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PISA 數學能力層次與教學深入

國立臺南大學 教育系 林素微

情境脈絡個人

與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財

職業職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資 會計質量控制調度 庫存設計 架構以及與工作相關的決策

社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告

科學有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域

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必須是 15 歲學生會接觸到的範圍

內容領域

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改變與關係 對自然現象的改變和運作建立數學模式進行解釋或以圖形或符號來呈現之間的關係例如生物的成長四季循環潮汐變化天氣改變

空間與形狀瞭解現實生活中物體的特色位置或方向表徵以及影象資訊解碼導行與模型或圖像進行動態的互動例如三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作城市的原貌和其地圖或照片間的差異 GPS 的使用

數量瞭解真實世界物體的量化特徵關係各種數量的表徵數量的解釋和推論例如測量計數指標相對大小數值的趨勢和組型估計心算

不確定性主要包含數據的變異的解釋測量的不準度與機率例如選舉結果天氣預報的不準確性資料蒐集資料分析與呈現機率與統計推論等

（ 1 ）改變和關係bull 在日常生活情境上常有現象改變的過程有些改變的過程可描述為數學的函數例如線性指數周期性這些關係可分成不同的類別通常是用資料分析來決定所呈現的關係bull 數學關係通常是方程式或不等式的形態我們可由不同表徵得到關係包含符號代數圖表和幾何圖形bull 不同的表徵有不同的性質可適用不同的目的因此在處理各種情境與作業時表徵間的轉換通常是很重要的

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（ 1 ）改變和關係bull 在電腦化測驗中可以動態圖像的呈現並提供給學生多個表徵間的動態連結以及操弄函數的機會例如bull 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動畫和模擬的描繪並透過函數圖形和數據來連結bull 強化改變之數學模型的尋找和使用個體得以藉由軟體進行探索和描述改變的運作這些軟體可以進行函數繪圖參數操弄數值表格的產生幾何關係的試驗資料數據的組織和繪圖以及公式的計算

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（ 2 ）空間與形狀bull 常在音樂影像交通建築物和藝術中呈現bull 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處並在不同表徵和不同維度下辨識形狀bull 為達此目的我們需要理解幾何圖形以及相關的性質學習透過空間建築物和形體來引導思考bull 換句話說我們應理解形體影像或視覺表徵間的關係如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異它也包含三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作

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（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

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（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

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（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

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（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

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（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

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評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

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2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

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PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

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七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
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• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

情境脈絡個人

與自我家庭或同儕團體相關的議題例如食物準備購物遊戲個人健康個人交通運動旅遊個人行程安排和個人理財

職業職場相關的議題例如建築物的測量成本和材料訂購工資 會計質量控制調度 庫存設計 架構以及與工作相關的決策

社會 與社群相關的議題例如投票制度公共交通政府公眾政策人口統計廣告

科學有關數學如何應用在自然界科學與科技的議題例如天氣或氣候生態醫學太空科學遺傳學和測量等領域

2

必須是 15 歲學生會接觸到的範圍

內容領域

3

改變與關係 對自然現象的改變和運作建立數學模式進行解釋或以圖形或符號來呈現之間的關係例如生物的成長四季循環潮汐變化天氣改變

空間與形狀瞭解現實生活中物體的特色位置或方向表徵以及影象資訊解碼導行與模型或圖像進行動態的互動例如三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作城市的原貌和其地圖或照片間的差異 GPS 的使用

數量瞭解真實世界物體的量化特徵關係各種數量的表徵數量的解釋和推論例如測量計數指標相對大小數值的趨勢和組型估計心算

不確定性主要包含數據的變異的解釋測量的不準度與機率例如選舉結果天氣預報的不準確性資料蒐集資料分析與呈現機率與統計推論等

（ 1 ）改變和關係bull 在日常生活情境上常有現象改變的過程有些改變的過程可描述為數學的函數例如線性指數周期性這些關係可分成不同的類別通常是用資料分析來決定所呈現的關係bull 數學關係通常是方程式或不等式的形態我們可由不同表徵得到關係包含符號代數圖表和幾何圖形bull 不同的表徵有不同的性質可適用不同的目的因此在處理各種情境與作業時表徵間的轉換通常是很重要的

4

（ 1 ）改變和關係bull 在電腦化測驗中可以動態圖像的呈現並提供給學生多個表徵間的動態連結以及操弄函數的機會例如bull 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動畫和模擬的描繪並透過函數圖形和數據來連結bull 強化改變之數學模型的尋找和使用個體得以藉由軟體進行探索和描述改變的運作這些軟體可以進行函數繪圖參數操弄數值表格的產生幾何關係的試驗資料數據的組織和繪圖以及公式的計算

5

（ 2 ）空間與形狀bull 常在音樂影像交通建築物和藝術中呈現bull 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處並在不同表徵和不同維度下辨識形狀bull 為達此目的我們需要理解幾何圖形以及相關的性質學習透過空間建築物和形體來引導思考bull 換句話說我們應理解形體影像或視覺表徵間的關係如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異它也包含三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作

6

（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

7

（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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內容領域

3

改變與關係 對自然現象的改變和運作建立數學模式進行解釋或以圖形或符號來呈現之間的關係例如生物的成長四季循環潮汐變化天氣改變

空間與形狀瞭解現實生活中物體的特色位置或方向表徵以及影象資訊解碼導行與模型或圖像進行動態的互動例如三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作城市的原貌和其地圖或照片間的差異 GPS 的使用

數量瞭解真實世界物體的量化特徵關係各種數量的表徵數量的解釋和推論例如測量計數指標相對大小數值的趨勢和組型估計心算

不確定性主要包含數據的變異的解釋測量的不準度與機率例如選舉結果天氣預報的不準確性資料蒐集資料分析與呈現機率與統計推論等

（ 1 ）改變和關係bull 在日常生活情境上常有現象改變的過程有些改變的過程可描述為數學的函數例如線性指數周期性這些關係可分成不同的類別通常是用資料分析來決定所呈現的關係bull 數學關係通常是方程式或不等式的形態我們可由不同表徵得到關係包含符號代數圖表和幾何圖形bull 不同的表徵有不同的性質可適用不同的目的因此在處理各種情境與作業時表徵間的轉換通常是很重要的

4

（ 1 ）改變和關係bull 在電腦化測驗中可以動態圖像的呈現並提供給學生多個表徵間的動態連結以及操弄函數的機會例如bull 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動畫和模擬的描繪並透過函數圖形和數據來連結bull 強化改變之數學模型的尋找和使用個體得以藉由軟體進行探索和描述改變的運作這些軟體可以進行函數繪圖參數操弄數值表格的產生幾何關係的試驗資料數據的組織和繪圖以及公式的計算

5

（ 2 ）空間與形狀bull 常在音樂影像交通建築物和藝術中呈現bull 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處並在不同表徵和不同維度下辨識形狀bull 為達此目的我們需要理解幾何圖形以及相關的性質學習透過空間建築物和形體來引導思考bull 換句話說我們應理解形體影像或視覺表徵間的關係如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異它也包含三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作

6

（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

7

（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 109
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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（ 1 ）改變和關係bull 在日常生活情境上常有現象改變的過程有些改變的過程可描述為數學的函數例如線性指數周期性這些關係可分成不同的類別通常是用資料分析來決定所呈現的關係bull 數學關係通常是方程式或不等式的形態我們可由不同表徵得到關係包含符號代數圖表和幾何圖形bull 不同的表徵有不同的性質可適用不同的目的因此在處理各種情境與作業時表徵間的轉換通常是很重要的

4

（ 1 ）改變和關係bull 在電腦化測驗中可以動態圖像的呈現並提供給學生多個表徵間的動態連結以及操弄函數的機會例如bull 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動畫和模擬的描繪並透過函數圖形和數據來連結bull 強化改變之數學模型的尋找和使用個體得以藉由軟體進行探索和描述改變的運作這些軟體可以進行函數繪圖參數操弄數值表格的產生幾何關係的試驗資料數據的組織和繪圖以及公式的計算

5

（ 2 ）空間與形狀bull 常在音樂影像交通建築物和藝術中呈現bull 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處並在不同表徵和不同維度下辨識形狀bull 為達此目的我們需要理解幾何圖形以及相關的性質學習透過空間建築物和形體來引導思考bull 換句話說我們應理解形體影像或視覺表徵間的關係如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異它也包含三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作

6

（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

7

（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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（ 1 ）改變和關係bull 在電腦化測驗中可以動態圖像的呈現並提供給學生多個表徵間的動態連結以及操弄函數的機會例如bull 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動畫和模擬的描繪並透過函數圖形和數據來連結bull 強化改變之數學模型的尋找和使用個體得以藉由軟體進行探索和描述改變的運作這些軟體可以進行函數繪圖參數操弄數值表格的產生幾何關係的試驗資料數據的組織和繪圖以及公式的計算

5

（ 2 ）空間與形狀bull 常在音樂影像交通建築物和藝術中呈現bull 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處並在不同表徵和不同維度下辨識形狀bull 為達此目的我們需要理解幾何圖形以及相關的性質學習透過空間建築物和形體來引導思考bull 換句話說我們應理解形體影像或視覺表徵間的關係如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異它也包含三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作

6

（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

7

（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
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• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 82
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

（ 2 ）空間與形狀bull 常在音樂影像交通建築物和藝術中呈現bull 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處並在不同表徵和不同維度下辨識形狀bull 為達此目的我們需要理解幾何圖形以及相關的性質學習透過空間建築物和形體來引導思考bull 換句話說我們應理解形體影像或視覺表徵間的關係如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異它也包含三維物體的二維表徵陰影的形成與意涵視角的確認和運作

6

（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

7

（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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（ 2 ）空間與形狀bull 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係bull 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考bull 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖圖片模型的測量（例如角度和線段）以及應用數據進行計算

7

（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 109
• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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（ 3 ）數量bull 在日常生活中的數學概念最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了bull 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理這個概念專注在生活情境上的量化需求重要層面包含相對大小的理解數的組型覺察使用表徵數量的數字和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）bull 此外數量中重要的一個層面是數量推理數量推理的基本成分是數感以不同方式表徵數字理解運算的意義對數字大小有感覺數學精緻的運算心算和估算

8

（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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（ 3 ）數量bull 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢bull 電腦可以降低受試者在計算上的負擔進而更專注於解題時的意義和策略藉由對解題歷程的分析可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤

9

（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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（ 4 ）不確定性bull 目前「訊息社會」常以相當精確程度科學化和確定性提供大量的訊息而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果倒塌的橋股市崩盤不準確的天氣預報不佳的人口成長預測和其他許多不確定性的實例bull 主要兩個相關議題數據與機會這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究bull 自九年一貫課程實施以來課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集資料分析與呈現（視覺化）機率與推論等的內容加重了統計與機率的比重

10

（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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（ 4 ）不確定性bull 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會並進而提供計算能力和數據處理能力bull 學生有機會選擇適切的工具來處理分析並表徵資料數據以及從資料中取樣bull 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境例如事件的可能性與樣本的屬性等

11

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

評量 15 歲學生數學素養之內容主題ndash函數ndash代數式ndash方程式與不等式ndash座標系統ndash平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係ndash幾何測量

ndash數與單位ndash算術運算ndash百分比比和比例ndash估算ndash資料蒐集表徵與解釋ndash資料的變動與描述ndash樣本與抽樣ndash機會與機率

12

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

2003 數學素養 bull PISA 檢驗學生在各種情境中提出形成以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析推理以及溝通數學概念的能力這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力在 PISA 中一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（ mathematisation ）

數學解法Mathematical

solutions

數學問題Mathematical

problem

真實解法Real solutions

真實世界問題Real-world

problem

真實世界 (Real world) 數學世界 (Mathematical world)

5

5

4

123

PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
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• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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PISA 數學素養的理論基礎bull 數學化 (mathematising) 有五個重要的特徵 1 數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題2 解題者嘗試去找出相關的數學並且依據重要的數學概念重新組織問題3逐漸調整現實 (trimming away the reality) 轉化成數學語言

4 進行問題解決5針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵

數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
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• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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數學領域的組織 情境 (Situations)脈絡 (CONTEXT)

數學概念 (Overarching ideas)內容 (CONTENT)

問題 (PROBLEM)與解決 (SOLUTION)

歷程 (Process)能力群組(COMPETENCY CLUSTER)能力 (Competencies)

問題形式(Problem format)

能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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能力 (the competencies)bull 針對 mathematisation PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)

bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含提出問題的數學特徵 ( 題目中有hellip 如果是這樣有多少hellip 我如何找出hellip )了解可能的答案型態為何區辨不同描述 ( 定義理論預測假設案例條件 ) 的異同並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 82
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

能力 (the competencies)bull 論證 Argumentationbull 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別不同型態數學論證的發展和評量對於啟思靈感的掌握( 這可不可能發生為什麼 ) 以及產生及陳述數學論證

能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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能力 (the competencies)

bull 溝通 Communicationbull 包含以多種方式表達數學事件的個人想法透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述

能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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能力 (the competencies)

bull 建模 Modellingbull 包含針對特定的場域和情境的結構將真實轉化成數學結構確認模式針對某一個模式進行反思分析和提供批判溝通模式及其結果 ( 包含此結果的限制 )監控及控制建模的歷程

能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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能力 (the competencies)

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含符號和形式語言的解碼和詮釋以及理解其和自然語言的關係從自然語言轉化成符號和形式語言處理包含符號和公式的陳述運用變項解決方程式和計算

能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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能力 (the competencies)

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含能了解能運用各種有助於數學活動的輔助工具 ( 包含資訊科技工具 ) 並且知道這些工具的限制

能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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能力 (the competencies)

bull 表徵 Representationbull 包含解碼和編碼轉化解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵不同表徵間的內部關係根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整

能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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能力 (the competencies)

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含各種數學問題的擬定形成和定義並以各種方式解決不同型態的數學問題

能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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能力群組 (competency clusters)

bull PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動可以統整成三個能力群組 (competency clusters) 稱為

bull 複製 (reproduction) bull 連結 (connection) bull 反思 (reflection)

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(1)複製群組 reproduction cluster

bull 此能力群組基本上包含習過知識的複製一般而言他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 如事實一般問題表徵的知識等值的辨識熟悉數學物件以及特性的再蒐集例行程序的比現標準算則及技術性技巧的應用在標準的型態中操弄概念完備的符號以及計算的進行bull 思考及推理 Thinking and Reasoningbull 包含擬定最基本的問題 ( 有多少hellip ) 以及理解答案的可行性區辨定義和說法之間的差異了解和處理啟蒙學習 (第一次接觸時 ) 的數學概念

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(1)複製群組 reproduction cluster

bull 論證 Argumentationbull 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷此數量歷程包含計算過程陳述和結果bull 溝通 Communicationbull 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質列出算式和結果通常不會超過一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(1)複製群組 reproduction cluster

bull 建模 Modellingbull 包含辨識重組建立及開發一個結構良好熟悉的模式在模式 ( 及其結果 ) 及真實之間進行詮釋以及根據模式的結果進行基本的溝通bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題以標準的取向和程序解決此類問題通常僅有一種方式

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(1)複製群組 reproduction cluster

bull 表徵 Representationbull 包含熟悉數學物件的解碼編碼和權勢熟悉的以練習過的表徵倘如涉及表徵的轉化則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份

(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 99
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(1)複製群組 reproduction cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋處理包含符號的以及公式的敘述在例行程序中運用變項解方程式和使用計算機bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 能理解和能使用熟悉的輔助工具

bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 解方程式 7x-3=13x+15

bull 712814159 的平均數是多少

bull 1000元存進銀行年利率是 4 一年後全部領回多少錢

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
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• Harder than Expected (3)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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M438 外銷出口

下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊這個國家的貨幣名稱為zeds

年

1996年-2000年 Zedland年度外銷總額 (單位百萬 zeds)

2000年 Zedland外銷物品分配圖

肉類

棉紡織品 其它

其它 茶葉

其它 米 其它

果汁 其它 菸草 其

它

羊毛

(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(2) 連結群組 connection cluster bull 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上在此問題解決不是例行的但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境這些能力如下 bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含了擬題 ( 我如何發現包含了哪一個數學概念hellip ) 以及了解答案 ( 以統計圖表圖示代數等方式提供 ) 的對應意涵區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理

(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(2) 連結群組 connection cluster bull 論證 Argumentationbull 包含了簡單的數學推理而不用區辨證明與證明論證和推理之間的差異不同型態的數學論證的繼續完成掌握啟思的靈感 ( 如 ldquo什麼可能發生或不發生rdquo或ldquo如果是這樣理由為何rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo )

(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(2) 連結群組 connection cluster bull 溝通 Communicationbull 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法從複製較熟悉物件的命名以及基本特性以及解釋計算和其結果 ( 通常不只一種方式 ) 到解釋包含關係的事件它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

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七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構不會太複雜但絕不是學生所慣常且熟悉的結構它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面

(2) 連結群組 connection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決 ) 以及更多較獨立的問題解決歷程需在不同的數學領域及表徵和溝通 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 型態之間進行連結

(2) 連結群組 connection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
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• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨 bull 運用符號形式化及科技的語言及運算

Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等

(2) 連結群組 connection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同bull 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas) 或者從不同的數學課程主題或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據

bull 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞統整連結以及習得教材的初步延伸

(2) 連結群組 connection cluster

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 82
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• Slide 84
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
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• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull 問題示例bull 小莉家離學校 2 公里而小丁是 5 公里請問小莉家和小丁家的距離有多遠

bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 問題示例bull 以下是某個國家日報上的兩則廣告幣制是以

zeds 為單位A 大樓

辦公室出租58-95 平方公尺每個月 475zeds100-120 平方公尺每個月 800zeds

B 大樓辦公室出租35-260 平方公尺每年每平方公尺90zeds

bull 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個 110 平方公尺的辦公室要租 A 或 B 哪一棟大樓的租金較便宜請呈現你的想法

問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題示例bull 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩較小的披薩直徑為 30 公分定價 30元較大的披薩直徑為 40 公分定價 40元bull 問題 1 哪種披薩比較划算請寫出你的理由

(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

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七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(3)反思群組 reflection cluster bull 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness) 這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關相對於連結群組反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」 ( 或者非熟悉 )

(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(3)反思群組 reflection cluster bull 思考及推理 Thinking and Reasoning

bull 包含擬題 ( ldquo 我如何找出 rdquo ldquo哪些數學涵括在 rdquo ldquo什麼是問題情境中必要的層面hellip rdquo) 並且理解對應的答案 ( 如以統計圖表代數圖示關鍵點的標示等等 )區辨特定案例的定義理論臆測假設以及說法的差別並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔理解並且楚給定數學概念的範圍和限制並且將答案進行類推

(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
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• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (3)
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• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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(3)反思群組 reflection cluster bull 論證 Argumentationbull 論證涵括簡單的數學推理包含區辨證明和論證證明和推理的差異能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證並且能夠運用啟思法 (eg ldquo什麼可能或不可能發生rdquo ldquo 我知道什麼以及我想要得到什麼rdquo ldquo哪一個特性是必要的rdquo ldquo 這些物件如何相關rdquo )

bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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bull 溝通 Communicationbull 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定以及詮釋計算及其結果 ( 通常以一種以上的方式進行之 ) 來解釋事件包含複雜的關係如邏輯關係它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達

(3)反思群組 reflection cluster

bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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bull 建模 Modellingbull 包含將想要建模的場景或者情境結構化在賣絡中將真實轉化成為數學結構此數學結構可能較為複雜而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異它也包含模式及真實之間的來回解釋包含模式結果的溝通層面蒐集資訊和資料監控建模的歷程以及確認導致的模式它也包含針對各個模式或者建模進行分析提供批判以及投入較複雜的溝通

(3)反思群組 reflection cluster

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

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七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• Slide 57
• Slide 58
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 82
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull 擬題及解題 Problem posing and solving

bull 包含問題擬定和形成 (遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題 ) 解決此類問題時除了運用標準化取向及程序同時也以更為原始的問題解決歷程其中需在不同領域和表徵和溝通型態 (略圖統計圖表圖示文字和照片 ) 中進行連結它也包含對於策略和解法的反思

(3)反思群組 reflection cluster

bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
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• (3)反思群組reflection cluster (5)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Harder than Expected (6)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 表徵 Representationbull 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼編碼以及詮釋數學物件不同表徵之間的選擇和轉換以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨甚者它包含有創意的結合表徵以及非標準化表徵的發明

(3)反思群組 reflection cluster

bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
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• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
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• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 運用符號形式化及科技的語言及運算 Using symbolic formal and technical language and operations

bull 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語言的解碼和詮釋以及處理包含符號和公式的陳述和說法包含運用變項解決方程式以及運用計算等它也包含以不熟悉的符號或形式語言來處理複雜的陳述和敘述並且能理解這些語言和自然語言的差異並進行轉化

(3)反思群組 reflection cluster

bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 使用輔助工具 Use of aids and toolsbull 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉的輔助工具此種方式和學習及練習的方式不太相同它也包含知曉這些輔助工具的限制bull 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵描述來表達進階的推理(advanced reasoning) 論證(argumentation) 抽象化( abstraction) 一般化(generalization) 以及應用在新脈絡的建模 ( modeling)

(3)反思群組 reflection cluster

M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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M479學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1學生身高 某一天的數學課上所有學生都測量了身高男生平均身高 160公分女生平均身高 150公分艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180公分丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130公分 那天上課有兩位學生缺席但隔天他們都有在課堂上再測量他們的身高並重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變 從這些訊息可以獲得下列何種推論 每一個推論後面圈出 ldquo是rdquo或ldquo否rdquo

推論 是否可獲得這個推論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

丹尼克仍是最矮的 是否

M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
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• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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M523燈塔

燈塔是一座頂端有燈的塔當船隻要靠岸的時候燈塔在 夜間可以幫助船找到他們的路燈塔以有規律的方式發出光亮 每座燈塔有它自己的週期下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期 燈號的亮和暗交錯形成一定的規律

這是一個規律一段時間後規律會再次重覆在開始重覆之前的一個完整規律循環所用的時間稱之為週期當你找出一個規律的週期便很容易延伸上圖來找出下一個或者數分鐘甚至數小時後燈塔的亮暗情形

bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

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應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

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七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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bull 問題 1 燈塔下列哪一個是這個燈塔亮暗的週期A 2秒B 3秒C 5秒D 12秒

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

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應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• Slide 32
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 3燈塔 在下圖中畫出一個燈塔的規律這個燈塔每一分鐘發出亮光 30秒亮光規律的週期為六秒鐘

bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 以複製能力群組而言該作業的試題都相當雷同基本上需要實作知識的複製

bull 而以連結能力群組而言問題不是簡單的例行性問題包含了某種程度的雷同或者延伸情境在相似性之外有小幅度的進展

bull 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞察及反思通常需要學生針對他們結果進行解釋或者證明

2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
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• (3)反思群組reflection cluster (5)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Harder than Expected (6)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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2012 數學素養的定義個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

個體在不同情境脈絡中運用形成(formulate) 應用 (employ) 以及詮釋(interpret) 數學的能力其包含數學推理數學概念程序事實以及工具的使用來描述解釋和預測數學現象數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色並且能做出具建設性投入性及反思能力公民所需具備的周延根據的判斷和決策

情境脈絡 數學歷程 內容領域

數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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數學模式

61

應用驗證結果詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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數學歷程

62

應用驗證結果

詮釋

形成

數學結果

情境脈絡問題 數學問題

情境脈絡結果

真實世界 數學世界

1 界定應用或使用數學的機會2 將問題從現實世界中轉換到數學領域3 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理提供數學結構與表徵以及確認變項與簡化假設以解決問題

1 「應用」數學概念事實程序推理與工具2 執行計算操弄代數式方程式或其他數學模式分析數學圖表的訊息發展數學的描述與解釋以及使用數學工具來解決問題3 依據問題情境的模式來執行調整建立規律找出連結並產生數學論證

1 「詮釋」應用以及評鑑數學結果對數學的解法及結果進行反思與詮釋2 評估與問題情境有關的數學解法或推理並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義3 解釋論證同時反思其建模歷程與結果

溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

63

七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
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• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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溝通 讀取或了解問題中有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫

數學化 將現實世界的問題轉化為數學形式表徵 以方程式公式圖形表格或文字描述情境的數學特徵

推理與論證 運用邏輯思維過程來使情境意義化解釋辯護或提供證明所選用的表徵

制定解題策略 選擇或制定策略解決問題運用符號形式化

數學術語和運算 使用合適的變項符號圖表與模式

使用數學工具 使用測量工具計算機試算表圖形顯示器或電腦

基本數學能力

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七項數學能力

形成應用

詮釋驗證

M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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M161 三角形問題 1 三角形根據下面敘述圈出適合的三角形

三角形 PQR 是一個直角三角形且直角為 R 線段比線段短 M 為線段的中點且 N 為線段的中點 S 是三角形內部的一個點線段比線段長

形成

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

應用

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

形成

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

應用

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 80
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• Slide 82
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

形成

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

應用

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

詮釋

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

詮釋

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
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• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

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歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

形成

78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

79

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
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• (2)連結群組connection cluster (5)
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
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• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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78

歷程能力 形成數學情境 應用數學概念事

實程序與推理詮釋應用與評估

數學結果

數學化

hellip 當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力hellip 辨識情境是清楚明確的或是有假設變項間的關係與限制hellip

hellip 將現實世界的問題轉化為數學形式hellip 解釋與問題情境有關的數學解法或數學模式

hellip 將數學模式和解 法 與 原 問 題做聯結hellip 詮釋並評估數學 結 果可能涉及的影響hellip 根據情境判斷或 決定數 學 結 果如 何被調整或應用

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• Slide 57
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
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• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

溝通(Communication)

溝通的接收面是很重要的個體察覺到挑戰的存在並去認識與理解問題情境讀取解碼以及有意義的陳述問題任務對象圖像或動畫 ( 在電腦化評量中 ) 使個體能形成情境的思維模式這是理解澄清並形成數學問題的重要步驟

當一個試題聚焦在應用數學概念事實程序與推理個體需要能夠閱讀並理解試題所提供的刺激如果一部分的刺激能夠視覺化表示就必須與試題情境脈絡中的資訊相連結接著提出解法或是能達到解決方案的工作

一旦個體解釋或評估數學解法的合理性他 她就可能會將此解法解釋或論證給其他人這涉及到在問題情境脈絡中溝通並建構解釋與論證並反思解法被證明或推翻的可能性同時也可能涉及識別與批判解題模式或是數學解法的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 90
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• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Slide 104
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

數學化(Mathematising)

數學化是將現實世界的問題轉化為數學形式當個體需要直接將情境轉化為數學時就需要數學化的能力 ( 例如建構或構思相關的情況或是識別與選擇相關變項 ) 在情境是清楚而明確的或是有許多假設變項關係與限制需要被界定時數學模式的建立便因應而生

此歷程著重在將現實世界的問題轉化為數學形式或者解釋一個與問題情境脈絡有關的數學解法或數學模式如果作業或問題是以數學形式表示個體只需應用數學概念事實或程序就不涉及數學化的能力問題若是特別強調此歷程則在構思數學問題或是解釋問題解法上仍需某些程度的數學化

數學化不僅要將現實世界的問題轉化為數學形式同時也要此數學模式或數學解法與原來問題進行關聯詮釋並評估數學結果可能涉及將現實世界的影響納入考量同時根據情境判斷決定結果應如何被調整或應用個體在應用解法至真實世界時需了解數學解法的範圍與限制 80

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

表徵(Representation )

個體面臨現實世界的問題與挑戰時需要將問題以數學表示因此需要選擇或擬訂數學表徵如方程式公式圖形表格文字敘述等具體數學素材以捕捉或描述情境脈絡的數學特徵

個體在應用數學概念事實程序與推理來解決問題時可能會運用一系列的數學表徵其中包括方程式公式圖形表格文字敘述等

數學結果可能會有多種形式包括方程式公式或圖形表徵個體可能需要去解釋結果與情境間的關係或是去使用比較或評估兩個或多個表徵與情境間的關係不同的個體可能會使用不同的表徵來解釋或證明數學解法以及限制81

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
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• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

推理與論證(Reasoning amp argument)

個體需要運用邏輯思維過程來使情境意義化並決定如何表徵情境才是最好的同時個體也可能需要對其所選擇的表徵提供解釋辯護或證明

個體需要運用邏輯思維來確定何種概念事實與程序可用來解決問題同時個體也可能需要對其所選擇的歷程與程序去解釋辯護或提供證明推理可能涉及到如何連接不同的訊息以達到一個解決方法分析訊息以成立一個多步驟的論證建立數個變項之間的連結根據連結的訊息資源來推理或是概括並結合多個訊息

在數學結果的詮釋應用與評估歷程中個體能夠清楚且邏輯地思考數學結果與問題情境脈絡之間的關係推理與論證都是個體用來反思數學解法並創造解釋與論點來支持或反駁一個情境化問題的數學解法

82

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
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• 數學歷程
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

制定解題策略(Devising strategies for solving problems )

確認問題的存在並解決擬定代表情境的數學表徵個體需要制定一個策略來決定問題的解法即使他們沒有實際解決問題這種能力的特點在於選擇或制定一個使用數學的計畫或策略解決來自任務或情境脈絡中的問題

在建立一個數學問題的解法時個體需要進行一個系統性的歷程來確定未知訊息並決定合適的策略來達成數學解法結論或概括他們可能還需要進行一個多步驟的程序來有效且持續地控制此機制

個體在解釋應用與評估數學結果時可能需要擬訂策略來引導出解釋評估與驗證情境問題的數學解法他們需要根據來自試題情境脈絡的不同情境或限制制定一個系統化的歷程來評估解法

83

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

84

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
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• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用符號形式化以及科技的語言及其運算 (Using symbolic formal and technical language and operations )

當針對問題情境進行轉化或提供數學結構時個體需要使用合適的變項符號圖表與模式重要的是個體需了解問題的語言與形式上或符號上的語言之間的關係

確定數學解法後個體需要去理解操弄與使用符號表達如算術與代數同時也需要去了解並利用定義規則所建立的架構符號形式技術語言與操作的活動包括執行基本算術運算應用並操作數學符號或函數關係以及使用數學規則定義與程序

在解釋應用與評估數學結果時個體需了解與數學解法的變項符號與圖表重要的是因為理解問題情境脈絡與數學解法表徵之間的關係因此他們可以有意義且合適地去詮釋情境脈絡中的解法並衡量其可行性與可能的限制

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歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

歷程能力

形成數學情境 應用數學概念事實程序與推理

詮釋應用與評估數學結果

運用數學工具(Using mathematical tools)

在某些情境下可能是指特定的數學工具如測量工具圖形計算器或試算表這些工具在確認數學結構以及描繪數學關係相當有幫助

數學工具如測量工具計算機與電腦化工具將可更廣泛地使用此能力包括了解並能夠使用各種工具來協助歷程與程序的進行以確認數學解法同時也涉及了是否理解工具使用的適當時機與侷限性

數學工具特別是計算機與電腦化工具對於想要試圖確定一個數學解法之合理性及限制的個體來說是相當寶貴的輔助工具

85

試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (2)連結群組connection cluster (4)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
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• Harder than Expected (2)
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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試題表現

從困難的題目談起

Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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Harder than Expected

bull 多個不同時間點圖表的呈現學生對於資料改變的報讀解讀bull 統計

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
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• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
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• Slide 92
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Harder than Expected

bull 一組評定的運動技能分數 ( 例如溜冰跳水 ) 在已知的計算規則下計算一次表現的得分bull 數量

bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
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• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
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• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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bull M704 年度風雲汽車bull 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑最高總分的汽車將給予ldquo年度風雲汽車rdquo 的獎賞以下有五種新車參與評鑑它們的各項得分如下表所示

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下3 分 =極佳2 分 =良好1 分 =尚可接受

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 1 年度風雲汽車bull 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分bull 總分 = ( 3 times S )+ F + E + Tbull 請你計算ldquo Cardquo車子的加權總分把答案寫在下面的空白處bull ldquoCardquo車子的總分rdquo

問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
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• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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問題 2 年度風雲汽車bull ldquoCardquo車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的bull 請寫出一個可以使 ldquo Cardquo車子是贏家的計算加權總分公式bull 你的公式必須包含了全部四個變項請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式bull 總分 =___timesS +___timesF +___timesE +___timesT

bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
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• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull M537 心跳bull 為了健康的理由人們應該控制他們的活動量例如運動時才不會超出特定的心跳頻率範圍bull 數年來個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式bull 最大心跳速率 = 220 - 年齡bull 最近研究顯示這個公式應略為修正新的公式如下bull 最大心跳速率 = 208 - ( 07 times 年齡 )

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 1 心跳bull 某家報紙報導「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果年輕人的數據略為減少而老年人略為增加」bull 請問使用新公式推算從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加

問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
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• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
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• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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問題 2 心跳bull 推算最大心跳速率的公式 208 - ( 07 times 年齡 ) 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的研究指出當心跳是最大心跳速率的 80 時此時體能訓練最有效bull 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Harder than Expected

bull 給定一個圖形判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 ( 或不可能圖形 ) bull 組型幾何

Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• Slide 57
• Slide 58
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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Harder than Expected

bull 給定一組跑步時間判斷第幾快者bull 數量

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
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• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull M432 反應時間bull 在一個短跑競賽的事件裡「反應時間」是指鳴槍後bull 到運動員開始起跑的時間「最後時間」包含了反應時間bull 和起跑後到終點的跑步時間

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• Slide 57
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 68
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• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0147 1009 2 0136 999 3 0197 987 4 0180 沒跑完

5 0210 1017 6 0216 1004 7 0174 1008 8 0193 1013

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 1 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌銀牌銅牌並依照金銀銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
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• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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問題 2 反應時間bull 目前為止沒有人能夠在短於鳴槍後的

0110秒內開始起跑bull 如果跑者被記錄的反應時間少於 0110秒那必須考量跑者的起跑有問題因為跑者一定在聽見槍響前就起跑bull 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間他是否會有機會獲得銀牌 請寫出一個理由來解釋你的答案

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Harder than Expected

bull 給定一個公式例如煞車距離因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 71
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• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull M215 刹車bull 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和bull 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )bull 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )bull 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 (一個特別靈敏的司機正常的煞車系統和輪胎以及乾燥且平整的路面 ) 停止距離如何受到行車速度快慢的影響

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

其中 KPH 是指 公里 小時

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 67
• Slide 68
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• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 1 煞車bull 若車子的速度為 110 kph 則司機反應時間的距離為多少問題 2 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則車子完全停止所需距離是多少問題 3 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則完全停住需要多少時間

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 4 煞車bull 若車子速度為 110 kph 則踩煞車後所移動的距離為何問題 5 煞車bull 第二位司機在良好的情況下完全停止所需距離為 707米則踩煞車前的行駛速度是多少

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• Slide 58
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Harder than Expected

bull 給定兩個圖表 ( 可能單位略有不同 ) 進行兩個統計圖表的整合bull 進行數量的計算bull 統計圖表

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull M525 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變下圖顯示幾個國家在 1990年 (白色長條 ) 和 1998年

(黑色長條 )二氧化碳的排放量以及在 1990年到 1998年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 )

問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
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• (2)連結群組connection cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
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• M266 木匠 問題 1 木匠
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問題 1 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 上圖中可以看出美國從 1990年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11 bull 寫出計算過程說明 11是如何知道的

問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
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• 能力(the competencies) (2)
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• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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問題 2 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟分析圖表後指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤「德國減少的百分比 (16) 大於整個歐洲所減少的百分比

(4) 這是不可能的因為德國是歐洲的一部分」bull 你同意佩娟的說法嗎給一個解釋來說明你的答案

問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
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• Slide 68
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• Slide 70
• Slide 71
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 80
• Slide 81
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 92
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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問題 3 減少二氧化碳 (CO2)濃度bull 佩娟和伯凱討論哪一個國家 ( 或地區 )二氧化碳的排放量增加最多bull 兩個人從上圖產生不同的結論bull 根據這個問題提出兩種「正確」答案並且解釋你如何得到這些答案

Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
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• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
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• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (7)
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Harder than Expected

bull 規則的判讀和推演

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull M480 依據面積大小來支付bull 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額bull 例如住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
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• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• Slide 58
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 1 依據面積大小來支付判斷以下的敘述並圈出正確或不正確

敘述 正確不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢比住家面積最小的居民更多 正確不正確

如果已知兩個住家的面積和其中一個住家所需付的金額我們可以計算另一個住家所需付的金額 正確不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額則可算出大樓的總面積 正確不正確

假如大樓的總價減少 10那麼每個住家可以減少支付10 正確不正確

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 2 依據面積大小來支付bull 大樓中有三個住家最大的住家面積有 95平方公尺住家二和住家三的面積分別為

85 及 70平方公尺已知大樓的總價是30000 zeds

bull 問住家二的居民應該支付多少錢寫出你的計算過程

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Harder than Expected

bull 幾何圖形的視角判斷

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 71
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 109
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull M535 旋轉的建築bull 在現代的建築風格中建築物通常會有不規則的形狀下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計下圖指針的指向是建築物的方向

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

建築物的一樓包含了主要的入口和商店在一樓之上還有另外 20層的公寓每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似但每一層之間的方向都有一些差異圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台

問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
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• (2)連結群組connection cluster (5)
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• Slide 42
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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問題 1 旋轉的建築bull 以公尺為單位請估算建築物的總高度並解釋你如何得到答案

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

下圖是這座建築物的側面圖

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
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• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
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• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 2 旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的bull A 從北邊bull B 從西邊bull C 從東邊bull D 從南邊

問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
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問題 3 旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的bull A 從西北bull B 從東北bull C 從西南bull D 從東南

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
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• (3)反思群組reflection cluster (9)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
• Slide 145

問題 4 旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角下圖是一樓的平面圖

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖並顯示此層樓相對於一樓的位置

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
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• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
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• (2)連結群組connection cluster
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• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
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• Slide 54
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• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

試題表現

簡單的題目hellip

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
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• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Easier than Expected

bull 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變bull 函數圖形

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
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• (2)連結群組connection cluster
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• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
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• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

M465水箱問題 1 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 68
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• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 81
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化

bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
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• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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bull 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離以及比較不同路線的差異 ( 例如跑 400 公尺時要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• （2）空間與形狀
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• （4）不確定性
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• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• (1)複製群組reproduction cluster
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• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
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• Easier than Expected (3)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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bull 平均數的算法例如身高的平均結論的可能性判讀

Easier than Expected

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
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• 能力(the competencies) (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• 數學模式
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• 基本數學能力
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
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• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

M479 學生身高bull 問題 1 學生身高bull 某天數學課所有的學生都量了身高男生平均身高為 160 公分女生平均身高為 150 公分慧倫是最高的 ---她的身高為 180 公分忠義是最矮的 ---他的身高為 130 公分bull 那天有兩位學生缺席但隔天他們都來上課了他們也量了身高並且重新計算平均身高令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變bull 從這個訊息可以得到下列何種結論

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
• Slide 104
• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

判斷每一種結論並圈出 ldquo rdquo ldquo rdquo是 或 否

結論 是否可以得到結論

兩位學生都是女生 是否

一個學生是男生另一個是女生 是否

兩個學生有相同的身高 是否

所以學生的平均高度沒有改變 是否

忠義仍是最矮的 是否

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• Slide 44
• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
• Slide 90
• Slide 91
• Slide 92
• Slide 93
• Slide 94
• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
• Slide 98
• Slide 99
• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
• Slide 103
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

bull 簡單機率事件的計算bull 擲銅板骰子hellip

Easier than Expected

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster
• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
• (1)複製群組reproduction cluster (4)
• Slide 30
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
• (2)連結群組connection cluster (3)
• (2)連結群組connection cluster (4)
• (2)連結群組connection cluster (5)
• (2)連結群組connection cluster (6)
• (2)連結群組connection cluster (7)
• Slide 42
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
• (3)反思群組reflection cluster (3)
• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71
• Slide 72
• Slide 73
• Slide 74
• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
• Slide 82
• Slide 83
• Slide 84
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Slide 105
• Harder than Expected (6)
• Slide 107
• Slide 108
• Slide 109
• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

M471 公平的轉盤 問題 1 公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
• Slide 81
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• Slide 84
• Slide 85
• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
• Slide 97
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 110
• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品小書想玩一次這個遊戲請問小書得到獎品的可能性為何bull A 不可能bull B 不太可能bull C 大約 50 的可能bull D 非常有可能bull E 一定可以

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

Easier than Expected

bull 在生活情境中找出數量的規律並進行常見公式的推導bull 如頻率與溫度的共變華氏與攝氏溫度的轉換

M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 71
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• Slide 83
• Slide 84
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
• Slide 89
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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M136 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹在下圖裡你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) 和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律

問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
• 能力(the competencies) (7)
• 能力(the competencies) (8)
• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (1)複製群組reproduction cluster (2)
• (1)複製群組reproduction cluster (3)
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• (2)連結群組connection cluster
• (2)連結群組connection cluster (2)
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• (2)連結群組connection cluster (4)
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• (3)反思群組reflection cluster (4)
• (3)反思群組reflection cluster (5)
• (3)反思群組reflection cluster (6)
• (3)反思群組reflection cluster (7)
• (3)反思群組reflection cluster (8)
• (3)反思群組reflection cluster (9)
• Slide 54
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
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• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
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問題 1 蘋果 完成下表

n 蘋果樹個數 針葉樹個數 1 1 8 2 4 3 4 5

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• 能力(the competencies) (4)
• 能力(the competencies) (5)
• 能力(the competencies) (6)
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• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

問題 2 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律蘋果樹的數量 = n2

針葉樹的數量 = 8nn 代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時蘋果樹數量會等於針葉樹數量找出 n 值並寫出你的計算方法

bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
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• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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bull 問題 3 蘋果bull 若農夫想要種更多列做一個更大的果園當農夫將果園擴大時那一種樹會增加得比較快是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量解釋你的想法

Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
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• （4）不確定性
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• 2003數學素養
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• 能力(the competencies)
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• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (7)
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Easier than Expected

bull 給定三角形的兩邊判斷第三邊的範圍

Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• Harder than Expected (5)
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• Harder than Expected (6)
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• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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Easier than Expected

bull 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形並計算每個正方形的面積

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
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• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
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• 2003數學素養
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• 數學領域的組織
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• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• Harder than Expected (3)
• Harder than Expected (4)
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• Slide 100
• Harder than Expected (5)
• Slide 102
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• Harder than Expected (6)
• Slide 107
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• Slide 111
• Harder than Expected (7)
• Slide 113
• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
• Slide 118
• Slide 119
• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
• Slide 122
• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
• Slide 131
• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
• Slide 137
• Slide 138
• Slide 139
• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
• Slide 143
• 結語
• Slide 145

M266 木匠問題 1 木匠

木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界 他考慮將花圃設計成以下的造型

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

• Slide 1
• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
• （2）空間與形狀 (2)
• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
• 能力(the competencies)
• 能力(the competencies) (2)
• 能力(the competencies) (3)
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• 能力群組(competency clusters)
• (1)複製群組reproduction cluster
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• (2)連結群組connection cluster
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• (3)反思群組reflection cluster
• (3)反思群組reflection cluster (2)
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• Slide 59
• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
• Slide 65
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• Slide 71
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• Slide 75
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
• Slide 78
• Slide 79
• Slide 80
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 結語
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上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成在下表中圈出是或否

花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是否 設計 B 是否 設計 C 是否 設計 D 是否

結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

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• (1)複製群組reproduction cluster
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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
• Harder than Expected
• Harder than Expected (2)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
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• Harder than Expected (8)
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
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• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
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• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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結語bull 從情境的訴求對台灣學生而言有一定的熟悉度bull 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力之處bull 推理溝通論證將是我們追求的重要方向bull 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰

145

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• 2012數學素養的定義
• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 試題表現
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• Harder than Expected (7)
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• 問題1依據面積大小來支付 判斷以下的敘述並圈出正確或不正確
• Slide 115
• Harder than Expected (8)
• Slide 117
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• 下圖是這座建築物的側面圖
• Slide 121
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
• Easier than Expected (3)
• Slide 130
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• Easier than Expected (4)
• M471公平的轉盤 問題1公平的轉盤 轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行如果指針箭頭停在奇數的位置那麼玩的人可以從袋
• Slide 134
• Easier than Expected (5)
• M136 蘋果 一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園為了保護蘋果樹不怕風吹他在蘋果樹的周圍種針葉樹 在下圖裡你可以看到農
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• Easier than Expected (6)
• Easier than Expected (7)
• M266 木匠 問題 1 木匠
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• 情境脈絡
• 內容領域
• （1）改變和關係
• （1）改變和關係 (2)
• （2）空間與形狀
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• （3）數量
• （3）數量 (2)
• （4）不確定性
• （4）不確定性 (2)
• 評量15歲學生數學素養之內容主題
• 2003數學素養
• PISA數學素養的理論基礎
• 數學領域的組織
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• 數學模式
• 數學歷程
• 基本數學能力
• M161 三角形 問題 1 三角形 根據下面敘述圈出適合的三角形 三角形PQR是一個直角三角形且直角為R線段
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• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化
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• 下圖是這座建築物的側面圖
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• 問題4旋轉的建築 每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的ldquo旋轉rdquo頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方向互為直角下圖是一樓的
• 試題表現 (2)
• Easier than Expected
• M465水箱 問題 1 水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示 一開始水箱是空的然後以每秒一公升的速度注水 (2)
• 下列哪個圖是水箱注水時水面高度隨時間的變化 (2)
• Easier than Expected (2)
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