PENGANTAR ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

KONSEP ANALISA STRUKTUR BENTUK & TYPE STRUKTUR

ELEMEN & NODE PADA STRUKTUR SISTEM KOORDINAT LOKAL & GLOBAL PRINSIP KEKAKUAN DAN FLEKSIBILITAS

by Erwin Rommel (FT.Sipil UMM)

• DEF. LENTUR• DEF. GESER• DEF. AKSIAL• DEF. TORSI

EXTERNAL

FORCES

STR

UK

TU

R

INTERNAL

FORCES

• MOMEN LENTUR• GAYA GESER• GAYA NORMAL• TORSI

DEFORMASI

• TRANSLASI• ROTASI

DISPLACEMENT

ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT

equilibrium

compatibility

contitutive law

EXAMPLES

KONSEP DASAR ANALISA STRUKTUR

EQUILIBRIUMCONSTITUTIVE LAWCOMPATIBILITY

EQUILIBRIUM KESETIMBANGAN EKSTERNAL FORCES

DENGAN INTERNAL FORCES PADA STRUKTUR

KESETIMBANGAN PADA STRUKTUR ; Kesetimbangan Statis ; (Hk Newton-1)

Kesetimbangan Dinamis ; (Hk Newton-

2)

0F

amF

Persamaan Kesetimbangan pada struktur

0XF

0YF

0ZF 0ZM

0XM

0YM

CONSTITUTIVE LAW HUBUNGAN ANTARA INTERNAL

FORCES DENGAN DEFORMASI PADA BAGIAN STRUKTUR

SYARAT MATERIAL STRUKTUR ; ELASTIS & LINEAR (Hk Hooke)

strukturKekakuankkF ;

strukturtasFleksibilifFf ;

F

k

Kekakuan struktur

F

f

Fleksibilitas struktur

COMPATIBILITY PERTIMBANGAN KINEMATIS DARI STRUKTUR

YANG TERDEFORMASI ATAU “KONTINUITAS DISPLACEMENT”

0;0;0

0;0;

0;0;0

DHDVD

CHCVCDCA

AHAVA

0;0;0

0;0;0

BHBVB

AHAVA

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS (DKK) ADALAH JUMLAH DISPLACEMENT (TRANSLASI DAN

ROTASI) YANG BELUM DIKETAHUI BESARNYA PADA UJUNG-UJUNG BATANG

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN STATIS (DKS) ADALAH JUMLAH GAYA REDUDANT (GAYA KELEBIHAN) PADA STRUKTUR AGAR DAPAT DISELESAIKAN DENGAN PERS.KESETIMBANGAN

DERAJAT KETIDAKTENTUAN (DOF)

DKK = 0

DKS = 3

DKK = 5

DKS = 1

DKK = 8

DKS = 1

EXAMPLES

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR RANGKA BIDANG “PLANE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATAN• KONSTRUKSI ATAP • KONSTRUKSI PENGAKU

DEFORMASI AKSIAL

GAYA AKSIAL(TEKAN/TARIK)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

STRUKTUR RANGKA RUANG“SPACE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATAN• KONSTRUKSI TOWER • KONSTRUKSI ATAP / DOME

DEFORMASI AKSIAL

GAYA AKSIAL(TEKAN/TARIK)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

• BALOK SPRANDEL• KONSTRUKSI LANTAI GRID• PONDASI SARANG LABA-LABA • PONDASI RAKIT • DEF.GESER

• DEF. LENTUR• DEF. PUNTIR

• GAYA GESER• MOMEN LENTUR• TORSI

STRUKTUR GRID“GRID STRUCTURES”

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR PORTAL BIDANG“PLANE FRAME”

• PORTAL SEDERHANA • BANGUNAN GEDUNG • KONSTRUKSI TUNNEL / BOX

• DEF. LENTUR• DEF. GESER• DEF. AKSIAL

• MOMEN LENTUR• GAYA GESER• GAYA AKSIAL

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR PORTAL RUANG

“SPACE FRAME”

• BANGUNAN GEDUNG

• DEF. LENTUR• DEF. GESER• DEF. AKSIAL• DEF.PUNTIR

• MOMEN LENTUR• GAYA GESER• GAYA AKSIAL• TORSI

STRUKTUR TERDIRI DARI ; 1) ELEMEN ; MEMBER/BATANG 2) NODE ; JOINT/NODAL/TITIK

BUHUL

TRANSFER GAYA LUAR PADA BAGIAN-BAGIAN STRUKTUR MELALUI ELEMEN & NODE/JOINT

Node / Joint NODE/JOINT ; bagian dari struktur yang

menghubungkan elemen-elemen struktur Node/joint terbagi atas ; 1) Node/Joint Terkekang (disebut juga “Constraint-node”) Perletakan roll, sendi, jepit 2) Node/Joint Bebas Perletakan kenyal, Titik buhul, Titik

kumpul

JOINT / NODE / NODAL

ROLL

FREE-NODE / JOINT/ NODAL

JEPIT/ FIX-END

SENDI / PIN / HINGE

NODAL-DISPLACEMEN (u, v, w)

Elemen

Elemen ; bagian dari struktur yang dihubungkan oleh dua atau lebih node/joint

Elemen terdiri atas ; 1) elemen garis (elemen truss/frame/grid)

2) elemen bidang (elemen pelat/dinding) 3) elemen ruang (elemen hexagonal, cube)

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL+TORSI)

NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL)

NODAL-FORCES (MOMEN + GESER)

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES

HUBUNGAN NODAL-DISPLACEMEN DENGAN NODAL-FORCE BAGAIMANA ……………….………… ???

HUKUM HOOKE (BAHAN MASIH ELASTIS LINEAR)

F = k x ATAU

xKF

nnnnnn

n

n

n

n X

X

X

X

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F

F

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

3

2

1

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI AKSIAL

Dimana : A = luas tampang ; E = modulus elastis bahan

L = panjang elemen

EA

N

E

AN

Ex

X

dxEA

Ndxd xx ..

L

O

xL NEA

Ldx

EA

Nd .

EA = axial rigidity

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI LENTUR

zx I

yM .

Z

xx EI

yM

E

.

dxEI

M

y

dxd

Z

x ..

L

O Z

dxEI

Md . EIz=flexural

rigidity

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI GESER

G

bI

QV

z .

.

Shearing Strain ;

AG

dxVfd

.

..Displacemen relatif

;Shear Stress ;

VGA

Lfdx

GA

Vfd

L

O

S ..

..

rigidityshearingf

GA f = shape factor

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI PUNTIR

JG

rT

G .

.

JG

RT

Gmaks

maks .

.

dxJG

Tdx

Rd maks

.

J

rT .

J

RT .max

J = momen inersia polar konstanta torsi

G.J = torsional rigidity

TGJ

Ldx

JG

Td

L

O

..

.

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Menghitung hubungan eksternal force (action) dengan displacemen pada balok prismatis dapat memakai metode a.l ; Metode “persamaan differensial balok” “Moment Area Method” “Unit Load Method”

Elemen jepit-bebas

Elemen jepit-roll

Elemen sendi-roll

Elemen sendi-roll

PRINSIP KEKAKUAN & FLEKSIBILITAS

• KEKAKUAN atau “STIFFNESS” adalah

aksi yang diperlukan untuk menghasilkan “unit displacemen”

• FLEKSIBILITAS atau “FLEXIBILITY” adalah displacemen yang dihasilkan oleh “unit gaya”

kg/cm ; kN/mm ; ton/m' ; a.lpanjang

gayasatuan

cm/kg ; mm/kN ; m/ton ; a.l gaya

panjangsatuan

1

S

k = kekakuan

f

1

f = fleksibilitas

D

F

D = displacemen

F = gaya / action

Contoh sederhana ;

F = k D

D = f F

kfatau

fk

1

1

A1

D1D2

STRUKTUR BALOK MENERIMA BEBAN TERPUSAT A1 DAN MOMEN LENTUR A2 PADA UJUNG KANTILEVER SEPERTI TERGAMBAR

HITUNG MATRIKS KEKAKUAN [K] DAN MATRIKS FLEKSIBILITAS [F] DARI STRUKTUR TERSEBUT ????

EXAMPLE

E,I,L S21=

S11=L 3

12EI

L 2

-6EI

1

1S22=

L

4EI

S12=L 2

-6EI

F11=

F21=

L

3EI

L2EI

2

E,I,L

F12=L

2EI

F21= LEI

1E,I,L

1

2

2

1

3

1 23A

EI

LA

EI

LD

21

2

2 2A

EI

LA

EI

LD

2

12

23

2

1

2

23A

A

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

D

D

AFD

22131

612D

L

EID

L

EIA

2122

46D

L

EID

L

EIA

2

1

2

23

2

1

46

612

D

D

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

A

A

DSA

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

2

232

23

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

46

612

2

23 SF

)43(

)22()34(66

LL

LL SF

SF

10

01

SEHINGGA DAPAT DIBUKTIKAN BAHWA ;

ATAU ; 1 SF 1 FS

EQUIVALENT JOINT LOADS

Pada metode matriks, pengaruh beban luar yang bekerja pada batang (atau “member loads”) dapat diekivalensikan dengan beban pada node/joint yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya.

Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalent joint loads”

FORMULASI ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS

Metode yang dikenal s/d sekarang ; 1) Metode Kekakuan (Metode

Displacemen) 2) Metode Fleksibilitas (Metode Gaya) Metode Kekakuan ; displacemen sebagai

un-known value (variabel yang tidak diketahui) dan dicari terlebih dahulu.

Metode Fleksibilitas ; gaya sebagai un-known value dan dicari terlebih dahulu.

Metode Kekakuan Langsung

Metode yang cocok dan banyak digunakan dalam analisis struktur berbasis program komputer (SAP2000/STAAD-PRO/ANSYS)

Asumsi-asumsi dasar ; 1) Bahan struktur berperilaku “linear-elastic” 2) Displacemen struktur relatif kecil dibanding dimensi /geometrik struktur 3) Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan 4) Elemen/batang struktur bersifat “prismatis &

homogen”

PROSEDUR ANALISIS

1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan hubungan antara “gaya” dan “ deformation” (dalam koordinat LOKAL).

2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke koordinat GLOBAL.

3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam koordinat global) digabungkan menjadi matriks kekakuan seluruh struktur (dengan mempertimbangkan kompatibilitas).

4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vektor/matriks gaya.

5. Kondisi batas pada perletakan diperhitungkan, dan dilakukan “static condensation” untuk memperoleh matriks kekakuan struktur ter-reduksi.

6. Matriks kekakuan struktur yang ter-reduksi tersebut memberikan persamaan kesetimbangan struktur, yang solusinya akan menghasilkan “displacement” setiap node/joint. Kemudian gaya-gaya (reaksi perletakan) dapat diperoleh kemudian.

7. Kemudian gaya-gaya dalam dapat dihitung untuk setiap elemen.

PROSEDUR ANALISIS

Aplikasi Metode Kekakuan Langsung

STRUKTUR RANGKA BIDANG STRUKTUR RANGKA RUANG STRUKTUR PORTAL BIDANG STRUKTUR PORTAL RUANG STRUKTUR GRID