Fenmenos de TransportePARTE II: TRANSMISSO DE CALOR20071Assis Arajo13. TRANSMISSO OU FLUXO DE CALOR13.1. FORMAS DE TRANSMISSO DE CALORExistem trs formas de transmisso de calor:Transmisso por conduo;Transmisso por conveco e,Transmisso por radiao.Estas formas so diferentes e regidas por leis prprias, e podem ocorrer simultaneamente, com isso, muitas solues de problemas so complexas, mas exatas na transmisso de calor.Para a simplificao de muitos problemas, pode-se eliminar uma ou duas formas de transmisso de calor, quandosetratadeampliaesemprojetosdeengenharia, desdequenotragaproblema aprecivel, como conseqncia, nos resultados finais.13.1.1. TRANSMISSO DE CALOR POR CONDUOoprocessopeloqual ocalor flui deumaregiodetemperaturamaiselevadaparaoutrade temperatura mais baixa, dentro de um meio (slido, lquido ou gasoso) ou entre meios diferentes em contatos fsicos diretos. Nesta forma de transmisso de calor, a energia transmitida pela comunicao molecular direta, ou seja, devido ao aumento de energia cintica proporcionado por uma excitao trmica qualquer numa regio de um corpo (extremidade de uma barra), os eltrons que adquiremmaior energia, tornam-semais velozes ecommaiores rbitas, chocam-secom eltrons vizinhos que adquirem energia trmica dos eltrons que deram o choque de modo que se forma uma cadeia na transmisso da energia conseqentemente do calor, isto acontece por todo o corpo.13.1.2. TRANSMISSO DE CALOR POR CONVECO2 Fenmenos de TransporteEste processode transmissode calor temduas classificaes: conveco natural oulivre e conveco forada. O transporte de calor por conveco parcialmente regido pela mecnica dos fluidos, uma vez que o fenmeno envolve movimento de fuido.Na realidade transporte de calor por conveco se processa da seguinte maneira: admita-se que uma molcula de um corpo fluido atinja uma regio de temperatura mais elevada; quando a molcula estivernesta regio,elevar-se-sua temperatura, conseqentemente ficar menos densa uma vez que aumentar seu volume permanecendo com o mesmo peso, cedendo seu lugar, por conseguinte, a outra molcula mais densa, e assim sucessivamente, dando origem a um transporte de calor por conveco.Exemplodeconveconatural: convecoinduzidapor diferenadedensidadesresultantes de diferenas de temperaturas no seio do fluido.Exemplo de conveco forada: movimento do fluido resulta da ao de foras externas, como um ventilador, uma bomba, etc.13.1.3. TRANSMISSO DE CALOR POR RADIAORadiao o processo pelo qual o calor transmitido de um corpo de temperatura mais elevada para outro de temperatura mais baixo quando tais corpos esto separados no espao, mesmo que o vcuo predomine entre eles.A energia radiante viaja velocidade da luz (300.000 km/s) e se assemelha fenomenologicamente a radiao da luz; a luz e a radiao trmica diferem apenas nos respectivos comprimentos de onda.Em resumo, a radiao so ondas eletromagnticas que caracterizam este processo de transmisso de calor por atravessar um meio transparente sem aquec-lo e, ao encontrar um meio que lhe seja opaco, soabsorvidas, ocorrendoconseqentementeumatransformaodeenergiaradianteem energia trmica.Exemplo de radiao trmica: o sol aquece a terra por radiao.Conclui-se que, com as modalidades verificadas de transporte de calor, ou seja, transporte de calor porconduo, porconvecoouporradiao, pode-severificarqueaconduodecalorsed 3Assis Arajosempredocorpodemaiortemperaturaparaoutro de menortemperatura, fenmenoeste quese assemelha ao transporte de massa. (O transporte de massa se d da regio de maior concentrao para a regio de menor concentrao) e ao transporte de fluidos, estudado na Mecnica dos Fluidos (O gradiente de velocidade no seio do fluido se desenvolve, das camadas de maior velocidade para as de menor velocidade).13.2. REGIMES DE TRANSMISSO DE CALORNa transmisso de calor h dois regimes de transmisso, ou seja: regime de transio ou transitrio onde haver uma curva T=T(x) para cada instante t; e regime estacionrio ou permanente, onde os pontos de cada seo considerada tero T = Constante para qualquer tempo, logo se verificar uma reta T=T(x) quando t tende a infinito (t). Figura 13.1AFigura13.1representaumaparedeemformadeparaleleppedocomtodasasfacesisoladas termicamente, exceto duas opostas e paralelas; de incio, estas faces esto mesma temperatura Ti, logo no h transmisso de calor atravs da parede. Eleva-se subitamente uma das faces temperatura Tf e haver transporte de calor na direo x.Admitindo-se que as temperaturas Tie Tfsejam mantidas inalteradas,haver uma curva T=T(x) para cada instante, neste caso o regime transitrio; quando a temperatura se mantiver constante em todos os pontos de uma seo considerada, partindo-se de um certo tempo t, neste ltimo caso o regime dito permanente ou estacionrio.Em engenharia no muito interessante a quantidade de calor Q trocada num processo, mas s faz sentido a quantidade de calor trocada num determinado intervalo de tempo t, a esse valor d-se o nome de fluxo de calor q ou:4xT TA q2 1 Fenmenos de Transporte (Btu/h)(13.1)A concluso que se tem que: regime estacionrio aquele em que o fluxo de calor constante no interior da parede, pois os diversos pontos de uma seo qualquer apresentamuma mesma temperatura que no varia com o tempo, ou seja, o fluxo de calor que entra igual ao fluxo que sai.13.3. CONDUO DO CALOR EM REGIME ESTACIONRIO13.3.1. LEI DE FOURIERFourier verificou que o fluxo de calor q proporcional a rea A e a (T1-T2) para (T1>T2) sendo essas temperaturas mantidas constantes nas faces paralelas da parede, e inversamente proporcional sua espessura x, conforme Figura 2, logo:

(13.2a)

Figura 2Substituindoos materiais daparede, comas demais situaes iguais, Fourier verificouqueq alterava-separacadamaterialeresolveuintroduzirna Equao 3.a,umvalorK(coeficientede condutividade trmica) comprometido com cada material; a partir da, a equao (3.a) passou a ser:(13.2b)Equao esta que permite calcular o fluxo de calor que atravessa uma parede com rea A constante na direo x, sendo assim, uma equao bastante particular; com isso Fourier teve que raciocinar emtermosdeumelementodAaumadistnciadxatravessadapor dqcomumadiferenade temperatura dT; a Equao (3.b) assumiu a nova disposio que foi: 5tQq ( )T TxKAq2 1 Assis Arajo

(13.3c)A Equao (3.c) de carter absolutamente geral, chamada equao de Fourier. O sinal (-) negativo denota que,_

dxdT (gradiente de temperatura) decrescente, e se no fosse empregado verificava-se sempre o valor q negativo, o que no faz sentido.13.3.2. COEFICIENTE DE CONDUTIVIDADE TRMICAO fator K da Lei de Fourier bastante importante, porque vai exprimir a maior ou menor facilidade que o material apresenta na conduo de calor.A unidade de K : (Btu h-1 ft-1 0F-1).O valor de K varia muito numericamente, os principais fatores so: constituio qumica,estado fsico e temperatura do material.O valor de K com relao temperatura requer um estudo mais acurado; h materiais que o valor de K no se altera, e outros, varia para mais e para menos. Para simplificar, possvel admitir-se a variao de K com T como sendo uma funo linear, obedecendo a expresso:K=K0(1+ T) sendo K0ocoeficientede condutividade trmica a 00F e um coeficientede temperatura da condutividade trmica.Para ilustrar, temos:dK = K2 - K1 dT = T2 - T1dTdKtg (13.4)6dxdTKdA dq Fenmenos de Transporte Figura 3NaFigura3, acurvarepresentaavariaodeK=K(T); obtm-seocoeficientedetemperatura aproximado , traando-se uma linha reta entre as temperaturas em questo e medindo-se a sua inclinao = tg .A interseco da reta traada com a ordenada temperatura T=0, fornece o valor hipottico K0.Com uma aproximao linear, para a variao da condutividade trmica com a temperatura, o fluxo de calor por conduo, atravs de uma parede plana, dado pela equao:Kdt dxdxdTKA q Aq

( ) T K + 1 K0 (13.5)( )1]1

,_

++ 212 10 2 1T TK T TLAq (13.6)Colocando-se esta equao na forma primitiva, nota-se que:(13.7)Que representa o valor mdio da condutividade trmica, funo da mdia aritmtica das temperaturas consideradas.13.3.3. RESISTNCIA TRMICAResistncia trmica Rt a oposio que um material oferece passagem do fluxo de calorq, da mesma forma que a resistncia eltrica oferece oposio passagem da corrente.Por analogia dos fenmenos, podemos verificar o seguinte:7( ) + + TTdT TKdxAqL121001]1

,_

++ 212 10T TK KmAssis ArajoA Lei de Ohm afirma que: RVI (13.8) onde I a intensidade de corrente e V a ddp (diferena de potencial) e R a resistncia eltrica. Verifica-se que AxR (13.9) onde a resistividade, x ocomprimentodo conduto, Aa seoreta do conduto. MasC1 (13.10),sendoCa condutividade eltrica, logoou xVCA I dxdVCdA dI (13.11) que confrontando coma equao 13.3c, temos:KA xT/Tq2 1 (13.12)Onde a expresso da resistncia trmica de uma parede plana KAxRt (13.13) que pela analogia tambm chamado de Ohm trmico ( th).Uma unidade de Rt [h 0F Btu-1].13.3.4. PAREDES COMPOSTAS a justaposio de camadas de materiais diferentes que serve de isolante trmico entre dois ou mais meios.Formas, estufas, frigorficos, regeneradores, so exemplos de equipamentos industriais que utilizam o principio da parede composta.Sejam as Figuras abaixo:8 dx/KdAdT- dqdx/CdAdVdIdxdT-KdA dqdxdVCdA dI Fenmenos de Transporte Figura 4 Figura 5Para o caso da Figura 4:niRi R1ou 11iKxARnit

,_

(13.14)tRT Tq2 1(13.15)Para o caso da Figura 5:ca iRR112 ou 2 2 2t111R2xK AxK AxK ARc c b b a ati+ + (13.16)logo cai itK AxR2(13.17)3 2 1R R R R + + 3 2 1tRt t tR R R + + (13.18)31it tR R(13.19)tR T2 1Tq(13.20)Considerando o caso da Figura 6.Este um caso praticamente idntico ao da Figura 13.5, pois o mtodo de resoluo o mesmo, como segue:Figura 13.522 213 11 11t tt t tR RR R R++ + (13.21) pois KAxtR

9Assis Arajo( ) ( )22 221 1 2 1 332 1 111Lb KLb Kb b KLb b KLRt+++++(13.22)( ) ( )2 1 332 2 1 122 1 11b b KLb K b KLb b KLRt+++++(13.23) e tR T2 1Tq13.3.5. EXPRESSO GERAL DO FLUXONa realidade, a equao dxdTKdA dq no permite calcular o justo valor de q. Admitamos que conhecemos a configurao geomtrica da parede, de forma que para um determinado x tenha-se um valor de A, ento o fluxo que passa pela rea A no dq e sim q, com tal raciocnio a Lei de Fourier assume o aspecto:A(x) A onde dxdTKA qPode-se ento escrever:KdTAdxq se para x1, houver uma temperatura T1 e para x2, uma temperatura T2, ento: 2121TTxxKdTAdxq como K=f(T), vem:( )( )( )( ) 1]1

) ( onde2 1TT2 12 1 T 2 12 1121221T f de mdio valor KT TdT T fT TT TdT T fT TT TdT T fAdxqMEDT xxAfinal obtm-se:( )212 1xxAdxT T Kq(13.24)que representa a expresso geral do fluxo de calor q por conduo em regime estacionrio em uma nica direo x.10 Fenmenos de TransporteA Equao (13.24) s deve ser empregada quando for possvel expressarAem funo de x, pois A=f(x) e K=KMDIO tabelado.A expresso 21xxAdx compromete-se com a forma geomtrica da parede e por isso chamado fator de forma.13.3.5.1. Fluxo de Calor Atravs de Parede Cilndrica Oca

2 1T T>Figura 13.6LrrrdrL rLdrAdxrrrrxx 2ln21212212121

,_

(13.25)(13.26)13.3.5.2. Fluxo de Calor Atravs de Parede Esfrica Oca

11( )212 1xxAdxT T Kq( )2 112ln2T TrrL Kq

,_

L KrrKAdxRxxt 2ln1221

,_

,_

2 11 22 241414212121r rr rrdrrdrAdxrrrrxx ( )2 11 22 14T Tr rr r Kq 2 11 24 r r Kr rRtFigura 13.7Fluxo de calor gerado no interior da paredeFluxo de calor que saiVariao de energia interna com o tempoAssis Arajo (13.27) (13.28)13.3.5.3. Expresso Geral da Distribuio de TemperaturaA forma da equao para o balano de energia : + =+ ou algebricamente:(qx + qy + qz) + q(dx dy dz)=(qx+dx + qy+dy + qz+dz) + C (dx dy dz)tTonde dz dydxVol e. dt VoldQqgq o calor gerado dQg por unidade de tempo dt e por unidade de volume V; geralmente os valores q e T so funes de f(x; y; z; t).

(13.29) = massa especfica do material da paredeC = calor especfico.(13.30) = variao da energia interna com o tempo. Consideremos a Figura 13.812Fluxo de calor que entradxdydz qdtdQVol qg tTdV CtE. . Fenmenos de Transporte

(13.30)O gradiente de temperatura expresso em derivadas parciais porque T no funo apenas de x, mas tambm de y; z e t.A Equao (13.30) o fluxo de calor que penetra na parede pela face ABCD na direo x.O fluxo de calor que sai da parede pela face EFGH na direo x :( )dx qxq qx x dx x+ + ou(13.31)(13.30 - 13.31)vem:dydz dxxTKx xTK dydzxTK q qdx x x 1]1

,_

+ ,_

,_

+ (13.32)13ou dxdTKA q dydzdxdTK qx

,_

dydz dxxTKx xTK qdx x 1]1

,_

+ ,_

+dxdydzxTKxq qdx x x

,_

+Figura 13.8Assis Arajoprocedendo analogamente para as direes y e z, temos:

(13.33)e

(13.34)Substituindo os valores de (13.32), (13.33) e (13.34) na forma geral do balano de energia, vem: (13.35)A Equao (13.35) a expresso geral da distribuio de temperatura numa parede plana.Admitindo-se K = Const. para toda a parede, temos: onde

,_

CK(difusividade trmica); substituindo, vem: (13.36)Se o sistema no incluir gerao interna de calor, temos que: 0 q, logo: (13.37) Equao de Fourier14dxdydzyTKyq qdy y y

,_

+dxdydzzTKzq qdzx z z

,_

+tTC qzTKz yTKy xTKx + ,_

+

,_

+ ,_

tTKCKqzTyTxT +++ 222222tTKqzTyTxT +++1222222tTzTyTxT++1222222 Fenmenos de TransporteSe o sistema estiver em regime permanente e inclui gerao interna de calor, temos:(13.38) Equao de PoissonSe na Equao (13.38) no existir gerao interna de calor, temos:(13.39) Equao de LaplaceA Equao (13.36) foi apresentada em coordenadas cartesianas, que tambm pode ser deduzida em coordenadas cilndricas ou esfricas, como: (13.39)

Para coordenadas esfricas:

150222222 +++KqzTyTxT 0222222++zTyTxTtTKqzT Tr rTr rT ++++ 1 1 122222 22Figura 13.9Figura 13.10Assis Arajo

(13.40)2.3.7. SISTEMAS COM FONTE INTERNA DE CALORDiante da Equao (13.36) para paredes planas, tornando-a para fluxo de calor em uma s direo e submetida a regime estacionrio, temos: Integrando vem:1C xKqxT+ e(13.41)AEquao(13.41) umaparbola, queparacadacasoparticular, teremosqueentrar comas condies de contorno.Seja o exemplo a seguir:Parede com espessura 2L e temperatura T0 nas duas faces opostas, logo:Para x=0 T=T0 T0 = 0 2 2 1C 0 02T C CKq + + 16tTKq TrTr rTrr r ++

,_

+ ,_

1sen1sensen1 1222 2 222KqxTKqxT +222202 122C x C xKqT + + Fenmenos de TransportePara x=2L T=T0 T0 = KL qT L C LKq + +1 0 12C 2 42Substituindo C1 e C2 , vem:

(13.42)Em (13.42), parax = L T=TMAX02022

2TKL qT T LKL qLKqTMAX MAX+ + + Para verificar se TMAX se d em L para este caso, podemos derivar T em relao a x e igualar a 0, ou seja, 0 dxdT, logo:Em 3.7b temos 022 + KL qKx qdxdT Lx Kx qKL q como era de se esperar.Exemplo: ParedecilndricaderaioR, comprimentoL, condutividadeK, fonteinternadecalor gerado q(Btu/h.ft3), temperatura externa T0. Deduzir a equao T=T(r) em regime estacionrio.Da Equao (13.39) temos:

(13.43)Condies de contorno:Para r=R T=T0 (1)Para R rdrdTKA V q

,_

(2)(2)

drdT-2K R q22 drdTRL K L R q (13.44)17022T xKL qxKqT + + 0122 + +KqdrdTr drT d KR qdrdT2 Assis Arajo(a) Kr qdrdTdrT dr +22 mas ,_

+drdTrdrddrdTdrT dr22logo:drrCdr CKr qdrdTrC drKr qKr qdrdTrdrd11212Kr q- dT2drdTr d+ + + ,_

,_

ou (13.45)Derivando (13.45) em funo de r, vem:rCKr qdrdT12+ igualando com b e fazendo r=R, vem;

2 21 + KR qRCKR qdrdT 220 224T4CKR qCKr qT + + (13.46)

4 4202 + + KR qTKr qT

( )2 204T T r RKq + (13.47)Equaodofluxode calorporconduo, em regime estacionrio,sem fonte interna, nadireo radial para uma esfera oca.r1 = raio interno;T1 = temperatura internar2 = raio externo; T2 = temperatura externa T1 > T2Da equao (13.40) temos:0122 ,_

drdTrdrdr

02 ,_

drdTrdrd

21 12C dTrdrCdrdTr 182 12ln4C r CKr qT + + C1=0 KR qT C420 2+ Fenmenos de Transporte (13.48)

Para r = r1T = T1Para r = r2T = T2

2 12 2 1 1 2 12 12 1r rr T r Trr rr rT TT+

drdT-KA qmas2 11 22 11 21 1 2 2+rr rr rT Tr rr T r TT( )1]1

22 12 12 1 214rT Tr rr rr K q

(13.49)2.3.8. Mtodo de diferenas finitas;2.3.9. Mtodo da soluo do sistema tri-diagonal dominante;2.3.10. O programa.1921CrCT + 22122111CrCTCrCT+ + 2 12 2 1 122 12 12 11r rr T r TCr rr rT TC

,_

2 12 12 14r rT Tr r K q ( )

,xt x TK q Assis Arajo2.4. RESULTADOS2.4.1. Apresentar resultados grficos e analis-los.2.5. CONSIDERAES2.5.1. Tornar o programa mais geral2.6. TEXTO DO TRABALHO PARA A EQUAO UNIDIMENSIONAL DA CONDUO DE CALOREstapartedotrabalhoobjetivaproporcionarumaboacompreensodaequaodaconduode calor, e das condies de contorno, para verific-las na formulao matemtica dos problemas de conduo de calor.2.6.1. EQUAO UNIDIMENSIONAL DA CONDUO DE CALORA distribuio de temperatura nos slidos pode ser determinada a partir da soluo da equao da conduo de calor, sujeita a um conjunto de condies de contorno e iniciais. Na anlise trmica de corpos quetmaformadeuma placa, ouretngulo, ouparaleleppedo, basta aequaode conduo de calor num sistema de coordenadas cartesianas.ConsideramosumslidocujatemperaturaT(x,t) dependedotempoevariasomenteemuma direo, digamos, ao longo da coordenada x. Admitimos que o eixo x no sistema de coordenadas cartesianas refere-se ao usual eixo dos x.Quando a temperatura varia em uma das direes, digamos, ao longo do eixo dos x, h um fluxo de calor ao longo do eixo dos x dado pela Lei de Fourier na formaW/m2 (1)Para ter generalidade na anlise, admitimos que h tambm uma fonte no meio, gerando energia a uma taxa especificada de( ) t x g g , W/m3. Na prtica, esta fonte de energia pode ser devida a:20 Fenmenos de Transporte- fisso nuclear (como no caso dos elementos combustveis nos reatores nucleares);- uma reao qumica dentro do slido;- desintegrao de elementos radioativos presentes no slido (como no lixo nuclear);- atenuao de raios gama que penetram no corpo;- passagem de corrente eltrica atravs do slido;- outra condies.Para determinaraequaounidimensional da conduo de calor, consideramos um elementode volume de espessura x tendo uma rea A normal ao eixo coordenado x, como mostra a Figura. A equao do balano de energia neste elemento de volume

(2)Cada um dos termos I, II e III nesta equao determinado como se descreve abaixo.Seja q o fluxo de calor na posio x no sentido dos x positivos na superfcie A do elemento. Ento, a taxa do fluxo de calor afluente ao elemento, atravs da superfcie A, por conduo, na posio x, [Aq]x Igualmente, a taxa de calor efluente do elemento por conduo, na posio x+ x, [ ]x x +AqLogo, a taxa lquida de ganho de calor pelo elemento por conduo a diferena entre estas duas parcelas(3a)A taxa de gerao de energia no elemento que tem o volume A x dada por (3b)Pois ( ) t x g g , a gerao de energia por unidade de volume.Ataxa de acrscimo de energia interna do elemento de volume, resultante da variao de temperatura com o tempo, escreve-se na forma21I I I I I Ii n t e r n a e n e r g i ad e a u m e n t od e T a x ae n e r g i ad e g e r a od e T a x ac o n d u o p o rc a l o r d e g a n h od e l q u i d a T a x a

,_

,_

+

,_

[ ] [ ]x x xAq + Aq Ixg A II Assis Arajo (3c)uma vez que nos slidos e lquidos cp=cv. As vrias grandezas que aparecem nas equaes (3a) a (3c) so definidas como:cp = calor especfico do material, J/(kg.C)g = taxa de gerao de energia por unidade de volume, W/m3q = fluxo de conduo de calor na direo x, W/m2t = tempo, s= massa especfica do material, kg/m3.As equaes (3a) a (3c) so introduzidas na equao (2) e o resultado rearranjado na forma

(4a) medida que x0, o primeiro termo no primeiro membro, por definio, torna-se a derivada de [Aq] em relao a x, e a equao (4a) escreve-se como(4b)O fluxo de calor q, dado pela equao (1), agora introduzido na equao (4b), e obtemos (5)At aqui nossa anlise foi geral, e no foi preciso especificar um sistema de coordenadas particular; mas daqui para a frente precisamos saber a dependncia entre a rea A e o eixo coordenado x a fim decompletar adeduodaequaodaconduodecalor. Consideraremosessapropagaono sistema de coordenadas cartesianas e a rea A no varia com x, e por isso considerada constante e cancelada. Ento a equao (5) se reduz a

22( )tt x T ,c x A IIIp[ ] [ ] ( )tt x Tc gxAq AqApx x x + +, 1( )( )tt x Tc g Aqx Ap +, 1( )tt x Tc gxTAkx Ap + ,_

, 1( )tt x Tc gxTkxp + ,_

, Fenmenos de Transporte(6)Em (6), considerando a condutividade trmica, k, constante, temos:(7) Mas pck (difusividade trmica do material m2/s) (8)Na conduo de calor estacionria (ou permanente) com fonte interna de energia, (6) torna-se:

(9a)Para a condutividade trmica constante (9a) reduz-se a: (9b) Podemos a partir da equao (9b) escrever a equao de conduo do calor de um fluxo de calor unidimensionalmente, estacionrio, num slido com k constante e uma taxa constante de gerao de energia g0 (W/m3) interna no caso de uma placa ou barra :

(10)PROBLEMAS1) A parede de um prdio mede 25cm de espessura; o lado externo da parede encontra-se a-4C e o interno, a 22C; a condutividade trmica dos tijolos da parede K=0,60 kcal/hmC. Calcular a perda de calor para cada m2 de superfcie de parede por hora.23( )tt x TkckgxTxp + ,_

,tTkgxTx + ,_

10 + ,_

gxTkx01 + ,_

gk xTx01022 + gk dxT dAssis Arajo2) A Fig. abaixo representa a condutividade trmica de um material em funo da temperatura. Qual o valor e K para uma faixa de temperatura de 300F a 900F?3) A condutividade trmica de um material mostrada como uma funo de temperatura: a) Calcular e K para uma aproximao linear entre 40C e 150C;b) Estimar ofluxodecalor entreessas temperaturas paraumaplacade7,5cmde espessura.4) Uma parede constituda de 3 camadas justapostas; uma camada de tijolo refratrio (K=0,8 Btu/hftF); uma intermediria de tijolo isolante (K=0,1 Btu/hftF) e uma camada de tijolo comum (K=1 Btu/hftF). Se a face externa de material refratrio est a 2.100F e a externa de material comum est a 100F, pergunta-se: qual o fluxo de calor que atravessa a parede composta, sabendo-se que as espessuras das camadas so: x1=2ft (refratrio); x2=3ft (isolante); x3=1ft (comum). Dados: h=10ft; l=5ft.5) Considerando-se o exemplo anterior, colocando-se na camada central de material isolante um vazio de ar simetricamente disposto e com 8ft de altura, pede-se verificar qual o novo fluxo de calor, admitindo-se KAR=0,02 Btu/hftF. 24 Fenmenos de Transporte6) Mostrar queocalor transmitidopor conduo, por unidadedetempo, por unidadede comprimento, atravs de um longo cilindro vazado, de raio interno ri e raio externo re, feito de um material cuja condutividade trmica varia linearmente coma temperatura dado por:7) Calcular a perda de calor de um tubo de 3m de comprimento e 80mm de dimetro, coberto com 40mm de um material isolante, tendo uma condutividade trmica de 0,06 kcal/hmC e astemperaturasdasfacesinternaeexternadoisolamentosorespectivamente200Ce 27C.8) Umapea (K=40Btu/hftF)tem a forma de um tronco de cone. Estando a base maior a 420F e a menor a 100F e sendo a superfcie lateral perfeitamente isolada termicamente, calcular o fluxo de calor que atravessa a pea. Dados: D1=0,50ft; D2=0,25ft; h=1,0ft.9) Uma parede plana (K=1,0 Btu/hftF) est entre 2 materiais isolantes de espessuras diferentes, de forma que uma das faces a 600F e a outra a 400F; sabendo-se que a 4ft da face mais quente a temperatura de 1.000F; calcular:a) O fluxo de calor gerado no interior da parede;b) A distncia que ocorre TMXIMO;c) A temperatura mxima no interior da parede. Obs.: Considerar regime estacionrio.25( )Cilindro do o Compriment La Logartmic Mdia realnr - r 2A: ondei e

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iei ee irrA Kr rT TLq Assis Arajo10) Deduzir a equao da distribuio de temperatura no interior de uma parede esfrica, com fonte interna de calor, em regime estacionrio, admitindo-se distribuio radial, sendo T0 a temperatura da superfcie externa da esfera. Dados: R (raio da esfera); K; q. 11) Uma placa de 50mm de espessura tem um de seus lados mantido a 100C e o outro a 200C. A temperatura no plano central do material 140C, e o fluxo de calor atravs do material 10.000 kcal/hm2. Obtenhaumaexpressopara condutividade trmicadomaterialcomouma funo da temperatura na forma K=a+bT, onde T a temperatura em C.12) Paraapeaindicada, calcular, pelomtodogrfico, ofluxodecalor queatravessana direodasfacesretangularesnoparalelas, quandoamaiorestivera1.500Feamenora 500F, supondo-se as restantes perfeitamente isoladas. 13) Uma parede termoisolante composta feita de 2 camadas de cortia (K=0,037kcal/hmC), comomostradona Figura. Sendoos espaos preenchidos com o ar atmosfrico,determine a resistnciatrmicaporunidadederea globalda paredee compare-a com a deumaparede compacta de cortia. 261212818 Fenmenos de Transporte14) Uma esfera oca, com raios interno e externo R1 e R2, respectivamente, coberta com uma camada de isolante trmica comraio externo R3. Obtenha uma expresso para o calor transmitido por unidade de tempo atravs da esfera revestida, emtermos dos raios das condutividades trmicas, dos coeficientes de transmisso de calor e das temperaturas do interior e do meio que envolve a esfera.Resposta:

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++ +3 2 232 32 1 121 223 321 11 14R R KR RR R KR RR h R hTq15) Um lado de uma placa de alumnio de 50mm de espessura mantido a 260C e o outro lado revestido com uma camada de fibra de vidro de 25mm de espessura, cuja superfcie externa mantida a 38C. Determine a rea de placa composta necessria para que o calor transmitido por unidade de tempo total atravs da combinao de fibra de vidro e alumnio seja 38.000 kcal/h.16) Numa barra cilndrica de combustvel de um reator nuclear, o calor gerado internamente de acordo com a equao11]1

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211errq q onde q= calor gerado localmente por unidade de tempo e por unidade de volume em r;re = raio externo;q1 = calor gerado por unidade de tempo, por unidade de volume, na linha de centro.Calcule a queda de temperatura da linha central para a superfcie de uma barra de 25mm de dimetro externo com condutividade trmica de 22,35 kcal/hmC, se a remoo de calor de sua superfcie 1.400.000 kcal/hm2.17) Uma esfera de ao de 8 de dimetro foi temperada em leo quando estava a 1.600F. Pede-se traar a curva de resfriamento T=f(t) para o centro da esfera, sabendo-se que K=40Btu/hftF; c=0,17Btu/lbF; = 490lb/ft3 e a temperatura da gua era de 80F.18) Uma soluo, cujo ponto de ebulio 80C, est em ebulio do lado de fora de um tubo cujodimetroexterno 33,40mmecujaespessuradaparedede 6,35mm. Dentrodotubo 27Assis Arajoescoa vapor saturado a 4 kgf/cm2abs. Os coeficientes de transmisso de calor global so, do lado do vapor, 7.000 e, do lado da superfcie externa, 5.500kcal/hm2C. Calcular o acrscimo no calor transmitido por conduo, por unidade de tempo, para um tubo de cobre sobre um tubo de ao.19) Uma parede plana tem 1 de espessura e seo reta normal ao fluxo de calor igual a 1ft2. Se uma das faces for mantida a 100F e a outra a 200F, a temperatura do plano central ser de 140Feofluxodecalor atravs daparedeserde3.500Btu/h. Pede-sedemonstrar quea expresso do coeficiente de condutividade trmica do material da parede emfuno da temperatura :K=1,88(1+3,7x10-3T).20) Vapor, tendo um ttulo de 98%, presso de 1,5kgf/cm2 abs. escoa, velocidade de 1m/s, atravsdeumtubodeao, com20cmdedimetronominal (dimetroexterno, 26,67mme espessura da parede, 3,91mm). O coeficiente de transmisso de calor na superfcie interna, onde ocorre condensao, 500kcal/hm2C. Uma pelcula de depsitos na superfcie interna acrescenta uma resistncia trmica de 0,20 hm2C/kcal. Estime a perda de calor por metro de comprimento do tubo se a) o tubo no for revestido, b) o tubo for coberto por uma camada d 50mmdeisolantecom85%demagnsio. Paraambos os casos, admitir ocoeficientede transmisso de calor, na superfcie externa, como sendo 10kcal/hm2C e a temperatura do meio ambiente 20C. Estime tambm a variao no ttulo para cada 5m de comprimento do tubo em ambos os casos.21) Um tubo de ao padronizado, de 100mm (dimetro interno 102,26mm e dimetro externo 114,30mm), conduzvapor superaquecidoa650C, emumespaofechadoquehriscode incndio, sendo necessrio limitar a temperatura da superfcie externa a 38C. Para minimizar os custos daisolao, 2materiais serousados: primeirouma isolaodealta temperatura (relativamente cara), aplicada ao tubo e, depois, magnsio (um material menos caro) no lado externo. Atemperatura mxima da magnsia deve ser 300C. Conhecem-se as seguintes constantes:Coeficiente de transmisso de calor do lado do vapor,C kcal/hm 4902 hCondutibilidade de isolao de alta temperatura, C /hm 0,0894kcal K Condutividade trmica da magnsia, C /hm 0,0670kcal K Coeficiente de transmisso de calor do lado externo,C kcal/hm 102 hCondutividade trmica do ao, C ,25kcal/hm 37 K Temperatura do ambiente, C 20 T .28 Fenmenos de Transporte22) Duas grandes placas de ao, temperaturas de 100C e 70C, esto separadas por uma barra de ao de 0,3m de comprimento e 25mm de dimetro. A barra soldada a ambas as placas. O espao entre as placas preenchido com isolante trmico, que tambm isola a circunferncia da barra. Devidodiferenadavoltagem entre as placas, uma correntepassa atravs da barra, dissipando energia eltrica a 10kcal/h. Determine a temperatura mxima na barra e o fluxo de calor em cada extremidade. Verifique seus resultados e compare o fluxo de calor lquido nas duas extremidades com a gerao de calor total.6) Uma parede plana de espessura 2L tem fontes internas de calor cuja intensidade varia de acordo com ( ) ax q q cos0 Onde q o calor gerado, por unidade de tempo e de volume, no centro da parede (x=0) e a uma constante. Se ambos os lados da parede so mantidos a uma temperatura constante de TP, deriveumaexpressoparaaperdadecalor total daparedeporunidadedereada superfcie. PROVASDE 29/01/82 (com gabarito)1) Calcular a resistncia trmica da parede composta indicada.Dados: K1= 2K2= 3K3= 1,8 kcal/hmC (figura)2) Calcular o fluxo de calor que atravessa o cilindro conforme a figura.Dados: K=2,4 Btu/hft F; T= 100F; L=80cm; D=10cm.(figura)3) Uma parede plana est entre dois materiais isolantes trmicos de forma que uma das faces est a 800F e a outra a 1.200F. Sabendo-se que na seo eqidistante a temperatura de 1600F, calcular a temperatura mxima no interior da parede.Dado: (equao)De 28/11/81 (com gabarito)1) Umtubocom2.50mdecomprimento, 4cmdedimetroencontra-secobertocom uma camada de 8cm de material isolante (K=0.08kcal/hmC) e temperaturas de 100C e 29Assis Arajo28C nas faces interna e externa respectivamente. Calcular a perda de calor do tubo e a resistncia trmica do isolamento.2) Calcular o fluxo de calor na pea conforme indicado na figura.Dados: L=20cm; T=130C; K1=3K2=4,5 kcal/hmC. (figura)De 18/11/81 (com gabarito)1) Calcular o fluxo de calor e a resistncia trmica nas peas conforme as figuras abaixo indicadas.Dados: K1=3K2=0,45 kcal/hmC; T=150C; L= 0,20m; R1=25cm; R2=75cnCilindro: superfcie lateral isolada termicamenteEsfera ocaParede compostaDe 23/11/81 (com gabarito)1) Calcular o fluxo de calor e a resistncia trmica das peas abaixo indicadas.Dados: K1=2K2=3K3=4K4= 2,4kcal/hmC;L=20cm; T1=2T=200C; 2R1=R2=16cmParede compostaEsfera ocaCilindro: superfcies interna e externa isoladas termicamente.De 20/11/81 (com gabarito)1) Calcular o fluxo de calor e a resistncia trmica da peas indicadas, considerando-se que acondutividadetrmicavarialinearmenteentreastemperaturas dadas, conformeo grfico K= f(T).Dados: K= K1/2=K2/3=K3; R1=10cm; R2=20cm; L=15cm.(ver demais dados e figuras)2) Calcular a temperatura mxima na parede plana (figura) sabendo-se que esta se encontra com gerao interna de calor e que a 4ft da face mais quente a temperatura de 800F.(figura)De 27/11/81 (com gabarito)1) Calcular o fluxo de calor e a resistncia trmica na peas conforme indicadas, sabendo-se que a condutividade trmica Km dada pelo grfico K= f(T).Dados: K=K1/2=K2/4; Re=10cm; Ri=5cm.(figuras)30 Fenmenos de Transporte2) Calcular a temperatura mxima no interior da parede plana (figura), sabendo-se que esta se encontra com gerao interna de calor e que a 5ft da face menos quente a temperatura de 800F.Dado: (equao e figura)31