people courses 10_theory of elasticity-chapter 1(madsg.com)

كريم عابديكريم عابديكريم عابديكريم عابدي

Theory of Elasticityتئوری االستیسیته

:سرفصل های مصوب

فصل بندی مباحث مطروحه در این درس

: تحليل تنش و تحليل كرنشفصل اول- تعري+ف تنش ب+ر روي ي+ك س+طح، مع+ادالت تع+ادل، تنش در ي+ك نقط+ه، تغي+ير ش+كل نس+بي)ك+رنش(، ك+رنش در ي+ك نقط+ه، رابط+ه

تغيير شكل نسبي با مؤلفه هاي تغيير مكان.

: رواب+ط و مع+ادالت بني+ادي و وی+ژگی ه+ای مس+ائل - فص+ل دوم تئوری ارتجاعی

رواب+ط عم+ومي تنش و ك+رنش، تع+يين تنش ه+ا و تغي+ير ش+كل ه+اي اص+لي، ش+رايط س+ازگاري ك+رنش ه+ا و بي+ان آنه+ا ب+ر حس+ب تنش،

وي ژگي هاي مسائل تئوري ارتجاعي.

: حل مسائل خاص در حالت ارتجاعي- فصل سومتنش مس+طح و ك+رنش مس+طح و ك+اربرد آنه+ا در مس+ائل دو بع+دي در مختص+ات ك+ارتزين و قط+بي، خمش خ+الص ميل+ه ه+ا و ورق ه+ا، پيچش بيض+وي، مق+اطع ب+ا و منش+وري ه+اي ميل+ه در پيچش

: روش هاي انر ژيفصل چهارم- مقاطع تو خالي.انرژي تغيير شكل نسبي ، اصل كار

مجازي

الف( نیم ترمب( پایان ترمث( تکالیف

درسی

نحوه تخصیص نمرات

37.5% 47.5%

15%

مراجع و منابع: به زبان فارسي

مباني تئوري االستيسيته، تأليف دكتر محمد مهدي سعادت مباني تئوري االستيسيته، تأليف دكتر محمد مهدي سعادت (1 (1تئوري ارتجاعي، تأليف دكتر محمد رحيميانتئوري ارتجاعي، تأليف دكتر محمد رحيميان (2 (2پورپور

مباني مكانيك مباني مكانيك (K. D. Hjelmestad K. D. Hjelmestad 4) 4ترجمه دكتر كريم عابديترجمه دكتر كريم عابدي ، ،سازه، تأليفسازه، تأليف

-Wai-Wai( تئوري االستیسیته و مدل سازی رفتار مصالح، تأليف ( تئوري االستیسیته و مدل سازی رفتار مصالح، تأليف 33Fah ChenFah Chenترجمه دکتر محمود یحیایی، ترجمه دکتر محمود یحیایی ،

مراجع و منابع: به زبان انگليسي

1) Theory of Elasticity, By: S.P.Timoshenko, J.N.Goodier, 1) Theory of Elasticity, By: S.P.Timoshenko, J.N.Goodier, 1982.1982.

2) Theory of Elasticity, By: P.D.S.Verma, 1997.2) Theory of Elasticity, By: P.D.S.Verma, 1997.

3) Elasticity in Engineering Mechanics, By: A.P.Boresi, 3) Elasticity in Engineering Mechanics, By: A.P.Boresi, K.P.CHong, Second Edition, 2000.K.P.CHong, Second Edition, 2000.

4) Mathematical Theory of Elasticity, By: I.S.Sokolnikoff, 4) Mathematical Theory of Elasticity, By: I.S.Sokolnikoff, 1956.1956.

تئوری االستیسیته چیست؟•

تئ+وري االستيس+يته رفت+ار محي+ط ه+اي جام+د را ك+ه بع+د از ب+اربرداري تئ+وري االستيس+يته رفت+ار محي+ط ه+اي جام+د را ك+ه بع+د از ب+اربرداري • ( (UnloadingUnloading ( اولي+ه ) ( ش+كل اولي+ه يابن+د، Original ShapeOriginal Shape( ش+كل ب+از مي را خ+ود يابن+د، ( ب+از مي را خ+ود )

ي+ا م+واد، االس+تيك اين چ+نين محي+ط ه+ا ي+ا م+واد، االس+تيك م+ورد مطالع+ه ق+رار مي ده+د. اين چ+نين محي+ط ه+ا م+ورد مطالع+ه ق+رار مي ده+د. ((ElasticElastic ي+ك تم+ام مص+الح مهندس+ي داراي m تقريب+ا نامي+ده می ش+وند. ي+ك ( تم+ام مص+الح مهندس+ي داراي m تقريب+ا نامي+ده می ش+وند. )

( هس+تند. اگ+ر باره+اي ( هس+تند. اگ+ر باره+اي ElasticityElasticityم+يزان معي+ني از خاص+يت االستيس+يته )م+يزان معي+ني از خاص+يت االستيس+يته ) مي ش+وند، از ي+ك ح+د مي ش+وند، از ي+ك ح+د ((DeformationDeformation))خ+ارجي ك+ه م+وجب ايج+اد تغي+ير ش+كل خ+ارجي ك+ه م+وجب ايج+اد تغي+ير ش+كل

( )معي+ني ح+ذف Certain LimitCertain Limitمعي+ني ب+ا ص+ورت اين در ننماين+د، تج+اوز ح+ذف ( ب+ا ص+ورت اين در ننماين+د، تج+اوز )((RemovalRemoval نيروه+ا، تغييرش+كل ه+ا از بين مي رون+د و محي+ط ي+ا م+اده ب+ه ) نيروه+ا، تغييرش+كل ه+ا از بين مي رون+د و محي+ط ي+ا م+اده ب+ه )

Mechanical Response of Mechanical Response of در تئوري االستيسيته، پاسخ مكانيكي مصالح ) در تئوري االستيسيته، پاسخ مكانيكي مصالح )•شكل اوليه خود باز مي گردد.شكل اوليه خود باز مي گردد.

MaterialMaterial برگش+ت قاب+ل االس+تيك ه+اي تغييرش+كل وق+وع هنگ+ام ب+ه برگش+ت ( قاب+ل االس+تيك ه+اي تغييرش+كل وق+وع هنگ+ام ب+ه )((((Elastic Recoverable DeformationsElastic Recoverable Deformations نگ+اه ي+ك در بن+ابراين ش+ود. مي م+دل نگ+اه ي+ك در بن+ابراين ش+ود. مي م+دل

كلي، تئ+وري االستيس+يته ش+اخه اي از علم مكاني+ك اس+ت ک+ه ب+ا محاس+به كلي، تئ+وري االستيس+يته ش+اخه اي از علم مكاني+ك اس+ت ک+ه ب+ا محاس+به ( در ي+ك جس+م االس+تيك س+رو ( در ي+ك جس+م االس+تيك س+رو StrainsStrains( و ك+رنش ه+ا )( و ك+رنش ه+ا )StressesStressesتنش ه+ا )تنش ه+ا ) كار دارد.كار دارد.

ك+دام • مق+اومت مص+الح از االستيس+يته تئ+وري مم+يزه وج+وه م+و+ارد +هس+تند +و+ اساس+ا ع+الوه+ ب+ر مق+ا+ومت +م+ص+الح+ چ+ه ن+ي+ازي+ ب+ه

تئوري االستيسيته وجود دارد؟

اول: مم�يزه اول:وج�ه مم�يزه خ+اص وج�ه و ج+زئي االستيس+يته، تئ+وري در نگ+ري كلي خ+اص و ج+زئي االستيس+يته، تئ+وري در نگ+ري كلي نگري در مكانيك جامداتنگري در مكانيك جامدات

تئ+وري االستيس+يته در واق+ع مف+اهيم ح+اكم ب+ر محي+ط ه+اي جام+د را در ي+ك تئ+وري االستيس+يته در واق+ع مف+اهيم ح+اكم ب+ر محي+ط ه+اي جام+د را در ي+ك •عن+اوين تحت كارشناس+ي ه+اي دوره در ك+ه آنچ+ه از فراگ+يرتر عن+اوين ق+الب تحت كارشناس+ي ه+اي دوره در ك+ه آنچ+ه از فراگ+يرتر ق+الب

((Solid MechanicsSolid Mechanics)) ي+ا مكاني+ك جام+دات ي+ا مكاني+ك جام+دات ((Strength of MaterialStrength of Material) ) مق+اومت مص+الح مق+اومت مص+الح تدريس مي شود، ارائه مي دهد.تدريس مي شود، ارائه مي دهد.

تئ+وري • از اس+تفاده ب+ا خ+يز ب+ار- و تنش ب+ار- رواب+ط اس+تخراج در تئ+وري از اس+تفاده ب+ا خ+يز ب+ار- و تنش ب+ار- رواب+ط اس+تخراج در m از يك عنصر حجمی بينهايت كوچك m از يك عنصر حجمی بينهايت كوچك االستيسيته، غالبا Infinitesimal Volume Infinitesimal Volume))االستيسيته، غالبا

ElementElement)) در ي+ك نقط+ه از جس+م ب+ا وج+وهي عم+ود ب+ر محوره+اي مختص+ات در ي+ك نقط+ه از جس+م ب+ا وج+وهي عم+ود ب+ر محوره+اي مختص+ات اس+تفاده مي ش+ود. ش+رايط تع+ادل ب+ه وس+يله مع+ادالت ديفرانس+يل تع+ادل و اس+تفاده مي ش+ود. ش+رايط تع+ادل ب+ه وس+يله مع+ادالت ديفرانس+يل تع+ادل و ش+رايط س+ازگاري ب+ه وس+يله مع+ادالت ديفرانس+يل س+ازگاري نم+ايش داده ش+رايط س+ازگاري ب+ه وس+يله مع+ادالت ديفرانس+يل س+ازگاري نم+ايش داده

ب+ه وس+يله رواب+ط ب+ه وس+يله رواب+ط ((Constitutive RelationsConstitutive Relations))مي ش+وند. رواب+ط مشخص+ه مي ش+وند. رواب+ط مشخص+ه اگ+ر مع+ادالت ديفرانس+يل نم+ايش داده مي ش+وند. اگ+ر مع+ادالت ديفرانس+يل تنش- ك+رنش مناس+ب نم+ايش داده مي ش+وند. تنش- ك+رنش مناس+ب تع+ادل و مع+ادالت ديفرانس+يل س+ازگاري تحت اث+ر رواب+ط مشخص+ه تنش- تع+ادل و مع+ادالت ديفرانس+يل س+ازگاري تحت اث+ر رواب+ط مشخص+ه تنش-

ح+ل ش+وند، ح+ل ش+وند، ((Specified Boundary ConditionsSpecified Boundary Conditions))ك+رنش و ش+رايط م+رزي مش+خص ك+رنش و ش+رايط م+رزي مش+خص در اين ص+ورت ح+الت تنش و تغي+ير مك+ان ب+راي ه+ر نقط+ه اي از جس+م ب+ه در اين ص+ورت ح+الت تنش و تغي+ير مك+ان ب+راي ه+ر نقط+ه اي از جس+م ب+ه

دست مي آيند.دست مي آيند.

ك+دام • مق+اومت مص+الح از االستيس+يته تئ+وري مم+يزه وج+وه م+و+ارد +هس+تند +و+ اساس+ا ع+الوه+ ب+ر مق+ا+ومت +م+ص+الح+ چ+ه ن+ي+ازي+ ب+ه

تئوري االستيسيته وجود دارد؟

وجه مميزه دوم: توانمندی در حل مسائل پیچیده وجه مميزه دوم: توانمندی در حل مسائل پیچیده براي بس+ياري از مس+ائل مق+دماتي نظ+ير خمش خ+الص و پيچش خ+الص، براي بس+ياري از مس+ائل مق+دماتي نظ+ير خمش خ+الص و پيچش خ+الص،

از از ((Load-DeflectionLoad-Deflection)) و ب+ار- خ+يز و ب+ار- خ+يز ((Load-StressLoad-Stress))اس+تخراج رواب+ط ب+ار- تنش اس+تخراج رواب+ط ب+ار- تنش امك+ان پ+ذير امك+ان پ+ذير ((Mechanics of MaterialsMechanics of Materials))طري+ق روش كالس+يك مكاني+ك مص+الح طري+ق روش كالس+يك مكاني+ك مص+الح

م+دور غ+ير ه+اي ميل+ه پيچش نظ+ير پيچي+ده مس+ائل از بس+ياري م+دور اس+ت. غ+ير ه+اي ميل+ه پيچش نظ+ير پيچي+ده مس+ائل از بس+ياري اس+ت. ((Noncircular TorsionNoncircular Torsion،)،) تحلي+ل ص+فحات، تحلي+ل پوس+ته ه+ا، تحلي+ل اس+توانه ه+اي تحلي+ل ص+فحات، تحلي+ل پوس+ته ه+ا، تحلي+ل اس+توانه ه+اي

تماسي هاي تنش كلفت، تماسي جدار هاي تنش كلفت، تنش ((Contact StressesContact Stresses))جدار تمركز و تنش تمركز و ((Stress Stress

ConcentrationConcentration)) ك+ه هس+تند برخ+وردار تنش ح+الت ه+اي پيچي+دگي چن+ان از ك+ه هس+تند برخ+وردار تنش ح+الت ه+اي پيچي+دگي چن+ان از روش كالس+يك مكاني+ك مص+الح در ح+ل آنه+ا و اس+تخراج رواب+ط ب+ار- تنش و روش كالس+يك مكاني+ك مص+الح در ح+ل آنه+ا و اس+تخراج رواب+ط ب+ار- تنش و

بحثی در مورد رابطه بین ..بار- خيز كارايي نداردبار- خيز كارايي نداردتئوری االستیسیته مبتنی بر روش های تحلیلی

(Analytical Methods) و روش های عددی (Numerical Methods)

تئوری االستیسیتهTheory of Elasticity

كريم عابديكريم عابديكريم عابديكريم عابدي

:فصل اولتحلیل تنش و کرنش

تحلیل تنش و کرنش:فصل اول

مقدمه - 1

تحلي+ل ب+راي را ني+از مب+اني م+ورد و ك+رنش، تنش ه+اي تحلي+ل اي س+ازه سیس+تم اث+ر (Structural system)رفت+ار تحت ك+ه

بارگذاري قرار دارد، فراهم مي نمايد.

تحلیل تنش

مفاهيم بنيادي تنش•

تانسور تنش•

تبديالت در تانسور تنش•

تنش هاي اصلي•

تنش هاي برشي ماكزيمم يا •مينيمم

معادالت تعادل•

تحلیل کرنش

مفاهيم بنيادي كرنش•

تانسور كرنش•

تبديالت در تانسور •كرنش

كرنش هاي اصلي•

كرنش هاي برشي•

معادالت سازگاري•


تحليل تنش – 2

الف( تعريف تنش

یک جس+م عم+ومی دلخ+واه را در نظ+ر بگیری+د ک+ه تحت اث+ر ن+یرو ه+ای و p2 و p1عم+ل کنن+ده در س+طح آن ق+رار دارد ) ن+یرو ه+ای گس+ترده

را Q (. ی+ک ص+فحه دلخ+واه موه+ومی P3 و P2 و P1ن+یرو ه+ای متمرک+ز Aاز می+ان جس+م عب+ور دهی+د. این ص+فحه جس+م را در امت+داد س+طح

را ب+ا عالمت )+( و س+وی دیگ+ر Qب+رش می ده+د. ی+ک س+وی ص+فحه را با عالمت منفی )-( نمایش می دهیم.


) ن+يروي نرم+ال ي+ا عم+ودي ( نيروي را مي ت+وان ب+ه دو مؤلف+ه و Nو ) ن+يروي برش+ي ي+ا مماس+ي ( در امت+داد ب+ردار واح+د نرم+ال

تجزيه نمود:Q نسبت به صفحه Sبردار مماسي

در جس++م از قس++متی نیروه+ایی Qس+مت مثبت

از دیگ+ر قس+مت ب+ه را Qجس+م در س+مت منفی

این نمای++د. می اعم++ال ص+فحه طری+ق از نیروه+ا

Q تم++اس وس++یله ب++ه مس+تقیم دو قس+مت جس+م

س+مت دو منتق+ل Qدر می ش+وند. ن+یرویی را ک+ه ج+زیی س+طح طری+ق از

ΔA ازA ب+ه وس+یله س+مت منتق+ل می ش+ود Qراس+ت

نمایش می دهیم. ΔFبا


22SN FFF

:مقدار متوسط نيرو در واحد سطح عبارتند از

( تنش متوسط )

( تنش نرمال متوسط )

( تنش برشي متوسط )


مفهوم تنش در يك نقطه با فرض بي نهايت كوچك شدن حاصل مي شود. بنابراين بردار تنش به صورت زير مشخص

:مي شود

A

F

A

lim0

:و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماسي به صورت زير تعريف مي شوند

A

FN

AN

lim

0

A

FS

AS

lim

0

( تنش نرمال )

( تنش برشي يا مماسي )

اكنون با شناختي كه از بردار تنش بدست آورديم، مي توان چهار :مشخصه زير را براي آن بيان كرد


بردار تنش از جنس نيرو در واحد سطح است.1(

( ب+ردار تنش در ه+ر نقط+ه، نماي+انگر عم+ل نيروه+اي ي+ك ط+رف مقط+ع 2خاص برش گذرنده از آن نقطه به طرف ديگر است.

( ب+ردار تنش در ه+ر نقط+ه، روي س+طحي عم+ل مي كن+د ك+ه راس+تاي 3آن سطح از ابتدا در ارزيابي بردار تنش مؤثر بوده است.

( ب+ردار تنش در ي+ك نقط+ه مح+دود ب+ه ي+ك راس+تا و جهت خ+اص نمي 4باش+د ) يع+ني در ي+ك نقط+ه بي نه+ايت تنش مي ت+وان تعري+ف ك+رد(.

از آنجا که در یک نقطه در فضای سه بعدی، بیش از سه راستای مستقل نمی توان تشخیص داد، در نتیجه هرگاه در نقطه ای سه بردار تنش مربوط به سه راستای مستقل مشخص باشند، می

توان بردار تنش مربوط به هر راستای اختیاری را تعیین کرد.


ب( تانسور تنش

:بارهايي كه در جسم آزاد مذكور عمل مي كنند به دو نوع تقسيم مي شوندكه در سطح جسم آزاد عمل مي كنند، نظير (Surface Forces)- نيروهاي سطحي 1

نيروهاي تماسي كه شامل بارهاي متمركز و واكنش ها در يك نقطه مي باشند و بارهاي گسترده.

كه در حجم جسم آزاد عمل مي كنند، نظير نيروهاي (Body Forces) - نيروهاي حجمي 2ثقلي و نيروهاي اينرسي.

در یک نقطه از دیاگرام چسم (State of Stress)برای مشخص نمودن حالت تنش آزاد استفاده می کنیم. این جسم آزاد به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بی

در نظر گرفته می شود، به عبارت دیگر نقطه مورد dz و dy و dxنهایت کوچک نظر به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بینهایت کوچک فرض می شود که

توضیحی در مورد صفحاتی که می باشند )z و y و xوجوه آن موازی با محورهای (. از نقطه مورد نظر عبور می کنند


برای سادگی و سهولت ارائه مطالب، عنصر بینهایت کوچک را با یک نشان می دهیم و فرض می کنیم که مولفه های تنش Oگوشه در مبدا

در سرتاسر عنصر حجمی یکنواخت )ثابت( می باشند.)توضیح در مورد صفحاتی که از نتطه مورد نظر عبور می کنند و تجزیه مولفه برشی

را σxz و σxy و σxx تنش های xبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور نیرو به دو مولفه( را σyz و σyy و σyx تنش های yبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور داریم. را σzz و σzy و σzx تنش های zبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور داریم.داریم.


در ارتباط با مفهوم حالت تنش در يك نقطه، نه مؤلفه تنش به

صورت زير وجود دارند:

A

F

A

F

A

F z

Axz

y

Axy

x

Axx

limlimlim000

A

F

A

F

A

F z

Ayz

y

Ayy

x

Ayx

limlimlim000

A

F

A

F

A

F z

Azz

y

Azy

x

Azx

limlimlim000

:xبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور

:yبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور

:zبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور

نمایش دهنده امتدادی است که بر صفحه عمود σab ، aتوجه شود که در نمایش دهنده امتداد مربوط به مولفه تنش است. bاست و


تانسور تنش را مي توان به شكل زير تعريف كرد:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

بطور اختصار تانسور تنش را بصورت ) نمايش تانسوري ( نشان مي دهند.

هاx بیانگر محور 1 هاy بیانگر محور 2 هاz بیانگر محور 3


انواع كميت ها:يك كميت اسكالر، كميتي است كه تنها داراي يك مؤلفه در

است. مؤلفه مذكور يك دستگاه مختصات اختياريهنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه

تغييري نمي كند ) تانسور از مرتبه صفر(. گيري شود،

يك كميت برداري، كميتي است كه داراي سه مؤلفه در يك است. مؤلفه هاي مذكور هنگامي دستگاه مختصات اختياري

كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شوند، به صورت قانونمند تغيير مي كنند )تانسور از مرتبه اول(.

9يك كميت تانسوري، از مرتبه دوم كميتي است كه داراي است. مؤلفه هاي مؤلفه در يك دستگاه مختصات اختياري

مذكور هنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شوند به صورت قانونمند تغيير مي كنند ) تانسور از مرتبه

.دوم(


خواص تانسور تنش عبارتند از:

- تانسور تنش در يك نقطه مورد بحث قرار مي گيرد ،1

- عناصر قطر اصلي تانسور، مؤلفه هاي قائم تنش هستند،2

- عناصر واقع در غير قطر اصلي، مؤلفه هاي برشي 3) مماسي ( هستند،

- تانسور تنش يك اصطالح رياضي است كه به موجوديتي 4فيزيكي به نام تنش اطالق مي شود،

- تانسور تنش متقارن است.5

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T


0 0x yz zy yz zyM dxdydz dxdydz

می توان اثبات کرد که تانسور تنش از خاصیت تقارن برخوردار است. به عبارت دیگر داریم:

, ,xy yx xz zx zy yz

برای اثبات خاصیت تقارن، معادله تعادل مکعب تنش را می نویسیم. مطابق معادالت تعادل، باید لنگر نیروهای وارد بر مکعب حول هر یک از محورها و

نسبت به هر نقطه، معادل صفر گردد. به عبارت دیگر داریم:

0 0y zx xz zx xzM dxdydz dxdydz 0 0z yx xy yx xyM dxdydz dxdydz

در معادالت باال از نیروهای ناشی از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده است، ولی می توان نشان داد که نتیجه به دست آمده در حالت کلی نیز صحیح است. معادالت تعادل باال نشان می دهند که کمیت های تنش های برشی واقع در دو سطح عمود مجاور هم، همیشه مساوی هستند و جهت آنها طوری است

که یا به طرف همدیگر بوده یا این که از همدیگر دور می شوند.


پ( مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي اختياريبردار تنش و و در صفحاتي كه به ترتيب عمود بر

وxمحورهاي

y و z:مي باشند، عبارتند از

kjiT

kjiT

kjiT

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

را كه از مكعب تنش Pاينك بردار تنش در يك صفحه مايل دلخواه بريده شده است، مورد مالحظه قرار مي دهيم.


عبارت است از:Pبردار نرمال واحد عمود بر صفحه

knjmilN

كه در آن l و m و n .كوسينوس هاي هادي بردار واحد مي باشند


را می توان از Pمولفه های بردار تنش در یک صفحه مایل دلخواه تعادل ایستایی یک چهاروجهی بی نهایت کوچک که از این صفحه

مایل و صفحات مختصات تشکیل شده است، به دست آورد.در شکل مذکور، تنش ها را در سه صفحه مختصات نشان داده ایم.

نشان می دهیم. در این ΔA را با ABCمساحت مثلث بی نهایت کوچک به ترتیب برابر هستند با AOC و COB و AOBصورت مساحت وجوه

mΔA و lΔA و nΔA بردار عمل کننده در وجه .ABC را با S نمایش می نشان داده شده اند.Sz و Sy و Sx آن را با z و y و xدهیم و مولفه های


xاز تعادل نيروها در راستاي داريم:

zxyxxxx

zxyxxxx

nmlS

AnAmAlAS

نتايج زير حاصل خواهند شد:z و yبطور مشابه از تعادل نيروها در راستاي

zyyyxyy nmlS

zzyzxzz nmlS

, 1, 1,2,3

2, 1,2,3

3, 1,2,3

j i ijS n j i

j i

j i

با استفاده از نمادگذاری تانسوری، مولفه های تنش

در صفحه مایل را به صورت زیر نمایش می دهیم:


سه معادله مذكور، محاسبه مؤلفه هاي تنش در هر صفحه مايل را شوند ميسر مي تعريف مي Nكه به وسيله بردار نرمال واحد

سازد، به شرط اين كه شش مؤلفه تنش معلوم باشند.

kSjSiSSبنابراين خواهيم داشت: zyx

براي به دست آوردن تنش نرمال كه در اين صفحه عمل مي كند از حاصل ضرب داخلي استفاده مي كنيم به عبارت

ديگر داريم:

zyxn nSmSlSS

zxyzxyzzyyxxn nlmnlmnmlS 2222


با اس+تفاده از نم+اد گ+ذاري تانس+وري مي ت+وان را بص+ورت زي+ر نوشت:

3,2,1,.. jinnS jiijn

براي ب+ه دس+ت آوردن تنش برش+ي برآين+د عم+ل كنن+ده در اين صفحه خواهيم داشت:

222222nzyxsns SSSSSSSS


( Principal Stresses & Principal Planesت( تنش هاي اصلي و صفحات اصلي ) در Sبه گونه اي است كه برایند تنش ABC فرض كنيد كه راستای صفحه

این صفحه عمود بر صفحه است، به عبارت دیگر داریم:

در آن نقطه (Principal Plane)در اين صورت صفحه مذکور، صفحه اصلی = S و تنش (Principal Direction)است و راستای نرمال آن، راستای اصلی

Sn تنش اصلی ،(Principal Stress).نامیده می شود باشد بگونه اي Oيك صفحه اصلي در نقطه ABC فرض کنید که صفحه

كه مشابه n و m و l دارای همان كوسينوس هاي هادي S در این صورت

در Sمي باشد. در اين صورت مؤلفه هاي بردار نرمال واحد عبارتند از:z و y و xراستاي

nSS

mSS

lSS

z

y

x


در اين ص+ورت مع+ادالت مرب+وط ب+ه مؤلف+ه ه+اي تنش در ي+ك ص+فحه ماي+ل به صورت زير در خواهد آمد:

0

0

0

Snml

nSml

nmSl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

به صورت نماد گذاري تانسوري نيز داريم:

0 Sn ijiji

در نماد گذاري تانسوري، دلتاي كرونكر ناميده مي شود كه به صورت زير تعريف مي شود:

0

1

ij

ij

ji

ji

x xx yx zxS l m n

zyyyxyy nmlS

zzyzxzz nmlS nSS

mSS

lSS

z

y

x


و m و l ب+راي اينك+ه مع+ادالت م+ذكور داراي ج+واب غ+ير ص+فر ب+ه ازاي n باش+ند، باي+د دترمين+ان ض+رايب آن مس+اوي ص+فر باش+د. ب+ه عب+ارت

ديگر داريم:

Cubic Equationاز بس+ط دترمين+ان م+ذكور، ي+ك معادل+ه درج+ه س+ومي ) خواهيم داشت:S( به ازاي

0322

13 ISISIS

0

S

S

S

S

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ijij

0

0

0

Snml

nSml

nmSl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx


كه در آنها داريم:

zzyyxxI 1 ( (مجموع قطر تانسور تنش

zzyz

yzyy

zzxz

xzxx

xy

xyxx

yyI

2

)مجموع كوفاكتور هاي ) قطر تانسور تنش

2223 2 xyzzzxyyyzxxzxyzxyzzyyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

I

(دترمينان تانسور تنش)

0322

13 ISISIS

تحلیل تنش و کرنش:فصل اول دارای سه ریشه حقیقی باال ثابت کرد که معادله توان Real)می

Root) اس+ت و در نتیج+ه ح+داقل س+ه تنش اص+لی وج+ود دارن+د ک+ه ب+ه نش+ان داده می ش+وند. از جایگ+ذاری پس+رفتی σ3و σ2و σ1ص+ورت

این ج+واب ه+ا در مع+ادالت مرب+وط ب+ه مولف+ه ه+ای تنش در ی+ک ص+فحه ب+ه دس+ت می آین+د، n و m و lمای+ل، کوس+ینوس ه+ای ه+ادی متن+اظر

البته با شرط:2 2 2 1l m n

ریش+ه س+ه σ3و σ2و σ1اگرس+ه ص+ورت این در باش+ند، متم+ایز یک+دیگر ب+ر و ب+ود خواهن+د بف+رد منحص+ر متن+اظر، اص+لی راس+تای

خواهن+د ب+ود. اگ+ر دو ریش+ه از این س+ه ریش+ه (Orthogonal)متعام+د مس+اوی باش+ند، در این ص+ورت ی+ک راس+تا منحص+ر بف+رد خواه+د ب+ود و دو راس+تای دیگ+ر می توان+د ه+ر دو راس+تای دلخ+واهی باش+ند ک+ه ب+ر نخس+تین راس+تا متعام+د می باش+ند. اگ+ر ه+ر س+ه ریش+ه مس+اوی باش+ند، در این ص+ورت هیچ راس+تای منحص+ر بف+ردی وج+ود نخواهن+د داش+ت و این انتخ+اب ش+وند. توانن+د دلخ+واهی می متعام+د راس+تای ه+ر س+ه

وضعیت تنش به عنوان حالت تنش هیدرواستاتیک معروف است.


1 xx yy zz xx yy zzI

، ی+ک مجموع+ه متف+اوت z و y و xفرض کنی+د ک+ه ب+ه ج+ای س+ه مح+ور در نظ+ر بگ+یریم. در این ص+ورت Oرا در نقط+ه ´zو ´yو ´xمحوره+ای

معادل+ه تع+یین تنش ه+ای اص+لی مانن+د معادل+ه درج+ه س+ومی ذک+ر ش+ده ´σ ب+ر حس+ب تنش ه+ای I3 و I2 و I1خواه+د ب+ود، ب+ه ج+ز این ک+ه

x و σ´y

´σو y نس+بت ب+ه محوره+ای جدی+د تعری+ف خواهن+د ش+د. ب+ه عن+وان مث+ال

1داریم:

2

3

...

...

xx yy zzI

I

I

ام+ا تنش ه+ای اص+لی، کمیت ه+ای ف+یزیکی می باش+ند و واض+ح اس+ت ک+ه I1بس+تگی ب+ه محوره+ای مختص+ات انتخ+اب ش+ده ندارن+د. بن+ابراین مق+ادیر

در ه+ر دس+تگاه مختص+اتی یکس+ان باش+ند ت+ا این ک+ه مق+ادیر بای+د I3 و I2و ب+ه دس+ت دهن+د. بن+ابراین ب+ه عن+وان مث+ال σ3و σ2و σ1 مش+ابهی را ب+رای

خواهیم داشت:


I1 و I2 و I3 ناورداه+ای ت+رتیب و دوم و س+وم (Invariants)ب+ه اول تانسور تنش نامیده می شوند.

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

( )

I

I

I

نظ+ر در مختص+ات محوره+ای عن+وان ب+ه را اص+لی راس+تاهای اگ+ر بگ+یریم، در این ص+ورت ناورداه+ای تنش، ف+رم س+اده زی+ر را ب+ه خ+ود

خواهند گرفت:

ک+ه در مع+ادالت ب+اال ظ+اهر I3 و I2 و I1بای+د ی+ادآور ش+د ک+ه ناورداه+ای و σ2و σ1می ش+وند، س+ه کمیت مس+تقل هس+تند ک+ه ح+الت تنش و ن+یز

σ3 را مش+خص می نماین+د. ب+ه عب+ارت دیگ+ر ب+ا معل+وم ب+ودن σ1 وσ2 وσ3 می ت+وان کمیت ه+ای I1 و I2 و I3 را محاس+به نم+ود و ب+ا داش+تنI1 و I2 و I3 می توان نیزσ1 وσ2 وσ3 .را به دست آورد


( Transformation of Stress ث( تبديل تنش )

( نمايش+گر دو دس+تگاه مختص+ات X ,Y , Z( و )x , y , zفرض كني+د )دكارتي با مبدأ مشترك باشند.


X ,Y )و )( x , y , z )كوسينوس هاي زواياي بين محورهاي مختصات, Z در جدول زير درج شده اند. هر درايه اين جدول عبارت است از

زاويه بين محورهاي مختصات كه در باالي ستون و سمت چپ سطر , X) به محورهاي( x , y , z )مربوطه. زواياي مذكور از محورهاي

Y , Z )اندازه گرفته مي شوند. به عنوان مثال داريم :


آنجاك+ه محوره+اي ( متعامدن+د، از اين رو X ,Y , Z( و )( x , y , zاز كوسينوس هاي هادي جدول مذكور بايد روابط زير را ارضا نمايد:

براي عناصر سطري داريم:

,0

3,2,1,1

212121

222

nnmmll

inml iii

براي عناصر ستوني نيز داريم:

,0

,1

332211

23

22

21

mlmlml

lll

( تعری+ف X ,Y , Zنس+بت ب+ه محوره+ای ) σZZو σYYو σXXمولف+ه ه+ای تنش نس+بت ب+ه محوره+ای σzz و σyyو σxxمی ش+وند، هم+ان گون+ه ک+ه تنش ه+ای

x , y , z ).تعریف می شوند )


از نتايج روابط مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي دلخواه مي توان نوشت:

333333323

23

23

222222222

22

22

111111121

21

21

.222

.222

.222

Nmllnnmnml

Nmllnnmnml

Nmllnnmnml

ZxyzxyzzzyyxxZZ

YxyzxyzzzyyxxYY

XxyzxyzzzyyxxXX

سه ب+ردار واح+د و و ك+ه ب+ه ص+ورت زي+ر تعري+ف مي ش+وند، در قرار دارند.Z و Y و Xراستاهاي

knjmilN 1111

knjmilN 2222

knjmilN 3333



1 1 1 1 1 1 1 1 1X xx yx zx xy yy zy xx yz zzl m n i l m n j l m n k ��

2 2 2 2 2 2 2 2 2Y xx yx zx xy yy zy xx yz zzl m n i l m n j l m n k ��

3 3 3 3 3 3 3 3 3Z xx yx zx xy yy zy xx yz zzl m n i l m n j l m n k ��

:بنابراين و و را مي توان به صورت زير بدست آورد

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

. .XY X Y

xx yy zz yz zx xy

N N

l l m m n n m n m n l n l n l m l m

��

3 1

1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1

. .XZ X Z

xx yy zz yz zx xy

N N

l l m m n n m n m n l n l n l m l m

��


xyzxyzzzyyxx

ZYYZ

mlmlnlnlnmnmnnmmll

NN

233223322332323232

23 ..

در ح+الت كلي اگ+ر تانس+ور تنش در نقط+ه م+ورد نظ+ر نس+بت ب+ه محوره+ايx و y و z و تانس+ور تنش در نقط+ه م+ورد نظ+ر نس+بت ب+ه را ب+ا

را ب+ا نش+ان دهيم و ن+يز اگ+ر كوس+ينوس ه+اي Z و Y و Xمحوره+اي ه+ادي را در ي+ك آراي+ه ب+ه ن+ام م+اتريس دوران گ+رد آوريم، در اين ص+ورت

خواهيم داشت:TRR .. 1 1 1

2 2 2

3 3 3

l m n

R l m n

l m n

:به صورت نماد تانسوري نيز مي توان نوشت

3,2,1,3,2,1, jinn imjkijkm

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T

n n n

R n n n

n n n


ج( تنش هاي برشي ماكزيمم

فرض كني+د ك+ه محوره+اي مختص+ات م+ورد نظ+ر خ+ود را هم+ان محوره+اي اص+لي اختي+ار ك+رده ايم. در اين ص+ورت تنش ه+اي برش+ي مرب+وط ب+ه اين در برش+ي و نرم+ال ه+اي تنش باش+ند. مختص+ات ص+فر مي محوره+اي

m و l) كوس+ينوس ه+اي ه+ادي نس+بت ب+ه اين محوره+ا ص+فحه اي ماي+ل ب+اعبارتند از: (nو

32

22

12 nmlSn

2 2 2 2 21 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

s n

s

S S S S S

S l S m S n

S l m n l m n

x xx yx zxS l m n

zyyyxyy nmlS

zzyzxzz nmlS



2 21 3 2 3 1 3

10

2l l m

2 21 3 2 3 2 3

10

2m l m

از قبل مي دانيم كه در صفحات اصلي، تنش برشي مينيمم )يعني صفر( است. اينك مي خواهيم صفحاتي را پيدا كنيم كه در آن تنش

هستيم n وm و l برشي ماكزيمم است. به عبارت ديگر به دنبال در معادله ذكر شده يك ماكزيمم باشد. عالوه بر به گونه اي كه

معادله مذكور، محدوديتي در كوسينوس هاي هادي وجود دارد، به عبارت ديگر:

يعني تنها دو تا از سه كوسينوس هاي هادي مذكور مي توانند جايگذاري مستقل باشند. از

در معادله مربوط به و مشتق گيري از معادله حاصل نسبت به l و m و مساوي صفر قرار دادن اين مشتقات، معادالت زير به ازايl و m :بدست مي آيند


با حل معادالت فوق مي توان جدول زير را بدست آورد:

سه س+تون اول اين ج+دول، كوس+ينوس ه+اي ه+ادي ص+فحات مختص+ات ك+ه هم+ان ص+فحات اص+لي هس+تند و بن+ابراين تنش ه+اي برش+ي در اين ص+فحات ص+فر مي باش+ند، ب+ه عب+ارت

45ديگ+ر آنه+ا مي+نيمم مي باش+ند. س+ه س+تون آخ+ر در واق+ع كوس+ينوس ه+اي ه+ادي زواي+اي نص+ف مي را بين محوره+اي مختص+ات زواي+اي اين ص+فحات بن+ابراين، درج+ه هس+تند.

ب+ا نش+ان دادن اين تنش+ها ب+ا .نماين+د. در اين ص+فحات تنش+هاي برش+ي م+اكزيمم مي باش+ند و جايگ+ذاري كوس+ينوس ه+اي ه+ادي م+ذكور در معادل+ه مرب+وط ب+ه مق+ادير تنش

هاي برشي به صورت زير بدست مي آيند:

. n =±1 وl =0 و m =0روش+ن اس+ت ک+ه ی+ک ج+واب عب+ارت اس+ت از: ، ب+ه ص+ورت زی+ر ب+ه lج+واب دیگ+ر از طری+ق مس+اوی ص+فر ق+رار دادن

دست می آید:

جواب زیر به دست می آید: m =0 همچنین با


213

312

321

2

12

12

1

اگ+ر تنش ه+اي نرم+ال در اين ص+فحات را محاس+به نم+اييم و آنه+ا را ب+ا نشان دهيم، در اين صورت از معادله مربوط به خواهيم داشت:

1 2 3

2 1 3

3 1 2

1

21

21

2

N

N

N

32

22

12 nmlSn

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3sS l m n l m n


(Equilibrium differential equations ) خ ( معادالت دیفرانسیل تعادل

در این بحث، معادالت دیفرانسیل تعادل را در یک جسم تغییر شکل پذیر (Deformable bodyاستخراج می ) این معادالت در هنگام کاربرد .کنیم

تئوری االستیسیته در استخراج روابط بار- تنش و بار – خیز ضروری می باشند.

بدین منظور، یک جسم عمومی تغییر شکل پذیر را در نظر می گیریم ( در نقطه Differential volume elementویک عنصر حجمی دیفرانسیلی )

O درجسم را به صورتی که در زیر نشان داده شده است، انتخاب می کنیم :


فرم معادالت دیفرانسیل بستگی به نوع محورهای مختصات انتخابی را که راستاهای آن (x, y, z)دارد. در این مرحله، محورهای دکارتی

موازی با لبه های عنصر حجمی است انتخاب می نماییم. شش صفحه ی بریده شده، مرز عنصر حجمی را تشکیل می دهند. در شکل زیر دیاگرام جسم آزاد نشان داده شده است. در حالت کلی ،مؤلفه های تنش از یک

وجه به وجه دیگر تغییر می کنند. در ضمن نیروهای حجمی دردیاگرام جسم آزاد وارد شده اند.


برای نوشتن معادالت تعادل، هر مولفه تنش باید در سطحی که در آن عمل می کند ضرب شود و هر نیروی حجمی باید در حجم عنصر ضرب گردد. بنابر این معادالت تعادل برای این عنصر حجمی از طریق روابط

:زیر به دست آیند0, 0, 0

0, 0, 0

x y Z

x y Z

F F F

M M M

پیش از این در مبحث تانسور تنش از معادالت تعادل لنگر برای :نمایش تقارن تانسور تنش استفاده نمودیم. به عبارت دیگر داشتیم

xyyxZ

xzzxy

zyyzx

M

M

M

0

0

0


0

0)..(

).().().(

Xzxyxxx

x

zxyxxx

Bzyx

dzdydxB

dydxdzz

dzdxdyy

dzdydxx

از رابطه زیر:

به صورت زیر به x معادله دیفرانسیل تعادل در راستای دست می آید :

0xF


0

y

zyyyxy Bzyx

از رابطه:

به صورت زیر به y معادله دیفرانسیل تعادل در راستای دست می آید :

0yF

از رابطه:

به صورت زیر به z معادله دیفرانسیل تعادل در راستای دست می آید :

0zF

0

zzzyzxz B

zyx

و به طور کلی به صورت نمایش :تانسوری داریم

0, ijij B


معادالت تعادل در دستگاه مختصات استوانه ای :تبدیل به Oz و Oy و Oxدر دستگاه مختصات استوانه ای محور های

می شوند . Oz و θ و Or محورهای

zzzzr

zr

rzrrr

تنش حلقوی- محیطی که در آن ، تنش شعاعی

تنش عمودی - محوری

این در تنش تانس++ور مختص+++ات دس+++تگاه

عبارت است از :


0 . . . ( )( ) .

. . ( ) . . . . ( ) . .

( ) . . . . . . 0

r rr r r r r

r z rr r z r z r

r

F r d d z dr r dr d dzr

dr dz d dr dz r d dr d z r dr dz

d dr dz d B r dr d dz

درنتیجه :

10r r r rrzr

rBr r z r

به عنوان مثال داریم:

مع+ادالت دیفرانس+یل تع+ادل در دس+تگاه مع+ادالت از ای اس++توانه مختص+ات

:تعادل زیر بدست می آیند

0

0

0

Z

r

F

F

F


معادالت تعادل زیر را تشکیل دهیم: وبه طور مشابه اگر

این صورت در نهایت معادالت دیفرانسیل تعادل عنصر حجمی بی درنهایت کوچک به صورت زیر خواهد بود :

10

210

10

r rrrr zrr

r z r

zrz zz rzz

Br r z r

Br r z r

Br r z r


تانسور تنش در دستگاه مختصات : کروی

rr r r

r

r

معادالت تعادل در دستگاه مختصات کروی :تبدیل به Oz و Oy و Oxدر دستگاه مختصات کروی محور های

می شوند . Φ و θ و Or محورهای

تنش حلقوی- محیطی که در آن ، تنش شعاعی

تنش حلقوی- محیطی می باشند .


1 1 1(2 cot ) 0

sin

1 1 1( )cot 3 0

sin

1 1 1(3 2 cot ) 0

sin

rrrrrr r r

rr

rr

Br r r r

Br r r r

Br r r r

معادالت دیفرانسیل تعادل در دستگاه کروی از سه معادله تعادل زیر به دست می آیند:


(Strain Analysis- تحلیل کرنش )3

مک++ان تغی++یر مختل++ف، باره++ای تحت پ++ذیر ش++کل اجس++ام تم++امی (Displacement)و تغی+یر ش+کل ( Deformation) می دهن+د. ب+دین مع+نی ک+ه

از جس+م از م+وقعیت ابت+دایی خ+ود ک+ه ب+ه وس+یله مختص+ات P ه+ر نقط+ه یب+ه در فض+ا مش+خص می ش+ود، ب+ه م+وقعیت جدی+د خ+ود ک+ه

مشخص می شود، انتقال می یابد. وسیله مختصات

الف( مقدمه


ی´PPبردار نقط+ه تغییرمک+ان ب+ردار را P .نامن+د می از جس+م این پ+ذیر باش+د، در واض+ح اس+ت ک+ه اگ+ر جس+م م+ورد نظ+ر ش+کل نیس+تند. ع+دم ب+اهم مس+اوی نق+اط مختل+ف آن تغییرمک+ان ص+ورت تغییرش+کل ب+اعث جس+م، ی+ک نق+اط ه+ای تغییرمک+ان تس+اوی

(Deformation .آن می شود )تغی+یر ش+کل ی+ک جس+م، توس+ط کمیت مؤلف+ه ه+ای مختل+ف ک+رنش در

هر نقطه از جسم بیان می گردد.

مؤلفه های کرنش مانند مؤلفه های تنش عبارتند از : (Axial Strain) کرنش محوری • ( Shear Strain) کرنش برشی •


(Axial Strainب( کرنش محوری )

نقط+ه در ذره ی+ک یاب+د، می تغییرش+کل جس+م ی+ک ک+ه هنگ+امی -P ب+ه انتق+ال می (x+u , y+v , z+w) ب+ه مختص+ات ´P ب+ه نقط+ه (x , y , z)مختص+ات

ب+ه نقط+ه (x+dx , y+dy , z+dz) ب+ه مختص+ات Qیاب+د. همچ+نین ذره ای در نقط+ه Q´ ب+ه مختص+ات (x+dx+u+du , y+dy+v+dv , z+dz+w+dw) و یاب+د انتق+ال می

ب+ه ط+ول ´P´Q ب+ه ص+ورت عنص+ر خطی PQ=dsعنص+ر خطی بینه+ایت کوچ+ک ds´.در می آید


)- ک+رنش مح+وری الگران+ژی Lagrangian axial strain ) نقط+ه ب+ه Pدر صورت زیر تعریف می شود که در تغییر شکل های بزرگ کاربرد دارد:

2

22

0 2

'lim ds

dsdsds

به P( در نقطه Engineering axial strain-کرنش محوری مهندسی )صورت زیر تعریف می شود:

0

'limds

ds dse

ds

این کرنش در مقاومت مصالح و تئوری های ابتدایی و تئوری های .تغییرشکل کوچک کاربرد دارد


بی+ان P کرنش مح+وری را می ت+وان ب+ه وس+یله تغی+یرات تغی+یر مک+ان نقط+ه در امت+داد P نم+ود. ف+رض می ک+نیم ک+ه ک+رنش الگران+ژی مح+وری نقط+ه

ب+ردار Oxه+ا م+ورد توج+ه باش+د، در این ص+ورت ب+ه م+وازات مح+ور xمح+ور PQ .را در نظر می گیریم


درجهت محور Pدر این صورت کرنش محوری الگرانژی در نقطه ی Ox:2 عبارت است از 2 2 2

20

( )

2( )limxx dx

dx du dv dw dx

dx

در جهت محورهای P به همین ترتیب کرنش محوری الگرانژی در نقطه Oy و Oz:2عبارتند از 2 2

2 2 2

1( ) ( ) ( )

2

1( ) ( ) ( )

2

yy

zz

v u v w

y y y y

w u v dw

z z z dz

12 2 2 2' ' ( )

P Q dx

P Q dx du dv dw

به صورت زیر محاسبه 'P'Qو PQ طول می شود :

2 2 21( ) ( ) ( )

2xx

u u v w

x x x x

2

22

0 2

'lim ds

dsdsds


, Oz , Oy درجهت محورهای P کرنش محوری مهندسی در نقطه ی Ox:عبارت است از

z

we

y

ve

x

ue

zz

yy

xx

مح+وری ک+رنش در موج+ود دومی درج+ه جمالت از اگ+ر واق+ع در الگران+ژی ص+رف نظ+ر ک+نیم، ب+ه ک+رنش مح+وری مهندس+ی می رس+یم و این ام+ر در واق+ع در تغییرش+کل ه+ای بس+یار کوچ+ک امک+ان پ+ذیر اس+ت و هنگ+امی مس+اوی الگران+ژی و مهندس+ی مح+وری ه+ای ک+رنش اساس+ا ف+رض می ش+وند ک+ه تغی+یر ش+کل ه+ا و ی+ا کمیت ک+رنش ه+ا کوچ+ک باش+ند.


پ( کرنش زاویه ای یا برشی

کرنش برشی در واقع تغییر شکل زاویه ای جسم را نشان می دهد.

یک زاویه ی قائم در نظر می گیریم. پس از تغییر P در نقطه ی شکل جسم، زاویه ی قائم تغییر خواهد کرد. مقدار زاویه ی جدید

توسط کوسینوس آن مشخص می گردد.

' '. ' 'cos

' ' . ' '

P Q P S

P Q P S


همانند کرنش محوری، دو تعریف برای کرنش :برشی وجود دارد

:کرنش برشی مهندسی

کرنش برشی الگرانژی:


کرنش برش+ی را می ت+وان در ص+فحات مختل+ف معین نم+ود. ب+ه در ص+فحه ای ب+ه Pعن+وان مث+ال، ک+رنش برش+ی الگران+ژی نقط+ه

ص+فحه مختل+ف Oxyم+وازی ه+ای تغییرمک+ان از اس+ت ت+ابعی ب+ه متغیره+ای این ک+ار زاوی+ه ی قائم+ه ی y و xنس+بت ب+رای .

QPS را م+وازی ص+فحهOxy ب+ه گون+ه ای ک+ه درنظ+ر می گ+یریم، اضالع آن نیز موازی محورهای مختصات باشند.


عبارتند از:S و Qو P مختصات نقاط P(x , y , z)

Q(x+dx , y , z) S(x , y+dy , z)

'( , , )

'( , , )

'( , , )

P x u y v z w

u v wQ x dx u dx y v dx z w dx

x x xu v w

S x u dy y v dy dy z w dyy y y

عبارت اند از:'Sو 'Q و 'P مختصات نقاط


عبارتند PQ و 'P'Q در این صورت مؤلفه های از :

dxx

w

dxx

v

dxdxx

u

QP :''

dyy

w

dydyy

v

dyy

u

SP :''


: ضرب داخلی این دو بردار عبارتند از

)...(2

1

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

y

u

x

vxy

جابج+ا ش+وند، در مق+دار y و xنکت+ه ج+الب این اس+ت ک+ه اگ+ر ان+دیس ه+ای کرنش برشی الگرانژی تغییری حاصل نمی گردد، به عبارت دیگر داریم:

yxxy

' '. ' ' ( . . . ) .u u u v v v w w

P S P Q dx dyy x y x y x x y

��

موازی محور P در نتیجه مقدار کرنش برشی الگرانژی در نقطه ی Oxy:به صورت زیر در می آید


1( . . . )

2xz zx

w u u u v v w w

x z x z x z x z

1( . . . )

2yz zy

w v u u v v w w

y z y z y z y z

Oxy , Oxz , Oyz در صفحات Pکرنش برشی مهندسی در نقطه ی عبارت اند از :

)(2

1

)(2

1

)(2

1

z

v

y

we

z

u

x

we

x

v

y

ue

yz

xz

xy

را در Pبه همین ت+رتیب می ت+وان ک+رنش برش+ی الگران+ژی نقط+ه ی نیز به دست می آورد:Oyz و Oxzصفحه ای به موازی

از جمالت درج+ه دومی موج+ود اگ+ر واق+ع در نظ+ر ص+رف الگران+ژی برش+ی ک+رنش در نم+اییم، ب+ه ک+رنش برش+ی مهندس+ی می رس+یم و این در تغییرش+کل ه+ای کوچ+ک امک+ان پ+ذیر اس+ت. اساس+ا ک+رنش ه+ای برش+ی مهندس+ی و الگران+ژی هنگ+امی مس+اوی ف+رض می ش+وند ه+ا ک+رنش کمیت ی+ا و ه+ا ش+کل تغی+یر ک+ه

کوچک باشند .


رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و : برشی مهندسی

)(2

1,, ijjiij uue

i , j =1,2,3

رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و : برشی الگرانژی

, , , ,

1( )

2ij i j j i k i k ju u u u

i , j , k =1,2,3


xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

:تانسور کرنش مهندسی عبارت اند از

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eee

e

ت( تانسور کرنش و خواص آن: را می توان از طریق مؤلفه های کرنش در Pتغییرشکل در نقطه ی

آن نقطه در یک تانسور به نمایش گذاشت.

طبیعی است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباهت هایی .داشته باشند

:تانسور کرنش الگرانژی عبارت است از


در مطالعه تنش در یک نقطه دریافتیم که حداقل سه صفحه که متقابال متعامدند وجود دارند که در آن تنش برشی صفر

این س+ئوال مط+رح می ش+ود ک+ه آی+ا ص+فحاتی وج+ود دارن+د ک+ه در آنه+ا است)صفحات اصلی(.ک+رنش برش+ی ص+فر باش+د؟ یع+نی ص+فحه ای ک+ه جهت نرم+ال ه+ای آنه+ا

ک+ه Aبع+د از تغییرش+کل جس+م تغی+یری نمی کن+د. بن+ابراین ب+رداری مانن+د ی+ا بلن+د، ولی ابت+دا عم+ود ب+ر آن ص+فحه اس+ت، ی+ا کوت+اه می ش+ود در

راستای ان تغییری نمی کند.

جواب مثبت اس+ت. چن+ان ص+فحاتی، ص+فحات اص+لی نامی+ده می ش+وند ک+ه راس+تاهای نرم+ال ب+ر آنه+ا راس+تاهای اص+لی هس+تند و ک+رنش ه+ای متن+اظر ب+ا

این صفحات نیز، کرنش های اصلی نامیده می شوند.


اگر به طریقه مشابه یافتن تنش ها و صفحات اصلی عمل کنیم، در :نهایت به معادله درجه سومی مشابه زیر می رسیم

0''' 322

13 III

کرنش های اصلی

1

2 2 22

2 2 23

'

' ( )

' . . 2 ( . )

xx yy zz

xy yz zx xx yy yy zz zz xx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

I

I

I

:ناورداهای تانسور کرنش


3213

1332212

3211

'

)('

'

I

I

I

روابط تبدیل کرنش همانند تنش می باشند. به عنوان مثال:

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2XX xx yy zz yz zx xyl m n m n n l l m

ناورداهای کرنش نسبت به کرنش های اصلی نیز عبارتند : از

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )XY xx yy zz yz zx xyl l m m n n m n m n n l n l l m l m

باز هم به طور مشابه با حالت تنش، می توان کرنش های برشی ماکزیمم را به صورت زیر به دست آورد:

)(2

1

)(2

1

)(2

1

213

312

321


ث( کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای : )کرنش های کوچک (

),,(

),,(

),,(

3

2

1

zrfu

zrfu

zrfu

z

r

تغییرمک+ان ه+ای مولف+ه مختص++ات دس++تگاه در

استوانه ای:


مولفه های کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای عبارتند از )تئوری تغییرشکل های کوچک(:

z :(ezz) ها z- کرنش محوری موازی محور 1zz

ue

z

r :(err) ها r- کرنش محوری موازی محور 2rr

ue

r


( تغییر می یابد.´a´b )تصویرa´I به ضلع AB یا ab :(eθθ)- کرنش حلقوی - محیطی 3

, ( ) ( )

1

r

r

uab rd a I KJ a K IJ r u d u u d

uua I abe

ab r r


:rθ- کرنش برشی موازی صفحه 4

1 1

2r

r

u uue

r r r


جمع بندی: روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای

1

1 1

2

1 1

2

1

2

zzz

rrr

r

rr

zz

z rrz

ue

zu

er

u ue

r ru uu

er r r

u ue

z r

u ue

r z

zθ: 1- کرنش برشی موازی صفحه 5 1

2z

z

u ue

z r

:rz- کرنش برشی موازی صفحه 6

1

2z r

rz

u ue

r z


: در دستگاه مختصات استوانه ای تانسور کرنش مهندسی

zzzzr

zr

rzrrr

eee

eee

eee

ج( کرنش در دستگاه مختصات کروی: )کرنش های کوچک (

),,(

),,(

),,(

3

2

1

rfu

rfu

rfur

مولفه های تغییرمکان

در دستگاه مختصات کروی:


روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات کروی:

1

1cot

sin

1 1 1( cot )

2 sin

1 1

2

1 1

2 sin

rrr

r

r

rr

rr

ue

ru u

r ru u u

r r r

u uu

r r

u u u

r r r

u uu

r r r

در تانسور کرنش مهندسی دستگاه مختصات کروی:

eee

eee

eee

r

r

rrrr


(Compatibility differential equations)ج( معادالت دیفرانسیل سازگاری w و v و uشش مولفه کرنش را بر حسب eijتانسور کرنش مهندسی بیان می کند، مثال داریم:

xx

ue

x

ب+ه عن+وان تواب+ع پیوس+ته از w و v و uروش+ن اس+ت ک+ه اگ+ر تغی+یر مک+ان ه+ای x و y و z مش+خص باش+ند، در این ص+ورت می ت+وان از رواب+ط ش+ش گان+ه

eij مولف+ه ه+ای ک+رنش را ب+ه ص+ورت منحص+ر بف+ردی ب+ه دس+ت آورد. اکن+ون ،این ب+ر دیگ+ر ف+رض ب+ه عب+ارت گ+یریم: در نظ+ر می را این ح+الت عکس

در دس+ت هس+تند و می خ+واهیم تغییرمک+ان eijاس+ت ک+ه مولف+ه ه+ای ک+رنش ب+ا w و v و uه+ای را ب+ه دس+ت آوریم. روش+ن اس+ت ک+ه در این ح+الت

دشواری مواجه خواهیم شد. می باش+ند. بن+ابر w و v و u، دارای س+ه مجه+ول eijشش معادل+ه نمایش+گر

این روش+ن اس+ت ک+ه این مع+ادالت ب+ه ازای ی+ک مجموع+ه ک+رنش ه+ای ش+ش گان+ه اختی+اری، ج+وابی منحص+ر بف+رد نخواهن+د داس+ت، ب+ه عب+ارت دیگ+ر نمی

تغییرمک+انی مولف+ه س+ه و uت+وان v و w از بف+رد منحص+ر ط+ور ب+ه را ب+ه دس+ت آورد. بن+ابر این بای+د از طری+ق روابطی، eijانتگ+رال گ+یری مع+ادالت

eijمح+دودیت ه+ایی در ک+رنش ه+ا اعم+ال ش+وند ت+ا این ک+ه مع+ادالت نمایش+گر

ی+ا رواب+ط م+ذکور، رواب+ط باش+ند. ج+واب دارای بف+رد منحص+ر ط+ور ب+ه معادالت دیفرانسیل سازگاری نامیده می شوند.


0

)(2

1

zyzxzz

xy

yy

xx

eee

x

v

y

ue

y

ve

x

ue

برای استخراج معادالت سازگاری، به جهت سادگی، حالت کرنش مسطح را در نظر می گیریم:

در این حالت کرنش با این شرط تعریف می شود که مؤلفه های ثابت است. w می باشند و yو x صرفا توابعی از v و u تغییرمکان

و u شرط سازگاری کرنش را می توان از حذف دو مؤلفه تغییر مکان v از سه رابطه کرنش – تغییرمکان حالت کرنش مسطح به دست

آورد.


2 3

2 2

2 3

2 2

2 3 3

2 2

2 22

2 2

1 1( )

2 2

2

xxxx

yyyy

xyxy

yy xyxx

eu ue

x y x y

ev ve

y x x y

eu v u ve

y x x y x y x y

e ee

y x x y


zx

e

yx

e

x

e

zy

e

yx

e

zy

e

y

e

zx

e

zy

e

xz

e

z

e

yx

e

zy

e

z

e

y

e

zx

e

z

e

x

e

yx

e

y

e

x

e

xyxzyzxx

yzxyxzyy

zxyzxyzz

yzyyzz

zzxxzz

xyxxyy

...

...

...

.2

.2

.2

22

2

22

22

2

22

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 درحالت کلی اگر از شش ، سه مؤلفه ی eijمعادله

را حذف wو v و u تغییرمکان کنیم، به معادالت سازگاری

زیر در حالت کلی می رسیم:


مع+ادالت ش+ش گان+ه س+ازگاری ک+ه در ب+اال ارائ+ه گردیدن+د، مع+ادالت س+ازگاری ک+رنش ب+رای تئ+وری تغییرمک+ان ه+ای کوچ+ک نامی+ده می ش+وند. می ت+وان نش+ان داد ک+ه اگ+ر مولف+ه ه+ای

در مع+ادالت س+ازگاری ص+دق کنن+د، در این ص+ورت eyz و exz و exy و ezz و eyy و exxک+رنش ب+ه ط+ور منحص+ر بف+رد وج+ود دارن+د ک+ه ج+واب w و v و uمولف+ه ه+ای تغییرمک+ان ه+ای

معادالت شش گانه کرنش می باشند.

معادالت سازگاری در دستگاه مختصات استوانه

ای:

91

::فصل دومفصل دوم

روابط و معادالت بنيادي و

ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی

92

فصل دوم - بخش اول: روابط و معادالت بنيادي

مقدمه - 1اختي+اري اي نقط+ه در تنش وض+عيت پيش+ين، فص+ل اول بخش در

(Arbitrary Point ) از ي+ك جس+م ك+ه تحت اث+ر نيروه+ايي ق+رار دارد، م+وردتنش، تانس+ور اس+تخراج ض+من و گ+رفت ق+رار مطالع+ه و بررس+ي

خواص مختلف آن تشريح گرديد.در بخش دوم فصل پيشين، وضعيت كرنش )يا تغيير شكل نسبي( در

نقطه اي اختياري مورد مطالعه قرار گرفت و اين در حالي بود كه m هيچ سؤالي در مورد علت ايجاد يا عامل بوجود آورنده تغيير اصوال

m مسأله بررسي كرنش در نقطه اي شكل مطرح نگرديد. اساساm رياضي بود. ام+ا واقعيت اين اس+ت ك+ه تغي+ير ش+كل جس+م ب+ه علت تحري+ك جس+م دلخواه از يك جسم، يك مسأله صرفا

گفت+ه مي ش+ود، بوج+ود مي ( Action)توس+ط ع+املي ك+ه ب+ه آن كنش m ب+ه ص+ورت ن+يرو ب+وده و ي+ا اينك+ه آي+د. اين كنش ممكن اس+ت مس+تقيماعلت ص+ورت ه+ر در ك+ه باش+د ح+رارت درج+ه مانن+د ديگ+ر ع+املي

پيدايش ميدان تنش است.

بخش اول : روابط و معادالت بنیادی

93

فصل دوم – بخش اول: روابط و معادالت بنيادي

اس+تخراج االستيس+يته، مس+ائل ح+ل در اساس+ي ه+اي ق+دم از يكي تنش تانس+ور اج+زاء ب+ه را ك+رنش تانس+ور اج+زاء ك+ه اس+ت مع+ادالتي ب+ه عن+وان تعميم مرب+وط مي س+ازند. چ+نين مع+ادالتي ك+ه ممكن اس+ت

بنيادي معادالت نام به شود، توجه آنها به هوك Fundamental)قانون Equations ).خوانده مي شود

شناس+ايي ي+ا بني+ادي مع+ادالت اولي+ه بررس+ي فص+ل اين در هدف ايزوتروپي+ك ارتج+اعي م+ورد مص+الح در ك+رنش و تنش بين رواب+ط مس+ائل ح+ل ب+راي الزم مق+دمات كلي+ه آنه+ا ش+ناخت ب+ا ت+ا اس+ت

االستيسيته فراهم شده باشد.

برای ارتب+اط تنش در ی+ک نقط+ه در ی+ک مص+الح م+ادی ب+ا ک+رنش متن+اظر مص+الح خ+واص نقط+ه، آن می (Material Properties)در نی+از م+ورد

ب+ه ک+رنش - تنش رواب+ط ی+ا بنی+ادی مع+ادالت در این خ+واص باش+ند. وارد می شوند.(Material Coefficients)عنوان ضرایب مصالح

94


مبن+اي نظ+ري اس+تخراج رواب+ط و مع+ادالت بني+ادي م+ذكور، ق+انون اول است. ( First Law of Thermodynamics)ترموديناميك

قانون اول ترمودينامي+ك بي+ان مي كن+د ك+ه مجم+وع ك+ار انج+ام يافت+ه در ي+ك سيس+تم مك+انيكي ب+ه وس+يله نيروه+اي خ+ارجي و ن+يز گرم+ايي ك+ه از ب+ا مجم+وع اس+ت براب+ر ياب+د، درون سيس+تم جري+ان مي ب+ه ب+يرون

بي+ان دقي+ق افزايش انرژي داخلي و افزايش انرژي جنبشي. ترمودينامي+ك )ك+ه در واق+ع اول ق+انون نم+ادين به ط+ور قانون بقاي انرژي است( به صورت زير بيان مي شود:

KUHW كه در آن:

كار انجام يافته در يك سيستم به وسيله ،نيروهاي خارجيگرمايي كه به داخل سيستم

،افزايش در انرژي داخليجريان مي يابد،

.افزايش در انرژي جنبشي

95

فصل دوم – بخش اول : روابط و معادالت بنيادي

انرژي كرنشي )ارتجاعي( در اجسام االستيك -2

هنگ+امي ك+ه ي+ك جس+م االس+تيك تحت اث+ر ن+يرو ق+رار مي گ+يرد، ن+ه تنه+ا در ه+ر نقط+ه آن تنش ايج+اد مي ش+ود، بلك+ه اين نيروه+ا ب+اعث مي

تغي+ير ش+كل ك+ه جس+م نق+اط (Deformation)ش+ود و وض+عيت داده مختلف آن نسبت به يكديگر با وضعيت اوليه تفاوت كند.

تغي+ير نقط+ه اث+ر نيروه+اي اعم+الي ب+ه سيس+تم ب+اعث مي ش+ود ك+ه در هنگ+ام اعم+ال اين نيروه+ا مق+داري ك+ار انج+ام گ+يرد. ك+ار مزب+ور ك+ه ت+وأم ب+ا تغي+ير ش+كل جس+م در وض+عيت تنش مي باش+د ب+اعث ذخ+يره گ+ردد. مي در جس+م ارتج+اعي ان+رژي ب+ه ص+ورت ان+رژي مق+داري نيروه+اي ح+ذف ب+ا باش+د االس+تيك رفت+ار ي+ك جس+م رفت+ار هرگ+اه خ+ارجي ان+رژي ارتج+اعي ن+يز آزاد ش+ده و هيچ ن+وع تغي+ير ش+كلي در

اول جسم باقي نمي ماند. ق+انون از گ+يري به+ره ب+ا ارتج+اعي ان+رژي م+ورد در مطالع+ه ترمودينامي+ك قاب+ل درك ب+وده و فرمول+ه ك+ردن آن ممكن مي گ+ردد.

96


فرض ب+ر اين اس+ت ك+ه تغي+یر مك+ان نق+اط جس+م معل+وم اس+ت و ب+ه در ه+ر نقط+ه در راس+تاي w و v و uوس+يله مؤلف+ه ه+اي تغي+ير مك+ان

مشخص مي شود.z و y و xمختصات دكارتي

ب+ه كوچ+ك نه+ايت بي نموه+اي از جس+م، اي نقط+ه ه+ر ب+ه اكن+ون نش+ان ك+ه ب+ا و وw و v وu مؤلف+ه ه+اي تغي+ير مك+ان

داده مي ش+وند اعم+ال مي ش+ود. مؤلف+ه ه+اي تنش در ه+ر نقط+ه از جس+م در اث+ر اعم+ال تغي+ير مك+ان ه+اي كوچ+ك و و دس+ت

نخورده و ثابت در نظر گرفته مي شوند.

مي نظ+ر در را ي+ك جس+مي ترمودينامي+ك اول ق+انون اعم+ال براي گ+يريم ك+ه تحت اث+ر باره+اي وارده در ح+ال تع+ادل اس+ت. جس+م م+ذكور

اس+ت و نيروه+اي وارد S (Closed Surface) و س+طح بس+ته Vداراي حجم نيروه+اي س+طحي از: عبارتن+د آن وس+یله (Surface Forces)ب+ر ب+ه ک+ه

نيروه+اي حجمي Sتوزی+ع تنش در س+طح نم+ایش داده می ش+ود و (Body Forces) واح+د حجم در نیروه+ای حجمی توزی+ع ب+ه وس+یله ک+ه

)يعني ( مشخص میشود.

97


اين تغي+يرات تغي+ير مك+ان اختي+اري مي باش+ند، ج+ز اينك+ه دو ي+ا چن+د ذره نمي توانن+د نقط+ه يكس+اني را در فض+ا اش+غال نماين+د ي+ا اينك+ه ي+ك ذره منف+رد نمي توان+د بيش از ي+ك نقط+ه در فض+ا را اش+غال نماي+د )ب+ه ه+اي تغي+ير مك+ان ب+ه عالوه، نمي ش+ود(. پ+اره ديگ+ر جس+م عب+ارت نق+اط مشخص+ي )مانن+د ش+رايط تكي+ه گ+اهي( از پيش تع+يين ش+ده مي

. باشند

x

uexx

yy

ve

y

y

u

x

vexy

2

1

y

w

z

ve yz

2

1

z

u

x

wezx

2

1

zz

we

z

تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان هاي و و عبارتند از:

98


وج+ود نداش+ته V براي ش+رايطي ك+ه جري+ان ح+رارت ب+ه داخ+ل حجم (، ق+انون اول ( ) ( و ن+يز تع+ادل ايس+تايي باش+د

ترمودينامي+ك بي+ان مي كن+د ك+ه هنگ+ام تغي+يرات تغي+ير مك+ان و و ، تغي+ير در ك+ار نيروه+اي خ+ارجي براب+ر اس+ت ب+ا تغي+يرات ان+رژي

WUداخلي :

ك+ار تقس+يم ش+ود: قس+مت دو ب+ه ك+ه ب+ود خواه+د ت+ر ساده نيروهاي سطحي و كار نيروهاي حجمي .

Bs WWW

99


را در نظ+ر مي گ+يريم. ds، ي+ك مس+احت نم+وي S از س+طح Pدر نقط+ه عم+ل مي كن+د داراي س+ه مؤلف+ه و dsب+ردار تنش ك+ه در س+طح

و مي باش+د. ن+يروي س+طحي مس+اوي اس+ت ب+ا حاص+ل ض+رب ن+يز براب+ر اس+ت ب+ا مجم+وع ك+ار اين . ك+ارdsمؤلف+ه ه+اي تنش و

. Sنيروها در روي سطح

S

Z

S

Y

S

Xs dswPdsvPdsuPW ......

از طرف ديگر مي دانيم كه:

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

nmlP

nmlP

nmlP

100


بنابراين به صورت زير بدست مي آيد:

S

zzyzxzzyyyxyzxyxxxS dswnmlvnmlunmlW

، ن+يروي حجمي ب+ه وس+يله dvبراي ي+ك عنص+ر حجمي بي نه+ايت كوچ+ك و مؤلف+ه ه+اي ن+يروي حجمي در واح+د حجم )يع+ني dVحاص+ل ض+رب

(مشخص مي شود. بنابراين داريم:

B x y z

V

W B u B v B w dV

ب+ا ت+وان را مي نيروه+اي س+طحي( ب+ه )مرب+وط انتگ+رال روي س+طح استفاده از قضيه ديورژانس به انتگرال روي حجم تبديل نمود.

101


طبق قضيه ديورژانس داريم:

V

s

dVzyx

dsznynxn 321321 ,cos,cos,cos

و ب+ه س+مت خ+ارج در ه+ر S ب+ردار يك+ه عم+ود ب+ر س+طح nكه در آن نقطه مي باشد كه به صورت زير نيز نمايش داده مي شود: dVdsn iis ii ,

اگ+ر قض+يه دي+ورژانس را ب+ه عب+ارت مرب+وط ب+ه اعم+ال ك+نيم خواهيم داشت:

. . . . . . . . .xx xy xz yx yy yz zx zy zz

S

x y z

V

W u v w l u v w m u v w n ds

B u B v B w dV

dVwBvBB

wvuz

wvuy

wvux

zyux

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

V

.........

102


با داش+تن تغي+يرات مؤلف+ه ه+اي ك+رنش ناش+ي از تغي+يرات تغي+ير مك+ان و و و مع+ادالت ديفرانس+يل تع+ادل، رابط+ه نه+ايي زي+ر ب+راي

به دست مي آيد:

يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت:

.ij ij

V

W e dV

2 2 2xx xx yy yy zx zz xy xy yz yz zx zx

V

W e e e e e e dV

dVwBvBB

wvuz

wvuy

wvux

zyux

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

V

.........

103


ب+ر حس+ب ان+رژي داخلي در واح+د حجم V ب+راي حجم Uان+رژي داخلي ب+ه بي+ان مي گ+ردد. نامي+ده مي ش+ود ان+رژي داخلي ك+ه چگ+الي

عبارت ديگر داريم:V

dVUU 0

تغيير انرژي داخلي به صورت زير در مي آيد:V

dVUU 0

با توجه به قانون اول ترموديناميك داريم:WU

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx eeeeeeU 2220

2 2 2xx xx yy yy zx zz xy xy yz yz zx zx

S

W e e e e e e dV

104


يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت:ijij eU 0

zyzxyzyxxzxyzzyyxx eeeeeeeeeUU ,,,,,,,,00

zyzy

zxzx

yxyx

yzyz

xzxz

xyxy

zzzz

yyyy

xxxx

ee

Ue

e

U

ee

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

UU

00

00000000

ان+رژی کرنش+ی ت+وان گفت ک+ه چگ+الی در ح+الت کلی می تابعی است از نه مولفه تانسور کرنش. پس مي توان نوشت:

w و v و u در تغییرمک+ان ه+ای δw و δv و δuبن+ابراین اگ+ر تغی+یرات و δexxاعم+ال ش+وند، در این ص+ورت مولف+ه ه+ای ک+رنش ن+یز تغی+یرات

δeyy ان+رژی چگ+الی در تغی+یر نتیج+ه در و گیرن+د می خ+ود ب+ه را ...کرنشی به صورت زیر در می آید:

105


با توج+ه ب+ه رواب+ط اس+تخراج ش+ده و مقايس+ه آنه+ا مي ت+وان ب+ه ص+ورت نماد انديسي نوشت:

ijij e

U

0

zyzy

zxzx

yxyx

yzyz

xzxz

xyxy

zzzz

yyyy

xxxx

ee

Ue

e

U

ee

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

UU

00

00000000

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx eeeeeeU 2220

106


- رابطه تنش - كرنش در اجسام ارتجاعي خطي3

اجس+ام در ارتج+اعي كرنش+ي ان+رژي چگ+الي ت+ابع كلي ح+الت در از نش+ان داد. ب+ه nارتج+اعي را مي ت+وان ب+ا چن+د جمل+ه اي درج+ه

عبارت ديگر داريم:0 00 11 22 33 12 13 21 31 23 32

1111 1122 1133 ................

xx yy zz xy xz yx zx yz zy

xx xx xx yy xx zz

U C C e C e C e C e C e C e C e C e C e

C e e C e e C e e

كه در آن تع+داد جمالت درج+ه ص+فر، ي+ك جمل+ه و تع+داد جمالت درج+ه ، مي باشد.nيك، نه جمله و... و تعداد جمالت درجه

مي توان نوشت:

...00 mnklijijklmnklijijklijij eeeCeeCeCCU

107


از طرفي داريم:

...0

mnklijklmnklijklijij

ij eeCeCCe

U

االستيس+يته، تئ+وري در و ك+رنش تنش رابط+ه ب+ودن با ف+رض خطي رابطه مذكور به شكل زير درمي آيد:

klijklijij eCC

چون در تم+امي اجس+ام ارتج+اعي، هنگ+امي ك+ه كلي+ه مؤلف+ه ه+اي ك+رنش ص+فر باش+ند، تنش ه+ا ن+يز مس+اوي ص+فر مي باش+ند، بن+ابراين ض+رايب باي+د مس+اوي ص+فر باش+ند. در اين ص+ورت رابط+ه تنش و ك+رنش ب+راي

اجسام ارتجاعي خطي در نهايت به صورت زير به دست مي آيد:klijklij eC


108


و در اين حالت چگالي انرژي داخلي عبارت است از:

klijijkl eeCU 0

از دوم درج+ه ت+ابع ارتج+اعي خطي، اجس+ام داخلي ان+رژي بن+ابراين كرنش مي باشد.

در عبارت مربوط به ، در ضرايب ، چون هريك از عدد 81انديس ها مي تواند سه مقدار داشته باشد، پس تعداد آنها

(.4مي باشد )تانسور از مرتبه


بن+ابراين ب+رای تع+یین رابط+ه بین تنش و ک+رنش در اجس+ام ارتج+اعی، آزم+ایش انج+ام 81 ض+ریب ب+وده و بن+ابر این بای+د 81نی+از ب+ه شناس+ایی

گ+یرد. البت+ه بع+دا ث+ابت خواه+د ش+د ک+ه ب+ا اس+تفاده از تق+ارن تانس+ورهای 21ک+رنش و تنش و تانس+ور مشخص+ه مص+الح ، این ض+رایب ب+ه

تقلیل پیدا می کنند.

109


زي+ر ماتريس+ي ب+ه ص+ورت ت+وان مي را ك+رنش و تنش بين رابط+ه نشان داد:

zy

zx

yx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

zy

zx

yx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

e

e

e

e

e

e

e

e

e

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

323232313221322332133212323332223211

313231313121312331133112313331223111

213221312121212321132112213321222111

233223312321233323132312233323222311

133213311321132313131312133313221311

123212311221122312131212123312221211

333233313321332333133312333333223311

223222312221222322132212223322222211

113211311121112311131112113311221111

klijklij eC

110


كه با نماد ماتريسي به صورت زير نشان داده مي شود: eC

م+اتريس آن در م+اتريس ض+رايب Cكه ي+ا م+اتريس ض+رايب مص+الح االستيك يا ماتريس مشخصه مصالح ناميده مي شود.

، از اي+نرو چون تانس+ور تنش متق+ارن اس+ت ب+ه عب+ارت ديگ+ر :داريم

mnlkmnlk

mnklmnkl

eC

eC

.

.

چون دو رابط+ه م+ذكور ب+ه ازاي كلي+ه مق+ادير ك+رنش ه+ا ص+ادق می :باشند، از اينرو بايد داشته باشيم

lkmnklmn CC

111


ه+ا ان+ديس اول زوج ، در ض+رايب ك+ه گ+يريم مي نتيج+ه پس ض+ريب ك+اهش پي+دا 27خاص+يت جابج+ايي دارن+د. ب+دين ت+رتيب تع+داد

از ط+رف ديگ+ر چ+ون تانس+ور ك+رنش متق+ارن اس+ت ب+ه عب+ارت ديگ+ر مي كند. ، از اينرو مي توان نوشت كه:klmn kl nmC C

به عب+ارت ديگ+ر دومين زوج ان+ديس ه+ا ن+يز در ض+رايب خاص+يت جابجايي دارند.

1111 1122 1133 1112 1113 1123

2211 2222 2233 2212 2213 2223

3311 3322 3333 3312 3313 3323

1211 1222 1233 1212 1213 1223

1311 1322 1333 1312 1313 1323

2311 2322

xx

yy

zz

xy

xz

yz

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C

11

22

33

12

21

232333 2312 2313 2323

2

2

2

e

e

e

e

e

eC C C

ض+ريب ديگ+ر ك+اهش مي ياب+د و 18بدين ت+رتيب تع+داد ع+دد تقلي+ل مي 36در نه+ايت تع+داد ض+رايب ب+ه

يابد.

112


داد ك+ه م+اتريس ت+وان نش+ان ب+ا Cام+ا مي ض+ريب 36 حاص+ل دوم و اول ه+اي ان+ديس زوج دو ديگ+ر عب+ارت ب+ه اس+ت. متق+ارن

را مي ت+وان ب+ه ص+ورت زي+ر C خاص+يت جابج+ايي دارن+د. تق+ارن م+اتريس اثبات نمود:

ijklklij

klijklij

ij Cee

UeC

e

U

02

0 .

klijijkl

ijklijkl

kl Cee

UeC

e

U

02

0 .

اما مي دانيم كه:

ijklklij ee

U

ee

U

02

02

ijkl klijC C

113


كاهش مي يابد.21 به Cبدين ترتيب تعداد ضرايب ماتريس

km jk im ij

km jk im ij

n n

e n n e

چون مولف+ه ه+ای تانس+ورهای تنش و ک+رنش در ی+ک نقط+ه ی+ا نق+اطی از جس+م ت+ابع جهت محوره+ای مختص+ات می باش+ند، ض+رایب ن+یز ت+ابعی از جه+ات محوره+ای مختص+ات ب+وده و می ت+وان ث+ابت ک+رد

'Oxک+ه اگ+ر محوره+ای مختص+ات جدی+د و n11ب+ا کوس+ینوس ه+ای ه+ادی 1

n21 و n31 وOx''Oxو n32 و n22و n12ب+ا کوس+ینوس ه+ای ه+ادی 2

ب+ا 3ه+ادی و n23 و n13کوس+ینوس ه+ای n33 اين در بگ+یریم، نظ+ر را در

در اين دس+تگاه مختص+ات جدي+د ب+ه وس+يله رابط+ه Cص+ورت ض+رايب یاد آوری می ش+ود ک+ه ب+رای تب+دیالت ب+رداری )تانس+ور از مرتب+ه اول( (:4زير بيان مي گردند )برای تانسور از مرتبه

داریم:

ن+یز از مرتب+ه دوم( )تانس+ور تانس+ور تنش و ک+رنش تب+دیالت ب+رای داریم:

k ik ix n x

mnpq im jn kp lq ijklC n n n n C

114


- اثر صفحات و محورهاي تقارن بر ضرايب 4

ب+راي )يع+ني كلي ح+الت در ك+ه ش+د داده نش+ان قبلي قس+مت در اجس+ام غ+ير ايزوتروپي+ك ك+ه در س+اختمان داخلي آنه+ا هيچ گون+ه تق+ارني

ض+ريب 21مش+اهده نمي ش+ود(، مؤلف+ه ه+اي تنش توس+ط برحسب كرنش بيان مي شوند.

اك+ثر م+واد داراي ن+وعي تق+ارن در س+اختمان داخلي خ+ود هس+تند و اين 21تق+ارن ب+اعث تقلي+ل تع+داد ض+رايب االس+تيك م+اده ب+ه كم+تر از

مي گ+ردد. در اين قس+مت تق+ارن در م+اده را م+ورد بررس+ي ق+رار مي ض+رايب تع+داد تق+ارن ن+وع ب+ه توج+ه ب+ا ك+ه ش+ود روش+ن ت+ا دهيم

االستيك تا چه تعداد تقليل پيدا مي كند.

115


اجس+ام االس+تيك را از نظ+ر تق+ارن ب+ه س+ه ن+وع مي ت+وان تقس+يم بندي كرد:

اجسام مونوكلينيك با تقارن نسبت به يك صفحه،-

اجسام ارتوتروپيك با تقارن نسبت به دو سطح متعامد،-

- اجس+ام ايزوتروپي+ك ب+ا تق+ارن نس+بت ب+ه دو مح+ور متعام+د )ب+ه بي+اني ديگ+ر م+وادي ك+ه داراي دو مح+ور تق+ارن متعام+د باش+ند، اين خاص+يت را از محوره+اي مختص+ات می آنه+ا مس+تقل ارتج+اعي دارن+د ك+ه ض+رايب

مبن+ای تع+یین اث+ر ص+فحات و محوره+ای تق+ارن برض+رایب باشند(.رابطه زیر است:


اکن+ون ب+ه عن+وان ی+ک نمون+ه، ح+الت اجس+ام مونوكليني+ك ب+ا تق+ارن نس+بت به يك صفحه را مورد بررسی قرار می دهیم.

116


الف( مواد مونوكلينيك

رفت+ار اين م+واد، داراي خاص+يت تق+ارن نس+بت ب+ا ي+ك س+طح ب+ا ب+ردار يك+ه مش+خص مي باش+د. ف+رض مي ك+نيم ك+ه رفت+ار م+اده نس+بت ب+ه يكي از

m سطح متقارن مي باشد. Ox1x2سطوح محورهاي مختصات مثال

در خالف آن، Ox3اين تق+ارن ب+دين مع+ني اس+ت ك+ه ب+ا تغي+ير دادن مح+ور مط+ابق ش+كل ' Ox1'x2'x3 بهOx1x2x3ي+ا ب+ه عب+ارت ديگ+ر تغي+ير محوره+اي

زير، تغييري در ضرايب ايجاد نمي گردد.

117


كوسينوس های هادی محورهاي جديد نسبت به قديم عبارتند از:

( n11=1, n21=0, n31=0) و(n12=0, n22=1, n32=0) (n13=0, n23=0, n33= -1) .

با استفاده از رابطه تعيين به عنوان مثال بايد داشته باشيم:

111111111111 CCnnnnC ijkllkji

ص+حت دارد. چ+ون l و k و jو i كه رابط+ه اش ب+ه ازاي كلي+ه مق+ادير 1فق+ط س+ه مؤلف+ه كوس+ينوس ه+اي ه+ادی مخ+الف ص+فر داريم. يع+ني

n11= و n22 =1 1 و - = n33.:از طرف ديگر به عنوان مثال بايد داشته باشيم

112332111123 CCnnnnC ijkllkji

كه غير ممكن است، چون:

11231123332211113211 CCnnnnCnnnn ijkllkji


118


1111 1122 1133 1112

2222 2233 2212

3333 3312

1212

1313 1323

2323

0 0

0 0

0 0

0 0

C C C C

C C C

C CC

C

C C

C

بن+ابراين ب+راي اينك+ه ض+رايب تغي+ير نياب+د، باي+د باالجب+ار مس+اوي ص+فر باش+د. ب+ه همين ت+رتيب مي ت+وان ث+ابت ك+رد ك+ه و و و و و و باي+د مس+اوي ص+فر باش+ند و در نتيج+ه

ضريب تقليل مي يابند:13ضرايب در اين حالت به

119


باش+د، مي ت+وان ب+ا اس+تداللي مش+ابه Ox2x3اگ+ر ص+فحه تق+ارن، س+طح ض+ريب 13ب+ه آنچ+ه ارائ+ه ش+د، نش+ان داد ك+ه ب+از هم ض+رايب ب+ه

تقليل مي يابد:

1111 1122 1133 1123

2222 2233 2223

3333 3323

1212 1213

1313

2323

0 0

0 0

0 0

0

0

C C C C

C C C

C CC

C C

C

C

120


به همین ت+رتیب ب+رای م+واد ارتوتروپي+ك )تق+ارن نس+بت ب+ه س+طوح Ox2x3 و Ox1x2:خواهیم داشت )

1111 1122 1133

2222 2233

3333

1212

1313

2323

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0

C C C

C C

CC

C

C

C

121

ب( مواد ايزوتروپيك:


مواد ايزوتروپي+ك م+وادي هس+تند ك+ه خ+واص االستيس+يته آنه+ا مس+تقل از جه+ات انتخ+اب ش+ده ب+راي تعري+ف اين خ+واص هس+تند. ب+ه عب+ارت از ان+د ك+ه مس+تقل ارتج+اعي ايزوتروپي+ك داراي ض+رايب ديگ+ر م+واد

جهت محورها مي باشد. به بي+اني ديگ+ر م+وادي ك+ه داراي دو مح+ور تق+ارن متعام+د باش+ند، اين محوره+اي از مس+تقل آنه+ا ارتج+اعي ض+رايب ك+ه دارن+د را خاص+يت

مختصات می باشند. ب+ا تك+رار اس+تدالل ه+ايي نظ+ير آنچ+ه ك+ه آم+د، مي بي+نيم ك+ه در اين گون+ه

m مح+ور – Ox3م+واد عالوه ب+ر خاص+يت تق+ارن نس+بت ب+ه ي+ك مح+ور – مثال نتايج زير را به دست مي دهد:Ox3 و Ox2، تقارن نسبت به محور

11221133

11113333

112211111313 2

1

CC

CC

CCC

122


بنابراين ضرايب ارتجاعي به دو عدد تقليل مي يابد:

1111 1122 1122

1111 1122

1111

1111 1122

1111 1122

1111 1122

0 0 0

0 0 0

0 0 0

10 0

21

02

1

2

C C C

C C

C

C C

C C

C C

123


- نم+ايش ه+اي مختل+ف ض+رايب ارتج+اعي در م+ورد مص+الح 5ارتجاعي خطي ايزوتروپيك

مالحظ+ه نم+وديم ك+ه مص+الح ارتج+اعي خطي ايزوتروپي+ك را مي ت+وان ب+ا دو ض+ريب مش+خص نم+ود. اين دو ض+ريب ب+ه س+ه ص+ورت نم+ايش داده

مي شوند:الف( ضرايب المه

اگ+ر پارامتره+اي را ك+ه ب+ه ض+رايب الم+ه مع+روف هس+تند، ب+ه صورت زير در نظر بگيريم:

1122 1111 1122

1

2C C C

124


در اين صورت خواهيم داشت:

21111C

در اين ص+ورت رابط+ه ماتريس+ي تنش – ك+رنش ب+ه ص+ورت زي+ر در خواهد آمد:

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

e

e

e

e

e

e

200000

020000

002000

0002

0002

0002

125


با اس+تفاده از ق+رارداد ان+ديس ه+اي تك+راري، رابط+ه بين تنش و ك+رنش ب+راي مص+الح ارتج+اعي خطي ايزوتروپی+ک ب+ه ص+ورت زي+ر نوش+ته مي

شود:

ji

ji

ee

ij

ij

kkijijij

1

0

2

مي توان نشان داد كه رابطه زیر نیز برای رابطه تنش- كرنش صحيح است:

ijkkijije

2

1.

)23(2

126


ب( ضرايب هوك

- اگ+ر درم+ورد اجس+ام ارتج+اعي خطي ايزوتروپی+ک، ب+ه ج+اي ض+رايب به صورت زير استفاده كنيم:ν و Eالمه از ضرایب

)1(2)(2

)21)(1(

)23(

E

EE

را م+دول ارتج+اعي و را ض+ريب پواس+ون مي ن+اميم، در اين E كهصورت روابط تنش-كرنش به صورت زير در خواهد آمد:

127


yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

e

e

e

e

e

e

E

E

E

E

EE

EEE

1

01

001

000)21)(1(

)1(

000)21)(1()21)(1(

)1(

000)21)(1()21)(1()21)(1(

)1(

كه مي توان آن را با استفاده از قرارداد انديسي به صورت زير نیز نشان داد:

ji

jio

eE

eE

ij

ij

ijkkijij

1

)1()21)(1(

128


مي توان نشان داد كه رابطه تنش – كرنش زير نيز صادق است:

1(1 )ij ij ij kke

E

الزم ب+ه ذك+ر اس+ت ك+ه ض+ريب را م+دول ارتج+اعي برش+ي ن+يز نشان مي دهند. G مي نامند وآن را با

ح+الت زي+را ن+اميم، مي يافت+ه تعميم ه+وك ق+انون را م+ذكور رواب+ط تعميم يافت+ه ح+الت ي+ك بع+دي ق+انون ه+وك اس+ت ك+ه ب+ا رابط+ه

نمايش داده مي شود .

129


پ( مدول حجمي و مدول برشي

ي+ا ك+رنش حجمي را تغي+ير حجم واح+د حجم ابت+دا الزم اس+ت ك+ه در تعريف نماييم. كرنش حجمي عبارت است از :

z

w

y

v

x

ue

eeee

V

zzyyxxiiV

اگر تنش هاي وارد بر جزئي از جسم به صورت هيدرواستاتيكي باشند، يعني:

, 0 ,xx yy zz ijp i j

130


در اين صورت با توجه به رابطه خواهيم داشت:

3

2 (3 2 ) 2

, 0,3 2

xx

xx yy zz ij

pe p

pe e e e i j

با توجه به تعريف كرنش حجمی نتیجه مي شود كه:

3

23223

3

k

k

pppev

ضريب انبساط و انقباض kكه در آن حجمي و يا ضريب تغيير حجم ماده و یا

ناميده مي شود .مدول حجمی

131


ن+يز G و kرواب+ط تنش – ك+رنش را مي ت+وان ب+ر حس+ب دو ض+ريب تعريف كرد.

داريم: و ، بنابراين خواهيم داشت:

kkijkkijijij

kkijkkijijkkijijij

kGe

ekeeGeGkeG

9

1)

3

1(

2

1

)3

22()

3

2(.2

132


ت( تعيين حدود ضرايب ارتجاعي ) (

اگ+ر ميل+ه ب+اريكي از مص+الح ارتج+اعي خطي ايزوتروپي+ك را تحت اث+ر ق+رار دهيم، باي+د ط+ول آن زي+اد ش+ود. يع+ني تنش كشش+ي

: كرنش خواهيم داشت – ، پس با توجه به روابط تنش

01

EE

e xxxx همواره مثبت است. Eپس ضريب ارتجاعي

اگرج+زء ك+وچكي از مص+الح م+ذكور را تحت تنش هيدرواس+تاتيكي ق+رار دهيم باي+د حجم آن زي+اد ش+ود. يع+ني ك+رنش (p>0)كش+ش

. ب+ا توج+ه ب+ه حجمي آن باي+د مثبت باش+د. ب+ه عب+ارت ديگ+ر: روابط تنش - كرنش داريم

0 kk

pev

133


و با توجه به رابطه خواهيم داشت :

2

1

بديهي اس+ت ك+ه اگ+ر جس+م ت+راكم ناپ+ذير باش+د، در اين ص+ورت ب+ه ازاي كلي+ه مق+ادير تنش ه+اي هيدرواس+تاتيك، در جس+م تغي+ير حجمي رخ نمي

: . در اين صورت خواهيم داشت دهد. يعني kوv

2

1

در آزم+ايش ب+رش مس+تقيم، ج+زئي از جس+م را ك+ه تحت اث+ر تنش ه+اي برش+ي ق+رار گرفت+ه اس+ت، در نظ+ر مي گ+يريم. ف+رض مي ك+نيم ك+ه . در اين ص+ورت ب+ديهي اس+ت ك+ه خواه+د ب+ود. ب+ا توج+ه ب+ه رواب+ط

0تنش- كرنش خواهيم داشت:2

1 G

Ge xyxy

v

pe

k

134


چون مي باشد و است پس بايد

ولي در عم+ل مق+ادير ض+ريب پواس+ون منفي در ط+بيعت ي+افت نمي شود، بنابراين مي توان نوشت:

2

10 v

135


ث( رواب+ط تنش – ك+رنش برحس+ب ض+رايب ارتج+اعي در دستگاه مختصات استوانه اي:

1

1

1

1 1 1, ,

rr rr zz

rr zz

zz zz rr

r r rz rz z Z

e v vE

e v vE

e v vE

v v ve e e

E E E

1درمختصات كروي نيز داريم :( )

1( )

1( )

1 1 1, ,

rr

rr

rr rr

r r r r

e v vE

e v vE

e v vE

v v ve e e

E E E

136


خطي 6 ارتج++اعي اجس++ام كرنش++ي ان++رژي چگ++الي )ايزوتروپیک برحسب ضرايب ارتجاعي

ijij eU .2

10

ض+رايب برحس+ب داريم:

222222

0

20

12...22

1

12

1

.11

zxyzxyxxzzzzyyyyxxzzyyxx

kkijij

kkijijij

EU

EU

Ee

m نش+ان داديم ك+ه و - قبال، ي+ك ض+ريب را ن+يز وارد مي ك+نيم. ب+ه U0 ، ام+ا ب+راي خ+ود

عبارت ديگر :

137


داريم:Gو k از طرف ديگر برحسب ضرايب

0

2 20

1 1 1. .

2 3 9

1

21 1 1

4 3 18

ij ij ij kk ij kk

ij ij

ij ij kk kk

eG k

U e

UG k

از طرف ديگر با استفاده ضرايب المه داريم:

0

2

0

2 .

1

21

2

ij ij ij kk

ij ij

ij ij kk

e e

U e

U e e e

138


22222220 2

2

1zxyzxyzzyyxxzzyyxx eeeeeeeeeU

از رابط+ه ب+اال نتيج+ه مي ش+ود ك+ه هميش+ه چگ+الي ان+رژي كرنش+ي و در نتيجه كل انرژي ذخيره شده در تمام اجسام مقداري مثبت است.

كه از بسط نتيجه مي شود: 2

0

1

2ij ij kkU e e e

139

فص+ل دوم - بخش دوم: وی+ژگی ه+ای مس+ائل تئ+وری ارتجاعی

( مسائل تئوري ارتجاعي7

الف( مقدمه- هنگ+امي ك+ه ص+حبت از ح+ل مس+ائل االستيس+يته مي ش+ود، در ح+الت كلي ه+دف، تع+يين تنش ه+ا، ك+رنش ه+ا و تغي+ير مك+ان ه+ا در جس+م جام+د

االستيكي است كه به صورتي خاص بار گذاري شده است.بايس+تي مانن+د ه+ر مس+ئله ابت+دا ب+راي ح+ل مس+ائل محي+ط االس+تيك، -ب+راي ديگ+ر، مجه+والت مس+ئله ش+ناخته ش+ده و س+پس مع+ادالت الزم

- ب+راي ح+ل ي+ك مس+ئله ارتج+اعي باي+د ش+ش مؤلف+ه تنش، ش+ش مؤلف+ه رسيدن به حل مسئله، مورد استفاده قرار گيرند.تع+يين گ+ردد. نق+اط جس+م كلي+ه تغي+ير مك+ان در ك+رنش و س+ه مؤلف+ه

مجه+ول وج+ود دارد. ب+راي تع+يين اين 15بن+ابراين در ه+ر نقط+ه از جس+م 15 معادل+ه ح+اكم ب+ر مس+ئله اس+تفاده مي ش+ود. اين 15مجه+والت از

معادله عبارتند از:

بخش دوم: ويژگي های مسائل تئوري ارتجاعي

140

فص+ل دوم - بخش دوم: وی+ژگی ه+ای مس+ائل تئ+وری ارتجاعی

- سه معادله تعادل:

رابطه تنش - كرنش :6-

رابطه كرنش – تغيير مكان: 6-

0, ijij B

, ,

1

2ij i j j ie u u

vijijkkijijij eeee .2.2

- هرگ+اه ب+راي ح+ل مع+ادالت ف+وق، آنه+ا را برحس+ب مؤلف+ه ه+اي تغي+ير عن+وان ب+ه مزب+ور ه+اي مؤلف+ه ك+ه آنج+ا از نم+اييم، تنظيم مك+ان متغيره+اي مس+تقل ب+ه ك+ار گرفت+ه مي ش+وند، احتي+اجي ب+ه بك+ار گ+رفتن مع+ادالت س+ازگاري نيس+ت. ولي اگ+ر مع+ادالت م+ذكور برحس+ب مؤلف+ه ه+اي مؤلف+ه اينك+ه ب+ه توج+ه ب+ا گردن+د، تنظيم ك+رنش ي+ا تنش ه+اي مع+ادالت از اس+تفاده اي+نرو از نيس+تند، يك+ديگر از مس+تقل مزب+ور

)سازگاري الزامي مي باشد. )

{ }

i ij ij

ij ij i

Displacement Method Stiffness Method u e

Force Method e Compatibility Equations u

��

141

فص+ل دوم- بخش دوم: وی+ژگی ه+ای مس+ائل تئ+وری ارتجاعی

- شرايط مرزي نيرويي در سطح جسم يا مرز سيستم،

- شرايط مرزي تغيير مكاني در سطح جسم يا مرز سيستم،

- تركيب شرايط مرزي نيرويي و شرايط مرزي تغيير مكاني در سطح جسم يا مرز سيستم.

- ب+راي ح+الت اول ت+رجيح داده مي ش+ود ك+ه كلي+ه مع+ادالت ح+اكم ب+ر مس+ائل تئ+وري االستيس+يته را برحس+ب تنش ه+ا بي+ان نم+ود. چ+ون عام+ل بوج+ود آورن+ده مجه+والت م+ورد نظ+ر، نيروه+اي حجمي و س+طحي اعم+ال

شده به جسم مي باشند.

( xi )ي+ا z و y و xت+ابعي از مختص+ات - هري+ك از مجه+والت مي باش+ند. اين تواب+ع ب+ه گون+ه اي هس+تند ك+ه بايس+تي در م+رز سيس+تم ي+ا

( را ارض+اء Boundary Conditionsجس+م م+ورد بررس+ي، ش+رايط م+رزي )توانن+د مي زي+ر مختل+ف ب+ه س+ه ص+ورت م+رزي اين ش+رايط نماين+د.

مشخص گردند:

, ,ij ij ie u

142

- ب+راي ح+الت دوم ت+رجيح داده مي ش+ود ك+ه كلي+ه مع+ادالت ح+اكم ب+ر مس+ائل تئ+وري االستيس+يته را برحس+ب مؤلف+ه ه+اي تغي+ير مك+اني بي+ان نم+ود. چ+ون عام+ل بوج+ود آورن+ده مجه+والت م+ورد نظ+ر تغي+ير مك+ان ه+اي

اعمال شده به جسم مي باشند.


تئ+وري ب+ر مس+ائل ت+وان كلي+ه مع+ادالت ح+اكم ب+راي ح+الت س+وم مي -االستيس+يته را برحس+ب تنش ه+ا بي+ان نم+ود ي+ا برحس+ب مؤلف+ه ه+اي تغي+ير

( -Displacement Methodب( معادالت تئوري ارتجاعي برحسب تغيير مكان ها )روش تغییر مکان مكاني.

معادله حاكم بر مسائل تئوري ارتجاعي را مي توان به سه 15- معادله مؤلفه هاي تغيير مكان ها تقليل داد. براي اين منظور كافي است كه روابط بين تنش ها و كرنش ها را در معادالت تعادل قرار

داد و سپس كرنش را بر حسب مؤلفه هاي تغيير مكان نوشت.

( ) i ij ijDisplacement Method Stiffness Method u e

143


روابط تنش – كرنش عبارتند از:vijijkkijijij eeee .2.2

معادالت تعادل عبارتند از:0, ijij B

روابط كرنش – تغيير مكان عبارتند از:

, ,

1

2ij i j j ie u u

را در رواب+ط تنش – ك+رنش ق+رار مي دهيم ) ف+رض مي eij - ابت+دا مي همگن و جس+م ايزوتروپي+ك ارتج+اعي خطي مص+الح ك+ه ش+ود

باشد، بدين معني كه مستقل از مختصات نقاط مي باشند(: , , ,ij i j j i ij k ku u u

144


kkijijjiij uuu ,,,

0,2

ii

kki B

x

uu

كه در آن ك+رنش حجمي مي باش+د و اپراتور الپالس

مي باشد. بسط رابطه مذكور نتيجه زير را به دست مي دهد:

0

0

0

332

3

222

2

112

1

Bux

e

Bux

e

Bux

e

v

v

v

,0رابطه حاصل را در معادالت دیفرانسیل تعادل قرار مي دهيم: ijij B

31 2

1 2 3v

uu ue

x x x

توجه شود که داریم:

145


( مشهور است.Navier Equationsمعادالت مذكور به عنوان معادالت ناويه )

- ب+ا ح+ل مع+ادالت ديفرانس+يل م+ذكور و ارض+اي ش+رايط م+رزي )تغي+ير جس+م نق+اط كلي+ه در مك+ان تغي+ير مؤلف+ه س+ه ن+يرويي(، و مك+اني مش+خص مي گردن+د. بع+د از ب+ه دس+ت آوردن مؤلف+ه ه+اي تغي+ير مك+ان، ب+ا اس+تفاده از رواب+ط ك+رنش – تغي+ير مك+ان، ك+رنش ه+ا ب+ه ص+ورت منحص+ر بف+رد ب+ه دس+ت مي آين+د و ب+ا اس+تفاده از رواب+ط تنش – ك+رنش، تنش ه+ا حاص+ل مي ش+وند. الزم ب+ه ي+ادآوري اس+ت ك+ه در اينج+ا ض+روري نمي باش+د ك+ه مع+ادالت س+ازگاري ك+رنش ه+ا كن+ترل ش+وند، چ+ون ك+رنش ه+ا،

m از تغيير مكان ها به دست مي آیند. مستقيماشرايط مرزي نيرويي را مي توان به صورت زير بيان نمود:

T

iijij S

PTn .

(Ti شدت نيروهاي سطحي در واحد سطح ST.)است

(nj كوسينوس هاي هادي سطح STاست كه نيروي Pi .)بر آن سطح وارد مي شود

146


:داريميا

321

321

321

nnnT

nnnT

nnnT

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

رابط+ه م+ذكور ب+ا در نظ+ر گ+رفتن اين نكت+ه ب+ه دس+ت آم+ده اس+ت ك+ه ك+ه اين ب+ر باش+د ك+ه عالوه اي ب+ه گون+ه باي+د تنش در جس+م توزي+ع نيروه+اي ب+ه نس+بت نماي+د، ارض+اء را داخلي جس+م تع+ادل مع+ادالت خ+ارجي وارد ب+ر س+طح جس+م ن+يز در ح+ال تع+ادل باش+د. اگ+ر نيروه+اي ادام+ه تنش ه+اي داخلي ب+ه ط+ور فرض+ي ب+ر جس+م را خ+ارجي وارد تص+ور نم+اييم، براح+تي مع+ادالت تع+ادل م+ورد نظ+ر ب+ه دس+ت مي آين+د

)تعادل چهار وجهي بي نهايت كوچك در سطح جسم(:jij

T

iiTjiji n

S

PTSnP ... kkijijjiij uuu ,,,

147


- بنابراين شرايط مرزي بر حسب تغيير مكان ها عبارتند از:

kkijijjii unnuuT ,,,

از بسط رابطه مذكور، سه شرط مرزي زير را خواهيم داشت:

V

V

V

ennx

un

x

un

x

uGn

x

un

x

un

x

uGT

ennx

un

x

un

x

uGn

x

un

x

un

x

uGT

ennx

un

x

un

x

uGn

x

un

x

un

x

uGT

333

32

3

21

3

13

3

32

2

31

1

33

232

32

2

21

2

13

3

22

2

21

1

22

131

32

1

21

1

13

3

12

2

11

1

11

148


(Force Methodپ( معادالت تئوري ارتجاعي برحسب تنش ها ) روش نیروها –

- ب+ديهي اس+ت ك+ه چنانچ+ه تنش ه+ا مش+خص باش+ند، مي ت+وان ب+ا اس+تفاده مالحظ+ه ام+ا نم+ود. محاس+به را ه+ا ك+رنش تنش، – ك+رنش رواب+ط از نم+وديم ك+ه ه+ر ن+وع توزي+ع ك+رنش در جس+م امك+ان پ+ذير نمي باش+د، زي+را باي+د مع+ادالت س+ازگاري را ارض+اء توزي+ع ك+رنش در جس+م، در حقيقت نماي+د ت+ا اين ك+ه مؤلف+ه ه+اي تغي+ير مك+اني منحص+ر ب+ه ف+ردي ب+ه دس+ت آين+د.

ابتدا معادله سازگاري زير را در نظر مي گيريم:22

332

23

222

32

232

2x

e

x

e

xx

e

فرض مي كنيم كه: 332211

EEExEEExGxx112233

22

2331122

23

223

32

2

22

(1)

{ }ij ij iForce Method e Compatibility Equations u ��

149


كه پس از ساده كردن آن به رابطه زير خواهيم رسيد:

32

232

22

2

23

2

22

332

23

222

.121

xxxxxx

تع+ادل خ+واهيم از مع+ادالت دوم و س+وم داشت:

21

12

2

22

3

23

3

32 Bxxxx

31

13

3

33

2

32

2

23 Bxxxx

معادله دوم

معادله سوم

(3)

(2)

(4)

150


و از رابط+ه س+وم تع+ادل نس+بت x2اگ+ر از معادل+ه دوم تع+ادل نس+بت ب+ه نم+اييم، خ+واهيم x3ب+ه ب+ا هم جم+ع نت+ايج حاص+ل را بگ+يريم و مش+تق

داشت:

3

3

31

132

23

332

2

2

21

122

22

222

23

322

23

232

x

B

xxxx

B

xxxxxxx

(6)

مشتق مي گيريم:x1همچنين از معادله اول تعادل نسبت به

22 21311 12 1

21 1 2 1 3 1

0B

x x x x x x

1

121

112

31

132

21

122

x

B

xxxxx

(5)

151


( جايگذاري مي كنيم:5حاصل را در معادله )

2 22 223 33 311 22 1 2

2 2 23 2 1 2 3 1 2 3

2 BB B

x x x x x x x x

(7)

( قرار مي دهيم و نتيجه زير را بدست مي آوريم:2( را در معادله )7معادله )

3

3

2

2

1

121

22

21

2

1122 11

x

B

x

B

x

B

xx (8)

152


- اگ+ر دو معادل+ه س+ازگاري مش+ابه ديگ+ر را اس+تفاده ك+نيم و عملي+ات مشابهي را روي آن انجام دهيم، خواهيم داشت:

3

3

1

1

2

222

22

22

2

2222 11

x

B

x

B

x

B

xx

2

2

1

1

3

323

22

23

2

3322 11

x

B

x

B

x

B

xx

(9)

(10)

( خواهيم داشت:10 و 9 و 8از جمع سه رابطه مذكور )

3

3

2

2

1

12

1

1

x

B

x

B

x

B

(11)

153


( جايگزين مي كنيم و نتايج زير در 10 و 9 و 8( را در روابط )11رابطه )نهايت حاصل مي شوند:

1

1

3

3

2

2

1

121

2

112 2

11

1

x

B

x

B

x

B

x

B

x

2

2

3

3

2

2

1

122

2

222 2

11

1

x

B

x

B

x

B

x

B

x

3

3

3

3

2

2

1

123

2

332 2

11

1

x

B

x

B

x

B

x

B

x

(14)

(13)

(12)

154


به روش مشابه مي توان سه معادله سازگاري را به صورت زير به دست آورد:

1

2

2

1

21

2

122

1

1

x

B

x

B

xx

2

3

3

2

32

2

232

1

1

x

B

x

B

xx

3

1

1

3

13

2

312

1

1

x

B

x

B

xx

155


شش رابطه اخير را مي توان با استفاده از نماد انديسي به صورت يك معادله زير نوشت:

2

2 1

1 1ji

ij iji j j i

BBvdiv B

x x v x x

��

كه در آن داريم:

3

3

2

2

1

1

x

B

x

B

x

BBdiv

شش رابط+ه اخ+ير در حقيقت هم+ان مع+ادالت س+ازگاري مي باش+ند ك+ه مع+ادالت س+ازگاري ب+ه و ان+د بي+ان ش+ده تنش ه+اي مؤلف+ه ب+ر حس+ب

( معروف مي باشند.Beltrami - Michellبلترامي – ميشل )

156


- بنابراين توزيع تنش در يك جسم بايد روابط زير را ارضاء نمايد:

الف( سه معادله تعادل

Beltrami – Michellب( شش معادله سازگاري

پ( شرايط مرزي نيرويي

در حالتي كه نيروهاي حجمي وجود نداشته باشند یا مقادیر ثابتی باشند، به صورت زير در مي آيند: Beltrami – Michellمعادالت سازگاري

01

1 22

jiij xx

(در دستگاه مختصات دكارتي)

157


در دستگاه Beltrami – Michell- براي نوشتن معادالت سازگاري مختصات كروي يا استوانه اي فقط كافي است كه اپراتور

را بدانيم. به عنوان مثال مي توان نشان داد كه در دستگاه مختصات استوانه اي اپراتورهاي به صورت زير مي

باشند :

22

2

2

2 11

11

zrrr

rr

z

BB

rrB

rrBdiv z

r

میشل در غیاب نیروهای حجمی، در – معادالت سازگاری بلترامیدستگاه مختصات استوانه ای به صورت زیر نوشته می شوند:

01

1422

2

22

2

rrr

rrrrr

011

1

1422

2

22

2

rrrrrr

rr

158


01

12

22

zzz

0421

1

122

2

rrrr

rrrr

02

.

1

1

122

22

rrzr

zzrz

02

.1

122

22

rrzr

zrzzr

که در آنها داریم: نیز پیش از این در دستگاه مختصات استوانه ای تعریف شده است.

159


ت( منحصر بفرد بودن جواب برای مسائل تئوری هدف این است که نشان دهیم که جواب مسائل تئوری ارتجاعی، ارتجاعی

منحصر بفرد می باشند )فرض می شود که تغییر شکل ها کوچک بوده و روابط تنش – کرنش خطی می باشند(.

برای اثبات منحصر بفرد بودن جواب از برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض می کنیم که جسمی تحت نیروهای حجمی و نیروهای سطحی وارد بر سطح در حال تعادل است. اگر چنانچه جواب ها

منحصر بفرد نباشند، الاقل دو سری جواب به صورت زیر می توان 32122112211برای مسئله در نظر گرفت: ,,,...,,,...,, uuuee

32122112211 ,,,...,,,...,, uuuee

160


معادله حاکم بر مسئله و شرایط مرزی یکسانی را ارضاء 15که باید نمایند. بنابراین برای جواب سری اول باید داشته باشیم:

ii

ijij

ijij

uu

Tn

B

.

0,

ST روی

SU روی

و برای جواب سری دوم نیز باید داشته باشیم:

ii

ijij

ijij

uu

Tn

B

.

0,

ST روی

SU روی

161


اگر روابط مذکور را به طور متناظر از همدیگر کم نماییم، در این صورت خواهیم داشت:

,0

. 0

0

ij ij j

ij ij j

i i

n

u u

سه رابطه حاصل، توزیع جدیدی را از تنش نشان می دهند که با نیروهای سطحی صفر و نیروهای حجمی صفر در حال تعادل بوده و

تغییر مکان صفر دارند. Suدر روی سطح چنانچه جسمی تحت تأثیر هیچ گونه نیروهای خارجی )سطحی و حجمی( نباشد و بر آن تغییر مکان هایی نیز اعمال نگردد، بدیهی

است که انرژی کرنشی در آن ذخیره نمی گردد. پیش از این نشان همیشه مثبت بوده و تابع درجه دوم U0 دادیم که چگالی انرژی

کرنش ها می باشد.

162


m چگالی انرژی در وقتی انرژی کرنشی در جسمی صفر باشد، اجباراکلیه نقاط آن باید صفر باشد و این در صورتی امکان دارد که کلیه مؤلفه های کرنش ها صفر باشند. وقتی کلیه مؤلفه های کرنش در –کلیه نقاط جسم صفر باشند، در این صورت با توجه به روابط تنش کرنش، باید کلیه مؤلفه های تنش در کلیه نقاط جسم صفر باشند. بنابراین در کلیه نقاط جسم )با توجه به اصل اجتماع اثر قوا( باید

0: داشته باشیم ijij

بنابراین دو سری جواب در نظر گرفته شده برای مسئله باید یکسان باشند و از اینجا یکتا بودن و منحصر بفرد بودن جواب مسائل تئوری

– ارتجاعی )در حالت تغییر شکل های کوچک و روابط خطی تنش کرنش( نتیجه می شود.

people courses 10_theory of elasticity-chapter 1(madsg.com)

Education