Összeadás, kivonás tanítása 1-2 oszt

7/25/2019 sszeads, Kivons Tantsa 1-2 Oszt

1/38

1

Dr. Trk Tams

Az sszeads s a kivons tantsa 12. osztlyban

Tanti kziknyv

ltalnos iskola 14. osztly

Mennyit fizetnnk, ha a 4 gymlcsbl 2-t vsrolnnk meg?

Hny Ft-ot kapnnk vissza 100 Ft-bl, ha a kt legdrgbb gymlcst vlasztannk?

Rendszerezzk tblzatban a lehetsgeket!

A kt legdrgbb gymlcs 34 Ft-ba (alma) s 56 Ft-ba (szibarack) kerl.Ezrt 100 Ft-bl 100 (34 + 56) = 100 90 = 10 Ft-ot kapnnk vissza.

34 + 18 = 52 34 + 25 = 59 34 + 56 = 90

18 + 25 = 43 18 + 56 = 74

25 + 34 = 59 25 + 18 = 43

18 + 34 = 52

25 + 56 = 81

56 + 34 = 90 56 + 18 = 74 56 + 25 = 81


2/38

2

dr. Trk Tams, Nemzeti Tanknyvkiad Zrt., 2012

Nemzeti Tanknyvkiad Zrt.a Sanoma company

www.ntk.huVevszolglat: [email protected]

Telefon: 06 80 200 788

A kiadsrt felel: Kiss Jnos Tams vezrigazgatRaktri szm: RE84241

Felels szerkeszt: Kalls KatalinMszaki igazgat: Babicsn Vasvri EtelkaMszaki szerkeszt: Szabn Szetey Ildik

Grafikai szerkeszt: Rth gnes1. kiads, 2012

Formakszts:


3/38

3

Tartalom

Bevezets ........................................................................................................................... 4

1. Az sszeads s a kivons tantsa elsosztlyban ....................................................... 5 1.1. Az sszeads bevezetse a 10-es szmkrben ....................................................... 6

1.2. Ptls egy taggal, bonts kt tagra ......................................................................... 10

1.3. A kivons bevezetse a 10-es szmkrben ............................................................ 12

1.4. Hinyos kivonsok ................................................................................................. 17

1.5. A kt mvelet kapcsolata ....................................................................................... 19

1.6. sszeads s kivons a 20-as szmkrben ............................................................. 20

1.6.1. sszeads s kivons a 10 tlpse nlkl .................................................. 21

1.6.2. sszeads s kivons a 10 tlpsvel ........................................................ 22

2. Az sszeads s a kivons tantsa msodik osztlyban ................................................ 27

2.1. sszeads bevlts nlkl, kivons felvlts nlkl .............................................. 27

2.2. sszeads bevltssal, kivons felvltssal ........................................................... 30

3. ralers a tmakr elsosztlyos tantshoz .............................................................. 34

Felhasznlt s ajnlott irodalom ......................................................................................... 38


4/38

4

Bevezets

Az als tagozatos matematikatants legfontosabb clkitzsei kztt szerepel a szmolsi

kszsgek kialaktsa. Meghatroz jelentsge abban ll, hogy a feladatok dnttbbsgben fel-tett krdsek szmszervlaszt vrnak, amelyekhez szmols tjn jutnak el a tanulk. gy van eznemcsak a szmtan-algebra, hanem az sszes tbbi tmacsoport esetben is. Egy msik lnyegesszempont, hogy az egyszerszmfeladatok helyes eredmnynek megllaptsa a gyerekek siker-lmnynek egyik legbiztosabb forrsa.

Az alapmveletek tantsban ngy fontos, egymssal sszefggterletet klnbztethetnkmeg:

a mveletek bevezetse (rtelmezse),a mveletek vgzse (eljrstechnikja),

a mveletek kapcsolata (sszeads s kivons, illetve szorzs s oszts),a mveletek tulajdonsgai.

Ez a kziknyv az sszeads s a kivons 12. osztlyos tantshoz kvn segtsget adni.A kt vfolyamra vonatkoz tantsi tartalmakat, az elsajttst megknnyt feladattpusokat ktkln fejezetben trgyaljuk. Nagy hangslyt fektettnk a mveletek bevezetsnek mikntjre, azeszkzhasznlat lehetsgeire, a szmolsi eljrsok nehzsgi fokozatainak, valamint a kt mve-let kapcsolatnak bemutatsra.

Tisztelt Pedaggusok!

Remljk, hogy a kziknyv sok j tlettel jrul hozz az sszeads s a kivons 12. oszt-lyos tantshoz. Hasznlathoz s hasznosthatsghoz kvnunk sok sikerlmnyt nknek stantvnyaiknak egyarnt!

A szerzs a kiad


5/38

5

1. Az sszeads s a kivons tantsa elsosztlyban

ltalban is igaz, hogy egy mvelet tantsa csak arra a szmkrre terjedhet ki, amelyben a ta-nulk mr biztos szmfogalommal rendelkeznek. Az sszeadst s a kivonst az 5-s vagy a 6-osszmkr kialaktsa utn vezethetjk be, majd a szmfogalom bvtsvel terjeszthetjk ki a

10-es szmkrre.

A halmazelmlet kt tetszleges termszetes szm (as b) sszegt a kvetkezkppen rtel-mezi. Vegynk kt olyan halmazt (A-t sB-t), amelyek egymstl idegenek, s elemszmuk a,illet-ve b. Akkor a kt szm sszegnek (az a+ bmvelet eredmnynek) a kt halmaz egyestsvelkapott halmaz elemszmt feleltetjk meg. Vagyis, ha aA = , bB = s 0/=BA , akkor

BAba =+ .

Kt termszetes szm klnbsgnek halmazelmleti rtelmezsekor kt olyan halmazt ve-sznk fel, amelyek tartalmazsi viszonyban vannak egymssal. Az a bmvelet eredmnynek aklnbsghalmaz elemszmt feleltetjk meg. Vagyis, ha aA = , bB = s AB , akkor

B\Aba = .

A kt mvelet elsosztlyos bevezetsnek lehetsgei a halmazelmleti rtelmezskre ve-zethetk vissza azltal, hogy azAs aBhalmazt ms-ms jelentstartalommal ruhzzuk fel.

Bizonyos tanknyvek a kt mvelet egyidej, prhuzamos feldolgozst javasoljk arra hivat-kozva, hogy ezltal azonnal vilgoss vlik a kapcsolatuk is. Vlemnyem szerint a tanulk szem-

pontjbl egyszerbb, ha a kt mvelet kezdetben nem keveredik, ha elszr csak az sszeadssal,majd a kivonssal ismerkednek meg.

A mveletek rtelmezsekor fontos szerepet kell kapnia a Mit tudunk? s a Mit keresnk?krdsek felvetsnek, szbeli megvlaszolsnak s szmtannyelvlejegyzsnek egyarnt. gy azadatok s az eredmny kztti szmszerkapcsolatot nemcsak mveleti, hanem nagysgrendi sz-szefggsek kimondsval s megvlaszolsval is kifejezhetjk.

A bevezets idszakban clszervalsgos trgyakat (gymlcsket, virgokat, pkstem-nyeket, termseket stb.) hasznlni az sszeadsra s a kivonsra vezet szitucik bemutatsra.Ksbb a trgyakat, szemlyeket helyettesthetjk (szimbolizlhatjuk) klnbzmanipulcis esz-

A

BA BA

B A B A


6/38

6

kzkkel. Ezek hasznlatra a puszta szmfeladatok kiszmtsakor is szksg lehet mindaddig,amg a gyerekek kellszm memorizlt ismerettel nem rendelkeznek a mveletek eredmnyeirevonatkozlag.

1.1. Az sszeads bevezetse a 10-es szmkrbenAz sszeadst az adatok szerepe (jelentse) s a feltett krds szempontjbl alapveten hrom

klnbzmdon vezethetjk be:

a)egyestssel,b)hozztevssel,c)viszonytssal.

Az elnevezsek a tevkenysgi httrre utalnak. A knnyebb sszehasonlthatsg kedvrtmindhrom esetben ugyanazzal az sszeadssal lerhat szitucit (problmahelyzetet) vlasztottam.

a)Az egyestssel trtnbevezets teljes mrtkben megegyezik a halmazelmlet rtelmez-svel. Az egyests eltt a kt halmaz egyszerre, egyidejleg van jelen, s egyik halmaznaksincs kitntetett szerepe a msikkal szemben. Ezrt az egyestsrl ktfle sszeads je-gyezhetle. Rakjon ki pldul az egyik gyerek maga el 4 piros korongot, a padtrsa 3 k-ket, majd toljk ket ssze! A kiinduls s az eredmny elemszmokra vonatkoz kapcsola-tt a 4 + 3 = 7 s a 3 + 4 = 7 lejegyzs egyarnt kifejezi:

Az egyestssel kapott halmaz elemszmt viszonythatjk az eredeti halmazok elemszmhoz.A bemutatott plda alapjn megllapthatjk, hogy

3,47> illetve

4.37>

b)A hozztevsnl egy elre adott halmazt bvtnk egy msik halmaz elemeivel. Az sszesltrejttnek szempontjbl a hozztevs teht elidejsget felttelez. Ksztsen ki pldulaz egyik tanul 4 zld plcikt, majd a padtrsa tegyen hozz 3 srgt:

3 + 4 = 74 + 3 = 734

4 + 3 = 734+ 3

4 7


7/38

7

A hozztevssel kapott plcikahalmaznak az eredetinl 3-mal tbb eleme lett, teht itt is megl-lapthatjk, hogy

3,74 < illetve

3.47>

c)Az sszeads viszonytssal trtnbevezetsnl ismerjk az egyik halmaz elemszmt,tovbb azt, hogy ehhez kpest mennyivel van tbb eleme a msik halmaznak. Elszr cl-szera msik halmazbl ugyanannyit ellltani (kirakni, rajzolni), majd hozztenni (hozz-rajzolni) annyit, amennyivel tbb van. Vlogasson ki pldul az egyik gyerek a logikai ksz-letbl 4 lyukas lapot, a padtrsa pedig ennl 3-mal tbb simt:

Ez utbbi tevkenysg csak abban tr el a hozztevstl, hogy itt nem felttlenl az eredetihalmazt bvtjk, hanem egy vele azonos elemszm msikat. Az sszeads hrom bevezetsi lehe-tsge kztti hasonlsgot, illetve klnbzsget mutatja az albbi tblzat:

Tevkenysg Tudjuk Krdezzk

Egyests Ennyi volt az egyikbl. Ennyi volt a msikbl. Mennyi lett sszesen?

Hozztevs Ennyi volt valamibl. Ennyit tettnk hozz. Mennyi lett sszesen?

Viszonyts Ennyi van az egyikbl. Ennyivel van tbb a msikbl. Mennyi van a msikbl?

Az sszeg megllaptsnl az egyestssel trtnbevezets az sszeszmlls, a hozztevs

s a viszonyts pedig a tovbbszmlls mdszert sugallja. Szmfeladatok eredmnyeinek kisz-mtsakor a gyerekeknek kezdetben szksge van valamelyik bevezet szituci (egyests vagyhozztevs) ellltsra, az sszeads szereplinek trgyiastsra.

Pldul a 3 + 2 sszeads eredmnyt kiszmthatjk gy, hogy az egyik kezkkel 3-at, a m-sikkal 2-t mutatnak, majd egyesvel megszmlljk, hogy hny ujjat mutatnak sszesen. To-vbbszmllsnl csak az egyik kezket hasznlva a kinyitott 3 ujjukhoz kinyitnak mg egyes-vel 2-t. A trgyiastsra szmos egyb lehetsg (korongok, plcikk, fehr kockk, jtk pnzek,golys szmol, rajzkszts stb.) kzl vlaszthatnak a tanulk.

374< 3 47>

344

4 + 3 = 74 7+ 3


8/38

8

A tovbbszmlls termszetesen gyorsabban vezet eredmnyre, de ehhez gy kell tudniuk aszmok sorrendjt, hogy brhonnan knnyedn folytathassk a szmllst. Az sszeadandk felcse-rlhetsgnek tapasztalsval szintn maguk jhetnek r arra, hogy a nagyobb szmhoz knnyebbhozzadni a kisebb szmot, mint fordtva.

Az sszeads tantst sznesebb, vltozatosabb, ugyanakkor elmlyltebb tehetjk, ha aszmokat nemcsak darabszm, hanem mrszm tartalommal ruhzzuk fel. Az ilyen jellegfelada-tok kezdetben termszetesen csak az alkalmi mrtkegysgekkel trtnmrsekre (pl. sznes rudaksszetolsra) vonatkozhatnak. Szintn hasznosak a szmegyenesen val tjkozdshoz, lpege-tshez kapcsold feladatok.

Nhny feladatajnls az sszeads kezdeti szakaszhoz.

1. A hrcsg a lyukba viszi a magokat. Hny mag lesz a lyukban sszesen?

2. Hny makkot gyjttt a kt mkus sszesen?

3. Rajzolj pttyket a domink bal oldalra a jeleknek megfelelen! Szmtsd ki sszeadssal,

hogy hny pttyt kellett rajzolnod!

1>

2>

5>

3>


9/38

9

4. A verb egyesvel ugrlt a szmegyenesen. Figyeld meg, hogy honnan indult, hnyat lpett shov rkezett! rj rla sszeadst!

5. A fehr rudat 1-nek vlaszd! Melyik az a rd, amelyika)1 egysggel hosszabb, mint a lila?b)2 egysggel hosszabb, mint a citromsrga?a)3 egysggel hosszabb, mint a fekete?

rj egy-egy sszeadst is a feladatrszekhez!

Az sszeadsok tbbszri vgrehajtst vrjk el a tanulktl az n. tbbtag sszeadsi fel-adatok. Ezekben a mveletsorokban ltalban kettvagy hrom sszeadst kell egyms utn elv-geznik, mindig a rszletsszegekhez adva a kvetkezszmot.

6. Melyikbl hny darabot hasznltunk fel? Hny darabot hasznltunk fel sszesen? Jegyezd lehromtag sszeadsokkal tbbflekppen!

7. Vgezd el a ngytag sszeadsokat balrl jobbra haladva!

1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 1 + 1 + 2 =

3 + 0 + 1 + 4 = 1 + 4 + 3 + 1 = 5 + 3 + 0 + 1 =

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

2 1 2+ + =


10/38

10

1.2. Ptls egy taggal, bonts kt tagra

A ptls s a bonts tevkenysgi httert tekintve (valamennyire trtnkiegszts, illetvekettvagy tbb rszre oszts) szorosan az sszeadshoz tartozik. A szmtannyelvlejegyzsekbena ptls egy hinyz sszeadandt, a bonts pedig hinyz sszeadandkat tartalmaz egyenlsg

(nyitott mondat).

A ptls problmjt jtkosan vezethetjk be. Tegynk pldul az egyik keznkbe 5 korongot(nyitott kz) a msikba 3-at (sszezrt kz), majd mutassuk meg, hogy hny korongot tettnk a ktkeznkbe sszesen. J esetben a gyerekek maguktl teszik fel a krdst: Hny korong lehetett az sz-szezrt keznkben? t meg mennyi az nyolc? Jegyezzk is le szmtannyelven: 5 + = 8.

A bevezetst pros jtk kvetheti, amelyben a padtrsak egymsnak adhatnak fel hasonl fel-adatokat.

A bonts bevezetsnl azt a problmt vessk fel, hogy az adott halmazt (szmot) milyen m-don s hnyflekppen tudjuk 2 rszre (2 szm sszegre) bontani. Elszr tevkenysggel (pl. vi-rgok elhelyezse 2 vzban, sznes rudak kiraksa 2 rddal stb.) lltsunk elklnbzlehets-geket, majd ezt kvesse a megfelelszmtannyelvlejegyzs.

Nhny bevezetplda megbeszlse utn trekedjnk az sszes lehetsges bonts rendszere-zett ellltsra. Klnbztessk meg egymstl a tagok sorrendjben eltrlehetsgeket, s azo-kat az eseteket is adjuk meg, amelyeknek valamelyik tagja nulla. Nhny feladatajnls a ptls s a

bonts gyakorlsra:

1. Mozgasd a korongot a ptlsi feladatnak megfelelen, majd rd be a hinyz szmot!

0 + = 5 3 + = 6

2. Egsztsd ki a rajzot a ptlsi feladatnak megfelelen, majd rd be a hinyz szmot!

2 + = 6 3 + = 4 0 + = 3 1 + = 5

3 + = 5 2 + = 3 4 + = 6 0 + = 0

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6


11/38

11

3. A kt tlcsrben 4 gombc fagyi legyen sszesen!

4. Minden rdon 7 goly van. Bontsd a 7-et minden lehetsges mdon!

MEGJEGYZSEK

Tekintettel arra, hogy a kivons mvelett mg nem vezettk be, ezrt kezdetben a ptlsifeladatok megoldsi mdszereknt csak a prblgats jhet szmtsba. A gyerekek tapasz-talhatjk, hogy a ptlsnak mindig csak egy, a bontsnak viszont tbb megoldsa is lehet.A bontsok egyik tagjnak rgztsvel ptlsi feladathoz jutunk.

A 10-re ptls, illetve az egyjegyszmok sszes lehetsges bontsa egyttal a 10-es tlp-ses mdszer problmamentes trgyalsnak elfelttelt is jelenti.

Fedeztessk fel a tanulkkal, hogy ptlsi feladat megoldsval vlaszolhatnak a Mennyivelkevesebb? Mennyivel tbb?, illetve a Mennyivel kisebb? Mennyivel nagyobb? krdsfelvetsekre:

5. Mennyivel kevesebb a krte, mint az alma?

7 =

7 =

7 =

7 =

7 =

7 =

7 =

7 =

0 + 7

4 =4 =4 =4 =4 = 0 + 4


12/38

12

MEGJEGYZS

Elszr llaptsk meg a gyerekek, hogy hny krte s hny alma van! Ezutn fogalmazzukmeg a krdst mskppen: Hny krtt kellene hozztennnk (hozzrajzolnunk), hogy ugyan-annyi krte legyen, mint alma?A tevkenysggel trtnmegolds utn a szmok nyelvn tegyk fel a krdseket:

Mennyivel kisebb szm a 2 a 6-nl?Mennyit adjunk a 2-hz, hogy 6 legyen?Mennyivel nagyobb szm a 6 a 2-nl?Beszljk meg a krdsekhez tartoz lejegyzsi lehetsgeket:

+2 < 6 2 + = 6 2 6 6 > 2

Vgl rjk a tanulk a megoldst (4) a ngyzetekbe, majd szvegesen is vlaszoljanak akrdsekre!

6. Mibl van kevesebb (tbb) s mennyivel? rd be a hinyz szmot, majd olvasd el a szmtan-nyelvlejegyzseket!

1.3. A kivons bevezetse a 10-es szmkrben

A kivons bevezetsnek lehetsgei szintn a halmazelmleti rtelmezsbl szrmaztathatk.Kivonsra vezetproblmt vethetnk fel

a)elvtelhez,b) rszmeghatrozshoz vagyc) viszonytshoz kapcsoldan.

A hrom bevezetsi md hasonlsgnak rzkeltetsre ugyanazokbl, de ms-ms jelents-tartalm adatokbl fogunk kiindulni.

a)Az elvtellel trtnbevezetsnl egy halmaz elemszmt tnyleges elvtellel cskkent-jk valamennyivel. Tegynk a tanri asztalra egy tl gymlcst (pl. 7 almt), s vegynk elbelle valamennyit (pl. 3-at)!

4 > 3 3 < 4 5 > 2 2 < 5

2 < 6 6 > 2 1 < 7 7 > 1


13/38

13

A gyerekek mesljk el, amit lttak, majd llaptsk meg hny alma maradt a tlon! Ezutn raj-zoljuk le kzsen az almk szmnak vltozst (az almkat korongokkal helyettestve) a szmtan-nyelvlejegyzsekkel egytt:

Mivel az almk szma 3-mal kevesebb lett (eredetileg 3-mal tbb volt), ezrt a hozztevshezhasonlan most is megllapthatjuk, hogy

3,74 < illetve

3.47>

Rajzos feladatoknl az elvtelt (a nyl jells helyett) thzssal is jellhetjk.

b)Induljunk ki egy olyan ismert elemszm halmazbl, amely kt rszhalmazra bonthat. Haaz egyik rszhalmaz elemszmt ismerjk, akkor a msik rszhalmaz elemszmt (ssze-szmlls helyett) kivonssal hatrozhatjuk meg.

Hvjunk ki a tblhoz 5 lnyt s 2 fit (a szmokat nem kimondva, a tanulkat a nevkn sz-ltva). A fik vagy a lnyok szma termszetesen megllapthat sszeszmllssal, de ha az 5 lnytvagy a 2 fit a helykre kldjk, akkor a trtnetnek a 7 5 = 2, illetve a 7 2 = 5 szmtannyelvlejegyzs felel meg.

Neheztsk a feladatot gy, hogy megadjuk a teljes halmaz elemszmt, de csak az egyik rsz-halmazt tesszk lthatv. gy nincs is lehetsg a msik rszhalmaz sszeszmllsra. Rakjunkfel pldul 7 korongot a mgnes tblra, de kzlk 4-et takarjunk le. Ha elvesszk a 3 lthat ko-rongot, akkor csak a letakart korongok maradnak a tbln:

3

7 3 = 47

7

3 7 3 = 4


14/38

14

c)A kivons viszonytssal trtnbevezetsnl az egyik halmaz elemszma ismert, tovbbaz, hogy ehhez kpest mennyivel van kevesebb eleme a msik halmaznak. Tegyenek pld-ul a gyerekek 7 srga logikai lapot maguk el, majd ennl 3-mal kevesebb zldet! Ha a sr-gk kzl 3-at elvesznek (flretolnak), akkor megtudhatjk, hogy hny zldet kell kirakni-uk. Rajzzal szemlltetve:

Ugyanezt a feladatot szmtannyelven gy fogalmazhatjuk meg, melyik az a szm, amely a7-nl 3-mal kisebb? Az sszehasonlthatsg kedvrt foglaljuk most is tblzatba a kivons

bevezetsnek lehetsgeit:

Tevkenysg Tudjuk Krdezzk

Elvtel Ennyi volt valamibl. Ennyit vettnk el. Mennyi maradt?

Rszmegha-trozs

Ennyi van sszesen. Ennyi van az egyikbl. Mennyi van a msikbl?

Viszonyts Ennyi van az egyikbl. Ennyivel van kevesebb a m-sikbl.

Mennyi van a msikbl?

Nhny feladatajnls a kivons bevezetszakaszhoz.

1. rj kt kivonst mindegyik kprl! Mondd is el, hogy melyik kivons mire vlaszol!

a) b) c)

7 7 3 = 4


15/38

15

2. Hny korongunk s hny plciknk volt? Melyikbl mennyit hasznltunk fel? Melyikblmennyi maradt? rj rla kivonst!

3. Figyeld meg, hol llt, mennyit tolatott s hov rkezett a kisaut! Jegyezd le szmfeladattal!

4. Rajzold le, szmtsd ki!

a)Marci az desapjval tekzett. A 9 bbu kzl 7-et sikerlt ledntenie. Hny bbu maradtllva?

b)Vera az osztlykirndulsra 6 almt vitt magval. Dleltt 1-et, dlutn 2-t evett meg, 3-atpedig az osztlytrsainak ajndkozott. Hny almja maradt estre?

5 3 =

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5

5 3 =

5 2 =


16/38

16

5. Elszr rd mindegyik ngyzetbe a megfelelszmot! Sznezd ki a ceruzkat, majd sznezd kia rajzot!

6. Hnyadik emeletre vezetnek a lbnyomok? rd az ablakokba!

7. Indokold meg kivonssal!

9 5> 4, mert 10 3> 7, mert

1

23>

5

1

3

55

32

3 44

4

1

4

3

7

1

7

2

1

4

5

3

6

5

3

2

+ +

+ +

+ +


17/38

17

Szmok sszehasonltsakor lehetsg szerint ne mondjunk nagyobb (kisebb, egyenl) he-lyett tbbet (kevesebbet, ugyanannyit), mint ahogy ezt fordtva sem tesszk. Darabszmoksszehasonltsakor sem mondunk a tbb (kevesebb, ugyanannyi) helyett nagyobbat (kiseb-

bet, egyenlt).

Szintn a helyes szhasznlathoz tartozik, hogy a kivons eredmnyt klnbsgnek nevez-zk. A maradk sz hasznlata keveredst okozhat ksbb a maradkos oszts tantsakor.Ez nincs ellentmondsban azzal, hogy az elvtel mint tevkenysg eredmnyt gy fejezzkki, hogy maradt valamibl valamennyi (pl. 3 alma).

1.4. Hinyos kivonsok

Hinyosnak neveznk egy kivonst, ha ismerjk

a)a kisebbtendt s a klnbsget (pl. 9 = 5) vagy

b)a kivonandt s a klnbsget (pl.2 = 4).

Az a)-nl a hinyz kivonandt, a b)-nl a hinyz kisebbtendt keressk. Elszr olyan szi-tucikat, talls krdseket (fordtott szvegezsfeladatokat) ismertessnk a tanulkkal, amelye-ket nyitott mondatokkal jegyezhetnek le. Ez a tevkenysg az ismeretlen fogalmi kialaktsa s amodellezsi kpessg fejlesztse szempontjbl is fontos. A lejegyzs szveghlegyen, azaz ne azismeretlen kiszmtsra vonatkozzk! Kt plda:

1. Erika knyvespolcn 6 meseknyv sorakozott. Levett kzlk valahnyat, gy csak 4 mese-knyv maradt ott. Hny meseknyvet vett le Erika a polcrl?

2. Peti a jtk auti kzl 3-at a bartjnak ajndkozott, gy csak 5 jtkautja maradt. Hnyjtkautt ajndkozott Peti a bartjnak?

MEGJEGYZS

Az utbbi kt feladatnl az ismertets utn krdezzk meg, hogy mire vezessnk be ismeretlents mivel jelljk. A nyitott mondatok lejegyzsre krjnk javaslatot gyelve arra, hogy azok atrtnetek sz szerinti fordtsnak feleljenek meg:

6 = 4, illetve3 = 5.


18/38

18

A hinyos kivonsi feladatok megoldsi mdszere kezdetben a ptlshoz hasonlan csak aprblgats lehet. Megknnyti az ismeretlen megllaptst, ha a nyitott mondatokhoz rajzok istartoznak.

3. Mennyit kell kivonnod? Hnyat kell thznod?

4. Hny ceruza lehetett a tolltartkban?

A Mennyivel tbb? Mennyivel nagyobb? krdsekre kzvetlenl hinyos kivonsi feladatokfelrsval s megoldsval vlaszolhatunk. Pldul az 1.2. fejezet 5. feladatnl gy is feltehetjk akrdst: Mennyivel van tbb alma, mint krte? Hny almt kellene elvennnk, hogy ugyanannyialma legyen, mint krte? Mennyivel nagyobb szm a 6 a 2-nl? Mennyivel kisebb szm a 2 a 6-nl?A krdseknek megfelelszmtannyelvlejegyzsek:

6 = 1

8 = 4

7 = 2

3 = 1 2 = 0 1 = 5

6 > 2 6 2 = 6 2

6 < 2


19/38

19

1.5. A kt mvelet kapcsolata

Megfigyelhettk, hogy az sszeads s a kivons bevezetsnek lehetsgei a tevkenysgszintjn hozztevsen, illetve elvtelen alapulnak. A kt tevkenysg egymssal ellenttes, ennekmegfelelen az sszeads s a kivons is ellentett mveletek. Ha egy halmazt bvtnk (egy szmotnvelnk) valamennyivel, majd ugyanannyival cskkentjk, akkor az elemszm (az eredmny) nemvltozik. Ugyanez termszetesen fordtott sorrendben is igaz. Ez, a kt mvelettel val ismerkedssorn szerzett tapasztalat ad alapot arra, hogy a kivonst sszeadssal, az sszeadst pedig kivons-sal ellenrizhessk a tanulk:

1. sszeadssal ellenrizd a kivonst!

6 2 = 8 5 = 7 1 = 9 4 =

2. Kivonssal ellenrizd az sszeadst ktflekppen!

5 + 1 = 4 + 3 = 2 + 7 = 3 + 5 =

3. rj a fzetedbe kt sszeadst s kt kivonst a kprl! Mondd is el, hogy melyikkel mit szm-tottl ki!

Szintn a kt mvelet kapcsolatbl kvetkezik, hogy a hinyz sszeadandt, kisebbtendtvagy kivonandt tartalmaz nyitott mondatokban az ismeretlent mvelettel is meghatrozhatjuk:

a) A hinyz sszeadandt kivonssal szmthatjuk ki.Pldul a + 3 = 8 ptlsi feladatban az ismeretlen szmhoz 3-at adva 8-at kaptunk. Ha most azeredmnybl kivonunk 3-at, akkor nyilvn visszakapjuk az ismeretlent:= 8 3 = 5.

Nyilakkal szemlltetve:

b) A hinyz kisebbtendt sszeadssal szmthatjuk ki.Pldul a 2 = 7 nyitott mondatban az ismeretlen szmbl 2-t kivonva 7-et kaptunk. Ha most azeredmnyhez 2-t hozzadunk, akkor visszakapjuk az ismeretlent: = 7 + 2 = 9.

Nyilakkal szemlltetve:

+ 38

3

27

+ 2


20/38

20

c) A hinyz kivonandt kivonssal szmthatjuk ki.Ennek a szablynak a beltsa mr nem olyan nyilvnval, mint az elzkett. Segtsget je-

lent a megrtsben, ha a hinyz kivonandt tartalmaz nyitott mondatot ptlsi feladatknt is meg-fogalmazzuk. Pldul a 6 = 1 nyitott mondat gy is felrhat: 1 + = 6, mert ha a 6-bl kivo-nunk, majd az eredmnyhez hozzadunk ugyanannyit, akkor visszakapjuk a 6-ot.

Ez utbbi nyitott mondat megoldsa az a)szably alkalmazsval:= 6 1 = 5.

gy is indokolhatunk, hogy a kt nyitott mondat ugyanannak a feladatnak a szmtannyelvle-jegyzse: Mennyivel nagyobb szm a 6 az 1-nl?, illetve Mennyivel kisebb szm az 1 a 6-nl?

Ezeket a szablyokat termszetesen nem megtanulni, hanem rtmdon kell tudnia alkalmaznia gyerekeknek:

4. Szmtsd ki a hinyz szmot, majd ellenrizz!

a) 2 = 4 3 = 5 1 = 8

= = =

b) 7 2 = 3 6 2 = 1 9 2 = 4

= = =

c) 3 + 2 = 5 2 + 2 = 8 1 + 2 = 7

= = =

5. rd fel nyitott mondattal, majd szmtsd ki a gondolt szmot!

a) A gondolt szmhoz 3-at adva 10-et kapunk.b) A gondolt szmbl 2-t kivonva 5-t kapunk.c) A gondolt szmot 9-bl kivonva 4-et kapunk.

1.6. sszeads s kivons a 20-as szmkrben

A tanulk szm- s mveletfogalmnak ignyes kialaktsa a 10-es szmkrben j alapot ad a10-nl nagyobb szmok bevezetshez s a mveletvgzs folytatshoz a 20-as szmkrben. Azj szmokkal val ismerkedst itt mr sszekapcsolhatjuk az sszeadssal. A szmokat szrmaz-tathatjuk egyrszt a rkvetkez, az elznl 1-gyel nagyobb szm kpzsvel (pl. 17 = 16 + 1),msrszt 10-hez adssal (pl. 17 = 10 + 7).

A szmfogalom megszilrdtsa szempontjbl vltozatlanul fontosak a szmok rsval, olva-ssval, szmszomszdokkal, szmhozzrendelsekkel s nagysgrendi sszehasonltsokkal kap-csolatos feladatok. Az sszeads s a kivons tantsakor a fokozatossg elvt betartva elszr aknnyebb (tlps nlkli), majd a nehezebb (tlpses) eseteket trgyaljuk.


21/38

21

1.6.1. sszeads s kivons a 10 tlpse nlkl

A 10 tlpst nem ignylsszeadsok s kivonsok egy rszt azok a feladatok jelentik, ame-lyekben teljes ktjegyszmhoz egyjegyszmot adunk (pl. 12 + 5), illetve vonunk ki (pl. 17 3).

Ezeknl a feladatoknl mindkt mveletvgzs analgin alapul.Pldul a 2 + 5 s a 12 + 5 vagy a 7 3 s a 17 3 szmfeladatok megjelenskben s hangz-

sukban is nagyon hasonlak. Rokonsguk ugyanakkor a tevkenysg szintjn is jelen van. Jtkpnzekkel elvgezve a hozztevseket, illetve az elvteleket a gyerekek szrevehetik, hogy ez val-jban csak az egyeseket rinti, hiszen a tzesekhez nem kell hozznylni:

A kivonsnl a tzest is el kell venni, ha a kisebbtends a kivonand is ktjegyszm (pl.17 13). Ezeknl a feladatoknl a tzes s az egyesek elvtele helyett ptlssal is megllapt-hatjuk az eredmnyt. Egyszerbb gy szmolni fleg akkor, amikor a kt szm kzel van egyms-hoz (pl. 18 16). Nhny gyakorlsra ajnlott feladat:

1. Vgezd el az sszeadsokat s a kivonsokat!

a) 12 + 3 = 11 + 8 = 13 + 4 =

b) 16 1 = 19 7 = 15 3 =

c) 18 15 = 17 12 = 19 11 =

2. Tegyl fel krdst, majd vlaszolj is r!

a)Dvidnak 12 blyege van, Bencnek 5-tel tbb.b)Egy kzilabdameccsen a gyztes csapat 20 glt dobott, 6-tal tbbet, mint a vesztes.

c)A domboldalon 15 lny s 11-gyel kevesebb fi sznkzott.

3. Kt szm sszege 18. A 2. szm 10-zel nagyobb, mint az 1. szm. Melyik ez a kt szm?Folytasd a tblzat kitltst, amg a helyes megoldst meg nem kapod!

1. szm 0 1

2. szm 10 11

sszeg 10

1

11

1 1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 11010

2 + 5 12 + 5 17 37 3


22/38

22

4. Oldd meg a nyitott mondatokat!

a) 12 + = 19 + 3 = 15 14 + = 16b) 18 = 12 13 = 10 15 = 11

c) 2 = 17 6 = 11 12 = 7

1.6.2. sszeads s kivons a 10 tlpsvel

A mveletvgzs szempontjbl az 1. osztly legnehezebb, de egyttal legfontosabb feladat-tpust a 10 tlpst ignylsszeadsok s kivonsok jelentik. A gyerekek szmra egyrszt ezzelteljesedik ki a kt mvelet 20-as szmkrben trtnvgrehajtsa, msrszt az itt elsajttand elj-rsokat 24. osztlyban is hasznlni fogjk. Az n. tzestlpses mdszertalkalmazzuk, ha kt egy-

jegy

szm sszege nagyobb, mint 10, illetve, ha egy ktjegy

s egy egyjegy

szm klnbsgekisebb, mint 10.

A clirnyos elkszts olyan, korbban mr elfordul feladatokat tartalmazzanak, amelyek amdszer szempontjbl felttlenl szksgesek.

1. Ptolj 10-re!

a) 3 + = 10 9 + = 10 6 + = 10 1 + = 10b) 8 + = 10 4 + = 10 5 + = 10 2 + = 10

2. Mindenhol 10 legyen a klnbsg!

a) 14 = 10 17 = 10 11 = 10 15 = 10b) 12 = 10 19 = 10 13 = 10 16 = 10

3. A 10-hez adj!

a) 10 + 3 = 10 + 5 = 10 + 1 = 10 + 8 =

b) 10 + 9 = 10 + 2 = 10 + 6 = 10 + 4 =

4. A 10-bl vonj ki!

a) 10 3 = 10 5 = 10 1 = 10 8 =

b) 10 7 = 10 2 = 10 6 = 10 4 =


23/38

23

5. Bontsd fel a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 szmokat kt szm sszegre az sszes lehetsges mdon!A nulla ne szerepeljen a felbontsokban!

A tzestlpses mdszer nehzsgt az okozza, hogy egyszerre kt dologra is oda kell figyelni:

Mennyit kell elszr az elstaghoz hozzadni (a kisebbtendbl kivonni)?Mennyivel kell mg a kapott sszeget (klnbsget) nvelni (cskkenteni)?

Magt a mveletvgzst alapveten ktflekppen segthetjk. Egyrszt eszkzhasznlattal (pl.golys szmolgp, sznes rudak, jtk pnzek, szmegyenes), msrszt olyan utalsokkal, amelyekelrjk a tanulknak, hogy a mveletet kt lpsben (a 10 mint rszeredmny kzbeiktatsval)vgezzk el:

6. Egy nyl helyett kett, kt nyl helyett egy. Elszr mindig az als ton haladj!

7. Vonj ki kt lpsben!

8. Vgezd el az sszeadsokat s a kivonsokat! Mi a kzs mindegyikben?

a) 8 + 2 + 5 = 3 + 7 + 7 = 9 + 1 + 2 =

b) 6 + 4 + 8 = 7 + 3 + 6 = 5 + 5 + 4 =

c) 16 2 = 14 4 = 19 9 6 =

d) 15 5 = 12 2 = 17 7 2 =

6 9 8

2 2 4 5 7 1

a)

b)

+

13

12

17 11

14 17

+ 5

1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

+ 2

+ 5

+ 8

+ 8

+ 1 + 3 + 4

+ 6

+ + +

+ + + + +

5 2 7

6a)

b)

9 3


24/38


25/38

25

13. Add ssze a szmokat soronknt, oszloponknt s a kt tls irnyban is! rd az sszegeket amegfelelhelyre! Mit veszel szre?

a) b)

8 1 6 1 8 3

3 5 7 6 4 2

4 9 2 5 0 7

14. A lenti tz szmkrtyt jl sszekevertk, majd kihztunk kzlk kettt-kettt, amg el nemfogytak. A pronknt kihzott szmok sszegt, illetve klnbsgt a tblzatba rtuk.Mely szmok lehettek a krtykon az 1., 2., 3., 4., 5. hzsnl? Prblkozsaidat rd a tbl-zatba, majd keresd meg az egyetlen lehetsges megoldst!

a)

1. hzs 2. hzs 3. hzs 4. hzs 5. hzs

sszegek 16 4 13 7 5

Szmprok

b)

1. hzs 2. hzs 3. hzs 4. hzs 5. hzs

Klnbsgek 10 6 15 8 9

Szmprok

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 5 7 9 10 12 15 17 20


26/38

26

MEGOLDS

A hzsonknt lehetsges szmprokat a kitlttt tblzatokban talljuk. Szrke tnussal jell-tk azt az egyetlen elkpzelhetmegoldst, amely mind az t hzst figyelembe veszi:

a) 1. hzs 2. hzs 3. hzs 4. hzs 5. hzs

sszegek 16 4 13 7 5

7 9 0 4 4 9 0 7 0 5

1 3 5 8 1 6 1 4

6 7 2 5 2 3Szmprok

3 4

b) 1. hzs 2. hzs 3. hzs 4. hzs 5. hzs

Klnbsgek 10 6 15 8 9

20 10 15 9 20 5 20 12 12 3

17 7 9 3 17 2 17 9

15 5 15 7Szmprok

12 2 10 2

MEGJEGYZSEK

A feladatok elsrszvel a szmok klnbz(sszeg-, illetve klnbsg alak) felbontstgyakoroltathatjuk.

Az egyetlen lehetsges megolds keresse eltt ellenriztessk, hogy szerepel-e valamennyifelbonts a tblzatokban! Mindkt feladatrszben tallunk egyrtelmfelbontst. Ezek fel-ismerse utn kihzhatjuk azokat a szmprokat, amelyek tartalmazzk az egyrtelm fel-

bontsban szereplszmok brmelyikt, hiszen ezek a szmok mr elkeltek. Ily mdon to-vbb haladva kizrsos alapon juthatunk el a megoldshoz.

A bemutatott feladattpust mg izgalmasabb, letszerbb tehetjk a gyerekek szmra, ha10 elre elksztett szmkrtybl 5 tanul vlaszt ki kettt-kettt, s csak az eredmnyeketrjk fel a tblra. A helykn ltanulk feladata a szmprok kitallsa. Tekintettel a v-letlenszer hzsokra nem minden esetben szmthatunk egyrtelmmegoldsra. Ilyenkormegnzhetjk, hogy van-e olyan szm, amely csak egyetlen felbontsban szerepel. Ha ilyet

sem tallunk, akkor valamelyik tanult krjk meg, hogy rulja el az egyik szmot! Ajnlomfigyelmkbe a szmkrtys jtk rai kiprblst!


27/38

27

2. Az sszeads s a kivons tantsa msodik osztlyban

Msodik osztlyban a tanulk olyan mveleti eljrsokat ismernek meg a 100-as szmkrben,amelyek mr szoros kapcsolatban llnak a szmrendszeres alak, a helyi rtkes rsmd logikjval.ppen ezrt nagyon fontos, hogy a ktjegyszmokat fel tudjk bontani kerek tzesek s egyjegyszmok sszegre s fordtva: meg tudjk llaptani, hogy egy ilyen sszegalak melyik ktjegyszmnak felel meg. Tevkenysgi oldalrl megkzeltve: egy adott pnzsszeget eltudjanak ll-tani 10 s 1 forintosokkal. Ennek megfelelen a kerek tzeshez egyjegy szm hozzadsa aszmfogalom alaktsnak szerves rszt kpezi, ezrt ezzel az sszeadsi alapesettel kln nemfoglalkozunk.

Az elsosztlyban megszerzett j szmolsi kszsg (10-es krben) s az rt mdon elsa-jttott szmfogalom (100-as krben) elengedhetetlen felttele az sszeads s a kivons 2. oszt-lyos folytatsnak.

A kt mvelet kapcsolatbl addan minden sszeadsi alapesetnek megvan a kivonsi meg-felelje, ezrt ezeket az sszetartoz alapeseteket clszeregymst kveten feldolgoznunk. A m-veletvgzs technikjt minden esetben tevkenysggel, elssorban jtk pnzekkel trtnmanipu-lcival prhuzamosan mutassuk be.

2.1. sszeads bevlts nlkl, kivons felvlts nlkl

Az sszeads s a kivons szmolsi eljrsainak tantsakor az elsosztlyhoz hasonlan alapveten kt nehzsgi fokozatot klnbztethetnk meg. Egyszerbbek, knnyebben elvgez-hetk a bevlts nlkli sszeadsok s a felvlts nlkli kivonsok, amelyek az albbi alapesetek

valamelyikt jelentik:

a)kerek tzesek sszeadsa, kivonsa,b)egyjegyszm hozzadsa teljes ktjegyszmhoz,c)egyjegyszm kivonsa teljes ktjegyszmbl,d)kerek tzes hozzadsa teljes ktjegyszmhoz,e) kerek tzes kivonsa teljes ktjegyszmbl,f)teljes ktjegyszmok sszeadsa,g)teljes ktjegyszmok kivonsa.

Ezek az alapesetek azrt egyszerek, mert nincs szksg az egyesek tzesre (a tzesek sz-zasra), illetve 1 tzes egyesekre (1 szzas tzesekre) vltsra.

Az a)e) alapesetekhez tartoz szmolsok mindegyike analgin alapul. Ezeknl a mve-letvgzseknl vagy csak kerek tzeseket, vagy csak egyjegyszmokat kell sszeadni, illetve ki-vonni egymsbl, a msik helyi rtken nem trtnik vltozs. Az a)alapeset kitekints jelleggelmr 1. osztlyban is elfordul.


28/38


29/38

29

MEGJEGYZSEK

A kivonsnl az ltalnosabb hasznlhatsgra tekintettel szerencssebb, ha a mso-

dikknt bemutatott eljrs vlik gyakorlatt, mivel az egyeseket sokszor nem is tudjuk ki-vonni egymsbl.

Azonos szmjeggyel kezdd(vagy vgzd) szmok esetben a kivons eredmnyt elvtelhelyett ptlssal is kiszmthatjk a gyerekek (pl. 69 65 vagy 83 23).

Nhny feladatajnls a vlts nlkli sszeadsokra s kivonsokra:

1. Gyakorold az sszeadst s a kivonst!

a) 20 + 30 = 10 + 80 = 40 + 40 = 60 + 20 =

80 60 = 70 10 = 50 50 = 90 30 =

b) 24 + 3 = 72 + 5 = 91 + 4 = 33 + 6 =

37 5 = 69 7 = 86 2 = 28 8 =

c) 24 + 30 = 60 + 14 = 11 + 70 = 50 + 35 =

57 20 = 98 50 = 63 40 = 77 10 =

d) 52 + 36 = 63 + 24 = 12 + 56 = 41 + 23 =

76 34 = 85 52 = 99 23 = 38 17 =

f)

g)

1

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1

23 + 34 = 50 + 7 = 57

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1

23 + 34 = 53 + 4 = 57

1

57 23 = 37 3 = 34

1010

1 1

10 10 10

1 1 1 1

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1

57 23 = 30 + 4 = 34


30/38

30

2. Oldd meg a szveges feladatokat a fzetedben!

a) Egy parkolban jelenleg 42 aut parkol. Mr csak 6 szabad hely van. Hny aut parkolhatsszesen?

b) Egy gymlcssben 23 meggyfa s 30-cal tbb almafa van. Hny almafa van a gyml-cssben?

c) Egy cukrszdban ma 98 gombc fagyit adtak el. Tegnap 15 gombccal kevesebbet. Hnygombc fagyit adtak el tegnap?

d) Amikor Bea szletett, desapja 31 ves volt. Bea desapja 38 ves. Hny ves Bea?e) Egy kerkprtrn az 1. napon 33 km-t, a 2. napon 21 km-t s a 3. napon 24 km-t tettek meg

a gyerekek. Hny km-t kerkproztak a hrom nap alatt sszesen?f) Judit az 58 kpeslapjbl valamennyit Ritnak ajndkozott, gy csak 31 kpeslapja maradt.

Hny kpeslapot ajndkozott Judit Ritnak?

3. rd a hinyz szmokat a karikkba, a hinyz mveleteket pedig a nyilakra!

4. Sorold fel azokat a szmokat, amelyek igazz teszik a nyitott mondatot!

2.2. sszeads bevltssal, kivons felvltssal

A 100-as szmkrben az sszeads s a kivons korltlan elvgezhetsge miatt a nehezebb,vltst ignylszmolsi eljrsokat is el kell sajttania a tanulknak. Ezeknek a szmfeladatoknaka kiszmtshoz az eredmny jtk pnzekkel trtnellltshoz bevltsra, illetve felvl-tsra van szksg. gy is mondhatjuk, hogy az 1. osztlyban megismert, a 10 tlpsn alapulmdszer ltalnostsaknt itt a kerek tzesek tlpsre van szksg.

47 41 48 3 + 5 6

2

:

:

:

44 > 49 9098

321 5 > 2

93 + 463 + 5> 86 4 47 3

Összeadás, kivonás tanítása 1-2 oszt

Documents