ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

บทท 8 พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน

(Potential Energy and Conservation of Energy)

8.1 พลงงาน (Energy) พลงงานหมายถง “ความสามารถในการทางาน” ทกสงทกอยางในโลกนตางกมพลงงานดวยกนทงสน พลงงานปรากฏอยในหลายรปแบบทแตกตางกน เชน พลงงานไฟฟา พลงงานเคม พลงงานความรอน พลงงานจลน พลงงานศกย พลงงานแสง พลงงานนวเคลยร ฯลฯ ในชวตประจาวนของทกคนเกยวของกบพลงงานและใชพลงงานตลอดเวลา เชน การเดนทางไปทางานของทกคนตองใชพลงงาน ถาเดนทางโดยรถยนตกจะใชพลงงานจากนามน ถาเดนทางโดยรถไฟฟากจะใชพลงงานจากกระแสไฟฟา ถาเดนเทาไปในทตางๆกใชพลงงานเคมในรางกาย ไมมการทางานใดเลยทไมใชพลงงาน ในบทนจะกลาวถงเฉพาะพลงงานศกยและพลงงานจลนเทานน โดยพลงงานทงสองนเรยกรวมๆกนวา “ พลงงานกล ” พลงงานกล แบงไดเปน 2 ประเภท คอ

1) พลงงานจลน (Kinetic energy ; K ) หมายถงพลงงานทอยในวตถทกาลงเคลอนท เชน คนกาลงวง รถกาลงวง ลกรกบกาลงเคลอนท ฯลฯ ดงรป 8.1

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 82

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.1 พลงงานจลนของสงตางๆ

รป 8.2 พลงงานจลนของการเคลอนท

2) พลงงานศกย (Potential energy; U )

เปนพลงงานทสะสมอยในวตถและพรอมทจะทางาน เชน คนทนงอยเฉยๆ นาในเขอน วตถทวางอย ดงรป 8.3

รป 8.3 พลงงานศกยของสงตางๆ

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 83

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ทงพลงงานจลนและพลงงานศกย สามารถเปลยนรปกลบไปกลบมาได ตวอยางของการเปลยนรปกลบไปกลบมาระหวางพลงงานจลนกบพลงงานศกย ไดแก การแกวงกลบไปกลบมาของลกตมนาฬกา ดงรป 8.4

รป 8.4 การเปลยนรปพลงงานของลกตมนาฬกา

ถาไมมการสญเสยพลงงาน ลกตมนาฬกากจะแกวงกลบไปกลบมาตลอดไป โดยพลงงานรวม ( )E

ทตาแหนงใดๆจะมคาคงตว

รป 8.5 การเปลยนรปของพลงงาน จากพลงงานศกยเปนพลงงานจลน

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 84

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

พลงงานศกย จาแนกไดเปน 4 ประเภท คอ 1) พลงงานศกยโนมถวง ( )gU 2) พลงงานศกยยดหยน ( )sU 3) พลงงานศกยไฟฟา 4) พลงงานศกยแมเหลก ในบทนจะกลาวถงเฉพาะพลงงานศกยโนมถวง ( )gU และพลงงานศกยยดหยน ( )sU เทานน 1) พลงงานศกยโนมถวง (Gravitational Potential Energy ; gU ) หมายถงพลงงานศกยของวตถ ทเกดจากสนามโนมถวงหรอแรงโนมถวงของโลก ขนาดของพลงงานศกยโนมถวงขนอยกบระดบความสงของวตถ หรอเขยนเปนสมการไดวา gU mgh= (8.1)

รป 8.6 การยกมวลขนไปวางในทสง มวลนนจะมพลงงานศกยมากขน

พลงงานศกยโนมถวงเกดจากสนามโนมถวงของโลก โดยสนามโนมถวงของโลกมลกษณะ ดงรป 8.7

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 85

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.7 สนามโนมถวงของโลก

ถาพจารณาสนามโนมถวงทบรเวณผวโลก จะพบวาสนามโนมถวงบรเวณผวโลกมคาสมาเสมอ ดงรป 8.8

รป 8.8 ลกษณะของสนามโนมถวงบรเวณผวโลก

พจารณาการเคลอนทของวตถมวล m จากระยะความสง yi ลงมายงตาแหนง yf ตามแนวดงดงรป 8.9

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 86

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8. 9 งานในการเคลอนวตถจากจดหนงมายงอกจดหนง งานทแรงโนมถวงทา gW F= ⋅d gW m= ⋅g d ถาเขยนใหอยในรปเวกเตอรจะได

(- ) ( ) g f iW mg y y= ⋅ −j j g i fW mgy mgy= − (8.2) เมอ imgy คอพลงงานศกยตอนเรมตน iU fmgy คอพลงงานศกยตอนทาย fU สมการ (8.2) เขยนใหมไดเปน g i fW U U= − หรอ ( )g f iW U U U= − − = ∆ (8.3) สมการ (8.3) มความหมายวา งานทแรงโนมถวงทามคาเทากบพลงงานศกยโนมถวงของวตถทเปลยนไป สมการ (8.3) ถาเขยนใหอยในรปทวไป จะไดวา

( )f iW U U U= − − = ∆ (8.4) สมการ(8.4) มความหมายวา งานของแรงชนดใดๆมคาเทากบพลงงานศกยของวตถทเปลยนไป พลงงานศกยยดหยน (Elastic Potential Energy ; sU ) หมายถงพลงงานศกยทสะสมอยในวตถทมความยดหยน เชน สปรง ยาง คนธน ฯลฯ ขนาดของพลงงานศกยยดหยนมคาขนอยกบระยะยด

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 87

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

และคาคงตวของวตถทมความยดหยน ซงเขยนเปนสมการไดวา 21

2sU kx= (8.5)

รป 8.10 พลงงานศกยยดหยน การศกษาเกยวกบพลงงานศกยยดหยนของสงตางๆ ในทนจะใชสปรงเปนตวแทนของวตถทมความยดหยน เนองจากสปรงมความยดหยนสงและสะดวกทจะใชในการศกษา

รป 8.11 ออกแรงดงสปรงใหยดออกเปนระยะ x

จากรป 8.11 ออกแรงดงสปรงใหยดออกเปนระยะ x สปรงกจะมพลงงานศกยยดหยน 212sU kx=

ถาเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรง(F) กบระยะยด(x) จะไดกราฟดงรป 8.11

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 88

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.11 กราฟแสดงความสมพนธระหวางแรง(F) กบระยะยด(x)

ในทานองเดยวกนถาอดสปรงใหหดเขาไปเปนระยะ x ดงรป 8.12 สปรงกจะมพลงงานศกยยดหยน 21

2sU kx= เชนเดยวกน

รป 8.12 ออกแรงอดสปรงเปนระยะทาง x เมอปลอยมอพลงงานศกยยดหยน ( )sU

ของสปรงจะเปลยนไปเปนพลงงานจลนของมวล

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 89

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

และงานทใชในการอดสปรง สามารถคานวณหาไดจากสมการ 2 21 1

2 2s i fW kx kx= − (8.6) เมอ ix คอระยะยดเรมตนของสปรง fx คอระยะยดสดทายของสปรง 8.2 แรงอนรกษและแรงไมอนรกษ (conservative and nonconservative forces) ถาแบงประเภทของแรง โดยใชงานทเกดขนเปนเกณฑในการแบง จะแบงแรงไดเปน 2 ประเภท คอ 1) แรงอนรกษ 2) แรงไมอนรกษ แรงอนรกษ (conservative force) แรงอนรกษหมายถงแรงใดๆ ทเมอทางานแลวปรมาณ งานทเกดขนมคา ขนอยกบจดเรมตนและจดสดทาย ถาจดเรมตนและจดสดทายเปนจดเดยวกน งานททากจะมคาเทากน ดงรป 8.13

รป 8.13 งานของแรงอนรกษไมขนกบเสนทางในการเคลอนท

แรงอนรกษไดแก แรงโนมถวง แรงไฟฟา แรงแมเหลก แรงโนมถวงเปนแรงอนรกษ เนองจากงานของแรงโนมถวงไมขนอยกบเสนทาง เชนการแบกสงของเดนขนอาคารไมวาจะเดนขนบนได ดงรป 8.14

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 90

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.14 งานของแรงโนมถวงไมขนอยกบเสนทางในการเคลอนท

รป 8.14 งานของแรงโนมถวงไมขนอยกบเสนทางในการเคลอนท(พนไมมแรงเสยดทาน)

แรงไมอนรกษ (nonconservative force) แรงไมอนรกษ หมายถงแรงใดๆททางานแลว งานของแรงนนขนอยกบเสนทาง แรงชนดนไดแกแรงเสยดทาน ตวอยางเชน ในการเลอนหนงสอจากจด A ไปยงจด B ตามเสนทางตางกนงานททากจะมคาตางกน ถาเสนทางยาวกจะตองทางานมาก ดงรป 8.15

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 91

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.15 งานของแรงไมอนรกษขนอยกบเสนทาง

8.3 แรงอนรกษและพลงงานศกย (conservation force and potential energy) จาก งาน = พลงงานศกยทเปลยนไป หรอ cW U= −∆ ( )c f iW U U= − − (8.7) c i fW U U= − f

i

x

x i fxF dx U U= −∫

( )x f

fxi

U x F dx Ux i= − +∫

เพอใหงาย มกกาหนดให iU เปนศนยทตาแหนงอางองใดๆ ดงนนจงไดวา ( )

x ff

xiU x F dxx= − ∫ (8.8)

สมการ (8.8) มความหมายวา พลงงานศกย มคาเทากบ งานททาในการเคลอนวตถจากจด ix ไปยงจด fx 8.4 กฎการอนรกษพลงงาน (conservation of energy) ปรมาณหลายปรมาณเปนปรมาณทมคาคงตว พลงงานกเปนปรมาณหนงทมคาคงตว จงมการตงเปนกฎการอนรกษพลงงาน กฎนเขยนเปนสมการไดวา i fE E= i i f fK U K U+ = + (8.9)

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 92

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.16 พลงงานขณะทนากาลงตกลงมา มคาคงตว

นกศกษาสามารถศกษา การทดลองเสมอนจรงเรอง กฎการอนรกษพลงงาน ไดจาก www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/CoasterApplet.html www.rmutphysics.com/physics/oldfront/94/work-momentum.htm

ตวอยาง 8.1 จงอธบายการเปลยนรปของพลงงานทเกดขน ระหวางทนกกฬา กาลงกระโดดคาถอ ดงรป 8.17

รป 8.17

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 93

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

คาตอบ พลงงานจลนของนกกฬา (นกกฬาวง ) → พลงงานศกยยดหยนของไม(ไมงอ ) → พลงงานศกยโนมถวงของนกกฬา (นกกฬาลอยขน ) → พลงงานจลนของนกกฬา (นกกฬาตกลงมา )

ตวอยางท 8.3 ถาปลอยวตถมวล m ใหตกลงมาอยางเสร จากความสง h ดงรป 8.18

รป 8.18

จงหา ก) อตราเรว ( )v ของวตถ ณ ตาแหนง y ข) ถาไมไดปลอยใหวตถตกลงมาเอง แตทมวตถลงมาดวยความเรวตน จงหาอตราเรว

ของวตถ ณ ตาแหนง y วธทา ก) จาก กฎการอนรกษพลงงาน จะได i fE E= ffii UKUK +=+ 0 + mgymvmgh f += 2

21

212 fmgh mgy mv− =

ได )(22 yhgv f −= ณ ตาแหนง y วตถจะมความเรว )(2 yhgv f −= ตอบ ข) จาก ffii UKUK +=+

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 94

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

mgymvmghmv fi +=+ 22

21

21

2 21 12 2i fmv mgh mgy mv+ − =

ได )(222 yhgvv if −+= ณ ตาแหนง y วตถมความเรว )(22 yhgvv if −+= ตอบ ตวอยาง 8.4 ทรงกลมตนมวล 10 kg ตกจากทสง 1 เมตร กระทบกบสปรงทมคาคงตว k = 150 N/m. จงหา a) อตราเรวขณะททรงกลมสมผสกบสปรง b) ระยะมากสดทสปรงถกอดเขาไป c) แรงดนกลบสงสดของสปรง

h = 1 m

k = 150 N/m

0

h = 1 m

k = 150 N/m

0

h = 1 m

k = 150 N/m

0

รป 8.19 เรมตน

จากกฎการอนรกษพลงงาน i fE E= i i f fK U K U+ = + 2 2

0 01 12 2i imv mgy mv mgy+ = +

2 2 21 1(0) (10 )(10 / )(1 ) (10 ) (0)2 2

m kg m s m kg v mg+ = +

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 95

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

20 4.47 /v m s= = อตราเรวขณะทวตถสมผสสปรง 4.47 /v m s= ตอบ

b) หาระยะทสปรงถกอดเขาไปมากทสด ไดจากกฎการอนรกษพลงงาน คอ

h = 1 m

k = 150 N/m

yi

yf

dy = 0

h = 1 m

k = 150 N/m

yi

yf

dy = 0

h = 1 m

k = 150 N/m

yi

yf

dy = 0

รป 8.20 ขณะอดสปรงใหหดสนทสด จาก i fE E= gi si gf sfU U U U+ = + เมอ giU คอพลงงานศกยโนมถวงทจดเรมตน gfU คอพลงงานศกยโนมถวงทจดสดทาย siU คอพลงงานยดหยนทจดเรมตน sfU คอพลงงานยดหยนทจดสดทาย 2 21 1

2 2i i f fmgy kx mgy kx+ = +

2 21 1(0)2 2imgh k mgd kd+ = +

21 02

kd mgd mgh− − =

2 22 (2 ) 4(2 )

2mg mg kmgh

dk

± +=

2 2( ) (2 )mg mg kmgh

dk

± +=

2 2 2(10 )(10 / ) (10 10 ) (2 150 10 10 1 )

150 /kg m s N N

dN m

± × + × × × ×=

2, 0.67d m= −

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 96

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ระยะทสปรงถกอดเขาไปมากทสด 2d m= ตอบ

หาแรงดนกลบของสปรงไดจากสมการ F kx= − (150 / )(2 ) 300F N m m N= − = − แรงดนกลบสงสดของสปรง 300F N= − ตอบ ตวอยาง 8.5 ลกตมนาฬกามวล m ยาว L ดงรป 8.21

รป 8.21 จงหา

ก) อตราเรวของลกตมนาฬกาขณะทอยทจดตาสด ข) แรงตงในเสนเชอก ขณะทลกตมนาฬกาอยทจดตาสด

วธทา ก) หาอตราเรวของลกตมนาฬกาขณะทอยทจดตาสดไดจาก กฎการอนรกษพลงงาน คอ

A BE E= A A B BK U K U+ = + 2

B10 ( cos ) ( )2

mgL mv mgLθ+ − = + −

2B2 (1 cos )AgL vθ− =

อตราเรวของลกตมนาฬกาทจดตาสด )cos1(2 AB θ−= gLv ตอบ

จาก 2mvF

r=∑

2B

BmvT mg

L− =

2 (1 cos )B

gLT mg mL

θ−− =

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 97

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

2 (1 cos )B AT mg θ= − )cos1(2 AB θ−+= mgmgT แรงตงในเสนเชอกขณะทลกตมนาฬกาอยทจดตาสด A(3 2cos )BT mg θ= − ตอบ ตวอยาง 8.6 กอนกระทบพน มวล 2 kg มพลงงานจลน 400 J จงหาความสงทมวลน ตกลงมา

วธทา จาก กฎการอนรกษพลงงาน พลงงานศกย = พลงงานจลน 21

2mgh mv=

22 9 8 400( )( . / )kg m s h J= 20 4.h m=

วตถนตกลงมาจากความสง 20.4 m ตอบ ตวอยาง 8.7 เมอนามวล 300 g ไปแขวนไวทปลายสปรงทาใหสปรงยดออก 2 cm แตถาใช มวล 500 g แขวนแทนมวลเดม สปรงจะยดออก 8 cm ดงรป จงหาคาคงตวของสปรง

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 98

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

วธทา จาก แรงดง F k x∆ = ∆

Fkx

∆=∆

mgkx

∆=

∆

20 2 9 8 32 70 06

( . )( . / ) . /( . )

kg m sk N mm

∆= =

∆

คาคงตวของสปรง 32 7. /k N m= ตอบ ตวอยาง 8.8 ถานามวล 200 g มาถวงทปลายสปรง ทาใหสปรงยดออก 8 cm จงหางานททาโดยมวล 200 g

วธทา จากงานททา 21

2W kx= (1)

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 99

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

เมอ Fkx

∆=∆

20 2 9 8 24 5

0 08( . )( . / ) . /

( . )kg m sk N m

n= = (2)

แทนคาตางๆใน (1) ได 21

2W kx=

224 5 0 08 0 982

. / ( . ) .N m mW J= = งานททาโดยมวล 0 98. J= ตอบ 8.5 งานททาในกรณทมแรงไมอนรกษ (work don by nonconservative force)

รป 8.22

จากทฤษฎงาน - พลงงาน งานเทากบพลงงานทเปลยนไป หรอเขยนไดวา W K=∆∑ พจารณาการยกสงของในรป 8.22 จะไดวา app gW W K+ = ∆ (8.10) เมอ gW คองานของแรงโนมถวง appW คองานของแรงอนๆ จาก gW U= −∆

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 100

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

จะได appW U K− ∆ = ∆ appW K U= ∆ + ∆ appW E= ∆ (8.11) สมการ (8.11) มความหมายวา งานของแรงแรงอนๆ มคาเทากบพลงงานทเปลยนไป ในกรณทแรงอนๆเปนสถานการณทมแรงเสยดทาน ดงรป 8.23

รป 8.23

จะได kf d E− = ∆ เมอ kf คอแรงเสยดทาน d คอระยะทางทเคลอนทได

รป 8.24 งานของแรงโนมถวง ( )gW

ตวอยาง 8.9 กลองมวล m เทากบ 3kg ไถลลงมาตามพนเอยง ดงรป 8.25 จงหาอตราเรวของกลองขณะถงพน

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 101

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.25

วธทา จาก งาน = พลงงานทเปลยนไป k f if d E E= − 21

2k f if d mv mgy= −

212 f k imv f d mgy= −

21 (3 ) (5N)(1 m)2 fkg v = 2(3 kg)(9.8m/s )(0.5 m) −

21 (3 ) 9.72 fkg v J=

จะได 2 2 26.47 m / sfv = ขณะกลองถงพนจะมอตราเรว m/s 2.54=fv ตอบ

ตวอยาง 8.10 เดกคนหนงมมวล ( ) 20m kg= ไถลลงมาจากสไลเดอร จากจดทมความสง 2 m ดงรป 8.26

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 102

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.26 การเปลยนพลงงานศกยเปนพลงงานจลน จงหา

ก) อตราเรวของเดกขณะหลดจากสไลเดอรลงสนา (ไมคดแรงเสยดทาน) ข) ถามแรงเสยดทาน และอตราเรวของเดกขณะหลดลงสนา = 3 m/s

จงหางานทสญเสยไปเนองจากแรงเสยดทาน วธทา

ก) จาก กฎการอนรกษพลงงาน i fE E= หรอ ff UKUK +=+ i i 0 - 0

21 2 += fmvmgh

ได ghv f 2= 22(9.8 m/s )(2 m)fv = อตราเรวของเดกขณะหลดจากสไลเดอร 6.26 m/sfv = ตอบ

ข) ถาพนมแรงเสยดทาน จะได f f iW E E= − หรอ ( ) ( )f f f i iW K U K U= + − + 21( 0) (0 )

2f fW mv mgh= + − +

212f fW mv mgh= +

2 21( 20kg)(3m/s) (20kg)(9.8 m/s )(2 m)2fW = −

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 103

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

งานทสญเสยไปเนองจากแรงเสยดทาน fW = - 302 J ตอบ

ตวอยาง 8.11 ในการเลนสกนาแขง บรเวณเนนเขานาแขงทไมมแรงเสยดทาน ถาเรมตนนกสกอยทจดสงสดของเนนเขา ดงรป 8.27

รป 8.27

เมอสกมาถงพนราบ ทมสปส. ความเสยดทาน kµ เทากบ 0.21 จงหา

ก) อตราเรวของสกขณะมาถงพนราบ ข) ระยะทางทสกเคลอนทในพนราบกอนหยด

วธทา ก) จากกฎการอนรกษพลงงาน สามารถหาอตราเรวของสกไดจากสมการ 2v gh= 2

B 2(9.8 m/s )(20 m) 19.8 m/sv = = ก) ดงนนเมอสก มาถงพนราบจะมอตราเรว 19.8 m/s ตอบ ข) จาก งาน = พลงงานทเปลยนไป fd E− = ∆ Nd Eµ− = ∆ C Bmgd E Eµ− = −

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 104

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

c c B( ) ( )k Bmgd K U K Uµ = + − + 2

B1(0 0) ( 0)2k mgd mvµ = + − +

จะได 2

2B

k

vdgµ

=

2

2

(19.8 m/s) 95.22(0.21)(9.8 m/s )

d m= =

ระยะทางทสกไถลไปตามพนราบ d = 95.2 m ตอบ ตวอยาง 8.12 ปนสปรง ดงรป 8.28

รป 8.28

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 105

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ในการยงปนสปรง สปรงถกอดเขาไปเปนระยะ(x) = 0.12 m ถาลกปนมมวล m เทากบ 35g ถายงปนในแนวดง ทาใหลกปนเคลอนทขนไปไดสง 20 m ดงรป ( )b จงหา

ก) คาคงตวของสปรง ข) อตราเรว ( )v ของลกปนขณะเคลอนทผานตาแหนงสมดลของสปรง (x = 0)

วธทา จาก กฎการอนรกษพลงงาน A CE E= A A A C C Cg s g sK U U K U U+ + = + + K คอพลงงานจลน gU คอพลงงานศกยโนมถวง sU คอพลงงานศกยยดหยนของสปรง จะได 210 0 0 0

2kx mgh+ + = + +

2 21 (0.12 ) (0.035 kg)(9.8m/s )(20m)2

k m =

953 Nkm

=

คาคงตวของสปรง 953 Nkm

= ตอบ ข. จาก กฎการอนรกษพลงงาน A BE E=

A gA BsA gB sBK U U K U U+ + = + + 2 21 10 0 0

2 2 B Bkx mv mgx+ + = + +

จะได 2

2B Bkxv gxm

= −

2

2(953 / )(0.12 ) 2(9.8 / )(0.12 )0.35B

N m mv m s mkg

= −

อตราเรวของลกปนทจดB 19.7 /Bv m s= ตอบ ตวอยาง 8.13 กลองมวล 0.8 kg. เคลอนทดวยความเรว 1.2 m/s ไปทางขวามอ และชนกบสปรงทมคา k = 50 N/m ดงรป 8.29

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 106

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

รป 8.29

จงหา ก) ระยะทสปรงถกอดเขาไปมากทสด ถาพนไมมแรงเสยดทาน ข) ถาพนม สปส.ความเสยดทาน (µ ) = 0.5 และความเรวของกลองเทากบ 1.2 m/s

จงหาวาสปรงจะถกอดเขาไปเปนระยะทางเทาไร วธทา จาก กฎการอนรกษพลงงาน CA EE = CCAA ss UKUK +=+ 22

A 2100

21

mkxmv +=+

จะได Ammx vk

=

0.8 kg (1.2 / ) 0.1550 n/mmx m s m= =

สปรงถกอดเขาไปมากทสด 0.15m ตอบ จาก งาน = พลงงานทเปลยนไป k B f if x E E= − ( ) ( )k B f f i if x K U K U= + − + 2 2

B A1 1(0 ) ( 0)2 2k Bf x kx mv= + − +

2 2B A

1 1(0 ) ( 0)2 2k BNx kx mvµ = + − +

2 2B A

1 1(0 ) ( 0)2 2k Bmgx kx mvµ = + − +

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 107

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

2 2 2B A

1 1(0.5)(0.8kg)(9.8 m/s ) (0 ) ( 0)2 2Bx kx mv= + − +

2 21 13.92 (50) (0.80)(1.2)2 2Bx x= −B

จดสมการใหม ได 0576.092.325 B

2B =−+ xx (1)

ผลเฉลยของสมการ (1) จะได 0.092, 0.25x = − สปรงจะถกอดเขาไปเปนระยะทาง 0.092m ตอบ

0.25x = − ไมใช เนองจากระยะทางเปน - ไมมความหมาย ตวอยาง 8.14 มวล 2 กอนผกตดกนดวยเชอก แลวพาดผานรอก ดงรป 8.30 มวล m1 อยบนโตะและผกตดอยกบสปรงทมคาคงตว k เมอทงมวล m2 ใหตกลงมา มวล m2 จะตกลงมาเปนระยะ h

รป 8.30

จงหา สปส.ความเสยดทานจลนจลน kµ ระหวางมวล m1 กบโตะ

วธทา งาน = พลงงานทเปลยนไป kf h E− = ∆ ( )k g sf h U U− = ∆ + ( ) ( )k g sn h U Uµ− = ∆ + 1k g sm gh U Uµ− = ∆ + ∆

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 108

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

221 2

1 khghmghmk +−=− µ

2

1

12

k

m g kh

m gµ

−=

สปส. ความเสยดทานจลนของ 1m กบโตะ 2

1

12

k

m g kh

m gµ

−= ตอบ

8.6 ความสมพนธระหวางแรงอนรกษกบพลงงานศกย (relationship between conservative force and potential energy) ทกสงทกอยางในโลกน ตางกมความสมพนธซงกนและกน บางสงบางอยางกมความสมพนธกนอยางใกลชด บางสงบางอยางกมความสมพนธกนอยางหางๆ ในทานองเดยวกนแรงกบพลงงานศกย กมความสมพนธกน เราสามารถแสดงใหเหนวาแรงกบพลงงานศกยมความสมพนธกนไดโดยใชทฤษฎ งาน-พลงงาน ดงน จาก งาน = พลงงานศกยทเปลยนไป W U= −∆ xW F x= ∆ xF x U∆ = −∆ x

UFx

∆= −

∆

dxdUFx −= (8.12)

สมการ (8.12) มความหมายวาแรงมคาเทากบอตราการเปลยนแปลงพลงงานศกยตอหนงหนวยระยะทาง เพอแสดงใหเหนวาสมการ (8.12) เปนสมการทใชไดทวไป จะทดสอบโดยการนาสมการ (8.12) มาใชกบพลงงานศกยของสปรง ดงน จาก พลงงานศกยของสปรง 21

2sU kx= (8.13)

แทน (8.13) ใน (8.12) ได 21( )

2sdF kxdx

= −

จะได sF kx= −

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 109

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ซงถกตองตามความเปนจรง ดงนนแสดงวาสมการ (8.12) สามารถนาใชกบสปรงได ในทานองเดยวกนสมการ (8.12) กสามารถนามาใชกบพลงงานศกยอนๆ ไดอก ซงนกศกษาจะไดศกษาในโอกาสตอไป 8.7 แผนผงพลงงานและสมดลของระบบ (energy diagrams and the equilibrium of a system)

รป 8.31

ในการเคลอนทกลบไปกลบมาของมวลทตดทปลายสปรง พลงงานศกยยดหยนของสปรงกมคาเปลยนแปลงไปกลบไปกลบมาระหวางคา 21

2kx− และ 21

2kx+ ซงเขยนเปนกราฟความสมพนธ

ระหวางพลงงานศกยกบระยะกระจดได ดงรป 8.32

รป 8.32

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 110

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

เมอคาพลงงานศกยยดหยนของสปรงมคาลดลง พลงงานจลนของวตถทตดอยทปลายสปรงกจะมคาเพมขน ดงนนถาเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางพลงงานศกยยดหยนของสปรง กบพลงงานจลนของวตถ จะไดกราฟดงรป 8.33

รป 8.33 กราฟแสดงคาพลงงานจลนและพลงงานศกยของระบบมวลทผกตดปลายสปรง

จากกราฟในรป 8.33 จะเหนวาพลงงานรวม ( )E จะมคาคงตว

รป 8.34 พลงงานรวมของรถจะมคาคงตว ตลอดการเคลอนท

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 111

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

8.8 ความสมพนธระหวางมวลกบพลงงาน ในหวขอ 8.6 ไดกลาวมาแลววาทกสงทกอยางในโลกมความสมพนธกน เชนแรงกบพลงงานศกยมความสมพนธกน และเขยนสมการความสมพนธไดวา

dxdUFx −= ในทานอง

เดยวกนมวลกบพลงงานกมความสมพนธกน และเขยนเปนสมการไดวา 2mcER = (8.14) เมอ RE คอพลงงาน m คอมวลสาร c คอความเรวของแสง สมการ(8.14) พลงงานทเกดจากการเปลยนรปของมวล จะมคาเทากบมวลคณกบความเรวของแสงยกกาลงสอง นกวทยาศาสตรคนแรกทเหนวามวลกบพลงงานกมความสมพนธกนคอไอนสไตน

รป 8.35 พลงงานนวเคลยรเปลยนมวลไปเปนพลงงาน

ตวอยาง 8.15 ถามวล 1 kg.เปลยนเปนพลงงานทงหมด จะไดพลงงานเทาไร วธทา จาก 2

RE mc= 8 2(1kg)(3 10 m/s)RE = × 169 10 JRE = × ตอบ แสดงวาเมอมวล1 kg. เปลยนไปเปนพลงงานทงหมดจะไดพลงงาน 169 10 J= ×

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 112

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

พลงงานจานวนนมคาเทยบไดกบพลงงานจากนามนประมาณ 2000 ลาน ซงจะเหนวาปฏกรยานวเคลยรใหพลงงานมากกวาปฏกรยาเคมมากๆ

โจทยแบบฝกหด

ขอ 1. อนภาคมวล 4.0 kg เคลอนทจากจด (0,0) ไปยงจด (5,5) โดยมแรงโนมถวงกระทาตออนภาคในแนวแกน –y ดงรป

จงหางานทใชในเคลอนทอนภาคจากจด O ไปยงจด C ตามเสนทางตางๆ ดงน (ก) OAC (ข) OBC (ค) OC (ง) งานในขอ ก ข และ ค เทากนหรอไม เพราะอะไร [คาตอบ (ก) = -196 (ข) = -196 (ค) = -196 (ง) เทากน เพราะวางานของแรงโนมถวงไมขนอยกบเสนทาง] ขอ 2. ลกตมนาฬกามวล m เคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม โดยมระยะทางของการเคลอนท

14

= ของเสนรอบวงของวงกลม ดงรป จงหา

(ก) พลงงานจลนทเปลยนแปลงไป (ข) ถาพลงงานจลนทเปลยนแปลงมคาเทากบ 52.0 J เมอ m = 2kg และ R = 3.2m จงหางานทเกดจากแรงอนรกษและพลงงานทสญเสยไปเนองจากแรงไมอนรกษ (ค) สมประสทธความเสยดทานจลน ( )kµ

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 113

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ (ก) mg R (1-µk) (ข) 62.7J,20.7J (ค) 0.33kµ = ] ขอ 3. แรง F = (2yi + x2j) N กระทาตอมวล ทาใหมวลเคลอนทในระนาบ xy มวลเคลอนทจากจดเรมตนไปยงจดทมคา x5.0 m และ y=5.0 m ดงแสดงในรป จงหางานของแรง F นตามเสนทาง ตอไปน (ก) OAC (ข) OBC (ค) OC (ง) แรง F นเปนแรงประเภท จงอธบาย [คาตอบ (ก) 125J (ข) 50 J (ค) 62.5J (ง) เปนแรงไมอนรกษเพราะคางานขนอยกบเสนทาง]

ขอ 4. แรงอนรกษ Fx= (2x+4) N กระทาตอมวล m ทาใหมวลนเคลอนทจากระยะ x=1.0 m ไปยง x=5.0 m จงหา (ก) พลงงานจลนทเปลยนไป (ข)พลงงานศกย ทเปลยนไป (ค) พลงงานจลนท x=5.0m โดยทอตราเรวของอนภาคท x=1.0 m คอ 3.0 m/s [คาตอบ (ก) 40.0 J (ข) -40.0J (ค) 66.7J] ขอ 5. แรง F = (3.0i+5.0j) N กระทากบมวล 4.0 kg จงหา (ก) งานของแรง F ททาใหมวลเคลอนทจากจด (0,0)ไปยงจด (2i-3j) และจงอธบายดวยวางานนขนอยกบเสนทางหรอไม (ข) อตราเรวของอนภาคทตาแหนง 2i - 3j เมออตราเรวเรมตนเปน 4.0 m/s (ค) พลงศกยทเปลยนแปลงไป [คาตอบ (ก) -9.0J ไมขนกบเสนทาง (ข) 3.39 m/s (ค) 9.0J]

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 114

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ขอ 6.ปลอยลกแกวใหเคลอนทไปตามจากรางโคงทมลกษณะดงรป โดยระยะ h = 3.5 R ดงรป จงหา

ก) อตราเรวของลกแกวทจด A ข) แรงปฏกรยาทจด A ถามวลลกแกวเทากบ 5.0g [คาตอบ ก) vA = gR3 ข) 0.098M ] ขอ 7. ยงปนในแนวทามม 35˚กบระดบ ถาความเรวตนเปน v0 จงหา (ก) อตราเรวขณะทลกปนขนไปไดครงหนงของระยะสงสด (ข) xv และ yv ของความเรวในขอ (ก) [คาตอบ (ก) 2 2

0v gh v= + (ข) 00.6xv v= และ 200.64yv v gh= + ]

ขอ 8. มวล m1 และ m2 ผกตดกนดวยเชอกแลวพาดกบรอกดงรป ถามวล 1m ถกปลอยจากหยดนง จงหา (ก) หาความเรวของมวล 2m ขณะทมวล 1m แตะพนพอด (ข) ระยะสงทสดทมวล 2m เคลอนทขนไปได

[คาตอบ (ก) 4.43 m/s (ข) 5.0 m]

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 115

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

ขอ 9 ผลกวตถมวล 5.0 kg ใหขนไปตามพนเอยงทเอยง เปนมม 30o ดงรป ดวยอตราเรวตน 8m/s วตถนหยดนงหลงจากเคลอนทไดระยะทาง 3 m จงหา (ก) พลงงานจลนทเปลยนแปลง (ข) พลงงานศกยทเปลยนแปลง (ค) แรงเสยดทาน (ง) สมประสทธความเสยดทานจลน

[คาตอบ (ก) -160 J (ข) 73.5J (ค) 28.8 N (ง) 0.679] ขอ 10. นกโดดรมมวล 50.0 kg กระโดดลงมาจากเครองบนขณะบนอยทความสง 1000 m และขณะลงสพนนกโดดรมมอตราเรว 5.0 m/s จงหาพลงงานทสญเสยไปเนองจากแรงตานทานของอากาศ [คาตอบ 489 kJ] ขอ 11. สมประสทธความเสยดทานระหวางมวล 3.0 kg กบพน ดงรปเทากบ 0.4 ถาระบบเรมตนเคลอนทจากหยดนง จงหาอตราเรวของมวล 5.0 kg เมอตกลงมาไดระยะทางเทากบ 1.5 m

[คาตอบ 3.75 m/s] ขอ 12 ฟงกชนพลงงานศกย ของระบบมวล 2 มวลทอยหางกนเปนระยะ r คอ U (r) = A/r เมอ A คอคาคงท จงหาแรงตามแนวรศม Fr ในเทอมของ A และ r [คาตอบ Fr=A/r2] ขอ 13. ฟงกชนพลงงานศกยของแรงใน 2 มตคอ U (x,y) = 3x3y-7x จงหาแรงท (x,y) ใด ๆ

พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน - 116

ฟสกส 1 ระดบมหาวทยาลย สชาต สภาพ

[คาตอบ F=(7-9x2yi-3x3j)

หนงสออเลกทรอนกส

ฟสกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสกส 1 (ความรอน)

ฟสกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวทยาฟสกส เอกสารคาสอนฟสกส 1ฟสกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสกสดวยภาษา c ฟสกสพศวง สอนฟสกสผานทางอนเตอรเนต

ทดสอบออนไลน วดโอการเรยนการสอน หนาแรกในอดต แผนใสการเรยนการสอน

เอกสารการสอน PDF กจกรรมการทดลองทางวทยาศาสตร

แบบฝกหดออนไลน สดยอดสงประดษฐ

การทดลองเสมอน

บทความพเศษ ตารางธาต)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานกรมฟสกส ลบสมองกบปญหาฟสกส

ธรรมชาตมหศจรรย สตรพนฐานฟสกส

การทดลองมหศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหดกลาง

แบบฝกหดโลหะวทยา แบบทดสอบ

ความรรอบตวทวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐ( คดปรศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คาศพทประจาสปดาห ความรรอบตว

การประดษฐแของโลก ผไดรบโนเบลสาขาฟสกส

นกวทยาศาสตรเทศ นกวทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพศวง การทางานของอปกรณทางฟสกส

การทางานของอปกรณตางๆ

การเรยนการสอนฟสกส 1 ผานทางอนเตอรเนต

1. การวด 2. เวกเตอร3. การเคลอนทแบบหนงมต 4. การเคลอนทบนระนาบ5. กฎการเคลอนทของนวตน 6. การประยกตกฎการเคลอนทของนวตน7. งานและพลงงาน 8. การดลและโมเมนตม9. การหมน 10. สมดลของวตถแขงเกรง11. การเคลอนทแบบคาบ 12. ความยดหยน13. กลศาสตรของไหล 14. ปรมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอทหนงและสองของเทอรโมไดนามก 16. คณสมบตเชงโมเลกลของสสาร

17. คลน 18.การสน และคลนเสยง การเรยนการสอนฟสกส 2 ผานทางอนเตอรเนต

1. ไฟฟาสถต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตวเกบประจและการตอตวตานทาน 5. ศกยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหลก 8.การเหนยวนา9. ไฟฟากระแสสลบ 10. ทรานซสเตอร 11. สนามแมเหลกไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเหน13. ทฤษฎสมพทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นวเคลยร

การเรยนการสอนฟสกสทวไป ผานทางอนเตอรเนต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตม 4. ซมเปลฮารโมนก คลน และเสยง

5. ของไหลกบความรอน 6.ไฟฟาสถตกบกระแสไฟฟา 7. แมเหลกไฟฟา 8. คลนแมเหลกไฟฟากบแสง9. ทฤษฎสมพทธภาพ อะตอม และนวเคลยร

ฟสกสราชมงคล