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IInngg.. PPaabblloo GGaannddaarriillllaa CCllaauurree

Ing. Pablo Gandarilla Claure. 2

Contenido

Geometría…………………………………………………………………….…...3

Trigonometría.

Trigonometría del triángulo rectángulo……………………………………..…..5

Ley de los Senos y ley de los Cosenos……………………………………..….7

Identidades y Ecuaciones Trigonométricas……………………………….…...9

Fórmulas trigonométricas…………………………………………….…………11

Geometría Analítica

Práctico de Geometría Analítica Nº 1………………………………………….13

Práctico de Geometría Analítica Nº 2………………………………………….14


Geometría 1. Ángulos complementarios son aquellos que: 2. Dos ángulos adyacentes son: 3. La medida de un ángulo igual al triple de su suplemento es: 4. ¿Cuál es el ángulo que sumado al triple de su complemento da 210º?: 5. Calcular el valor del ángulo que disminuido en su suplemento es igual al triple de su

complemento. 6. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces la medida del

ángulo, dicho ángulo es: 7. En la siguiente figura A + B – C es igual a:

8. El valor del ángulo x, en la siguiente figura es:

A

B C

70º

x

2x+10 2x -10


9. La medida del ángulo x en la siguiente figura es:

10. Se llama altura de un triángulo, a una recta: 11. Se llama triángulo escaleno a un triángulo que tiene: 12. El área del triángulo ABC, es:

13. Si el área de la circunferencia es de 25,13 cm2, el valor de la distancia d es:

14. Los valores de los ángulos x, y, z de la siguiente figura son:

A B

C

50

40

30


Trigonometría del triángulo rectángulo 1. El ángulo de elevación de una rampa de 80 pies que lleva a un puente sobre una

autopista mide 10,5º. Determine la altura de puente a la autopista. Exprese la altura en metros.

2. Desde la parte superior de una casa, el ángulo de depresión, de cierto punto en el suelo

es de 25º. El punto está a 35 m de la base de la casa. ¿Qué tan alta es la casa?

3. La altura de la cima de una colina se eleva 40 m sobre el nivel de la pista de un

aeropuerto cercano, y la distancia horizontal desde el extremo final de una pista hasta un punto que se encuentra directamente bajo la cima de la colina es de 325 m. Un avión despega al final de la pista en dirección de la colina con un ángulo que permanece constante hasta librarla. Si el piloto desea pasar a 30 m sobre la cima, ¿cuál debe ser el ángulo con que debe elevarse, medido en grados?

4. El ángulo de elevación hasta la parte superior de un asta es de 35º, visto desde un punto

ubicado a 50 m de la base del asta. ¿Cuál es la altura del asta?


5. ¿Cuál es la altura de un edificio cuya sombra horizontal mide 50 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 60,4º?

6. En un punto que se encuentra a 100 pies de distancia de la base de un árbol de secoya

gigante, un topógrafo determina que el ángulo de elevación hasta la parte superior del árbol es igual a 70º. ¿Cuál es la altura del árbol? Exprese la distancia en metros.

7. Desde la parte superior de un tanque de agua de 172 pies de altura, al ángulo de

depresión a una casa es de 13,3º. ¿A que distancia de la casa se encuentra el tanque de agua? Exprese la distancia en metros.

8. Un puesto de observación, que está en la costa, se encuentra a una altura de 225 pies

sobre el nivel del mar. Si el ángulo de depresión desde este punto a un barco en el mar es de 6,7º, ¿a qué distancia se encuentra el barco de la orilla del mar? Exprese la distancia en metros.

9. Uno de los cables que sostienen un poste telefónico mide 82 pies de longitud y se fija al

piso a 14,5 pies de la base del poste. Determine el ángulo que forma el cable con el suelo. 10. Un topógrafo determina que desde el punto A en el suelo el ángulo de elevación hasta la

cima de una montaña mide 23º. Cuando él se encuentra en un punto ¼ de milla más cerca de la base de la montaña, en ángulo de elevación es de 43º. ¿Cuál es la altura de la montaña? Suponga que la base de la montaña y los dos puntos de observación está en la misma recta.


Ley de los Senos y ley de los Cosenos

Ley de los Senos:

Para cualquier ABC con medidas angulares A, B, C y lados de longitud a, b, c,

senC

c

senB

b

senA

a

Ley de los Cosenos:

Para cualquier ABC con medidas angulares A, B, C y lados de longitud a, b, c,

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

1. Resuelva el ABC si B = 75º, a = 5 y C = 41º

B

A C 2. Dos cables que sostienen un poste de teléfono están unidos a la parte superior del poste

y anclados en el piso, en lados opuestos al poste, en los puntos A y B. Si AB = 120 pies y los ángulos de elevación en A y B miden 72º y 56º respectivamente, determine la longitud de los cables. Exprese el resultado en metros.

3. Un avión vuela en línea recta hacia una pista a una altitud fija. En cierto punto, el ángulo

de depresión hacia la pista es de 32º y después de 2 millas de vuelo mide 74º. ¿Cuál es la distancia entre el avión y la pista cuando el ángulo de depresión mide 74º? Exprese el resultado en kilómetros.

4. Desde la parte superior de una colina de 250 pies de altura, los ángulos de depresión

hacia dos cabañas, A y B, situadas a la orilla de un lago miden 15,5º y 29,2º, respectivamente. Si las cabañas están hacia el norte del punto de observación, determine la distancia entre ellas.

5. Un bote de motor parte de la orilla sur de un río con dirección norte hacia la orilla opuesta.

La velocidad del bote (en aguas tranquilas) es de 15 millas por hora y el río corre hacia el este a 4 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad real del bote y su rumbo final?

75º

41º

5


6. Determine c y los ángulos A y B en el ABC si a = 4 cm., b = 7 cm. y C = 130º. 7. Un faro mar adentro está a dos kilómetros de la estación de la guardia costera C y a 2,5

Km. De un hospital H cercano a la costa. Si el ángulo formado por el haz de luz emitido por el faro hacia C y H mide 143º, ¿cuál es la distancia CH (en línea recta) entre la estación de la guardia costera y el hospital?

8. Dos puntos A y B están señalados en la orilla de un lago. Un topógrafo se encuentra en

un punto C tal que AC = 180 m y BC = 120 m, y determina que el ángulo ACB mide 56,3º. ¿Cuál es la distancia entre A y B?

9. La diagonal de un paralelogramo mide 80 cm. y forma un ángulo de 20º con uno de los

lados. Si ese lado mide 34 cm., determine la longitud del otro lado del paralelogramo. 10. En la siguiente figura determine la distancia AB : 11. Un hombre a 100 m de la base de un risco suspendido mide un ángulo de elevación de

28º desde ese punto hacia la punta del risco. Si el risco forma un ángulo de 65º con el suelo, determine su altura aproximada h.

12. Un cohete es lanzado desde el nivel del piso con un ángulo de elevación de 43º. Si el

cohete le pega a un avión que vuela a 20.000 pies, encuentre la distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto situado directamente debajo del avión. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre el lanzacohetes y el avión?

A

B

C

c

7

4

130º

26

A 20

30

B

C


Identidades y Ecuaciones Trigonométricas

a) Verifique cada identidad utilizando identidades trigonométricas:

1. tgβsenβcscβ

secβ1

2. θcsc1θsec

θsec 2

2

2

3. α2csccosα1

1

cosα1

1 2

4. cosααsec

senα tanα2

5. 1tgβ

1tgβ

secβcscβ

cscβsecβ

6. 1θsecθctg1

θtan1 2

2

2

7. senθcscθ

secθθsec tanθ 2

8. βsen1βcsc

βctg2 2

2

2

9. βsen 1

β cos

β cos

βsen 1

10. βcscβtgcotβtgβ

βcotβtg 2233

b) Resuelva las siguientes ecuaciones:

1. 2

1sen x

2

1xcos2

2. x2sen x3cos3 2

3. 5,0 x x tgcos

4. 1 xsecsen x

5. xcos

xtg sen x

6. 1 tg(x)x)2(sen

7. 12sen(x) x)(sen

8. xcos3

4sen x

4

3

4

3 2

9. 032x3sen2xcos2

10. x tg3- x2cos


c) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

1.

2/1sen sen

2/1coscos

yx

yx

2.

yx

yx

cos1cos2

cos1sen 2

3.

3

2

2/1sen sen

yx

yx

4.

2

3

2cos

2/3sen sen

yx

yx

Recuerde que: 1) βsen α cosβ cos αsen β)(αsen

2) βsen α cosβ cos αsen β)(αsen

3) βsen αsen β cos α cosβ)(α cos

4) βsen αsen β cos α cosβ)(α cos

5) β tgα tg1

β tgα tgβ)(α tg

6) β tgα tg1

β tgα tgβ)(α tg

7) α cos αsen 22αsen

8) αsen αcos2α cos 22

9) αtg1

α 2tg2α tg

2

10) 2

2α cos1αsen2

11) 2

2α cos1αcos2

12) 2α cos1

2α cos1αtg2

13) 2

α cos1

2

αsen

14) 2

α cos1

2

αcos

15) αsen

α cos1

α cos1

αsen

2

αtg


Fórmulas trigonométricas

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2


2

Tabla Trigonométrica de Ángulos Ordinarios

Angulo 0 30 45 60 90

Sen2 (a) 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4

Cos2 (a) 4/4 3/4 2/4 1/4 0/4

Tan2 (a) 0/4 1/3 2/2 3/1 4/0

Dado un triángulo a, b, c, con ángulos A, B, C; a está opuesto a A; b opuesto a B; c opuesto a C,

senC

c

senB

b

senA

a

Ley de los Senos

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

Ley de los Cosenos


Práctico de Geometría Analítica Nº 1

1. Demostrar que es rectángulo el triángulo ubicado entre los puntos (1, 5); (4, 4); (3, 1).

2. Demostrar que es isósceles el triángulo ubicado entre los puntos (1, 5); (6, 2); (5, 6).

3. Hallar los ángulos formados por las rectas:

a) 3x – 2y – 12 = 0 5x + 3y – 17 = 0

b) 2x + y – 4 = 0 3x – 4y + 12 = 0

4. Hallar las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a las siguientes rectas que

pasan por el punto indicado:

a) 3x + 2y – 6 = 0; P(3, 2)

b) x –2y –2 = 0; P(4, 3)

5. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en el punto (5, -2) y de radio

igual a 3.

6. Hallar la longitud de la circunferencia, cuya ecuación es:

06220302525 22 yxyx

7. Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es

tangente a la recta: 032 yx

8. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 0392222 yxyx

en el punto (4, 5)

9. Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio igual a 4; concéntrica a la

circunferencia: 0961022 yxyx

10. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (1, 1) y que pasa por el punto (4, 5).


Práctico de Geometría Analítica Nº 2

1. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas identificar las cónicas que representan, determinar todos sus elementos y realizar los gráficos.

a) 4 x 2 + 9 y 2 = 36 b) x 2 + 3 y 2 = 6

2. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4, 0) y (–4, 0), y cuyos

focos se encuentran en los puntos (3, 0) y (–3, 0). 3. Los vértices de una elipse son los puntos (0, 6) y (0, –6), y sus focos se encuentran en

los puntos (0, 4) y (0, –4). Hallar su ecuación.

4. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas identificar las cónicas que representan, determinar todos sus elementos y realizar los gráficos.

a) y 2 = 12 x b) y 2 + 8 x = 0 c) x 2 + 2 y = 0

5. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz la recta: x + 5 = 0. 6. Hallar las ecuaciones de las parábolas a partir de los siguientes datos:

a) Foco (3, 4); directriz: x – 1 = 0 b) Foco (3, –5); directriz: y – 1 =0

7. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas identificar las cónicas que representan,

determinar todos sus elementos y realizar los gráficos.

a) 9 y 2 – 4 x 2 = 36 b) x 2 – 4 y 2 = 4

8. Los vértices de una hipérbola son los puntos (2, 0) y (–2, 0), y sus focos se encuentran

en los puntos (3, 0) y (–3, 0). Hallar su ecuación. 9. Hallar las ecuaciones de las hipérbolas a partir de los siguientes datos:

a) Focos (–7, 3), (–1, 3); longitud del eje transverso = 4 b) Vértices (1, 4), (5, 4); longitud del lado recto = 5

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