penyelesaian persamaan 3 variabel

Halaman /8

MODUL 7

PERSAMAAN TIGA VARIABEL

Tujuan Instruksional Khusus :

1. Mahasiwa dapat meyelesaikan persamaan dengan tiga variabel dengan cara

eliminasi dan metoda Cramer

2. Mahasiwa dapat menghitung nilai determinan 2 x 2 dan 3 x 3

Bentuk umum persamaan tiga variabel :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3

dengan x1, x2 dan x3 adalah variabel yang akan dihitung.

Untuk menghitung ke tiga variabel tersebut ada 2 cara yang umum dilakukan, yaitu

cara eliminasi dan metoda Cramer.

1. Cara Eliminasi

Cara eliminasi sesungguhnya sama dengan cara yang pernah dibahas pada

penyelesaian persamaan 2 variabel. Langkahnya adalah salah satu variabel kita

eliminir/hilangkan sehingga menjadi persamaan 2 variabel, selanjutnya sama seperti

penyelesaian persamaan dengan dua variabel. Lebih detil langkahnya dapat

dijelaskan dibawah ini. Misalka ketiga persamaan diatas kita beri nomor persamaan

seperti tertulis dibawah ini.

a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1 (1)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2 (2)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3 (3)

Rincian langkah penyelesaian persamaan diatas untuk menghitung x1, x2 dan x3 :

a) Persamaan (1) dan (2) hilangkan salah satu variabelnya (x1, x2 atau x3)

dengan cara mengalikan dengan bilangan tertentu kemudian

menjumlahkan/mengurangkan kedua persamaan tersebut, seperti telah

dibahas pada modul sebelumnya. Misal persamaan hasilnya kita sebut

persamaan (4).

b) Ulangi langkah 1, untuk persamaan (1) dan (3) atau persamaan (2) dan (3),

dengan ketentuan variabel yang dihilangkan/dieliminir harus sama, Misal

persamaan hasilnya kita sebut persamaan (5).

c) Persamaan (4) dan (5) adalah 2 persamaan dengan 2 variabel. Carilah kedua

variabel dengan cara eliminasi yang telah dibahas pada modul sebelumnya.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Wiwik Indrawati SE, MMMatematika Dasar

2

Halaman /8

d) Carilah variabel ketiga dengan menggunakan salah satu dari persamaan (1),

(2) dan (3) dengan cara memasukan harga kedua variabel hasil perhitungan

pada langkah 3.

Contoh 1 : Hitunglah harga x1, x2 dan x3 dari sistem persamaan dibawah ini :

3x1 - x2 - 2x3 = 1 (1)

- x1 + 6x2 - 3x3 = 0 (2)

-2x1 - 3x2 + 6x3 = 6 (3)

Jawab :

1. Misal persamaan (1) dan (2) hendak kita hilangkan x1, maka persamaan (1)

kita biarkan dan persamaan (2) kita kalikan 3 kemudian kedua persamaan tersebut

kita jumlahkan.

(1) 3x1 - x2 - 2x3 = 1

3 X (2) -3x1 +18x2 - 9x3 = 0 +

17 x2 – 11x3 = 1 (4)

2. Misal kita pilih persamaan (2) dan (3), karena yang harus dihilangkan adalah

x1, maka persamaan (2) kita kalikan 2, persamaan (3) kitabiarkan, kemudian kedua

persamaan tersebut kita kurangi.

2 X (2) -2x1 +12x2 - 6x3 = 0

(3) -2x1 - 3x2 +6x3 = 6

15x2 - 12x3 = -6 (5)

3. Misal persamaan (4) dan (5) kita hilangkan x2, maka persamaan (4) dikali 15

dan persamaan (5) dikali 17, kemudian kedua persamaan tersebut kita kurangi..

15 X (4) … x2 – 165 x3 = 15

17 X (5) … x2 -204 x3 = -102 -

- 39 x3 = - 117

Dengan mengambil persamaan (4), x2 dapat ditulis :

4. Dengan mengambil persamaan (2), x1 dapat ditulis :

x1 = 3 . 3 – 6 . 2 = -3

Soal latihan : Hitunglah harga x1, x2 dan x3 dari sistem persamaan dibawah ini

1. x1 - 4x2 + 4x3 = 7

- x1 + 6x2 - 3x3 = 0

x1 - x3 = 7

Jawab : x1 = 9 ; x2 = 2,5 dan x3 = 2


3

Halaman /8

2. 7x1 - 3x2 - 4x3 = - 11

-3x1 + 6x2 – 2x3 = 3

-4x1 - 2x2 + 11x3 = 25

Jawab : x1 = 1 ; x2 = 2 dan x3 = 3

Contoh 2 : tentukan harga x, y, dan z dari persamaan berikut !

2x – y + z = 5 …………(1)

x – 2y + 3z = 9 …............(2)

x + 3y + z = 0 …………(3)

(1). 2x – y + z = 5 2x – y + z = 5

(2). x – 2y + 3z = 9 │2 │ 2x – 4y + 6z = 18 -

3y – 5z = -13 …………..(4)

(2). x – 2y + 3z = 9

(3). x + 3y + z = 0 -

- 5y + 2z = 9 …………(5)

(4). 3y – 5z = -13 │2 │ 6y – 10 z = -26

(5). -5y + 2z = 9 │5 │ -25y + 10z = 45 +

-19y = 19

y = = -1

(4). 3y – 5z = -13

3 ( -1 ) – 5z = -13

-3 – 5z = -13

-5z = -10

z = = 2

(3). x + 3y + z = 0

x + 3 ( -1 ) + 2 = 0

x – 3 + 2 =0

x = 1

Jadi x = 1 ; y = -1 ; z = 2


4

Halaman /8

Soal latihan : tentukan harga x, y, dan z dari persamaan berikut !

1. 5x – 3y + 2z = 28

7x + 4y – z = 24

3x + 5y + 4z = 28

2. 2x – y + z = 3

x + 3y – 2z = 11

3x – 2y + 4z = 28

2. Determinan Metoda Cramer

Metoda Cramer ini memanfaatkan aplikasi determinan, karena itu sebelum

kita membahas Metoda Cramer untuk menyelesaikan persamaan tiga variabel

terlebih dahulu membahas determinan.

2.1 Determinan

Determinan adalah kumpulan bilangan yang tersusun dalam kolom dan baris

seperti matriks. Perbedaan matriks dan determinan :

1. Jumlah kolom dan baris pada determinan harus sama (seperti

matriks bujur sangkar).

2. Determinan mempunyai nilai, sedang matriks tidak.

3. Penulisan determinan ujung-ujungnya dengan garis tegak, sedang

matriks garis melengkung.

2.2 Bentuk Determinan

Bentuk determinan 2 x 2 :

Bentuk determinan 3 x 3 :

2.3 Nilai Determinan

2.3.1 Nilai Determinan 2 x 2

Nilai determinan 2 x 2 adalah : a11a22 – a12a21

Contoh : Hitunglah nilai determinan 2 x 2 dibawah ini.


5

Halaman /8

Jawab : = (2x4) – (-3x-1) = 8 – 3 = 5

2.3.2 Nilai Determinan 3 x 3 :

Nilai determinan 3 x 3 adalah : [a11 x (deteminan 2x2 yang tidak sebaris dan

sekolom dengan a11)] - [a12 x (deteminan 2x2 yang tidak sebaris dan

sekolom dengan a12)] + [a13 x (deteminan 2x2 yang tidak sebaris dan

sekolom dengan a13)] , atau lebih jelasnya dapat ditulis secara matematis :

= a11 - a12

- a13

= a11(a22a33-a23a32) - a12(a21a32-a22a31) - a13(a21a32-a223a31)

Contoh : Hitunglah nilai determinan 3 x 3 dibawah ini :

Jawab : = 2(-6-5) – (-1)(12-(-1)) + (-3)

(20-2)

= -22 +13 +54 = 45

2.4 Metoda Cramer untuk Penyelesaian Persamaan dengan 3 Variabel

Menurut Cramer jika ada persamaan dengan 3 variabel seperti dibawah ini :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1 (1)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2 (2)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3 (3)

maka harga x1, x2 dan x3 adalah :

Contoh soal : Hitunglah nilai x1, x2 dan x3 dari persamaan 3 variabel dibawah ini

dengan metoda Cramer :

7x1 - 3x2 - 4x3 = - 11

-3x1 + 6x2 – 2x3 = 3

-4x1 - 2x2 + 11x3 = 25


6

Halaman /8

Jawab :

Kita uraikan determinan pembilang dan penyebut seperti pada pembahasan nilai

determinan 3 x 3 dipasal 2.3.2

Dengan cara yang sama,

Latihan soal : Hitunglah nilai x1, x2 dan x3 dari persamaan 3 variabel dibawah ini

dengan metoda Cramer :

1.3x1 - x2 - 2x3 = 1

- x1 + 6x2 - 3x3 = 0

-2x1 - 3x2 + 6x3 = 6

2. x1 - 4x2 + 4x3 = 7

- x1 + 6x2 - 3x3 = 0

x1 - x3 = 7

3. Determinan Metoda Sarus

Persamaan : ax + by + cz = d

px + qy + rz = s

kx + ly + mz = n


7

Halaman /8

D = = (aqm + brk + cpl ) – ( bpm + arl +cqk)

Dx = = ( dqm + brn + csl ) – (bsm + drl + cqn)

Dy = = ( asm + drk + cpn ) – ( dpm + arn + csk)

Dz = = ( aqn + bsk + dpl ) – ( bpn + asl + dqk)

x = y = z =

Contoh :

2x – y + z = 5

x– 2y + 3z = 9

x + 3y + z = 0

Penyelesaian :

D = = (-4) – (15) = -19

Dx = = (17) – ( 36 ) = - 19 x = = 1


8

Halaman /8

Dy = = ( 33 ) – ( 14 ) = 19 y = = -1

Dz = = ( 6 ) – ( 44 ) = -38 z = = 2

Soal latihan : Tentukan x, y, dan z dari persamaan berikut !

1. x + 3y + z = 6

x+ y – z = 0

x – y – z = 2

2. x + y + z = 3

3x – y + 2z = 4

x + y – z = 1

3. 3x + 2y -4z = -7

x + y + 2z = 0

2x – y – 3z = 1


9

penyelesaian persamaan 3 variabel

Documents