Binomio de Newton

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Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es uno de los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia. Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es decir:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Binomio de Newton

Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce como "Binomio de Newton". Según esta fórmula, los coeficientes del desarrollo de son los números combinatorios mientras que los términos van disminuyendo el grado de a de uno en uno y aumentando el de b de uno en uno (de forma que la suma de los exponentes siempre es n.

Desarrollo de una potencia

Un coeficiente cualquiera del desarrollo se obtiene multiplicando el coeficiente anterior al que deseamos calcular, por el exponente de “a” y luego dividiéndolo entre el exponente de “b” aumentado en la unidad..

Desarrollo de una potencia

Generalidades acerca de la potencia :0La cantidad de términos en el desarrollo será igual al

grado del binomio más uno.0Los exponentes de van decreciendo, desde hasta cero, y los de van creciendo, desde cero hasta .0Si el exponente es entero negativo o fraccionario el

desarrollo admite infinidad de términos.0La suma de los exponentes de cada término es siempre .

Ejemplos

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Se puede observar que en el desarrollo de cada potencia los exponentes de “a” van decreciendo de n hasta 0 y los exponentes de “b” van creciendo de 0 hasta n.

(2 – 3b)4 = 16 – 96b + 216b2 – 216b3 + 81b4

Fórmula del Binomio de Newton

Isaac Newton desarrollo una fórmula que permite calcular los coeficientes de las expresiones utilizando números combinatorios . El siguiente teorema es el propio conocido como Binomio de Newton:

Aplicación

Utilizando la fórmula anterior, resolver

(5 𝑥+𝑦 )6¿ (60) (5 𝑥 )6+(61) (5 𝑥 )5(𝑦 )+(62) (5 𝑥 )4 (𝑦 )2+(63) (5 𝑥 )3 ( 𝑦 )3

+(64) (5𝑥 )2 (𝑦 )4+(65)(5𝑥 )( 𝑦 )5+(66) (𝑦 )6

(5 𝑥+𝑦 )6¿ (5 𝑥 )6+6 (5 𝑥 )5(𝑦 )+15 (5 𝑥 )4 (𝑦 )2+20 (5 𝑥 )3 (𝑦 )3+15 (5 𝑥 )2 ( 𝑦 )4

+6 (5 𝑥 ) (𝑦 )5+ 𝑦6

(5 𝑥+ 𝑦 )6=15625 𝑥6+18750𝑥5 𝑦+9375𝑥4 𝑦2+2500 𝑥3 𝑦3+375 𝑥2𝑦 4+30 𝑥 𝑦5+𝑦 6

Triángulo de PascalLiceoProm14.tk

Triangulo de PascalEl triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Debe su nombre a Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés. Las aplicaciones de este triángulo son muy diversas, por ejemplo, para hallar los coeficientes del Binomio de Newton, entre otras.

Construcción del Triángulo

Se comienza en el número “1” centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...

Construcción del Triángulo

(𝑎+𝑏)

(𝑎+𝑏 )2

(𝑎+𝑏 )3

(𝑎+𝑏 )4

Propiedades0El número superior es un 1, la segunda fila

corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.

Propiedades

0La primera diagonal está formada por "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1, 2, 3, etc.)

Propiedades

0Todas la filas empiezan y acaban en 1.0Todas las filas son simétricas, se ven igual de la

izquierda que de la derecha.0Cada número se obtiene sumando los dos que están

situados sobre él.

Diapositivas por Ruth Masferrer y Rodrigo Arévalo