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1. Description du support

1.1. Gomtrie

Le support de l'tude est un portique mtallique dont le dessin de dfinition est donn sur la Figure 1.

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Figure 1: Dessin de dfinition du portique

Ce portique est constitu de trois barres de section rectangulaire en acier doux, soudes entre elles, d'paisseure= 5 mm et de largeurb= 15 mm. La barre transversale est de longueur 484 mm, et la distance entre les poteaux est deL= 450 mm ; les deux poteaux sont de hauteur 300 mm, et sont encastrs leur extrmit infrieure par serrage dans des taux, ce qui rduit la hauteur utile h= 260 mm.

1.2. Chargement

Deux types de chargements diffrents ont t tests, d'amplitudes variables, et pouvant tre modliss par des forces concentres :

un effort horizontal appliqu l'extrmit gauche de la barre transversale (Figure 2),

un effort vertical appliqu au centre de la barre transversale (Figure 3).

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Figure 2: Cas de chargement 1Agrandir l'image

Figure 3: Cas de chargement 2

2. Modlisation par la Rsistance des Matriaux

Le portique est modlis l'aide de la Rsistance des Matriaux (RdM), sous forme de trois poutres droites encastres au bti et entre elles, comme illustr sur les Figures 2 et 3. Leurs caractristiques gomtriques sont celles du dessin de dfinition ci-dessus ; cela conduit une section constante, commune aux trois poutres, d'aire 750 mm2et de moment d'inertie quadratiqueIz= 156,25 mm4. Les chargements sont modliss par des forces concentres, et la relation de comportement est choisie lastique linaire, homogne et isotrope, de module d'YoungE= 200 GPa.

Ce modle tant hyperstatique, une rsolution analytique " la main" serait fastidieuse, bien que possible ; nous avons donc utilis des logiciels et des formulaires pour rsoudre le problme. Nous prsentons ici trois de ces outils ; les rsultats correspondants sont donns dans la dernire partie de la ressource.

2.1. Rsolution l'aide du logiciel pyBar

pyBarest un logiciel libre de calcul de RdM, bas sur la mthode des dplacements et donnant des rsultats exacts (c'est--dire gaux la solution analytique) pour la plupart des chargements courants (concentrs, constants et trapzodaux sur chaque barre). Les fichiers de donnes pyBar utiliss sont disponibles ici :Portique 1Portique 2.

Les rsultats sont donns dans la partie "Comparaison des rsultats". A titre d'illustration, les Figures 4 et 5 reprsentent la dforme du portique pour les deux cas de chargement, donne par pyBar.

Figure 4: Dforme du portique pour un cas de chargement 1 (F=100 N) (facteur d'amplification : 3550)

Figure 5: Dforme du portique pour un cas de chargement 2 (F=100 N) (facteur d'amplification : 14763)

2.2. Rsolution l'aide du calculateur Steelbiz

Certains professionnels permettent le calcul de structures via des logiciels "maison". C'est le cas de la socitSteelbizqui propose un calculateur en ligne pour diffrents types de portiques courants, bas sur un formulaire de RdM.

A noter que seul le premier cas de chargement est disponible dans ce calculateur.

2.3. Rsolution l'aide du formulaire Deltalab

Dans un souci d'exhaustivit de l'tude, nous avons galement rsolu directement le problme de RdM l'aide d'un formulaire commercialis par Deltalab.

Cas de chargement 1

La flche est donne par la formule

Cas de chargement 2

La flche est donne par la formule

Remarque: le dimensionnement du portique exprimental a t ralis grce ces formules.

3. Modlisation par lments finis 1D

Le portique a galement t modlis parlments finis, l'aide d'lments de poutres en flexion.

Pour simplifier le problme, nous avons fait l'hypothse que les dplacements et dformations dus la traction ou compression des diffrentes barres sont ngligeables devant ceux dus la flexion ; ce constat, courant en RdM, se vrifie ici lorsque l'on examine les rsultats du calcul de RdM complet ralis avec pyBar. Cela nous a conduit ne considrer que la flexion des barres ; pour ce faire, nous avons choisi des lments de Hermite, c'est--dire des lments possdant deux degrs de libert par noeud (dplacement transversal et rotation). La formulation de ces lments est prcise en annexe.

Les modles tant extrmement simples, une mise en quations et une rsolution analytiques, " la main" sont proposes ; il va cependant de soi que pour un modle de plus grande taille, ces oprations seraient ralises numriquement et automatiquement l'aide d'un logiciel de simulation.

3.1. Cas de chargement 1

Le premier cas de chargement est donn sur la Figure 2. Pour tudier ce cas, nous avons utilis un lment par poutre, et un total de 4 noeuds. Un lment "poutre en flexion" de Hermite est en effetstrictement quivalent une poutre continue, c'est--dire non discrtise, en flexion d'Euler-Bernoullisi celle-ci ne comporte aucune charge rpartie et si le modle du comportement du matriau est lastique linaire, homogne et isotrope, ce qui est le cas ici : il est donc inutile d'employer plus d'lments.

Conditions aux limites

Le portique est encastr dans le sol au niveau des noeuds 1 et 4 (voir Figure 2). Les dplacements (liniques et angulaires) de ces noeuds sont donc nuls :

u1=v1=1=0

u4=v4=4=0

Hypothses

On nglige la variation de longueur des barres dues l'effort normal dans celles-ci. Ainsi, le dplacement vertical du noeud 1 sera le mme que celui du noeud 2 ; il en va de mme pour le dplacement vertical des noeuds 3 et 4, et pour le dplacement horizontal des noeuds 2 et 3. Cela s'crit :

v2=v1(=0)

v3=v4(=0)

u2=u3Bilan sur les inconnues cinmatiques du problme

Chacun des 4 noeuds possde a priori 3 degrs de libert, soit un total de 12 inconnues. Cependant, aprs prise en compte des relations ci-dessus, il ne reste que 3 inconnues indpendantes, et le vecteur des inconnues est le suivant :

Matrice de rigidit du portique

La matrice de rigidit du portique est obtenue par l'assemblage des trois matrices lmentaires de chacune des poutres K12, K23et K34(voirannexe). Par exemple, la matrice lmentaire de la poutre 12 dans le repre local est donn par :

Aprs assemblage des 3 matrices lmentaires, la matrice de rigidit du portique est

Vecteur force gnralis

Le vecteur force gnralis est donn par :

Rsolution

Afin d'obtenir les dplacements, il faut donc rsoudre le systme suivant :

La rsolution a t effectue grce au logiciel Octave. Pour un effort de 10 N, le rsultat est :

3.2. Cas de chargement 2

Le second cas de chargement est donn sur la Figure 3. Par rapport au modle prcdent, nous avons ajout un cinquime noeud au milieu de la poutre transversale, afin de pouvoir y imposer un chargement concentr.

Conditions aux limites

L'encastrement des noeuds 1 et 5 (figure 3) imposent des dplacements liniques et angulaires nuls de ces points :

u1=v1=1=0

u5=v5=5=0

Hypothses

De mme que prcdemment, la longueur des barres est suppose invariante, ce qui se traduit de la faon suivante :

v1=v2 u2=u3=u4 v4=v5Bilan sur les inconnues cinmatiques du problme

Les conditions limites en dplacement et les hypothses nous amnent au vecteur des inconnues suivant :

Matrice de rigidit du portique

La matrice de rigidit pour ce cas de chargement est :

Vecteur force gnralis

Le vecteur force gnralis pour ce cas de chargement est :

Rsolution

Pour un effort de 10 N, la rsolution du systmeFp=KpX, donne comme rsultat :

4. Etude exprimentale

Pour raliser l'tude exprimentale, le portique a t fabriqu (par soudage de trois plaques d'acier doux coupes aux bonnes dimensions), perc de trous permettant sa mise en charge, puis mont sur un support rigide l'aide d'taux : voir Figure 6.

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Figure 6: Dispositif exprimental

4.1. Cas de chargement 1

Pour le premier cas de chargement, la charge est applique l'aide de masses suspendues une corde, par l'intermdiaire d'une poulie situe sur la droite du portique (voir Figures 6 et 7). Un comparateur est install pour mesurer le dplacement horizontal du noeud 2.

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Figure 7: Dispositif d'application de la charge au portique pour le cas de chargement 1

4.2. Cas de chargement 2

Pour le second cas de chargement, les masses sont directement suspendues au milieu du portique grce un crochet (Figure 8). Le comparateur est plac directement au dessus du crochet pour permettre la mesure du dplacement vertical du noeud 3.

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Figure 8: Dispositif d'application de la charge au portique pour le cas de chargement 2

5. Comparaison des rsultats

Les diffrentes mthodes sont rappeles dans la Figure 9 qui rsume le cadre de la modlisation du portique et de la validation exprimentale.

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Figure 9: Dmarche de modlisation du portique et de validation des modles

5.1. Cas de chargement 1

Les rsultats de l'exprimentation et des simulations sont rsums dans le tableau ci-dessous. Pour ce premier cas de chargement, seul le dplacement horizontal du noeud 2 fait l'objet d'une validation.

F (en N)ExprienceOctavepyBarSteelbizDeltalab

100,360,39174370,390,390,39

200,80,78348740,780,780,78

301,191,17523101,181,181,18

401,551,56697471,571,571,57

501,961,95871841,961,961,96

602,42,35046212,352,352,35

On remarque une quasi-similitude entre les rsultats des simulations par la RdM ou par les lments finis (carts de l'ordre de 0,1%), et une trs bonne concordance avec les rsultats exprimentaux (carts de 1 2%). On peut donc considrer les diffrents modles comme valids.

5.2. Cas de chargement 2

Les rsultats de l'exprimentation et des diffrentes simulations sont rsums dans le tableau ci-dessous.

F (en N)ExprienceOctavepyBarDeltalab

10-0,31-0,254-0,25-0,25

20-0,6-0,508-0,51-0,51

30-0,86-0,762-0,76-0,76

40-1,13-1,02-1,02-1,02

50-1,43-1,27-1,27-1,27

60-1,69-1,52-1,52-1,52

70-1,97-1,78-1,78-1,78

80-2,24-2,03-2,03-2,03

L encore, on remarque une quasi-similitude entre les rsultats des simulations. Toutefois, les rsultats exprimentaux donnent une flche plus importante d'environ 10%. Cet cart est non ngligeable et traduit manifestement une "erreur de modlisation", c'est--dire une mauvaise reprsentation dans le modle d'un phnomne physique se produisant sur le portique rel.

Par exemple, la fixation des deux poteaux l'aide d'taux peut tre dlicate modliser : si les taux ne sont pas suffisamment serrs, la reprsentation par une liaison encastrement n'est plus valable. Le positionnement vertical des poteaux dans l'tau peut galement influer sur la longueur libre, qui doit correspondre la hauteurhintroduite dans le modle...

Il ne s'agit naturellement pas de la seule source d'erreur possible ; il conviendrait de contrler attentivement le montage exprimental et, en cas de doute sur un paramtre du modle thorique, de le recaler partir des rsultats des essais.

6. Conclusion

Cette ressource illustre la dmarche de la modlisation d'un produit industriel au moyen de diverses techniques, et de la validation d'un modle par des essais.