teorema del binomio
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Teorema del binomioDe Wikipedia, la enciclopedia libre(Redirigido desde «Binomio de Newton»)Saltar a: navegación, búsqueda
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en el término de xbyc es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Índice
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1 Formulación del teorema o 1.1 Ejemplo
2 Teorema generalizado del binomio (Newton) 3 Coeficiente binomial 4 Historia 5 Véase también 6 Referencias 7 Enlaces externos
Formulación del teorema[editar · editar fuente]
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es
representado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Ejemplo[editar · editar fuente]
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)[editar · editar fuente]
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Coeficiente binomial[editar · editar fuente]
Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como de forma sencilla:
Historia[editar · editar fuente]
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien por integración.
El descubrimiento de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.
Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fue introducido por Michel Stifer en el siglo XVI.
Los binomios se resuelven también con expresiones algebraicas
TRIANGULO PASCAL
El triángulo de PascalUna de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
Pautas en el triángulo
Diagonales
La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)
La tercera diagonal son los números triangulares
(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)
Pares e impares
Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski
Sumas horizontales
¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble!
Se dobla cada vez (son las potencias de 2).
Sucesión de Fibonacci
Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.
(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por
ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Simetría
El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda
Usar el triángulo de Pascal
Caras y cruces
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
1HT
1, 1
2HH
HT THTT
1, 2, 1
3
HHHHHT, HTH, THHHTT, THT, TTH
TTT
1, 3, 3, 1
4 HHHHHHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHHHTTT, THTT, TTHT, TTTH
1, 4, 6, 4, 1
TTTT
... etc ...
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Combinaciones
El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.
Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
1 14 91 364 ...1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
Polinomios
El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:
Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal
2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1
... etc ...
Las 15 primeras líneas
Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
Triángulo de Pascal
Triángulo de Pascal o de Tartaglia
¿Qué es?
Es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales.
Historia
El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).
El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartaglia(1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.
¿Cómo se construye?
Para construir el triángulo de Pascal, comenza con "1" arriba, y pone los números debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:
Es más, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio de aquí su vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton.
Consideraciones en el triángulo:
DIAGONALES
PARES E IMPARES
SUMAS HORIZONTALES
SUCESIÓN DE FIBONACCI
SIMETRÍA
Relaciones entre el Triángulo de Pascal y Números Combinatorios
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente
natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener nba
Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)
baba 1
222 2 bababa
32232223 332 babbaababababababa
43223434 464 babbabaabababa
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
!
1...21.
n
nmmmm
n
m
Por ejemplo si quiero calcular 10
1.2.3
3.4.5
3
5
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
543223455 510105 babbababaaba
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
nnnnnn bn
nab
n
nba
nba
na
nba
1221
1...
210
que también se puede escribir de forma abreviada así:
nh
h
hhnn bah
nba
0
Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia 1532 yx
15 15 14 13 2 1515 15 15 152 3 2 2 3 2 3 ... 3
0 1 2 15x y x x y x y y
La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1Que serán los valores de los coeficientes.
2) Calcular sin desarrollar el termino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:(a2+3/b)100
El primer término tiene de coeficiente
0
100
, el segundo
1
100
, el tercero
2
100
, etc.Por tanto el término de lugar 50 será:
49
51250
3
49
100
baT
= 98913082887808032681188722800.49
49102 3
.b
a =
49
4910228 3
..10.89,9b
a
En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de nba es
kknk ba
k
nT
1
Ejercicios
3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio es:
1112 1. .
1 2a b
¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términos y vale:
11
12
12 1. .
11 2T a b
El binomio y su potencia será
121
2a b
4) Hallar el término medio del desarrollo de 14
22 3 .a b
Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.
7 72
8
14. 2 . 3 .
7T a b
Vamos a desarrollarlo:
3 7 3 148
14.13.12.11.10.9.8.2 2.3 . .
7.6.5.4.3.2T a a b 3 143432.8.2187 2a b a
3 1460046272 2a b a
5) Escribe el término que contiene x31 en el desarrollo de:
202 22x y
y x
El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta forma:
202 2
1
20 21
k kk
k
x yT
k y x
Veamos como quedan las potencias x y de y:
20 40 2 2
1 20
20 21 .
k k kk
k k k
x yT
k y x
20 40 2 2
20
20 21
k k kk
k k
x y
k y x
Dividiendo las potencias de la misma base, restando los
exponentes tenemos: 20 40 3 3 20
1
201 2
k k k kkT x y
k
Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x31, basta igualar 40-3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.
Ahora escribimos el término completo. 3 17 31 11
4
201 2
3T x y
3131
11 11
20.19.18 1 149422080131072
3.2
xx
y y
Factorización de un polinomio
Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y
hallar sus raíces son:
1º Sacar factor común en el caso de que no haya
término independiente.
2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos
un binomio.
3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si
es un trinomio.
4º Trinomio de segundo grado .
5º Polinomio de grado superior a dos .
Sacar factor común
Sacar factor común a un polinomio consiste en
aplicar la propiedad distributiva .
a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
Doble extracción de factor comúun
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x −
a) · (x − b)
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma
por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de
un un binomio al cuadrado .
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de
segundo grado P(x) = a x 2 + bx +c, se iguala a cero y
se resuelve la ecuación de 2º grado . Si las soluciones
a la ecuación son x1 y x2 , el polinomio descompuesto
será:
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
Polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de
Ruffini para encontrar las raíces enteras.
Descomposición de un polinomio de grado superior a
dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 +
6 = 0
3Dividimos por Ruffini .
4Por ser la división exacta , D = d · c
(x −1) · (2x 3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al
segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor
podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 1 3 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 ·(− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6= −2 +
3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la
ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos
encontrar raíces enteras .
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1) 2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1)
· (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Todas las raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces
enteras y sólo tenga raíces racionales.
En este caso tomamos los divisores del término
independiente dividido entre los divisores del término
con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la
regla de Ruffini.
P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2
Probamos por: .
Sacamos factor común 12 en el tercer factor.
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del
primero, más el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 3 2 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del
primero, menos el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x) 2 ·3 + 3 · 2x· 3 2 − 33 =
= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27
Ejemplos
1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 2 2 + 23 =
= x3 + 6x2 + 12x + 8
2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x) 2 · 2 + 3 · 3x · 2 2 − 23 =
= 27x 3 − 54x2 + 36x − 8
3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x) 2 ·5 + 3 · 2x · 5 2 + 53 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
Factorial !La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1
"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"
Calculando desde el valor anterior
Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:
n n!1 1 1 12 2 × 1 = 2 × 1! = 23 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 64 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 245 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 1206 etc etc
Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?
10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362.880 = 3.628.800
Así que la regla es:
n! = n × (n-1)!
lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!
Qué pasa con "0!"
El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.
Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.
¿Dónde se usa el factorial?
Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones
Una pequeña lista
n n!0 11 12 23 64 245 1206 7207 5.0408 40.3209 362.88010 3.628.80011 39.916.80012 479.001.60013 6.227.020.80014 87.178.291.200
15 1.307.674.368.00016 20.922.789.888.00017 355.687.428.096.00018 6.402.373.705.728.00019 121.645.100.408.832.00020 2.432.902.008.176.640.00021 51.090.942.171.709.400.00022 1.124.000.727.777.610.000.00023 25.852.016.738.885.000.000.00024 620.448.401.733.239.000.000.00025 15.511.210.043.331.000.000.000.000
¡Como ves, crecen muy rápido!
Algunas valores muy grandes
70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).
100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10157
200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10374
¿Y los decimales?
¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?
¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.
Factorial de un medio
Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:
n n!(-½)! √π(½)! (½)√π
(3/2)! (3/4)√π(5/2)! (15/8)√π
Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo
(3/2)! = (3/2) × (1/2)!(5/2)! = (5/2) × (3/2)!
¿Puedes averiguar cuánto es (7/2)!?
Factoriales
Un factorial se designa con un número natural positivo seguido por un signo de exclamación (es decir 8!). El valor de un factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el número del factorial. 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40,320. Los factoriales se utilizan para determinar las cantidades de combinaciones y permutaciones y para averiguar probabilidades.
El factorial para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo,
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático.
Índice
[ocultar]
1 Definición o 1.1 Cero factorial
2 Aplicaciones 3 Productos similares
o 3.1 Primorial o 3.2 Doble factorial
4 Implementación en lenguajes de programación 5 Véase también 6 Enlaces externos
Definición[editar · editar fuente]
La función factorial es formalmente definida mediante el producto
.
La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador productorio:
.
También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia
Todas las definiciones anteriores incorporan la premisa de que
Cero factorial[editar · editar fuente]
La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.
Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:
Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:
Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:
válida para todo número mayor o igual que 1.
Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:
Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:
Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.
Aplicaciones[editar · editar fuente]
Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:
donde representa un coeficiente binomial:
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:
La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.
El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que
sólo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para todo número complejo z que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición:
Productos similares[editar · editar fuente]
Primorial[editar · editar fuente]
El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.
Doble factorial[editar · editar fuente]
Se define el doble factorial de n como:
Por ejemplo:
La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para:
empieza así:
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:
Y esta es la sucesión de dobles factoriales para:
El doble factorial de un número negativo par no está definido.
Algunas identidades de los dobles factoriales:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Implementación en lenguajes de programación[editar · editar fuente]
La función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativo, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.
La teoría atómico-molecular clásica tiene por base la teoría atómica de Dalton. Existe entre estas dos teorías algunas diferencias fundamentales. Para Dalton, la partícula mas pequeña de una sustancia era el átomo. Si la sustancia era simple, Dalton hablaba de "átomos simples"; por ejemplo de cloro, de hidrógeno, etc. Si la sustancia era compuesta, Dalton
hablaba de "átomos compuestos"; por ejemplo de agua. En realidad, los "átomos" de Dalton, son las partículas que nosotros llamamos moléculas.
Los siguientes postulados, son los que constituyen la teoría atómico-molecular clásica:
1) todos los elementos químicos están constituidos por partículas discretas, invisibles e indivisibles incluso en las reacciones químicas mas violentas, llamadas átomos
2) los átomos de un mismo elemento son idénticos en todas sus propiedades, especialmente en tamaño y peso (masa)
3) los átomos de elementos diferentes son totalmente diferentes en todas sus propiedades.
4) Durante las reacciones, existe un reordenamiento de átomos, sin que el átomo se divida o destruya. La molécula del compuesto resulta entonces de la superposición de átomos de elementos diferentes. Citemos como ejemplo la formación de moléculas de agua y amoniaco.
5. Los átomos de dos elementos pueden combinarse en mas de una relación entera y sencilla para formar mas de un compuesto. Ejemplos:
Es importante señalar que Dalton nunca aceptó la idea que la molécula estaría formada por átomos idénticos o de un mismo elemento. Así por ejemplo, era absurdo: H2, O2, N2, P4, etc; por esta razón, se opuso tercamente a la ley experimental de Gay Luzca, referida a los volúmenes de combinación de las sustancias gaseosas. Esta ley se explica fácilmente aceptando que algunos elementos están formados por moléculas (H2, O2, Cl2, F2, etc.), tal como lo propuso el químico italiano Amadeo Avogadro en la misma época de Dalton, quien no obstante, rechazo esa propuesta.
A pesar de ello la teoría de Dalton fue la base del desarrollo de la química moderna, porque todas las investigaciones científicas se hicieron y aun se hacen aceptando que la materia esta formada por átomos.
VER INDICE DE TEORIA Y MODELOS ATOMICOS
EMPÉDOCLES: Afirmaba que toda materia estaba compuesta de cuatro "elementos": tierra, aire, agua y fuego.
DEMÓCRITO: Pensaba que las formas de la materia eran divisibles hasta cierto punto en partículas muy pequeñas
indivisibles llamadas átomos.
ARISTÓTELES: Contradijo la teoría de Demócrito y apoyó y desarrolló la teoría de Empédocles. Su teoría
dominó el pensamiento científico y filosófico hasta
principios del siglo XVII.
TEORÍA ATÓMICA DE DALTON
John Dalton (1766-1844) revivió el concepto de átomo y propuso una teoría basada en hechos y pruebas experimentales. Los puntos más importantes de la teoría atómica de Dalton son:
1.- Los elementos están formados por partículas diminutas e indivisibles, llamadas átomos.
2.- Los átomos del mismo elemento son semejantes en masa y tamaño.
3.- Átomos de elementos distintos tienen masas y tamaños distintos.
4.- Los compuestos químicos se forman por la unión de dos o más átomos de elementos diferentes.
5.- Los átomos se combinan para forma compuestos, en relaciones numéricas sencillas como uno a uno, dos a dos, dos a tres, etc.
6.- Los átomos de dos elementos se pueden combinar en diferentes proporciones para formar más de un compuesto.
El modelo atómico de Dalton fue una aportación muy importante, y sus principales premisas aún se conservan, aunque otras han tenido que corregirse:
•Los átomos están formados por partículas subatómicas.
•No todos los átomos de un mismo elemento tienen la misma masa.
•En ciertas condiciones los átomos se pueden descomponer.
Pero también, de la teoría de Dalton se derivan dos leyes muy importantes:
LEY DE LAS COMPOSICIONES "Un compuesto contiene siempre dos o
DEFINIDAS.-más elementos combinados en una proporción de masa definida".
Ejemplo: En el agua (H2O) hay 8.0 g de oxígeno por cada gramo de hidrógeno. Su proporción siempre es 2:1.
LEY DE LAS PROPORCIONES MÚLTIPLES.-
"Los átomos de dos o más elementos se pueden combinar en proporciones diferentes para producir más de un compuesto"
Ejemplos: El nitrógeno y el oxígeno se combinan formando compuestos tales como: NO, NO2, N2O5, N2O3; sus relaciones son 1:1, 1:2, 2:5, 2:3.
Al modelo atómico de Dalton siguieron otros modelos que también trataron de explicar la estructura. Tres de éstos modelos de especial importancia se describen a continuación.
Modelo atómico de: Año Descripción
Thomson(Modelo del budín
de pasas)1904
Los electrones son cargas negativas incrustadas en una esfera atómica que contiene una cantidad igual de protones o cargas positivas.
Rutherford(Modelo del átomo
nuclear)1911
Los protones y los neutrones se localizan en el núcleo, y los electrones se encuentran en el resto del átomo.
Bohr(Modelo del sistema solar en miniatura)
1913
Los electrones en un átomo tienen su energía restringida a ciertos niveles de energía específicos que incrementan su energía a medida que aumenta su distancia del núcleo.
2. SÍMBOLO NUCLEAR
INTRODUCCIÓN
PARTÍCULAS SUBATÓMICAS
Partícula subatómica
PROTÓN NEUTRÓN ELECTRÓN
Símbolop+ n
0
e-
Masa relativa1 1 cero
Masa real1.672 x 10-24g 1.674 x 10-24g 9.109 x 10-28g
Carga relativa+1 sin carga -1
Ubicación enel átomo
En el núcleo atómico
En el núcleo atómico
Fuera del núcleo
DescubridorGoldstein Chadwick Thomson
Año 1886 1932 1875
Las masas del protón y del neutrón son casi iguales, la diferencia es mínima. En cambio la masa del electrón con respecto a estás partículas es prácticamente despreciable. Se necesitarían 1837electrones para tener la masa equivalente de un solo protón.
Símbolo nuclear.- Es una representación gráfica de un elemento que nos da información sobre el número de partículas presentes en dicho elemento.
A = NÚMERO DE MASA = PROTONES + NEUTRONES
Z = NÚMERO ATÓMICO = NÚMERO DE PROTONES
El átomo es neutro por lo tanto:
NÚMERO DE PROTONES = NÚMERO DE ELECTRONES
En una reacción química ordinaria, un átomo puede perder o ganar electrones, formandose un ion, el cual puede ser negativo o positivo.
ION POSITIVO = CATIÓN: Se forma cuando el átomo pierde electrones.
A
E+
Z
ION NEGATIVO = ANIÓN: Se forma cuando el átomo gana electrones.
A
E-
Z
EJERCICIO.- Complete la siguiente tabla con la información adecuada.
Símbolonuclear
48Ti
22
75 A
s
3-
33
65Zn
2+
30
3+
Protones(p+)
17
Neutrones
(n
0) 57
Electrones(e-)
18
Número atómico (Z)
44
Número de masa (A)
35
Nombre:
4. ISÓTOPOS
Son átomos que tienen el mismo número atómico, pero diferente número de masa, por lo tanto, son átomos del mismo elemento pero con diferente número de neutrones.
Los isótopos del mismo elemento tienen las mismas propiedades químicas, pero sus propiedades físicas son ligeramente diferentes.
Ejm: Los isótopos C-13 reaccionan con el oxígeno para formar CO y CO (propiedad química). Sin embargo el CO tiene un punto de fusión de -199°C,
mientras que el CO tiene un punto de fusión de -207°C (propiedad física).
El número de isótopos de cada elemento y el porcentaje de abundancia en la naturaleza de cada uno de ellos, varía de acuerdo al elemento.
El hidrógeno es el único elemento que cuenta con nombres para cada uno de sus isótopos.
Sus nombres y características se muestran a continuación:
Nombre del isótopo
A(p+ + no)
Z(# p+)
Número de neutrones
Notación isotópica
PROTIO 1 1 No tiene1
H1
DEUTERIO 2 1 12
H1
TRITIO 3 1 23
H1
Isótopos radiactivos
Ciertos núcleos son inestables en su estado natural. Esto se debe a diferencias en las atracciones y repulsiones en el interior del núcleo. De los isótopos naturales que emiten de manera espontánea partículas alfa o beta, o rayos
gamma de alta energía, se dice que poseen una radiactividad natural. De los aproximadamente 350 isótopos presentes en la naturaleza alrededor de 80 de ellos son radiactivos.Los científicos de una amplia diversidad de campos utilizan isótopos radiactivos como marcadores en sistemas físicos, químicos y biológicos.
A continuación se muestra una tabla con algunos de los isótopos utilizados como marcadores.
USOS DE LOS RADIOISÓTOPOS
RADIOISÓTOPO SÍMBOLO USOS
Carbono 1414
C Fechado radiactivo de fósiles y seres vivos.
Uranio 238
238 U Determinación de la edad de las rocas.
Tecnecio 99
99 T
cFormación de imágenes de cerebro, tiroides, hígado, riñón, pulmón y sistema cardiovascular
Yodo 131
131
I Diagnóstico de enfermedades de la tiroides.
Talio 201
201
Tl
Formación de imágenes del corazón.
Fósforo 32 32
P Detección de cáncer en la piel.Rastreo genético de DNA.
Sodio 24
24 N
aDetección de obstrucciones el sistema circulatorio
Cromo 51
51 C
rDeterminación del volumen de glóbulos rojos y volumen total en sangre.
Hierro 59
59 F
eDetección de anemia
Selenio 75
75 S
eFormación de la imagen del páncreas.
Cobalto 60
60 C
oIrradiación de frutas y verduras frescas.
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Introducción.
Cada sustancia del universo, las piedras, el mar, nosotros mismos, los planetas y hasta las estrellas más lejanas, están enteramente formada por pequeñas partículas llamadas átomos.
Son tan pequeñas que no son posible fotografiarlas. Para hacernos una idea de su tamaño, un punto de esta línea puede contener dos mil millones de átomos.
Estas pequeñas partículas son estudiadas por la química, ciencia que surgió en la edad media y que estudia la materia.
Pero si nos adentramos en la materia nos damos cuenta de que está formada por átomos. Para comprender estos átomos a lo largo de la historia diferentes científicos han enunciado una serie de teorías que nos ayudan a comprender la complejidad de estas partículas. Estas teorías significan el asentamiento de la química moderna.
Como ya hemos dicho antes la química surgió en la edad media, lo que quiere decir que ya se conocía el átomo pero no del todo, así durante el renacimiento esta ciencia evoluciona.
Posteriormente a fines del siglo XVIII se descubren un gran número de elementos, pero este no es el avance más notable ya que este reside cuando Lavoisier da una interpretación correcta al fenómeno de la combustión.
Ya en el siglo XIX se establecen diferentes leyes de la combinación y con la clasificación periódica de los elementos (1871) se potencia el estudio de la constitución de los átomos.
Actualmente su objetivo es cooperar a la interpretación de la composición, propiedades, estructura y transformaciones del universo, pero para hacer todo esto hemos de empezar de lo más simple y eso son los átomos, que hoy conocemos gracias a esas teorías enunciadas a lo largo de la historia. Estas
teorías que tanto significan para la química es lo que vamos a estudiar en las próximas hojas de este trabajo.
Historia del Átomo.
La teoría atómica de Dalton.
John Dalton (1766-1844). Químico y físico británico. Creó una importante teoría atómica de la materia. En 1803 formuló la ley que lleva su nombre y que resume las leyes cuantitativas de la química (ley de la conservación de la masa, realizada por Lavoisier; ley de las proporciones definidas, realizada por Louis Proust; ley de las proporciones múltiples, realizada por él mismo). Su teoría se puede resumir en:
1.- Los elementos químicos están formados por partículas muy pequeñas e indivisibles llamadas átomos.
2.- Todos los átomos de un elemento químico dado son idénticos en su masa y demás propiedades.
3.- Los átomos de diferentes elementos químicos son distintos, en particular sus masas son diferentes.
4.- Los átomos son indestructibles y retienen su identidad en los cambios químicos.
5.- Los compuestos se forman cuando átomos de diferentes elementos se combinan entre sí, en una relación de números enteros sencilla, formando entidades definidas (hoy llamadas moléculas).
Representación de distintos átomos según Dalton:
¡ Oxígeno
¤ Hidrógeno
Å Azufre Para Dalton los átomos eran esferas macizas.
ã Cobre
l Carbono
Representación de un cambio químico, según Dalton:
¡ + ¤ ð ¡ ¤
Esto quería decir que un átomo de oxígeno más un átomo de hidrógeno daba un átomo o molécula de agua.
La formación de agua a partir de oxígeno e hidrógeno supone la combinación de átomos de estos elementos para formar "moléculas" de agua. Dalton, equivocadamente, supuso que la molécula de agua contenía un átomo de oxígeno y otro de hidrógeno.
Dalton, además de esta teoría creó la ley de las proporciones múltiples. Cuando los elementos se combinan en más de una proporción, y aunque los resultados de
estas combinaciones son compuestos diferentes, existe una relación entre esas proporciones.
Cuando dos elementos se combinan para formar más de un compuesto, las cantidades de uno de ellos que se combina con una cantidad fija del otro están relacionadas entre sí por números enteros sencillos.
A mediados del siglo XIX, unos años después de que Dalton enunciara se teoría, se desencadenó una serie de acontecimientos que fueron introduciendo modificaciones al modelo atómico inicial.
De hecho, el mundo atómico es tan infinitamente pequeño para nosotros que resulta muy difícil su conocimiento. Nos hallamos frente a él como si estuviésemos delante de una caja cerrada que no se pudiese abrir. Para conocer su contenido solamente podríamos proceder a manipular la caja (moverla en distintas direcciones, escuchar el ruido, pesarla...) y formular un modelo de acuerdo con nuestra experiencia. Este modelo sería válido hasta que nuevas experiencias nos indujeran a cambiarlo por otro. De la misma manera se ha ido construyendo el modelo atómico actual; de Dalton hasta nuestros días se han ido sucediendo diferentes experiencias que han llevado a la formulación de una serie de modelos invalidados sucesivamente a la luz de nuevos acontecimientos.
El modelo atómico de Thomsom.
Thomson, sir Joseph john (1856-1940). Físico británico. Según el modelo de Thomson el átomo consistía en una esfera uniforme de materia cargada positivamente en la que se hallaban incrustados los electrones de un modo parecido a como lo están las semillas en una sandía. Este sencillo modelo explicaba el hecho de que la materia fuese eléctricamente neutra, pues en los átomos de Thomson la carga positiva era neutralizada por la negativa. Además los electrones podrían ser arrancados de la esfera si la energía en juego era suficientemente importante como sucedía en los tubos de descarga.
J. J. Thomson demostró en 1897 que estos rayos se desviaban también en un campo eléctrico y eran atraídos por el polo positivo, lo que probaba que eran cargas eléctricas negativas. Calculó también la relación entre la carga y la masa de estas partículas.
Para este cálculo realizó un experimento: hizo pasar un haz de rayos catódicos por un campo eléctrico y uno magnético.
Cada uno de estos campos, actuando aisladamente, desviaba el haz de rayos en sentidos opuestos. Si se dejaba fijo el campo eléctrico, el campo magnético podía variarse hasta conseguir que el haz de rayos siguiera la trayectoria horizontal original; en este momento las fuerzas eléctricas y magnética eran iguales y, por ser de sentido contrario se anulaban.
El segundo paso consistía en eliminar el campo magnético y medir la desviación sufrida por el haz debido al campo eléctrico. Resulta que los rayos catódicos tienen una relación carga a masa más de 1.000 veces superior a la de cualquier ion.
Esta constatación llevó a Thomson a suponer que las partículas que forman los rayos catódicos no eran átomos cargados sino fragmentos de átomos, es decir, partículas subatómicas a las que llamó electrones.
Las placas se colocan dentro de un tubo de vidrio cerrado, al que se le extrae el aire, y se introduce un gas a presión reducida.
El modelo de Rutherford.
Sir Ernest Rutherford (1871-1937), famoso hombre de ciencia inglés que obtuvo el premio Nobel de química en 1919, realizó en 1911 una experiencia que supuso en paso adelante muy importante en el conocimiento del átomo.
La experiencia de Rutherford consistió en bombardear con partículas alfa una finísima lámina de oro. Las partículas alfa atravesaban la lámina de oro y eran recogidas sobre una pantalla de sulfuro de cinc.
La importancia del experimento estuvo en que mientras la mayoría de partículas atravesaban la lámina sin desviarse o siendo desviadas solamente en pequeños ángulos, unas cuantas partículas eran dispersadas a ángulos grandes hasta 180º.
El hecho de que sólo unas pocas radiaciones sufriesen desviaciones hizo suponer que las cargas positivas que las desviaban estaban concentradas dentro de los átomos ocupando un espacio muy pequeño en comparación a todo el tamaño atómico; esta parte del átomo con electricidad positiva fue llamado núcleo.
Rutherford poseía información sobre el tamaño, masa y carga del núcleo, pero no tenía información alguna acerca de la distribución o posición de los electrones.
En el modelo de Rutherford, los electrones se movían alrededor del núcleo como los planetas alrededor del sol. Los electrones no caían en el núcleo, ya que la fuerza de atracción electrostática era contrarrestada por la tendencia del electrón a continuar moviéndose en línea recta. Este modelo fue satisfactorio hasta que se observó que estaba en contradicción con una información ya conocida en aquel momento: de acuerdo con las leyes del electromagnetismo, un electrón o todo objeto eléctricamente cargado que es acelerado o cuya dirección lineal es modificada, emite o absorbe radiación electromagnética.
El electrón del átomo de Rurherford modificaba su dirección lineal continuamente, ya que seguía una trayectoria circular. Por lo tanto, debería emitir radiación electromagnética y esta radiación causaría la disminución de la energía del electrón, que en consecuencia debería describir una trayectoria en espiral hasta caer en el núcleo. El modelo de Rutherford fue sustituido por el de Bohr unos años más tarde.
El modelo atómico de Bhor.
Niels Bohr (1885-1962 fue un físico danés que aplicó por primera vez la hipótesis cuántica a la estructura atómica, a la vez que buscó una explicación a los espectros discontinuos de la luz emitida por los elementos gaseosos. Todo ello
llevó a formular un nuevo modelo de la estructura electrónica de los átomos que superaba las dificultades del átomo de Rutherford.
Este modelo implicaba los siguientes postulados:
1.- El electrón tenía ciertos estados definidos estacionarios de movimiento (niveles de energía) que le eran permitidos; cada uno de estos estados estacionarios tenía una energía fija y definida.
2.- Cuando un electrón estaba en uno de estos estados no irradiaba pero cuando cambiaba de estado absorbía o desprendía energía.
3.- En cualquiera de estos estados, el electrón se movía siguiendo una órbita circular alrededor del núcleo.
4.- Los estados de movimiento electrónico permitidos eran aquellos en los cuales el momento angular del electrón (m · v · r ) era un múltiplo entero de h/2 · 3.14.
Vemos pues que Bohr aplicaba la hipótesis cuántica por Planck en 1900.
La teoría ondulatoria electromagnética de la luz era satisfactoria en cuanto explicaba algunos fenómenos ópticos tales como la difracción o la dispersión, pero no explicaba otros fenómenos tales como la irradicación de un cuerpo sólido caliente. Planck resolvió el problema suponiendo que un sistema mecánico no podía tener cualquier valor de la energía, sino solamente ciertos valores.
Así, en un cuerpo sólido caliente que irradia energía, Planck consideró que una onda electromagnética de frecuencia era emitida por un grupo de átomos que circulaba con la misma frecuencia.
Aplicando esta hipótesis a la estructura electrónica de los átomos se resolvía la dificultad que presentaba el átomo de Rutherford. El electrón, al girar alrededor del núcleo, no iba perdiendo la energía, sino que se situaba en unos estados estacionarios de movimiento que tenían una energía fija. Un electrón sólo perdía o ganaba energía cuando saltaba de un estado (nivel) a otro.
Por otro lado, el modelo de Bohr suponía una explicación de los espectros discontinuos de los gases, en particular del más sencillo de todos, el hidrógeno. Una raya de un espectro correspondía a una radiación de una determinada frecuencia.
¿Por qué un elemento emite solamente cierta frecuencia ? Veamos la respuesta:
En condiciones normales los electrones de un átomo o ion se sitúan en los niveles de más baja energía. Cuando un átomo recibe suficiente energía, es posible que un electrón salte a un nivel superior a aquel en que se halla. Este proceso se llama excitación. Un electrón excitado se halla en un estado inestable y desciende a un nivel inferior, emitiendo una radiación cuya energía será igual a la diferencia de la que tienen los dos niveles.
La energía del electrón en el átomo es negativa porque es menor que la energía del electrón libre.
Al aplicar la formula de Bohr a otros átomos se obtuvieron resultados satisfactorios, al coincidir el pronóstico con el resultado experimental de los espectros de estos átomos.
El modelo de Thomson presentaba un átomo estático
y macizo. Las cargas positivas y negativas estaban
en reposo neutralizándose mutuamente. Los electrones
estaban incrustados en una masa positiva como las pasas en
un pastel de frutas. El átomo de Rutherford era dinámico
y hueco, pero de acuerdo con las leyes de la física clásica
inestable. El modelo de Bohr era análogo al de Rutherford,
pero conseguía salvar la inestabilidad recurriendo a la
noción de cuantificación y junto con ella a la idea de que la
física de los átomos debía ser diferente de la física clásica.
Propiedades del Átomo.
Atendiendo a las características estructurales del átomo las propiedades de este varían. Así por ejemplo los átomos de que tienen el mismo número de electrones de valencia que poseen distintos números atómicos poseen características similares.
Los átomos están formados por un núcleo que posee una serie de partículas subatómicas. Alrededor del núcleo se hallan en diferentes órbitas los electrones.
Las partículas subatómicas de las que se compone el núcleo son los protones y los neutrones. Los átomos son eléctricamente neutros. Luego, si contienen electrones, cargados negativamente, deben contener también otras partículas con carga positiva que corresponden a la carga de aquellos. Estas partículas estables con signo positivo se las llamó protón. Su masa es igual a 1,6710-27 kg.
Con estas dos partículas, se intentó construir todos los átomos conocidos, pero no pudo ser así porque faltaba unas de las partículas elementales del núcleo que fue descubierto por J. Chadwick en 1932 y que se llamó neutrón. Esta partícula era de carga nula y su masa es ligerísimamente superior a la del protón (1,6748210-27kg.).
Situados en órbitas alrededor del núcleo se hallan los electrones, partículas estables de carga eléctrica negativa y con una masa igual a 9,1110-31kg. El modelo de Bohr explica el espectro del átomo de hidrógeno, pero no los de átomos mayores. Para explicar estos y otros fenómenos ha surgido la mecánica cuántica. Aquí como en el modelo de Bohr, un electrón atómico sólo puede ocupar determinados niveles de energía. Ahora bien cada nivel de energía posee uno o más subniveles de energía.
El primer nivel de energía principal, n =1, posee un subnivel; el segundo posee dos, el tercero tres y así sucesivamente.
En el modelo de Bohr, los electrones giran en torno al núcleo siguiendo órbitas circulares, pero hoy sabemos que un electrón en un subnivel de energía dado se mueve aunque la mayor parte del tiempo se encuentra en una región del espacio más o menos definida, llamada orbital.
Los orbitales se nombran igual que su subnivel de energía correspondiente.
La energía radiante, o radiación electromagnética, que el Sol llega a la Tierra a través del espacio, en forma de ondas. El resultado de la separación de los componentes de distinta longitud de onda de la luz o de otra radiación forman el espectro electromagnético.
Las radiaciones electromagnéticas se dividen en distintos tipos (rayos gamma, rayos X, ultravioleta, etc. según el valor de lo que se denomina "longitud de onda", que es la distancia entre dos crestas consecutivas de la onda.
Cuando un haz de luz formado por rayos de distinta frecuencia atraviesa un prisma óptico, se dispersan en las diferentes radiaciones que se recogen en una pantalla en forma de espectro. El espectro puede ser estudiado en laboratorios gracias al espectrógrafo, un aparato que consta fundamentalmente de una rendija por la que entra el haz de luz, una lente, un prisma de dispersión y una placa fotográfica, estos se empezaron a utilizar a partir de 1859.
Los espectros pueden ser continuos o discontinuos. Los espectros continuos son los que abarca toda la frecuencia de las radiaciones que tienen pasando de una a otra gradualmente, sin saltos. La luz blanca tiene un espectro continuo, formado por siete colores (rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, añil y el violeta) y cada uno de ellos corresponde a radiaciones de una frecuencia determinada; cuando termina un color empieza otro, sin que, entre ellos, hayan ninguna zona oscura. En cambio, los elementos gaseosos de un tubo de descarga emite una luz que posee un espectro discontinuo, es decir, sólo contiene determinadas radiaciones, que aparecen en forma de rayas entre las cuales hay una zona oscura.
Cuando se descubrieron los rayos X y se observó la fluorescencia que estos rayos producían en las paredes del tubo de vidrio, Becquerel se dedicó a investigar si la fluorescencia iba acompañada siempre de radiaciones. Obtuvo los primeros resultados en 1896 al comprobar que el sulfato de uranilo y potasio emitían unas radiaciones que impresionaban las placas fotográficas, atravesaban cuerpos opacos e ionizaban. El aire. La emisión de estas radiaciones no implicaba que el cuerpo estuviera expuesto a la luz, pues también se producían en la oscuridad.
Además los espectros también pueden ser el espectro de masas (el que resulta de la separación de un elemento químico en sus distintos isótopos.
El espectro de la luz blanca está constituido por una sucesión de colores (colores del espectro), cada uno de los cuales corresponde a una longitud de onda bien precisa.
Un espectro puede ser: de emisión, cuando se obtiene a partir de la radiación directamente emitida por un cuerpo; de absorción, cuando es el resultante del paso de la radiación a través de un determinado absorbente.
Se distingue también entre: discretos, o de rayas, constituidos por una serie de líneas aisladas; continuos, que contienen todas las longitudes de onda entre dos límites, y de bandas, constituidos por una serie de zonas continuas separadas por espacios oscuros.
Los átomos producen espectros de líneas, las moléculas de bandas y los sólidos y líquidos espectros continuos.
Vocabulario.
Indivisible: Que no se puede dividir.
Subatómica: Dícese de las partículas que constituyen el átomo y de todas las partículas elementales así como de sus fenómenos característicos.
Electrostática: Parte del electromagnetismo que estudia los campos eléctricos producidos por cargas en reposo, tanto en el vacío como en la materia. Su ley fundamental es la de Columb.
Electromagnetismo: Parte de la física que engloba el estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos.
Cuántico: Magnitudes físicas que sólo pueden tomar ciertos valores discretos.
Espectros: Resultado de la separación de los componentes de distinta longitud de onda de la luz o de otra radiación electromagnética.
Irradiación: Despedir un cuerpo de rayos de una energía, como luz, calor, etc.
Análogo: Relación de semejanza entre dos cosas distintas.
Inducir: Ascender lógicamente el entendimiento desde el conocimiento de los casos o hechos particulares a la ley o principio general.
Neutro: Que no posee carga eléctrica.
Constatación: Comprobar un hecho, establecer su veracidad o dar constancia de él.
Isótopo: Cuerpo que ocupa el mismo lugar que otro en el sistema periódico, por tener las mismas propiedades químicas. Los núcleos tienen igual número atómico, pero distinta masa.
Difracción: Fenómeno característico de las propiedades ondulatorias de la materia, por el cual un obstáculo que se opone a la propagación libre de las ondas se presenta como fuente secundaria que emite ondas derivadas en todas direcciones
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos/teoatomicas/teoatomicas.shtml#ixzz2ccxHrRBw
Modelo atómico de BohrDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda
Diagrama del modelo atómico de Bohr.
El modelo atómico de Bohr o de Bohr-Rutherford es un modelo clásico del átomo, pero fue el primer modelo atómico en el que se introduce una cuantización a partir de ciertos postulados (ver abajo). Fue propuesto en 1913 por el físico danés Niels Bohr, para explicar cómo los electrones pueden tener órbitas estables alrededor del núcleo y por qué los átomos presentaban espectros de emisión característicos (dos problemas que eran ignorados en el modelo previo de Rutherford). Además el modelo de Bohr incorporaba ideas tomadas del efecto fotoeléctrico, explicado por Albert Einstein en 1905.
Índice
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1 Introducción 2 Postulados de Bohr
o 2.1 Primer postulado o 2.2 Segundo postulado o 2.3 Tercer postulado
3 Véase también 4 Referencias 5 Enlaces externos
Introducción[editar · editar fuente]
Bohr se basó en el átomo de hidrógeno para hacer el modelo que lleva su nombre. Bohr intentaba realizar un modelo atómico capaz de explicar la estabilidad de la materia y los espectros de emisión y absorción discretos que se observan en los gases. Describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón. El modelo atómico de Bohr partía conceptualmente del modelo atómico de Rutherford y de las incipientes ideas sobre cuantización que habían surgido unos años antes con las investigaciones de Max Planck y Albert Einstein.
En este modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo, ocupando la órbita de menor energía posible, o la órbita más cercana posible al núcleo. El electromagnetismo clásico predecía que una partícula cargada moviéndose de forma circular emitiría energía por lo que los electrones deberían colapsar sobre el núcleo en breves instantes de tiempo. Para superar este problema Bohr supuso que los electrones solamente se podían mover en órbitas específicas, cada una de las cuales caracterizada por su nivel energético. Cada órbita puede entonces identificarse mediante un número entero n que toma valores desde 1 en adelante. Este número "n" recibe el nombre de Número Cuántico Principal.
Bohr supuso además que el momento angular de cada electrón estaba cuantizado y sólo podía variar en fracciones enteras de la constante de Planck. De acuerdo al número cuántico principal calculó las distancias a las cuales se hallaba del núcleo cada una de las órbitas permitidas en el átomo de hidrógeno. Estos niveles en un principio estaban clasificados por letras que empezaban en la "K" y terminaban en la "Q".Posteriormente los niveles electrónicos se ordenaron por números. Cada órbita tiene electrones con distintos niveles de energía obtenida que después se tiene que liberar y por esa razón el electrón va saltando de una órbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energía que posea, para liberarse sin problema y de nuevo volver a su órbita de origen. Sin embargo no explicaba el espectro de estructura fina que podría ser explicado algunos años más tarde gracias al modelo atómico de Sommerfeld. Históricamente el desarrollo del modelo atómico de Bohr junto con la dualidad onda-corpúsculo permitiría a Erwin Schrödinger descubrir la ecuación fundamental de la mecánica cuántica.
Postulados de Bohr[editar · editar fuente]
En 1913, Niels Bohr desarrolló su célebre modelo atómico de acuerdo a tres postulados fundamentales:1
Primer postulado[editar · editar fuente]
Los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo del átomo sin radiar energía.
La causa de que el electrón no radie energía en su órbita es, de momento, un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga con un movimiento acelerado debe emitir energía en forma de radiación.
Para conseguir el equilibrio en la órbita circular, las dos fuerzas que siente el electrón: la fuerza coulombiana, atractiva, por la presencia del núcleo y la fuerza centrífuga, repulsiva por tratarse de un sistema no inercial, deben ser iguales en magnitud en toda la órbita. Esto nos da la siguiente expresión:
Donde el primer término es la fuerza eléctrica o de Coulomb, y el segundo es la fuerza centrífuga; k es la constante de la fuerza de Coulomb, Z es el número atómico del átomo, e es la carga del electrón, es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón en la órbita y r el radio de la órbita.
En la expresión anterior podemos despejar el radio, obteniendo:
Y ahora con ésta ecuación y sabiendo que la energía total es la suma de las energías cinética y potencial:
Donde queda expresada la energía de una órbita circular para el electrón en función del radio de dicha órbita.
Segundo postulado[editar · editar fuente]
No toda órbita para electrón está permitida, tan solo se puede encontrar en órbitas cuyo
radio cumpla que el momento angular, , del electrón sea un múltiplo entero de Esta condición matemáticamente se escribe:
con
A partir de ésta condición y de la expresión para el radio obtenida antes, podemos eliminar y queda la condición de cuantización para los radios permitidos:
con ; subíndice introducido en esta expresión para resaltar que el radio ahora es una magnitud discreta, a diferencia de lo que decía el primer postulado.
Ahora, dándole valores a , número cuántico principal, obtenemos los radios de las órbitas permitidas. Al primero de ellos (con n=1), se le llama radio de Bohr:
expresando el resultado en ångström.
Del mismo modo podemos ahora sustituir los radios permitidos en la expresión para la energía de la órbita y obtener así la energía correspondiente a cada nivel permitido:
Igual que antes, para el átomo de Hidrógeno (Z=1) y el primer nivel permitido (n=1), obtenemos:
que es la llamada energía del estado fundamental del átomo de Hidrógeno.
Y podemos expresar el resto de energías para cualquier Z y n como:
Tercer postulado[editar · editar fuente]
El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. Este fotón, según la ley de Planck tiene una energía:
donde identifica la órbita inicial y la final, y es la frecuencia.
Entonces las frecuecias de los fotones emitidos o absorbidos en la transición serán:
A veces, en vez de la frecuencia se suele dar la inversa de la longitud de onda:
Ésta última expresión fue muy bien recibida porque explicaba teóricamente la fórmula fenomenológica hallada antes por Balmer para describir las líneas espectrales observadas desde finales del siglo XIX en la desexcitación del Hidrógeno, que venían dadas por:
con , y donde es la constante de Rydberg para el hidrógeno. Y
como vemos, la expresión teórica para el caso , es la expresión predicha por Balmer, y el valor medido experimentalmente de la constante de Rydberg (
), coincide con el valor de la fórmula teórica.
Se puede demostrar que este conjunto de hipótesis corresponde a la hipótesis de que los electrones estables orbitando un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias. Un modelo atómico es una representación que describe las partes que tiene un átomo y como están dispuestas para formar un todo. Basándose en la constante de Planck consiguió cuantizar las órbitas observando las líneas del espectro.
Bohr unió la idea de átomo nuclear de Rutherford con las ideas de una nueva rama de la Ciencia: la Física Cuántica. Así, en 1913 formuló una hipótesis sobre la estructura atómica en la que estableció tres postulados:
¤ El electrón no puede girar en cualquier órbita, sino sólo en un cierto número de órbitas estables. En el modelo de Rutherford se aceptaba un número infinito de órbitas.¤ Cuando el electrón gira en estas órbitas no emite energía.¤ Cuando un átomo estable sufre una interacción, como puede ser el imapacto de un electrón o el choque con otro átomo, uno de sus electrones puede pasar a otra órbita estable o ser arrancado del átomo.
El átomo de hidrógeno según el modelo atómico de Bohr¤ El átomo de hidrógeno tiene un núcleo con un protón.¤ El átomo de hidrógeno tiene un electrón que está girando en la primera órbita alrededor del núcleo. Esta órbita es la de menor energía.¤ Si se le comunica energía a este electrón, saltará desde la primera órbita a otra de mayor energía. cuando regrese a la primera órbita emitirá energía en forma de radiación luminosa.
En la siguiente simulación puedes elegir la órbita de giro del electrón. Observa cómo las energías de las órbitas más exteriores son mayores que las de las órbitas más interiores. "r" es el radio de la órbita.
Anexo:Isótopos de hidrógenoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda
El protio es el isótopo más común del hidrógeno, consiste únicamente de un protón y un electrón. Es el único de todos los isótopos estables que no posee neutrones.
El hidrógeno tiene tres isótopos naturales, algunas veces se les denomina como 1H, 2H y 3H, también conocidos como protio, deuterio y tritio, respectivamente. Se ha logrado sinterizar en laboratorios otros radioisótopos que van desde el 4H al 7H. El más estable de todos los radioisótopos del hidrógeno es el tritio, el cual posee una vida media de 12.32 años. Todos los demás isotopos más pesados que el tritio son sintetizados y tienen una vida media menos a un Zeptosegundo (10-21 segundos), de estos, el 5H es el más estable y el más inestable es el 7H1 2
El hidrógeno es el único elemento que tiene diferentes nombres para sus isótopos en el uso corriente. El 2H (también H-2 o hidrógeno-2) es más comúnmente referido como deuterio mientras que el 3H (también H-3 o hidrógeno-3) es más aludido como tritio, también es común referirse a estos isótopos con los símbolos de D y T (en lugar de 2H y 3H) como si fueran elementos químicos puros, sin embargo la IUPAC ha declarado que si bien esta forma de referirse a estos isótopos es común, no es recomendable. Al átomo de hidrógeno que no contiene un neutrón en su núcleo se le conoce como protio, sin embargo se le conoce más como simplemente hidrógeno o hidrógeno-1. (Durante los primeros estudios sobre radioactividad, a algunos radioisótopos pesados también se les conocía con un nombre particular, sin embargo, esos nombres son raramente usados en la actualidad)
Masa atómica estándar 1.00782504(7) u
Índice
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1 Protio 2 Deuterio 3 Tritio 4 Hidrógeno-4
o 4.1 Hidrógeno-4.1 (Helio muonico) 5 Hidrógeno-5 6 Hidrógeno-6 7 Hidrógeno-7 8 Tabla
o 8.1 Notas 9 Véase también 10 Referencias 11 Enlaces externos
Protio[editar · editar fuente]
Artículo principal: Protio.
El protio, hidrógeno-1, 1H o1H, es el más común de todos los isótopos estables de hidrógeno, con una abundancia natural de más del 99.98%. Debido a que su núcleo está compuesto de un único protón se le da el nombre descriptivo de protio, sin embargo este nombre es poco usado en la practica, a diferencia de los nombres de los otros isótopos del hidrógeno.
Deuterio[editar · editar fuente]
Artículo principal: Deuterio.
El deuterio, hidrógeno-2, 2H o 2H, es otro de los isótopos estables de hidrógeno, su núcleo atómico está compuesto por un protón y un neutrón en su núcleo. El deuterio comprende del 0.0026 - 0.0184% (en población, no en masa) de todo el hidrógeno terrestre, el porcentaje más bajo tiende a ser encontrado en el hidrógeno gaseoso, mientras que las concentraciones más ricas (0.015% o 150 ppm) tienden a encontrarse en el agua de mar. Este isótopo no es radioactivo y no representa un riesgo significativo de toxicidad. Las moléculas de agua que contienen deuterio en lugar de protio se les conoce como agua pesada, si la molécula solo contiene un átomo de deuterio y otro de protio se le conoce como agua semipesada.
El deuterio y sus componentes son usados como "etiquetas" o "marcadores" no radioactivos en experimentos químicos o en solventes para 1H-Espectroscopia NMR. El agua pesada es utilizada como un moderador de neutrones y un refrigerante en reactores nucleares. El deuterio es también un combustible potencia para la fusión nuclear comercial. el numero masico del deuterio es de 2.014707
Tritio[editar · editar fuente]
Artículo principal: Tritio.
El tritio, hidrógeno-3, 3H, 3H, es el tercer y último isótopo natural del hidrógeno, está compuesto por un protón y dos neutrones en su núcleo atómico. Este isótopo es radioactivo, decae a Helio-3 mediante desintegración beta, tiene una vida media de 12.32 años.3 Pequeñas trazas de tritio se producen naturalmente debido a la interacción de rayos cósmicos con los gases atmosféricos, también puede ser producido durante pruebas nucleares. Es usado en armas de fusión termonuclear, como un trazador en la geoquímica de isótopos y especialmente en dispositivos de iluminación autoalimentados. El método más común para producir tritio es bombardeando un isótopo natural de litio, el litio-6, con neutrones en un reactor nuclear.
El tritio es usado frecuentemente en marcaciones químicas y biológicas como un marcador radioactivo. La fusión nuclear D-T utiliza al tritio como el principal reactivo, junto con el deuterio, liberando energía a través de la pérdida de masa cuando los dos núcleos chocan y se fusionan a temperaturas altísimas.
El agua que contiene átomos de tritio en lugar de protio se llama agua superpesada o agua tritiada, y a la mezcla que contiene un átomo de deuterio y otro de tritio se le denomina agua semi- superpesada.
Esquema de los tres isótopos naturales del hidrógeno, de izquierda a derecha: protio, deuterio y tritio.
Hidrógeno-4[editar · editar fuente]
El hidrógeno-4, 4H o 4H, es el isótopo sintético de hidrógeno de menor masa, posee un protón y tres neutrones en su núcleo, este isótopo es altamente inestable. Se ha sintetizado en laboratorios mediante el bombardeo de átomos de tritio con núcleos de deuterio a alta velocidad.4 Es estos experimentos, el núcleo de tritio captura neutrones que provienen de los núcleos de deuterio que se mueven a alta velocidad. Su masa atómica es de 4.02781 ± 0.00011 u.5 Decae mediante emisión de neutrones y tiene una vida media de (1.39 ± 0.10) × 10−22 segundos.6
Hidrógeno-4.1 (Helio muonico)[editar · editar fuente]
El helio muonico o hidrógeno 4.1, es creado mediante la substitución de uno de los electrones del Helio-4 por un muon. El muon órbita el núcleo muchas más cerca de lo que lo hace el electrón, por lo que, teóricamente el helio muonico se puede ser considerado como un isótopo de hidrógeno cuyo núcleo consistiría de 2 neutrones, 2 protones y un muon, con un único electrón orbitando el núcleo. Un muon pesa alrededor de 0.1u, de ahí el nombre de hidrógeno-4.1. El hidrógeno-4.1 puede enlazarse con otros átomos, y se comporta más como un átomo de hidrógeno que como uno de helio (el cual es normalmente inerte).7
Hidrógeno-5[editar · editar fuente]
El hidrógeno-5, 5H o 5H, es un isótopo altamente inestable del hidrógeno, su núcleo consiste de un protón y 4 neutrones. Se produce sinteticamente en laboratorios mediante el bombardeo de tritio con núcleos de tritio de alta velocidad.4 8 En estos experimentos, uno de los núcleos de tritio captura dos neutrones de otro, convirtiéndose en un núcleo con un único protón y 4 neutrones. El protón retante es detectado y de él se deduce la existencia
del hidrógeno-5. Decae mediante doble emisión de neutrones y posee una vida media de menos de 9.1 × 10−22 segundos.6
Hidrógeno-6[editar · editar fuente]
El hidrógeno-6, 6H o 6H, decae mediante triple emisión de neutrones y tiene una vida media de 2.90×10−22 segundos.6 consiste en 1 protón y 5 neutrones en su núcleo.
Hidrógeno-7[editar · editar fuente]
El hidrógeno-7, 7H o 7H, consiste de un núcleo con 6 neutrones y 1 protón. Fue sintetizado por primera vez en 2003 por un grupo de científicos rusos, japoneses y franceses en el laboratorio de ciencia de haces "RIKEN", para ello bombardearon hidrógeno con átomos de helio-8. El resultado fue que los neutrones del helio-8 fueron donados al núcleo del hidrógeno. Los dos protones remanentes fueron detectados por el "Telescopio RIKEN", un aparato compuesto por múltiples capas de sensores.2
Tabla[editar · editar fuente]
símbolo
del nuclei
do
Z(p)
N(n)
masa isotópica (u)
vida media
método(s) de
decaimiento(s)9
isótopo(s)
hijo(s)n
1
espínnucle
ar
Composición
isótopicarepresentat
iva(fracción molar)n 2
rango de
variación
natural(fracció
n molar)
1 H 1 01.00782503207(10)
Establen 3 n 4 1⁄2+ 0.999885(70)
0.999816–0.999974
2 H n 5 1 12.0141017778(4)
Estable 1+ 0.000115(70)n 6
0.000026–0.000184
3 H n 7 1 23.0160492777(25)
12.32(2) a β - 3He 1⁄2+ Trazasn 8
4H 1 3 4.02781(11)1.39(10)×10−22 s[4.6(9)MeV]
n 3H 2−
5H 1 4 5.03531(11)>9.1×10−22 s?
n 4H (1⁄2+)
6H 1 5 6.04494(28) 2.90(70)×10−22 s[1.6(4)
3n 3H 2−#4n 2H
MeV]
7H 1 6 7.05275(108)#
2.3(6)×10−23 s#[20(5) MeV]#
1⁄2+#
1. ↑ negrita para los isótopos estables2. ↑ En agua.3. ↑ Superior a 6.6×1033. Véase Desintegración del protón.4. ↑ Este y el 3He son los únicos nucleidos estables con más protones que neutrones5. ↑ Producido durante la Nucleosíntesis primordial6. ↑ Debido a que el 2H tiene una abundancia menor a 3.2×10−5 (fracción molar).7. ↑ Producido durante la nucleosíntesis del Big Bang, pero no la primordial, todo los átomos
de la nucleosíntesis primordial ya debieron decaer a 3He8. ↑ cosmogénico
El hidrógeno poseetres isótopos naturalesque se denotan como1H, 2H y 3H.Otros isótopos altamenteinestables (del4H al 7H) han sido sintetizadosen laboratorio,pero nunca observadosen la naturaleza.1H es el isótopo máscomún del hidrógenocon unaabundanciade más del99,98%.Debido aque elnúcleo deeste isótopoestáformado porun soloprotón se leha bautizado como protio,nombre que a pesarde ser muy descriptivo,es poco usado.2H, el otro isótopo
estable del hidrógeno,es conocido comodeuterio y su núcleocontiene un protón y unneutrón. El deuteriorepresentael 0,0026%o el0,0184%(según seaen fracciónmolar ofracciónatómica)del hidrógenopresenteen la Tierra,encontrándose lasmenores concentracionesen el hidrógenogaseoso, y las mayores(0,015% o 150ppm) en aguas oceánicas.El deuterio noes radiactivo, y norepresenta un riesgosignificativo de toxicidad.Elagua enriquecidaenmoléculasque incluyendeuterio enlugar dehidrógeno 1H(protio), sedenominaagua pesada.El deuterio ysus compuestos seemplean en marcadono radiactivo en experimentosy tambiénen disolventes usadosen espectroscopía 1H- RMN. El agua pesada
se utiliza comomoderador de neutronesy refrigeranteen reactores nucleares.El deuterio estambién unpotencial combustiblepara lafusión nuclearcon fines comerciales.3H se conocecomo tritioy contiene unprotón y dos neutronesen su núcleo. Es radiactivo,desintegrándoseen 32He+ a través de unaemisión beta. Posee unperiodo de semidesintegraciónde 12,33 años.Pequeñas cantidades detritio se encuentran enla naturaleza por efectode la interacción de losrayos cósmicos con losgases atmosféricos.También ha sido liberadotritio por la realizaciónde pruebas de armamentonuclear. Eltritio se usa en reaccionesde fusión nuclear,como trazador enGeoquímica Isotópica, yen dispositivos luminoIsótoposdel hidrógenoPágina 2 de 2sos auto - alimentados.Antes era común emplearel tritio como radiomarcadoren experimentosquímicos y biológicos,pero actualmentese usa menos.
El hidrógeno es elúnico elemento que diferentesnombres comunespara cada uno desus isótopos (naturales).Durante los iniciosde los estudiossobre la radiactividad,a algunos isótoposradiactivos pesadosles fueron asignadosnombres, peroninguno de ellos sesigue usando). Lossímbolos D y T (enlugar de 2H y 3H) seusan a veces para referirseal deuterio y altritio, pero el símbolo Pcorresponde al fósforoy, por tanto, no puedeusarse para representaral protio. La IUPAC declaraque aunque el usode estos símbolos seacomún, no es lo acon
EL ATOMO Y SU ESTRUCTURA Esta publicación, resume los modelos atómicos, estudiados desde la
antigüedad,desde Leucipo y Demócrito, hasta la teoría cuántica.
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NÚMERO ATÓMICO, NÚMERO MÁSICO E ISÓTOPOS
EL NÚMERO ATÓMICO
Es el número de protones que tiene un átomo y se representa con Z. Como los
átomos son neutros, Z nos indica en cierto modo el número de electrones. Por tanto,
Número de protones = Número de electrones.
La suma del número de protones y neutrones se denomina Número Másico: (A).
Simbólicamente cada núcleo de un determinado elemento indicando el número
atómico y el número de protones se representaría así:
Cada elemento químico se caracteriza porque tiene un Z (número atómico) diferente,
es decir, un número de protones diferentes. Si nos fijamos en la tabla periódica, los
elementos químicos están ordenados según su número atómico, Z. Al ir sumando un
protón vamos pasando de un elemento a otro.
No se debe olvidar que Z determina el elemento químico del que se está hablando.
Así, un átomo que tenga número atómico 3, será siempre Litio.
Número de masa = Número de protones + Número de neutrones
O lo que es lo mismo:
A = Z + NNúmero de Neutrones = Número de masa – Número de
protonesN = A - Z
¿Pero qué puede suceder cuando ocurra que haya varios átomos diferentes, pero
todos ellos con un protón en su núcleo?. ¿Que elemento sería? Todos serían
Hidrógeno, ya que como se ha dicho, el número atómico determina el elemento que
se trata, ahora, es importante tener en cuenta que, quizá la diferencia entre dichos
átomos estribe en el número de neutrones. Cada una de estas especies, que son
diferentes, pero que todas son el elemento hidrógeno, se llaman isótopos.
Los isótopos son átomos que tienen el mismo número atómico (se trata del mismo
elemento), pero distinto número másico, es decir, tienen diferente el número de
neutrones. Como ejemplo, se tiene el Hidrógeno y sus 3 isótopos, el Protio, el
Deuterio y el Tritio; los 3 tienen el mismo número atómico de 1 porque poseen un sólo
protón en el núcleo.
· El isótopo con A = 1, denominado protio, que carece de neutrones.
· El isótopo con A = 2, llamado deuterio (que posee un neutrón).
· El isótopo con A = 3, denominado tritio, que posee dos neutrones.
Para referirse a un determinado isótopo, se escribe así: .
Aquí X es el símbolo químico del elemento, Z es el número atómico, y A es el
número de neutrones y protones combinados, llamado el número de masa. Por
ejemplo, el hidrógeno ordinario se escribe:
EL deuterio es:
El titrio es:
USOS DE LOS ISÓTOPOS, ellos son utilizados en:
Vacunas. Se han elaborado radiovacunas para combatir enfermedades parasitarias
del ganado y que afectan la producción pecuaria en general.
a. Medicina Nuclear. Se ha extendido el uso de radiaciones y de radioisótopos en
medicina como agentes terapéuticos y de diagnóstico. En el diagnóstico se utilizan
radiofármacos para diversos estudios como: Tiroides, Hígado, Riñón, Metabolismo,
Circulación sanguínea, Corazón, Pulmón.
En Terapia médica con técnicas nucleares se pueden combatir ciertos tipos de
cáncer. Con frecuencia se utilizan tratamientos en base a irradiaciones con rayos
gamma provenientes de fuentes de Cobalto-60.
b. Radioinmunoanálisis. Es un método de gran sensibilidad utilizado para realizar
mediciones de hormonas, enzimas, virus de la hepatitis.
c. Radiofármacos. Se administra al paciente un cierto tipo de fármaco radioactivo que
permite estudiar mediante imágenes bidimensionales o tridimensionales (tomografía)
el estado de diversos órganos del cuerpo humano.
EJEMPLO
Para cada uno de los átomos indicados, identifique el número de protones, (p+),
electrones, (e-) y neutrones, (N). Identifique también a qué elemento pertenecen:
Solución:
Según la notación, en la parte superior izquierda está el número de masa, A; en la
parte inferior izquierda está el número atómico, Z, que identifica al elemento, ya que
es igual al número de protones y el número de protones = número de electrones, y así
se va a identificar cada elemento:
se conoce que Z = 30,
número de protones = número de electrones = 30,
Ahora, en la tabla periódica, se busca el elemento correspondiente, este es el Zn
(cinc)
Número de neutrones (N) = Número de masa – Número de protones
N = A – Z, por lo tanto, N = 60 – 30 = 30 neutrones.
Realizar el numeral b, c y d
Un núcleo se considera estable si no se transmuta espontáneamente en 1021años, si
bien puede transmutarse en otros núcleos bajo ciertas condiciones.
Hay 118 elementos químicos conocidos hasta la fecha (Abril de 2007), de los cuales,
92 existen en la naturaleza y el resto han sido obtenidos artificialmente. Se conocen
hoy en día unos 2000 núclidos, de los cuales son estables 274. Unos 340 existen en
la Naturaleza y el resto se han producido en el laboratorio. Por tanto, la mayoría de los
núclidos son radiactivos.
Los núclidos radiactivos son inestables y se transforman espontáneamente con el
tiempo formando otros núclidos.
