Piaci portfólió tartása (I.)

Sharpe-modell William Sharpe (1964), később Nobel-díj Lintner, Mossin, Treynor

A modell fő peremfeltételei: Tökéletes tőkepiac: pl. tökéletes informáltság, nincs

tranzakciós költség, stb. Kockázatmentes befektetés és hitelfelvétel lehetősége

(azonos kamattal) Racionális befektetők (~Markowitz-modellt követik) Homogén várakozások hipotézise: mindenki ugyanazt

gondolja a befektetések paramétereiről („tojáshéjuk ugyanott van”)

Piaci portfólió tartása (II.)

Egy kockázatmentes (i) és egy kockázatos (j) lehetőség kombinációja:

)(

)(0)(0

)()(2)()()(

)()()(

2222

,2222

jj

jjjj

jjiijijjiiP

jjiiP

ra

rara

rarakrarar

rEarEarE

Ha ai negatív szám, akkor kockázatmentes hitelfelvétel (egyúttal a felvett hitel kockázatos befektetése, mert ai + aj = 1)

Piaci portfólió tartása (III.)

Ábrázolva:U 5

U 4

U 3

U 2

U 1

E (r)

σ (r)

A

σ (r)

E (r)

B 1

i

j

pl.: 0,6 i + 0,4 j

pl.: -0,5 i + 1,5 j

A

U5

U4

U3

U2

U1

E(r)

σ(r)σ(r)

E(r)

M

rf

A legjobb lehetőségek az rf – M egyenesen vannak

Piaci portfólió tartása (IV.)

Ha a „tojáshéj” mindenkinek „ugyanott van”, akkor az M portfólió is mindenkinél ugyanaz lesz – ezt kombinálják kockázatkerülésüktől függően rf-vel

A kockázatos rész tehát minden befektetőnél ugyanaz!

C 2

C 1

U5

U4

U3

U2

U1

E(r)

σ(r)

A

σ (r)

E (r)

M

r f

Piaci portfólió tartása (V.)

Mindenki ugyanazt az M-et tartja → M összetétele meg kell, hogy egyezzen a világ összes kockázatos értékpapírját tartalmazó ún. piaci portfólióéval

Csak az arányok ugyanazok, a befektetett összegek különbözhetnek

P iaci portfólió

σ (r)

E (r)

M

T őkepiaci egyenes

E (rM )

σ (rM )

r f

A legjobb lehetőségek: tőkepiaci egyenes (Capital Market Line, CML) – erről választanak a befektetők:

Piaci portfólió tartása (VI.)

A befektetői döntés ennek megfelelően:

)()(

)()(

MMP

MMffP

rar

rEararE

M

C

σ(r)

E(r)

rf

E(rM)

σ(rM)

Passzív portfólió-menedzsment

max)(5,0)( 2 rArEU

)(

)(2,

M

fMoptM rA

rrEa

1 Mf aa

Választás a Sharpe-modellben – példa (I.)

Egy A=2 kockázatkerülésű befektető a piaci portfólió (M) és a kockázatmentes lehetőség (f) kombinálásával alakítja ki portfólióját

A paraméterek: rf = 2%, E(rM) = 8%, σ(rM) = 18% Mekkora annak a portfóliónak a várható hozama és szórása,

amelyben fele-fele arányban szerepel a két lehetőség? Optimális-e ez a fele-fele arány a befektetőnek? Ha nem, hogyan érheti el az optimumot és mik az optimális

portfólió paraméterei? Gondoljuk végig ugyanezt egy A=8 kockázatkerülésű

befektetőre! Ábrázoljuk döntéseiket és magyarázatukat! (csak

jelleghelyesen)

Választás a Sharpe-modellben – példa (II.)

Megoldás Fele-fele arány, tehát af = 0,5 és aM = 0,5 E(rP) = 0,5*0,02 + 0,5*0,08 = 0,05 = 5% σ(rP) = [(0,5*0)2 + (0,5*0,18)2 + 2*0*0,5*0*0,5*0,18]1/2 =

0,5*0,18 = 0,09 = 9% aM,opt = (0,08 – 0,02)/(2*0,182) = 0,93, tehát nem optimális,

mivel 0,93 ≠ 0,5 Az optimumhoz növelni kell M súlyát 0,93-ra, illetve

csökkenteni f súlyát 1 – 0,93 = 0,07-re Az optimális portfólió paraméterei:

E(rP,opt) = 0,07*0,02 + 0,93*0,08 = 0,0758 = 7,58% σ(rP,opt) = 0,93*0,18 = 0,1674 = 16,74%

Választás a Sharpe-modellben – példa (III.)

Mi a helyzet az A=8 befektető esetén? A „fele-fele” portfólió várható hozama és szórása

ugyanaz marad, viszont az optimum más aM,opt = (0,08 – 0,02)/(8*0,182) = 0,23, tehát a fele-

fele megosztás most sem optimális, mivel 0,23 ≠ 0,5 Az optimumhoz most viszont csökkenteni kell M

súlyát 0,23-ra, illetve növelni f súlyát 1 – 0,23 = 0,77-re

Az optimális portfólió paraméterei: E(rP,opt) = 0,77*0,02 + 0,23*0,08 = 0,0338 = 3,38% σ(rP,opt) = 0,23*0,18 = 0,0414 = 4,14%

optA=8

Választás a Sharpe-modellben – példa (IV.)

E(r)

σ(r)

8%

18%

2%

9%

3,38%

4,14% 16,74%

7,58%

0,5

M

UoptA=8 U0,5

A=8

UoptA=2 U0,5

A=2

>

>

Csak hozzávetőleg, jellegében helyes ábrázolás!

f

5%

optA=2

Választás a Sharpe-modellben – példa (V.)

Akit jobban érdekel a téma, ill. gyakorlásra: Az előzőekben említett kombinációkhoz tartozó

hasznosságértékek (U) kiszámítása és ellenőrzése, hogy az optimálisé tényleg nagyobb

Az optimális súly számítására vonatkozó képlet levezetése (ötlet: af = 1 – aM, majd egy egyváltozós szélsőérték feladat)

Pontosabb grafikus ábrázolás „Hardcore”: a béta és a CAPM képletét (lásd később)

felhasználva annak bizonyítása, hogy M-en keresztül fut a legmeredekebb tőkeallokációs egyenes

A béta kockázati paraméter (I.)

Piaci portfólió tartása → van egy egységes, „általános” viszonyítási alap

Egy tetszőleges i befektetési lehetőség kockázata: nem önmagában, hanem a befektetői portfólióban! A befektetői portfólió a Sharpe-modell szerint: rf és M a

befektető kockázatkerülésének megfelelő kombinációja De i „érzékelt” kockázata szempontjából csak az M-vel

való sztochasztikus kapcsolat számít! Tehát lényegtelen, hogy ki milyen rf – M arányt tart

Vizsgáljuk meg i és M hozamai közötti sztochasztikus kapcsolatot!

A béta kockázati paraméter (II.)

Karakterisztikus egyenes (regressziós, OLS)

Az egyenes meredeksége: βi Ha βi > 1, akkor növeli M szórását Ha βi < 1, akkor csökkenti M szórását βi negatív is lehet, akkor erősebben

csökkenti M szórását εi feltételes eloszlás, várható

értéke 0, szórása σ(εi) Adott rM-hez megadja ri szórását

1

βi

εi

ri

rM )(

)(,

M

iMii r

rk

A béta kockázati paraméter (III.)

Az ábrából (regresszióból) következően σ(ri) felírható egy M-től függő és nem függő rész összegeként:

)()()( 2222iMii rr 1;0 ,, MMM ii

kk

)()(

)()( 222

Mirelevánsi

Mirelevánsi

rr

rr

Mivel az ε-os tag független M-től, így eliminálódik a portfólióban (M nagy elemszámú)

A β-s tag viszont teljesen összefügg M-mel, így:

Tehát ekkora szórásúnak látjuk i-t „M-en keresztül nézve”

A béta kockázati paraméter (IV.)

Egy i befektetés teljes kockázata σ(ri), két részből áll: Releváns kockázat (piaci, nem diverzifikálható, szisztematikus):

βiσ(rM) Feltéve persze, hogy a befektető kockázatos részként a piaci portfóliót

tartja Egyedi kockázat (diverzifikálható, nem szisztematikus): σ(εi)

Eltűnik a piaci portfólióban Tehát nem az érdekel, hogy önmagában mekkora egy

befektetési lehetőség szórása, hanem hogy a piaci portfólión keresztül mennyit érzékelek belőle! Pl. lehet, hogy önmagában nagyon kockázatos, de ha pl. bétája

nulla, akkor kockázatmentes számomra!

Néhány jellegzetes példa…

ri

rM

ri

rM

rMrM

riri

A tőkepiaci várható hozamok és a béta (I.)

A β (és csak a β) megadja egy befektetés releváns kockázatát

→ A várható hozamoknak a β függvényének kell lenni Az összefüggés lineáris

Ez az összefüggés a CAPM (Capital Asset Pricing Model), a tőkepiaci árfolyamok modellje

E(r)

piaci portfolió

értékpapír-piaci egyenes

E(rM)

1

rf

β

fMifi rrErrE )()(

A tőkepiaci várható hozamok és a béta (II.)

A CAPM-ben visszaköszön a tőkeköltség két forrása:

A CAPM megadja, hogy adott kockázathoz (amit a bétával mérünk) a tőkepiacon mekkora várható hozam tartozik

→ Ha ismerjük egy befektetési lehetőség bétáját, meg tudjuk adni a tőke alternatíva költségét Reálértelemben – mert a CAPM reálhozamok közötti

kapcsolatot ír le (minket mindig a reálhozamok érdekelnek)

Nem a CAPM az egyetlen tőkepiaci egyensúlyi modell…

fMfRPfkockázatidőalt rrErrrrrrrE )()(

Tőkeköltség kiszámítása példák

Mekkora a projekt tőkeköltsége, ha a bétája 1,3, a kockázatmentes hozam 2% reálértelemben, a piaci portfólió várható hozama pedig 8% reálértelemben? Milyen értelmű a meghatározott tőkeköltség? Behelyettesítve a CAPM képletébe: ralt = 2% + 1,3*(8% - 2%) = 9,8%

Reálértelmű, mert minden paraméter reálértelmű Mekkora a projekt tőkeköltsége, ha a bétája 0,75, a kockázatmentes

hozam 3% reálértelemben, az átlagos piaci kockázati prémium pedig 8% reálértelemben? Átlagos piaci kockázati prémium: a β=1-hez tartozó kockázati prémium,

azaz E(rM) – rf

Behelyettesítve így a CAPM képletébe: ralt = 3% + 0,75*8% = 9%

(Természetesen most is reálértelmű a tőkeköltség)

Tőkeköltségek és értékek függetlensége

Láttuk: egy befektetési lehetőség tőkeköltsége a bétájától függ (persze csak akkor, ha igaz a CAPM)

A bétája pedig csak a piaci portfólióval való sztochasztikus kapcsolattól függ

→ Tőkeköltségek függetlensége: egy üzleti projekt tőkeköltsége független a vállalati környezettől (azaz a vállalat többi projektjének tőkeköltségétől)

Mivel „érték = tőkeköltséggel diszkontált pénzáramok”, ezért Pénzáramok függetlensége + Tőkeköltségek függetlensége = Értékek függetlensége

Az egyes üzleti projektek értékelése elválik a vállalati környezettől

Más szóval a projektek „mini-vállalatokként” tekintendők

Belső megtérülési ráta (IRR)

„Egységnyi tőke egységnyi időre vonatkoztatott várható hozama” Matematikailag: az a tőkeköltség (diszkontráta), amelynél az

NPV zérus:

A projekt megvalósítandó akkor és csak akkor, ha IRR > ralt, ami ekvivalens azzal, hogy NPV > 0

Az IRR-nek számos gyakorlati problémája van, ezért inkább az NPV-t használjuk… Pl. kiszámítása nem mindig egyértelmű, összehasonlításra is alkalmatlan

011

0

N

nn

n

IRR

FEF

CAPM paraméterei a gyakorlatban (I.)

Kockázatmentes hozam Egyértelmű, általános kockázatmentes eszköz nincs Hogyan becsüljük tehát? Nemfizetés kockázata → legnagyobb biztonság:

állampapírok De legtöbbször ez is csak nominális ígéret!

Inflációs kockázat → infláció-indexelt állampapírok A stabilitás miatt leginkább USA állampapírok Lejárat: a vizsgált projekt időtávjához hasonló Általános becslés: évi kb. 2-3% reálértelemben

CAPM paraméterei a gyakorlatban (II.)

Piaci portfólió Az összes elérhető befektetési lehetőség – mi az „elérhető”? A fejlettebb tőkepiacok többnyire átjárhatók → globális megközelítés → Az árak is globálisan határozódnak meg

Többletkockázatot vállal a csak otthon befektető → érdemes nemzetközileg diverzifikálni

Mo. esete: sok nagy, külföldi befektető → globális árazódás vs. csak itthon befektető hazaiak

→ Globális piaci portfólió ~ globális tőzsdeindex: pl. MSCI (All Country) World Index, vagy akár S&P, Dow Jones, stb.

Várható hozam: múltbeli hozamok átlagával (időbeli stabilitás!) Általában inkább a kockázati prémium (rM – rf) becslése, évi kb. 6%

reálértelemben (tehát E(rM) ≈ évi 8% reálértelemben)

CAPM paraméterei a gyakorlatban (III.)

Üzleti projekt bétája ~üzleti tevékenység érzékenysége a világgazdaság ingadozására Iparágakra jellemző értékek figyelhetők meg → iparági béták Részvények csoportosítása 100-300 iparág szerint, múltbeli

hozamadatokból béták Béták időbeli stabilitása kell, hogy múltbeli adatokból becsülhessünk Sok vállalatból számolnak egy iparágban – feltehetően megbízható

becslés Az egyik iparághoz soroljuk projektünket és annak bétáját használjuk,

esetleg több iparág súlyozott átlagát Iparági bétatáblázat – példák: Energia 0,53, Bank 0,37, Autóalkatrész

1,47, Biotech 1,07, Szoftver 0,92, Építőanyag 0,99