

3

ուստի ուսումնասիրենք x≥0

դեպքում:

Պարզենք x=2 կետում խզման բնույթը.

)2x)(2x(

xlim

4x

xlim)x(flim

3

02x2

3

02x02x

4x

xlim)x(flim

2

3

02x02x:

Խզումը x=2 կետում երկրորդ սեռի է և x=2 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է:

3) Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը`

22

22

22

2323

2

3

)4x(

)12x(x

)4x(

)4x(x)4x()x(

4x

x)x(f

:

00)( xxf կամ 32x , իսկ 2x կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը գոյություն

չունի: Այսպիսով` 0x դեպքում x=0, և 32x կետերը առաջին սեռի կրիտիկական

կետեր են, իսկ x=2-ը` խզման կետ:

4) Որոշենք ածանցյալի նշանը (0;2), (2; 2√3) և (2√3;∞) միջակայքերից յուրաքանչյուրում.

Ֆունկցիան [0;2) և (2;2√3] միջակայքերում նվազում է, իսկ [2√3; ∞)-միջակայքում աճում է:

5) 32x կետում ֆունկցիան ունի մինումում` 334)32(

)32()32(fy

2

3

min

:

6) Գտնենք ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը: Հաշվենք )x(f -ը`

32

2

)4x(

)12x(x8)x(f

:

Քանի որ 0)x(f , երբ x=0 և x=±2 կետերում )x(f -ը գոյություն չունի, ուստի x=0(x≥0

դեպքում) կետը երկրորդ սեռի կրիտիկական կետ է( )(2 fDx ):

Պարզենք )x(f -ի նշանը (0,2) և (2,∞) միջակայքերում`

(0;2) միջակայքում ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկությամբ ուղղված է դեպի վերև, իսկ

(2;∞)-ում` դեպի ներքև:

7) Գտնենք թեք ասիմպտոտները:

1)4x(x

xlim

x

)x(flimk

2

3

xx

և 04x

x4limx

4x

xlim)kx)x(f(limb

2x2

3

xx

:

_

_

0 2 2√3 x

_ +

_

+ _

0 2

67

Հետևաբար, y=x ուղիղը թեք ասիմպտոտ է:

8) Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային առանցքները հատում է (0,0) կետում:

Ստացված տվյալները գրենք աղյուսակի տեսքով և կառուցենք գրաֆիկը:

x 0 (0;2) 2 (2;2√3) 2√3 (2√3;∞) )x(f 0 _ գոյություն

չունի

_ 0 +

)x(f 0 նվազում է

նվազում

է

3√3 աճում է

)x(f 0 _ գոյություն

չունի

+ + +

)x(f (0;0) ուռուցիկ է

խզման

կետ է

գոգավոր

է

մինիմումի

կետ է

գոգավոր

է

Օրինակ: Հետազոտել 1x

x6)x(f

2 ֆունկցիան և կառուցել գրաֆիկը:

նկ. 56 նկ. 57

68

Լուծում: 1) D(f)=(-∞;∞):

Նշենք, որ երբ x<0 => f(x)<0 և x>0=> f(x)>0

2) Ֆունկցիան անընդհատ է ամենուրեք, և f(0)=0:

3) Գտնենք կրիտիկական կետերը, մոնոտոնության միջակայքերը և էքստրեմումի կետերը

22

2

22

22

2 )1x(

)x1(6

)1x(

)1x(x)1x(x6

1x

x6)x(f

:1x0x10)x(f 2

Որոշենք ածանցյալի նշանները (-∞;-1), (-1;1) և (1;∞) միջակայքերում.

x=-1-ը մինիմումի, իսկ x=1-ը մաքսիմումի կետ է:

4) Գտնենք ֆունկցիայի էքստրեմումները.

31)1(

)1(6)1(ff

2min

3)1(ffmax

5) Որոշենք ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերն ու շրջման կետերը.

32

2

22

2

)x1(

)3x(x12

)1x

x1(6y

:

0y =>x=0, x=-√3, x=√3-կետերը երկրորդ սեռի կրիտիկական կետեր են:

Որոշենք )(xy -ի նշանները (-∞;-√3), (-√3;0), (0;√3) և (√3;∞) միջակայքերում.

Կորը ուռուցիկ է (-∞;- 3 ) և (0; 3 ) միջակայքերում և գոգավոր է (- 3 ;0) և ( 3 ;∞)

միջակայքերում:

2

33;3 , )0;0( և

2

33;3 կետերը շրջման կետեր են:

y

y -√3 0 √3

_ _ + +

-1 1 x

_ + _ y

y

նկ. 58

նկ. 59

69

6) Կորը ուղղաձիգ ասիմպտոտներ չունի, քանի որ x-ի որևէ վերջավոր արժեքի դեպքում

ֆունկցիան անվերջության չի ձգտում: Գտնենք թեք ասիմպտոտները.

0)1x(x

xlim

x

)x(flimk

2xx

,

01x

xlim)kx)x(f(limb

2xx

:

Հետևաբար, y=0 ուղիղը միակ ասիմպտոտն է: Կառուցում ենք գրաֆիկը (նկ. 60)

Օրինակ: Հետազոտել 3 32 xx6y ֆունկցիան և կառուցել գրաֆիկը:

Լուծում: 1) D(f)=(-∞;∞)

2) Ֆունկցիան ամենուրեք անընդհատ է:

3) x=0 և x=6 կետերում ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է ox-առանցքը` y(0)=y(6)=0:

4) Գտնենքկրիտիկական կետերը:

3 23 232

23

2

3231

32

)x6(x

x4

)xx6(

)x4(x)x3x12()xx6(

3

1))xx6((y

4x0y

x=0 և x=6 կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը գոյություն չունի, հետևաբար x=0,x=4 և x=6

կետերը կրիտիկական կետեր են:

նկ. 60

70

Թվային ուղիղը այդ կետերով տրոհենք միջակայքերի և յուրաքանչյուր միջակայքում

որոշենք ածանցյալի նշանը.

5) x=0 կետը մինիմումի կետ է և 0)0(yymin

x=4 կետը մաքսիմումի կետ է և 3333 32

max 42326496446)4(yy

x=6-կետը էքստրեմումի կետ չէ և

3 206x06x )x6(x

x4lim)x(ylim :

(6;0) կետում գրաֆիկի շոշոփողը զուգահեռ է oy-առանցքին:

6) Գտնենք ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը: Հաշվենք y -ը.

35

34

3 2)x6(x

8

)x6(x

x4y

0y , բայց x=0 և x=6 կետերում y -ը որոշված չէ: Այդ կետերը միակ երկրորդ սեռի

կրիտիկական կետերն են: Որոշենք y -ի նշանները այդ կետերի շրջակայքում.

x=0 կետում y -ը չի փոխում նշանը, հետևաբար, այդ աբսցիսով կորի կետը շրջման կետ չէ:

(6;0) կետը շրջման կետ է: (-∞;0) և (0;6) միջակայքերում կորը ուռուցիկ է, իսկ (6;∞)-

միջակայքում` գոգավոր:

Գտնենք կորի թեք ասիմպտոտները.

11x

6lim

x

xx6lim

x

ylimk 3

x

3 32

xx

2

11x

61

x

6

6lim

x)xx6x)xx6(

xxx6lim)xxx6(lim)kxy(limb

33

2x

23 323 232

332

x

3 32

xx

_ _

0 6

+ y

y

0 4 6

y

y

_ +

_ _

Նկ. 61

Նկ. 62

71

Հետևաբար, y=-x+2 ուղիղը թեք

ասիմպտոտ է: Հաշվի առնելով վերը

բերված բոլոր պարզաբանումները`

կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ.

63)

Վարժություններ:

Հետազոտել հետևյալ ֆունկցիաները և կառուցել նրանց գրաֆիկները:

1) 23 x3xy 2) 23 x2xy 3) x93

xy

3

4) )4x()1x(y 2 5) x3xy 3 6) 34 x2x4

1y

7) x

1xy

2 8)

2x

xy

2

9)

4x

xy

2

3

10) 24 x6x4

1y 11)

2x3

4x6xy

2

12) xe)2x(y

13) x2exy 14) arctgx4

xy

15) 2x2exy

16) 2xey 17) 3 32 xx2y

Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները հատվածում

Ինչպես հայտնի է Վայերշտրասի թեորեմից, [a,b]-հատվածում անընդհատ ֆունկցիան

այդ միջակայքում հասնում է իր M մեծագույն և m փոքրագույն արժեքներին, այսինքն և

b,a այնպես, որ f(α)=M և f(β)=m: Ենթադրենք f(x)-ը [a,b] հատվածում ունի վերջավոր

թվով առաջին սեռի կրիտիկական կետեր:

նկ. 63

72

Եթե f(x)-ը մոնոտոն աճող կամ մոնոտոն նվազող է [a,b]-հատվածում, ապա պարզ է, որ

մեծագույն և փոքրագույն արժեքներին ֆունկցիան հասնում է x=a և x=b կետերում (նկ.

64ա,բ):

Եթե ֆունկցիան մոնոտոն չէ, ապա այդ արժեքներին նա հասնում է կամ [a;b] հատվածի

ծայրակետերում, կամ կրիտիկական կետերում (նկ. 64գ):

Եթե nxxx ,...,, 21 -կետերը f(x) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերն են [a,b]-հատվածում, ապա

)x(f),...,x(f),b(f),a(fmax)x(fmax n1

b,ax

)x(f),...,x(f),b(f),a(fmin)x(fmin n1

b,ax

:

Նշենք, որ կարիք չկա պարզելու կրիտիկական կետերի բնույթը ըստ էքստրեմումի:

Օրինակ: Գտնել 5x3x)x(f 23 ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները [-1;3]

հատվածում:

Լուծում: Գտնենք կրիտիկական կետերը.

)2x(x3x6x3)x(f 2

0x0)x(f և 2x :

Այս երկու կետերն էլ [-2;3]-հատվածի կետեր են:

Հաշվում ենք` 155)2(3)2()2(f 23

5)0(f

15232)2(f 23

55333)3(f 23

5)x(fmax

3;2x

;

15)x(fmin

5;2x

fմեծ=5, fփոքր=-15:

Օրինակ: Որոշել 7x4x4x)x(f 234 ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն

արժեքները [1;4] հատվածում:

Լուծում: Գտնենք f(x) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը [1;4]-հատվածում.

x8x12x4)x(f 23

0)2x3x(x0)x(f 2

նկ. 64բ նկ. 64ա նկ. 64գ

yմեծ

yփոքր

b

y=f(x)

a a b

y=f(x) yմեծ

yփոքր

a b

yմեծ

yփոքր

73

0x1 , 1x 2 , 2x3 :

Այս կետերից միայն 12 x և 23 x կետերն են [1;4]-հատվածից:

Գտնում ենք` f(1)=8, f(2)=7, f(4)=71:

Հետևաբար, fմեծ=71 և fփոքր=7:

Օրինակ: Գտնել 3 2xx3

2)x(f ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները [-1;3]

հատվածում:

Լուծում: Ֆունկցիան որոշված է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Գտնենք կրիտիկական

կետերը [-1;3]-հատվածում.

3

3

3 x

1x

3

2

x3

2

3

2)x(f

:

1x0x

1x0)x(f

3

3

:

x=0-կետը ածանցյալի խզման կետ է, հետևաբար, կրիտիկական կետերը երկուսն են` x=0 և

x=1: Քանի որ

,92)3(f

,3

1)1(f

,0)0(f

,3

5)1(f

3

ուստի` 0)x(fmax]3;1[

, 3

5)x(fmin

3;1

Օրինակ: Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը a-է, իսկ բարձրությունը` h: Ինչ մեծագույն

մակերես կարող է ունենալ այն ուղղանկյունը, որի երկու գագաթները հիմքի, իսկ մյուս

երկուսը` սրունքների վրա են (նկ. 65):

Լուծում: Նշանակենք ուղղանկյան EM-կողմը x-ով: Պարզ է, որ

0<x<h:

BH=BD-HD=BD-EM=h-x

Գտնենք ուղղանկյան EF կողմը.

BEF BD

BH

AC

EFABC :

Այստեղից ստանում ենք` )xh(h

aEF

h

xh

a

EF

:

Հետևաբար` EFNM-ուղղանկյան մակերեսը կլինի x)xh(h

a)x(S , 0<x<h: Գտնենք այդ

ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը (0;h) միջակայքում: Դրա համար գտնենք ֆունկցիայի

կրիտիկական կետերը.

նկ. 65

E F H

A M D N C

B

74

)x2h(h

a)xhx(

h

a)x(S 2

Լուծելով 0)( xS հավասարումը ստանում ենք` 2

hx0)x2h(

h

a միակ կրիտիկական

կետը: Քանի որ

0)h(S)0(S , իսկ4

ah

2

hS

, ուստի S(x) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [0,h]-հատվածում,

և հետևաբար` (0,h) միջակայքում` 4

ah

2

hS

-է:

Նկատենք, որ EF-ը ABC եռանկյան միջին գիծն է:

Օրինակ: a-կողմով քառակուսի թիթեղից պատրաստել մեծագույն ծավալով վերևից բաց

արկղ, որի հիմքը քառակուսի է (նկ. 66)

Լուծում: Թիթեղի անկյուններից կտրենք 2

ax0 կողմով

քառակուսիներ և ծալելով կառուցենք արկղ: Ստացված

արկղի

ծավալը կլինի` x)x2a()x(V 2 , 2

ax0 :

Գտնենք V(x) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը

2

a;0 հատվածում: Քանի որ

02

aV)0(V

, ուստի այն կլինի մեծագույնը նաև

2

a;0 միջակայքում:

Գտնենք V(x) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը. 22322 x12ax8a)x4ax4xa()x(V

0aax8x120)x(V 22 , որտեղից գտնում ենք 6

ax և

2

ax :

Հաշվենք V(x) ֆունկցիայի արժեքը նաև 6

ax կետում`

27

a2

6

a

6

a2a

6

aV

32

:

Այսպիսով` արկղը կունենա մեծագույն ծավալը, եթե կտրվող քառակուսու կողմը 6

a-է:

a-2x

a

նկ. 66

x

x

75

Օրինակ: Գտնել f(x)=asinx+bcosx ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները [0;2π]

հատվածում:

Լուծում: Գտնենք f(x)-ի կրիտիկական կետերը.

xsinbxcosa)x(f :

Լուծենք 0)( xf հավասարումը.

b

atgx0xsinbxcosa , քանի որ cosx ≠ 0, (հակառակ դեպքում կհետևի որ sinx=0, իսկ

դա անհնար է sin2x+cos2x=1 նույնության պատճառով):

Եթե 0x -ն կրիտիկական կետ է, ապա b

atgx 0 : Հաշվենք )0(f);x(f 0 և )2(f -արժեքները.

76

2222

22

2

20

0

200000

bab

ba

ba

b

)bb

aa(

b

a1

1)batgx(

xtg1

1)btgxa(xcosxcosbxsina)x(f

a)2(f)0(f

Բայց aba 22 , հետևաբար 22

]2;0[ba)x(fmax

և

22

2;0ba)x(fmin

: f(x)-ը 2π -

պարբերությամբ ֆունկցիա է, ուստի նրա մեծագույն և փոքրագույն արժեքները ամբողջ

թվային առանցքի վրա համընկնում են ստացված արժեքներին:

Վարժություններ

Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները նշված միջակայքում

1) 7x4x)x(f 2 , [0;3]

2) 3x2x)x(f 2 , [0;4]

3) 23 x3x)x(f , [-1;4]

4) 5x

2x)x(f

2

, [-2;2]

5) x42)4x3()x(f 14 ,

3

5;0

6) x40)4x5()x(f 8 , [0,6;1,2]

7) 2x3x)x(f 2 , [-3;3]

8) 3 32 xx3)x(f , [-1;3]

9) )xcosx(sine)x(f x , [-π;π]

10) 6xcos2xcos)x(f 2 , [0;2π]

Խնդիրներ

1. 16-ը ներկայացնել երկու ոչ բացասական թվերի գումարով այնպես, որ այդ թվերի

ա) քառակուսիների գումարը լինի փոքրագույնը,

բ) այդ թվերի արտադրյալը լինի մեծագույնը:

2. Ինչպիսին պետք է լինեն S-մակերես ունեցող ուղղանկյան չափերը, որպեսզի նրա

պարագիծը լինի փոքրագույնը:

3. Գտնել R-շառավղով շրջանին ներգծած այն ուղղանկյան չափերը, որն ունի

ա) ամենամեծ մակերեսը

բ) ամենամեծ պարագիծը:

4. ABC եռանկյանը ներգծած է մեծագույն մակերեսով զուգահեռագիծ, որի մի գագաթը

A-ն է, մյուս գագաթները գտնվում են եռանկյան կողմերի վրա: Գտնել

զուգահեռագծի կողմերը, եթե AB=c, AC=b:

77

5. AD=2R տրամագծով կիսաշրջանին ներգծված է ամենամեծ մակերեսով ABCD-

սեղանը: Գտնել նրա BC-հիմքը:

6. Ուղղանկյունաձև հողամասի մի կողմը երկար պարիսպ է: Ինչպես ցանկապատել

հողամասըl-երկարությամբ ցանցով այնպես, որ նրա մակերեսը լինի մեծագույնը:

7. R-հիմքի շառավղով և H-բարձրությամբ կոնին ներգծված է ամենամեծ ծավալով

գլան: Գտնել գլանի ծավալը:

8. y=x2 պարաբոլի վրա գտնել այն կետը, որն ամենափոքր հեռավորությունն ունի

y=2x-4 ուղղից:

9. Գտնել (1;14) կետի փոքրագույն հեռավորությունը xy ֆունկցիայի գրաֆիկին

պատկանող կետերից:

10. Գտեք R-շառավղով գնդին արտագծած փոքրագույն ծավալով կոնի հիմքի

շառավիղը:

Գրականություն Ի. Ի. Վալուցե,

Գ. Դ. Դիլիգոլ Մաթեմատիկա տեխնիկումների համար

Ն. Ս. Պիսկունով “Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներ”

Я. С. Бугров,

С. М. Никольский “Дифференциальное и интегральное исчисление”

Գ. Ն. Յակովլեվի

խմբագրությամբ “Հանրահաշիվ և անալիզի հիմունքները”

Գ. Գ. Գևորգյան,

Ա. Ա. Սահակյան “Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրերը”

И.П. Натансон “Краткий курс высшей математики”