TEMA:

Digitalne modulacije sa uobličavanjem informacionog signala: MSK,

GMSK, CPM signali

2

1. Uvod

Cilj ovoga predavanja jeste prezentacija osobenosti digitalnih modulacija (MSK, GMSK i CPM-a

uopće), njihov odnos, prednosti i nedostaci kao i ostali aspekti ovih modulacija.

U tekstu će biti govora o odnosu QPSK i MSK modulacije. Kao i odnos MSK i GMSK

modulacija. Važno pitanje je detekcija MSK signala. Postoje dvije mogučnosti detekcije MSK

signala koje ćemo u daljnjem tekstu ispitati: jedna je kao BFSK signal dok je druga dva BPSK

signala. Da bismo to ispitali potrebno je da definišemo CPFSK (Continuous Phase Frequency

Shift Keying) modulacijski format.

Posebna pažnja biti će usmjerena na matematsku formalizaciju ovih modulacija i osnovnih

osobina.

Opći standardi u telekomunikacijama zahtjevaju racionalno korištenje frekvencijskih i

energetskih resursa, (to su fundamentalni zahtjevi). Neophodno je da se osnovni zahtjevi po

pitanju širine, odnosno (rastojanja) između susjednih kanala ostanu u sklopu standarda. Zbog

toga je neophodno poznavati uskopojasne signale koji na bolji način zadovoljavaju postavljene

zahtjeve (CPM signali).

3

2. Modulacije

Osnovno u procesu modulacije jest da postoje dva ulazna signala: modulacijski i nosilac, te

jedan izlazni, modulirani signal, slika 2.1. Modulacija u biti jest nelinearni proces. Naime, na

izlazu linearnih sistema ne mogu postojati frekvencijske komponente kojih nema na ulazu. To

znači da ulazni signali (modulacijski i nosilac) ne mogu biti povezani linearnom operacijom npr.

sabiranjem, već nekom nelinearnom, npr. množenjem ili eksponencijalnom funkcijom.

[5;sl.(2.1)]

slika 2.1. Šema modulacijskog postupka

Modulator može funkcionisati tako što je izlazni, modulirani signal nelinearna funkcija ulaznog,

modulacijskog signala x(t) i pomoćnog, signala nosioca, u(t).

( ) ( )[ ]tutxfty ,)( =

Druga je mogućnost, da je modulator generator signala y(t) ovisnog o stanju modulatora z(t), a

koje je pak, upravljano modulacijskim signalom x(t), slika 2.2.

( ) ( )[ ]tztxfty ,)( =

Modulacijski

signal x(t)

Modulirani

signal y(t)

Nosilac u(t)

Modulator

4

[5;sl.(2.2)]

slika 2.2. Modulator s promjenljivim stanjem z(t)

3. QPSK modulacija

3.1 Uvod

PSK tastovanje, u zavisnosti od dimenzije prostora signala, ima i devijaciju faze u skladu sa

dimenzijom prostora signala. Ako je devijacija faze , u koordinatnom sistemu

dijagrama konstelacija imamo četiri značajne tačke. Signal ima četiri značajne vrijednosti, te je u

jednom vremenskom intervalu T promjene faze signala moguće prenijeti 2 bita informacije.

Takav sistem ima, za podjednaku brzinu prijenosa informacije (b/s) ima manju brzinu prijenosa

simbola (Baud) i manju devijaciju faze, te približno dva puta uži spektar signala. To znači, da bi

bio i dva puta ekonomičniji po angažiranju spektra. Takva se modulacija naziva QPSK (eng.

Quadrature Phase Shift Keying)

Tabela 3.1 Diskretna stanja QPSK signala

Informacijski sadržaj simbola QPSK signal

00 ( )43cos 00 πω −tA

01 ( )43cos 00 πω +tA

10 ( )4cos 00 πω −tA

11 ( )4cos 00 πω +tA

x(t)

u(t)

Modulator z(t) y(t)

y(t)=f(x(t),z(t))

5

[5;sl(3.3.1)]

slika 3.1. Dijagram konstelacije QPSK modulatora, simulacija i grafički prikaz

slika 3.2. QPSK signal

3.2. M-arne modulacije

Vođeni idejom ekonomičnijeg prijenosa digitalnih signala nastale su složenije modulacije, M-

arne,: 8-PSK, 16-QAM, 64-QAM i 256-QAM.

Signal 8PSK modulacije dobija jednu od 8 različitih početnih faza, amplituda signala se ne

mijenja, te su fazori međusobno udaljeni za . Svaka od faza signala označava

jednu od 8 mogućih 3-bitnih sekvenci.

6

[5;sl(3.4.1)]

slika 3.4 Dijagram konstelacije 8-PSK modulacije

Tabela 3.2 Tablica kodova

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 011 010 110 111 101 100

Tabela 3.3 Diskretna stanja 8-PSK signala

Informacijski sadržaj simbola 8PSK

000 ( )8cos 00 πω −tA

001 ( )8cos 00 πω +tA

010 ( )85cos 00 πω +tA

011 ( )83cos 00 πω +tA

100 ( )83cos 00 πω −tA

101 ( )85cos 00 πω −tA

110 ( )87cos 00 πω +tA

111 ( )87cos 00 πω −tA

7

[5;sl(3.4.1)]

slika 3.5 Dijagram konstelacija 16-QAM signal

3.3 Digitalna frekvencijska modulacija/tastovanje, FSK

Kao i kod analogne frekvencijske modulacije, trenutna devijacija učestanosti nosioca direktno je

srazmjerna modulacijskom signalu. Ovdje je, međutim, modulacijski signal binarni polarni

signal: te modulacijski signal može imati samo dvije moguće vrijednosti: -U ili U. Stoga i

trenutna učestanost modulisanog signala može imati samo dvije moguće vrijednosti, f1 koja

odgovara slanju logičke jedinice, i f-1 koja odgovara slanju nule, minus jedinice:

0001

0001

ffUkffffUkff

FM

FM

Δ−=−=Δ+=+=

−

(3.5.1)

Učestanosti f1 i f-1 se uvijek biraju tako da važi 21 kTf = i 21 mTf =− , gdje su k i m prirodni

brojevi, a T je bitski interval. Ako je ovaj uslov zadovoljen, prelasci sa učestanosti f1 na f-1 i

obrnuto su na mjestu gdje signal presjeca nulu, pa spektar FM signala nema nepotrebnu širinu.

FSK signal se može posmatrati kao da se sastoji od dva istovremeno prenošena ASK signala, od

kojih jedan koristi učestanost nosioca f1 i prenosi signal “1”, a drugi koristi učestanost f-1 i

prenosi bite “-1”:

8

Svaki od ovih ASK signala pojedinačno zauzimaju opseg učestanosti širine Vb, kao što je već

pokazano. Da se spektri signala koji prenose simbole “1” i “-1” ne bi preklapali, ukupna širina

spektra FM signala iznosi :

bFM VB 2=

Vjerovatnoća greške za nekoherentni prijemnik iznosi : [2;(3.5.2)]

02

21 NE

ebeP −= (3.5.2)

Vjerovatnoća greške za koherentni prijemnik iznosi: [2;(3.5.3)]

0221

NEerfcP b

e = (3.5.2)

− Eb energija po bitu,

− No je spektralna gustina snage šuma.

Vjerovatnoća greške po bitu je ista kao kod ASK prenosa, ali razlika ipak postoji. Naime, kod

FSK signala se stalno emituje nosilac, učestanosti f1 ili f-1, tako da je njegova snaga konstantna i

iznosi Ps. Kod ASK prenosa, signal se emituje samo kada se prenosi “1”, te je u tom trenutku

snaga signala 2Ps. (Kada se emituje “0” ne emituje se signal, tada je snaga korisnog signala 0, pa

je srednja snaga Ps). Dakle, maksimalna snaga ASK signala je dvaput veća od maksimalne snage

FSK signala, iako su im srednje snage iste. Kod praktičnih sistema za prenos uvijek je ograničena

maksimalna, a ne srednja snaga, (vršna snaga izlaznog pojačavača, dozvoljene smetnje koje naš

signal predstavlja za druge sisteme, itd) tako da FSK u stvari u praktičnoj realizaciji daje manju

vjerovatnoću greške.

Jedan od načina stvaranja FSK signala je modulatorom s blok šeme prikazane na slici. Ako je na

ulazu binarni simbol «1» Uključuje se oscilator frekvencije f1, a ako je «0» tada se uključuje

drugi oscilator frekvencije f0. Kako ne postoji treći simbol to će na izlazu modulatora biti signal

stalne amplitude i frekvencije f1 ili f0 (slika). Razlika frekvencije f1 i f0 odgovara devijaciji

frekvencije FM signala. Spektar FSK signala prikazan je na slici

9

[5;sl(3.5.1)]

slika 3.6 Blol šema FSK modulatora s dva oscilatora

[5;sl(3.5.2)]

slika 3.7 Binarna sekvenca poruke i FSK signal, «1» je tamniji, a «0» je sivi graf

U-NRZ signal X

Oscilator f1

S(t)

U(t)

X

+

U-NRZ signal

Oscilator f0

Binarna

sekvenca S(FSK) (t)

10

slika 3.8 BFSK signal

slika 3.9 Spektar BFSK signala

[5;sl(3.5.3)]

slika 3.10 Spektar FSK signala

11

4. MSK (Minimum Shift Keying) signali

4.1 Uvod

MSK (minimum shift keying) je specijalni oblik binarnog CPFSK signala (prema tome i CPM) u

kojem je modulacijski indeks h=1/2, ( )1010 ffTkkh b −=−=

[2;sl(4.1)]

slika 4.1 Dijagram stanja za binarnu CPFSK i h=1/2

Faza nosilaca (modulacije) u intervalu ( )TntnT 1+≤≤ [2;(4.1)]

( ) ( ) =−+=Φ ∑=

−∞=

nTtqIIt n

n

kk ππ

1

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=TnTtInπθ

21 , ( )TntnT 1+≤≤ ; (4.1)

i modulisani nosač signala je: [2;(4.2)]

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=

nnnc

nnc

IntIT

fA

TnTtIfAts

θππ

πθπ

21

412cos

212cos

, ( )TntnT 1+≤≤ ; (4.2)

Prethodni izraz nagovještava da se binarni CPFSK signal može izraziti kao sinusoida koja ima

jednu ili dvije moguće frekvencije u intervalu ( )TntnT 1+≤≤ .

Ako definišemo ove frekvencije kao: [2;(4.3)]

Tff

Tff

c

c

41

41

2

1

+=

−= (4.3)

tada binarni BPFSK signal može biti napisan u obliku [2;(4.4)]

12

( ) ( ) ,1212cos 1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++= −i

nii ntfAts πθπ 2,1=i (4.4)

Razmak između frekvencija je T

fff21

12 =−=Δ . Razmak T

f21

=Δ , predstavlja minimalan

potreban razmak koji jamči ortogonalnost signala ( )ts1 i ( )ts2 duž signalnog interval na dužini T.

Ovo objašnjava zašto se binarni CPFSK sa h=1/2 naziva MSK minimum shift keying.

MSK (Minimum Shift Keying) je varijanta binarne frekvencijske modulacije sa mekim

tastovanjem (CPFSK – Continuous Phase Frequency Shift Keying), kod koje se modulisani

signal u k-tom signalizacionom intervalu može izraziti na sledeći način

[3;(4.5)]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += k

k tT

dfAts ϕπ4

2cos)( 0 (4.5)

gde je { }1,1 −=kd prenošeni informacioni simbol u k-tom signalizacionom intervalu, a faza

koja se izračunava po sljedečem obrascu: [3;(4.6)]

( ) ( )ππϕϕ 2mod2 11 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= −− kkkk ddk

(4.6)

pri čemu je početna faza 00 =ϕ .

Rastojanje između nosilaca je: [3;(4.7)]

TTf

Tff

21

41

41

00 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=Δ (4.7)

odnosno, to je minimalno rastojanje između nosilaca kod frekvencijske modulacije.Zbog toga se

ova modulacija naziva Minimum Shift Keying. [3;(4.8)]

Tkfff

221 =−=Δ pa je minimalno rastojanje između nosilaca za k=1,

Tfff

21

21 =−=Δ (4.8)

13

[3;sl(4.2)]

slika 4.2 Minimalno rastojanje između nosilaca kod frekvencijske modulacije

[3;sl(4.3)]

slika 4.3 Signali sa diskontinuiranom i kontinuiranom fazom

[3;sl(4.4)]

slika 4.4 MSK signal

14

4.1. Generisanje MSK signala modifikacijom OQPSK signala

Modifikacijom OQPSK modulatora može se generisati signal sa konstantnom obvojnicom,

odnosno MSK signal. Osnovno je to da se pravougaoni osnovni impuls u kvadraturnim granama

mjenja osnovnim impulsom u obliku polusinusoide. U ovom slučaju osnovni impuls traje 2T.

Osnovni impulsi jedinične amplitude u kvadraturnim granama su :

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

TtTtqtp

2cos π

(4.1.1)

( ) ( ) ( )tfTtbPtf

TtaPtu isis 00 2sin

2sin22cos

2cos2 ππππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅= (4.1.2)

gdje je ia +1 ili -1 i ib = +1 ili -1. Koristeći adicione formule izraz [4;(4.1.2)] možemo

transformirati u sljedeći oblik [4;(4.1.3)]

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

+⋅+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⋅=

tT

fbaP

tT

fbaPtu

iis

iis

412cos

22

412cos

22

0

0

π

π

(4.1.3)

neka je 12C

ba ii =−

i 22C

ba ii =+

10 41 fT

f =+ i 20 41 fT

f =−

ako je ii ba = biti će 01 =C , 02 ≠C , a u trajanju od jednog bitskog intervala T emituje se signal

čija je frekvencija 2f . Amplituda ovog signala je sP2 . Ako je ii ba −= biti će 01 ≠C , 02 =C ,

a u odgovarajučem bitskom intervalu emituje se signal čija je frekvencija 1f . Amplituda ovog

signala je sP2 .

Izraz [4;(4.1.2)] ili [4;(4.1.3)] predstavljaju FSK signale .

Pošto je T

ff21

21 =− razmatrani FSK signal je ortogonalni signal sa najmanjom mogučom

razlikom frekvencija i sa indeksom modulacije h=0.5

Izraz za MSK signal: [4;(4.1.4)]

15

( ) ( )( )ttfPtu ms ϕπ +⋅= 02cos2 (4.1.3)

Moguće je dokazati da je MSK ekvivalentan OQPSK sa elementarnim impulsom. Faza

modulisanog signala ostaje kontinualna. [7;(4.1.4)]

Važi:

( ) ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++ +

+ kk

kkk

kddnTnfddnTnf ϕπππϕπππ2

122cos2

122cos 1100

( ) ( ) ( )( )kkn Tnfd ϕπ ++−−= 122sin1 0 (4.1.5)

Pošto se vrijednost modulacijskog signala ne mjenja skokovito prilikom smjene signalizacionih

intervala, to se onda radi o signalu sa kontinualnom fazom (odnosno, o mekom tastovanju).

[7;(4.1.1)]

slika 4.5 Modulišući signal

MSK ekvivalentna OQPSK sa elementarnim impulsom:

slika 4.6 Spektar signala

16

4.2. Detekcije MSK signala

Postoje dvije mogučnosti detekcije MSK signala koje ćemo u daljnjem tekstu ispitati: jedna je

kao BFSK signal dok je druga dva BPSK signala. Da bismo to ispitali potrebno je da definišemo

CPFSK (Continuous Phase Frequency Shift Keying) signal.

4.2.1. Continuous-Phase FSK

U tastovanom FSK signalu koristimo dvije različite frekvencije 0f i 1f koje pretvaramo u poruke

0=m i 1=m u toku vremena bT . [4;(4.2.1.1)]

( )

( ) bb

b

bb

b

TttfTEts

TttfTEts

<≤=

<≤=

0 2cos2

0 2cos2

11

00

π

π

(4.2.1.1)

Mi pretpostavljamo da je 010 >> ff . Ako izaberemo frekvencije tako da u svakom trenutku

intervala bT postoji cijeli broj perioda, [7;(4.2.1.2)]

, , 11

00

bb Tkf

Tkf == (4.2.1.2)

sa brojevima 0k i 1k , signal sigurno ima kontinuiranu (neprekidnu) fazu.

Slika pokazuje signal sa diskontinuiranom (prekidnom) i kontinuiranom (neprekidnom) fazom.

[7;sl(4.2.1.1)]

slika 4.7 Signal sa kontinuiranom i diskontinuiranom fazom

Signal čija je faza neprekidna uopćeno ima bolje spektralne osobine nego što to ima signal čija je

faza prekidna, zbog toga se transformiše signal da ima ove prednosti.

17

Ako je jedna od frekvencija izabrana tako da nema cijeli broj u periodu, FSK taster/modulator će

izbaciti signal sa prekidnom fazom. U slučaju da je faza neprekidna, možemo dopustiti da

predajnik ima memoriju. [7;(4.2.1.3)]

( ) ( )( ) bb

b TttfTEts <≤+= 0 02cos2

00 θπ

( ) ( )( ) bb

b TttfTEts <≤+= 0 02cos2

11 θπ (4.2.1.3)

Fazu održavamo da bude neprekidna tako što pustimo ( )0θ da bude jednak argumentu

kosinusnog impulsa za prethodni bitski interval. Za signale u proizvoljnom bitskom intervalu,

( ) bb TktkT 1+<≤ , stanje faze sa memorijom je ( )bkTθ .

Pošto koristimo dvije različite frekvencije, možemo izraziti CPFSK signal kao signal u

osnovnom frekvencijskom opsegu sa jednom srednjom frekvencijom cf . Izabiremo cf da bude

aritmetička sredina od 0f i 1f . [7;(4.2.1.4)]

.2

;2

1010 ffffff dc−

=+

= (4.2.1.4)

dalje imamo da je: [7;(4.2.1.5)]

( ) ( )( ) bdcb

b TttftfTEts <≤±+= 0 202cos2 πθπ (4.2.1.5)

gdje + predstavlja prijenos 0f a, - predstavlja prijenos 1f . Rastavljanjem formule na osnovne

kvadraturne komponente, dobijemo: [7;(4.2.1.6)]

( ) ( )( ) ( )( )2 2cos 0 2 cos2 sin 0 2 sin2b bd c d c

b b

E Es t f t f t f t f tT T

θ π π θ π π= ± − ± =

( ) ( ) ( )cos2 2 , 0I c Q c bs t s t f t s t f t t Tπ π= − ≤ < . (4.2.1.6)

Definišemo devijacijski odnos ovog sistema sa h . [7;(4.2.1.7)]

( )1010 ffTkkh b −=−= (4.2.1.7)

tako da možemo na drugačiji način izraziti frekvencijsku razliku [7;(4.2.1.8)]

18

.2b

d Thttf ππ = (4.2.1.8)

Sa ovom definicijom imamo faznu razliku u okviru bitskog intervala, u odnosu na fazu signala

čija je frekvencija cf

( ) ( )⎩⎨⎧

−+

=−1

0

predaje se kada , predaje se kada ,

0fhfh

Tb ππ

θθ

ako upotrebimo predhodnu formulu u okviru modula π2 , možemo predstaviti varijaciju faze u

toku vremena, pomoću fazne rešetke slika. Pretpostavili smo da je 21

=h i da je ( ) 00 =θ ili

( ) πθ =0 . Vidimo da za svaki početak bita faza može uzeti samo jednu od dvije vrijednosti,

vrijednost 0 i π za bkTt 2= , i 2π

± za ( ) bTkt 12 += .

[7;sl(4.2.1.2)]

slika 4.8 Fazna rešetka za 21

=h

Continuous-phase FSK sa devijacijskim odnosom 21

=h naziva se minimum shift keying, MSK.

Pri ćemu je frekvencijska razlika [7;(4.2.1.9)]

bTff

21

10 =− (4.2.1.9)

19

to je rezultat izbora 21

=h , kao najmanje moguće razlike da bi signali sa dvije različite

frekvencije bili ortogonalni u okviru bitskog intervala. Primjer MSK signala sa 00 =k i 211 =k

je dan na slici

[7;sl(4.2.1.3)]

slika 4.9 MSK signal

4.2.2. Detekcija MSK kao BFSK

Znamo da je 21

=h , što podrazumjeva bT

kf 00 = ,

tako da imamo bT

kf 2101

−= ; (4.2.2.1) [7;(4.2.2.1)]

Prema tome, ako jedan signal predstavlja cijeli broj perioda, drugi je cijeli i još jedna polovina

perioda.

Prema zahtjevima o neprekidnosti faze zaključujemo da sistem upotrebljava četri signala, ali

predajnik je ograničio izbor jednog od dva signala u svakom bitskom intervalu. Ovo također

indicira fazna rešetka, jer tu postoje dvije moguće fazne vrijednosti na početku svakog bitskog

intervala, i iz svake od te fazne vrijednosti moguće je izraziti još dvije vrijednosti faze: rastuče i

opadajuče.

20

Predpostavimo da je ( ) { }πθ ,00 ∈ i predpostavimo radi jednostavnosti da je 10 =k . Da

bismo, koristeći se analizom BFSKprijemnika, detektovali MSK, moramo definisati

signale.( )

( ) ;t0 ,2cos2

;t0 ,2cos2

11

00

bb

b

bb

b

TtfTEts

TtfTEts

<≤=

<≤=

π

π

(4.2.2.2) [7;(4.2.2.2)]

Predajnik upotrebljava jedan od četri signala ( )bkTts −± 0 i ( )bkTts −± 1 u bitskom intervalu k,

kao na slici. Na sljedećoj slici je dat vremenski i konstelacioni dijagram ovih signala.

slika 4.10 Vremenski i konstelacijski dijagram MSK signala

4.2.3. Detekcija MSK kao BPSK

BFSK detekcija MSK je možda prvi logičan izbor detekcije. Ipak, moguće je izvršiti, čak i

efikasniju, detekciju upotrebom BPSK detekcije.

Za proučavanje signala ćemo koristiti jednačinu, [7;(4.2.3.1)]

( )( ) ( )( ) stftfTE

tftfTE

ts cdb

bcd

b

b =±−±= ππθππθ 2sin20sin2

2cos20cos2

)(

21

( ) ( ) ( )cos2 2 , 0I c Q c bs t s t f t s t f t t Tπ π= − ≤ < . (4.2.3.1)

na dva uzastopna bitska intervala.

Sa + ćemo označavati frekvenciju 0f a sa – frekvenciju 1f na istom intervalu.

[7;(4.2.3.2)]

Za bb TT <≤ t - imamo

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤±

<≤±=

−

.t0 ,20cos2

;0t- ,20cos2

0

1

bdb

b

bdb

b

I

TtfTE

TtfTE

tsπθ

πθ (4.2.3.2)

Prema tome, bez obzira na izbor znaka ( )1−± i ( )0± imamo [7;(4.2.3.3)]

( ) ( )( ) ;t- ,2cos0cos2

bbdb

bI TTtf

TEts <≤= πθ (4.2.3.3)

Gdje je ( ) 10cos ±=θ pod pretpostavkom.

Slično, za bT2t0 <≤ imamo [7;(4.2.3.4)]

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤−±

<≤−±=

.2t ,2sin2

;t0 ,2sin2

1

0

bbbdbb

b

bbdbb

b

Q

TTTtfTTE

TTtfTTE

tsπθ

πθ (4.2.3.4)

Prema tome, bez obzira na izbor znaka ( )0± i ( )1± imamo [7;(4.2.3.5)]

( ) ( ) ,2t0 ,2cossin2bdb

b

bQ TtfT

TEts <≤= πθ (4.2.3.4)

gdje je ( ) 1sin ±=bTθ po pretpostavci.

Ovi rezultati važe (sa jasnim modifikacijama) za sve intervale ( ) ( ) bb TktTk 1212 +<≤− i

( ) bb TktkT 222 +<≤ .

Također ovaj signalni format zadržava u fazama kvadraturne komponente ortogonalnim.

[7;(4.2.3.6)]

22

(4.2.3.6)

4.3. Raspored bita i vjerovatnoća greške

Kada prenosimo tastovani FSK signal, obično koristimo signal ( )ts0 za prenos poruke 0=m i

signal ( )ts1 za prenos poruke 1=m . Dupliranjem ovog , dobijamo signale ( )ts0± za prenos

poruke 0=m i signale ( )ts1± za prenos poruke 1=m . Kada detektujemo MSK kao FSK,

neminovna je pojava grešaka u prenosu ako je kanal Gaussov.

Za slučaj detekcije MSK prijemnikom koherentnog FSK prijemnika, dobije se vjerovatnoće

grešeke kao za tastovanu FSK, [2;(4.3.1)]

(4.3.1)

Z slučaj da se koristi koherentni prijemnik za BPSK, detekcijom MSK dobija se vjerovatnoća

greške [2;(4.3.2)]

(4.3.2)

5. GMSK ( Gaussian Minimum Shift Keying)

5.1 Uvod

GMSK( Gaussian Minimum Shift Keying) spada u klasu digitalnih modulacionih postupaka sa

kontinualnom fazom (CPM –Continuous PhaseModulation). U cilju minimizacije interferencije u

susjednom kanalu, (ACI- Adjacent Channel

23

interference ), ulazna binarna sekvenca translira se u NRZ signal a zatim filtrira Gausovim

filtrom koji se karakteriše BT faktorom, čija se vrijednost u praksi kreće između 0.25 i 0.7. U

graničnom slučaju, za BT=1, GMSK signal postaje MSK (Minimum Shift Keying) [8;(5.1)]

Rezultujući RF modulisani signal karakteriše se konstantnom anvelopom, što omogućuje

primjenu nelinearnih pojačivača snage, u klasi C, čime se postiže značajno poboljšanje

efikasnosti sistema uz značajno nižu cijenu izlaznog pojačivača snage. GMSK modulacija je u

širokoj upotrebi u komercijalnim i bežičnim komunikacijama. U tabeli [8;(5.1)] date su osnovne

karakteristike GSM i DECT sistema koji koriste GMSK modulacioni postupak

slika 5.1 Poređenje MSK i GMSK modulacija u odnosu na BT faktor

Tabela 5.1. Karakteristike GSM i DECT sistema koji koriste GMSK modulacioni postupak

Sistem GSM DECT

BT 0.3 0.5

Bitska brzina 270.833 kbps 1152 kpbs

Širina kanala 200 kHz 1728 kHz

Učestanost 890-915 MHz 1880-1900 MHz

Metoda

pristupa

TDMA

FDD

TDMA

TDD

Na slici 5.2 prikazana je blok šema konvencionalnog GMSK modulatora. [8;sl(5.2)]

24

slika 5.2 Blok šema konvencionalnog GMSK modulatora

Ulazna binarna sekvenca an, sa bitskim intervalom Tb, odnosno bitskom brzinom fb=1/Tb, gdje je

konvertuje se u NRZ sekvencu bn, gdje je

a dobijena NRZ sekvenca se filtrira Gausovim filtrom sa impulsnim odzivom h(t) [8;(5.1)],

[8;(5.2)], koji je dat izrazom:

( ) ( )[ ]200 ββ

πtte

Ath −−= (5.1)

( ) BTf bπβ2ln

2= (5.2)

Rezultujuća sekvenca r(t) data je izrazom: [8;(5.3)]

( ) ( )bn

n nTtPbtr −= ∑ (5.3)

gde je: [8;(5.4)]

: (5.4)

Konvolucijom signala r(t) i h(t) dobija se signal g(t) na izlazu Gausovog filtra. Signal g(t)

pobuđuje VCO sa centralnom učestalošću fc i vršnom frekvencijskom devijacijom gde je

441 bbm fTf == .

25

Trenutna faza VCO-a, , dana je izrazom: [8;(5.5)]

( ) ( ) ττπω dgfttt

mc ∫+=Φ0

2 (5.5)

a izraz za modulisani nosilac na izlazu VCO-a, s(t), je: ( ) ( )( )tAts Φ= cos0

Trenutna frekvencija f(t) signala s(t) data je izrazom: [8;(5.6)]

( ) ( )tgffdtdtf mc ⋅+=

Φ=

π21

(5.6)

Realizacija VCO-a sa promjenljivom centralnom frekvencijom fc i sa precizno definisanom

vrijednošću vršne devijacije fm, odnosno osjetljivošću koja je nezavisna od centralne frekvencije

je veoma težak problem. [8;(5.7)]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttQttIts cc ωω sincos ⋅+⋅=

( ) ( )( )ττπ dgftI m ∫= 2cos

( ) ( )( )ττπ dgftQ m ∫−= 2sin (5.7)

Na osnovu jednačine moguće je doći do blok šeme modulatora [8;sl(5.3)]

slika 5.3 Blok šema Kvadraturnog GMSK modulatora

Na prethodnoj šemi komponente I(t) i Q(t) su komponente u osnovnom opsegu, pa shodno tome

imaju znatno sporije varijacije faze, što omogućuje digitalnu implementaciju Gausovog filtera i

implementaciju integratora kao faznog

26

akumulatora.

Karakteristično je međutim da pored prethodnog uproštavanja filter sa Gausovim odzivom ima

još neke interesantne osobine koje omogućuju još efikasniju implementaciju GMSK modulatora,

kod koje se izbjegava korištenje faznog akumulatora i gdje se kvadraturne komponente signala

I(t) i Q(t) generišu direktno iz ulazne binarne sekvence an.

Teorijski, odziv Gausovog filtra prostire se u beskonačnost. U literaturi je pokazano, da se za BT

veće ili jednako 0.3 može kao dovoljno dobra aproksimacija usvojiti da se odziv Gausovog filtra

u bitskom intervalu an prostire samo na susjedne bitske intervale a n-1, a n+1. Na ovaj način broj

mogućih frekvencijskih trajektorija signala f(t) jednak je . Istovremeno, zbog prisustva

memorijskog elementa ( integratora ili faznog akumulatora) uslijed čega CPM tipovi modulacije

predstavljaju modulacione postupke sa memorijom, fazna trajektorija u tekućem bitskom

intervalu zavisi od ulazne sekvence an od n = -beskonačnodo n-1. Fazne trajektorije GMSK

signala formiraju fazni trelis. U literaturi, je pokazano da se za BT veće od 0.3, fazni trelis,

uzimajući u obzir aritmetitiku po modulu uslijed periodičnosti funkcija i

sastoji od konačnog broja sekvenci i da je periodičan sa periodom od dva

bitska intervala, 2Tb. Na slici prikazan je fazni trelis po modulu za BT=0.3.

slika 5.4 fazni trelis po modulu za BT=0.3.

27

Sa prethodne slike je očigledno da je skup faznih vrijednosti na granicama intervala diskretan i za

parne intervale je:

{ }ππππ ,2,2,0,2,2,0 Δ−ΔΔ−Δ+−−=S

a za neparne intervale:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Δ+Δ−Δ+−−Δ−= 2

2,

2,2

2,2

2,

2,2

20ππππππS

gde je:

βπmf

=Δ (5.8)

Prethodni teorijski rezultati mogu se praktično implementirati u digitalnom obliku pomoću ROM

memorije koja sadrži odgovarajuće LUT (Look-uptable) podatke.

Bitno je napomenuti da GMSK signal ima gotovo ekvivalentni signal sintetizovan na drugačiji

način TFM. Kad je B=0.63/T GMSK i TFM imaju iste performanse.

sl. [8;(3)]

slika 5.5 GMSK za različite BT

28

6. CPM (Continuous Phase Modulation) signali

6.1 Uvod

Opći standardi u telekomunikacijama zahtjevaju racionalno korištenje frekvencijskih i

energetskih resursa, (to su fundamentalni zahtjevi). Neophodno je da se osnovni zahtjevi po

pitanju širine, odnosno (rastojanja) između susjednih kanala ostanu u sklopu standarda. Zbog

toga je neophodno poznavati uskopojasne signale koji na bolji način zadovoljavaju postavljene

zahtjeve (CPM signali).

Postoje dvije vrste CPM signala

1. FR-CPM (FR-full response) uobličeni impuls je FR (full response), trajanje uobličenog

binarnog signala je ograničeno na (0,T)

2. PR-CPM (PR-partial response) uibličeni impuls traje duže od T, impuls unosi

kontrolisanu intersimbolsku interferenciju

Generisanje signala vrši se na osnovu blok šeme [4;sl(6.1)]

slika 6.1 Blok šema za generisanje CPM signala

Filter za uobličavanje modulacija

h(t)

f

u(t)f(t)

29

6.1. FR-CPM

FR-CPM signal možemo napisati u sljedečem obliku: [4;(6.1.1)]

( ) ( )( ) TtttfTEtu <≤++= 0 2cos2

00 ϕϕπ (6.1.1)

0ϕ početna faza, a priraštaj faze: [4;(6.1.2)]

( ) ( ) ττϕ dftT

∫=0

(6.1.2)

( ) ( )∑ −= nTthcThtf n

π (6.1.3)

( ) TdtthT

=∫0

(6.1.4)

[ ]⎩⎨⎧ ∈

==−+=ti vrijednosostale 0

T0, t 1)( 5,0 ,1 ili 1 thhcn (6.1.5)

6.2. PR-CPM

Za PR-CPM važe svi isti izrazi samo što se sada izraz ( ) TdtthT

=∫0

modifikuje

[4;(6.2.1)] pa je: ( ) ( )2L 0

≥=∫ TdtthLT

(6.2.1)

( ) ( )( ) TtttfTEtu <≤++= 0 2cos2

00 ϕϕπ [4;(6.2.1)]

0ϕ početna faza, a priraštaj faze [4;(6.2.3)]

( ) ( ) ττϕ dftT

∫=0

(6.2.3)

( ) ( )∑ −= nTthcThtf n

π (6.2.4)

( ) ( )2L 0

≥=∫ TdtthLT

(6.2.5

30

[ ]⎩⎨⎧ ∈

==−+=ti vrijednosostale 0

T0, t 1)( 5,0 ,1 ili 1 thhcn (6.2.3)

Postavlja se pitanje šta se dobija primjenom CPM u odnosu na MSK. Uobličavanjem impulsa,

poboljšavaju se spektralne karakteristike u odnosu na MSK, a vjerovatnoča greške ostaje ista. Za

L > 2 kompaktnost spektra bitno se poboljšava u odnosu na MSK.

7. Zaključak

Telekomunikacini sistemi zahtjevaju racionalno korištenje frekvencijskih i energetskih resursa,

(to su fundamentalni zahtjevi). Zbog toga je neophodno poznavanje različitih modulacijskih

postupaka, i signala da bi se maksimalno iskoristili frekvencijski resursi, a energija svela na

minimum. Neophodno je da se osnovni zahtjevi po pitanju širine, odnosno (rastojanja) između

susjednih kanala ostanu u sklopu standarda. Neophodno poznavati uskopojasne signale koji na

bolji način zadovoljavaju postavljene zahtjeve. U tekstu smo obradili brojne digitalne modulacije.

Ispitali MSK, GMSK, CPFSK i CPM signale, uskopojasne signale koji na bolji način

zadovoljavaju postavljene zahtjeve. To su signali koji su nastali kao odgovor na povečanje

standarda, i bolje iskorištenje resursa.

MSK (Minimum Shift Keying) je varijanta binarne frekvencijske modulacije sa mekim

tastovanjem (CPFSK – Continuous Phase Frequency Shift Keying

Rastojanje između nosilaca je

TTf

Tff

21

41

41

00 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=Δ

Postoje dvije mogučnosti detekcije MSK signala koje smo u tekstu ispitatali: jedna je kao BFSK

signal dok je druga dva BPSK signala.

BFSK detekciju MSK , ima istu vjerovatnoču greške kao i osnovna FSK,

za BPSK detekciju MSK, na isti način dobivamo da je vjerovatnoča greške

31

GMSK( Gaussian Minimum Shift Keying) spada u klasu digitalnih modulacionih postupaka sa

kontinualnom fazom (CPM –Continuous PhaseModulation). U cilju minimizacije interferencije u

susjednom kanalu, (ACI- Adjacent Channel interference ), ulazna binarna sekvenca translira se u

NRZ signal a zatim filtrira Gausovim filtrom.

GMSK modulacija je u širokoj upotrebi u komercijalnim i bežičnim komunikacijama. GSM i

DECT sistemi koriste GMSK modulacioni postupak.

Vjerovatnoča greške za GMSK.

CPM u odnosu na MSK. Uobličavanjem impulsa, poboljšavaju se spektralne karakteristike u

odnosu na MSK, a vjerovatnoča greške ostaje ista. Za L > 2 kompaktnost spektra bitno se

poboljšava u odnosu na MSK.

32

8. Literatura

[1] B.P. Lathi; Modern digital and analog communication system, Third Edition

[2] John G. Proakis; Digital communications, Fourth Edition

[3] Vladimir Milošević, Vlado Delić, Milan Narandžić, Čedomir Stefanović; Digitalne

telekomunikacije (skripta), Univerzitet u Novom Sadu, Fakultet tehničkih nauka, Katedra

za telekomunikacije i obradu signala

[4] Ivo M. Kostić, Digitalni telekomunikacioni sistemi, Naučna knjiga, Beograd, 1994.

[5] Skripta, Tehničko Veleučilište Zagreb, Informatički odjel, Komunikacijski sustavi i

mreže, Dr sc. Predrag Valožić, Zagreb i Osjek septembar 2005.

[6] Wright State University, Spread Spectrum Systems, Mattias Svanstrom May 2004

(internet)

[7] Wright State University, Spread Spectrum Systems, Minimum Shift Keying, Mattias

Svanstrom, 2000, (internet)

[8] Digitalni GMSK Modulator, M. Mileusnić, IRITEL Beograd

[9] Jedan metod za aproksimaciju eksperimentalnih krivih vjerovatnoče greške za GMSK,

doc. Dr Hadžialić M., ETF Sarajevo, Behlilović N., ETF Sarajevo, Baždar M., ETF

Sarajevo

[10] Vladimir Matković, Vjekoslav Sinković; Teorija Informacija, Školska knjiga Zagreb 1984

Internet

[11] Internet (literatura pronađena na internetu biti će na cd, priložena uz seminarski rad)