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Transporte convectivo de calor en tubos
1 Introduccion
Como ejemplo tecnicamente importante del efecto de la conveccion en el transporte de calor,
consideraremos el caso del movimiento laminar estacionario de lıquidos en tubos. Por simplici-
dad en la exposicion, supondremos que la viscosidad y conductividad termica del lıquido son
constantes y el tubo es circular de radio constante
Empezaremos el analisis formulando el problema en el apartado 2, suponiendo que el flujo
es de Poiseuille, completamente desarrollado. En la formulacion aparecen la temperatura de la
pared en contacto con el fluido y el flujo de calor que pasa de la pared al fluido por unidad
de superficie y tiempo. No incluiremos el efecto de la disipacion viscosa en la evolucion de
la temperatura del fluido porque, como se mostrara en uno de los ejercicios propuestos, el
incremento de temperatura debido a la disipacion viscosa es pequeno. Aunque la formulacion se
hara para el flujo de lıquidos de viscosidad constante, el analisis es aplicable tambien al flujo de
gases cuando tanto las variaciones relativas de presion como las de temperatura son pequenas
frente a la unidad.
En el apartado 3 analizaremos el caso particular en el que la temperatura de la pared pasa,
en una cierta estacion del tubo, de tener un valor constante, igual al valor T0 de la temperatura
inicial del fluido, a tener otro valor constante T1. El objetivo es el calculo del flujo de calor q′′pf
que pasa de la pared al fluido por unidad de superficie y tiempo como funcion de la distancia a
lo largo del tubo.
En el apartado 4 analizaremos el caso en que la pared es adiabatica hasta una cierta estacion
del tubo, en tanto que el flujo de calor qp que pasa de la pared al fluido por unidad de superficie
y tiempo es constante aguas abajo de esta estacion. El objetivo en este caso es el calculo de la
evolucion de la temperatura superficial, Tp, y de la temperatura de mezcla (que definiremos)
con la distancia a lo largo del tubo.
En el apartado 5 se generalizara el analisis para tener en cuenta el transporte de calor a
traves de la pared solida del tubo, supuesta de espesor pequeno respecto al radio, y desde la
pared a un medio fluido exterior. Este ultimo intercambio de calor se modelara mediante una
1
ley fenomenologica de tipo Newtoniano.
En el apartado 6 se presenta el analisis del transporte convectivo de calor en la region a la
entrada del tubo donde el flujo se adapta a la forma asintotica de Poiseuille. Analizaremos, en
particular, los lımites correspondientes a altos y bajos numeros de Prandtl.
Por ultimo, en el apartado 7 se dara un analisis aproximado del comportamiento de inter-
cambiadores de calor en coflujo o en contracorriente.
2 Formulacion del problema del transporte convectivo de caloren un tubo
Sea un tubo cilındrico circular de radio a por el que fluye en regimen laminar estacionario
un fluido de densidad ρl, calor especıfico cl, viscosidad µl y conductividad termica kl, todos
ellos constantes. Empezaremos suponiendo que el perfil de velocidades del lıquido es el perfil
parabolico de Poiseuille en la region del tubo que analizamos; es decir, que la unica componente
no nula de la velocidad tiene la direccion del eje del tubo y vale
u = 2U(
1− r2
a2
), (2.1)
donde r es la distancia al eje del tubo y U es la velocidad media del fluido.
En los dos apartados siguientes estudiaremos la transferencia de calor estacionaria desde la
pared del tubo al fluido en dos casos de interes: cuando la temperatura de la pared, Tp, es
una funcion dada de la distancia a lo largo del tubo x, y cuando el flujo de calor que pasa
de la pared al fluido, q′′pf , es una funcion dada de x. En ambos casos supondremos que la
temperatura del fluido lejos aguas arriba tiene un valor constante T0, lo cual requiere que Tp → T0
o q′′pf → 0 suficientemente deprisa cuando x → −∞. Supondremos, ademas, que la interaccion
termica entre la pared y el fluido presenta simetrıa axial, de modo que la temperatura del lıquido
dependera unicamente de x y r. Esta temperatura satisface la ecuacion de la energıa
2U(
1− r2
a2
)ρlcl
∂T
∂x= kl
[1r
∂
∂r
(r∂T
∂r
)+∂2T
∂x2
](2.2)
para 0 ≤ r < a, donde los tres terminos de la ecuacion representan, respectivamente, el trans-
porte convectivo de calor y los transportes por conduccion radial y axial. Conviene observar que,
en la ecuacion (2.2), ρl, cl y kl pueden combinarse en la difusitividad termica del fluido, definida
como
αl =kl
ρlcl. (2.3)
2
La ecuacion (2.2) se debe resolver con las condiciones de contorno
T = T0 para x→ −∞, (2.4)
T = Tp(x) o kl∂T
∂r= q′′pf (x) en r = a, (2.5)
∂T
∂r= 0 en r = 0, (2.6)
y un comportamiento asintotico de T (x, r) para x → ∞ compatible con Tp(x) o q′′pf (x), que
describiremos mas adelante.
Postpondremos hasta el apartado 6 el estudio de los efectos de la longitud finita del tubo, L,
que en todo caso supondremos grande frente a su radio; L� a.
En el primer caso, cuando Tp(x) es dato, la solucion del problema determinara el flujo de calor
en la pared, q′′pf (x) = kl∂T/∂r|r=a. En el segundo caso, la solucion del problema determinara la
temperatura de la pared Tp(x) = T (x, r = a) para una distribucion dada de q′′pf (x).
En el apartado 5 analizaremos el caso mas complejo de un tubo cuya pared tiene un espesor
no nulo y esta inmerso en un fluido externo (lıquido o gas). En este caso no se conocen Tp(x) ni
q′′pf (x), pero el analisis del transporte de calor a traves de la pared del tubo nos proporcionara una
relacion entre ambos, que, junto con las dos condiciones (2.5) en r = a, nos permitira calcular
Tp(x) y q′′pf (x).
Se define la temperatura de mezcla en una seccion x del tubo, Tm(x), como el valor uniforme
que deberıa tener la temperatura del fluido en esa seccion para que el flujo convectivo de calor
coincidiera con el flujo convectivo real; es decir para que se satisfaga la igualdad∫ a
02U
(1− r2
a2
)ρlclTm(x)2πr dr =
∫ a
02U
(1− r2
a2
)ρlclT (x, r)2πr dr,
o bien,
Tm(x) =4a2
∫ a
0
(1− r2
a2
)T (x, r)r dr. (2.7)
La temperatura de mezcla en una magnitud de interes practico, que es conveniente deducir de la
solucion del problema del transporte convectivo de calor en un tubo. Coincide con la temperatura
que tendrıa el fluido en un recipiente de paredes adiabaticas que se alimentase con el flujo que
pasa por la estacion x del tubo.
Se define el numero de Nusselt local, Nu(x), como
Nu =q′′pf
kl (Tp − Tm) /(2a). (2.8)
Esta variable adimensional se emplea frecuentemente para caracterizar el efecto de la conveccion
en el intercambio de calor entre la pared del tubo y el fluido.
3
3 Temperatura superficial dada
Empezaremos por el analisis del transporte de calor en un tubo cuando la temperatura de la
pared es una funcion escalon:
Tp(x) = T0 + (T1 − T0)H(x), (3.1)
donde H(x) es la funcion de Heaviside, de manera que Tp = T0 para x < 0 y Tp = T1 para x > 0.
Dado que la ecuacion de la energıa y sus condiciones de contorno forman un problema lineal,
el lector puede utilizar el principio de superposicion para calcular la solucion para cualquier
Tp(x) a partir de los resultados de este apartado para Tp dada por (3.1).
El problema correspondiente a la temperatura superficial (3.1) se puede escribir en forma
adimensional utilizando a como escala de longitud para medir x y r, y midiendo el incremento
de temperatura T − T0 con T1 − T0, mediante la variable dependiente
θ =T − T0
T1 − T0. (3.2)
En lo que sigue x e y pasan a denotar las variables independientes adimensionales. Con esta
adimensionalizacion obtenemos para θ(x, r) la ecuacion y condiciones de contorno
Pe(1− r2
) ∂θ∂x
=1r
∂
∂r
(r∂θ
∂r
)+∂2θ
∂x2, (3.3)
θ = 0 para x→ −∞, (3.4)
θ = H(x) en r = 1, (3.5)∂θ
∂r= 0 en r = 0, (3.6)
θ → 1 para x→∞, (3.7)
donde la condicion asintotica (3.7) es compatible con la ecuacion (3.3) y las condiciones (3.4)–
(3.6).
Como parte de la solucion debemos calcular el flujo de calor adimensional
q =q′′pf
kl(T1 − T0)/a=∂θ
∂r
∣∣∣∣r=1
(3.8)
y el valor adimensional de la temperatura de mezcla, θm(x) definida por
θm(x) = 4∫ 1
0(1− r2)θ(x, r)r dr, (3.9)
mientras que, en terminos de estas variables, el numero de Nusselt (2.8) es
Nu(x) =2q(x)
H(x)− θm. (3.10)
4
En el problema elıptico (3.3)–(3.7) solo aparece un parametro adimensional: el numero de
Peclet
Pe =2Uaαl
, (3.11)
del que dependeran el flujo de calor adimensional q(x,Pe) y la temperatura de mezcla θm(x,Pe).
El mecanismo basico por el que se calienta el fluido (cuando T1 > T0) es la conduccion de
calor radial desde la pared, para x > 0. La conduccion de calor axial puede transportar el calor a
la region x < 0, compitiendo con la conveccion, que transporta el calor aguas abajo. Los valores
resultantes de q(x,Pe) seran positivos para x > 0 y negativos para x < 0. La extension de la
zona de precalentamiento aguas arriba del escalon de la temperatura superficial dependera de
Pe, siendo de orden unidad cuando Pe sea de orden unidad o pequeno frente a la unidad.
Analisis para Pe � 1.
En este ultimo caso, Pe � 1, podemos despreciar el efecto de la conveccion, sustituyendo
la ecuacion (3.3) por su forma lımite con Pe = 0; la ecuacion de Laplace correspondiente a la
conduccion pura. La variable θ(x, r) = θ−1/2 es entonces funcion antisimetrica de x, que toma el
valor 0 en x = 0. El flujo de calor cumple tambien la relacion de antisimetrıa q(−x) = −q(x). No
es difıcil demostrar que q(x) → 1/πx para |x| � 1; esto es consecuencia de que la distribucion
de temperaturas cerca de la lınea x = 0, r = 1 es localmente bidimensional, con θ variando
linealmente entre 0 y 1 con la coordenada angular local. Por otra parte, el flujo adimensional de
calor q(x) cae exponencialmente a cero en distancias x de orden unidad.
Como ejercicio, los lectores pueden intentar resolver numericamente la ecuacion de Laplace
con las condiciones (3.4)–(3.7), para determinar la distribucion universal de q(x) en todo el tubo.
El comportamiento πxq → 1 para |x| � 1 se encuentra tambien para cualquier valor finito
del numero Peclet, pues para valores suficientemente pequenos de 1 − r la conveccion de calor
siempre se hace despreciable frente a la conduccion.
Analisis para Pe � 1.
La solucion del problema (3.3)-(3.7) ha de obtenerse numericamente cuando Pe = O(1). Sin
embargo, es posible obtener una descripcion asintotica simplificada de la solucion para valores
de Pe � 1. Para valores grandes del numero de Peclet la conveccion de calor se hace dominante
en la ecuacion (3.3), que para x = O(1) toma la forma lımite
(1− r2)∂θ
∂x= 0, (3.12)
cuya solucion con la condicion (3.4) es
θ = 0, (3.13)
que cumple la condicion de contorno (3.5) para x < 0, pero no para x > 0. La conduccion de
5
calor radial, que ha desaparecido al escribir la forma asintotica (3.12) de la ecuacion (3.3), ha
de retenerse en una capa lımite termica en torno a r = 1. En esta capa lımite hay, en primera
aproximacion, un balance entre la conveccion axial y la conduccion radial, siendo despreciable la
conduccion axial. La capa lımite crecera con x hasta alcanzar el eje del tubo a distancias xc aguas
abajo del escalon de temperatura tales que el termino convectivo y el termino de conduccion
radial sean del mismo orden en (3.3) para r = O(1); es decir, Pe/xc ∼ 1. [Como veremos mas
adelante, el espesor de la capa lımite crece como (x/Pe)1/3 en tanto la capa sea delgada]. Guiados
por estas estimaciones, escribiremos (3.3) utilizando
ξ =x
Pe(3.14)
como variable independiente en lugar de x. Obtenemos
(1− r2)∂θ
∂ξ=
1r
∂
∂r
(r∂θ
∂r
)+
1Pe2
∂2θ
∂ξ2, (3.15)
a resolver con las condiciones (3.4)–(3.7), donde x ha de sustituirse por ξ.
En el lımite “formal” Pe →∞ con θ, ∂θ/∂ξ y ∂θ/∂r de orden unidad para ξ de orden unidad,
la ecuacion (3.15) toma la forma lımite
(1− r2)∂θ
∂ξ=
1r
∂
∂r
(r∂θ
∂r
), (3.16)
porque el ultimo termino de (3.15), que representa la conduccion de calor axial, es de orden Pe−2
y se hace despreciable. Ası pues para Pe � 1 el calor que llega por conduccion radial desde la
pared es transportado por conveccion aguas abajo, de manera que, por ejemplo, la temperatura
en el eje del tubo alcanzara valores de orden unidad para valores de ξ de orden unidad.
La ecuacion parabolica (3.16) ha de resolverse para 0 ≤ r < 1 y ξ > 0 utilizando la condicion
inicial
θ = 0 en ξ = 0 , 0 ≤ r < 1 (3.17)
y las condiciones de contorno
θ = 1 en r = 1 y∂θ
∂r= 0 en r = 0. (3.18)
La solucion de este problema satisfara automaticamente la condicion θ → 1 para ξ →∞.
Como parte de la solucion obtendremos la evolucion con ξ del flujo de calor adimensional
q(ξ) =∂θ
∂ren r = 1; (3.19)
la temperatura en el eje del tubo, θ0(ξ) = θ(x, r = 0); y la temperatura de mezcla θm(ξ). Estos
valores, obtenidos mediante integracion numerica, se representan en la figura 1 junto con los
valores asintoticos para ξ � 1 y para ξ � 1, que calcularemos a continuacion.
6
0 0.1 0.2 0.30
0.5
1
ξ0 0.1 0.2 0.30
0.5
1
θm
ξ
θ0
1-0.82e-7.312ξ
4.068ξ2/3
10-3 10-2 10-110-1
100
101
10-3 10-2 10-110-1
100
101
10-3 10-2 10-110-1
100
101
q
ξ
∼
0.678ξ-1/3
1.5e-7.312ξ
Figura 1: Temperatura en el eje del tubo, θ0(ξ), temperatura de mezcla, θm(ξ), y flujo de calor adimen-sional, q(ξ).
Podemos obtener una relacion entre θm y q integrando la ecuacion de la energıa (3.16) trans-
versalmente al conducto. En efecto, si multiplicamos los dos miembros de (3.16) por r e integra-
mos entre r = 0 y r = 1 obtenemos
ddξ
∫ 1
0(1− r2)θr dr =
∂θ
∂r
∣∣∣∣r=1
, o bien,
d
dξ
(θm
4
)= q(ξ). (3.20)
La solucion del problema (3.16)–(3.18) para valores de ξ pequenos frente a la unidad presenta
una capa lımite en torno a r = 1, de espesor δ del orden de ξ1/3, donde la ecuacion (3.16) se
reduce, en primera aproximacion, a
2y∂θ
∂ξ=∂2θ
∂y2, (3.21)
que representa el balance entre la conveccion y conduccion normal a la capa, la cual se comporta
como plana. Aquı, y = 1 − r es la distancia a la pared del tubo y la velocidad del fluido se ha
aproximado por 2y para y = 1 − r � 1. Ademas, el termino r−1∂θ/∂r, que interviene en la
conduccion radial en (3.16) [porque r−1∂ (r∂θ/∂r) = ∂2θ/∂r2 + r−1∂θ/∂r], es orden de 1/δ y se
ha despreciado frente al termino mas importante ∂2θ/∂r2, que es de orden 1/δ2 y representa la
conduccion en una configuracion plana. La condicion de que este termino sea tan grande como
el termino convectivo en (3.16) o (3.21), que es de orden δ/ξ, proporciona la relacion δ = ξ1/3
avanzada antes.
7
La ecuacion (3.21) ha de resolverse para ξ > 0, y > 0, con las condiciones
θ = 0 en ξ = 0, y > 0 y para y →∞, (3.22)
θ = 1 en y = 0, ξ > 0. (3.23)
La solucion de este problema es autosemejante, de la forma
θ = θ(η) con η =y
ξ1/3
con lo que (3.21)–(3.23) se satisfacen si θ(η) verifica la ecuacion y condiciones de contorno
θηη +23η2θη = 0, θ(0) = 1 , θ(∞) = 0,
cuya solucion es
θ =
∫∞η exp
(−2x3/9
)dx∫∞
0 exp (−2x3/9) dx.
De aquı obtenemos θη(0) = −1/∫∞0 exp
(−2x3/9
)dx− 0.678, de manera que
q =0.678ξ1/3
y θm = 4.068 ξ2/3. (3.24)
Para valores de ξ de orden unidad, la solucion del problema (3.16)–(3.18), se puede obtener
mediante el metodo de separacion de variables. Para ello escribiremos 1− θ en la forma
1− θ =∞∑
n=0
AnFn(ξ)Gn(r),
con lo que, de (3.16),
1Fn
dFn
dξ=
11− r2
1Gn
1r
ddr
(rdGn
dr
)= −λ2
n
para cada n, con λn una constante a determinar. De aquı obtenemos
Fn(ξ) = exp(−λ2
nξ)
y (3.25)
d2Gn
dr2+
1r
dGn
dr+ λ2
n(1− r2)Gn = 0, (3.26)
a resolver con las condiciones (la ultima es una condicion de normalizacion)
Gn = 0 en r = 1dGn
dr= 0 y Gn = 1 en r = 0.
(3.27)
Ası pues, λ2n son los autovalores y Gn(r) son las correspondientes autofunciones del problema
autoadjunto (3.26), (3.27). Estas autofunciones forman un sistema completo y satisfacen las
condiciones de ortogonalidad∫ 10 GmGn(1− r2)r dr = 0 para m 6= n.
8
Por tanto,
1− θ =∞∑
n=0
Ane−λ2
nξGn(r). (3.28)
Finalmente las constantes An se deben calcular para satisfacer la condicion inicial θ = 0 en
ξ = 0. Es decir,
1 =∞∑
n=0
AnGn(r).
Usando aquı las condiciones de ortogonalidad de las autofunciones se obtiene
An =
∫ 10 Gn(1− r2)r dr∫ 10 G
2n(1− r2)r dr
.
Podemos ahora utilizar (3.28) para calcular
q(ξ) =∂θ
∂r
∣∣∣∣r=1
= −∞∑
n=0
AnG′n(1)e−λ2
nξ, (3.29)
en tanto que la temperatura de mezcla θm que se obtiene integrando (3.20) con θm(0) = 0 es
θm =∫ ξ
04q dξ = 4
∞∑n=0
AnG′n(1)λ2
n
(e−λ2
nξ − 1)
= 1 + 4∞∑
n=0
AnG′n(1)λ2
n
e−λ2nξ, (3.30)
donde se ha usado la condicion θm(ξ →∞) = −4∑∞
n=0AnG′n(1)/λ2
n = 1 para escribir la ultima
igualdad.
La tabla 1 recoge los valores de los coeficientes que aparecen en estas ecuaciones.
Tabla 1
n 0 1 2 n > 2An 1.477 −0.810 0.385 (−1)n2.846λ−1/3
n
λ2n 7.312 14.62 113.8 (4n+ 8/3)2
−12AnG
′n(1) 0.749 0.544 0.463 0.01λ−1/3
n
El numero de Nusselt local, Nu(ξ) = 2q/(1 − θm), se puede calcular a partir de (3.29) y
(3.30) y se muestra en la figura 2 (curva inferior). Con buena aproximacion esta magnitud toma
el valor constante
Nu =λ2
0
2≈ 3.658 (3.31)
para ξ > 1, que se obtiene sustituyendo q y 1− θm por los primeros terminos de las series (3.29)
y (3.30):
q ≈ 1.5 e−7.312ξ y 1− θm ≈ 0.82 e−7.312ξ.
9
10-2 10-1
5
10
15
Nu
ξ
3.658
10-2 10-1
5
10
15
Nu
ξ
3.658
48/11
2.10-3
1.641ξ-1/3
1.356ξ-1/3
q const
Ts const
Figura 2: Numero de Nusselt local en funcion de la distancia adimensional ξ para temperatura de la pareddada (curva inferior) y flujo de calor dado (curva superior).
Los valores correspondientes para ξ � 1 estan dados por (3.24), que conduce a
Nu ≈ 1.356ξ1/3
. (3.32)
Se define el numero de Nusselt medio como Nu = ξ−1∫ ξ0 Nu(ξ) dξ. La siguiente correlacion
(Hausen 1943), basada en los resultados asintoticos (3.31) y (3.32) para valores grandes y pe-
quenos de ξ, proporciona un buen ajuste para esta magnitud:
Nu ≈ 3.65 +0.0668/ξ
1 + 0.04/ξ2/3.
4 Flujo externo de calor dado
Analizaremos ahora el caso en que conocemos el flujo externo de calor q′′pf (x) y nos proponemos
calcular la distribucion de temperatura y, en particular, Tp(x) y Tm(x). La solucion puede
obtenerse utilizando el metodo de superposicion apoyandonos en la solucion del problema para
el caso en que q′′pf (x) es la funcion escalon
q′′pf = qpH(x), (4.1)
correspondiente a una pared adiabatica aguas arriba de la seccion x = 0 y un flujo de calor
constante qp para x > 0.
10
Escribiremos el problema en forma adimesional utilizando el radio del tubo a como escala
de longitud y midiendo T − T0 con la temperatura caracterıstica aqp/kl, lo que conduce a la
variable
ϕ =kl (T − T0) /a
qp, (4.2)
con lo que la ecuacion de la energıa y las condiciones de contorno toman la forma
Pe(1− r2
) ∂ϕ∂x
=1r
∂
∂r
(r∂ϕ
∂r
)+∂2ϕ
∂x2, (4.3)
ϕ = 0 para x→ −∞, (4.4)∂ϕ
∂r= H(x) en r = 1, (4.5)
∂ϕ
∂r= 0 en r = 0, (4.6)
junto con la exigencia de que ϕ no crezca exponencialmente con x para x→∞.
Por conveniencia, usaremos a veces una forma semi-integrada de la ecuacion de la energıa
(4.3). Multiplicando esta ecuacion por r e integrando entre r = 0 y r = 1 resulta
Peddx
∫ 1
0(1− r2)rϕdr =
∂ϕ
∂r
∣∣∣∣r=1
+d2
dx2
∫ 1
0rϕdr. (4.7)
Usando aquı (4.5), integrando sobre x entre −∞ y una x generica, y usando (4.4), se obtiene
Pe∫ 1
0(1− r2)rϕdr = xH(x) +
ddx
∫ 1
0rϕdr. (4.8)
El primer termino, igual a Peϕm/4, representa el flujo convectivo de calor en x; el segundo
termino representa el calor recibido por el fluido a traves de la pared hasta la estacion x; y
el ultimo termino representa el flujo de calor que llega desde aguas abajo a la estacion x por
conduccion axial.
Notese que en el problema (4.3)–(4.6) aparece como unico parametro el numero de Peclet
definido en (3.11). En lo que sigue analizaremos la solucion asintotica de este problema para
Pe � 1 y para Pe � 1, pero empezaremos describiendo antes la forma asintotica de la solucion
para x� 1 y cualquier valor de Pe.
El calor que entra en el lıquido por conduccion radial, a un ritmo constante para x > 0, es
transportado aguas abajo por conveccion, que compite con la conduccion axial. Como consecuen-
cia, cabe esperar que, suficientemente lejos aguas abajo del origen, la temperatura adimensional
ϕ crezca linealmente con x, aunque presentando variaciones radiales de orden unidad. Es decir,
podemos buscar la solucion para x� 1 en la forma
ϕ ≈ Ax+ ϕ1(r), (4.9)
que llevada a (4.3) reduce esta ecuacion a
Pe(1− r2)A =1r
ddr
(rdϕ1
dr
), (4.10)
11
a integrar con las condiciones
dϕ1
dr= 1 en r = 1 y
dϕ1
dr= 0 en r = 0. (4.11)
Este problema solo tiene solucion para un valor de la constante A que podemos determinar
integrando (4.10) respecto a r, despues de multiplicar por r. Ası obtenemos
A =4Pe
(4.12)
y
ϕ1 = r2 − r4
4+ ϕ1(0) (4.13)
para la variacion radial de ϕ. La constante de integracion ϕ1(0) depende de la historia. Para
calcularla usaremos la forma integrada (4.8) de la ecuacion de la energıa para x � 1. Por su
caracter, esta ecuacion contiene informacion sobre la historia completa de ϕ. Sustituyendo (4.9)
en (4.8) se obtiene Pe∫ 10 (1− r2)rϕ1 dr = 1
2A, pues los terminos proporcionales a x se cancelan
mutuamente. Usando aquı (4.12) y (4.13) resulta ϕ(0) = 8/Pe2 − 7/24. Ası pues,
ϕ =4xPe
+ r2 − r4
4+
8Pe2 −
724
para x� 1, (4.14)
que proporciona informacion muy util para la descripcion asintotica de la solucion para Pe � 1
y para Pe � 1.
La temperatura de la pared, ϕp, la temperatura de mezcla, ϕm, y el numero de Nusselt,
Nu = 2/(ϕp − ϕm), calculados con (4.14) son
ϕp =4xPe
+8
Pe2 +1124, ϕm =
4xPe
+8
Pe2 y Nu =4811. (4.15)
La solucion de (4.3)–(4.6) y (4.14) ha de obtenerse numericamente para valores del numero de
Peclet de orden unidad, para los que el crecimiento de ϕ desde cero hacia la solucion asintotica
(4.14) comienza para valores de −x de orden unidad y se alcanza para x de orden unidad. Sin
embargo, la descripcion de la solucion para Pe � 1, cuando la conduccion de calor transversal
es dominante frente a la conveccion, puede hacerse analıticamente.
Analisis para Pe � 1.
La solucion para valores muy pequenos del numero de Peclet no se puede obtener simplemente
haciendo Pe = 0 en (4.3), porque el problema de conduccion estacionaria resultante no tiene
solucion. En efecto, el flujo de calor que entra contınuamente al fluido en la region x > 0 aumen-
tarıa contınuamente con el tiempo la temperatura a cualquier distancia grande pero constante
aguas abajo del origen, y la conduccion axial hacia la region x < 0 afectarıa a cualquier seccion
lejos aguas arriba del origen en un tiempo (adimensionalizado con a2/αl) de orden (−x)2. Solo
la conveccion puede limitar estos procesos y dar lugar a una distribucion de temperatura esta-
cionaria. Ası pues, el papel de la conveccion es esencial aunque el numero de Peclet sea pequeno,
12
si bien cabe esperar que tanto la extension xc de la region donde ϕ empieza a aumentar aguas
arriba del origen como el valor caracterıstico ϕc de la temperatura adimensional en esta region
y en una region analoga aguas abajo del origen crezcan cuando Pe disminuye. El balance de los
tres terminos de (4.8) en estas regiones requiere Peϕc ∼ xc ∼ ϕc/xc, de donde xc = O(Pe−1) y
ϕc = O(Pe−2).
Estas observaciones nos conducen a buscar la solucion asintotica del problema (4.3)–(4.6) y
(4.14) en forma de un desarrollo
ϕ = Pe−2ψ0(χ) + ψ1(χ, r) + · · · con χ = xPe, (4.16)
que llevado a (4.8) reduce esta ecuacion, en primera aproximacion, a
14ψ0 = χH(χ) +
12
dψ0
dχ, (4.17)
cuya solucion, con la condicion de que ψ0 sea contınua en χ = 0, es
ψ0 = 4χ+ 8 para χ > 0,
ψ0 = 8 exp (χ/2) para χ < 0.
}(4.18)
Observe el lector que, como muestra (4.18), la solucion asintotica (4.9) se alcanza ya en χ = 0;
que la temperatura en la seccion χ = 0, donde se inicia el transporte de calor, es ϕ = 8/Pe2
(o T−T0 = 8aqp/klPe2); y que la penetracion del calor aguas arriba por conduccion axial, contra
la conveccion, alcanza distancias en x de orden 1/Pe, como se habıa anticipado.
Se deja para el lector, como ejercicio no trivial, el calculo de la variacion transversal de
temperatura, representada por ψ1(χ, r) en (4.16). Para ello hay que resolver la ecuacion
(1− r2)dψ0
dχ=
1r
∂
∂r
(r∂ψ1
∂r
)+
d2ψ0
dχ2,
que se obtiene llevando (4.16) a (4.3) e identificando los terminos de orden unidad en el parametro
pequeno Pe. Debe usarse ademas (4.8), reteniendo terminos mas pequenos que los retenidos en
(4.17).
Analisis para Pe � 1.
Describiremos ahora la solucion en el caso en que Pe � 1, que es importante desde el punto
de vista de las aplicaciones, usando un analisis semejante al del apartado 3. En este caso de
conveccion fuerte, la ecuacion (4.3) muestra que, para 0 < x = O(1), el calor que llega desde la
pared por conduccion radial queda confinado a una capa termica delgada, de espesor (x/Pe)1/3,
en la que la conduccion axial es despreciable. El espesor de esta capa lımite crece hasta alcanzar
el eje del tubo solo para valores de x del orden de Pe.
Como hicimos en el apartado 3, reescribiremos (4.3) utilizando r y ξ = x/Pe como variables
independientes. Obtenemos para la primera aproximacion de ϕ(ξ, r) la ecuacion y condiciones
13
0 0.1 0.20
0.5
1
ϕ0
ϕp
ϕm
ξ
Figura 3: Temperaturas en el eje y la pared del tubo, ϕ0(ξ) y ϕp(ξ), y temperatura de mezcla, ϕm(ξ).
de contorno (1− r2
) ∂ϕ∂ξ
=1r
∂
∂r
(r∂ϕ
∂r
), (4.19)
ϕ = 0 en ξ = 0, (4.20)∂ϕ
∂r= 1 en r = 1, (4.21)
∂ϕ
∂r= 0 en r = 0. (4.22)
La ecuacion (4.19) puede integrarse transversalmente al tubo para obtener d (ϕm/4) /dξ = 1,
cuya solucion con la condicion ϕm(0) = 0 es
ϕm = 4ξ, (4.23)
que es la forma simplificada de (4.15) para Pe � 1.
El problema (4.19)–(4.22) es parabolico porque no se ha retenido en (4.19) el termino corres-
pondiente a la conduccion axial, de orden Pe−2. Este problema debe resolverse para ξ > 0,
0 ≤ r < 1. Su solucion proporcionara la temperatura ϕ(ξ, r) y, en particular, la evolucion con ξ
de la temperatura en el eje, ϕ0 y en la superficie, ϕp, ası como la de la temperatura de mezcla
ϕm, las cuales determinan la evolucion del numero de Nusselt Nu = 2/(ϕp − ϕm). Estas tempe-
raturas, obtenidas de la solucion numerica del problema, aparecen representadas en la figura 3.
14
La temperatura ϕ(ξ, r) puede calcularse numericamente o utilizando el metodo de separacion
de variables. Sin embargo, la descripcion de la solucion es simple para valores de ξ pequenos o
grandes frente a la unidad.
Para ξ � 1 el calentamiento del fluido esta confinado a una capa delgada, de espesor δ = ξ1/3,
en torno a la superficie r = 1, donde la temperatura ϕ es tambien de orden δ. En terminos de
las variables ξ e y = 1− r (de orden δ), la ecuacion (4.19) toma la forma simplificada
2y∂ϕ
∂ξ=∂2ϕ
∂y2,
a resolver con las condiciones
ϕ = 0 en ξ = 0, y > 0 y para y →∞.
∂ϕ
∂y= −1 en y = 0.
La solucion de este problema es autosemejante, de la forma
ϕ = ξ1/3f(η) con η =y
ξ1/3(4.24)
y f dada por
fηη =23η(f − ηfη), fη(0) = −1, f(∞) = 0. (4.25)
La solucion de (4.25) es
f =Γ
(−1/3, 2η3/3
)3Γ(2/3)
, (4.26)
donde intervienen las funciones Gamma.
Teniendo en cuenta que f(0) = 1.219, la temperatura superficial y el numero de Nusselt viene
dados por
ϕp = 1.219 ξ1/3 y Nu =2q
ϕp − ϕm≈ 2ϕp
=1.641ξ1/3
para ξ � 1. (4.27)
La solucion para ξ � 1 es
ϕ = 4ξ + r2 − r4
4− 7
24, (4.28)
que es la forma lımite de (4.14), de manera que
ϕp = 4ξ +1124
y Nu =4811. (4.29)
Conviene senalar que el valor de Nu dado por la solucion numerica, representado en la figura 2,
difiere de su valor asintotico 4.364, en menos del 1%, para ξ > 0.14.
5 Transporte de calor en un tubo de pared delgada
Analizaremos a continuacion el caso en que la pared del tubo tiene un espesor dp mucho menor
que su radio interior a. Supondremos que el tubo esta inmerso en un fluido exterior a temperatura
15
Te, y que el intercambio de calor entre el tubo y este fluido exterior puede modelarse con una ley
de Newton con un coeficiente de transferencia de calor h constante. La conductividad terimica
del material de la pared del tubo, ks, se supondra suficientemente grande para poder despreciar
las variaciones de temperatura transversales a la pared.
Nos limitaremos en este apartado a estudiar la distribucion estacionaria de temperatura del
fluido que fluye por el interior del tubo, cuya distribucion de velocidad supondremos de Poiseuille.
Analizaremos con detalle el caso en que Te es igual a T0, la temperatura del fluido interior lejos
aguas arriba, para x < 0, y Te = T1 para x > 0.
En estas condiciones, la ecuacion de la energıa para la pared del tubo es
dpksd2Tp
dx2+ h (Te − Tp)− q′′pf = 0.
donde Tp(x) es la temperatura de la pared y q′′pf (x) es el flujo de calor que pasa de la pared al
fluido interior. Adimensionalizando la distancia x con a y definiendo θp = (Tp − T0)/(T1 − T0),
esta ecuacion toma la forma
λpd2θp
dx2+ Bi (H(x)− θp)− q = 0, (5.1)
donde
λp =dpks
akly Bi =
ah
kl, (5.2)
y q = aq′′pf/kl(T1 − T0) es el flujo de calor adimensional que pasa de la pared al fluido interior.
Usando las mismas variables adimensionales que en el apratado 3, la ecuacion de la energıa
para el fluido que circula por el tubo y sus condiciones de contorno toman la forma
Pe(1− r2
) ∂θ∂x
=1r
∂
∂r
(r∂θ
∂r
)+∂2θ
∂x2, (5.3)
θ = 0 para x→ −∞, (5.4)
∂θ
∂r= Bi (H(x)− θ) + λp
∂2θ
∂x2en r = 1, (5.5)
∂θ
∂r= 0 en r = 0, (5.6)
θ → 1 para x→∞, (5.7)
donde se ha hecho uso de la condicion θ = θp en r = 1 para escribir la ecuacion de la energıa
para la pared (5.1) como la condicion de contorno (5.5).
La solucion del problema (5.3)–(5.7) depende de tres parametros adimensionales: el numero
de Peclet Pe definido en (3.11) y los parametros λp y Bi definidos en (5.2). El primero de estos
mide la importancia de la conduccion axial en la pared del tubo, mientras que el segundo es un
numero de Biot.
Si la transferencia de calor con el medio exterior, caracterizada por este numero de Biot, es
16
rapida; es decir, si Bi � 1, la condicion (5.5) toma la forma lımite θ = 1 en r = 1, y el problema
se reduce al tratado en el apartado 3.
En el lımite opuesto en que la transferencia de calor con el medio exterior es lenta, Bi � 1,
el flujo de calor que entra al lıquido, q = ∂θ/∂r|r1 , es a lo sumo del orden de Bi, y por ello
tambien seran del orden de Bi las variaciones radiales de θ. Bajo la accion de este pequeno flujo
de calor, la subida de θ desde 0 lejos aguas arriba hasta 1 lejos aguas ocurre muy suavemente,
en una region del tubo cuya longitud caracterıstica (xc) se puede estimar a partir de la forma
semi-integrada (4.7) de la ecuacion de la energıa. Escribiendo θ en lugar de ϕ y haciendo uso de
la condicion (5.5), esta ecuacion toma la forma
Peddx
∫ 1
0(1− r2)rθ dr =
{Bi (H(x)− θ) + λp
d2θ
dx2
}r=1
+d2
dx2
∫ 1
0rθ dr. (5.8)
El balance entre la conveccion [primer miembro de (5.8), de orden Pe/xc] y el flujo de calor
recibido desde el exterior [primer termino del segundo miembre de (5.8), de orden Bi] determina
xc = Pe/Bi. Ası pues, para Bi � 1 podemos escribir la solucion en la forma
θ = θ0(ζ) + Bi θ1(ζ, r) + · · · con ζ =BiPex. (5.9)
Llevando esta forma de la solucion a (5.8), esta ecuacion se reduce, en primera aproximacion, a
14
dθ0dζ
= H(ζ)− θ0 + λed2θ0dζ2
, (5.10)
donde
λe =BiPe2
(λp +
12
)(5.11)
mide el efecto combinado de la conduccion de calor axial por la pared del tubo y por el fluido
interior. La ecuacion (5.10) debe resolverse con las condiciones
θ0 = 0 para ζ → −∞ y θ0 = 1 para ζ →∞. (5.12)
La solucion se deja a cargo del lector.
Tambien dejamos a cargo del lector otros casos lımites, limitandonos aquı a analizar el caso
Pe � 1 con Bi de orden unidad y valores de λp lo suficientemente grandes como para que
intervenga la conduccion axial en la pared solida. En este caso usaremos ξ = x/Pe como variable
independiente, con lo que (5.3) toma la forma asintotica (3.16), a resolver para 0 ≤ r < 1 con la
condiciones (5.4), (5.6) y (5.7), en tanto que (5.5) toma la forma
∂θ
∂r= Bi (H(ξ)− θ) + Λp
d2θ
dξ2en r = 1, (5.13)
con
Λp =λp
Pe2 , (5.14)
que mide el efecto de la conductividad axial a lo largo de la pared solida cuando Pe � 1. Este
efecto puede despreciarse si Bi es de orden unidad y Λp � 1. En el caso mas general en que
17
Λp = O(1), (3.16) y (5.14) han de resolverse con las condiciones (5.4) y (5.7) para ξ → −∞ y
ξ →∞. Sin embargo en el caso Λp � 1, cuando (5.13) se simplifica a
∂θ
∂r= Bi (H(ξ)− θ) en r = 1, (5.15)
el calor que llega al fluido desde la pared para ξ > 0 es transportado radialmente por conduccion,
y solo es transportado aguas abajo por conveccion, de manera que θ = 0 en ξ ≤ 0, en tanto que
θ = θ(ξ, r,Bi) > 0 unicamente para ξ > 0.
El lector puede demostrar que en este caso Pe � 1, Λp = 0, el calentamiento esta confinado
para ξ � 1 a una capa delgada, donde η = (1−r)/ξ1/3 es de orden unidad y corresponde a un flujo
de calor constante, con lo que θ/Bi = ξ1/3f(η) dada por (4.24). En particular, θp/Bi = 1.219 ξ1/3.
6 Transporte convectivo de calor en la region de adaptacion ala entrada del tubo
Analizaremos en este apartado el flujo y el transporte de calor en la region de adaptacion al flujo
de Poiseuille, a la entrada del tubo, cuando, como es usual en muchos casos practicos, el numero
de Reynolds Re′ = Ua/νl, con νl = µl/ρl, es alto pero el flujo es aun laminar (Re inferior a 3000,
aproximadamente).
El analisis se limitara al flujo de lıquidos, de densidad, viscosidad, conductividad y calor
especıfico constantes, aunque los resultados seran aplicables tambien al flujo de gases cuando la
caida de presion sea pequena frente a la propia presion y las variaciones de temperatura sean
pequenas frente a la propia temperatura (absoluta, en Kelvin).
Supondremos que tanto el numero de de Reynolds, Re′ = Ua/νl, como el numero de Peclet,
Pe′ = Ua/αl = Re′ Pr, son grandes frente a la unidad, con lo que podremos despreciar la
difusion axial, tanto de cantidad de movimiento como de calor, en las ecuaciones de cantidad de
movimiento y de la energıa. La longitud de la region de adaptacion al flujo de Poiseuille es de
orden aRe′ � a, por lo que las variaciones transversales de presion son despreciables frente a las
longitudinales, y podemos escribir p = p(x) en la componente axial de la ecuacion de cantidad
de movimiento.
Supondremos que el tubo se alimenta desde un deposito y que la capa lımite no se desprende
en la region de entrada al tubo, de modo que, en una seccion (que definiremos como x = 0) a
una distancia de la entrada moderadamente grande frente al radio del tubo a pero muy pequena
comparada con aRe′, la componente axial de la velocidad es uniforme, u = U , al igual que la
temperatura, que coincide con la temperatura en el deposito T0.
La presion en la seccion x = 0 esta relacionada con la presion en el deposito, p0, mediante
18
la ecuacion de Bernoulli, p = p0 − ρlU2/2. Debe notarse que la hipotesis de uniformidad de la
velocidad y la temperatura en la seccion de entrada no es valida en una capa lımite delgada
adyacente a la pared del tubo, de espesor caracterıstico a/√
Re′. En lo que sigue despreciaremos
el efecto de esta capa lımite.
Escribiremos a continuacion las ecuaciones para un tubo circular de radio constante a. Adi-
mensionalizaremos la coordenada radial r con a, y la axial x con la longitud de adaptacion
a2U/αl, introduciendo la variable ξ′ = αlx/Ua2. Las componentes axial u y radial v de la velo-
cidad se adimensionalizaran con U y αl/a, respectivamente, y llamaremos p a la diferencia de
presiones (p− p0) adimensionalizada con ρlU2.
Presentaremos el analisis para dos casos particulares: (a) cuando la temperatura de la pared
es T1, constante para x > 0, y (b) cuando el flujo de calor que pasa de la pared al fluido es qp,
constante. En el primer caso mediremos T −T0 con T1−T0, y en el segundo con la temperatura
aqp/kl, designando en ambos casos la variable resultante por θ.
En el lımite Re′ →∞, las ecuaciones de conservacion se reducen a
∂u
∂ξ′+
1r
∂
∂r(rv) = 0, (6.1)
u∂u
∂ξ′+ v
∂u
∂r= − dp
dξ′+ Pr
1r
∂
∂r
(r∂u
∂r
), (6.2)
u∂θ
∂ξ′+ v
∂θ
∂r=
1r
∂
∂r
(r∂θ
∂r
), (6.3)
a resolver para x > 0, 0 ≤ r < 1, con las condiciones
θ = 0, u = 1, p = −12
en ξ′ = 0, (6.4)
u = v = 0 y
{θ = 1 [caso (a)] o
∂θ/∂r = 1 [caso (b)]en r = 1, (6.5)
∂u
∂r= v =
∂θ
∂r= 0 en r = 0. (6.6)
En terminos de estas variables, la temperatura de mezcla es
θm = 2∫ 1
0uθr dr, (6.7)
que satisface la relacion dθm/dξ′ = 2q [obtenida integrando a traves del tubo la ecuacion (6.3)
escrita en forma conservativa].
En el caso (a) debe calcularse el flujo de calor q(ξ′,Pr) = ∂θ/∂r|r=1 como parte de la solucion.
En el caso (b) debe calcularse la temperatura superficial θp = θ(ξ′, r = 1), mientras que θm = 2 ξ′.
El numero de Nusselt local, Nu = 2aq′′pf/kl(Tp − Tm) = 2q/(θp − θm), es Nu = 2q/(1 − θm)
en el caso (a) y Nu = 2/(θp− 2ξ′) en el caso (b). El valor medio Nu del numero de Nusset hasta
19
Figura 4: Numero de Nusselt medio en la entrada de conductos para pared con temperatura constante(curvas inferiores de trazos) y pared con flujo de calor constante (curvas contınuas superiores).
la estacion ξ′,
Nu(ξ′) =1ξ′
∫ ξ′
0Nu
(ξ′′
)dξ′′,
es de particular importancia y aparece representado en la figura 4. Las definiciones de Nu y Nu,
junto a dθm/dξ′ = 2q, conducen a
1− θm = exp(−ξ′Nu
)en el caso (a),
θp − 2ξ′ =2
Nuen el caso (b).
Observe el lector que la solucion del problema mecanico, (6.1) y (6.2) con las condiciones de
contorno que se extraen de (6.4)–(6.6), es independiente de Pr si se utilizan las variables ξ′Pr y
v/Pr en lugar de ξ′ y v.
En el caso (a) la solucion para ξ = ξ′/2 � 1 conduce a θ − 1 → 0, con q(ξ) ∼ exp(−7.312 ξ)
[vease apartado 3]. Analogamente, en el caso (b) la solucion para ξ = ξ′/2 � 1 viene dada por
(4.26). El valor del numero de Nusselt Nu = 2q/(θp−θm) para ξ � 1 viene dado, respectivamente,
por 3.658 y 48/11 en los casos (a) y (b).
El comportamiento de la solucion del sistema de ecuaciones (6.1)–(6.6) para ξ′ � 1 puede
describirse con la aproximacion de capa lımite, de forma analoga a como se hizo en los apartados
3 y 4. La capa lımite, que encontramos para ξ′ � 1 y (1 − r)/ξ′1/2
de orden unidad, coincide
con la que se establece en el flujo a altos numeros de Reynolds en torno a una placa plana a
angulo de ataque cero y temperatura constante. En el caso (a), q(ξ′) resulta ser de la forma
20
q(ξ′) = a1(Pr)/ξ′1/2
, mientras que en el caso (b) es θp = b1(Pr) ξ′1/2
. Las funciones a1(Pr) y
b1(Pr) han de obtenerse como parte de la solucion.
Para valores grandes del numero de Prandtl, el problema (6.1)–(6.6) se reduce en el caso (a)
al problema (3.16)–(3.18), y en el caso (b) al problema (4.19)–(4.22), ya tratados en los apartados
3 y 4. Esto es ası porque para Pr � 1 la adaptacion de la velocidad al regimen de Poiseuille
tiene lugar para valores de ξ′ = O(1/Pr) � 1 donde, salvo en una capa lımite termica de espesor
1/Pr1/3 en torno a r = 1, no ha habido aun cambios de θ. Ası pues, en la mayor parte de la
region de entrada para la temperatura [ξ = O(1)], el flujo es de Poiseuille, con u = 2(1 − r2),
v = 0.
En el caso lımite opuesto Pr � 1, la region de adaptacion de la temperatura, ξ′ = O(1), es
muy corta frente a la region de adaptacion de la velocidad, donde ξ′ = O(1/Pr) � 1. En este
caso es u = 1 y v = 0 para ξ′ = O(1), y la ecuacion (6.3) se reduce a
∂θ
∂ξ′=
1r
∂
∂r
(r∂θ
∂r
), (6.8)
a resolver para 0 < ξ′ = O(1) y 0 ≤ r < 1 con las condiciones iniciales y de contorno que se
extraen de (6.4)–(6.6).
El lector puede demostrar que, para ξ′ � 1, es θ = erfc[(1− r) /2
√ξ′
]en el caso (a), con lo
que
q =1√πξ′
, (6.9)
mientras que en el caso (b)
θp = 2
√ξ′
π. (6.10)
El calculo de θ(ξ′, r), para ξ′ = O(1) puede hacerse usando el metodo de separacion de
variables, o numericamente, como en el caso general en que Pr = O(1). Tambien el calculo del
numero de Nusselt local Nu(ξ′,Pr) ha de hacerse numericamente.
7 Intercambiadores de calor con coflujo y con flujo en contra-corriente
Como ejemplo simple del analisis de intercambiadores de calor consideraremos el caso de una
corriente de un fluido de densidad ρ1, calor especıfico c1 y conductividad k1, todos ellos cons-
tantes, que circula por un tubo de longitud L y area A1. Este tubo esta rodeado por otro de
la misma longitud y area A2, por el que circula, en el mismo sentido que en el primero (en
coflujo) o en sentido contrario (en contracorriente), otro fluido de densidad ρ2, calor especıfico
c2 y conductividad k2. Ambos fluidos estan separados por una pared delgada, Σp, cuya seccion
21
normal es la curva Cp de perımetro `p, a traves de la cual podemos considerar despreciables las
variaciones de temperatura. Tambien supondremos despreciables los efectos de la conduccion de
calor axial en esta pared y en los fluidos, por ser grandes los numeros de Peclet.
Nos ocuparemos de la respuesta estacionaria, con el objetivo de calcular las temperaturas de
mezcla de los dos fluidos, Tm1 y Tm2, y la temperatura de la pared delgada entre ellos, Tp, como
funciones de la distancia x desde la entrada del tubo por el que circula el fluido 1. En el caso de
coflujo, estas magnitudes deberıan determinarse a partir de la solucion del problema
ρiciui∂Ti
∂x= ki∇2
TTi, i = 1, 2, (7.1)
T1 = T1a y T2 = T2a en x = 0, (7.2)
T1 = T2 = Tp y k1∂T1
∂n= k2
∂T2
∂nen Σp, (7.3)
∂T2
∂n= 0 en Σ0, (7.4)
donde u1 y u2 son las distribuciones de velocidad en los fluidos 1 y 2, supuestas de Poiseuille;
∇2T
denota la laplaciana en un plano perpendicular a la lınea media de los tubos; T1a y T2a son
las temperaturas de alimentacion de los fluidos 1 y 2; Σ0 es la superficie exterior del tubo 2, que
suponemos adiabatica; y ∂/∂n denota la derivada en la direccion normal a cada pared.
Usando la definicion dada en el apartado 2, las temperaturas de mezcla de los fluidos son
Tmi = (UiAi)−1 ∫
AiuiTi dσ, donde la integral se extiende a la seccion normal de cada tubo
y Ui = A−1i
∫Aiui dσ es la velocidad media del fluido correspondiente. Integrando la ecuacion
(7.1) sobre la seccion de cada tubo y usando el teorema de Gauss [es decir. ki
∫Ai∇2
TTi dσ =
ki
∮Cp
npi ·∇Ti d` =∮Cpq′′pi d`, donde npi es la normal a la pared intermedia dirigida hacia el
exterior del fluido i, de modo que kinpi ·∇Ti es el flujo de calor q′′pi que pasa de la pared a este
fluido] se obtiene
ρiciUiAidTmi
dx= `pq′′pi, (7.5)
donde q′′pi = `−1p
∮Cpq′′pi d` es el valor medio del flujo de calor que pasa por conduccion de la pared
intermedia al fluido i. Estos flujos medios se pueden expresar en terminos de sendos numeros de
Nusselt, definidos por
Nui(x) =q′′pi
ki (Tp − Tmi) /A1/2i
, i = 1, 2. (7.6)
El problema se simplifica drasticamente si los numeros de Nusselt, que habrıa que calcular
como parte de la solucion, se suponen constantes. Entonces q′′pi = hi (Tp − Tmi), con coeficientes
de intercambio de calor hi = Nuiki/A1/2i constantes, y el problema se reduce a las ecuaciones y
22
condiciones iniciales (en x)
ρ1c1U1A1dTm1
dx= `ph1 (Tp − Tm1) , (7.7)
ρ2c2U2A2dTm2
dx= `ph2 (Tp − Tm2) , (7.8)
h1 (Tm1 − Tp) = h2 (Tp − Tm2) , (7.9)
Tm1 = T1a y Tm2 = T2a en x = 0, (7.10)
donde (7.9) es un balance de energıa a traves de la pared que separa a los dos fluidos.
En el caso de flujo en contracorriente, cuando el fluido 1 entra por x = 0 con temperatura
de alimentacion T1a y el fluido 2 entra en sentido contrario, por x = L, con temperatura de
alimentacion T2a, es u2 < 0 y conviene definir U2 = −A−12
∫A2u2 dσ > 0. La ecuacion (7.8) debe
sustituirse por
−ρ2c2U2A2dTm2
dx= `ph2 (Tp − Tm2) , (7.11)
mientras que la condicion (7.10) debe sustituirse por
Tm1 = T1a en x = 0 y Tm2 = T2a en x = L. (7.12)
Las temperaturas de mezcla a la salida de cada tubo, T1s = Tm1(x = L) y T2s = Tm2(x = 0),
deben calcularse como parte de la solucion.
En el caso de coflujo, sumando las ecuaciones (7.7) y (7.8) y usando (7.9), se obtiene
d (ρ1c1U1A1Tm1 + ρ2c2U2A2Tm2) /dx = 0, que se puede integrar con las condiciones (7.10) para
dar
ρ1c1U1A1Tm1 + ρ2c2U2A2Tm2 = ρ1c1U1A1T1a + ρ2c2U2A2T2a. (7.13)
Esta relacion algebraica entre Tm1 y Tm2 puede reemplazar a una de las ecuaciones diferenciales
(7.7) o (7.8).
De manera analoga, en el caso de flujo en contracorriente, la suma de (7.7) y (7.11) se puede
integrar para dar
ρ1c1U1A1Tm1 − ρ2c2U2A2Tm2 = ρ1c1U1A1T1s − ρ2c2U2A2T2a. (7.14)
Por otra parte, de (7.9) se puede despejar la temperatura de la pared como
Tp =h1Tm1 + h2Tm2
h1 + h2,
lo que permite escribir el flujo de calor medio que pasa de la pared al fluido 1 [en el segundo
miembro de (7.7)] como
q′′p1 = h1 (Tp − Tm1) = he (Tm2 − Tm1) donde he =h1h2
h1 + h2. (7.15)
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Finalmente, conviene introducir las variables adimensionales θ1 = (Tm1 − T2a)/(T1a − T2a) y
θ2 = (Tm2− T2a)/(T1a− T2a). Usando estas definiciones, las ecuaciones (7.13) y (7.14) toman la
formaθ2 = γ (1− θ1) en el caso de coflujo,
θ2 = γ (θ1 − θ1s) en el caso de flujo en contracorriente,(7.16)
donde
γ =ρ1c1U1A1
ρ2c2U2A2, (7.17)
y la ecuacion (7.7) se reduce a
dθ1dξ
= − (1 + γ) θ1 + γ en el caso de coflujo, (7.18)
dθ1dξ
= − (1− γ) θ1 − γθ1s en el caso de flujo en contracorriente, (7.19)
a resolver con la condicion inicial θ1 = 1 en ξ = 0. En estas ecuaciones ξ = x/La con
La =ρ1c1U1A1
he`p, (7.20)
que es la longitud de adaptacion termica del flujo 1.
En el caso de coflujo, la solucion de (7.18) con θ1(0) = 1 es
θ1 =γ
1 + γ+
11 + γ
exp [−(1 + γ)ξ] , (7.21)
de modo que, definiendo ξL
= L/La, es θ1s = θ1(ξL) = {γ + exp [−(1 + γ)ξ
L]} /(1 + γ), que se
puede aproximar por θ1s = γ/(1 + γ) para valores grandes de ξL. La diferencia de temperaturas
entre los dos fluidos es
θ1 − θ2 = exp [−(1 + γ)ξ] ,
que decae exponencialmente con ξ, de manera que aumentar mucho la longitud del intercambia-
dor por encima de La/(1 + γ) es poco eficaz.
En el caso de flujo en contracorriente, la solucion de (7.19) con θ1(0) = 1 es
θ1 = − γ
1− γθ1s +
(1 +
γ
1− γθ1s
)exp [−(1− γ)ξ] , (7.22)
que, particularizada en ξL, da una ecuacion para θ1s = θ1(ξL
) cuya solucion es
θ1s =1− γ
exp [(1− γ)ξL]− γ
,
Llevando este resultado a (7.22) obtenemos
θ1 =γ − exp [(1− γ) (ξ
L− ξ)]
γ − exp [(1− γ)ξL]
. (7.23)
Para describir mas claramente esta solucion, supondremos que |1 − γ|ξL
es moderadamente
grande. Se pueden presentar los siguientes casos. Si γ < 1, la ecuacion (7.23) se puede aproximar
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por θ1 ≈ exp [−(1− γ)ξ]. La temperatura de mezcla θ1 decrece desde 1 a 0 en una region de
longitud caracterıstica ξ = O[1/(1− γ)] a la entrada del tubo 1, donde [usando (7.16)] θ2 pasa
de γ a 0. En el resto del intercambiador es θ1 ≈ θ2 ≈ 0. Por el contrario, si γ > 1, la ecuacion
(7.23) se puede aproximar por θ1 ≈ 1 − γ−1 exp [−(γ − 1) (ξL− ξ)]. La temperatura de mezcla
θ1 decrece desde 1 a (γ − 1)/γ en una region de longitud caracterıstica (ξL− ξ) = O[1/(γ − 1)]
a la salida del tubo 1, donde θ2 pasa de 1 a 0. En el resto del intercambiador es θ1 ≈ θ2 ≈ 1.
Finalmente, en el caso particular γ = 1, la solucion de (7.19) con θ1(0) = 1 es θ1 = 1− θ1sξ, de
manera que θ1s = 1 − θ2s = 1/ (1 + ξL). En este caso, la diferencia de temperaturas de mezcla
θ1 − θ2 es constante, igual a θ1s, y tambien es constante el flujo de calor que intercambian los
dos fluidos.
Se deja para el lector la representacion de las temperaturas de mezcla θ1 y θ2 en funcion
de la distancia adimensional x/L para distintos valores de La/L y valores representativos de γ,
incluyendo los casos lımites γ → 0 y γ � 1.
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