potencia enésima de matrices por binomio de newton _ fernando revilla

27/4/2015 Potencia enésima de matrices por binomio de Newton | Fernando Revilla

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Fernando RevillaTiempo, aritmética y conjetura de Goldbach & Docencia matemática

Potencia enésima de matrices por binomio

de Newton

Enunciado

(a) Sean dos matrices que conmutan, es decir Demostrar por inducción que se

verifica la fórmula del binomio de Newton:

(b) Se consideran las matrices:

Demostrar que y como aplicación, hallar

(c) Hallar siendo

A,B ∈ Km×m AB = BA.

(A + B = ( ) .)n ∑k=0

n n

kAn−kBk

A = , N = .⎡⎣⎢

200

120

012

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

000

100

010

⎤⎦⎥

= 0N 3 .An

,An A = .

⎡⎣⎢⎢⎢

1000

1100

1110

1111

⎤⎦⎥⎥⎥

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Solución

(a) Usemos el método de inducción

Paso base. La fórmula es cierta para En efecto,

Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para y veamos que es cierta para Se

verifica:

(en la última igualdad hemos usado que ). El primer sumando de la linea se puede expresar en

la forma

El segundo sumando de la linea se puede expresar en la forma

n = 1.

(A + B = A + B = ( ) + ( ) = ( ) .)1 10

A1B0 11

A0B1 ∑k=0

1 1k

A1−kBk

n, n + 1.

(A + B)n+1 = (A + B)(A + B)n

= A ( ) + B ( )∑k=0

n n

kAn−kBk ∑

k=0

n n

kAn−kBk

= ( ) + ( ) . (∗)∑k=0

n n

kAn−k+1Bk ∑

k=0

n n

kAn−kBk+1

AB = BA (∗)

( )∑k=0

n n

kAn−k+1Bk = ( ) + ( )n

0An+1B0 ∑

k=1

n n

kAn−k+1Bk

= ( ) + ( ) .n + 1

0An+1B0 ∑

k=1

n n

kAn−k+1Bk

(∗)

n−1



Por tanto, es igual a:

Usando la conocida fórmula de combinatoria

Es decir, la fórmula es cierta para

(b) Tenemos:

Podemos escribir Además, es decir y

conmutan, luego es aplicable la fórmula del binomio de Newton para hallar Como se verifica

por tanto:

( )∑k=0

n n

kAn−kBk+1 = ( ) + ( )∑

k=0

n−1 n

kAn−kBk+1 n + 1

n + 1A0Bn+1

(haciendo el cambio k = j − 1) :

= ( ) + ( ) .∑j=1

n n

j − 1An+1−jBj n + 1

n + 1A0Bn+1

(A + B)n+1

( ) + [( ) + ( )] + ( ) .n + 1

0An+1B0 ∑

k=1

n n

k

n

k − 1An+1−kBk n + 1

n + 1A0Bn+1

( ) + ( ) = ( ) :n

k

n

k − 1n + 1

k

(A + B)n+1 = ( ) + ( ) + ( )n + 10

An+1B0 ∑k=1

n n + 1k

An+1−kBk n + 1n + 1

A0Bn+1

= ( ) .∑k=0

n+1 n + 1k

An+1−kBk

n + 1.

= = ,N 2⎡⎣⎢

000

100

010

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

000

100

010

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

000

000

100

⎤⎦⎥

= N = = .N 3 N 2⎡⎣⎢

000

000

100

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

000

100

010

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

000

000

000

⎤⎦⎥

A = 2I + N. (2I)N = 2(IN) = 2(NI) = N(2I), 2I N

.An = 0,N 3

= = … = 0,N 4 N 5

( ) ( ) ( )



(c) Podemos expresar: Hallemos las potencias de

Dado que podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton para calcular Teniendo

en cuenta que si

Operando y simplificando,

= (2I + N = ( )(2I + ( )(2I N + ( )(2IAn )n n

0)n n

1)n−1 n

2)n−2N 2

= I + n N +2n 2n−1 n(n − 1)2

2n−2N 2

= + +⎡⎣⎢

2n

00

02n

0

002n

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

0

00

n2n−1

00

0

n2n−1

0

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢⎢

0

00

0

00

n(n−1)2n−2

2

00

⎤⎦⎥⎥

= .⎡⎣⎢⎢

2n

00

n2n

2n

0

n(n−1)2n−2

2

n2n

2n

⎤⎦⎥⎥

A = I + N con N = .

⎡⎣⎢⎢⎢

0000

1000

1100

1110

⎤⎦⎥⎥⎥ N :

= , = , = 0.N 2

⎡⎣⎢⎢⎢

0000

0000

1000

2100

⎤⎦⎥⎥⎥ N 3

⎡⎣⎢⎢⎢

0000

0000

0000

1000

⎤⎦⎥⎥⎥ N 4

IN = NI, (I + N .)n

= 0N m m ≥ 4 :

= (I + N = ( ) + ( ) N + ( ) + ( )An )n n

0I n n

1I n−1 n

2I n−2N 2 n

3I n−3N 3

= I + nN + + .n(n − 1)

2N 2 n(n − 1)(n − 2)

3!N 3

⎡ n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) ⎤



= .An

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

1

0

00

n

1

00

n(n + 1)2

n

10

n(n + 1)(n + 2)6

n(n + 1)2n

1

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

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