příklady k přednášce 12 frekvenční metody - polyx · 2019. 3. 26. · michael Šebek...

Příklady k přednášce12 - Frekvenční metody

Michael ŠebekAutomatické řízení 2019

26-bře-19

Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Pro nesoudělný OL přenos platí:1) Je-li pól CL, pak

2) speciálně, je-li CL pól na mezi stability,

• Tedy uzavřená smyčka má pól na mezi stability, právě když Nyquistův graf otevřené smyčky prochází bodem -1

• Pozná se podobně i CL stabilita?

Frekvenční charakteristika OL a mez stability CL

Michael Šebek 2Pr-ARI-12-2013

( )( )1 ( )

L sT sL s

=+Cs∈

1−

s jω=

( )L s

1 ( ) 0 ( ) 1 1, ( ) 180( )L s L s L sL s+ = → = − → = ∠ =

1 ( ) 0 ( ) 1 1, ( ) 180( )L j L j L jL jω ω ωω+ = → = − → = ∠ =

( )L jω

10dB


Funkce komplexní proměnné • komplexní diferencovatelnost• Holomorfní = diferencovatelné (a tedy ∞-krát) na otevřené množině• Celistvá = všude holomorfní (např. polynom)• Meromorfní = holomorfní až na izolované póly (např. racionální funkce)

Věta - Princip argumentu: • Pro funkci f meromorfní uvnitř a na uzavřené orientované křivce C,

která na ní nemá nuly ani póly, zato má uvnitř Z nul a P pólů platí

• Integrál z tzv. logaritmické derivace vlevo je úměrný rozdílu mezi počtem nul a pólů funkce uvnitř C

• Souvisí s počtem obkroužení počátku grafem

Cauchyho princip argumentu – verze pro matematiky

Michael Šebek 3

1 ( )2 ( )C

f z dz Z Pj f zπ

′= −∫

( )f C

Pr-ARI-12-2017


Cauchyho princip argumentu – verze obrazová


11 ( )12 ( )

2C

f z dzj f z

Z Pπ

= −′

− = = −∫

1 ( )2 ( )C

f z dz Z Pj f zπ

′= −∫

C( )f C

výsledná křivka vložená

křivka

pól

nula

pól

(0,0)

f

Z = počet nul f uvnitř C = 1

P = počet pólů f uvnitř C = 2

N = počet obkroužení f (C) kolem počátku = -1


• Zobrazení křivky na křivku v komplexní rovině

Příklady

Michael Šebek 5

: ( )y xH Hx → =nula vně křivky

x y

pól vně křivkyx y

nula uvnitř křivky

x

y

pól uvnitř křivky

xy

nula a pól vně

xy

nula a pól uvnitř

xy

2 nuly uvnitř

xy

2 nuly a 1 pól uvnitř

xy Sledujte postavení

červené křivky vzhledem k zelenému „kritickému“ bodu

PAdemo.m

Pr-ARI-12-2013


• Do přenosu

• postupně (ve směru hod. ručiček) dosazujeme body na křivce

• Pro horní obrázek platí

• Jak se s0 posunuje, úhel se mění ale ani při celé otáčce se nezmění o 360 °, neboť každý z dílčích úhlů se nakonec vrátí do původní velikosti

• Jinak to je (dolní obr.), když nějaký pól leží uvnitř křivky: jeho úhel se po celé otáčce změní o -360° stejně i celý α proto graf hodnoto obkrouží počátek

• Podobně: je-li uvnitř nula, přispěje její úhel přírůstkem +360 °• Konečně, je-li uvnitř křivky více nul a/nebo pólů, jejich příspěvky celkovému

úhlu se sčítají (za každou nulu je to +360°, a za každý pól -360°)

Zobrazení křivky racionální funkcí

Michael Šebek 6

1 2

1 2

( )( )( )( )( )

s z s zH ss p s p− −

=− −

0

0 1 2 1 2

( )( ) ( )

jH s v v eH s

α

α θ θ φ φ= =

∠ = = + − +

Pr-ARI-12-2018

Re s

Im sC

1φ

2φ

1θ

2θ

[ ]Im ( )H s( )H s

1α [ ]Re ( )H s

( ) : ( )H s C H C→

Re s

Im sC

1φ 2φ

1θ

2θ

0s

0s[ ]Im ( )H s

( )H s

1α [ ]Re ( )H s

0s

0s


Re s

Im s

CC

1) Vložená křivka: Jako C vybereme křivku, která obkrouží celou pravou polorovinu ve směru hodin

• potom graf H(C) obkrouží 1x počátek H(s) má 1 pól nebo nulu v pravé polorovině

2) Funkce: Protože chceme použít zobrazení této křivkyv OL přenosu L(s) pro určení stability CL systému

• CL póly jsou nuly funkce• proto aplikujme princip argumentu na funkci

3) Posun: graf zobrazení křivky C funkcí H(s) , tj. H(C) , obkrouží počátek graf zobrazení křivky C funkcí , tj. L(C), obkrouží bod -1

• graf L(C) zobrazení křivky C funkcí L(s) je ale Nyquistův graf OL

Princip argumentu použitý v řízení

Michael Šebek 7

( )L s( )( )1 ( )

L sT sL s

=+

1 ( ) 0L s+ =

( ) 1 ( )H s L s= +

{ }: ( , )C jω ω= ∈ −∞ ∞

( ) ( ) 1L s H s= −

( ) 1 ( )H s L s= +

Pr-ARI-12-2018


4) Význam protože pro

tak platí nesoudělné• nuly H(s) jsou póly CL systému• póly H(s) jsou póly OL systému

• Shrnuto: Nyquistův graf otevřené smyčky obkrouží kritický bod -1 N = Z - P krát, kde

Z … počet ryze nestabilních CL pólů aP … počet ryze nestabilních OL pólů.

• Jinak řečeno:CL systém má Z = N + P ryze nestabilních pólů, kdeN … počet bodu -1 Nyquistovým grafem L(s) P … počet ryze nestabilních OL pólů.

• Pozn.: Obkroužení proti směru hodinových ručiček se počítají záporně

Princip argumentu použitý v řízení

Michael Šebek 8

( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) 1( ) ( )

n s m s n sH s L sm s m s

+= + = + =

Pr-ARI-12-2013

( )( )

n sm s


• Zřejmě je CL systém stabilní, právě když nemá žádné CL nestabilní póly, tedy právě když Z = 0 . Z toho plyne

• Nyquistovo kritérium stabilityCL systém je stabilní právě když P = -N

• kde -N je počet obkroužení Nyquistova grafu L(s) • a P je počet ryze nestabilních OL pólů.

• Zvláštní případem je stabilní L(s) , tedy OL stabilní systém

• Nyquistovo kritérium stability pro OL stabilní systémJe-li OL systém (tedy L(s) ) stabilní, pak je i CL systém stabilní právě když Nyquistův graf L(s) neobkrouží kritický bod -1

Nyquistovo kritérium stability



• když graf protne zápornou Re vícekrát, uvažujeme pro GM jen protnutí nejbližší bodu -1

• podobně, protne-li graf jednotkovou kružnici vícekrát, vezmeme jako PM „ta nejmenší“

• Např.

Vícenásobné případy GM a PM

Michael Šebek 10

GM =1.3

PM =37°

PM =37°

GM = 1.3 = 2 dB

L=85*(s+1)*(s^2+2*s+43.25)/s^2/(s^2+2*s+82)/(s^2+2*s+101)

Pr-ARI-12-2013


Vícenásobné případy GM a PM

Michael Šebek 11

( )( )

2

2

3

3

( 0.5403 0.17.9555 2( )

2

252)

(1 4.9511 7.3022)

s s

s

sL s

ss

− −=

− +−

+

Pr-ARI-12-2013


• Pro soustavu uvažme dva regulátory

• Pro zelený jsou všechny„okraje“ (GM i PM) lepší nebo stejné jako u modrého

• Přesto je zelený grafblíže kritickému bodunež modrý

• A při současné změně zesílení i fázebude jeho CL stabilita ohrožena dřív

Příklad

Michael Šebek 12

2( )2 1

sP ss−

=−

( ) 1K s =2

2

3.3 0.55 1.7 1.5 1( )3.3 1 0.55 1 1.5 1.7s s s sC s

s s s s+ + + +

=+ + + +

Pr-ARI-12-2013


• soustava 2. řádu s P regulátorema jednotkovou ZV

• CL char. pol. je stabilní pro každé

• pro je OL Nyquistův graf• pro rostoucí je to• ani při rostoucím

neobkrouží bod -1• ani se mu neblíží• N = 0 pro každé• proto je CL stabilní

pro každé• Totéž plyne z RL

Příklad: 2. řád

Michael Šebek 13

2

1( ) , ( ) ( )( 1)

G s L s KG ss

= =+

2 2( ) ( 1) 2 (1 )CLc s s K s s K= + + = + + +

K 2

1( 1)s +

K ↑

[ )0,K ∈ ∞

1, 2,3,K =

1K =

K →∞

0K >

0K >

Pr-ARI-12-2013


• Jak určit rozsah K , pro který je CL systém stabilnípřitom nekreslit mnoho různých grafů pro různá K ?

Řešení je jednoduché:• vydělíme OL přenos parametrem

a nakreslíme Nyquistův graf pro G(s)• pak místo kritického bodu -1 nakreslíme body -1/K v určitém rozsahu K,

což je jednodušší• pro zjištění CL stability uvažujeme počet obkroužení bodu -1/K• To je možné, protože graf G(s) obkrouží bod -1/K právě tolikrát, • kolikrát graf obkrouží bod -1Minulý příklad:

pro žádné kladné K neobkrouží grafbod -1/K, protože

Rozsah stabilizujících K

Michael Šebek 14

( )KG s

( ) ( )L s KG s=

( ) ( )L s KG s=

1 K− ( ) ( ): 10, ,0K K∈ − ∈∞ −∞

Pr-ARI-12-2013


• soustava je nestabilní

• CL je stabilní pro

Pro velká je • Protože teď ale je , tak • a CL je stabilní Pro malá je• Protože teď ale je , tak • a CL je nestabilní

Příklad: nestabilní soustava

Michael Šebek 15

K 1(0.1 1)

ss s

+−

1( )(0.1 1)

sG ss s

+=

−2( ) (0.1 1) ( 1) 0.1 ( 1)CLc s s s K s s K s K= − + + = + − +

1K =

1K =

1K >

0ω −=

0ω +=

ω = ∞

101

ω = ±−

1 sK−

1 lK−

1LK K= > 1N = −1P = 0Z N P= + =

1SK K= < 1N =1P = 2Z N P= + =

Pr-ARI-12-2013


• Používání OL frekvenční charakteristiky je jen pomůcka• Ve skutečnosti nás zajímá frekvenční charakteristika

uzavřené smyčky, která ukazuje chování výsledného zpětnovazebního systému

• Pro (výsledný) systém 2. řáduexistují jednoduché vzorečkypro vztah mezi přechodovým jevem a frek. Char.

• Zřejmě

• Derivováním podle můžeme odvodit

což platí pro , jinak špička není• Pozor: také se označuje jako

Rezonanční špička

Michael Šebek 16

2

2 2( )2

n

n n

T ss s

ωζω ω

=+ +

2

2 2 2 2 2 2( ) ( )

( ) 4n

n n

M T j ωω ωω ω ζ ω ω

= =− +

2ω

2

12 1

pMζ ζ

=−

21 2p nω ω ζ= −

2 2 0.707ζ ≤ ≈

abs

dB

0

20

20−

10

10.7

0.1

pM

log pω

( ) ( )M T jω ω=

p r TM M M= =[1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2]-1

Pr-ARI-12-2013


• Předchozí vzoreček platí jen pro neboť• pro větší tlumení špička neexistuje - neplést s překmitem, ten

neexistuje pro• Spojíme-li vzorec

se vzorcem pro překmit

dostaneme vztah mezišpičkou a překmitem

• Uvědomte si, že obecně

• ale pro malé ζ platí• takže je někdy pro malá tlumení pokládáme za rovné

Vztah mezi špičkou Mp a překmitem

Michael Šebek 17

21 (2 1 )pM ζ ζ= −

( )21 2p nω ω ζ= −

pM

1 2 0.707ζ ≤ ≅( )0.707ζ >

1ζ ≥

2 2

ln(%OS 100)ln (%OS 100)

ζπ−

=+

%OS

p nω ω≠p nω ω≈

pM

%OS

Pr-ARI-12-2013


• Představme si, že přenos uzavřené smyčky vznikl jednotkovou ZV z přenosu otevřené smyčky

• a vypočtěme z otevřené smyčky PM tak, že vyřešíme rovnici

• Řešením je

• Fáze L pro tuto frekvenci je

• A z toho je

PM a tlumení

Michael Šebek 18

2

( 2 )n

ns sωζω+

( )2 2

2 2( ) ( )2 2n n

n n n

L s T ss s s s

ω ωζω ζω ω

= ↔ =+ + +

2

2( ) 1

2n

n

L jjωω

ω ζω ω= =− +

2 42 1 4C nω ω ζ ζ= − + +

2 42 1 4( ) 90 arctan 90 arctan

2 2C

Cn

L jζ ζωω

ζω ζ− + +

∠ = − − = − −

( )2 42 1 4

( ) 180 90 arctan2CPM L j

ζ ζω

ζ− + +

= ∠ − − = −° °

2 4

2arctan2 1 4

PM ζ

ζ ζ=

− + +

Pr-ARI-12-2013


• vzorec

• Vyneseme do grafu, kde PM je ve stupních

Příklad: • Pro jaké PM

nemá CL frekvenční charakteristiky špičku?

• Je to pro

• Čemuž odpovídá

PM a tlumení

Michael Šebek 19

2 4

2arctan2 1 4

PM ζ

ζ ζ=

− + +

ς

PM °

1 2 0.707ζ > ≅

1.14 rad = 65.53PM ≥ °

Pr-ARI-12-2013


• Ze vztahu

• Plyne

• Tedy s rostoucím ζ poměr BW/ωnmonotónně klesá

• BW je přímo úměrné ωn

Šířka pásma pro systém 2. řádu

Michael Šebek 20

2

2 2 2 2 2 2

1( ) ( )2( ) 4

n

n n

M T j ωω ωω ω ζ ω ω

= = =− +

2 4 2(1 2 ) 4 4 2BW nBW ω ω ζ ζ ζ= = − + − +

Pr-ARI-12-2013


• Pro soustavu uvažme dva regulátory

• Pro zelený jsou všechny „okraje“ (GM i PM) lepší nebo stejné jako u modrého

• Přesto je zelený grafblíže kritickému bodunež modrý

• A při současné změně zesílení i fázebude jeho CL stabilita ohrožena dřív

Příklad

Michael Šebek 21

2( )2 1

sP ss−

=−

( ) 1K s =2

bad 2

2 1.7 1.5 1( )2 1 1.5 1.7s s sC ss s s+ + +

=+ + +

Pr-ARI-12-2013


• Přidáme-li k systému • nulu ve s = -1/T

• Změní se šířka pásma

• Složitý vztah, ale(až na malé hodnoty T) přidání nuly zvětšuje BW

Vliv přidání nuly

Michael Šebek 22ARI-01-2011

( )2 2

2 2( ) ( )2 2n n

n n n

L s T ss s s s

ω ωζω ζω ω

= ↔ =+ + +

( )( )

( )( )

2 2

2 221 1( ) ( )2 2

n n

n nn n

Ts TsL s T ss s s sTω ω

ζω ωζω ω+ += ↔ =

+ + ++

2 42 2 3 2 4 24

, 4 4 22

nn n n n

bBW b b T T

ωζ ω ζω ω ω

+= − + = + − −


• Přidáme-li k systému pól ve

• Vznikne systém 3. řádu, který může být i nestabilní

• Proje stabilní pro všechna Ta různé varianty jsou vykresleny

• Obecně systém s dalším pólem je• méně stabilní • a má menší BW

Vliv přidání pólu

Michael Šebek 23

( )( ) ( )( ) ( )2 2 2

2 3 2 2( ) ( )2 2 1 2 21 1

n n n

n n n n n n

L s T ss s s s Ts T s sTs Ts

ω ω ωζω ζω ω ζω ζω ω

= ↔ = =+ + + + + + ++ +

1, 0.707nω ζ= =

Pr-ARI-12-2013

1s T= −

příklady k přednášce 12 frekvenční metody - polyx · 2019. 3. 26. · michael Šebek...

Documents