příklady k přednášce 5 identifikace - polyx · 2020. 4. 29. · pr-ari-052015-automatické...

Příklady k přednášce5 - Identifikace

Michael ŠebekAutomatické řízení 2020

29.04.2020

Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Hledáme

• Aplikujeme

1. Změříme

2. Vypočteme

• Klasické názvosloví: faktor útlumu, časová konstantatzv. logaritmický dekrement útlumu

• Pro zajímavost dále platí

Jiná metoda pro 2. řád bez nul kmitavý

Michael Šebek 2

2

2 2( )2

n

n n

G s ks s

ωζω ω

=+ +

( )( ) uu ss∞

=

12 2 2

2

( ) 2, ln , ,( ) 4 1

n

d

Ayku A T

µ πµ ζ ωπ µ ζ

∞= = = =

∞ + −

1 2( ), , , dy A A T∞

µ1 2A A 0T

1 1

2

1 2ln ,,1

n dTn d

nd

d

A Ae TA An T

ζω πµ ωζω== =−

=

( )y ∞

( )y t

dT

1A2A

Pr-ARI-05-2015


• V limitě je závorka rovna nule, takže• Z definic je

• Při překmitu má závorka maximální hodnotu (tj. sin = -1), takže

• a z toho

Jiná metoda - odvození

Michael Šebek 3

( )2

22 2 2

( ) 1( ) ( ) ( ) 1 sin 12 1

ntnn

n n

uy s k y t ku e ts s s

ζωω ω ζ ϕζω ω ζ

− ∞

= ↔ = ∞ − − + + + −

( ) ( ) ( ) ( )y ku k y u∞ = ∞ → = ∞ ∞

( )

( )

1

1

1 12

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2ln1

4 44

n A

n d

n A d

tT

n dt T

A Ae e TA Ae

ζωζω

ζω

πµ ζω ζζµµ µ ζ π ζ µ π µ ζ ζ

π µ

−

− += = → = = =

−

− = → = + → =+

( )

1 1

1

1

1

1 2 2

2 2

1 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )1 1

1( ) ( ) ( )1

n A n A

n A d

t tA

t TA d

A y t ku ku e ku ku e

A y t T ku ku e

ζω ζω

ζω

ζ ζ

ζ

− −

− +

= − ∞ = ∞ + − ∞ = ∞

− −

= + − ∞ = ∞−

2 2

2 2 21 1

d nd n d

TT

π π πωω ω ζ ζ

= = → =− −

Pr-ARI-05-2015


• Pro aperiodické průběhy• Najdeme inflexní bod,

změříme (doba průtahu)a (doba „náběhu“)

• a vypočteme parametr

• Podle jeho velikosti aproximujeme průběh různými přenosy

Strejcova metoda identifikace

Michael Šebek 4

( )( )

( )

1 2

0.1 ( )1 1

0.1 ( )1 n

kG sT s T s

kG sTs

τ

τ

< → =+ +

≥ → =+

u

n

TT

τ =

nTuT

Pr-ARI-05-2015


Případ , kdy hledámeparametry přenosu

v těchto krocích

Strejcova metoda

Michael Šebek 5

( )

1 1

11 2

2 1 2

2

12

2

1 2

( )1)( )

2) : ( ) 0.72 ( )

3)1.2564

4) 0.35745) ( )

6)

7) ,

yku

t y t ytT T

t T Ty t

TT

T T

τ

∞=

∞= ∞

+ =

= +

=

y(t2) τ2 y(t2) τ20.30 0.000 0.22 0.1830.29 0.023 0.21 0.2190.28 0.043 0.20 0.2640.27 0.063 0.19 0.3220.26 0.084 0.18 0.4030.25 0.105 0.17 0.5380.24 0.128 0.16 1.0000.23 0.154

( )( )1 2

( )1 1

kG sT s T s

=+ +

0.1τ <

Pr-ARI-05-2015


Případ , kdy hledáme parametry přenosuv těchto krocích

1)

2) Skokovou odezvu normujeme na3) Sestrojíme tečnu v inflexním bodě a určíme4) Podle hodnoty určíme v tabulce nejbližší

vyšší řád n a přesnější souřadnici inflexního bodu

5) Z grafu určíme

6)

Strejcova metoda

Michael Šebek 6

( )( )

yku∞

=∞

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10τ 0.104 0.218 0.319 0.41 0.493 0.57 0.642 0.709 0.773yi 0.264 0.327 0.359 0.371 0.384 0.394 0.401 0.407 0.413

0.1τ ≥

: ( )i i it y t y=

( ) 1y ∞ =u

n

TT

τ =

iy

1itT

n=

−

( )( )

1 nkG s

Ts=

+

Pr-ARI-05-2015


Obecný pól plus integrátor

1. nakreslíme asymptotu v nekonečnu2. odečteme T3. odečteme τ a vypočteme

Obdobně pro složitější

1. k = směrnice asymptoty2. a platí

N-násobný pól plus integrátor bez nul

Michael Šebek 7

( )

( )( )asymptot

2

a

2

(

1

( )1

)

1

( )t T h t kh t kt kT kTe

k k Tk

t kT k

Tks Ts s s s

kG ss Ts

T

t T−=

= −

− = − =+

++ +

+

−

=

Tτ

kTτ

=

ARI-05-2018

( )( )

1 nkG s

s Ts=

+

T

( )h T

1( )( 1)!

nnh T ne

k n

−−=

−1 2 3 4 5

0.37 0.27 0.22 0.20 0.18( )h T k

n


• Monotónní hladká odezva (dobře funguje pro odezvy tvaru „S“)

• Odečteme ustálenou hodnotu a předpokládáme, že -α je nejpomalejší pól

• To je rovnice přímky: směrnice určuje αa průsečík s osou určuje A

• Umístíme-li ji na graf (nebo pro )

• A určíme konstanty α, a• Pak totéž opakujeme pro

Další detaily a vlastnosti na příkladových slajdech

Vyšší řád a nuly - nekmitavý případ

Michael Šebek 8

( ) ( ) t t ty t y Ae Be Ceα β γ− − −= ∞ + + + +

( )( ) ( )

ln ln ln( ) ( )ln

ty t y AeA t ey t yA t

α

αα

−− ∞ ≅≅ −− ∞≅ −

( )ln ( ) ( )y t y− ∞( )ln ( ) ( )y y t∞ − 0A <

( )( ) ( ) tty t Bey ae βα −−− ≅∞ +

α

1( )y t

ARI-05-2015

Pokud je(jako v prvním kroku a možná v některém z dalších), je .Pak postup modifikujeme

Zjistíme a přidáme znaménko „-“

( ) ( ) 0y t y− ∞ <

0A <

( )( ) ( )

ln ln( ) ( )

ty y t AeA ty y t

α

α

−∞ − − ≅ −≅ −∞ −

A


• Pokud je (jako v prvním kroku a možná v některém z dalších), je . Pak postup modifikujeme

Zjistíme a přidáme znaménko „-“• Místo výpočtu logaritmů je možno přímo kreslit na semilogaritmický papír

– ty bývají pro takže je lépe užít dekadický logaritmus.Pozor na

• Metoda je citlivá na nastavení přímek. • V rozumných případech (kvalitní data s málo šumem), dává dobrý fit odezvy• Což ale neznamená, že jsme dobře trefili časové konstanty

• Hezký příklad s ukázkou „numerických“ problémů je v učebniciFranklin-ed.6, s. 142, sekce 3.7

Další detaily k metodě „logaritmování“

Michael Šebek 9

α

1( )y t

( ) ( ) 0y t y− ∞ <0A <

( )( ) ( )

ln ln( ) ( )

ty y t AeA ty y t

α

α

−∞ − − ≅ −≅ −∞ −

A

10log10log ~ 0.4343e ≈

Pr-ARI-05-2015


Ustálené zesílení z frekvenční odezvy

Michael Šebek 10

pro přenos

je počáteční hodnota amplitudové charakteristiky

pokud není pól v 0, můžeme odměřit a vypočítat

20log ( )M ω

ω

0ω

20log

20log (0)

k

M=

0dB

( )( )

( )

( )

1( )

1

j ii i

k kk k

T s s zF s k K

T s s p

+ += =

+ +

∏ ∏∏ ∏

[ ][ ]

dB

dB

(0)

(0) 20log (0)

20log

M k

M M

k k

=

=

= =

Pr-ARI-07-2019

( ) ( )M F jω ω=

( )

( )0lim ( ) (0)

ii

sk

k

zF s F k K

p→= = =

∏∏


Bode 1. řád bez nul

11Michael Šebek

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

System: untitled1

Frequency (rad/s): 1

Magnitude (dB): -3.03

1T

1( )1

G sTs

=+


1. řád s nulou

12Michael Šebek

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-60

-30

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

1

1T2

1T 1

1T2

1T

1

2

11

T sT s

++

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

135

180P

hase

(deg

)Bode Diagram

Frequency (rad/s)

1

2

11

T sT s

−+


2. řád kmitavý bez nul

Michael Šebek 13ARI-05-2019

2

2

1 2

1 2

p n

pn

ω ω ζ

ωω

ζ

= − →

=−

2

2 22n

n ns sωζω ω+ +

10-1

100

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

From: In(1)

10-2

10-1

100

From: In(2)

Frequency (rad/s)

1nω =

,

,

, 2

2

2

12 1

11

2

p abs

p abs

p absM

MM

ζ ζ

ζ

=−

↓

−−

=

,2.55 0.2

p absM ζ= → =

2

2

1 2

1 2

p n

n p

ω ω ζ

ω ω ζ

= −

↓

= −

0.959 1p nω ω= → =

20,2

ζ

∈

2 ,12

ζ

∈

1( )2

12 ( ) 2

abs n

abs

abs n

M

dM

ωζ

ζω

= →

= =

převést z dB do absolutních

ARI-05-2019


2. řád přetlumený bez nul

14Michael Šebek

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nit

ud

e (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Ph

ase

(deg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

1

1T 2

1T

( )( )1 2

11 1T s T s+ +


1. Mezi 100-1000 rad/s amplituda klesá (Dorf ed.11- 8.3 s 517)cca -20 dB/dekádu,odhadujeme pól

2. Fáze strmě roste (+180°) aodhadujeme pár komplex. nul v

3. Směrnice amplitudy se vrací k 0,za tušíme další pól:Tento pól je na protože

a fáze je tam +45°4. Zakreslíme asymptoty na máme

5. Rozdíl hodnoty asymptot od skutečné 6. na „rohové frekvenci“

je 10dB, z toho

Příklad: Identifikace z frekvenční odezvy

Michael Šebek 15

3dB( 300)G j = −

1 300p =( 2540) 0jϕ = °

2450nω =

50,000ω =2 20,000p =

3dB( 20,000)G j = −

( )( )( )

2

1 2

2 1( )

1 1n ns s

G ss p s pω ζω+ +

=+ +

2450nω =0.16ζ =

Pr-ARI-05-2015


V kroku 5 vycházíme z převráceného grafupro rezonanční špičkupodle tlumení

komplexní póly komplexní nuly

Identifikace z frekvenční odezvy

Michael Šebek 16

[1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2]-1 [1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2]

Pr-ARI-05-2015


Tedy nám celkem vyšlo

kontrola:Po změně časového měřítka

Dostaneme „hezčí čísla“

Identifikace z frekvenční odezvy

Michael Šebek 17

( ) ( )( )( )2

2

2

12450 0,32 2450( )

300 1 20000 1

780 600000020000 6000000

ssG s

s s

ss s

s

+ +=

+ +

+ +=

+ +

6000000

6000000ts s

tτ

τ

=

=2

2

0.32 1( )8.2 1

ss

sG ssτ

+ +=

+ +

Pr-ARI-05-2015


(Astrom, Murray 2008, s. 285)• Spektrální analyzátor naměřil (za 1s)• Minima → frekvence nul• Maxima → frekvence pólů• Dobrý fit v okolí maxim a minim

→ tlumení, násobnosti nul a pólů• Po dobrém fitování amplitudové části

se najde dopravní zpoždění nastavenímfázové části Bodeho grafu

• Tak dostaneme

kde a

Atomic Force Microscope - Piezoelectric drive

Michael Šebek 18

( )( )( )( )( )

2 2 2 2 2 2 22 3 5 1 1 1 4 4 4

2 2 2 2 2 22 21 4 3 3 3 5 5 52 2 2

2 2( )

2 22

sk es s s sG s

s s s ss s

τω ω ω ζ ω ω ζ ω ωω ω ζ ω ω ζ ω ωζ ω ω

−+ + + +=

+ + + ++ +

2k kfω π=

1 1 2 2 3 3

4 4 5 5

2.42kHz, 0.03, 2.42kHz, 0.03, 2.42kHz, 0.03,2.42kHz, 0.03, 2.42kHz, 0.03

f f ff f

ζ ζ ζζ ζ

= = = = = == = = =

Pr-ARI-05-2018


• Označme

• hodnoty jsou důležité pro řízení

• Gain ratio (podíl zesílení) udává obtížnost řízení

• Pro model

určíme parametry z

Identifikace z Nyquistova grafu

Michael Šebek 19

( ) , arg ( )G jK G jϕϕ ϕω ϕ ω= =0 0ω =

90ω

180ω

0K180K

90 180 0 90 180, , , ,K K Kω ω

180180

0

( )(0)

GKK G

ωκ = =

( )1

kG sTs

=+

2

180

arctan 1dT π κ

ω

−− −=

ARI-05-2015

( )1

dsTkG s eTs

−=+

1

0180

1,k K T κω

− −= =


• Vhodným výběrem koeficientů

• napasujte funkci (lineární kombinaci bázových funkcí neboli regresorů )

• na data (neboli měření)

• tak, aby

• Obvykle je a neexistuje přesné řešení

• Takže hledáme nejlepší řešení ve smyslu nejmenších čtverců

Napasování na data - Data fitting


( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n ng t x g t x g t x g t= + + +

1 2, , , nx x x

( )ig t

( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , n ng t y g t y g t y≈ ≈ ≈

( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nt y t y t y

m n ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , n ng t y g t y g t y= = =

( ) ( ) ( )( )2

1 1 2 21min m

i i n n i iix g t x g t x g t y

=+ + + −∑


• Data fitting převedeme na maticový problém

• pomocí

Napasování na data - Data fitting - pokračování


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1 1

1 2 2 2 2 2 2

1 2

, ,

n

n

m m n m n m

g t g t g t x yg t g t g t x y

g t g t g t x y

= = =

A x b

min −x

Ax b


• Pro

• Jsou bázové funkce

• a

• Při interpolaci je a splníme přesně řešením

• Při aproximaci je a snažíme se o malou odchylku

Data fitting s polynomy


2 11 11 1 1

2 12 22 2 2

2 1

11

, ,

1

n

n

nn mm m m

x yt t tx yt t t

x yt t t

−

−

−

= = =

A x b

( ) 2 11 2 3

nng t x x t x t x t −= + + +

( ) 1, 1, ,kkg t t k n−= −

m n= ( )i ig t y= =Ax b

m n> min −x

Ax b


• Pro

• Minimalizujeme

• Vypočteme parciální derivace a položíme je rovné nule

• Z toho

Příklad - Nejmenší čtverce


2 0 11 1 , 0

0 2 1

= − = −

A b

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 21 1min 2 1 2 1m n

ij j ii ja x b x x x x

= =− = − + − + + +∑ ∑x

1 2 1 21 2

10 2 4 0, 2 10 4 0x x x xx x∂ ∂

= − − = = − + + =∂ ∂

( ) ( ) ( )2 2 21 21 3, 1 3 1 3 2 3 1 3 0.82x x= = − = − + − + ≈r


• Pro

• je

• Pak

• Tedy

Příklad - Nejmenší čtverce


2 0 11 1 , 0

0 2 1

= − = −

A b

( ) ( ) ( )2 2 21 21 3, 1 3 1 3 2 3 1 3 0.82x x= = − = − + − + ≈r

( )1 1

11

5 1 2 1 0 5 1 2 5 1 2 1 3101 5 0 1 2 1 5 2 1 5 2 1 324

1

T T− −

−

− − − = = = = = − − − − − −

x A A A b

2 0 1 2 3 1 1 31 3

1 1 0 2 3 0 2 31 3

0 2 1 2 3 1 1 3

− = − = − − = − − = − − − − −

r Ax b


Zadání: Napasuj polynom na funkci na intervalu [-1,1]

Řešení interpolací – stejný počet vzorků jako počet koeficientů polynomu

1. Vyber bodů a vypočti

2. Interpoluj přesným řešením

3. Výsledek

čárkovaně: fplnou čarou: gKroužky: body

• Větší počet n = m zřejmě nezlepší kvalitu napasování

Příklad - Data fitting interpolací


2

1( )1 25

f tt

=+

( )2( ) 1 1 25i if t t= +m n= [ ]1,1it ∈ −

=Ax b

( )g t

( ), ( ) ( )i i it f t g t=


Stejný příklad jinak - Data fitting aproximací


Řešení aproximací – větší počet vzorků než počet koeficientů polynomu

1. Vyber polynom stupně a bodů a vypočti

2. Napasuj polynom minimalizací

3. Výsledek

čárkovaně: fplnou čarou: gkroužky: body

• Dostáváme zřejmě mnohem lepší výsledek než při interpolaci

[ ]1,1it ∈ −50n m =

( )2( ) 1 1 25i if t t= +1n −

=Ax b

( ), ( ) ( )i i it f t g t=


Příklad - identifikace



Pokračování příkladu - identifikace



Příklad – řád modelu



Příklad – validace modelu na jiných datech



LS identifikace – další jemnosti


• Stochastický (Bayesovský) přístup – důkazy

• Numerická implementace• jednorázová identifikace• průběžná identifikace - rekurzivní postup

• Proměnné parametry• zapomínání, směrové zapomínání• adaptivní řízení

• Zabudování apriorní informace

• Identifikovaný systém není dostatečně vybuzen• lineární závislost dat – např. identifikace v uzavřené smyčce• návrh experimentu / volba budicího signálu

To vše až v dalších předmětech

příklady k přednášce 5 identifikace - polyx · 2020. 4. 29. · pr-ari-052015-automatické...

Documents