presentacion de inecuaciones 2

SISTEMAS LINEALES DE

INECUACIONESProfesor: Christopher Vicencio

Fernández.Colegio: La Providencia

Ovalle.

Aprendizajes Esperados.

• Resolver Inecuaciones lineales de dos incógnitas aplicando axiomas de orden.

• Resolver sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas.

• Resolver problemas textuales de sistemas de inecuaciones, estableciendo criterios para desarrollarlos.

• Reconocer las distintas aplicaciones de las inecuaciones en la resolución de problemáticas de su vida cotidiana.

ÍNDICE

Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................

Sistemas de inecuaciones lineales ......................................

Problemas textuales

de sistemas de inecuaciones .....................................

de programación lineal (desafío) .................................

La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano.

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

1 / 4

Resuelve la inecuación: 3y2x5

Represento la recta: 3y2x5

Despejo la variable y:2x53

y

Tabla de valores: x y

1 -1

3 -6

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

3030205

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución.

2 / 4

Algunas inecuaciones son sencillas:

0x)a 0y)b 3x)c 2x)d 4y)e

Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes.

Asocia cada inecuación con su soluciónb

ac

d

e

3 / 4

Resuelve las inecuaciones:

6y3x2)a

Asocia cada inecuación con su solución

b a

cd

yx2)b 4y2x)c 7y4x3)d

4 / 4

La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe).

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

1 / 5

Resuelve el sistema de inecuaciones:

7y3x2

1yx3

Represento la recta: 1yx3

Despejo la variable y: 1x3y


1 4

-2 -5

Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 141223

Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

2 / 5


7y3x2

1yx3


Despejo la variable y:3x27

y


2 1

-2 3

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 7070302

Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3 / 5


7y3x2

1yx3

2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores

4 / 5

Resuelve los sistemas de inecuaciones:

4yx2

3yx)a

Asocia cada sistema con su solución

b

a

c

d

6yx2

4yx2)b

6y

1yx

9yx3)c

6y

3x

1yx

4yx)d

5 / 5

Problemas de texto con inecuaciones

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.

2º paso: resolver el sistema dibujando la región solución.

3er paso: resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible.

1 / 9

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones

Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)

Chocolate x 0,5x 5x

Manzana y 1y 6y

Disponible 9 60

0

0

6065

95,0

y

x

yx

yx

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

Represento la recta: 95,0 yx

Despejo la variable y: xy 5,09

Tabla de valores:

x y

2 8

6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

909005,0

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

2 / 9

3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación


Despejo la variable y:6

x560y

Tabla de valores:

x y

6 5


600600605


4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

0x 0y

3 / 9

5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores

La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)

4 / 9

a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?

b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?

c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?

d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?

Resuelve los problemas:

Asocia cada problema con su solución

cbad

5 / 9

Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?

Definimos las incógnitas:

Planteamos las inecuaciones:

Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

)decenasen(lujodeneverasdecantidad:y

)decenasen(normalesneverasdecantidad:x

0y

0x

18y6x3

12y3x3

6 / 9

Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?




)decenasen(Btipobollosdecantidad:y

)decenasen(Atipobollosdecantidad:x

0y

0x

5'1y25'0x25'0

2y25'0x5'0

7 / 9

Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?




)decenasen(montañadebicisdecantidad:y

)decenasen(paseodebicisdecantidad:x

0y

0x

12y2x3

8y2x

8 / 9

ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?




autobusesdecantidad:y

microbusesdecantidad:x

4y

5x

0y

0x

6yx

200y50x25

9 / 9

Problemas de programación lineal

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo.

2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución.

3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza.

4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.

1 / 6

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones

Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)

Chocolate x 0,5x 5x

Manzana y 1y 6y

Disponible 9 60

0

0

6065

95,0

y

x

yx

yx

2 / 6

La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible: y15x12venta

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

Represento la recta: 95,0 yx

Despejo la variable y: xy 5,09

Tabla de valores:

x y

2 8


909005,0


3 / 6

95,0 yx

3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación


Despejo la variable y:6

x560y

Tabla de valores:

x y

6 5


600600605


60y6x5

4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

0x 0y

4 / 6

6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo

5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores

La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas).

El vector de la función objetivo es: 4,512,15

y15x12venta

Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

5 / 6

7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado.

Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo.

Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema.

SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €.

a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?

b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1,19 € el tipo A y a 0,89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta?

c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?

d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?

Resuelve los problemas:

6 / 6

a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.

b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59,40 €.

c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.

d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €.

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