33.6 교류 회로에서의 전력 (Power in an AC Circuit)

- 교류 전원에 의해 회로에 전달된 순간 전력은 전류와 인가 전압의 곱이다.

- 복잡한 시간 함수이므로 실용적인 측면에서는 유용하지 않다. 일반적으로 관심있는 것은 한 주기 이상의 평균 전력이다. - 평균 전력 (Average Power) :

)sin(sin

)sin(sin

maxmax

maxmax

ttVI

tVtIviP

sincossincossin maxmax

2

maxmax ttVItVI P

cos2

1maxmax VIavg P

tav

P

PP

o rms (Root Mean Square) - 제곱 평균 제곱근 (Root Mean Square) - 교류 회로에서는 평균 보다는 rms 값을 사용

2A

coscos2

1maxmax rmsrmsavg VIVI P

전력 인자 (Power Factor : 역률)

tVv 22

m

22 sinE

2

m

22

m

22

2

1sin EE avav tVV

ValueMaxof2

1

2

1m

22 EVVV avrms

m

22

2

1IIII avrms

R-L-C 회로에서 R 에 걸리는 최대 전압 강하 : - 위상자 도표에서

RIRI

IV

RIVIVI rmsrmsrmsrmsrmsavg

2max

max

maxmax

22cos

P

RIrmsavg

2P cf ) Ohm's Law in DC :

- 교류 전원에서 전원에 의해 전달된 평균 전력은 직류 회로에서와 같이 저항기에서 내부 에너지로 전환된다. 교류 회로에서 순수한 축전기와 순수한 인덕터와 관련된 전력 손실이 없다.

→ 이상적인 Inductor나 Capacitor에서는 전력 손실이 없다

⇒ XL = XC 상태 : 공명 상태 → 전류가 최대 cf) 만일 부하로서 저항만 존재한다면 : (XL = XC 라면)

φ = 0 → cosφ = 1

Pav = IrmsVrms

→ rms 값에 대하여 직류(DC )와 같은 형태를 만족

RI 2P

max

max

max

cosV

RI

V

VR

RLC 직렬 회로에서 평균 전력 예제 33.5

직렬 RLC 회로가 R=425 Ω, L=1.25H, C3.50, f=60.0Hz 그리고 Vmax=150V를 가진다. 평균 전력은 얼마인가?

풀이 VVV

Vrms 1062

150

2

max

206.02

292.0

2

maxIIrms

W

V

VIP rmsrmsavg

1.18

)0.34cos()106)(206.0(

cos

22 )( CL

rmsrmsrms

XXR

V

Z

VI

- 구동 진동수를 조절하여 rms 전류가 최대값을 갖도록 하면, RLC 회로는 공명 상태(resonance)에 있다고 말한다.

- rms 전류가 최대값을 갖기 위해 임피던스가 가장 작은 상태, 즉 XL – XC = 0 을 만족하는 진동수를 회로의 공명 진동수(resonance frequency)라 한다. "공명 진동수" 0

1

CLXX CL

LC

10

33.7 직렬 RLC 회로에서의 공명 (Resonance in a Series RLC Circuit)

- 이 진동수는 또한 LC 회로의 자연 진동수에 대응된다. 이 진동수에서 전류는 걸린 전압과 같은 위상에 있게 된다.

- R =0 일 때, 공명 상태에서 전류는 무한대가 된다. 그러나 실제 회로는 항상 어떤 저항값을 가지므로 전류는 유한한 값으로 제한된다. o 진동수에 따른 평균 전력 :

- 직렬 RLC 회로에서 평균 전력을 진동수의 함수로써 구할 수 있다.

22

2

2

22

)(

)()(

CL

rmsrmsrmsavg

XXR

RVR

Z

VRI

P

22

0

2

2

22

2 )(1

)(

L

CLXX CL

22

0

2222

22

)(

)(

LR

RVrmsavgP

- ω =ω0 일 때 공명 상태에 있고 평균 전력은 최대값이며 (Vrms)

2/R 을 가짐을 보여준다.

R

V

R

RV rmsrmsavg

2

22

22 )()(

P cf ) in DC :

R

V 2

P

o Q –인자 (Q –Factor)

- 큐인자(quality factor: 양호도) Q :

- 진동수 대 평균 전력 그래프 곡선의 예리함을 나타내는 무차원 변수

ex ) Radio의 수신회로 :

- 라디오, TV 및 휴대 전화의 수신 회로는 R-L-C 공명 회로의 중요한 응용 예이다.

- 축전기 C 의 용량을 변화시켜 (저항 R을 변화시킬 수 있다) 수신회로의 공명주파수를 변화 시킨다

- 이 공명 주파수에 최적인 주파수대의 신호가 들어오면, 이 신호는 공명 증폭되어 Speaker로 나온다

R

LQ 00

)(

L

R

공명하는 직렬 RLC 회로 (RLC 직렬 회로에서 전기 용량 C ) 예제 33.6

o R=150Ω, L=20mH, 인 R-L-C 회로 Vrms=20V, ω0=5000라면,

a) Imax가 되는 전기용량 C ?

FFL

C

LC

210210205000

11

sec/50001

6

322

0

0

AV

R

VI 133.0

150

20rmsrms

풀이

b) Irms 는? → XL =XC , or Z = R 일 때이므로

33.8 변압기와 전력 전송 (The Transformer and Power Transmission)

- 전력을 먼 거리까지 전송할 때 전력선에 의한 I 2R 손실을 최소화하기 위하여 고전압과 낮은 전류를 사용하는 것이 경제적이다. 전력을 소비하는 소비자들은 안정성과 전기설계의 효율성 때문에 낮은 전압의 전력을 요구한다.

- 전달되는 전력의 큰 변화없이 교류 전압과 전류를 변화시킬 수 있는 장치가 요구된다. 교류 변압기가 이러한 장치이다.

- 전력 전송 → 전송선에서의 열손실(P=I 2R=VI ) 발생

→ 높은 전압, 낮은 전류를 사용

- 가정 : 낮은 전압, 높은 전류를 필요

교류 변압기 교류 변압기 (AC transforme) :

- 철심의 목적은 코일을 통과하는 자기선속을 증가시키기 위한 것이고, 맴돌이 전류 손실은 많은 얇은 층으로 이루어진 철심을 사용함으로써 감소시킬 수 있다. - 코일과 철심에서의 에너지 손실이 영인 이상적인 변압기를 가정한다.

o 변압기 : Faraday's 유도 기전력을 이용

Aside) - 1차 Coil에서의 전력 ;

Coil 자체의 내부저항이 유도 Reactance 보다 아주 작다면

→ 교류 L-회로 : 전류와 전압의 위상차 = 90°

- 1차 교류 Coil에서의 전력 :

→ 1차 Coil에서의 평균 전력 = 0

∴ 열손실이 (거의) 없다

0cos rmsrmsavg VIP 090cos

- Fadaday's Law에 따라 1차 Coil에 걸리는 전압 V1 : - 철심 밖으로 나가는 자속이 없다고 가정하면

- 2차 Coil에 들어가는 자속은 Φm :

- 2차 Coil에 대하여 Faraday's Law를 적용하면, 2차 Coil에서의 전압 V2 :

dt

dNV m

11

dt

dNV m

22

1

1

22

2

2

1

1 or VN

NV

N

V

N

V

ㆍif N2 > N1 → V2 > V1 : 승압 변압기

ㆍif N2 < N1 → V2 < V1 : 강압 변압기

전류비 (Current Ratio)

- 변압기에서의 Energy 보존 법칙 : 이상적인 변압기에서 열손실이 없다고 가정하면

ㆍ입력 Energy = 출력 Energy

ㆍ입력 전력 = 출력 전력 : P1 = P2

1

2

1

2

2

12211 or

N

N

V

V

I

IIVIV IVP

교류 전력의 경제성 예제 33.7

전기를 만들어내는 발전소는 1.0km 떨어진 도시에 20MW의 비율로 에너지를 전달하고자 한다. 상업용 전력 발전기의 공통 전압은 22kV이지만 승압 변압기로 전송 전압을 230kV로 올린다. (A) 만약 전선의 저항이 2.0이고 에너지는 약 10센트/kWh의 비용이 든다고 하자. 하루 동안 전선 내부에서 에너지가 내부 에너지로 전환함에 의해서, 얼마의 비용이 드는가?

풀이

87

10230

10203

6

V

W

V

PI

rms

avg

rms

kWRIrmsavg 15)0.2()87( 22 P

kWhhkWtT avgET 360)24)(15( P

달러센트비용하루당 36)/10)(360( kWhkWh

(B) 발전소가 에너지를 22kV의 원전압으로 전송하는 경우에 대해 계산을 반복하라.

910

1022

10203

6

V

W

V

PI

rms

avg

rms

kWRIrmsavg

322 107.1)0.2()910( P

kWh

hkWtT avgET

4

3

101.4

)24)(107.1(

P

달러센트비용하루당 4100)/10)(101.4( 4 kWhkWh

33.9 정류기와 여과기 (Rectifiers and Filters)

- 교류 전류를 직류 전류로 변환시키는 과정을 정류(rectification)라 하며, 변환 장치를 정류기(Rectifier)라 한다.

o 다이오드 (Diode)

- 반도체 : 전류가 순 방향이면 흐르고, 역방향이면 흐르지 못한다

- 정류기 회로에서 가장 중요한 요소는 한 방향으로만 전류를 흐르게 하는 회로 요소인 다이오드(diode)이다.

o 반파정류기 (Half-Wave Rectifier) 회로

- 교류전원에 다이오드 사용

- 다이오드 : 양의 전류만 통과, 음의 전류는 거른다

- 아래부분 반파는 차단 : 반파 전류만 흐른다

o 축전기 추가 (Add a Capacitor)

- 축전기가 회로에 추가될 때, 부하 저항에 흐르는 전류에 있어 시간 변화는 작고, 회로의 RC 시간 상수에 의해 결정된다.

- 전류가 감소할 때 축전기는 저항을 통해 방전 하므로 저항에 흐르는 전류는 변압기의 전류만큼 빠르게 감소하지 않는다.

- 정류 후에, 전압은 여전히 원래 교류의 주파수를 갖는 작은 교류 성분을 포함하므로(때때로 잔결전압이라 한다) 걸러야(Filtering) 한다.

o 축전기가 있는 반파정류기 (Half-Wave Rectifier with Capacitor)

- 축전기는 다이오드를 통해 전류가 흐르는 동안 충전 : 순방향시 충전

- 역방향 전류시 축전기는 방전

- 축전기의 방전으로 VR 유지

- RC 시정수 (시간상수)를 충분히 크게하여 전원 전압이 다시 양이 될 때까지 유지

- 출력 전압을 평탄하게 하여 직류에 가깝다 (진한선) cf ) 흐린선 : 축전기를 연결하지 않았을 때의 전압

o 전파 정류기 (Full-Wave Rectifier)

- 2개 (또는 여러개_)의 다이오드를 사용 - 축전기와 함께 교류-직류 변화를 위한 회로에서 사용

여과기, 거르개 (Filter)

- 다른 진동수에 대해 다르게 반응하는 여과기(filter)를 설계할 수 있다. RC 저진동수 통과 여과기 (Low-Pass Filter)

- 출력 전압은 축전기 양단에 걸려 있다.

- 저진동수에서 축전기의 리액턴스와 축전기 양단의 전압은 높다. 진동수가 증가함에 따라 축전기 양단의 전압은 떨어지므로 RC 저진동수 통과 여과기(low pass filter)가 된다.

- 고진동수 신호 :

f → 大 ⇒ ω → 大 ⇒ XC → 小 ∴ XC 《 R

- From V=iR, VR 》 VC ⇒ VOut 《 VIn

- 고주파 신호에 대하여 저항 R이 주로 작용, 고주파가 걸러진다. cf ) 큰 저항에 의해 출력전압이 입력전압보다 아주 작다 :

∴ 고주파 신호가 걸러진다

- 저주파 신호 : f → 小 ⇒ ω → 小 ⇒ XC → 大 ∴ XC 》 R

- 저주파 신호는 주로 축전기에 작용하여 통과한다

- 축전기의 충전과 방전에 의하여 저주파 신호의 출력전압은 입력 전압과 비슷해진다.

∴ 저주파 신호 통과

RC 고진동수 통과 여과기(high pass filter)

- 출력은 저항 양단의 전압이다.

- 각진동수의 로그 함수로서 출력 전압에 대한 입력 전압의 비의 그래프는 저진동수에서 vout은 vin보다 훨씬 적은 반면, 고진동수에선 두 전압이 같다.

- 회로가 저진동수 신호를 막는 반면 우선적으로 더 높은 진동수를 통과시킨다.

- 저진동수 통과 거르개와 반대로 작용

- 낮은 진동수 신호는 축전기의 작용에 의하여 걸러진다

- 높은 진동수의 신호는 저항의 양단에 작용하여 통과한다.

교차 회로망 (Crossed Networks)

- 스피커에서 사용

- 저음용 스피커 (Woofer)에는 낮은 진동수의 신호를 통과

- 고음용 스피커 (Tweeter)에는 높은 진동수의 신호를 통과

cf ) 교차점 : 전류가 고르게 나뉘어 반은 저음용으로 나머지 반은 고음용 스피커로 보낸다