outline - 國立臺灣大學ocw.aca.ntu.edu.tw/ocw_files/103s121/103s121_aa24l01.pdf ·...
TRANSCRIPT
翁秉仁 教授
【本著作除另有註明，所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義，採用 創用CC 姓名標示-非商業使用-相同方式分享 3.0 台灣 授權條款釋出】
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
Outline
使用指數函數的模型
一階微分方程
一階微分方程的非確解-數值方法
2 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
馬爾薩斯的人口模型
敘述：
英國經濟學家馬爾薩斯 (Malthus)，在 1798 年提出下述人口成長模型：
「人口的成長率與總人口數成正比。」
馬爾薩斯的人口模型：
令 P (t) 表時間 t 的人口數，且 P0 為 t = t0 時的人口數，則以上敘述可以數量化為：{
P ′(t) = λP(t), λ > 0
P (t0) = P0 > 0
3 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
馬爾薩斯的人口模型
由題意知 P (t) > 0：∫ t
t0
P ′(t)P (t) dt =
∫ t
t0
d P (t)P (t)
u=P (t)=
∫ P (t)
P (t0)
d uu
= ln u∣∣∣P (t)
P0
= ln P (t)P0
又由原方程式得到：∫ t
t0
P ′(t)P (t) dt =
∫ t
t0λ dt = λ(t − t0)
合併兩式得到：P (t) = P0eλ(t−t0)
4 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
放射衰變與考古斷代
放射衰變模型：
令 M (t) 為時間 t 時放射性元素之總量。M0 為 t = t0 時之總含量，則{
M ′(t) = −κM(t), κ > 0
M (t0) = M0
計算後可得：M (t) = M0e−κ(t−t0)
5 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
利息的逼近
令 r 為年利率，n 為存款月數，A 為母金，則複利公式：
Mn (第 n 期母金加利息) = A (1 +r12
)n。
複利的基本思想是
第 n 月利息 =(Mn − Mn−1)
1=
r12
· Mn−1。
(即「變化量與總數成正比」↔人口模型。)
6 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
利息的逼近
利息複利的連續模型：
M ′(t) = r12M (t), M (0) = A
注意到這裡 t 得單位是月。計算後可得：
M (t) = A e r12
t
註：Mn = A(1 + r
12)n ≈ A(e r
12 )n。其中 (1 + r12)
n ≈ (e r12 )n。
7 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
牛頓冷卻定律
一冷卻體之冷卻速率與「該物溫度及室溫之溫差成」正比。
說明：
令此物之溫度 T(t)，在 t = t0 時之溫度為 T0，又室溫為 H，則牛頓冷卻定律為：
T ′(t) = −α(T (t)− H) ，其中α > 0為與該物體有關之常數。
8 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
牛頓冷卻定律
由模型利用不定積分得到：
T (t) = H + (T0 − H)e−α(t−t0)
說明：
T ′(t) = −α(T (t)− H) ⇒ d TT (t)− H = −α d t
⇒T (t) = H + C1 e−αt
代 t = t0,T (t0) = T0 ⇒C1 = (T0 − H) e αt0
9 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
修正的人口模型：Logistic 模型
敘述：
Verhulst 在 1840 年修正馬爾薩斯的人口模型：
Logistic 模型：P ′(t) = λP (t)(M − P (t)), λ,M > 0
10 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
修正的人口模型：Logistic 模型
模型推導：
∫ P ′(t)P (t)(M − P (t)) dt u=P (t)
=
∫ d uu(M − u) =
1
M
∫ (1
u +1
M − u
)du
=1
M ln∣∣∣∣ uM − u
∣∣∣∣+ C =1
M ln P (t)M − P (t) + C
若假設初始條件 P(t0) = P0，0 < P0 < M，則
P (t) = M1 + ( M
P0− 1)e−λM(t−t0)
11 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
傳染病之擴散模型
假設有一種傳染病，接觸便會感染，而且感染後便能免疫永不在
患，因此在時間 t，某城市的所有人口 M 中，可分成已感染人
口 P (t) 與未感染人口 M − P (t)，設 I (t) = P (t)M (已感染者比率)
S (t) = M−P (t)M (未感染者比率)
12 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
傳染病之擴散模型
接著假設 η 是在此城市中每人每天平均接觸的人數，則病人 (感染者) 每天的增加率為(
η × S (t))×
(M × I (t)
)
模型：
(M × I (t)) ′ = η · S(t) · M · I (t) ⇔ I ′(t) = η · I (t) ·(1− I(t)
)註：
這是一個 Logistic 模型。
13 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
Outline
使用指數函數的模型
一階微分方程
一階微分方程的非確解-數值方法
14 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階微分方程
敘述：
一階的微分方程其一般式可表為
y ′(t) = f (t, y)
若雙變數函數 f (t, y) = p (t) y + q (t)，則稱此微分方程稱為一階線性微分方程。否則稱為一階非線性微分方程。
15 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階微分方程-例子說明
例： y ′ = 2y說明：
y ′(t) = 2y (t) ⇒ (ln |y (t)|)′ = 2 ⇒ (ln |y (t)|) = 2t + C1
⇒ |y (t)| = C2 e2t, (C2 = eC1)
⇒ y (t) = C e2t, (C = ±C2 ̸= 0)
y (t) = 0 也是解。所以一般解為 y (t) = Ce2t, C ∈ R
(1) 任給一點 (t0, y0) ∈ R2，都有一條解曲線通過它。
(2) 任兩條解曲線皆不相交。
16 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階微分方程
定理：(解之存在唯一定理)
一階微分方程
{y ′(t) = f
(t, y(t)
)y (t0) = y0
，
有解且僅有一解。
17 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階非線性微分方程-分離變數法
y ′(t) = g(t) h(y)
說明：
y ′(t)h (y (t)) = g (t) ⇒
∫ y ′(t)h (y (t)) dt =
∫g (t) dt
再利用不定積分解出，這些解是 h (y) ̸= 0 時的一般解。注意到
當 h (α) = 0 時，y = α 也是方程式的解。
18 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階非線性微分方程-例子說明
例： y ′ = (1 + y2) et
說明：
⇒ y ′
1 + y2 = et ⇒∫ dy
1 + y2 =
∫et dt
⇒ tan−1 y = et + C ⇒ y (t) = tan( et + C )
19 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階線性微分方程-解法
模型：
y ′(t) + p (t)y (t) = q (t)
說明：
希望找 u(t)，使得下式成立(u (t)y (t)
)′= u (t)y ′(t) + u (t)p (t)y (t) = u (t)q (t)
這樣就可以用不定積分求解。
但是(u (t)y (t)
)′= u ′(t)y (t) + u (t)y ′(t)，所以 u (t) 必須滿足
u ′(t) = u (t)p (t)
20 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階線性微分方程-解法
因此得到 ∫ u ′(t)u (t) dt =
∫p(t) dt + C
取 u (t) = e∫
p (t) dt 代入(
u (t)y (t))′= u (t)q (t)，得到 y (t) 的一
般解為
y (t) = e−∫
p (t) dt ·∫
e∫
p (t) dt q (t) dt
21 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
一階線性微分方程-例子說明
例： y ′(t) + y (t) = t, y (0) = 0。
說明：
p (t) = 1, q (t) = t，先求
u (t) = e∫
p (t) dt = e∫
1 dt
取 u (t) = et
y (t) = e−t∫ (
tet) dt ⇒ y (t) = (t − 1) + C · e−t
⇒ y (t) = (t − 1) + e−t (由 y(0) = 0, 得C = 0)
22 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
Outline
使用指數函數的模型
一階微分方程
一階微分方程的非確解-數值方法
23 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
定性法或觀察法-例子說明例 1： 用簡單微積分觀察 Logistic 方程 y ′ = 2y(1− y)。說明：
(1) y ′ = λy(M − y)。用一階導數與遞增、遞減的關係：y < 0 時， y(1− y) < 0y > 1 時， y(1− y) < 0
}y (t) 遞減。
0 < y < 1 時，y(1− y) > 0 y (t) 遞增。
(2) y ′′ = 4y(1− y)(1− 2y) 用二階導數與凹性的關係：y < 0 or 1
2 < y < 1 ⇒ y ′′ < 0 ⇒ y 凹向下。0 < y < 1
2 or y > 1 ⇒ y ′′ > 0 ⇒ y 凹向上。y = 1
2 ⇒ y ′′ = 0 且兩邊凹性相反⇒ y = 12 是反曲點
(3) y (t) 在靠近 y = 0 或 y = 1 時，y ′(t) 接近於 0，因此解成近
似水平的狀態。
24 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
定性方法或觀察法-例子說明
(4) y = 0, y = 1 都是此方程式的解。
(5) 由微分方程解的唯一性，所有的解曲線彼此不相交。由 (1)-(5) 即使未解出方程，我們也大致知道解的樣式應如以下圖形：
25 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
泰勒展式-例子說明
例 1： y ′ = λy說明：
假設 y (t) 對 t = 0 有泰勒展開式
y (t) = a0 + a1t + a2t2 + · · ·+ antn + · · ·
則
y ′(t) = a1 + 2a2t + 3a3t2 + · · ·+ (n + 1)an+1tn + · · ·λy (t) = λa0 + λa1t + λa2t2 + · · ·+ λantn + · · ·
但 y ′ = λy，比較兩邊係數得：
26 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
泰勒展式-例子說明
a1 = λa0
a2 =λa12
=λ2
2a0
a3 =λa23
=λ3
2 · 3a0
... = ...
an =λn
n! a0... = ...
所以 y(t) = a0 · (1 + λt + (λt)22!
+ · · ·+ (λt)n
n! + · · · )
= a0eλt
27 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
泰勒展式-例子說明例 2： y ′′ = −y ( 泰勒級數法也可以解高階微分方程)說明：
假設 y (t) 對 t = 0 有泰勒展開式
y (t) = a0 + a1t + a2t2 + · · ·+ antn + · · ·
則
y ′′ = 2a2 + 2 · 3a3t + · · ·+ (n + 1)(n + 2)an+2tn + · · ·−y = −a0 − a1t − a2t2 + · − antn + · · ·
因此：
y (t) = a0(1−t22+
t44!
− · · · ) + a1(t −t33!
+t55!
− · · · )
= a0 cos t + a1 sin t
28 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
微分方程的數值解-歐拉法
設函數 y (t) 滿足 y ′(t) = f ( t, y (t) ), y (t0) = y0.以 t0 為起點，以 △t 為單位標出下面的點，
t1 = t0 +△t, t2 = t1 +△t, · · · tn = tn−1 +△t
首先由 (t0, y0) 作一階逼近，得到 y (t1) 的近似值 y1 為
y1 = y ′(t0)(t1 − t0) + y (t0) = f (t0, y0)△ t + y0
再由 (t1, y1) 作一階逼近得 y(t2) 的近似值 y2
y2 = y ′(t1)(t2 − t1) + y (t1) = f (t1, y1)△ t + y1
29 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
微分方程的數值解-歐拉法
以此類推，我們可以得到 y (tk) 的近似值 yk
yk = f (tk−1, yk−1)△ t + yk−1, k = 1, 2, · · · , n
注意：△t 可正可負。
30 / 31
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
使用指數函數的模型 一階微分方程 一階微分方程的非確解-數值方法
歐拉法-例子說明
例 1： y ′ = f (t, y) = λy, y (0) = y0 = 1
說明：
假設 △t = h，則 tn = nh，
yk+1 = f (tk, yk)△ t + yk = λ yk h + yk = (1 + λ h) yk
利用這個遞迴關係，可得到 yk = (1+λ h)k y0 = (1+λ h)k，因此
(tk, yk) = (k · h, (1 + λ h)k) 各點連線之折線圖為所求之歐拉近似解。
31 / 31
版權聲明 頁碼 作品 版權標示 作者/來源
1、32
轉載自Microsoft Office 2010 PowerPoint 設計主題範本 本作品依據 Microsoft 服務合約及著作權法第46、52、65條合理使用。
25 作者：許孟弘 本作品採用創用CC˹姓名標示-非商業性-相同方式分享˼ 3.0台灣許可協議。
30
作者：許孟弘 本作品採用創用CC˹姓名標示-非商業性-相同方式分享˼ 3.0台灣許可協議。