Slide 1Mar./06/2008

陳 柏 頴 副教授

義守大學 通訊工程系

普通物理 (二)

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磁力與磁場磁力與磁場

University Physics

Chapter 16

University Physics

Chapter 16

授課教師：陳 柏 頴 副教授授課教師：陳授課教師：陳 柏柏 頴頴 副教授副教授

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--- 對普物之規定

評分標準

• 期中考 25 %

‧出席率: 20% 每次缺席扣 4%

‧期末考: 1x 25%= 25 %

‧出席率: 可兩次因故不到

‧隨堂考: 10x 2%=20%

‧小考: 2x10%= 20%

50%

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73-94台灣地區出生人口數

0

50

100

150

200

250

300

350

400

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

仟人

龍年

龍年

(四)學校定位─少子化衝擊(3/3)

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普通物理第二學期

普通物理第二學期

學習重點

1. 磁 場 (Ch 16)2. 電磁感應的法拉第定律 (Ch 17)3. 幾何光學 (Ch 18)4. 近代物理的飯前 (Ch 19)5.重力與重力場 (Ch 4)

7.功、能及古典功能 (CWE) 定理 (Ch 6)

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Key ConceptsKey Concepts

16.1 磁 場16.1 磁 場16.2 應 用16.2 應 用16.3 作用在電流上的磁力16.3 作用在電流上的磁力

16.5 畢歐 - 沙伐定律16.5 畢歐 - 沙伐定律16.6 作用在平行電流導線的力量及安培的定義16.6 作用在平行電流導線的力量及安培的定義

16.7 磁場中的高斯定律16.7 磁場中的高斯定律

16.8 磁極與電流迴路16.8 磁極與電流迴路

16.9 安培定律16.9 安培定律

16.4 磁力所作的功16.4 磁力所作的功

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磁 場磁 場

在玩兩個永久磁鐵時，很容易就可以區分出是否為相反的兩極。如果兩極是相異極，就會互相吸引 ( 如圖16.1)；如果是相似極，就會彼此互相排斥 ( 如圖16.2)。

在玩兩個永久磁鐵時，很容易就可以區分出是否為相反的兩極。如果兩極是相異極，就會互相吸引 ( 如圖16.1)；如果是相似極，就會彼此互相排斥 ( 如圖16.2)。

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磁 場磁 場

在這些觀察中包含了磁北極的定義，它所指的是地磁的磁極，座落在地球的北半球的磁極是磁南極，因為它會吸引指南針磁針的北極端 ( 如圖16.3)。在磁極中磁力的吸引或是排斥，與電力中電荷的交互作用很類似 ( 磁極的南極與北極跟正電荷與負電荷扮演類似的角色 )。然而我們將會發現，電荷與磁極之間其實是完全不相同的。

在這些觀察中包含了磁北極的定義，它所指的是地磁的磁極，座落在地球的北半球的磁極是磁南極，因為它會吸引指南針磁針的北極端 ( 如圖16.3)。在磁極中磁力的吸引或是排斥，與電力中電荷的交互作用很類似 ( 磁極的南極與北極跟正電荷與負電荷扮演類似的角色 )。然而我們將會發現，電荷與磁極之間其實是完全不相同的。

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磁力線1磁力線1

如果我們拿一些小鐵屑圍繞在磁鐵棒的周圍，就會產生如圖16.4所示的圖案。這個圖案指出了磁鐵會影響其周圍的空間，圖中線軌跡的方向就是磁鐵磁場的軌跡。磁力線與電力線類似，此外與電場類似的是，在一個區域中，磁力數目的密度同樣就是代表那個地方磁場的大小。

如果我們拿一些小鐵屑圍繞在磁鐵棒的周圍，就會產生如圖16.4所示的圖案。這個圖案指出了磁鐵會影響其周圍的空間，圖中線軌跡的方向就是磁鐵磁場的軌跡。磁力線與電力線類似，此外與電場類似的是，在一個區域中，磁力數目的密度同樣就是代表那個地方磁場的大小。

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磁力線 2磁力線 2

磁力線圍繞著磁鐵的圖案與電力線圍繞著電偶極的圖案( 圖12.57) 是類似的。然而，如果我們將磁鐵切成兩段 ( 如圖16.5)，我們會發現每一個磁鐵仍然具有兩個極。對於磁鐵來說，並沒有所謂磁單極的存在，磁極總是南- 北成對地發生，並且會在其周圍的環境中生成兩極的磁場。

磁力線圍繞著磁鐵的圖案與電力線圍繞著電偶極的圖案( 圖12.57) 是類似的。然而，如果我們將磁鐵切成兩段 ( 如圖16.5)，我們會發現每一個磁鐵仍然具有兩個極。對於磁鐵來說，並沒有所謂磁單極的存在，磁極總是南- 北成對地發生，並且會在其周圍的環境中生成兩極的磁場。

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帶電粒子在磁場上的效應帶電粒子在磁場上的效應

1.將一個電荷q置放在一個磁場中，則這一個電荷所受到的力是零。將一個電荷放在一個電場中，所受到的力並非是零，而是 。2.如果沿著磁力線以不是平行就是反平行於磁場的方向移動電荷，則此移動的電荷所受到的力量仍然是零。

3.如果電荷以跟均勻磁場方向夾 的方向移動，就會有一個非零的磁力作用在電荷上。力量的大小與速度 成正比 ( 當 固定時 )，也與 成正比( 當 固定時 )。作用在q上的磁力是一個與速度有關的力量，因為它與速度及速度的方向均有關。

1.將一個電荷q置放在一個磁場中，則這一個電荷所受到的力是零。將一個電荷放在一個電場中，所受到的力並非是零，而是 。2.如果沿著磁力線以不是平行就是反平行於磁場的方向移動電荷，則此移動的電荷所受到的力量仍然是零。

3.如果電荷以跟均勻磁場方向夾 的方向移動，就會有一個非零的磁力作用在電荷上。力量的大小與速度 成正比 ( 當 固定時 )，也與 成正比( 當 固定時 )。作用在q上的磁力是一個與速度有關的力量，因為它與速度及速度的方向均有關。

r rF Eelec = q

θ ( )≠ 0

rvθ sinθrv

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4.如果我們改變磁場的大小，藉著在實驗的過程中減半或是加倍磁力線的數目，就會發現力量會隨著磁場 的大小作改變。5.力量作用在q的方向與移動電荷的電性有關；相反電性所受到的力量會是相反方向。在每一個情況中，力量與電荷的速度向量 及磁場 相垂直。

4.如果我們改變磁場的大小，藉著在實驗的過程中減半或是加倍磁力線的數目，就會發現力量會隨著磁場 的大小作改變。5.力量作用在q的方向與移動電荷的電性有關；相反電性所受到的力量會是相反方向。在每一個情況中，力量與電荷的速度向量 及磁場 相垂直。

rB

rvrB

r r rF v Bmagnet on q q= ×

104 gauss 1 T≡10 4− T

將上述這五個觀察的現象作一個總結，則可以將作用在移動電荷上的磁力表示成下式：

將上述這五個觀察的現象作一個總結，則可以將作用在移動電荷上的磁力表示成下式：

在SI單位中，磁場的單位定義為特士拉 (T)另一個常用的磁場單位是高斯 (gauss) 在SI單位中，磁場的單位定義為特士拉 (T)另一個常用的磁場單位是高斯 (gauss)

地球接近地表的磁場，其大小是非常微弱的，大約只有，或是1高斯。地球接近地表的磁場，其大小是非常微弱的，大約只有，或是1高斯。

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16.2 應 用16.2 應 用

速度的分離器速度的分離器一個帶電粒子q以定速度 移動，當這個粒子進入一個帶有磁場 及與磁場垂直的電場 區域中 ( 如圖16.6)，磁場的方向是垂直指進紙面，粒子的速度在一開始是同時與電場及磁場互相垂直。

一個帶電粒子q以定速度 移動，當這個粒子進入一個帶有磁場 及與磁場垂直的電場 區域中 ( 如圖16.6)，磁場的方向是垂直指進紙面，粒子的速度在一開始是同時與電場及磁場互相垂直。

rvrB

rE

rB k= −B $

rv i= υ 0$r r rF v B

i k

j

magnet = ×

= × −

=

q

q B

q B

υ

υ0

0

$ ( $ )$

調變電場的大小 直到作用在電荷上的總電力是零

調變電場的大小 直到作用在電荷上的總電力是零

rF jelec = −qE( $)

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我們可以容易地控制電場的大小，就可以選擇我們希望粒子從裝置中冒出來的速度。換句話說，從具有不同速度的入射粒子束中，我們有辦法篩選出僅具有某種速度的粒子，這樣的裝置就是一個速度的分離器。這樣的裝置最常在實驗中被使用來製造單一能量的粒子，及運用在需要使用帶電粒子的裝置中。

我們可以容易地控制電場的大小，就可以選擇我們希望粒子從裝置中冒出來的速度。換句話說，從具有不同速度的入射粒子束中，我們有辦法篩選出僅具有某種速度的粒子，這樣的裝置就是一個速度的分離器。這樣的裝置最常在實驗中被使用來製造單一能量的粒子，及運用在需要使用帶電粒子的裝置中。

r rF F j jmagnet elec

N+ = −

=

q B qEυ 00

$ $

q B qEυ 0 =

υ 0 =EB

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例題 16.1例題 16.1

每個均帶有 +e 電荷的離子，被射入一個磁場大小0.200T電場大小 的速度分離器中。

a. 若離子能順利地冒出，則其速度是多少？b. 如果製造電場的平行電板間距離2公分，則它

們之間的電位差是多少？

每個均帶有 +e 電荷的離子，被射入一個磁場大小0.200T電場大小 的速度分離器中。

a. 若離子能順利地冒出，則其速度是多少？b. 如果製造電場的平行電板間距離2公分，則它

們之間的電位差是多少？

250 105. × N/C

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解：解：

a. 由方程式 (16.3) 可以找出為入射粒子的速度：a. 由方程式 (16.3) 可以找出為入射粒子的速度：

b. 電位差與帶電電板間距離及電場間的關係是：

從上述的條件中，電位差是：

b. 電位差與帶電電板間距離及電場間的關係是：

從上述的條件中，電位差是：

υ 0 =

=×

= ×

EB2.50 10 N / C

0.200 T12.5 10 m / s

5

6

V Ed=

V = × ×= ×

−( .2 50 105 23

N / C)(2.00 10 m)5.00 10 V

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質譜儀1質譜儀1將一個質量m及電荷q的粒子，送進一個帶有均勻磁場的區域中，其中速度的向量垂直於磁場，如圖16.8所示，粒子立即受到一個磁力的作用：

將一個質量m及電荷q的粒子，送進一個帶有均勻磁場的區域中，其中速度的向量垂直於磁場，如圖16.8所示，粒子立即受到一個磁力的作用：

如果粒子是帶正電，則力量的方向將如圖16.9所示，如果粒子帶負電，力量則在相反的方向上。

如果粒子是帶正電，則力量的方向將如圖16.9所示，如果粒子帶負電，力量則在相反的方向上。

r r rF v Bmagnet = ×q

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質譜儀2質譜儀2具有固定大小的力量總是垂直而造成圓周運動的速度，因此這裡的粒子會因為受力而變成一個圓周軌道，如圖16.10所示

具有固定大小的力量總是垂直而造成圓周運動的速度，因此這裡的粒子會因為受力而變成一個圓周軌道，如圖16.10所示

磁力Fm=向心力Fc磁力Fm=向心力Fc

| |q B mR

υ υ=2

R mq B

=υ

| | 稱之為迴旋半徑。稱之為迴旋半徑。

同位素的質量越大，其迴旋半徑就越大，這種將不同質量作區分的儀器就稱之為質譜儀

同位素的質量越大，其迴旋半徑就越大，這種將不同質量作區分的儀器就稱之為質譜儀

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例題 16.2例題 16.2

一束被離子化的碳原子 ( 每個帶有 +e 電荷) 均具有相同的速度進一個質譜儀中，這些離子均累積在兩個不同的位置上 ( 如圖16.11所示 )，相隔5公分。較大量的 同位素之軌跡是在較小的一圈，半徑15公分。請問在這一束粒子中，其他同位素的質量數是多少？

一束被離子化的碳原子 ( 每個帶有 +e 電荷) 均具有相同的速度進一個質譜儀中，這些離子均累積在兩個不同的位置上 ( 如圖16.11所示 )，相隔5公分。較大量的 同位素之軌跡是在較小的一圈，半徑15公分。請問在這一束粒子中，其他同位素的質量數是多少？

612 C

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解：解：

令R1代表較小圈的半徑， R2代表較大圈的半徑，所以：

令R1代表較小圈的半徑， R2代表較大圈的半徑，所以：

2 2 5 00 102 12R R− = × −. m

R R2 122 50 10− = × −. m

m100.15 21−×=R

R22150 10= × + ×

= ×

− −

−

. m 2.50 10 m17.5 10 m

2

2

R mq B

R mq B1

12

2= =υ υ

| | | |

RR

mm

2

1

2

1

=

m m A1 212= =α α( )

mm

A21 12=

RR

A21 12=

17.5 10 m15.0 10 m

2

2

××

=−

−

A12

A = 14

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霍耳效應霍耳效應

考慮一個帶有電流或帶有沿著棒軸移動的帶電粒子流的長方形棒，將這個棒放在一個均勻的磁場中，此磁場的方向與帶電電荷的運動方向相垂直，如圖16.12所示。

考慮一個帶有電流或帶有沿著棒軸移動的帶電粒子流的長方形棒，將這個棒放在一個均勻的磁場中，此磁場的方向與帶電電荷的運動方向相垂直，如圖16.12所示。

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情節一：正電荷載體情節一：正電荷載體

在磁力的影響之下，正電荷會往下移動，並累積在接近長方形棒下緣的地方

在磁力的影響之下，正電荷會往下移動，並累積在接近長方形棒下緣的地方

r r rF v B

i kj

magnet = ×

= < > ×= − < >

q

q Bq Bυυ

$ $

rF jelec = qE$

當相反電力的大小與作用在電荷上的磁力大小相同時，電荷的累積就會終止。電場的方向指出長方形棒子的下緣比上緣的電位較高。如果將長方形棒子邊緣的電位透過伏特計來量測 ( 如圖16.13所示 )，把伏特計的正極 (+) 接在下緣，而將負極 (-) 接在上緣，則伏特計將指出一個正電位差。

當相反電力的大小與作用在電荷上的磁力大小相同時，電荷的累積就會終止。電場的方向指出長方形棒子的下緣比上緣的電位較高。如果將長方形棒子邊緣的電位透過伏特計來量測 ( 如圖16.13所示 )，把伏特計的正極 (+) 接在下緣，而將負極 (-) 接在上緣，則伏特計將指出一個正電位差。

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電荷的分離持續且電場在大小上會成長，直到電力對於作用在每個電荷載體上的反方向磁力在大小上相等。如果與情節1相同地在長條棒子的兩端連接伏特計 ( 如圖16.15所示 )，則伏特計將顯現出一個負的電位差。

電荷的分離持續且電場在大小上會成長，直到電力對於作用在每個電荷載體上的反方向磁力在大小上相等。如果與情節1相同地在長條棒子的兩端連接伏特計 ( 如圖16.15所示 )，則伏特計將顯現出一個負的電位差。

情節2：負電荷載體情節2：負電荷載體rF i k

jmagnet = − − < > ×

= − < >

( | |)( $) $

| | $q B

q B

υ

υrF j

jelec = − −

= +

( | |)( $)

| | $q E

q E

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在平常使用金屬導體的霍耳效應實驗結果中指出，在它們中的帶電載體是負的 ( 它們是電子 )。現在，我們也是使用摻有雜質元素而不純的半導體物質去製造半導體，在這裡面主要的電荷載體不是負的 (n型的半導體物質 ) 就是正的 (p型的半導體物質 )。在製造半導體的過程中，霍耳效應就被使用來區分型n及p型的物質。對於在霍耳效應中，長方形棒子邊緣之電位差的表示式，可以使用作用在電荷載體的電力及磁力來表示：

在平常使用金屬導體的霍耳效應實驗結果中指出，在它們中的帶電載體是負的 ( 它們是電子 )。現在，我們也是使用摻有雜質元素而不純的半導體物質去製造半導體，在這裡面主要的電荷載體不是負的 (n型的半導體物質 ) 就是正的 (p型的半導體物質 )。在製造半導體的過程中，霍耳效應就被使用來區分型n及p型的物質。對於在霍耳效應中，長方形棒子邊緣之電位差的表示式，可以使用作用在電荷載體的電力及磁力來表示：

| | | |q E q BE B= < >= < >

υυ

V V E dy

EB A A

B− = − ⋅

= −∫ $ $j jl

V V VHall A B≡ − V EHall = l

V B

V B

Hall

Hall

ll

= < >

= < >

υ

υ

I nqA= < >υ

< >=υ InqA

使用在情節1中：使用在情節1中：

Slide 25

半導體材質能夠透過精確地控制電荷載體密度n的值而被組裝成，事實上方程式 (16.8) 就是被使用來以一個已知的磁場去計算n。相反地，一旦n被確定，也可以反過來求其他的量。使一個已知的電流通過一個如同圖16.13的裝置安排，稱之為霍耳探針。霍耳探針是在實驗室中精確測量磁場的一種方法。

半導體材質能夠透過精確地控制電荷載體密度n的值而被組裝成，事實上方程式 (16.8) 就是被使用來以一個已知的磁場去計算n。相反地，一旦n被確定，也可以反過來求其他的量。使一個已知的電流通過一個如同圖16.13的裝置安排，稱之為霍耳探針。霍耳探針是在實驗室中精確測量磁場的一種方法。

V I BnqAHall

=l V IB

nqdHall=

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例題 16.3例題 16.3一個厚 的銅所製成的霍耳探針被放在如圖16.13的磁場中，25安培的電流在此棒子中，在跨2公分寬的長條棒子中量得霍耳電壓是 ，求磁場的大小是多少？

一個厚 的銅所製成的霍耳探針被放在如圖16.13的磁場中，25安培的電流在此棒子中，在跨2公分寬的長條棒子中量得霍耳電壓是 ，求磁場的大小是多少？

125 μm

−11μV

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解：解：

a. 從範例16.1中可以發現，銅原子單位體積的電荷數是

a. 從範例16.1中可以發現，銅原子單位體積的電荷數是

n = ×8 49 1028 3. electrons / mq e= −

B nqdVI

=

= ×

× − × ×

× − ×=

− −

−

Hall

28 3

19 6

6

10 electrons/ m )( 1.602 10 C/ electron)(125 10 m)( 11 10 V)]/ 25.0 A0.75T

[( .849

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作用在電流上的磁力作用在電流上的磁力

想像一個長度dl、截面積A並具有電流I ( 方向如圖16.16所示 ) 的通電線段，作用在此線段的磁場是 。作用在線段中之電荷的平均磁力是：

想像一個長度dl、截面積A並具有電流I ( 方向如圖16.16所示 ) 的通電線段，作用在此線段的磁場是 。作用在線段中之電荷的平均磁力是：

rB

I nqA= < >υ

q < > ×rr

v B

d nAd qr

lr rF v Bmagnet = < > ×

d nqA dr r

lr

F Bmagnet = < > ×υ

d Idr r

lr

F Bmagnet = ×r r

lr

F Bmagnet wire= ×∫ Id

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作用在電流上的磁力作用在電流上的磁力

若考慮是一個固定的值，則可以將其提出於積分符號之外。所以作用在一個具有穩定電流的電線上的磁力是：

若考慮是一個固定的值，則可以將其提出於積分符號之外。所以作用在一個具有穩定電流的電線上的磁力是：r r

lr

F Bmagnet wire= ×∫I d

( )r rl rF Bmagnet wire= ×∫I dr r

lr

F Bmagnet = ×I

如果電線是直的，且磁場在沿著線段方向是固定的 ( 如圖16.17所示 )，則固定的磁場可以被提出於積分之外：

如果電線是直的，且磁場在沿著線段方向是固定的 ( 如圖16.17所示 )，則固定的磁場可以被提出於積分之外：

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例題例題

總長 帶有電流的電線I通過一個具有均勻磁場B的區域，如圖16.18。考慮此電線中長度 的長直部份。

a.計算作用在此線段上的力。

b.如果電流的方向倒過來，會發生什麼情形？

總長 帶有電流的電線I通過一個具有均勻磁場B的區域，如圖16.18。考慮此電線中長度 的長直部份。

a.計算作用在此線段上的力。

b.如果電流的方向倒過來，會發生什麼情形？

l0

l

Slide 31

解解

a. 此電線是直的，而且磁場是均勻的

a. 此電線是直的，而且磁場是均勻的

r rl

rF Bmagnet = ×I

F I BI B

magnet = °

=

l

l

sin 90

b. 如果電流的方向倒過來，則效應所造成的力量也倒過來，也就是磁力會指向右邊。

b. 如果電流的方向倒過來，則效應所造成的力量也倒過來，也就是磁力會指向右邊。

此力量如圖16.19所示。此力量如圖16.19所示。

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例題例題

將一個封閉的電流迴圈放在一個均勻的磁場中，作用在此迴圈上的總力為何？

將一個封閉的電流迴圈放在一個均勻的磁場中，作用在此迴圈上的總力為何？

Slide 33

解：解：

由方程式 (16.10)：

既然電流是常數，就可以將它提出於積分之外

對於一個封閉的迴圈來說，圍繞整個迴圈的積分是零。因為對於每個 來說都是向同一個方向，所以作用在均勻磁場中的封閉迴路，其總力是零。

由方程式 (16.10)：

既然電流是常數，就可以將它提出於積分之外

對於一個封閉的迴圈來說，圍繞整個迴圈的積分是零。因為對於每個 來說都是向同一個方向，所以作用在均勻磁場中的封閉迴路，其總力是零。

r rl

rF Bmagnet wire= ×∫I d

( )r rl rF Bmagnet wire= ×∫I d

drl

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16.4 磁力所作的功16.4 磁力所作的功一個不隨著時間作改變的磁場，稱之為靜磁場。它作用在一個移動電荷的力，則稱之為靜磁力。

一個不隨著時間作改變的磁場，稱之為靜磁場。它作用在一個移動電荷的力，則稱之為靜磁力。

r r rF v Bmagnet = ×q

dW d

q dmagnet magnet= ⋅

= × ⋅

r r

r r rF r

v B r( )r

r

v r= ddt

d dtr rr v=

dW q dtmagnet = × ⋅( )r r rv B v

dWmagnet 0 J=

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例題 16.6例題 16.6

一個運動的電子進入一個與其運動方向相垂直的均勻靜磁場中，並作迴旋半徑R的圓周運動。當電子作一圈圓周運動之後，磁力作用在電子上的功是多少？

一個運動的電子進入一個與其運動方向相垂直的均勻靜磁場中，並作迴旋半徑R的圓周運動。當電子作一圈圓周運動之後，磁力作用在電子上的功是多少？

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解：解：

磁力在任何時刻都是垂直於電子的運動速度，因此所作的功是零，

而不是

磁力在任何時刻都是垂直於電子的運動速度，因此所作的功是零，

而不是 )2(magnet RF π•

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16.5 畢歐 - 沙伐定律16.5 畢歐 - 沙伐定律

質量製造

重力場影響

質量 透過

Mm

mr r rg F g=

電荷製造

電場影響

電荷 經由

Qqq

r r rE F E=

磁場影響

運動中的電荷

rr r r

r rl

rBF v B

F B= ×= ∫ ×

qI d

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畢歐 - 沙伐定律畢歐 - 沙伐定律

考慮一個微小的電流導線微分量長度 ( 如圖16.20所示 )， 的方向與電流I的方向一致。畢歐及沙伐發現電流元素在點P所製造的磁場可以被表示成：

考慮一個微小的電流導線微分量長度 ( 如圖16.20所示 )， 的方向與電流I的方向一致。畢歐及沙伐發現電流元素在點P所製造的磁場可以被表示成：

drl

drl

d I dr

rrl

r

B r= ×μπ0

24

rrlB r= ×∫

μπ0

24I d

r$

wire

μπ0 7

410≡ ⋅− T m / A

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一些場的比較一些場的比較

rrlB r= ×∫

μπ0

24I d

r$

wire

rg r= ∫GdMr 2

$massdistribution

rE r= ∫

14 0

2πεdQr

$chargedistribution

重力的情形 質點 ：

電的情形 電荷 ：

磁的情形 電流元素 ：

( )

( )

( )

dM

dQ

Idrl

重力的情形：

電的情形：

磁的情形：

G1

4

4

0

0

πεμπ

每個均有一個造成場的似點狀源：每個均有一個造成場的似點狀源：

每個場的表示式中均有一個常數：每個場的表示式中均有一個常數：

Slide 40

一些常見的磁場 1一些常見的磁場 1

Slide 41

一些常見的磁場2一些常見的磁場2

Slide 42

例題 16.7例題 16.7一個半徑 R 的電流線圈具有電流 I 。

a.使用畢歐 - 沙伐定律找出在線圈中心的磁場大小。

b.對於一個半徑5公分的迴圈，多大的電流會在迴圈的中心形成 大小的磁場。

一個半徑 R 的電流線圈具有電流 I 。a.使用畢歐 - 沙伐定律找出在線圈中心的磁場大小。

b.對於一個半徑5公分的迴圈，多大的電流會在迴圈的中心形成 大小的磁場。10 10 4. × − T

Slide 43

解：解：

a.a.r

rlB r= ×∫

μπ0

24I d

r$

wire

r lB kcenter wire=°

∫μπ0

241 90I d

r( ) sin $

rlB kcenter wire= ∫

μπ0

24IR

d $

rB k

k

center =

=

μπ

π

μπ

π

0

2

0

42

42

IR

R

IR

$

$

B IRcenter

=μπ

π04

2

I RB= 420

πμ π

centerI = × ×

⋅=

− −

−

( . )( .( )

.

5 0 10 10 1010 2

8 0

2 4

7

m T)T m / A

Aπ

b.b.

Slide 44

例題 16.8例題 16.8求半徑R電流I之線圈的中垂線上，距中心為z的P點之磁場，如圖16.22所示。求半徑R電流I之線圈的中垂線上，距中心為z的P點之磁場，如圖16.22所示。

Slide 45

解：解：利用必歐-沙伐定律利用必歐-沙伐定律

B r= ×∫μπ0

4I d

rl $

wire

r lB I dr軸 線

=°

∫μπ

θ0 241 90( ) sin cos $k

rlB I

rd

軸 線= ∫μπ

θ0 24cos $k

d R Rr

r R zl = = = +∫ 2 2 2 1 2π θ線 , cos , ( )/

rB k

軸=μπ

π0 242I

rRr

R $

rB k

軸=

+μπ

π02

2 2 3 242I R

R z( )

( )$

/

z = 0rB k

中心=μ 02

IR

$

Slide 46

例題 16.9例題 16.9a.求載有電流I的無限長導線外距離為D的P點上之磁場。

b.如果 ，P點之磁場 ，則P點與此長導線之距離為多少？

a.求載有電流I的無限長導線外距離為D的P點上之磁場。

b.如果 ，P點之磁場 ，則P點與此長導線之距離為多少？

I = 150. A B = × −10 10 4. T

Slide 47

解：解：

a. 從畢歐 - 沙伐定律方程式 (16.13) 開始a. 從畢歐 - 沙伐定律方程式 (16.13) 開始r

rlB r= ∫

μπ0

24I d

r× $

線

$ (cos ) $ (sin )$r i j= +θ θrB i i j

k

=+

=

∫

∫

μπ

θ θ

μπ

θ

02

02

4

4

I dxr

I dxr

$ [(cos ) $ (sin )$ ]

sin $

×線

線

r D x= +( ) /2 2 1 2

sin( ) /

θ = =+

Dr

DD x2 2 1 2

rB k=

+∫μπ0

2 2 3 24ID dx

D x( )$

/線

rB k

k k

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

= =∞

∫μ

πμ

πμ

π0

2

2 2320

0 0

42

42

2ID dx

Dx

ID

ID

( )$

$ $/m

Slide 48

解：解：

b.b.

rB k

k k

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

= =∞

∫

μπ

μπ

μπ

0

2

2 2 3 20

0 0

4

2

42

2

ID dx

D x

ID

ID

( )

$

$ $

/m

D IB

=

=⋅

×= ×=

−

−

−

μπ0

7

2

42

10 2 150

30 1030

( )[ ( . )]

.

.

T m / A A1.0 10 T

mcm

4

Slide 49

16.6 作用在平行電流導線的力量及安培的定義

16.6 作用在平行電流導線的力量及安培的定義

rB k

導線 作用在導線 (1) (2) =μπ0 1

42Id

$

r rl

rF B由導線 作用在導線 (1) (2) = ×I2 1

rl

l

F j

j

由導線 作用在導線 (1) (2) = −

= −

I Id

I Id

20 1

0 1 2

42

42

μπ

μπ

$

$

rB k

導線 作用在導線 (2) (1) = −μπ0 2

42Id

( $ )

r rl

rF B由導線 作用在導線 (2) (1) = ×I1 2r r

l

l

F i k

j由導線 作用在導線 (2) (1) = × −

=

I B

I B

1 2

1 2

$ ( $ )$

rl

l

F j

j

由導線 作用在導線 (2) (1) =

=

I Id

I Id

10 2

0 1 2

42

42

μπ

μπ

$

$

Slide 50

作用在平行電流導線的力量及安培的定義作用在平行電流導線的力量及安培的定義如果兩條導線中的電流方向是同向平行的，則會彼此吸引 ( 如圖16.28所示 )。

如果兩條導線中的電流方向是同向平行的，則會彼此吸引 ( 如圖16.28所示 )。

F I Id

=μπ0 1 2

42

l

如果兩條導線中的電流方向是反向平行的，則會彼此排斥 ( 如圖16.29所示 )。

如果兩條導線中的電流方向是反向平行的，則會彼此排斥 ( 如圖16.29所示 )。因此兩條無限長的平行導線，彼此作用在另一條導線上的力量是：

因此兩條無限長的平行導線，彼此作用在另一條導線上的力量是：

電流的SI單位可從方程式 (16.18) 中加以定義。

電流的SI單位可從方程式 (16.18) 中加以定義。

Slide 51

16.7 磁場中的高斯定律16.7 磁場中的高斯定律高斯定律應用在重力場 與電場 中，這個定律是論及場向量通過封閉曲面的通量。

高斯定律應用在重力場 與電場 中，這個定律是論及場向量通過封閉曲面的通量。

rgrE

r rg Sclsd surface∫ ⋅d

r rB S

clsd surface

2T m∫ ⋅ = ⋅d 0

然而在目前磁學的研究中，沒有任何磁單極 (magnetic monopoles) 存在的證據，因此通過任何封閉曲面的磁場通量總是為零：

然而在目前磁學的研究中，沒有任何磁單極 (magnetic monopoles) 存在的證據，因此通過任何封閉曲面的磁場通量總是為零：

這就是磁學的高斯定律。其本質上是在陳述“沒有磁單極的存在”，亦即沒有單獨存在之南極或北極的磁鐵。磁學的高斯定律，也暗示著磁場線呈現出一種封閉迴路的形式，換言之，它沒有始點也沒有終點。

這就是磁學的高斯定律。其本質上是在陳述“沒有磁單極的存在”，亦即沒有單獨存在之南極或北極的磁鐵。磁學的高斯定律，也暗示著磁場線呈現出一種封閉迴路的形式，換言之，它沒有始點也沒有終點。

Slide 52

16.8 磁極與電流迴路16.8 磁極與電流迴路傳統中短磁鐵所造成的磁場如圖16.30所示。由電流所產生的磁場則如圖16.31所示。利用右手定則可以判定電流迴路所造成的磁場方向，亦即，四根右手手指彎曲的指向為電流的流向，而拇指所指的方向為此電流迴路產生磁場N極的方向，如圖16.31所示。

傳統中短磁鐵所造成的磁場如圖16.30所示。由電流所產生的磁場則如圖16.31所示。利用右手定則可以判定電流迴路所造成的磁場方向，亦即，四根右手手指彎曲的指向為電流的流向，而拇指所指的方向為此電流迴路產生磁場N極的方向，如圖16.31所示。

Slide 53

安培定律安培定律

案例1：一圓圈路徑沿著電流方向在距離此導線d處會產生一順時鐘的磁場，如圖16.32所示。

案例1：一圓圈路徑沿著電流方向在距離此導線d處會產生一順時鐘的磁場，如圖16.32所示。

?rBpathclsd

=⋅∫rr

d

r rB rclsd path clsd path clsd path∫ ∫ ∫⋅ = °=d B dr B drcos 0

r rB rclsd path clsd path∫ ∫⋅ = = ⋅d B dr B D( )2π

r rB rclsd path∫ ⋅ = ⋅ ⋅ =d

ID

D Iμπ

π μ0 042 2

r rB rclsd path clsd path

clsd path

∫ ∫∫

⋅ = °

= −

= −

d B B dr

B dr

I

cos180

0μ

Slide 54

案例2：有圓孤與徑向線段之路徑案例2：有圓孤與徑向線段之路徑選擇圖1 6 . 3 3所示之路徑，它包括 (1) 半徑為D的圓孤線段；(2) 從半徑為D伸長至 r的向徑線段；(3) 半徑為 r的圓孤線段；(4) 由半徑為r縮短至D的向徑線段；由此構成了一封閉的路徑。

選擇圖1 6 . 3 3所示之路徑，它包括 (1) 半徑為D的圓孤線段；(2) 從半徑為D伸長至 r的向徑線段；(3) 半徑為 r的圓孤線段；(4) 由半徑為r縮短至D的向徑線段；由此構成了一封閉的路徑。

Slide 55

r r

r r r r

r r r r

B r

B r B r

B r B r

⋅

= ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

∫∫ ∫∫ ∫

whole clsd path

segment (1) segment (2)

segment (3) segment (4)

d

d d

d dr rB r⋅ = =∫ ∫segment (1) d B dr Bsr rB r⋅ = =

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∫segment (1) d Bs B DI

DD

I

θ

μπ

θ

μπ

θ

0

0

42

42

( )

r rB r⋅ = ′ ′ = ′

= ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅

∫segment (3) d B s B rI

rr

I

φ

μπ

φ

μπ

φ

0

0

42

42

( )

r rB r⋅ = + ⋅ + + ⋅

= +

∫clsd path T m T md I I

I

μπ

θ μπ

φ

μπ

θ φ

0 0

0

42 0

42 0

42 ( )

r rB r⋅ =∫clsd path d Iμ0

Slide 56

案例3：有許多的圓孤與徑向線段之路徑。案例3：有許多的圓孤與徑向線段之路徑。由案例2擴充到更複雜的路徑，如圖16.34所示。沿著向徑線段的

值皆為零，而沿著圓孤線段的各值的總和卻與案例1和案例2的結果相同：

由案例2擴充到更複雜的路徑，如圖16.34所示。沿著向徑線段的

值皆為零，而沿著圓孤線段的各值的總和卻與案例1和案例2的結果相同：

r rB r⋅∫ d

r rB r⋅∫ d

r rB r⋅ =∫clsd path d Iμ0

Slide 57

案例4：任意環繞線的封閉路徑案例4：任意環繞線的封閉路徑任意封閉環繞線可以作成徑向線段與圓孤線段的組合，如圖16.35所示。因此，對任意封閉環繞通電流導線的路徑而言，有

任意封閉環繞線可以作成徑向線段與圓孤線段的組合，如圖16.35所示。因此，對任意封閉環繞通電流導線的路徑而言，有

r rB r⋅ =∫clsd path d Iμ0

式中的電流 I必須在封閉路徑之內。

式中的電流 I必須在封閉路徑之內。

Slide 58

案例5：沒有電流通過的路徑案例5：沒有電流通過的路徑在圖16.36中的電流並沒有通過這封閉的路徑，將這路徑分成4個線段，其中線段 (2) 與 (4) 的每一段路徑方向和電流I所產生的磁場 垂直，故線段 (2) 之

與線段 (4) 之 值為零。

在圖16.36中的電流並沒有通過這封閉的路徑，將這路徑分成4個線段，其中線段 (2) 與 (4) 的每一段路徑方向和電流I所產生的磁場 垂直，故線段 (2) 之

與線段 (4) 之 值為零。

d rrrB

r rB rsegment ( )2∫ ⋅d

r rB rsegment (4)∫ ⋅d

r rB rsegment (1)∫ ⋅ = ⋅d

IsD

μπ0

42 s D= θ

r rB rsegment ( )1

0

42∫ ⋅ = ⋅d I

μπ

θ

r rB rsegment (3)∫ ⋅ = ⋅

′= − ⋅d Is

rIμ

πμπ

θ0 04

24

2

′ =s rθ = −μπ

θ04

2I

r rB rclsd path

T m∫ ⋅ = ⋅d 0

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安培定律安培定律

總結上述五個案例可導出一簡單的數學方式之陳述：

總結上述五個案例可導出一簡單的數學方式之陳述： r rB r

clsd path net current threading the path∫ ⋅ =d Iμ0

若同時有多條載流導線分佈在空間中，如圖16.37所示，則整個封閉路徑總磁場的路積分等於 乘上穿過此封閉路徑的電流之代數和：

若同時有多條載流導線分佈在空間中，如圖16.37所示，則整個封閉路徑總磁場的路積分等於 乘上穿過此封閉路徑的電流之代數和：

μ0

r rB rclsd path∫ ⋅ = + − −d I I I Iμ0 1 2 4 5( )

這就是所謂的安培定律 (Ampere's law)。這就是所謂的安培定律 (Ampere's law)。

Slide 60

例題 16.10例題 16.10

利用安培定律，求距載流 I 的長直導線 D 處的磁場。

利用安培定律，求距載流 I 的長直導線 D 處的磁場。

Slide 61

解：解：

rB r⋅ =∫ d Icircular

contourμ 0

r rB r⋅ = °d B dr cos0rB r⋅ =

= =

∫ ∫

∫

d B dr

B dr B D

circularcontour

circularcontour

circularcontour

( )2π

B ID

ID

= =μπ

μπ

0 0

2 42

利用安培定律利用安培定律

Slide 62

例題 16.11例題 16.11

利用安培定律，求載流 I 的長螺線管 (Sloenoid) 內部 ( 但遠離兩端 ) 的磁場，如圖16.39所示。利用安培定律，求載流 I 的長螺線管 (Sloenoid) 內部 ( 但遠離兩端 ) 的磁場，如圖16.39所示。

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解：解：

利用安培定律利用安培定律r rB r

clsd path net current threading the path∫ ⋅ =d Iμ0

r r

l

B rsegment (3) segment (3)

segment (3)

∫ ∫∫

⋅ =

= =

d B dr

B dr B

r r

l l

B rclsd path net current threading the path∫ ⋅ =

=

d I

B n I

μ

μ

0

0

B nI= μ 0

Slide 64

例題 16.12例題 16.12利用安培定律，求繞載流導線螺線環的磁場，如圖16.43所示。

利用安培定律，求繞載流導線螺線環的磁場，如圖16.43所示。

Slide 65

解：解：

選擇r為半徑，作一封閉的圓形積分路徑，如圖16.44所示。若r值大於R 且小於R+D時，則由安培定律知

選擇r為半徑，作一封閉的圓形積分路徑，如圖16.44所示。若r值大於R 且小於R+D時，則由安培定律知

)2(

0cosrBcontourcircular

contourcircular

rB

drBd

π=

°=⋅ ∫∫r

B r NI( )2 0π μ=

B nI= μ 0

n Nr

NR

= =2 2π π

為單位長度的匝數。為單位長度的匝數。