podpory sprĘŻyste
TRANSCRIPT
![Page 1: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/2.jpg)
PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE
Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich występujących
![Page 3: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/3.jpg)
PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE
Podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły.
Podatność liniową wyrażamy w [m/N], natomiast podatność obrotową w [rad/Nm].
Np. podatność liniowa:
EA
Nll
El
l
A
NZ prawa Hook’a:
co daje:
![Page 4: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/4.jpg)
PODPORY SPRĘŻYSTEPODPORY SPRĘŻYSTE
Ponieważ podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły (N=1) więc ostatecznie:
EA
llfN 1
Odwrotność podatności to jej sztywność:
fk
1
![Page 5: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/5.jpg)
Metoda sił z podporą sprężystąMetoda sił z podporą sprężystą
Rozwiązać metodą sił
![Page 6: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/6.jpg)
Krok1 Krok1 –– stopień statycznej stopień statycznej
niewyznaczalnościniewyznaczalności
Trzy więzy są nadmiarowe ale dwa dodaliśmy razem:
3-2 = 1
układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny
![Page 7: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/7.jpg)
Układ podstawowy wariant 1Układ podstawowy wariant 1
Dodajemy fikcyjny przegub
![Page 8: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/8.jpg)
Układ podstawowy wariant 2Układ podstawowy wariant 2
Zastępujemy podporę sprężystą
![Page 9: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/9.jpg)
Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1
Obliczanie układów statycznie wyznaczalnych ze sprężystą podporą
nie różni się od rozwiązywania układu bez takiej podpory
![Page 10: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/10.jpg)
Rozwiązanie wariant 1 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 1 siły rzeczywiste
SB – siła w podporze sprężystej
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
5.10
5.10
0.65
5.20
0
Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.
z równania momentów globalnego względem punktu A
oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)
względem przegubu 2.
![Page 11: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/11.jpg)
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 1 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 1 siły rzeczywiste
MF
![Page 12: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/12.jpg)
Rozwiązanie wariant 1 siła XRozwiązanie wariant 1 siła X11=1=1
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
25.0
25.0
25.2
25.0
0
Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.
z równania momentów globalnego względem punktu A
oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)
względem przegubu 2.
![Page 13: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/13.jpg)
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 1 siła XRozwiązanie wariant 1 siła X11=1=1
1M
![Page 14: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/14.jpg)
Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1 Równanie kanoniczne metody sił:
01111 FX
gdzie:
1111
11 REJ
MM pod
FpodF
F REJ
MM1
11
BBF
BB
SVR
SVR1
Na rysunkach:
![Page 15: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/15.jpg)
Rozwiązanie wariant 1Rozwiązanie wariant 1 01111 FX
ale:
k
S
k
V
k
RfR BBpod 1
11
k
SS
EJ
MM
k
RR
EJ
MM BBFFFF
1111
gdzie przypominam:
f- podatność,
k- sztywność
Stąd ostatecznie:
k
SS
EJ
MM
k
RR
EJ
MM BB11111111
![Page 16: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/16.jpg)
Rozwiązanie wariant 1 ostatecznieRozwiązanie wariant 1 ostatecznie
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
555.13
555.13
503.13
445.17
0
Uwaga:
Całkując graficznie proszę zawsze (np. w nawiasach klamrowych)
rysować co jest funkcją liniową, a co nieliniową i określać granice
– skąd, dokąd!
![Page 17: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/17.jpg)
Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2
Zauważmy, że pozbycie się podpory sprężystej prowadzi do
„klasycznego” układu podstawowego
![Page 18: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/18.jpg)
Rozwiązanie wariant 2 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 2 siły rzeczywiste
SB – siła w podporze sprężystej
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
0
0
0.159
0.31
0
Dla przypomnienia: powyższe uzyskujemy jak
dla klasycznej belki wspornikowej
![Page 19: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/19.jpg)
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 2 siły rzeczywisteRozwiązanie wariant 2 siły rzeczywiste
MF
![Page 20: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/20.jpg)
Rozwiązanie wariant 2 siła XRozwiązanie wariant 2 siła X11=1=1
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
1
1
0.9
1
0
Dla przypomnienia powyższe uzyskujemy np.
z równania momentów globalnego względem punktu A
oraz z dwu równań momentów (dla lewej i prawej części ramy)
względem przegubu 2.
![Page 21: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/21.jpg)
Wykres momentów gnących
Rozwiązanie wariant 2 siła XRozwiązanie wariant 2 siła X11=1=1
1M
![Page 22: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/22.jpg)
Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2 Równanie kanoniczne metody sił !!!!:
k
XX F
11111
gdzie:
EJ
MM 1111
EJ
MM FF
11
![Page 23: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/23.jpg)
Rozwiązanie wariant 2Rozwiązanie wariant 2 ...1111 FX
Gdzie zgubiło się zero?
k
XfXpodporyzenieprzemieszc 11
Bo jest to podpora sprężysta, o tyle się więc
podda pod wpływem obciążenia X1 , we
wzorze przypominam:
f- podatność,
k- sztywność
![Page 24: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/24.jpg)
Rozwiązanie wariant 2 ostatecznieRozwiązanie wariant 2 ostatecznie
kNVS
kNV
kNmM
kNV
H
BB
B
A
A
A
555.13
555.13
503.13
445.17
0
Uwaga:
Całkując graficznie proszę zawsze (np. w nawiasach klamrowych)
rysować co jest funkcją liniową, a co nieliniową i określać granice
– skąd, dokąd!
![Page 25: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/27.jpg)
Wiemy już co to jest Zasada Prac
Przygotowanych. Zasadę tę można
wykorzystać do obliczania reakcji i sił
wewnętrznych w układach prętowych.
Zajmijmy się więc przykładami
![Page 28: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/28.jpg)
Zasad prac przygotowanychZasad prac przygotowanych
postacioweGA
T
gdzie odkształcenia przygotowane to również:
ogólnie
linioweEA
N
kątoweEJ
M
y
sss
i s
i
k j
jjkk
dxxxMdxxxTdxxxN
dssuspRP
)()()()()()(
)()(
![Page 29: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/29.jpg)
Zasad prac przygotowanychZasad prac przygotowanych
i s
i dssusp )()(
gdzie praca sił zewnętrznych
k
kkP
j
jjR
sss
i s
i
k j
jjkk
dxxxMdxxxTdxxxN
dssuspRP
)()()()()()(
)()(
całkowita praca sił czynnych (skupionych) na
przemieszczeniach wirtualnych
całkowita praca sił biernych (reakcji) na przemieszczeniach
wirtualnych (osiadaniach),
całkowita praca obciążeń ciągłych na
przemieszczeniach wirtualnych
![Page 30: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/30.jpg)
Ogólna zasada postępowaniaOgólna zasada postępowania
Poszukując wartości reakcji
podporowych usuwamy odpowiednie
więzy i nadajemy układowi
geometrycznie zmiennemu
przemieszczenia wirtualne właściwe
poszczególnym reakcjom.
Niewiadome reakcje wyznaczamy z
równań prac wirtualnych dla ciał
sztywnych.
![Page 31: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/31.jpg)
Ogólna zasada postępowaniaOgólna zasada postępowania
W celu obliczenia wartości sił wewnętrznych, t.j. momentu zginającego, siły tnącej lub siły normalnej w dowolnym przekroju uzewnętrzniamy szukaną siłę wewnętrzną, zakładając przegub lub teleskop.
Tak powstałemu układowi o jednym stopniu swobody nadajemy wirtualne przemieszczenie i z równania prac wirtualnych sił zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach wyliczamy szukaną wartość siły wewnętrznej.
![Page 32: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/32.jpg)
Metoda KinematycznaMetoda Kinematyczna
Opisany na poprzednich slajdach
sposób postępowania przy
obliczaniu wymienionych wielkości
statycznych nosi nazwę
metody kinematycznej.
![Page 33: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/33.jpg)
Dla podanej belki znaleźć metodą kinematyczną następujące reakcje:
MA, RA, RB
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
![Page 34: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/34.jpg)
Postępujemy podobnie do znajdowania linii wpływu. Poszukując danej reakcji zwalniamy związany z nią więz. Np. chcąc obliczyć moment reakcji…
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
![Page 35: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/35.jpg)
Teraz należy wymusić jednostkowe przemieszczenie (tu: obrót) wirtualne i…
napisać równanie prac przygotowanych:
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
0221
212
21 qlqlqlM A
![Page 36: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/36.jpg)
Skąd taka postać ZPP?
Było:
DYGRESJADYGRESJA
sss
i s
i
k j
jjkk
dxxxMdxxxTdxxxN
dssuspRP
)()()()()()(
)()(
Ale to
Jest równe zeru, gdyż belka przemieszcza się jak
mechanizm, nie doznaje więc odkształceń!
![Page 37: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/37.jpg)
Teraz weźmy reakcję RA…
równanie prac przygotowanych:
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
022
2212 qll
qlqlRA
![Page 38: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/38.jpg)
Teraz weźmy reakcję RB…
równanie prac przygotowanych:
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
02
3
22
212 qll
qlqlRB
![Page 39: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/39.jpg)
Ostatecznie
PRZYKŁAD 1PRZYKŁAD 1
2
2
qlR
qlR
qlM
B
A
A
![Page 40: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/40.jpg)
Dla podanej belki znaleźć metodą kinematyczną następującą reakcje: R2
PRZYKŁAD 2PRZYKŁAD 2
![Page 41: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/41.jpg)
Wymuszamy przemieszczenie jednostkowe w kierunku reakcji R2
PRZYKŁAD 2PRZYKŁAD 2
![Page 42: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/42.jpg)
Wyznaczamy równanie prac wirtualnych:
PRZYKŁAD 2PRZYKŁAD 2
)1(
00100
5
54211
l
a
b
cu
gdzie
uPRRHR
![Page 43: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: PODPORY SPRĘŻYSTE](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012415/616f9a1312b98a3df330320c/html5/thumbnails/44.jpg)
Zadanie projektoweZadanie projektowe Wyznaczyć reakcje korzystając z zasady prac
przygotowanych dla trzech belek ciągłych przegubowych o
co najmniej dwu przegubach, statycznie wyznaczalnych.
Jedna z belek powinna być obciążona siłą skupioną, druga
momentem skupionym, trzecia obciążeniem ciągłym
(stałym).