transporte de calor

Plan

modos de conducción de calorconducción - ecuación del calorconvecciónradiación

estado estacionario, 1Dresistencia térmicasistemas con generación de caloraletas, disipadores

transitorios, 1D

radiacióncuerpo grisfactor de forma

Transferencia de Calor – p. 1/23

conducción 1D– Ley de Fourier

flujo unidimensional

Q = −kAdTdx

Q = potencia transferida [watt]k = conductividad térmica [w/moC]A =área transversal al flujo de calor [m2]signo:el calor fluye hacia temperaturas mas bajas, dT/dx < 0

posibles complicaciones:

A = A(x)

k = k(x)


conductividad térmica


ecuación del calor (1D)

para flujo de calor unidimen-sional en un sólido, T = T (x, t).Balance térmico:

δU = Qx − Qx+δx + qgenAδx

x

A

PSfrag replacements

Qx Qx+δxT0

δx

c = calor específico, ρ = densidad, A = área transversal = ctes.δU = cambio en energía interna en elemento δx, δU = ρcAδxT

qgen = potencia generada por unidad de volumen

ρcAδx∂T

∂t= −(kA)x

∂T

∂x

∣∣∣∣x

+ (kA)x+δx∂T

∂x

∣∣∣∣x+δx

+ qgenAδx

ρc∂T

∂t=

1

A

∂

∂x

(Ak

∂T

∂x

)+ qgen


ecuación del calorsi el área A es constante, se cancela. Si además laconductividad térmica es constante

ρc∂T

∂t= k

∂2T

∂x2+ qgen

y para para el caso 3D, T = T (x, y, x; t), se generaliza a

ρc∂T

∂t= ∇ · (k∇T ) + qgen

k=cte−→ ρc∂T

∂t= k∇2T + qgen

el laplaciano es

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2cartesianas

∇2 =∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2cilíndricas

∇2 =1

r

∂2

∂r2r +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

„sin θ

∂

∂θ

«+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2esféricas


régimen permanenteen régimen permanente,

∂T

∂t= 0

la ecuación del calor (k = cte) se reduce a

∂2T

∂x2= − qgen

k

o bien, en 3D,

∇2T = − qgenk

la misma ecuación que verifica un potencial electrostático(ec. del Poisson o ec de Laplace)→ símil eléctrico para problemas estacionarios


convección

ecuación de convección

Q = −hAc(T − T∞)

h = coeficiente de convección [w/m2,oC]Ac = área de contacto, [m2]T = temperatura de la superficie, [oC]T∞ = temperatura del fluidolejos de la superficie, [oC]

complicación:determinación del h apropiado...


coeficientes de convección típicos


radiación

ley de Stefan-Boltzmann para un radiador ideal(un cuerpo negro)

Qe = −σAT 4 σ = 5, 67× 10−8 w/m2K4

intercambio radiante con otro cuerpo negro:

Qneto = Qe + Qa = σA(T 42 − T 4

1 )

coeficiente de radiación

Qneto = hrA(T2 − T1)

se define

hr ≡ σ(T2 + T1)(T 22 + T 2

1 )

utilidad limitada: depende fuertemente de las temperaturas


Conducción - caso estacionario 1D

si T = T (x), k = cte, la ecuación del calor se reduce a

kd2T

dx2= −qgen

Sin fuentes, qgen = 0, el gradientede temperatura es lineal y el calor seconduce a una tasa constante

q ≡ Q = −kAdTdx

= cte

q = kAT1 − T2

∆x x

A

PSfrag replacements

∆x

T1 T2

Q


resistencia térmica

símil eléctricopotencia térmica q I corriente eléctrica

diferencia de temperatura ∆T ∆V diferencia de potencial

resistencia térmica RT = ∆x/kA R = ρeL/A resistencia eléctrica

ley de Fourier q = ∆T/RT I = ∆V/R ley de Ohm

qPSfrag replacements

T1 T2

RT

q =T1 − T2

RTRT =

∆x

kA


símil eléctrico

suma en serie

A B C

qPSfrag replacements

T1 T2TAB TBC

q

PSfrag replacementsT1

T2

TABTBC

T1 T2TAB TBC

RA RB RC

q =T1 − T2

RTRT = RA +RB +RC

TAB = T1 − qRA, TAB = T1 − q(RA + RB) etc.


símil eléctrico

suma en serieq

PSfrag replacements

T1 T2TAB TBC

RA RB RC

q =T1 − T2

RTRT = RA +RB +RC

TAB = T1 − qRA, TAB = T1 − q(RA + RB) etc.


símil eléctrico

suma en paralelo

AB

C

q

B’PSfrag replacements

T1 T2TAB TBC

si las resistencias térmicas son similares

RB ≈ RB′ es decirdB

kBAB≈ d′Bk′BA

′B

el flujo de calor permanece aproximadamenteunidimensional...

q q

PSfrag replacementsT1

T2

TABTBC

T1 T2

TAB TBCRA

RB

RB′

RC

q =T1 − T2

RT, RT = RA +R‖ +RC , R‖ =

RBRB′

RB +RB′


símil eléctrico

suma en paralelo

q q

PSfrag replacements

T1 T2

TAB TBCRA

RB

RB′

RC

q =T1 − T2

RT, RT = RA +R‖ +RC , R‖ =

RBRB′

RB +RB′


fuentes de calorsi T = T (x), k = cte, la ecuación delcalor es

d2T

dx2= − qgen

k

se genera calor uniformemente en elvolumen qgen = cte 6= 0 de modo queT (x) es cuadrática.condiciones: T (0) = T0 y un balancede calor da

2dAqgen = −2kAdT

dx

∣∣∣∣d

⇒ dT

dx

∣∣∣∣d

= − qgendk

⇒ T (x) = T0 −qgen2k

x2

x

APSfrag replacements

T0

TW TW

qgen

2d

TW = T0 −qgen2k

d2


geometría cilíndrica

flujo radial (unidimensional),T = T (r),ley de Fourier

qr = −kArdT

dr

integrando, con Ar = 2πrL, el flujo decalor es

q =2πkL

ln(b/a)(Ta − Tb) ≡

Ta − TbRT

resistencia térmica para geometríacilíndrica

RT =ln(b/a)

2πkL

b

a

rT(r)

L

PSfrag replacements

TA

TB


geometría cilíndrica

Perfil de temperatura, T (r), se obtiene de la ecuación delcalor

d2T

dr2+

1

r

dT

dr=

1

r

d

dr

(rdT

dr

)= 0

el perfil es logarítmico

T (r) ∼ ln r → T (r) = C0 ln r + C1

con condiciones de borde T (a) = TA y T (b) = TB resulta,

T (r) = (TA − TB)ln(b/r)

ln(b/a)+ TB


generación de calor

Si en un cilindro de radio R se genera calor uniformemente,cual es el perfil de temperatura?

ecuación de calor con fuentes,

d

dr

(rdT

dr

)= − qgenr

k

condiciones:

temperatura en el eje, T (r = 0) = T0

en estado estacionario, todo el calor generado sale

qgenπR2L = −k2πRL

dT

dr

∣∣∣∣R

⇒ dT

dr

∣∣∣∣R

= − qgenR2k


generación de calor

multiplicando por r

d

dr

(rdT

dr

)= − qgenr

k

integrando, resulta la funcióncuadrática

T (r) = T0 −qgen4k

r2

en el borde, la temperatura caeal valor

TW = T0 −qgen4k

R2

r

PSfrag replacements

T0

TW TW

qgen


geometría esférica

flujo radial (unidimensional),T = T (r),ley de Fourier

qr = −kArdT

dr

integrando, con Ar = 4πr2, el flujo decalor es

q =4πk

1/a− 1/b(TA − TB) ≡ TA − TB

RT

resistencia térmica para geometría es-férica

RT =1/a− 1/b

4πk

b

a

rT(r)

PSfrag replacementsTA

TB


geometría esférica

Perfil de temperatura, T (r), se obtiene de la ecuación delcalor

1

r

∂2

∂r2(rT ) = 0

T cae como

T (r) ∼ 1

r

con condiciones de borde: T (a) = TA y T (b) = TBresulta,

T (r) = TA − (TA − TB)

[1− a/r1− a/b

]


Resistencia de contactocuando dos conductores térmicos se ponen en contactopuede aparecer una discontinuidad en temperatura

modelo:R′ (conducción, puntos de contacto),R′′ (convección/ radiación, cavidades)PSfrag replacements

TA TB

R′

R′′

resistencia de contacto, Rc = R′R′′R′+R′′ ≈

1hcA

factores: rugosidad, presión ambiente, presión de contacto, área de contacto efectiva...


Resistencia de contacto


ejemplo

chipepoxy

aluminio

h=100 w/m2K

0,02mm

8 mm

h=100 w/m2K

determinar la temperatura de operación (debe ser inferior a 85oC para evitar que se queme)datos:* chip y sustrato tienen área A = 1 cm2

* el chip (espesor despreciable) genera q = 10 kw/m2

* ambiente a T∞ = 25 oC* kAl = 237 w/mK


transporte de calor

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