TRİGONOMETRİYÖNLÜ AÇILAR

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine, açı;bu ışınlara,açının kenarları;başlangıç noktasına da açının

köşesi denir.Açı,düzlemsel bir noktalar kümesidir. Açıyı,kenarlarının yazılış sırasına göre,iki değişik biçimde

okuyarak yönlendiririz.Bu yönlendirmeyi ok yardımıyla belirleriz .

• Yukarıdaki şekillerde gördüğünüz gibi,açının köşesi etrafında,başlan-gıçkenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir.

• Bunlardan biri,saatin dönme yönünün tersidir ve pozitif yönlüdür.Diğeri ise. Saatin dönme yönünün aynısıdır ve negatif yönlüdür.

• [OA dan [OB ye doğru yönlendirilmiş açıya,pozitif yönde yönlendirilmiş açı denir.

Bu açı; {[OA,[OB} sembolüyle gösterilir.

• [OB den [OA ya doğru yönlendirilmiş açıya,negatif yönde yönlendirilmiş açı denir.

• Bu açı;{[OB,[OA} sembolüyle gösterilir.Yönlendirilmiş bir açı belirtilirken;ilk söylenen kenara başlangıç

kenarı,ikinci söylenen kenara da bitim kenarı denir.O hâlde;AOB açısı için;[OA başlangıç, [OB bitim kenarıdır.

ÖRNEKLER1)Şekildeki {[BA,[BC} açısının yönünü belirtelim

ÇÖZÜM:Şekildeki açının başlangıç kenarı [BA,bitim kenarı [Bc olduğundan, bu açıyı ABC diye belirtiriz ABC nin yönü,saatin dönme yönü ile aynı olduğundan ,negatif yönlüdür.

2)Aşağıda, şekilleri verilen yönlü açıları sembolle yazalım,Başlangıç ve bitim kenarlarını tespit edip yönlerini belirtelim.

ÇÖZÜMa)Verilen açı, BAC açısıdır,Başlangıç kenarı [AB dirBitim kenarı [AC dirYönü,saatin dönme yönünün aynısı olduğundan,negatif yönlüdür. b)Verilen açı,LKM açısıdır.Başlangıç kenarı [KL dirBitim kenarı [KM dirYönü, saatin dönme yönünün dersi olduğundan pozitif yönlüdür

c)Verilen açı POR açısıdır.Başlangıç kenarı [OP dirBitim kenarı [OR DİRYön, saatin dönme yönünün tersi olduğundan,pozitif yönlüdür

YÖNLÜ YAYLARYÖNLÜ YAYLAR Yayların yönlendirilmesini,yönlü açı kavramından yararlanarak

yapacağız.O merkezli bir çember çizelim.KOP açısı ile bu açının iç bölgesindeki noktalar kümesinin, O merkezli çemberle kesişimi,AB yayıdır.AB yayının yönü olarak,KOP açısının yönünü alacağız.KOP açısının yönü, saatin dönme yönünün tersi olduğundan, pozitif yönlüdür.O hâlde, AB yayıda pozitif yönlüdür.

A noktasına yayın başlangıç noktası ,B noktasınada yayın yayın başlangıç noktası ,B noktasınada yayın bitim noktasıbitim noktası denir.Bir yay,önce başlangıç sonra bitim noktası yazılarak belirtilir.

ÖRNEKLER1)Aşağıdaki O merkezli çemberde, başlangıç noktası A ve biyim noktası B

olan yayın yönünü belirleyelim.

ÇÖZÜM:Yayın başlangıç noktası A ve bitim noktası B olduğundan AB biçiminde yazılır.A dan B ye doğru gösterilen okun yönü,saatin dönme yönünün tersi olduğundan,XOY açısı pozitif yönlüdür.Dolayısıyla AB yayıda pozitif yönlüdür.

2)Aşağıdaki K merkezli çemberde,PKN açısı ile elde edilen yayın,başlangıç ve bitim noktalarını belirtelim

ÇÖZÜM:PKN açısı negatif yönlü olduğundan, elde edilen yay da negatif yönlüdür.Bu yayın başlangıç noktası R,bitim noktası da M olduğundan RM biçiminde ifade edilir.

BİRİM ÇEMBERTanım:Analitik düzlemde,merkezli başlangıç noktasında ve yarıçapı 1

birim uzunlukta olan çembere,birim çember denir

Merkezi O(0,0) ve yarıçapı r=1 olan çember denkleminin, x²+y²=1 olduğunu biliyorsunuz.Bunu, Ç={(x,y) |x.y є R ve x²+y²=1} biçiminde de yazabiliriz.

Yandaki birim çemberde; AOP açısı pozitif yönlü bir açı olduğundan, AP yayıda pozitif yönlü bir yaydır.POA açısı negatif yönlü bir açı olduğundan,PA yayı da negatif yönlü bir yaydır.

• Bir çember üzerindeki P noktasının koordinatları, (x,y) olsun.P(x,y) noktası;

• 1.bölgede ise, x›0 ve y›0 ;• 2.bölgede ise, x›0 ve y›0 ;• 3.bölgede ise, x‹0 ve y‹0 ;• 4.bölgede ise, x›0 ve y‹0 dır.

AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİAÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak

için, bir ölçü birimi tanımlamalıyız.Açıyı ölçmek, açının kolları arasın-daki açıklığı belirlemek demektir.

Şimdi, açıları ölçmede kullanacağımız ölçü birimleri olan;derece,radyan ve grad birimlerini tanımlayalım.

Derece Bir çemberin çevresini 360 eş parçaya bölelim.Birbirine eş olan

bu 360 yay parçasından herhangi birini gören merkez açının ölçüsüne,bir derece denir.Derece, (˚) simgesiyle gösterilir.

1˚nin 60 ta birine,1 dakika denir.Dakika, ‘ simgesi ile gösterilir. 1’ nın 60 ta birine,1 saniye denir.Saniye, “ simgesi ile gösterilir. Grad Bir tam çember yayını 400 eş parçaya böldüğümüzde,her bir

parçaryı gören merkez açının ölçüsüne,1 grad denir.Grad, g simgesi ile gösterilir.

Radyan Bir çemberde,yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez

açının ölçüsüne 1 radyan denir.Öyleyse,bir çember yayının ölçüsü 2π radyandır.

AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİNİN BİRBİRİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİAÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİNİN BİRBİRİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Bir çember tayının ölçüsü 360 derece veya 400 grad veya

2πradyandır.O hâlde,dereceyi D,radyanı R ve gradı da G ile gösterirsek;

D/360=R/ 2π=G/400 yazılabilir.ÖRNEKLER1)m(Â)=18˚ 28’ 34” ve m(Ê)= 46˚ 55’ 32” ise,aşağıdaki ifadelerin

sonucunu bulalım. a)m(Â) +m(Ê) b)m(Ê)-m(Â)ÇÖZÜMa)18˚ 28’ 34” + 46˚ 55’ 32” = 64˚ 83’ 66” (66” = 60” + 6” = 1’ + 6” olduğundan,1’ yı 83’ ya ilave edelim.)64˚ 84’ 06” (84’ = 60’ + 24’ = 1˚ + 24’ olduğundan,1˚yi 64˚ye ilave

edelim.)m(Â) + m(Ê) = 65˚ 24’ 06” bulunur.

b)46˚ 55’ 32” - 18˚ 28’ 34” (32” den 34” çıkmaz. 55’ den 1’= 60” salıp, 32” ye ilave edelim.32”+60” =92” olur.)46˚ 54’ 92” - 18˚ 28’ 34”= 28˚ 26’ 58” bulunur.O hâlde,m(Ê)-m(Â)= 28˚ 26’ 58” dir.

2)Birim çember üzerinde, uzunlukları aşağıda verilen yönlü yayların bitim noktalarının koordinatlarını bulalım.

a) 0 b) π/2 c) π d)3π/2 e)2πÇÖZÜM

Birim çember üzerinde 0 radyanlık yayın başlangıç ve bitim noktası A dır. A noktasının koordinatları (1,0) dır

– Ölçüsü 90˚ olan yayın bitim noktası B dir. B noktasının koordinatları (0,1) dir.

– Ölçüsü π radyan olan yayın bitim noktası A’ dır. A’ noktasının koordinatları (-1,0) dır.

– Ölçücü 270˚ olan yayın bitim noktası B’ dür.B’ noktasının koordinatları (0,-1) dir

– Ölçüsü 2π radyan olan yayın bitim noktası A dır. A noktasının koordinatları (1,0) dır.